（应用数学专业论文）误差为非参数ar（1）序列的几类统计模型及分析.pdf

摘要 误差相依回归模型是金融时间序列和计量经济学等研究中的重要问题。应 注意的是：线性相依误差模型不能反映数据的非线性特征，而某些非线性相依 误差模型由于其结构形式己知而使数据建模又失去了灵活性，如a r c h 模型和 g a r c h 模型等。利用非参数方法对非线性时间序列建模是当今的研究热点阿 题。 本文主要对误差为阶非参数自回归序列的三类统计模型进行统计分析研 究，即对线性回归模型，非参数回归模型，半参数回归模型的估计问题进行研 究。得到如下主要研究成果： 1 对于具有一阶非参数自回归误差的线性回归模型，在随机设计下构造了 未知参数和未知非参数函数的局部线性估计，证明了参数估计的渐近正态性及 非参数函数估计的收敛速度。模拟计算结果表明局部线性方法能取得比较好的 模拟结果。 2 对于具有一阶非参数自回归误差的非参数回归模型，在固定设计下构造 了未知回归函数及误差回归函数的核估计，证明了估计量的渐近正态性。模拟 计算结果表明核估计方法能取得比较好的模拟结果。 3 对于具有一阶非参数自回归误差的半参数回归模型，在固定设计下得到 了未知参数和非参数函数的核估计的强相合性及渐近正态性。 关键词：统计模型，一阶非参数自回归误差，核估计，局部线性估计， 渐近正态性，强相合性，收敛速度 a b s t r a c t t h er e g r e s s i v em o d e l 、) v i t l ld e p e n d e n te r r o rt e r m si st h ei m p o r t a n tp r o b l e mf o r f i n a n c i a lt i m es e r i e sa n de c o n o m i c s b u tw es h o u l dn o t i c et h a t ：t h er e g r e s s i v em o d e l w i t l ll i n e a rd e p e n d e n te r r o rc a n tr e f l e c tt h en o n l i n e a rc h a r a c t e r , a n dn o n l i n e a r d e p e n d e n te r r o rm o d e lm a k e st h em o d e l i n gl o s t t h ea g i l i t y , s u c ha sa r c ha n d g a r c hm o d e l ，a n ds oo n ，n o n p a r a r n e t r i cm e t h o di st h eh o t s p u tp r o b l e mf o r n o n p a r a m e t r i cm o d e l i n g i nt h i sp a p e r , w em o s t l yi n v e s t i g a t ea n da n a l y z et h et h r e es t a t i s t i cm o d e l sf o rf i r s t o r d e rn o n p a r a m e t r i ea u t o r e g r e s s i o ne r r o r , s u c ha s ：l i n e a rr e g r e s s i o nm o d e l 。 n o n p a r a m e t r i er e g r e s s i o nm o d e la n ds e m in o n p a r a m e t r i cr e g r e s s i o nm o d e l w e o b t a i n s e v e r a lr e s u l t sa sf o l l o w s ： 1 f o rt h el i n e a rr e g r e s s i o nm o d e li nf i r s t - o r d e rn o n p a r a m e t r i ca u t or e g r e s s i o n e r r o r , u n d e rr a n d o m d e s i g n , l o c a ll i n e a re s t i m a t i o no fp a r a m e t e ra n dn o n p a r a m e t r i e f u n c t i o na r es t u d i e d ，a n dp r o v e dt h ea s y m p t o t i cn o r m a lp r o p e r t yo ft h ep a r a m e t r l e e s t i m a t i o n ，s i m u l t a n e i t yg i v i n gt h ec o n v e r g e n c er a t eo fn o n p a r a m e t r i e f u n c t i o n e s t i m a t i o n t h es i m u l a t e de x p e r i m e n ts h o w sl o c a ll i n e a rm e t h o dw o r k sq u i t ew e l l ， 2 f o rt h en o n p a r a m e t r i cr e g r e s s i o nm o d e li nf i r s t - o r d e rn o n p a r a m e t r i ea u t o r e g r e s s i o ne r r o r , u n d e rf i x e d d e s i g n ，t h ek e m e le s t i m a t i o no f r e g r e s s i v ef u n c t i o na n d e r r o r sr e g r e s s i v ef u n c t i o na r es t u d i e d ，a n dp r o v e dt h ea s y m p t o t i cn o r m a lp r o p e r t yo f t h ee s t i m a t o r s t h es i m u l a t e de x p e r i m e n ts h o w sk e r n e lm e t h o dw o r k sq u i t ew e l l 3 f o rt h es e m in o n p a r a m e t r i er e g r e s s i o nm o d e li nf i r s t o r d e rn o n p a r a m e t r i ea u t o r e g r e s s i o ne l t o r , u n d e rf i x e d - d e s i g n , t h ek e r n e le s t i m a t i o no ft h ep a r a m e t e ra n d n o n p a r a m e t r i cf u n c t i o na r es t u d i e d ，a n dp r o v e dt h ea s y m p t o t i cn o r m a lp r o p e r t ya n d t h es t r o n gc o n g r u e n c e k e y w o r d s ：s t a t i s t i cm o d e l ，f i r s t - o r d e rn o n p a r a m e t r i ea u t or e g r e s s i o ne r r o r , k e r n e l e s t i m a t i o n ，l o c a ll i n e a re s t i m a t i o n ，a s y m p t o t i cn o r m a lp r o p e r t y , s t r o n gc o n g r u e n c e ， c o n v e r g e n c e r a t e n 西北工业大学硕士学位论文 符号说明 i i i 意义 依分布收敛 依概率收敛 矩阵爿的转置 条件概率 同价无穷小 高阶无穷小 依概率收敛 依概率有界 艏3 3，圳哪m 们一蚴一 西北工业大学硕士学位论文 第一章前言 六十多年来，线性时间序列作为时间序列一种简单的特殊类型已被深入研 究，且形成了一套比较成熟的理论和成果。但是，在实际生活中，对总体的分 布的假设并不是随便做出的，有时数据并不是来自所假设分布的总体；或者数 据不是来自一个总体。这样，当参数假设与实际相背离时的情况下，用参数回 归模型来进行推断，拟合情况很差，甚至会引起无法预料的错误。因而客观上 促使人们建立非线性时间序列模型。 二十世纪七十年代以来，非参数回归模型日渐兴起。现实中经济变量之间 的关系未必是线性关系或可线性化的非线性关系，而变量之间的参数非线性关 系又很难确定。所以，传统线性和非线性计量经济模型在实际应用中往往存在 模型的设定误差，不能满足经济应用研究的需要，非参数时间序列分析也越来 越受到人们的重视。 半参数回归模型是8 0 年代发展起来的种重要的统计模型，它既含有参数 分量，又含有非参数分量，因而既不同于古典模型( 包括线性回归模型和非线 性回归模型) ，也不同于非参数回归模型，而是综合了这两种模型的特点和长处， 所以它是更能拟合实际情况的数学模型，具有广泛的实际背景。除了涉及经济 学、社会学、教育学外，还涉及了生物化学、农业学、生物统计学、地球物理 学、天文学、航空航天学、测量学、医学、地质学等领域。随着此模型在理论 和方法上的e t 益成熟，必将有更广阔的应用前景。目前，半参数回归模型在许 多方面还不如单纯的线性回归模型及非参数回归模型那样有了完满的解决。目 前取得的成果，都还有待于进一步的加深和推广。 线性回归模型，非参数回归模型，半参数回归模型这三种类型各有其适应 范围。离开各自的适应范围就无法评价这些模型的优劣。因而这些模型在其适 应范围内都是十分有用的。 本文主要讨论误差为一阶非参数自回归过程的线性回归模型，非参数回归 模型及半参数回归模型。1 1 节介绍了相依误差下统计模型的发展历史及其研 西北工业大学硕士学位论文 究现状；1 2 节给出了本论文中用到的一些预备知识：1 3 节介绍本文主要 工作。 1 1 相依误差下若干统计模型的研究现状 线性回归模型是现代统计学中应用最广泛的模型之一，而且也是其它统计 模型研究和应用的基础。考虑线性回归模型 乃= 7 _ + 岛 i = 1 ，栉 ( 1 1 ) 其中而是解释变量，只是被解释变量( 响应变量) ，( f = l ，疗) 是均值为零的 随机误差序列。线性模型理论中首要问题之一，就是利用观测到的数据来估计 回归参数。两估计回归参数最基本的方法就是最小二乘法，至今这种方法在数 据分析中仍占据着中心位置，线性回归模型的估计理论和大样本理论可参见文 献【l 】和【2 】。若( i = 1 ，n ) 是独立同分布，关于卢的最小二乘估计成的大样 本结果在文献 3 】中有详细的介绍，文献中研究较多的是屈的强、弱相合性。着 q ( f = 1 ， ) 是相关的随机误差序列，并且解释性变量墨由响应变量 的一些 滞后项组成，在这种情况下对于线性回归模型的研究也相当成熟。例如计量经 济学中的a r c h 和g a r c h 模型，时间序列中的a r m a 模型等。胡舒合( 1 9 9 8 ) 州 研究了相依误差下线性回归模型参数估计的渐近正态性；i - i i d a l g o ( 1 9 9 2 ) 1 5 1 研究 了误差为一阶非参数自回归过程时( 即日= p ( 毛，) + q ) 的线性回归模型，采用核 估计得到了的估计量的渐近正态性和相合性。 关于上述模型的研究大多集中在误差t ( f = 1 ，疗) 是独立同分布随机误差 序列的情况，或者误差岛( f = l ，”) 是线性随机误差，主要研究了未知参数估 计的渐近有效性、参数最小二乘估计的强、弱相合性、渐近正态性。而本文采 用局部线性光滑估计模型( 1 1 ) 中的非参数部分，得到了参数估计夕的渐近正 2 西北工业大学硕士学位论文 态性和非参函数的收敛速度。 考虑非参数回归模型 m = m ( t ) + t i = l ，厅 ( 1 2 ) 其中五是解释变量，只是被解释变量( 响应变量) ，坍( ) 是未知函数，岛( i = l ，疗) 是均值为零的随机误差序列。若误差t ( f = 1 ，嚣) 是相关的随机误差序列， t r u o n g 和s t o n e ( 1 9 9 2 ) 嘲考虑了误差& = 触一i + q ，i i 1 ，其中q f f d ( o ，盯2 ) ， 基于局部线性估计研究了m ( ) 的估计量的收敛速度，并得到了自回归参数的 估计量。x i a o 和l i n t o n ( 2 0 0 3 ) 7 】研究了误差毋为a r ( 1 ) 过程，基于改进的局部 多项式方法对非参数部分进行估计，这种方法是事先将相依变量转换为弱相依 的变量序列，从而得到估计量的渐近分布。f e r n a n d e z 和f r a n c i s c o ( 2 0 0 2 ) 1 8 l 同样 也考虑了误差为a r ( 1 ) 过程，基于加权局部多项式得到非参函数及其导数的 估计，并且得到了它们的渐近性质。 考虑非参数回归模型 只= 胁( 而) 十岛 f = 1 ，疗 ( 1 3 ) 其中解释性交量由响应变量只的滞后项组成，蜀( i - - 1 ，栉) 是均值为零的随 机误差序列，未知函数埘0 ，) 称为条件均值。若误差岛( f _ 1 ，栉) 是独立同分布 的随机误差序列时，就模型( 1 3 ) 而言，在不同条件下，c o l l o m ba n dh a r l d l e ，x i a ( 1 9 9 9 ) 9 ，c a i ( 2 0 0 1 ) 1 0 】基于核估计研究了条件均值函数的相合性，渐近正态性和 收敛速度以及带宽的选择的渐近最优性。m a s r ya n df a n ( 1 9 9 7 ) 1 1 1 1 研究局部多项 式拟合条件均值函数及其导数闯题，在强混合和p 混合过程两种情形下建立了 导数估计的联合渐近正态性；c ma n do u l d - s a i d ( 2 0 0 3 ) t 1 2 1 利用局部线性稳健技术 估计回归函数，提出具有变带宽的局部稳健线性回归光滑器，给出估计量的渐 近性质；另外，n o t t i n g h a ma n dc o o k ( 2 0 0 1 ) 【1 3 】利用局部线性估计时间序列响应 变量以研究预报技术：x i a a n dl i ( 2 0 0 2 ) t 1 叼在强混合条件下得到了非参数回归模 西北工业大学硕士学位论文 型中局部多项式拟合条件均值函数c v 带宽选择器的渐近最优性，也推导了c v 选择带宽的渐近正态性。其它估计方法也有应用，例如：早期t r u o n g a n d s t o n e ( 1 9 9 2 ) i n ，t r u o n ga n dt r a n ( 1 9 9 3 ) ”1 基于平稳口混合序列研究了未知回归函 数的局部平均估计及其估计的强相合性和最优收敛速度。近期，s k ( 1 9 9 7 ) 在p 混合正则条件下证明了非参数回归中条件均值函数m 类b 样条估计量以厶范 数达到最优收敛速度。若误差毋( i = l ，胛) 是相关的随机误差序列时，c o m t ea n d r o z e n h o l c ( 2 0 0 2 ) 1 1 7 】考虑了误差t ( f _ 1 ，z ) 为非参数自回归函数，研究了条件 均值和条件方差函数的非参数适应估计，给出了这些估计量在毛范数意义下的 无渐近风险界：f r a n k e ，k r e i s s ，m a m m ea n dn e u m a n n ( 2 0 0 2 ) t 1 8 】和f r a n k e ，n e u m a l l l la n ds t o e k i s ( 2 0 0 4 ) 1 19 】利用b o o t s t r a p 技术估计模型中条件均值和条件方差函 数，构造条件均值和条件方差函数的一致置信带；h o f f m a n n ( 1 9 9 9 ) 1 2 0 l 利用小波 估计量研究了条件均值和条件方差函数的全局估计及其最小最大收敛度。相对 于核估计量，局部多项式拟合有一些显著的优点【2 l 】：对于单变量回归情形，局 部线性拟合可以减少n a d a r a y a - w a t s o n 一w ) 估计量的偏差和g a s s e r - m u l l e r ( g m ) 估计量的方差，能自动适应设计点的边界( n w 和o - m 估计量有边界效应， 接近边界点处收敛速度慢) ，无须边界修正；在估计回归函数的导数方面优于 n w 核估计，特别是局部线性方法无须核函数的可微性。然而，局部多项式估 计方法也存在不足：它不能给出所拟合模型的显式表达式，而且在所拟合回归 函数需要求值的每一点处都必须重新进行拟合，特别在进行预报时，计算量较 大 2 2 1 。样条估计方法能有效地克服局部多项式估计方法的努端2 3 1 ，然而，样条 估计等全局估计方法在非参数自回归模型中的应用甚少。而本文研究的是误差 为一阶非参数自回归过程的模型( 1 2 ) 中非参函数的渐进性质。 e n g l e ” 在研究气候条件对电力需求影响这一实际问题时首先提出如下半 参数回归模型 y j = r 置+ g ( ) + 毛 i = l ，r ( 1 4 ) 其中而= ( ，砀) 7 ，= ( “，“) 7 ，是未知参数向量，g ( ) 是未知函数， 4 西北工业大学硕士学位论文 ( j = l ，以) 是具有零均值和有限方差的随机误差序列。 r o b i n s o n ( 1 9 8 3 ) 1 2 习是第一个给出非线性时间序列模型中非参函数的核估计 量的渐近理论，次后，人们对于半参数回归模型的估计理论研究已有深刻的结 果，然而，大量的估计集中于核方法，包括n a d a r a y a - w a t s o n ( n - 聊核估计 ( n a d a r a y a l 9 6 4 ，w a t s o n l 9 6 4 ) 和局部多项式估计( l p ) 。若误差q ( 括l ，阼) 是独立 同分布的随机误差序列时，文献 2 6 - - 3 4 用核估计、样条估计、级数估计、 局部线性估计、t w o - s t a g e 估计得到了模型( 1 4 ) 中未知量的估计值，并讨论了估 计量的渐近性质。若误差毋( f = 1 ，n ) 是相关的随机误差序列时，g e r m a n 和 a l e g a n d r 0 ( 2 0 0 1 ) 湖用调整的交错鉴定方法研究了误差相依情况下的模型( 1 4 ) 的 选择光滑参数，得到了吃是渐近最优的，并且得到了平均平方误差( a s e ) 和 ( m a s e - m e a na v e r a g es q u a r e de r r o r ) 是渐近相等的。 在实际应用中假设误差相互独立是不太合适的，例如经济变量常是误差相 依的。g a o 和a n ( 1 9 9 9 ) 【3 6 1 研究了误差序列为长相依的情况，其中误差( 1 f s 以) 满足e = o ，如2 = o r 2 o ) 上。 定理i 1 4 1 1 设( t 1 ) 为强平稳妒混合序列，e = o ，e 8 ； a 。若 二l 。矿( f ) 0 时，那么 喜产石与( o 1 ) 定理2 ( 李倩茹，梁汉营，( 2 0 0 5 ) ) 设s ( ) 为r 。上的有界函数，g ( ) 为 6 西北工业大学硕士学位论文 ( ，) 一( r ，b ) 的可测函数，且 l i g ) l d x o o ，o 1 ) ，珂1 ；e 眈 e ) i 雠。) 上专o ，兰e ( 引雠，) j 郴i 则 艺k 上州( o ，。；) 1 3 本文主要工作 本文研究了具有一阶非参数自回归误差的线性回归模型、非参数回归模型 及半参数回归模型中的未知参数和未知非参数函数的估计方法及估计量的大样 本性质。 第一章介绍了相依误差下统计模型的发展历史及研究现状，给出了本论文 中用到的一些预备知识。 第二章对于误差为一阶非参数自回归过程的线性回归模型进行了研究。在 随机设计下采用局部线性估计对模型中的系数参数进行估计。首先采用最4 - - 乘估计方法对未知参数做初估计，得到误差的估计值后，基于局部线性估计得 到一阶非参数自回归函数的估计，做为权重系数，对系数参数进行再估计。证 明了未知参数和非参数函数的强相合性和渐近正态性。最后，模拟计算结果表 明局部线性方法能取得比较好的模拟结果。 7 西北工业大学硕士学位论文 第三章对于误差为一阶非参数自回归过程的非参数回归模型进行了研究。 在固定设计下采用核估计对模型中的非参数函数进行估计。首先采用最小二乘 估计方法对未知非参数函数做初估计，得到误差的估计值后，基于核估计得到 一阶非参数自回归函数的估计，做为权重系数，对非参数函数进行再估计。证 明了未知非参数函数的渐近正态性。最后，模拟计算结果表明核方法能取得比 较好的模拟结果。 第四章对于误差为一阶非参数自回归过程的半参数回归模型。首先采用核 估计方法对未知非参数函数做初估计，再利用广义最小二乘法得到未知参数的 估计值，从而得至4 误差的估计，基于核估计得到一阶非参数自回归函数的估计， 做为权重系数，对非参数函数进行再估计，再次利用广义最小二乘法得到未知 参数的估计值，证明了未知参数和非参数函数强相合性。 8 西北工业大学硕士学位论文 第二章误差为非参数a r ( 1 ) 序列的线性回归模型的 局部线- i l 生估计与性质 考虑线性回归模型： 辨= 而7 + t ， ，= l ，拖 ( 2 1 ) 其中五r 4 ( 1 f 珂) 是随机设计点列，r 4 是未知的参数向量， 蜀胄( 1 - o ) 的独立同分布随机误差序列。并给 出了卢和p ( ) 的局部线性估计量p 和p ( ) ，证明了估计量的渐近正态性和收敛 速度。模拟算例表明局部线性方法优于核方法。 2 1 基本假设 本文需要如下假设条件 4 嘞，l f 栉，1 ，s d ) 是平稳过程。 4 对于任意的t ，s 和j ( 1 f ，j ，l ，1 ，d ) ，与乞独立 4 p ( ) 是定义在r 上的后阶有界可微函数。 4 的分布是绝对连续的，并且它的密度函数厂( ) 是有界的例如：存 在一个正常数m ( o m _ l ，在给定岛- - - - - 6 ，q 的条件分布密度为( 1 s ) ，且存在一个 托( o m 2 o o ) ，满足 如。s z ( f i 占) 如，占，f r ，2 i 。 4 t ，i = 0 , 1 ， 是口- 混合的，如果满足吼= d ( 妒”) ，o 妒 1 ，u = o 1 下面对上述的假设条件作一些说明。 注2 1 1 条件4 是为了证明夕的渐近正态性，像线性模型乃= + 中， 若要求的最小二乘估计服从渐近正态分布时，需设e ( 沙寸f ( c 为常 数) 。， 注2 1 2 假设嘞与乞( 1 f ，s n ，1 ，s d ) 独立是合理的( 见【4 l 】) 注2 1 3 如果编，i = 0 , 1 ， 是一个独立随机变量序列，假设条件4 ，以是不 需要的。 2 2 局部线性估计 基于模型( 2 1 ) ，可知参数，的最j , - 乘估计为 万= ( x 7 x ) 。彳7 】， ( 2 2 1 ) 其中x = ( 而，矗) 7 ，】，= ( 乃，厂。 因此，基于模型所= # 歹+ t ，可由下式得到岛的渐近估计 毒= 儿一# 万， ( 2 2 2 ) 结合( 2 2 ) 式有： 童= p ( 宣。) + q ( 2 2 - 3 ) 对每一给定的疗，皖为一正数，且满足最一o ( 珂寸) 。给定f r ，令 l ( s ) = f ，1 f 胛，i 毒一占i 玩) ， 记m ( s ) = 样厶( s ) 为厶p ) 中i 的个数。只，( 盒) 为关于 一占) 的七一1 阶多项 1 0 西北工业大学硕士学位论文 式，即： t 1 只，( 毒) = 乏：k ( f ) ( 毒一占) 4 ( 2 2 4 ) a - o 关于6 矗最小9 a ( 2 1 4 ) ，易得& 。 ) 的估计量毫， ) 。 定义2 1 i p ( 毛。) 的初始估计量为：3 ( e , 。) = 盒。( q 一。) 。 假设p g ) 有二阶导数，由t a y l o r 展开可知，当t 在g 的某个邻域内时， 可以用下式来近似p 化) ： p ( f ) + p ( 占) ( q - 8 ) ( 2 2 5 ) 局部线性拟合是为了将由核方法拟合的偏差 一占) 减小为 一占) 2 【2 】设； 丘，。( q ) = 声( s ) + ( 占) ( 匆一占) ， ( 2 2 6 ) 其中p ( f ) 和声( f ) 可通过最小化下式得到： 易得 其中 。磊，卜抖掣p ) 2 ，j t 厶( s ) l j 声p ) = ，皇。， ( 2 2 8 ) | t | - | l 副 嘞一峄砖稚) 一。， 妒。毛( 等r ze ( f ) ( 2 1 2 ) 和( 2 1 8 ) ，有： m = z + 声( 毒一。) + b 基于上式可由下式定义的最小二乘估计夕： 夕= ( x 7 z ) 。x 7y 一劫 堙厶( f ) ， ( 2 2 9 ) ( 2 2 1 0 ) 西北工业大学硬士学位论文 其中x ：( ，矗) 7 ，y = ( m ，每= ( p ( 磊) ，声( 亩) ，- 一，声( 六一。) ) 7 。 2 3 主要结果及引理 引理2 3 i 若假设条件以一幺满足，则存在一个正数q ，有： 熙p 以( 栉) ( ( f ) bs q ，玎r 砖夕z 2 1 。 引理2 3 1 的证明参见文献【4 5 】中的引理1 。 设也( s ) = ( m ( 8 ) ) = p ( 8 ) = 4 , - 1 ( s ) 7 ( s ) ，占r ，有： a ( f ) = m ( f ) ， ( 2 3 1 ) 其中 t ( f ) = o ，i 盛l ( 占) 记m ( f ) = 斧 j ，1 s f s n 翊宣一1 1 o ，满足圭疋= 。( 聆“) ，由假设条件4 幺和文献【4 6 】中4 3 式的讨论 可知，存在正常数吃，岛r 满足： l i m 尸( q ) = l ， ( 2 3 2 ) 其中q 。= c 2 ，蛾m 白，蛾，f r 。 由引理2 3 1 和( 2 3 2 ) 可知，存在一个正常数q ，满足： l i m p ( v 。) = 1 ， ( 2 3 3 ) 其中、王，。= f j 坂( 占) f 2 g n 一：暖，m a x ，i m ( s ) i c 4 1 ，占r 。 引理2 3 2 若假设条件以一4 满足，那么存在一个正常数岛，满足； 易( 军m ( 占) 点+ 一p ( 毒) 2 岛疗。皖一 ( 2 3 4 ) 引理2 3 2 的证明参见文献【4 5 中的引理2 。 弓f 理2 3 3 当n 斗o o 时，x 7 z 肠依概率收敛于。 一一 登! ! 三些查堂堡圭堂丝笙查 引理2 3 3 的证明参见文献【4 7 j 中的引理5 。 下面叙述本文的主要结果。令，= 衫( 2 七十1 ) 。 定理2 3 1 若假设条件4 一- k 满足，且最n - v ( 2 + n ，则 l 声( s ) 一p ( 占) j _ q ( 咒”) ，s e r ( 2 3 5 ) 定理2 3 2 若假设条件4 以满足，则 石( 彦一) 三( o ，盯2 z t ) ， ( 2 3 6 ) 其中z = ( 乃k ，勺= 伽( 而，_ ) 。 2 4 定理的证明 目无甜出一些记号。 记爿= 口：陋】 七) ，撑4 为满足 口：p 】 忌) 的口的个数。 ( 占) = ( ，( s ) ) ，( 占) = ( 。( 占) ) 为# i x 样a 阶矩阵， 4 ( 占) = ( ( 占) ) = 7 p ) ( 占) 为群4 撑4 阶矩阵。 其中 ( f ) = 1 ，i es o ( d ，( s ) = o ，f 仨厶( s ) ， 叫咖簪，f 她) 州巾吩吲吐 记彳= 口，。口 o ，使得i m ( 石) 一所( y ) 降c i 善一y l ，搬，y 都成立 4 巳与岛和q 1 ( 1 s l 疗) 独立，且y o ，且 f k ( t ) l t l d t - c o o ，i k 2 ( t ) d t o ) 阶矩的平稳绝对正则过程，其混 合系数f ( 胛) = d ( 栉2 枷胪) ( j o ) ，。 j c ) i = l l - l 由条件丘，易知 结合定理l 有 由条件以，易知 + c q ，( 工) l 而- x l ( i x , - x l o ，o 盯2 = 蹰+ 2 如勺 0 0 ， i = l - 2 打。( 刁 ( 3 2 5 ) ( 3 2 6 ) ( 帆) ；喜嘶) 倒( 灿声努。( 聆 本 新 z m 由( 3 2 6 ) ，( 3 2 7 ) 和条件4 有， 由( 3 2 5 ) 和 o ， 满足 k ( 石) 一k ( y ) i 1 ( 2 - i ) ，窗宽吃专。满足 则 胛硝聃o f 2 + 1 ) 呻o o ， 疗醒”1 0 ， ( n ) ； 廊( x ) 一所o ) 三( o ，以( 石) ) ， 其中西( x ) = j k 2 ( f p ，( “) + 蕃n ( x ) 。 3 3 定理的证明 定理3 2 1 的证明：易知 声( 占) 一p ( 8 ) = + 由引理3 2 4 易知 由条件4 和定理2 有 + 号4 ，l + 4 2 + 以3 ， 厶= 0 ，( ”卜 ( 3 2 1 1 ) ( 3 2 1 2 ) ( 3 2 1 3 ) ( 3 3 1 ) ( 3 3 2 ) 西北工业大学硕士学位论文 i 也) 叫占) k ( 等) i ：d ( 瑶) ， 和 叫比小出) 足( 警 叫盹) 叫明2 x 2 ( 生手 = 0 ( 吼 于是 1 ) _ 以) _ 降 硼( 瑶) + o , l 栉研 s 由定理2 和定理3 有 e k ( 警) w ， i 垡立i 一吃厂， l j “7 愀( 警卜e k 2 降) w m 仳 因此 喜k ( 等 = 圳小q ( 蚶； ，舢 4 2 = = q ( ( 慨) ) ( 3 3 5 ) 最后证明( ，以) i4 ，3 ( o ，霹) 设最= 去喜k 降卜= 喜= 丽1 驴n ( 警 于是 陬f i 如：窆磊，a 对于每个自然数雎及i = 1 ，2 ，n ，记，r = o r ( e l ，磊，毒一1 ) ，其中 西北工业大学硕士学位论文 c r ( e ，龟，q ，盒) 表示由( p l ，龟，q ，盒) 所产生的a 域，由定理3 与的定义有 e c 2 = 去磷x 2 ( 譬 = 吉职2 ( 警) o ) a t - h g 似慨 ，m 结合条件4 和4 ，对v f ( o ，l 】有 于是 e(剿伽)s丽1t-i i h 、20 4c 4 吃ne l 乞1 2 + 4 9 ( ) 仁2 ( f ) 出上哼o ， 圳= 瓦1 善ne k 警 咐i叫= 面1 善n 肛2 ( 午) 峨 = g ( 占) 弘2 ( r p 垒盯2 结合定理3 有 厶山( o ，盯2 ) i 】 由定理2 易知 ( 3 3 8 ) 燃( 警) 厶) l - i l f f i l 结合条件4 有 由条件4 和引理3 2 1 有 n + c ( x ) i 而一x l x ( i x , 一x l s e ) o ( d ) i 鼠。= d ( 拧) h月 ，( x ) p ( 一。) 一尸( 乱) c ，( x ) h 一钆 l - t，l l ( 3 3 1 1 ) h l = c z ( x ) i 前( 葺一。) 一埘( k 。) i _ ( 吨卜 ( 3 3 1 2 ) 为了证明- ：n ( o ，彳p ) ) ， 2 先证吲( x ) 一1 卜o ，由于 西北工业大学硕士学位论文 弘n 叫嘻竿d 警) 一弘( y 陟 爿砉。 量( ) 一尺( y ) 扮一i 。x ( ) ，) 痧一l 。爱y ) 痧i ， 其中= 兰，f = 0 ，1 ，栉+ l ，满足心m l s - - ) ( 鲁) e f y | ，“。) ， l 。k ( y ) 咖f 卫l - x 1 ，) ei y | ，( 川) ， 由( 3 3 1 4 ) 一( 3 3 1 6 ) 及不等式( 3 3 1 3 ) 有 ( 3 3 1 5 ) ( 3 3 1 6 ) ( ，) - 1i nq ，( x ) 一1 烽c j ( ”) ，+ ；+ ( w ( n 户1 ( 3 3 1 7 ) 由( 3 2 2 ) ，( 3 2 3 ) 和( 3 3 1 7 ) 有 ( ”) ；l 杰( x ) 一1 1 呻0 i ( 3 3 1 8 ) 西北工业大学硕士学位论文 由定理3 2 1 和( 3 3 1 8 ) 有 ( 栉) _ i nn k p ( 毒一，) 一p ( 毒一。) 三( o ，砰( 占) ) ( 3 3 1 9 ) $ l 最后， 我们证明e 。三f o ，z 窆( x ) 我们证明e 。专lo ，z ( x ) i ks f f i l 由条件以和e i 的定义有 e ( 胛) - i n ( x ) q ：o ，f ( 以吃) - i n e ) q 1 2e ( 胛) - ( x ) q = o ，i ( 以吃) - ) qi 1 4 i = 1 结合条件4 和4 有 于是 帆西e ( 窆i f f i l 岛卜 1 ” ( 帆) _ ( x ) 岛。 盟一号(o，1n )、， 蠢( x ) m 由( 3 3 1 1 ) ，( 3 3 1 2 ) ，( 3 3 1 9 ) 和( 3 3 2 0 ) 有 至此定理3 2 2 证毕。 = 珂西( 工) ， ( 珂吃) ； 而( x ) 一埘( 工) 三( o ，霹( x ) ) 3 4 模拟实例与分析 设误差t 是一阶非参数自回归过程，定义为 岛= t l + e t ，( 1 - t s 以) ， ( 3 3 2 0 ) 口 ( 3 4 1 ) 其中q - 1 i ，】，e , o - t 以) n ( o ，1 ) 。为了简便起见，取核函数k ( 。) 为卜1 ，l 】 上的均匀分布函数，即 k ( x ) = 三一h ( 3 4 2 ) 西北工业大学硕士学位论文 很容易可以看出此核函数满足条件4 。 则 其中 对( 3 1 6 ) 中的权函数有迸一步的约束 = 嘉乒o ，1 ，i 卅l ，吃= 聆，o 口 l ， u m2 置= 扣一嘉 _ i ：- n - e - x - 嘉+ l9 9 邝渤) = ：却熹1 露一，姚0【 + j = f ：( 疗+ 1 ) x - ( n + i ) n 一9 s f ( 以+ 1 ) 工+ ( 栉+ 1 ) 以一8 ，1 f h = f ：m a x ( n + 1 ) x 一( n + o n - 。, 1 o ) 阶矩有限的平稳绝对正则过程，其混合系数满 足 小) = 。( 汐卜 o o 趴6 。 ( i i ) 设乞( 1 f 以) 是同分布随机变量序列，密度函数为( ) ， 以当以充分大时，有c l 吉二d # - 鲁卜鲁肛， ， 4 m a x l 。i x , i l ，且p 2 ( “) 出 m ， p 2 k 0 ) d u o o 4 当胛充分大时，( 占) 满足磷( s ) = d ( 行邶) 。 注；满足上述假设的设计点列和权函数是存在的。例如可选取权函数为( 1 5 ) 式中的相同。 理。 4 2 主要结果及引理 本文以下设c 为与咒无关的正数，在各处的值可以不相同。先给出如下g 引理