（凝聚态物理专业论文）二粒子和三粒子纠缠态的控制隐形传态研究.pdf

华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 i摘摘 要要 量子信息学是由量子力学和信息科学相结合而形成的一门新兴学科，主要包括量子通信和量子计算两个方面。在量子信息学中，量子纠缠态是其最基本的要素，而以它为基础的一些研究方向如量子隐形传态已取得了重要的突破。量子隐形传态构成了量子通讯和量子计算的重要内容，对量子隐形传态的深入研究将对量子信息学的基本原理和未来信息通信产生深远的影响，并将进一步揭示出量子力学的物理内涵。 本文运用纠缠态和量子信息，研究了隐形传态和控制隐形传态，把一种有别于ghz 态和 w 态的三体纠缠态作为量子信道，经过计算发现：这种三体纠缠态也能作为二粒子一般态的隐形传态中作为量子信道，实现隐形传态。 论文后面部分研究控制隐形传态。在二粒子一般态的控制隐形传输中，构建一个最大 epr 态和一个最大四粒子纠缠态并以此为量子信道，结果发现也能实现控制隐形传输。在二粒子一般态的两人控制的控制隐形传输方案也作了讨论：当两个控制方都合作时，接收方完全可以获得发送方所传送的量子态；当有一方不合作或两方都不合作时，接收方获得发送方要传的量子态的保真度与未知量子态的系数有关；当发送方所传输的量子态是二粒子的最大纠缠态时，不管控制方是否参与合作，接收方都能以 100%的概率获得发送方传输的量子态。这和其它方案的结果是不同的。 我们还讨论了有 n 个控制方参与的情况下三粒子一般态的控制隐形传态，计算了接收方获得发送方要传的量子态的保真度与未知量子态的系数之间得关系，得出了和以其他纠缠态作为量子信道时不同的结论。 关键词关键词: 纠缠态 隐形传态 控制隐形传态 量子信道 保真度 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 iiabstract the quantum information science is an emerging subject，combined by the quantum mechanics and the information science. it includes the quantum communication and the quantum computation. in the quantum information science, the quantum entanglement is essential. based on it, some area such as the quantum teleportation has been obtained important breakthrough. the quantum teleportation constituted the important content of the quantum communication and the quantum computation. deep researches on the quantum teleportation will profoundly influence on the basic principle of the quantum information and on the future of quantum information communication, and will further reveal the physics connotation of the quantum mechanics. in this thesis, by using the quantum entanglement and the quantum information, some computations on the teleportation and the controlled teleportation were performed. a new kind of three-particle entanglement that different from the ghz state and w state was chose as the quantum channel in the teleportation. through our computation, it could also achieve the teleportation of two-particle general state with the three-particle entanglement as the quantum channel. our attention was on the controlled teleportation. the controlled teleportation of two-particle general state with one largest epr state and one largest w state as the quantum channels was obtained, and with two controllers. the receiver could receive the two-particle general state entirely when two controllers cooperated. calculated the fidelity of the receiver received quantum state, when one or two controllers did not cooperate. the relation between the fidelity and the coefficient of the quantum state, regardless of the controllers whether or not to participate was obtained. the receiver could obtain the quantum state of the sender with 100% of the probability. this result was different from that of other authors. in the last part of this thesis, the controlled teleportation of three-particle general state with n controllers was discussed. if some controllers did not cooperate, calculated the relation between the fidelity and the coefficient of the quantum state, a result different from other entanglement as quantum channel was obtained. keywords: entanglement，teleportation，controlled teleportation， quantum channel，fidelity 独创性声明独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到，本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 日期： 年 月 日 学位论文版权使用授权书学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权华中科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密 ，在_ _年解密后适用本授权书。 不保密。 （请在以上方框内打“”） 学位论文作者签名： 指导教师签名： 日期： 年 月 日 日期： 年 月 日 本论文属于 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 11 绪绪 论论 1.1 量子信息科学的研究背景量子信息科学的研究背景 对信息需求日益增加，促使人们不断地致力于信息技术的更新和发展。今天，信息科学在推动社会文明进步和提高人类生活质量方面发挥着令人惊叹的作用。随着人们对信息需求的日益增加，人们也在不断地推进信息技术的发展，但是现有信息系统的功能已接近于极限值。电子计算机在过去30年中，每个芯片上集成的晶体管数目随时间呈指数增长，这个被称为摩尔定律的经验法则预示着，10多年以后计算机存储单元将是单个原子，电子在电路中的行为将不再服从经典力学规律，取而代之的是量子力学规律。于是就提出了量子效应究竟会对计算机的发展产生什么样影响的问题。 量子力学与信息科学的结合诞生了一门新的科学量子信息科学1， 所谓量子信息科学，实质上就是研究用量子态编码信息、进行信息处理、传输的理论与技术。信息的单元由经典比特扩展到量子比特，信息的发展从遵守经典信息处理理论演变到遵从薛定鄂方程的量子理论，信息的传输是量子态在量子通道中的传送，信息处理是量子态的么正变换，信息的提取是对量子系统实行的量子测量，所以量子信息具有经典信息所没有的许多新特征和许多优势。随着科技的发展，量子信息科学为信息科学的发展开创了新的原理和方法， 其在信息传输、 处理方面独有的巨大优势 ，将在21世纪发挥出巨大潜力。 近年来，随着量子信息学的蓬勃发展，量子纠缠得到了广泛的应用，诸如应用于量子密钥分配1-6、量子密集编码7-9、量子隐形传态10-21等。而且，量子纠缠态在信息领域中具有的独特功能，在提高运算速度、确保信息安全、增大信息容量和提高检测精度等方面可能突破现有的经典信息系统的极限。从基础理论上说，信息归根结底是编码在物理系统态中的东西，从物理角度看，信息源于物理态在时空中的变化，信息传输是编码量子态的传输，信息处理是计算机的物理系统态的有控制演 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 2化，信息的提取则是对编码量子态的测量，因此，量子信息科学的深入发展需要基础物理理论的指导。 1.2 隐形传态的研究背景隐形传态的研究背景 隐形传态是量子信息科学一个重要方面， 正引起越来越多的关注。 1993年bennett等人提出的分离变量的量子隐形传态方面的核心是巧妙地利用了纠缠态所体现的非局域关联特性， 并借助于一个辅助的经典通道，实现了量子态的隐形传递，bennett等人25的开创性论文发表之后，关于量子隐形传态的各种方案相继出现。1994 年， davidovich. l等人提出基于bell 基联合测量的量子态传送方案22，2000年，李万里、李传锋和郭光23灿等利用非最大纠缠态作为量子通道，理论上给出了一种途径来实现单粒子量子态的概率隐形传送，在传送过程中，发送者作一个满足纠缠匹配的测量，就会以最大的成功概率进行隐形传送。2002 年，叶柳和郭光灿等提出用非局域测量实现量子态的隐形传送方案23。在隐形传态中量子纠缠态的非定域性起着至关重要的作用。量子纠缠态可以说是量子信息科学最核心部分，几乎所有的量子信息传输、处理过程都与其有关。 在 2000 年，zhou 等人提出了控制的量子态隐形传态方案，这是对隐形传态的推广，在控制隐形传态中作者引入了第三方控制方，在控制隐形传态中作为控制者参与控制隐形传输， 其后越来越多的学者关注这方面的研究， 做了大量的工作。邓等39在二粒子一般态的控制隐形传输中构建了两个 ghz 态， 其中的控制粒子分别在每 ghz 态中。杨和韩等40，41在控制隐形传输中，构建了一个复杂的 epr-ghz 态。在上面这两个文献中，alice 即作为发送方，同时也作为控制方，alice 扮演着双重身份参与控制隐形传输，在量子信息的应用中，控制隐形传态可以在量子通信尤其在量子信息共享方面得到具体的应用。具有很高得研究价值。 在实验方面，1997年，奥地利zeilinger小组25首次报道了成功地将一个量子态从甲地的光子传送到乙地的光子上。此项研究成果轰动了学术界，这是国际上首次在实验上成功地将一个量子态从甲地的光子传送到乙地的光子上。而且传输的只是表 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 3达量子信息的“状态”，而作为信息载体的光子本身并不被传输。这是隐形传态研究从理论到实验所迈进的重要一步。紧接着，意大利学者于1998年初上报道了另一个成功的量子隐形传态实验结果26，近年来已有多个小组在实验上实现了量子隐形传态。2004年，中国科学技术大学合肥微尺度物质科学国家实验室潘建伟教授等完成的重大研究成果27。在国际上首次通过实验实现了五粒子纠缠态以及终端开放的量子隐形传输。可以看出我国在量子信息理论方面的研究已经达到了国际先进水平。 量子隐形传态不仅在物理学领域对人们认识与揭示自然界的规律具有重要意义，而且可以用量子态作为信息载体，通过量子态的传送完成大容量信息的传输，实现原则上不可破译的量子信息保密通信，在未来的量子信息通信中发挥重要的作用。实现信息通信的又一次革命。 量子隐形传态的优点得到越来越多的关注，对隐形传态的广泛研究在理论上有助于增加对量子纠缠态本质的认识。进而量子信息学的发展又直接推动了纠缠态理论的研究与发展，在实际中有助于真正实现量子信息的隐形传输，在未来得量子通信中得到应用。 1.3 本文的工作本文的工作 在第一部分概述了量子信息科学的研究背景，对量子信息科学中的隐形传态的研究背景及发展现状进行了总结。 在第二部分概述了量子信息科学中涉及到隐形传态方面的基本知识，为研究的后两部分主要内容作知识预备。 在第三部分首先介绍了 bennett 的隐形传态方案，对比并总结已有的隐形传态方案， 在已有文献对三体纠缠纯态进行的分类中， 通过比较选择了其中一种有别于 ghz态和 w 态的三体纠缠态作为量子信道资源，经研究发现，也能在隐形传态中作为量子信道，实现隐形传态，这种三体纠缠态在以往从未作为过量子信道，这样我们就发现了一种新的纠缠态作为量子信道资源，有一定的研究价值。 在第四部分重点研究了控制隐形传态， 首先介绍了 zhou 等人提出的控制的量子 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 4态隐形传态方案，对比并总结已有的控制隐形传态方案，很少有文献研究发送方获得量子态的密度矩阵、保真度等方面，对此本文做了以下工作：在二粒子一般态的控制隐形传输的研究中，构建了一个最大 epr 态和一个最大四粒子纠缠态态作为量子信道，计算发现，成功地实现了控制隐形传输，讨论了二粒子一般态的两人控制的控制隐形传输方案中，当有控制方不参与合作时，接收方获得发送方要传的量子态的保真度与二粒子一般态的系数之间的关系，得到以下结果：当两个控制方都合作时，接收方完全可以获得发送方所传送的量子态；当有 1 方不合作、2 方都不合作时，得出保真度与未知量子态的系数有关；当发送方所传输的量子态是二粒子的最大纠缠态时， 不管控制方是否参与合作， 接收方获得发送方所传信息的保真度都为 1，接收方都能以 100%的概率获得发送方待传输的量子态， 这些结果是和已有得结果是不同的。我们还讨论了有 n 个控制方参与的情况下三粒子一般态的控制隐形传态，计算了当有控制方不参与合作时，接收方获得发送方要传的量子态的保真度与未知量子态的系数之间得关系，得出当有任意个控制方不参与合作时，接收方获得发送方所传信息的保真度介于 1/2 和 1 之间。当发送方量子态的系数满足一定的关系时，保真度可以为 1。 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 52 理论基础理论基础 2.1 量子比特量子比特 现有的经典信息以比特作为信息单元。从物理的角度来讲，比特是一个两态系统，它可以制备为两个可识别状态中的一个，如是与非，真或假，0 或 1。 一个比特的信息还可以用光子的两个不同偏振状态或原子的两个不同能级来实现，称之为量子比特，把光子的两个不同偏振状态或原子的两个不同能级记为0或1这两个逻辑态，量子比特是这两个逻辑态的叠加 0101=+， 其中 22011+=， (2.1.1) 以这两个独立态为基矢，张起一个二维复矢量空间，一般地，n 个量子比特的态张起一个2n维hilbert 空间， 通常取2n 个基底态为l， 其中l是一个 n 位二进制数。n 个量子比特的一般态可以表示成为这2n 个基底态的线性叠加。例如，3 个量子比特有8个相互正交的态，它的基底态可以取作: 000 , 001 , 010 011 , 100101 110 111， (2.1.2) 它的一般态为 81lll=， (2.1.3) l就是式(2.1.2)中的8个态之一，l是叠加系数。 在经典信息处理过程中，经典信息的二进制存储单元比特(bit)由经典状态(如电压的高低) 或1和0表示。在选择时，只能选择这两个信息中的任意一个，如果选择代表经典信息的“1” ，那么同时能够选择代表经典信息的“0”的几率就是0，在经典信息处理中，不可能同时处于代表经典信息的“1”和经典信息的“0”的状态。 量子比特与经典比特本质上的不同点在于，除了0和1状态以外，量子比特是 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 6以（2.1.1）式给出的0和1两个状态的任意重叠组合状态。假定0与1是一对任意的满足归一化的复数，则量子比特是(2.1.1)式描述的所有可能的叠加状态。 2.2 量子逻辑门量子逻辑门 量子信息处理是对编码的量子态进行一系列么正演化。即对量子态进行对量子位最基本的么正操作称为量子逻辑门28 (logic gate)。 量子逻辑门28按照它作用的量子位的数目可分为一位门，二位门等。量子逻辑门的操作可以用对量子位的hilbert空间基矢的作用定义， 如果一个么正操作演化基矢态为 00， 1e1i t。 (2.2.1) 这个幺正操作就是一个一位门，记基100 = 011 = 这个门操作就可以用一个 么 正 矩 阵10( )0ipe=表 示 ， 其 中t=。 容 易 验 证( )00p=， ( )11ipe=，所以这个门操作还可以用投影算子形式表示为 ( )001 1ipe=+， (2.2.2) 注意到0 , 1满足正交归一化条件，不难验证： ( )00p=， ( )11ipe=。 (2.2.3) 由于p操作改变两个基底态的相对位相，p门称为位相门。 一个量子位就是 1个二维hilbert空间，物理上可以由一个双态量子系统实现 。 一位门的最一般形式是 auu a， (2.2.4) 其中水平直线表示一个量子位，方框表示一个门运算，方框中表示特定的么正变换。 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 7几个重要的一位门 001 1i =+， (2.2.5) 这是一个恒等操作，矩阵表示为单位矩阵。 1001i=， (2.2.6) 定义非门为 0 11 0x =+， (2.2.7) 它的作用为 0110xx=， (2.2.8) 对应着经典逻辑非门not操作，它的矩阵表示为 0110x=， (2.2.9) 这正是pauli矩阵x，这也是把它记为x的原因。 定义z操作为： 10( )01zp=， (2.2.10) 这正是pauli矩阵z，它的作用是把态0和1的相对位相改变。 定义y操作为: 100101011010yzx=， (2.2.11) 所以y操作可以用矩阵表示为: 00yiyiii=， (2.2.12) 其中y是pauli矩阵。 hadamard门称h门，它实现由单量子位标准基态0和1向纠缠基态的变换 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 81( 01 ) 0( 01 ) 12h =+， (2.2.13) 容易验证 10( 01 )2h=+， 11( 01 )2h=， (2.2.14) 对于两量子位，控制非门简称cn门，只有第一位是1时才改变第二个位 000001 0110 1111 10cn =+， (2.2.15) 其中第一位为控制位，第二位为目标位;它前面两项作用是:当控制位为0，则目标位不变; 它后面两项的作用是:当控制位为1，则目标位改变，在矩阵形式下，cn门为 1000010000010010cn=， (2.2.16) 例如控制非门的作用是 0000 ， 0101， 1011 ， 1111。 (2.2.17) h门和cn门的联合作用称hadamard变换， 它将两量子位标准基00 , 01 , 10和11变换为两量子位的最大纠缠正交基，称bell基，用和表示 100( 0010 )2h=+， 101( 0111 )2h=+， 110( 0010 )2h=， 111( 0111 )2h=。 (2.2.18) 11( 0010 )( 0011 )22cn+=+=， 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 911( 0111 )( 0110 )22cn+=+=， 11( 0010 )( 0011 )22cn=， 11( 0111 )( 0110 )22cn=。 （2.2.19） hadamard变换逆变换是先作用cn门，再作用h门，可将bell基变回到两量子位标准基00、01、10和11。由此可见，利用hadamard变换可创造或解除纠缠， 这在量子信息中有着广泛的应用。 2.3 贝尔基态贝尔基态 1935年 einstein，podolsky，rosen发表了一篇简短而又很重要的文29章，其本意是企图证明量子力学是不完备的。爱因斯坦等人认为量子力学只给微观客体以统计性描述是不完备，因为这样的描述不能解释微观粒子的某些行为。玻姆认为有必要引入一些附加变量对微观客体作进一步的描述，因此有了隐变量理论。贝尔源于隐变量理论推出了这个著名的不等式。由于贝尔不等式与量子力学的预言不相符，因此人们有可能通过在满足必须的条件下，实验结果是否满足不等式来判定以玻尔为代表的哥本哈根学派对量子力学的解释是否正确，即量子力学是否自洽，本身是否完备。 按照量子力学理论，epr 粒子对作为一个量子系统处于如下的量子态(俗称为epr 态) 1( , )( 0110)2ababa b=， (2.3.1) 式中0a代表粒子a 自旋向上的本征态，其余符号的含义类推。这实际上就是一种量子纠缠态。对处于态(2.3.1)的体系单独地预言粒子a(或b) 测得自旋向上(或向下) 的几率为1/ 2， 但一旦测得粒子a 的自旋向上(或向下)， 则粒子b 的自旋必定向下(或向上)。不管两个粒子相距多远，它们都处于这种相互关联状态，这就是量子力学的 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 10非局域性效应( non - local effect)。许多实验证实，非局域性效应是量子力学的基本特性。爱因斯坦等人对量子力学理论的责疑虽然被否定，但是上述非局域性效应却是他们根据量子力学原理在epr 实验中揭示出来的，因此人们又称之为epr 效应。用于判断爱因斯坦局域性理论是否正确的最主要根据乃是由隐参数理论推导出来的bell不等式。 bell不等式大致给出这样的一个事实： 假设两个观察者a和b分别对光子对的个别光子做偏振测量， 两人可以任意选择各种不同的测量基底， 假设a选了a和a两种基底，而b选b和b。用(a,b)e代表当a用基底而b用基底时，在他们重复多次同样的实验后，统计的结果“平行”与“垂直”的两种几率差，那么经典的理论预测总是有以下的不等式 2(a,b)(a,b )(a ,b)(a ,b )2eeee +， (2.3.2) 这就是贝尔不等式。 用某个算符b(称为贝尔算符)在一定量子态上的平均值将贝尔不等式表示成 22b 。贝尔算符的全套本征态称为贝尔基态。贝尔基态由四个态矢组成 0010100000111110002222011 + =+= ， 010001010110111,0112222000 + =+= 1010100000111110002222011 = ， 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 111100110001101110112222000 =+= 。 (2.3.3) 贝尔基态也可以写成下列形式 ( )( 0110 )1( 0110 )22= 0111(,)， ( )( 0011 )1( 0011 )22= 0010(,)。 (2.3.4) 2.4 量子纠缠态的基本概念量子纠缠态的基本概念 量子纠缠现象是量子理论最重要的特性之一，是量子力学不同于经典物理最重要的特征，量子力学描述世界中的许多奇妙和有争论性的问题都是出于纠缠的存在。由量子力学描述的微观世界表现出诸多令人惊奇的现象，他们与人们的直觉不相吻合，这促使人们从另一个角度看待微观世界，也提示人们全面地审视量子理论，探究其基本概念和逻辑结构的自洽与完备。量子纠缠是量子力学的必然结果，也是量子力学最重要的特征之一。“纠缠”这一名词的提出可以追溯到量子力学诞生之初，纠缠最显著的特征就在于它的非局域性，这些现象包括著名的epr佯谬。从历史上讲，纠缠态的概念最早是薛定谔猫态一文中提出来的。1935年薛定愕提出了一个假想实验：对波函数的统计诠释提出责难，在他的理想实验中，一只猫被关在笼子里，笼子里放一个毒药瓶，瓶的开关由一个放射性装置控制。设想放射源在每一秒内有1/2的几率放出一个粒子，这个粒子又通过一些转动装置将毒药瓶打开，毒药一被释放，猫就立刻被毒死，而如果没有放出粒子猫就一直活着。薛定谔用下列波函数来描述猫和原子这个复合系统 ba= +活猫死猫， 22ab1+=。 (2.4.1) 根据哥本哈根学派的解释:2a 表示原子处于激发态而猫是活着的概率，2b表示原子处于基态而猫是死的概率。在这个假想实验中，关上笼子后，在没有打开笼子之前 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 12猫处于 1/2几率活着，1/2几率死了的状态，一旦打开笼子，我们只可能会看到一种状态，猫要么活着要么死了，量子力学告诉我们曾经在测量后所处的态取决于我们的“观察”，这样猫的生死不是依赖于打开笼子前的“客观存在”而是依赖于我们的“观察”，因此量子力学的统计论释是有悖于日常生活经验，难以接受的。同年 einstein podolsky和 rosen一起提出epr佯谬，epr认为，作为一个完备的理论，每一个实在的成分都必须能够从中找出它的对应成分，判定一个物理量的实在的充要条件是，在不扰动系统的情况下能对其做出确定性的预言。 爱因斯坦等人在 epr文章中提出如下一个量子态 12120( ,)exp i/ ( -)p dpx xx xx+=+rrrrr rrh， (2.4.2) 其中1xr，和2xr分别代表两个粒子的坐标，于是我们可以定义纠缠态如下 当两个子系构成的复台系统处于纯态，若的对偶基展开中含有两项或两项以上因子(即描述子系的密度算子有2个或2个以上的非零本征值)，则称是一个纠缠态。如果展开式项数等于1，即 1212( ,)() ()x xxx=rrrr， (2.4.3) 就称是非纠缠的(或可分离的)。非纠缠态是两个子系的纯态的直积。所以反过来也可以定义纠缠态为：复合系统的一个纯态，如果不能写成两子系纯态的直积态，这个态就是一个纠缠态。这一定义可以推广到混合态情况。两个子系构成的复合系统的混台态是纠缠态，当且仅当它不能表示成这样的一个量子态不能写成两个子系统态的直积形式 1212( ,)() ()x xxxrrrr， (2.4.4) 后来薛定鄂将这样的量子态称为纠缠态。 即在任何表象中， 都无法写成各自由度 (或单粒子)的量子态的直积形式的量子态。 2.5 多体纠缠多体纠缠 同样对于一个由 n个子系统构成的复合系统，如果系统的密度矩阵不能写成各 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 13个子系统的密度矩阵的直积的线性和的形式，则这个复合系统就是纠缠的，即： 12.niiiii ， (2.5.1) 这里0,i并且1ii=， 多体纠缠有比两体纠缠更为丰富的内容，对于多体纠缠的研究一直以来吸引了许多学者。三量子比特系统是最简单的多体系统，从历史来看，第一个体现多体纠缠与两体纠缠不同的事实是后来被称为多体最大纠缠态的 ghz 态的发现，greenberg，horne和zeilinger首次由三体 ghz 态独特的纠缠性质证明了“不需要不等式的 bell 定理”，即在单一的测量中可以发现局域现实被破坏，而以前对此类现象的研究要借助于系统的bell不等式，下面我们着重讨论三体纠缠态。 许多学者对三粒子纠缠的度量、 分类和特性进行了研究， 特别是dur等30人已经证明了在几率局域操作和经典通信下(slocc)三粒子纠缠态存在两类不等的态。一类是ghz类，ghz态()1/2 ( 000111 )ghz=+，可作为这一类的代表，另一类是w类，w态()1/2 ( 001010100 )w=+可作为w类的代表。ghz类和w类在（slocc）下不能相互转换，ghz态和w态具有不同的纠缠特性，下面比较两种态 三量子位系统的最大纠缠态(ghz 态)可以表示为 1231231(100011 )2=，1231231( 000111 )2=+， 1231231( 010101 )2=+， 1231231( 001110 )2=+。 (2.5.2) 可视为力学量全集123123123,yyyyxyxyy 的共同本征态， ghz 态可以推广到多体情况。实际上，ghz态可以借助对系统的一个集体操作来构造，这是构造纠缠态的一种行之有效的手段。 对于ghz态(以+为例)，若对其中某一粒子求迹得到ghz 态，还有另外一个重要特性，那就是当三个粒子中的任何一个被求迹后，剩余的两个粒子是完全不纠缠的，即ghz态没有两部分纠缠，ghz态的约化密度矩阵是 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 1412312312,2112,211( 00001111)2tr=+， (2.5.3) 与 ghz态相反 ，w态有最大的两部分纠缠，w态的一般形式是 ()0123123123000001010100=+， (2.5.4) 常用w态的一个最大纠缠态为 ()1/2 ( 001010100 )w =+， (2.5.5) 当三个粒子中的任何一个被求迹后，剩余的两个粒子的约化密度矩阵具有可能的最大纠缠(在所有三量子比特态中，无论是纯态还是混合态)。w 态的约化密度矩阵是: 12312,2112()000033tr ww+=+， (2.5.6) 这里()1/2 ( 0110 )+=+是两粒子的最大纠缠态。 剩余的两个粒子w态最牢固地抵抗三个粒子中的任何一个损失，w态的这个特性是非常重要的，特别是当系统中三个粒子中的作何一个不想与其它两个合作的时候。w态虽然具有最大的两部分纠缠，但它却没有三个部分纠缠。且w类中的任何态都没有三部分纠缠，综上所述，ghz态和w态是两个具有截然不同的纠缠结构的特殊的纠缠态。 比较(2.5.2)式和(2.5.5)式发现，三体ghz态的任意两体约化密度矩阵变成了可分离态， 而 w 态的任意两体约化密度矩阵仍然是纠缠态， 这就是通常所说的w态有最大的2-way纠缠。从上面的分析发现：对处于w态的三个粒子来说，即使丢失其中一个粒子， 剩余两粒子仍然保持纠缠， 因此人们称w态是最“强壮”的三量子位系统的纠缠30态，而称 ghz 态为最“脆弱”的三量子位系统的纠缠态。综上所述，ghz态和w态是两个具有截然不同的纠缠结构的特殊的纠缠态。 2.6 量子态的不可克隆定量子态的不可克隆定理理 所谓克隆是指被克隆的量子态不被改变，而在另一个系统中产生一个完全相同的量子态。克隆不同于量子态传送，传送是指量子态从原来的系统中消失，而在另一系统中出现。量子态不能克隆是量子力学理论的一个直接结果，人们知道，一个 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 15具有确定极化状态的光子，与激发态原子发生相互作用时，能使原子通过受激辐射产生另一个相同极化状态的光子。那么，是否存在一种物理过程，可以对一个量子系统的任意量子态进行复制呢?如果存在这样一种物理过程，通过大批复制与测量，在原则上就能完全确定量子系统的未知量子态。因此对量子系统使用经典的复制方法是行不通的。利用量子态的线性叠加性质可以证明，量子系统的任一未知量子态不可能在不遭受破坏的前提下被克隆到另一量子体系上。所以采取任何方法进行未知量子态的复制都是不可能的，这就是量子态的不可克隆定理31，32。 海森伯测不准原理告诉我们:如果体系的状态是事先未知的，那么，即使是像单原子(或单粒子)这样简单的量子体系，要精确测量它的状态也是不可能的，更不用说复杂的宏观客体了。事实上，测不准原理直接意味着不可克隆定理，即单个未知量子态不可能被克隆。因为，若可对单个未知量子态进行克隆，那么通过对其大量复制品的重复测量。人们便可由此获得该量子体系的所有性质，达到精确测量的目的，而这是为测不准原理所禁止的。 定理1: 如果和， 是两个不同的非正交态不存在一个物理过程可以作出，和，两者的完全拷贝。 这个定理表明，不可能造出完全拷贝两个非正交态的量子拷贝机。 定理2: 一个未知的量子态不能被完全拷贝。 这个定理表明，不可能造出完全拷贝未知量子态的量子拷贝机。我们也可以从另一角度考察这一问题。假设有一个量子位处在未知态，如果我们能够完全拷贝它，这就意味着能得到它的足够多的完全拷贝。由于这些拷贝态都是完全相同的，就可以测出像,xyz ，这样一些不对易力学量取值到任意精度。而这与不确定关系式矛盾。量子态不可克隆定理否定了精确复制未知量子态的可能性。但是，不保证复制必定成功的“概率量子克隆”仍然是可能的。郭光灿等人证明，两个非正交态通过适当设计的么正演化和测量过程结合，可以以不等于零的溉率产生出输入态的精确复制。 定理3 : 要从编码在非正交量子态中获得信息，不扰动这些态是不可能的。 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 16这个定理表明：用非正交量子态编码的经典信息是不能用任何测量方法完全提取出来的。 2.7 存在隐匿的量子信息存在隐匿的量子信息 对于两个量子位的系统，施加如下一个么正操作， 即对第一个量子位施加h操作，接着取第一个量子位为控制位，第二个量子位为靶位，执行一个控制非门操作，可以对这个系统做出如下变换 (图2.7.1) 1100( 01 ) 0( 0011 )22+， 1101( 01 ) 1( 0110 )22+， 1110( 01 ) 0( 0011 )22， 1111( 01 ) 1( 0110 )22。 （2.7.1） 变换两量子位的直积态为纠缠态。得到的四个量子态,都是最大纠缠态，并且两两正交，形成四维空间的一组正交归一化基，称,为bell基，由于,是四个互相正交态，可以用这四个态编码2比特的经典信息，一个比特用来区分和，称为宇称比特，另一个比特用来区分叠加中的正负号，称为位相比特。对于处于上述四个态中的两个量子系统，通过测量力学量(1)(2)11和(1)(2)33，即执行到基,上投影，可以完全分开这些态，可以完全区分开这些态，从而可以译出编码在其中的信息。当两量子位处在和的最大纠缠态时， 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 17描述量子位1和2的密度算子都是单位算子的倍数 (1)(1)1,2pi= (2)(2)1,2pi= (2.7.2) 沿任何方向n测量n，得到的结果是随机的1。因此通过单独的测量每个量子位，将不能提取出编码在,中的信息，我们称编码在两量子位纠缠态中的信息是隐匿的33，34，意思是它不可能通过局域的测量读出来。这是量子信息的一个显著特点。 2.8 密度矩密度矩阵阵 纯态的密度矩阵34一个体系的量子态，hilbert空间中的一个矢量(方向)来描述，记为，体系的一组力学量完全集，例如f的共同本征态n，nnnff=则记为n或简记为n代表一组完备的量子数。以n为基矢的表象，称为f表象，这一组基矢的完备性表现为 1nnnnnp=， (2.8.1) npnn=是沿基矢n方向的投影，满足 nnpp+=，nnnnnp pp=， (2.8.2) 体系的任何一个量子态 都可用这一组完备基展开 nnnnnnnpc n=， (2.8.3) 态矢经过投影算符npnn=运算后，变成,nnc n c =描述分量的大小及相位。 对投影算符概念进行推广，定义与量子态相应的投影算符npnn=，称为与量子态相应的密度算符。 它可以作为量子态的另一种描述方式， 对于纯态 ，这两种描述方式是等价的。但对于一个不能用一个波函数来描述的混合态，就不 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 18得不用密度算符来描述。考虑到随时间的演化，量子态记为( )t，设已归一化，( )( )1tt=，定义相应的密度算符+=，2=如采用一个具体表象，例如f表象，则与量子态( )t相应的密度算符，可表成如下的矩阵形式，称为密度矩阵 ( )( )nntnt n= ( )( )( )( )nnnttnc t ct=， (2.8.4) 其对角元为 22( )( )( )0nnntc tnt=， （2.8.5） 是态下测量f得到nf值的概率， 也是投影算符np在态下的平均值。 由( )t的归一化条件，可得密度矩阵的对角元之和为1 2( )1nntrc t=， (2.8.6) 密度算符还可以表示成 ( )( )( )( )nnttnntt nn= ( )( )( )nnnnnnnnc t ct nnt nn=， (2.8.7) 从上面可以看出如0nn=，则0nc =或0nc=两者必居其一 。而只当nc和nc均不为零时，nn才不为零。所以，与量子态相应的密度矩阵的矩阵元nn出现(不为0) 时，量子态必含有n和n态，且出现的概率和相对相位都有关。 设(1,2,3)ii=表示力学量完全集l的正交归一的共同本征态，iii，设t时刻体系处于k态的概率为(01,1)kkkkppp=， 即处于一系列纯态的某种统计混合态。定义此混合态相应的密度算符如下 kkkkkkkpp=， (2.8.8) 式中kkk=是与纯态k相应的密度算符。 不难证明， 这种推广了的密度算符， 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 19除2=不再成立之外，具有与纯态相应的密度算符相同的如下的一些性质: =， 1kkkkktrptrp=， (2.8.9) 而 2kkkkkkkkp p = 2kkkkkkkkkkkkp pp= kkkp=， (2.8.10) 上式中的等式只在纯态下才成立。由此可知21tr，在以力学量完全集f的本征态n为基矢的表象中，p表示为如下密度矩阵 ,kknnkkkknnkkkknknkp nnpc ccncn= (2.8.11) 其对角元 20knnknkp c=， (2.8.12) nn称为在混合态下量子态n的布局，即在混合态下测得体系处于n态的概率。非对角元nn表征在描述的混合态下，n和n的相干，如0nn=则表示在混合态下n和n态不相干。 2.9 保真度概念的提出和发展保真度概念的提出和发展 量子信息这一新的学科分支是量子光学与信息科学相结合的产物，它一个重要应用是量子保密通讯，这种通讯与经典保密通讯相比，原则上可以做到无法破译、无法窃听的通讯， 其基本原理是量子力学的测量(即信息的接收)必然干扰待测系统的状态，因此可立即觉察到通讯过程是否被窃听，量子通讯又比经典光源为载体的经典通讯显得更加优越，因为它可以极大地提高信噪比。因此，量子信息光学必将为下一个世纪开辟一个新的高技术领域。为了描述量子体系的信息关联与纠缠程度，人们相继引入了嫡、纯度和密度算符等概念。研究表明:对于一个量子系统，在相互 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 20作用演化过程中的一些量子信息，并不能完全由嫡、纯度等反映出来。即对于初态为无关联的纯态的系统，人们无法了解该系统与其子系统以及子系统之间的信息的差异，而量子态密度算符间距概念在量子理论中比嫡和纯度更加优越，它能反映出系统与子系统以及子系统之间的信息差异。 为了表示两个量子态之间的相似(或重叠)程度人们引入了保真度(fidelity)的概念（也可以叫作忠实度） ，随着子信息学、最子通讯、量子计算等科学的发展，它们越来越多地用于表征量子态在转移、传输、演化过程中与初始状态的相似特征，因此距离函数和保真度问题成为量子信息学、量子通讯、量子计算等科学研究中关注的焦点。 保真度是量子信息科学领域中的一个重要的概念，是表示信息在传输过程中保持原来状态的程度，它是通讯质量的一个重要参数，而且任何形式的信息编码也要考虑保真度的问题，r.rjza依据跃迁几率(transition probability)首先提出保真度度的概念，定义了量子混合态的保真度，后来被人们称为“bures fidelity”(或者input-output fidelity)其定义式为 21212121(,)()ftr = ， (2.9.1) 式中1和2为源信息和目的信息的密度矩阵。通常的，这个数值也被称为uhlmann transition probality。12(,)f 取值范围在01:之间， 当表示信息12(,)0f =时表示(量子态)在传输过程中完全失真，即表明初态和末态相互正交，而当12(,)1f =时，表示为理想信息传输过程，即表明初态和末态相同。一般情况下，120(,)1f 表示信息在传输过程中存在失真现象。 对于保真度的基本思想， 可概括如下 (1)120(,)1f ，当且仅当12=的时候，12(,)1f =， (2)1221(,)(,)ff =， (3)若初始态1为纯态，密度算符为1，则 1212121(,)ftr =， (2.9.2) (4)在确定混合态的保真度时，可以首先选定一个纯态1，