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l i s r e a l结构模型的统计诊断问题 丫 5 8 6 1 2 7 摘要 l i s r e l 线性结构方程式模型可对不能 通过直接观测得到的 潜 在因子之间的关系作分析， 这是传统的统计方法所不能做到的。 因 此， l i s r e l 模型在医学、 教育心理学、 生物学以 及经济学等领域 都有着广泛的应用。 本文对 l i s r e l线性结构方程式模型进行了统 计诊断方面的初步的研究， 阐述了l i s r e l模型在统计诊断方面的 参数估计及其性质。 我们对l i s r e l结构模型在统计诊断方面进行了研究， 获得主 要结论有: 1 .用广义逆的方法求出了l i s r e l结构模型的参数估计及其 相应性质。 首先我们将一元的l i s r e l结构模型推广到多元自 变量 多元因变量的情形。 由 广义逆的基本性质得出任意两矩阵之差的广 义逆公式， 从而得出了l i s r e l结构模型的系数的广义l s 估计及 参差公式。 2 我们讨论了数据删除模型， 得出了其参数估计与原模型相 应参数估计间的关系式， 并指出通过数据删除模型判断异常点和强 影iq ul 点的方法。 3 .我们讨论了均值漂移模型及其参数估计， 并指出通过均值 漂移模型判断异常点和强影响点的方法。 4 .根据影响函数的定义， 得出了l i s r e l 结构模型中夕 的样 本影响函数。 5 . 将 wi l k s 准则推) 到多维情形，在 l i s r e l结构模型中用 于观察异常点，从而得出相应的结论。 木: a徉丁 t i . , 勺v t.4 i w 恩 勿全文公布 北方交通大学硕士学位论文 关键词: l i s r e l 模型， 统计诊断， 广义逆， 异常点， 强影响点， 数据删除模型，均值漂移模型，样本影响函数，w i l k s 准则 z j s r e a j 结构模型的统计诊断问 题 ab s t r a c t l i s r e l s t r u c t u r a l e q u a t i o n m o d e l c a n a n a l y s i s t h e c o n n e c t i o n o f t h e f a c to r s t h a t c a n n o t b e o b s e r v e d d ir e c t l y , w h i l e t h e tr a d i t i o n a l m e t h o d i n s t a t i s t i c s c a n n o t d o . t h e r e f o r e l i s r e l m o d e l h a s a b r o a d a p p l i c a t i o n 仇s u c h a s i a tr o l o g y , p s y c h i c s , b i o l o g y , a n d e c o n o m i c s a n d s o o n . t h e a rt i c le e l e m e n t a r i l y d i s c u s s e s s t a t is t i c a l d i a g n o s t i c s f o r l i s r e l m o d e l , a n d t h e n s t a te s i t s e s t i m a t e o f t h e p a r a m e t e r s a n d c h a r a c t e r s t h e ma i n c o n c l u s i o n s a r e : i . w e f i n d e s t i m a t e滋 t h e p a r a m e t e r s a n d c h a r a c t e r s认 g e n e r a l i z e d c o n t r a d i c t o r y m e t h o d . f i r s t l y w e s p r e a d l i s r e l m o d e l t o m u l t i - m o d e l , w h i c h h a s m u l t i - i n d e p e n d e n t v a r i a b l e a n d m u l t i - d e p e n d e n t v a r i a b l e . t h e g e n e r a l i z e d c o n t r a d i c t o ry o f t h e a r b i t r a r y t w o m a t ri x e s i s o b t a i n e d t h r o u g h t h e b a s a l c h a r a c t e r s o f g e n e r a l i z e d 旧o n日 rl c o n t r a d i c t o r y . t h e n w e g a i n t h e l s e o f t h e p a r a m e t e r s a n d e r r o r s . 2 . we d i s c u s s 比e c a s e - d e l e t i o n mo d e l s a n d o b t a i n c o n n e c t i o n o f i t a n d o r i g in a l m o d e l s . t h e n w e p o i n t o u t t h e w a y j u d g e t h e o u t l i e r s a n d i n f l u e n t i a l p o i n t s th r o u g h c a s e - d e l e t i o n m o d e l s .1 w e d i s c u s s m e a n s - s h i f t m o d e ls a n d p o i n t o u t th e w a y t o j u d g e t h e o u t l i e r s a n d i n f lu e n t i a l p o i n t s t h r o u g h m e a n s - s h i f t m o d e ls , 屯i n c a s e o f d e f i n i t io n o f t h e i n f l u e n c e f u n c t i o n , w e g a i n t h e s a m p l e i n f l u e n c e f u n c t i o n o f t h e p i n l i s r e l m o d e l . 5 . w e s p r e a d o u t l i n e s t h e n o b t a i n wi l k s r u l e t om u l t i - c a s e , a n d u s e i t t o o b s e r v e c o n c l u s i o n s 北方交通大学硕士学位论文 k e y w o r d s : c o n t r a d i c t o r y , l i s r e l m o d e l , s t a t i s t i c a l d i a g n o s t i c s , g e n e r a l i z e d o u t l i n e s , i n fl u e n t i a l p o i n t s , c a s e - d e l e t i o n m o d e l s , m e a n s - s h i f t m o d e l s , s a m p le i n f l u e n c e f u n c t i o n , wi l k s r u l e 北方交通大学硕士学位论文 第一章预备知识 1 . 1 l i s r e l模型简介 在许多领域的研究，特别是社会科学、行为科学等领域的研 究中，常常要处理诸如 “ 态度” 、“ 智力” 、 “ 满意” 、 “ 忧虑” 、 “ 动 机” 、 “ 认识”等一些含潜在变量的结构问题，用普通的路径分析 方法等无法处理这些含潜在变量的情形。 l in e a r s t r u c t u r a l r e l a t i o n 模型是一种新的统计方法，该方法可对不能通过直接观测得到的 潜在因子之间的关系作分析， 这是传统的统计方法所不能做到的。 如在探究患者生存质量问 题上，考虑5 项生理指标收缩压、 舒张压、心跳间隔、呼吸间隔和舌下温度，从生理知识知道，这 5项指标是受植物神经的交感神经和副交感神经质配的，而这两 种神经的状态并不能直接测定出来。 l i s r e l提供了 一种数据分析和研究理论结构的完整结合的 系统，与路径分析相类似的是， l i s r e l模型也涉及到估计模型 参数、 检验模型对数据的拟和程度等等。 所不同的是， 对l i s r e l 模型没有那么多的限制。例如，l i s r e l模型允许观测变量有测 量误差， 残差项也可以是相关的， 还可以处理互逆的因果关系( 双 向箭头)等等。另一点重要的区别是，路径分析中对各个方程式 是分别单独地进行估计的， 而l i s r e l模型中的所有参数则是同 时进行估计的。 因 此l i s r e l 模型 在医学、 教育心理学、 生物学以 及经济学 等领域都有着广泛的应用。 l i s r e a i 结构模型的统计诊断问题 l i s r e l 一 般模型由 度量模型和结构方 程式模型两部分构成 1 .度量模型: 度量模型一 般由两个方程式组成，分别规定了内生的潜在向 量? i 和内 生的 显 在向 量y( 即 观测变 量) 之间，以 及外生的 潜在 向 量含 和外生的 显在向量x之间的联系，即 ( 为简化起见，假定 所有变量都以 偏差形式出现) y - a m+ 。和 x二 a x e + b ( 1 . 1 ) 其中， y 表 示 因 变 量的 观 测 值 构 成的 向 :r ( p x l ) a ， 表 示y 对77 的回 归 系 数 或负 荷 矩阵 ( p x m ) 77 表 示 不 可 观 测的 因 变 量 构 成的 向 量(m、 l )c- 1 ) 。 表 示y 的 测量 误 差 构 成的 向 量( p x 1 ) x表示独立的观测值构成的向 量仁x d 占 表示 不 可 观 侧的 独立 变量 构成的向 量( n x l ) a ,r 表示x对含 的 回归 系数 或负 荷 矩阵( q x n ) 占 表 示x的 测 量 误 差 构 成 的向 量( q x l ) 可以注意到，l i s r e l的度量 模型和因子分析模型很相似。 事实上， l i s r e l的 度量部分的确可以 看成是一种证实性的因子 分析模型，也可以看成是对观测变量的度量性质即可靠性的一种 描述。 2 结构方程式模型 a 匕 方交通大学硕十学位论文 结构方程式模型部分规定了 所研究的系统中假设的潜在外生 变量和潜在内生变量之间的因果关系，即 q= b ? , + r 夸 + e ( 1 . 2 ) 其中b表示潜在内生变量对潜在内生变量的效应的系数矩阵 ( - - m ) ， 其 对角 线元素 均为。 ， 且1 一 b 是非 退化的 ( 行列式 值 不为0 ) . r 表示潜在外生变量对潜在内生变量的效应系数矩阵 ( m x n ) 。 表 示 残 差 项 构 成的 向 量( m x l ) . 1 .2统计诊断问题简介 歼. 2 . 1 统计诊断的内容和意义 统计诊断是 7 0 年代中期发展起来的一门统计学分支， 顾名思 义，统计诊断就是对从实际问题中收集起来的数据，和提炼出来 的模型以及由此出发所作的推断方法的合理性进入深入细致的分 析，并通过一些诊断统计量来检查数据、模型及推导力 一法中可能 存在的 “ 毛病” ， 进而提出“ 治疗” 方案。也 就是说， 对统计方法 解决问 题的全过程进行诊断。 为了克服既定模型与客观实际之间可能存在的不一致性，通 常有两种途径可循:第一，寻找一种统计方法是之当模型又微小 变动或扰动时统计诊断不会受太大的影响，亦即这种统计方法对 模型的扰动具有某种稳健性，这就是所谓的稳健统计。第二，寻 找一种诊断方法，判断实际数据是否与既定模型有较大偏离并采 取相应对策，这就是统计诊断的主要内容。 l i s r e a l 结构模型的统计诊断问 题 1 .2 .2 统计诊断的 基本概念 ( i ) 异常点 在回归模型中，异常点是指对既定模型偏离很大的数据点。 异常点的探查是统计诊断的主要内容之一， b e c k m a n 和c o o k 在文 献 5 中指出，目 前 对异常点 有以 下两种较为流行的 看法:第一， 把异常点看成是那些与数据集的主体明显不协调、使得研究者大 感惊讶的数据点。这时，异常点可解释为所假定的分布中的极端 点，即落在分布的单侧或双侧d 分位点以外的点，而a 通常取很 小的值 ( 如0 . 0 0 5 ) ， 致使观察者对数据中出现如此极端的点感到 意外。第二，把异常点视为杂质点。它与数据集的主体不是来自 同一分布，是在绝大多数来自 某一共同分布的数据点中掺入的来 自 另一分布的少量“ 杂质” 。 不管采用哪种看法， “ 异常点” 的“ 异 常”之处总是相对于数据集的主体或所假定的模型而言的。在回 归模型中， 异常点对模型的偏离程度要远比 数据主体中的点为大， 对它们较为精细的鉴定则必须通过对度量偏离的指标作检验来确 定。 ( 2 ) 强影响点 数据集中的强影响点是指那些对统计量的取值有非常大的影 响力或冲击力的点。数据集中各个数据点对统计诊断的影响大小 是不相等的，在分析影响大小时， 有几个基本问题需要考虑。首 先必须明确“ 是对那一个统计量的影响， 。 例如， 对线性回归模型， 所考虑的是对回归系数的估计量的影响还是对误差方差的估计量 的影响;是对拟和优度统计量的影响还是对预测统计量的影响; 等等。一般来讲，对于既定模型，通常总是选择几个有兴趣的统 北方交通大学硕士学位论文 计量( 如回归系数的估计量等等) ， 然后考察数据点对它们的影响。 其次， 必须确定“ 度量影响的尺度是什么?” 。 为了定量的刻画影 响的大小，迄今为止已提出多种尺度。诸如，残差的尺度，给予 拟和的尺度，基于影响函数的尺度等等。在每一种类型中又可能 有不同的统计量，例如基于影响函数就己 提出多种 “ 距离”来度 量影响， 有c o o k 距离、 修正c o o k 距离、 w e l s c h 一 k u h 距离等等。 如同对待异常点的处理一样，对己判定的强影响点也必须慎 重处置。强影响点通常是数据集中更为重要的数据点，它往往能 提供比一般数据点更多的信息，因此需引起特别注意。还有，强 影响点和异常点是两个不同的概念，它们之间即有一定的联系也 有区别。强影响点可能同时又是异常点也可能不是;反之，异常 点可能同时又是强影响点也可能不是。 1 .3矩阵知识 本文的概念和公式大多以向量和矩阵的形式出现，所以有必 要介绍一些矩阵方面的相关知识。 1 .3 . 1广义逆矩阵 广义逆矩阵是本世纪矩阵理论中的一项极为重要的新发展， 特别自7 0 年代以来， 广义逆矩阵的理论和计算方法的研究取得了 长 足的进展，并在概率统计、数学规划、数值分析、控制论、博 弈论和网络理论等领域得到程度不同的应用。 定义1 对给定的 矩阵次二 . ， 如有矩阵x满足 l i s r e a l 结构模型的 统计诊断问 题 axa =a( 1 . 3 ) 则称x是a的一个 “ 减号逆” ，记为a 一 。 定理1 .1 对于 任意 给定的 矩阵凡，a 一 必 存在。 推 论 1 .1 ( 1 ) 对于 任意 给定 的 矩阵氏 。， 若a 对称 则在 所有a 一 中至少有一个是对称的。 若az 0 ， 则至少有一个a 一 二 0 ; ( 2 ) a - 惟一。a为可逆矩阵，此时a - = a - ; ( 3 ) a - a与a a 一 均为幂等矩阵，且 r k ( a 一 ) 二 r k ( a ) = r k ( a - a ) = r k ( a a 一 ) ; ( 3 )若j ( b ) c m ( a ) ， n ( c ) p ( a t ) ， 则c t a - b 与a - 的 选 择无关。 一般说 来， a的减号逆a 一 不一定只有一个， 粗糙地说，a的 秩越小，a 一 就越多。 定理1 .2 a 一 有下列基本性质 ( 1 ) 侧一 ) 为a 的 一 个 广 义 逆， 特 别 地， 若a = a t ， 则叼一 ) 为a的一个广义逆; ( 2 ) 若p ，q 均为可逆方阵， 则( p b q ) 一 ( ) - b - p - 1 ， 从而 有 b 一 q ( p b q ) 一 p。 定 理1 .3 a 侧 t a ) - 川a 一 a ， a a 扭 切 ) - a 一 a t 。 北方交通大学硕十学位论文 定 理1 .4若记 弓= a 叼t a ) - a r ， 则弓与叼t a ) 一 的 选 取 无关 且p a 对称、 幂等。 下面我们来推导在本文中起重要作用的任意两矩阵之差的广 义逆公式: 引理 1 对于分块矩阵a= 当a 0 时有下式成 、.声厂 人人 ( a , ， 一 a 12 a 2 2 a 2 , ) 一 a + aa , 2 ( a 二一 a 2 , a ,l a i2 ) 一 a 2 , a ,i 一 a , i a , 2 x 2 n 一 x i z a 2 ,a ii ( 1 .4 ) 其中x 2 x ,2 满 足a u x ,2 ( a , , - a 2, a i ,a ,2 ) 一 。 ，( 1 .5 ) 叼2 2 一 a 2 , a , , a , 2 ) x , ,a l , = 0 。( 1 .6 ) 证明:当a二 0 时，由于a= l l，分块后得 二a =l艺二 利用 a i i a h a , 2 一 l ,l , ( l , l , ) 一 l il , 一 l ; l , 一 a t 2 ， a 2 ,a i-i a , ， 一 l l . ( l i l .2) 一 l ,l ， 一 乓l ， 一 a 2 1 类似的有 a 2 2 a 2 2 a 2 , = a 2 , ，a 1 2 a 2 2 a 2 2 = a 1 2 因此 i 一 a 2 , a 八o)(a ,n a ,2 1(ii a 2 a 22/ii0 一 a 舀 a 1 2 i 0 a 2 : 一 a 2 1 a 八 a , 2 街0 了产!、 l i s r e a l结构模型的统计诊断问题 由分块矩阵求逆公式得 + 几o ( a a u ) 一( 一 “ ,1 a , 气 a 2 , a 22欠 2 x 2 ， 一 x , 2 a 2 ,a u x2 , 了 - n a 了日、 一 b 、，.月.犷了 a ,-1 人2 一i 其中b = a 2 2 一 儿, a减 2 戈2 1 x 2 ， 只要满足 人, x , 2 b= 0 ， 类似地有 b x 2 , a 二 0 。 + 、，.产. y 1 2 a -2 2 一 a 2 a, y , : 一 y 2 a m a -2 2 i五 产仁、 一 d 、，月.，了 a 2 2 a , ( a lla 21 ( - i a 12 a 22 其中d一 a , ， 一 式 a2 凡， ， y 2 1 y , 只要 满足 a 2 2 矶 , d二 0 ，d y 2 a 2 2 = 0 。 比较这两个不同表达式的左上角子块，就得 (a ,: 一 人 2, ) _a ,2a 22 a+ a 一 a ,2 x 22 一 “ a ,2 y a 2,a ,i 一 aa , 2 x 2 】 一 x 1 2 a 2 ,a , i 只要x 2 , i x ,2 满 足 ax , 2 ( a 2 : 一 a 2 , aa u ) = 0 ，( a 2 : 一 a 2 , aa , 2 ) x 2 ,a , ， 一 0 。 定理 l s 任意两矩阵b，c的差的广义逆为 ( b 一 c ) 一 b 一 + b - c ( c一 :b - c ) 一 c b - 证明: c 1 . 7 北方交通大学硕士学位论文 很 明 显， 式 ( 1 .4 ) 中 取x , ， 二 0 ，x 12 一 0 是 可以 的， 这 样 就 化简为 叼1 t 一 a t 2 a 2 2 a 2 1 ) 令a te = a 2 , = a 2 2 ， = a v + a li a 1 2 州z : 一 a 2 , a ii a i 2 ) 一 a 2 ,a u 则可化为 ( a , ， 一 a ,2 ) 一 a p t 十 aa 2 2 ( a 2 2 一 a 2 2 a t, a 2 2 ) a 2 z a 这样我们就可以得出任意两矩阵b, c的差的广义逆 (b 一 c y 一 b 一 ， b - c (c 一 c b - c y c b - 显然，上式并不是b一 c的广义逆的全体，但它是b一 c的广 义逆，当我们只需要b一 c的一个任意广义逆时，有这个表达式 就很方便了。 1 .3 .2二次投影公式 设x为n x p 阶矩阵，其列向 量在欧式空间r 中生成的线性 空间记 为if ( x ) 。 qj ( x ) 空 间 上的 正 交 投 影阵( 简 称 投 影阵) 一记 为 弓。qi ( x ) 的 正 交 补空 间 上 的 投影 阵 记 为q x 。 正 交 投 影阵p x 满 足 卜 列关系 形二 p x 一 p x 二 x ( x x ) - x t , ( 1 .8 ) q x二 1 一 凡。( 1 ,9 ) 其中口t x ) 一 表 示( x 下 x ) 的 广 义 逆。 二 次 投 影 公 式设 ， x p 阶 矩 阵 x 可 分 块 为 x= 扭t, x 2 ) ， 则 l i s r e a l 结构模型的统计诊断问 题 影 阵p x 可 表 示为 p x 一 凡+ p q , x= 凡十 几- x , ) x , ( i . 1 0 ) 这 个公 式 表 示， 在 线 性 空 间qj ( x ) 上的 投影 可以 分 成 两次 来 进 行: 首 先 求 出 在 t ( x , ) 上 的 投 影 ， 然 后 再 求 其 正 交 补 q x , x 2 生 成 的 空 间中的投影。 今考虑回归分析中常用的投影阵，考虑线性回归模型 y ; r x ; fl + s , , a i - n ( o , a 2 ) ， i 一 1 ,2 , . . . , n . ( 1 .1 1 ) 、 = , x =, ， 二 ， x 、 _: 少 ， 。 一 (p . , p 。二 ， o n -, j . 其中 y 为因 变 量， x i 为自 变量， 。 ， 为 随 机误 差。 其 第i 组 观 察 值 为 卜 ; x i. , ， x iy ) 通 常 可 表 示 矩 阵 形 式 如 下 y 一 邓 十 ，: - n ( o , c 2 7 ) 。 其中， y 二4 y r , j3 c , ， ， y rz y , 。 一 ( ， : ， ) p p a ) ， x 为 二 、 ， 阶 列 满 秩 矩 阵 ， 其 第 ， 行 为 记 模 型 ( 1 . 1 1 ) 式中月 和a 2 的 估计 分 别为户 和 引 46 一 (13 11 , (l , x -, ， d之 。 在模型 ( 1 . 1 1 ) 式中，x的 投影阵常 一e 为p ， 并记q一 i 一 p q 山 于p 作 甩 到y 上 得 到 逆 和 值犷 二 p y , 因 此 这 种 特 定的 投 影 阵 也 北方交通大学硕十学位论文 称为帽子矩阵。帽子矩阵有许多特殊的性质，在介绍这些性质之 前先引进若干记号。 在( 1 . 1 1 ) 式中， 我 们假定x为 列满秩矩阵。 把x的列向 量记 20 吸犷户p-1 x 气 为1 一 ( 1 , x ， 一 位 ， 二 .， 如下 1 了 , x ，x o _ y e x的 各 行 组 成 的 向 量 记 为 二 1 ,，n 。 矩阵x可写成分块形式 x = ( 1 , x ) , x二 由于君= 乌 一 ， 一 1 丫， 因 此 由 二 次 投 影 公 式( 1 .1 0 ) 可知，帽子矩阵即x产生的投影阵尸可表示为 (l.1l) ” 一 资 + x (x x )一x t ， 其中 j二 1 1 ， x 。 一 (i 一 与) x 。 n 对 ) 是 否 为异常 点等 价于 检 验如下 假 设 h : r l 二 q “方 :n ; q a 更一般地，考虑同时检验多个异常点的均值漂移模型 y. x ， 二 n x (p + k )y ( f + k )x p + d n . (d ,x p + e ,， 其寸 ， l j s r e a l 结 构模型的统计诊 断问 题 中 为i x p 阶 扰动 矩阵， d 一 恤 。 ， ， d ir ) 为。 x 1 矩阵， d i， 一 (0 ， 一 ， 0 , 1 , 0 , ， o y ， i 一 卜，la第 i， 个 分 量 为 1 , 其他均为零。 判断指标属于j 的1 个数据点是否同时为异常点的问题， 等价 与检验假设 h (, :4)二 0 ，鱿:(d;- 0 。 八屹 ，临67 及22 e 设 模 型 ( a .$ ) 式 相 应的 最 小 二 乘 估 计 为y a 、 犷、 ，则有如下定理， 定 理2 .2 模 型 仁5 ) 式 相 应的 最小 二 乘 估计 满 足 y 。 一 y 一 w5 ) 一 g t 4 t , r 一 ( d i q d i ， e 。 一 e 一 q d i ( d it q d ) 一 e i ， r s s q 二 r s s 一 e i ( d it q d i ) e i ， ， ， ， ， :e ? d q d ) 一 e . v一 v 一 互 止 二 遥二 二 i l _ n 一 p一 k 了丫 了甘月，、 d 证明: y 二 y + d ir ) r + e 一 低 十e ( i ,乓 d , )1 二 p y 由_ 次投影公式知 北方交通大学硕士学位论文 8)哟 (2仁 p 一 p 4 , , , 二 p + p , i 一 p + q d , (d q d r ) - d i q q 一 i 一 p 二 i 一 p 一 q d j 衅q d , ) 一 d f q = q 一 q d j ( d i q d i ) 一 d it q %(4 ( 2 .9 ) 和 ( 2 .8 ) 两 式 代入 ( 2 .7 ) 式 右 端 可 得 p y 一 尸 y 十 q d i ( d i q d i ) 一 可 q y 一 p y 一 p d i ( d it q d i ) 一 可 q y + d ; ( d 了 q d j ) 一 叮 q y 二 ( t o-q t y 一 ( t ) 一 t d) 一 d+ d ; ( d it q d i ) 一 dq y 二 。 ( t ) 一 5 t y 一 (j ts ) 一 v d i 可知 i ( d r q d i ) 一 d i q y (d i q d i) 一 、 it q y + d i ( d i q d ; ) 一 可q y ,. 二 ( dq d i ) 一 d i q y 二 ( d = q d i ) 一 e ; 从而己知 y 。 二 r 一 w ) 一 t d i ( d i q d i ) 一 d i q y _ y 一 ( t s ) r n r ， r s s 。 二 y 1 q y 二 y t q y 一 y q d ; (d i q d i ) 一 d it q y 二 r s ， 一,e i ( d ir q d i ) 一 e ; ， v 2 二r s s _ 一 r s s n 一 p一 k n 一 f一 k _ r (d : q d i e : 二 v 2 e z ( d i q d i ) 一 e i n 一 p一 k 一一 一， n 一 p一 k e . 二 q y 二 q y 一 q d i ( d i q d i ) - d it q y 二 e 一 q d i ( d it q d i ) 一 j i 。 2 1 l i s r e a l 结构模型的统计诊断问题 第三章 影响分析 3 . 1 样本影响函数 影响函数概念的来源可追溯到v o n m is e s 在四十年代的研究 t 作 2 1 , 1 9 7 4 年h a m p e l 2 2 使 用 影响 函 数 并 引 进 崩 溃 点 的 概 念 给稳健性以精确的描述，取得很大的成功。1 9 8 0年 c o o k和 w e i s b e r g在文献 2 3 中 利用影响函 数 来检查 样 本点 对估计量的 影响，本章中我们将先定义多元结构模型的影响函数，然后利用 其检查样本点对模型 ( 2 .2 )的估计量的影响。 3 . 1 . 1影响函数的定义及其样本形式 设x. . . , x 。 为来n 母体分布函 数为f ( x ) ( c e r ) 的 独立同 分 布 样 本 ， t一 t x , ，x ) 为 k 为 向 量 值 统 计 量 ， 当 t 的 函 数 形式给定以 后， 它的分布将山f ( x ) 唯一确定。 现假定f ( x ) 受到一 个扰 动 而变化为g ( x ) ， 则相 应于t的 分 布 也 将产 生 变化， 希望 通 过 研究t与 扰 动a f ( x ) 一 g ( x ) - f ( x ) 之间 的 相 互依 赖 关系 来 考察 t的 性质。 为此将所有感兴趣的分布函数集中在一起组成一个分布函数 族f , 设f 为全体分布函数空间中的一个凸子集d 包含所有的退化 分 布 ， 当 然 要 求 所 考 虑 的 母 体 分 布 函 数f ( x ) e f 。 又 设 欢为 基 于 样本 x . . . . . . x 。 的 经 验 分 布函 数， 它 可 表 示 为 f (x ) 一 1 x s ;(x ) , x e r ( 3 . 1 ) 北方交通大学硕士学位论文 s i ( x ) = : 土 式中 x 及诸x 、 均为m 由 ( 3 . 1 ) 式立即可得 吐出提 其注 f (x ) 一 (i 一 1 )f _, (x ) + - s (x ) 。( 3 . 2 ) 下面给出影响函数的定义， 定义3 . 1设t 为从f 映射到r k 上的向量值泛函， 假定涉及到 的 极 限 存 在 ， 则 t 在f 的 影 响 函 数 i f 伍 t , f逐 点 定 义 为 if (z ; t , f ) 一 lim- u+ t (1 一 ) 二 + e 6 j - t ( f ) (3 .3 ) 其中 、 ， 、 i , u : z v 八u ) 嘴 、w . l u ， 升 匕。 若上述极限不存在，则t 在f的影响函数不存在。 定 义3 .2统计 泛函t 关于 样本x ; ， 二 ， x 。 的 经验影响函 数定义 为 e if (z ; : ， f ) 一 jim 1 (i 一 : )f ， e s _ i- t ( f? )1 , : 二 二。 七 一u 个e -一扣 尽管e l l有着很好的大样本性质，但是为了求出这些量仍需 要一个极限过程，在使用上还是不太方便。我们希望能够直接山 样本 x : ， ， 二 ， x ， 出 发， 构 造与 影 响 函 数i f 类 似的 度 量， 并 希 望能 直 接 刻 画 删 除 第 i 个 数 据 点 所 产 生 的 影 响 。 l j ( 1 2 ) 式 类 似 ， f 与 f ( i) 之间有如下的关系 f ( i ) 二(1 + 一 与f - n一7 s ; ， ( 4 ) l i s r e a l 结构模型的统计诊断问 题 其 中6 ; 为 质 量 集中 在 点戈 的 单 点 分布 函 数。 定义 3 。统计泛函t 相对于第i 个数据点的样本影响函 数定 义为 s if . 一 (n 一 1)t (f (i) 一 t (p ) i i ， 一 1, 2 , ， 一 ， n 。(3 .5 ) 3 . 1 .2结构方程式模型的样本影响函数 现 考虑模型 ( 2 .2 ) 式， 寻 求l s 估 计y 的 影响函 数及其 样本形式。 按照上一小节的讨论，首先需要构造适当的泛函t，使得 t ( f ) = y 一般地，线性回归模型是用来描述因变量夕与自变量 i . i 氛* 之间的 线性相关关系， 或说我们希望用 s r ， 一 ， 氛、 的 线性函 数在均方意义下来逼近， 。记 p , = 乞 ， 氛 * ) ， 设 ( 2 p + k ) 维 随 机 向 m u t = ly t , : ) 的 联 合 分布为f，且假定存在二阶知 、卜， e , ( . . t ) v z ( f ) v , ( f ) 、口产、，户 ff 咨乎.、厂、 科代 zr盈.，.，、 -一 飞、.1于护 勿尹 髯t y 了! f e 目 其 中 ， 气 ( f ) 均 视 为 关 于 f 的 泛函 ( p + k ) x ( p + k ) 矩 阵 v i r ( f ) 为 畜 的 协 方 差 阵 ， y 2 2 ( f ) 为 y 的 方 差 ， 且 v , ( f ) r 0 . g z 2 ( f ) - o o 现假定己获得。的n个样本ul ，一 ，。 。，其中 u二 停， ， 力 ， 设 基 于 此 样 本 的 经 验 分 布 函 数 为 户 。 当 允 许 对 歹 进 行设 计时 ， 我 们往 往 将其 样 本含 1 ， 二 ， 5看 成固 定的 向 量 而建 立 模 型 2 .2 式 。 此 时 ， 夸 一 t r. ， 氛ts r y 一 (y r . ， v n ) ， 则 北方交通大学硕士学位论文 回 归 系 数y 的l s 估计 为p 然地取为 二 烤 1 夸 ) 一 夸 r y与 y 相应的 统计泛函可自 t ( f ) 二 v i i ( f ) v s 护) 记 f (u ) 一 生 双7 . ru ) ， ll g r 2p+k 2 , 当。 a “ 、 ， o l 其它 l t 6 r t a k 砂.j毖亚、 尝 、.j 伪 占 氏 办 l， f z i o , 其它 xgrp k /， 一 犷 25 y z y, .o,a l y ex 0 显然 a ; ( u ) 二 占 传) 吞 ， ( 夕 ) 。 在以_ 上记号下，有 j i t ( ) = 声 d t - (. ) -多 声讯 和 ， 一 i -.d,$,(f )f d,y ) ( 3 .6 ) r同定理2 . 1 中规定。 3 .2 wi l k s 准则 对于向 量值影响函数， 例如! f ( a ) ，如何用它来探查强影响 点?通常的做法就是寻找影响函数的适当的模，将向量映射为数 量，再根据模的大小来加以判断。s . wi l k s 给出了一种对一组向 量排序的准则，通常称之为 w i l k s 准则，它可用来识别多元数据 中的异常点 下 面我们就模型( 2 .2 ) 式给出wi l k s 准则的 相应结论。 设v一 酬= ( v 几x ;勺( i = 1 , . . . , n ) 为n 个( p + k ) 维向 量，记 、 一 n _( v ， 。 一 客 (v ; 一 、 1 一 v )l , ( 3 . 7 ) u v和洲 1一n-1 一- 一 9 00， 一 u ( z ) ) 、，月尹1 朴妙“、 一u见 若i ( 1 5 1 n ) 使得 北方交通大学硕十学位论文 iq ( i ) i q ( 3 . 8 ) .m驯 m执 -一 “、一9 9一! 则 认 为 v ;。 为 最 可 能 的 异 常 点 。 e i3 ( 3 .7 ) 式可得 u (i) 二 、 + 兴(v 一 。 ) 了 ju月ij 。 (，卜 万 !(u 一 二 卜 共(v ; 和一 u n一1 尹忆w 户几. ju月jj 一u - 一 7 (v ， 一 v x v ， 一 v、 n一1 (v ， 一 v x v ， 一 v y 少 ，艺 + 兴y (v 、 一 二 k u 一 二 )t 、 n一i 份 兴又 (v ! n一1 节 一 二 11v 、 一 v =q 一典 月一 t ( v一 v ) ( u ， 一 v ) t 山代数公式得 于是 一 ，叶一 nn - 1 : 一 v ) t。 一(v i一 可 一 ， 一 n ( ;un - 1一 v ) , 。 一(v , 一 u ) o 叫阳 因 此， w i l k s 准则等价于: 取i ,. 使得 v ; 一 v ) t q 一 ，(v - - u ) 一 m a (l ;1,sn一 d t 0 一扣一 v ) a ( 3 . 9 ) 记 iq( i ) i n; =二 一升 i训 一( v一 u ) 1 。 一 和 ， 一 刃。 ( 3 . 1 0 ) 2 7 l i s r e a l 结构模型的统计诊断问题 其中 ， a , 称为 第l 个 数 据点 的 广 义 方 差比 ， 扭一 i ) 瑟称为 第2 个 数 据点的ma h a l a n o b i s 广义距离。 使用 wi l k s准则来探查数据中关于某一项量参数的强影响 点，对选定的某一样本影响度量，经计算可得到它在n 个数据点 的 取值， 利用( 3 .9 ) 式即 可找 到 这个向 量中的 异 常向 量。 从而可认 为该异常向量所对应的数据点为关于此向量参数的强影响点。在 随后的例子中我们将作具体的解释。 3 .3 例题:分析鼻炎患者生存质量的影响因素 患者的生存质量受病情、手术方式、用药程度和治愈时间等 因子的影响，可以通过检查等手段获得患者的各项数据，但那些 对生存质量起支配作用的因子的状态不能直接测定到。义如，考 虑生理指标: 呼吸情况、 睡眠状况及头痛情况， 从生理知识知道， 这五项是受植物神经支配的，而这些神经的状态也不能直接测定 出来。因子分析就是要找出某个问题中可直接测量的具有一定相 关性的诸指标，如何受少数儿个在专业上有意义、又不可直接测 量到、且相对独立的因子支配的规律，从而可用诸指标的测量值 来间接确定诸因子的状态。同时，l i s r e l线性结构方程式模型 是分析不可直接测量的因素之间的关系。因此将因子分析与 l i s r e l 模型相结合是合理、 适用、且方便的。 1 . 调查与分析: 选择衡水市枣强县医院2 0 0 1 年上半年就诊的鼻炎患者共 6 0 例作为调查对象， 调查项目分为只部分( 数据见附表) : 反映调查 对象的基本情况、 病情和治疗情况的指标 1 4 项; 反映调查对象的 精神、心理状态及一些机体功能的指标共1 0 项。 北方交通大学硕士学位论文 首先创建包含分析数据的数据集，它有6 0 个观测、2 4 个变 量，其2 4 个变量名意义如下表: 变量名及意义 变量名意义变量名意义 年龄 性别 ( 男， x 2 =1 汝， x 2 = 2 7 锻炼身体 增加营养 文化程度 睡眠情况 发病时年龄呼吸情况 戈凡戈从 x ，发 现病情时的 状况 x ,是否 侵犯其它器官 头痛情况 记忆能力 x,出现症状到确诊间隔时间逻辑思维能力 x 。中 医 治 疗效 果 x 。手 术 方 式 情绪 疾病恐惧感 xxk砚叽乙犯x匕r89 、iix长 x i o使 用 消 炎 药 程 度 x 1 ,治 愈时间 精神痛苦感 治疗疾病的信心 x 1 2治 疗总费 用 y，对治疗的态度 2因子分析 对反映患者基本情况、 病情和治疗情况的1 4 个变量值进行主 成分因子分析，从而可知相关阵大于等于1 的特征值有四个，它 l i s r e a l结构模型的统计诊断问题 们一起解释了总信息的7 0 .5 4 %，从 1 4 个变量中可提取出四个公 因普 1 ， 夸 2 ， 参 3 ， 占 4 。 这四 个公因 子在1 4 个变 量上的因 子负 荷见下表