（应用数学专业论文）无穷维hamilton算子的特征问题.pdf

e i g e n v a l u e p r o b l e mo fi n f i n i t e d i m e n s i o n a lh a m i l t o n i a n o p e r a t o r s w a n g h u a s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o ra l a t a n c a n g p h d s c h o o lo fm a t h e m a t i c a ls c i e n c e s ， i n n e rm o n g o l i au n i v e r s i t y , h o h h o t ，0 1 0 0 2 1 ，pr c h i n a m a r c h ，2 0 1 1 p r o j e c t ( 1 0 9 6 2 0 0 4 ，1 1 0 6 1 0 1 9 ) s u p p o r t e db yn a t i o n a ln a t u r a ls c i e n c ef o u n d a t i o no f c h i n a 原创性声明 本人声明：所显交的学位论文是本人住导师的指导下进行的研究工作及取得的研究 成果除本文已经注明引用的内容外，论文巾不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果，也不包含为获得内蒙古大学及其他教育机构的学位或证书而使用过的材料与我 同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明拼：表示谢意 学位论文作者签名：皇堡二_ 。 日 指导教师签名：圣雯查坌丝至 同 期：至2 1 ：笸：l 在学期间研究成果使用承诺书 本学位论文作者完伞了解学校有关似孵、使川学位论文的规定，即：内蒙吉人学靠 权将学位论文的金部内容或部分保留并向国家有关机构、部fj 送交学位论文的复印件和 磁盘，允许编入有关数据库进行柃索，也丌j 。以采用影印、缩印或其他复制手段保存、汇 编学位论文为保护学院和导师的知识产权，作者在学期问取得的研究成果属于内蒙吉 大学作者今后使用涉及在学期间主要研究内容或研万乞成果须征碍内蒙古大学就读期脚 导师的同意；若用 ：发表沦文，版权单位必须措名为内蒙占大学方r l f 投稿或公开发表 学位论文作者签名：垫堡 日 指导黼签名：7 9 物哆指导教师签名：! 型旦竺二 口期：皇! ! ! ：! ；! 无穷维h a m i l t o n 算子的特征值问题 摘要 钟万勰院士将弹性力学和无穷维h a m i l t o n 算子相结合，提出了基于h a m i l t o n 系 统的分离变量法，建立起弹性力学求解新( 辛) 体系，解决了许多实际问题此方法的 数学基础是无穷维h a m i l t o n 算子特征值问题的成套理论，其中特征向量组的完备性 尤为重要本文研究了无穷维h a m i l t o n 算子的特征值问题，其内容包括特征值( 即 点谱) 的对称性，特征值的几何重数、代数重数、代数指标，特征向量与根向量的辛正 交关系，以及特征向量组与根向量组的完备性 如所熟知，无穷维h a m i l t o n 算子的点谱和剩余谱的并集关于虚轴对称，但点谱 本身的对称性尚不明确注意到无穷维h a m i l t o n 算子的特征向量具有辛正交性，因 此其特征值的对称性在研究特征向量组的完备性方面起重要作用鉴于此，本文首先 考察了上三角无穷维h a m i l t o n 算子特征值的对称性，分别给出其点谱关于虚轴和实 轴对称的充分必要条件此外，根据无穷维h a m i l t o n 算子的谱结构，还得到了上三角 无穷维h a m i l t o n 算子剩余谱的刻画 目前，无穷维h a m i l t o n 算子特征向量组的完备性研究仅限于实特征值和纯虚特 征值情形，对于具有一般特征值的无穷维h a m i l t o n 算子，其特征向量组和根向量组 的完备性均未提及，而且未见与无穷维h a m i l t o n 算子特征值的几何重数和代数重数 有关的讨论另一方面，以往讨论的完备性主要是针对具有实特征值和纯虚特征值的 无穷维h a m i l t o n 算子提出的c a u c h y 主值意义下的完备性，但这一定义对于具有一般 特征值的无穷维h a m i l t o n 算子一般是不适用的鉴于此，本文提出了向量组在广义 c a u c h y 主值意义下完备的定义，为深入研究无穷维h a m i l t o n 算子特征向量组和根向 量组的完备性奠定基础 在实际应用中，一个具体问题可以转化为许多等价的无穷维h a m i l t o n 形式，相 应地可得到各式各样的无穷维h a m i l t o n 算子，其中上三角无穷维h a m i l t o n 算子在求 解问题时具有一定优势例如，相应上三角无穷维h a m i l t o n 算子的特征方程是解耦 的，可以方便地计算出特征值、特征向量和根向量为此，本文研究了上三角无穷维 h a m i l t o n 算子特征向量组和根向量组的完备性主要从以下三个思路展开：对于2 2 上三角无穷维h a m i l t o n 算子和应用力学中出现的4 阶上三角无穷维h a m i l t o n 算子， 采用算子理论和f o u r i e r 分析的方法研究了特征值的几何重数、代数指标、代数重数， 以及相应特征向量组和根向量组在广义c a u c h y 主值意义下完备的充分必要条件；提 出求解应用力学中出现的一类上三角矩阵微分系统( 包括上三角无穷维h a m i l t o n 系 统) 的新方法一双辛特征展开法，这涉及次对角算子矩阵特征向量组的完备性，因 此文中给出其特征向量组在c a u c h y 主值意义下完备的充分必要条件 本文还讨论了四块无穷维h a m i l t o n 算子的特征值问题，包括次对角元至少有一 个可逆和主对角元为常数的情形，得到特征值的几何重数、代数指标、代数重数，以 及特征向量组和根向量组的完备性，这些结果在很大程度上推广并丰富了目前已有的 结果 作为应用，本文以平面弹性问题、矩形薄板的自由振动问题、矩形薄板的弯曲问 题、弹性地基上的板弯曲问题和流体力学中的s t o k e s 流问题等丰富的实例说明了结论 的正确性和合理性 关键词：无穷维h a m i l t o n 算子，特征值，对称性，几何重数，代数重数，代数指 标，特征向量，根向量，辛正交性，完备性，基 分类号：( 中图) 0 1 7 5 3 ，( 2 0 0 0 m r ) 4 7 b n e i g e n v a l u ep r o b l e mo fi n f i n i t e d i m e n s i o n a lh a m i l t o n i a no p e r a t o r s a b s t r a c t c o m b i n i n gt h ee l a s t i c i t yw i t hi n f i n i t ed i m e n s i o n a lh a m i l t o n i a no p e r a t o r s ，a c a ，- d e m i c i a nz h o n ge x t e n d e dt h ec l a s s i c a lm e t h o do fs e p a r a t i o no fv a r i a b l e s - 。- t h em e t h o d o fs e p a r a t i o no fv a r i a b l e sb a s e do nh a m i l t o n i a ns y s t e m s ，a n dan e ws y s t e m a t i cm e t h o d - o l o g yf o rt h e o r yo fe l a s t i c i t y i sf u r t h e re s t a b l i s h e d t h em a t h e m a t i c a lf o u n d a t i o no f t h i sm e t h o di st h ee i g e n v a l u ep r o b l e mo fi n f i n i t ed i m e n s i o n a lh a m i l t o n i a no p e r a t o r s ， a n dt h ec o m p l e t e n e s so ft h ee i g e n v e c t o rs y s t e mp l a y st h em o s ti m p o r t a n tr o l e t h i sp a - p e ri sd e v o t e dt ot h ee i g e n v a l u ep r o b l e mo fi n f i n i t ed i m e n s i o n a lh a m i l t o n i a no p e r a t o r s ， i n c l u d i n gt h es y m m e t r yo fe i g e n v a l u e s ( p o i n ts p e c t r u m ) ，t h eg e o m e t r i cm u l t i p l i c i t y , a l - g e b r a i ci n d e xa n da l g e b r a i cm u l t i p l i c i t yo fe i g e n v a l u e s ，t h es y m p l e c t i co r t h o g o n a l i t yo f e i g e na n dr o o tv e c t o r s ，a n dt h ec o m p l e t e n e s so fe i g e na n d r o o tv e c t o rs y s t e m s a si sw e l lk n o w n ，t h eu n i o no ft h ep o i n ts p e c t r u ma n dr e s i d u a ls p e c t r u mo fi n f i n i t e - d i m e n s i o n a lh a m i l t o n i a no p e r a t o r si ss y m m e t r i cw i t hr e s p e c tt ot h ei m a g i n a r ya x i s ， b u tt h es y m m e t r yo ft h ep o i n ts p e c t r u mi su n k n o w n i nv i e wo ft h es y m p l e c t i co r t h o g o n a l i t yo fe i g e na n dr o o tv e c t o r s ，t h es y m m e t r yo ft h ep o i n ts p e c t r u ms h o u l db e i n v e s t i g a t e db e f o r es t u d y i n gt h ec o m p l e t e n e s so fe i g e na n dr o o tv e c t o rs y s t e m s t o t h i se n d ，t h es y r m n e t r yo ft h ep o i n ts p e c t r u mo fu p p e rt r i a n g u l a ri n f i n i t ed i m e n s i o n a l h a m i l t o n i a no p e r a t o r si si n v e s t i g a t e d ，a n dw eo b t a i ns o m en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n t c o n d i t i o n so nt h es y m m e t r yo ft h ep o i n ts p e c t r u mw i t hr e s p e c tt ot h ei m a g i n a r ya n d r e a la x i s ，r e s p e c t i v e l y m o r e o v e r ，u s i n gt h es p e c t r a ls t r u c t u r eo fi n f i n i t ed i m e n s i o n a l h a m i l t o n i a no p e r a t o r s ，t h ed e s c r i p t i o no ft h er e s i d u a ls p e c t r u mo fu p p e rt r i a n g u l a r i n f i n i t ed i m e n s i o n a lh a m i l t o n i a no p e r a t o r si sg i v e n u pt on o w ，t h ed i s c u s s i o n sa b o u tt h ec o m p l e t e n e s so ft h ee i g e n v e c t o rs y s t e mo f i n f i n i t ed i m e n s i o n a lh a m i l t o n i a no p e r a t o r sa r er e s t r i c t e dt ot h ec a s e sw i t hr e a le i g e n v a l - u e sa n dp u r ei m a g i n a r ye i g e n v a l u e s a l s o ，t h ec o m p l e t e n e s so ft h er o o tv e c t o rs y s t e m o ft h eo p e r a t o r si sn o tm e n t i o n e di nm a t h e m a t i c s ，a n dt h e r ei sn oa n ym a t e r i a lo nt h e g e o m e t r i cm u l t i p l i c i t ya n da l g e b r a i cm u l t i p l i c i t yo ft h ee i g e n v a l u e so fi n f i n i t ed i m e n - s i o n a lh a m i l t o n i a no p e r a t o r s o nt h eo t h e rh a n d ，t h ec o m p l e t e n e s si nc a u c h yp r i n c i p a l v a l u eo fav e c t o rs y s t e mw a si n t r o d u c e di ni n v e s t i g a t i n gt h ec o m p l e t e n e s so ft h e e i g e n - v e c t o rs y s t e mo fi n f i n i t ed i m e n s i o n a lh a m i l t o n i a no p e r a t o r sw i t hr e a le i g e n v a l u e sa n d p u r ei m a g i n a r ye i g e n v a l u e s t h i sc o n c e p tf a i l st ow o r kf o ri n f i n i t ed i m e n s i o n a lh a m i l - t o n i a no p e r a t o r sw i t hg e n e r a le i g e n v a l u e s ( n o tn e c e s s a r i l yr e a le i g e n v a l u e sa n dp u r e i m a g i n a r ye i g e n v a l u e s ，o ro t h e r s ) s o ，w ep r o p o s et h en o t i o no ft h ec o m p l e t e n e s si n t h es e n s eo fg e n e r a l i z e dc a u c h yp r i n c i p a lv a l u eo fav e c t o rs y s t e m ，w h i c hl a y saf o u n - d a t i o nf o rf u r t h e rr e s e a r c ho nt h ec o m p l e t e n e s so ft h ee i g e na n dr o o tv e c t o rs y s t e mo f i n f i n i t ed i m e n s i o n a lh a m i l t o n i a no p e r a t o r s i np r a c t i c a la p p l i c a t i o n s ，ap r o b l e mc a nb ee q u i v a l e n t l yw r i t t e na sv a r i o u sh a m i l - t o n i a nf o r m s ，a n ds ow eo b t a i nv a r i o u si n f i n i t ed i m e n s i o n a lh a m i l t o n i a no p e r a t o r s a m o n gt h e m ，u p p e rt r i a n g u l a ri n f i n i t ed i m e n s i o n a lh a m i l t o n i a ns y s t e m sh a v ec e r t a i n a d v a n t a g e si nc a l c u l a t i o n s f o re x a m p l e ，t h ee i g e ne q u a t i o no ft h ec o r r e s p o n d i n gu p p e r t r i a n g u l a ri n f i n i t ed i m e n s i o n a lh a m i l t o n i a no p e r a t o r si sn o tc o u p l e d ，t h e nw ec a nc o n - v e n i e n t l yc a l c u l a t et h ee i g e n v a l u e s ，t h ee i g e na n dr o o tv e c t o r s t ot h i se n d ，w es t u d y t h ec o m p l e t e n e s so fe i g e na n dr o o tv e c t o rs y s t e m so fu p p e rt r i a n g u l a ri n f i n i t ed i m e n - s i o n a lh a m i l t o n i a no p e r a t o r s w ed i s c u s sf r o mt h r e ei d e a s ：f o r2 2u p p e rt r i a n g u l a r i n f i n i t ed i m e n s i o n a lh a m i l t o n i a no p e r a t o r sa n df o r t h - o r d e ru p p e rt r i a n g u l a ri n f i n i t e d i m e n s i o n a lh a m i l t o n i a no p e r a t o r sa r i s i n gf r o mm e c h a n i c s ，t h eg e o m e t r i cm u l t i p l i c i t y , a l g e b r a i ci n d e xa n da l g e b r a i cm u l t i p l i c i t yo fe i g e n v a l u e s ，a n dt h ec o m p l e t e n e s si nt h e s e n s eo fc a n c h yp r i n c i p a lv a l u eo ft h ee i g e na n dr o o tv e c t o rs y s t e m sa r ei n v e s t i g a t e d ； w ep r o p o s ean e wm e t h o dt os o l v eu p p e rt r i a n g u l a rm a t r i xd i f f e r e n t i a ls y s t e m sa r i s i n g f r o mm e c h a n i c s - - t h ed o u b l ee i g e n f u n c t i o ne x p a n s i o nm e t h o d ，w h i c hn e e ds t u d yt h e c o m p l e t e n e s so fe i g e n v e c t o rs y s t e m so fo f f - d i a g o n a lo p e r a t o rm a t r i c e s ，s os o m e s u f f i c i e n t a n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n sa r ef u r t h e rg i v e n m o r e o v e r ，w ec o n s i d e rt h ee i g e n v a l u ep r o b l e mo ff o u rb l o c ki n f i n i t ed i m e n s i o n a l h a m i l t o n i a no p e r a t o r sw i t ha tl e a s to n eo ft h ed i a g o n a le l e m e n t sb e i n gi n v e r t i b l ea n d t h ed i a g o n a le l e m e n t sb e i n gc o n s t a n t t h er e s u l t sa b o u tt h eg e o m e t r i cm u l t i p l i c i t y , a l g e b r a i ci n d e xa n da l g e b r a i cm u l t i p l i c i t yo fe i g e n v a l u e s ，a n dt h ec o m p l e t e n e s so ft h e e i g e na n dr o o tv e c t o rs y s t e m sa r eo b t a i n e d ，a n di ns o m ed e g r e ee x t e n da n de n r i c ht h e p r e s e n tc o n c l u s i o n s a sa p p l i c a t i o n s ，t h ep l a n ee l a s t i c i t yp r o b l e m ，f r e ev i b r a t i o np r o b l e mo fr e c t a n g u l a r t h i np l a t e s ，b e n d i n gp r o b l e mo fr e c t a n g u l a rp l a t e sa n ds t o k e sf l o wa r ep r e s e n t e dt o f l l n s t r a t et h e s er e s u l t s k e y w o r d s ：i n f i n i t ed i m e n s i o n a lh a m i l t o n i a no p e r a t o r ，e i g e n v a l u e ，s y m - m e t r y , g e o m e t r i cm u l t i p l i c i t y , a l g e b r a i ci n d e x ，a l g e b r a i cm u l t i p l i c i t y , e i g e n v e c t o r ，r o o t v e c t o r ，s y m p l e c t i co r t h o g o n a l i t y , c o m p l e t e n e s s ，b a s e s u b j e c tc l a s s i f i c a t i o n ：( c l ) 0 1 7 5 3 ，( 2 0 0 0 m r ) 4 7 b v v 1 目录 中文摘要i 英文摘要i i i 第一章绪论1 1 无穷维h a m i l t o n 算子与弹性力学求解新体系1 2 非自伴算子特征向量组的完备性3 3 线性算子特征值的代数指标8 4 本文的结构1 0 第二章上三角无穷维h a m i l t o n 算子点谱的对称性1 3 1 预备知识1 3 2 点谱关于虚轴的对称性：1 4 3 点谱关于实轴的对称性1 8 4 例子2 4 第三章上三角无穷维h a m i l t o n 算子的特征值问题2 9 1 预备知识2 9 2 无穷维h a m i l t o n 算子特征向量和根向量的辛正交性3 1 3 上三角无穷维h a m i l t o n 算子的特征值及其代数指标3 3 4 上三角无穷维h a m i l t o n 算子的特征向量组和根向量组的完备性3 7 5 例子4 3 第四章次对角元至少有一个可逆的无穷维h a m i l t o n 算子的特征值问题4 9 1 特征值分布4 9 2 特征值的代数指标5 2 3 特征向量组和根向量组的完备性5 4 4 例子6 2 第五章主对角元为常数的无穷维h a m i l t o n 算子的特征值问题6 9 村1 特征值分布：6 9 2 特征值的代数指标7 1 3 特征向量组和根向量组的完备性7 3 4 例子7 9 第六章应用力学中出现的无穷维h a m i l t o n 算子的特征值问题8 1 1 基本引理8 1 2 无穷维h a m i l t o n 算子坼的特征值问题8 4 3 无穷维h a m i l t o n 算子耶的特征向量组和根向量组完备性的应用9 2 4 无穷维h a m i l t o n 算子比的特征值问题9 8 5 无穷维h a m i l t o n 算子比的特征向量组和根向量组完备性的应用1 0 6 第七章两类次对角算子矩阵特征向量组的完备性及其在力学中的应用1 0 9 1 超对称算子特征向量组的完备性1 0 9 2 次对角算子矩阵特征向量组的完备性1 1 2 3 双( 辛) 特征展开方法1 1 4 4 在应用力学中的应用1 1 5 总结与展望：1 2 0 参考文献1 2 3 主要符号表1 3 2 致谢h 1 3 4 攻读学位期间的研究成果。1 3 5 第一章绪论 本章作为全文的绪论，首先叙述无穷维h a m i l t o n 算子与弹性力学求解新体系之 间的渊源以及无穷维h a m i l t o n 算子的研究现状其次，对非自伴算子特征向量组的 完备性进行了简单介绍，进而引出对无穷维h a m i l t o n 算子特征向量组的完备性的讨 论然后，介绍了与特征向量组的完备性息息相关的线性算子特征值的代数指标，以 表明讨论无穷维h a m i l t o n 算子特征值的代数指标的必要性最后给出本文的结构 1 1无穷维h a m i l t o n 算子与弹性力学求解新体系 h a m i l t o n 系统表征几乎所有物理上有意义的守恒系统，在弹性力学、量子力学、 生命科学，以及工程技术等领域起重要作用2 0 世纪7 0 年代，m a g r i 【1 】1 、o l v e r 【2 】2 等人尝试用h a m i l t o n 体系研究偏微分方程，这推动了无穷维h a m i l t o n 系统理论的形 成和迅速发展无穷维h a m i l t o n 系统研究的是连续介质力学问题，它与稳定性问题、 动力问题，弹性理论，复合材料力学、断裂问题等有关许多物理、力学中的偏微分方 程经分离变量后都可以化为无穷维h a m i l t o n 系统也= 日u 【3 _ 6 】，其中u 为取值于状 态空间x x 中的关于时间亡的向量值函数，x 为函数空间，日是无穷维h a m i l t o n 算子 数学物理问题一般可归结为求解确定的偏微分方程( 组) 的初边值问题传统的分 离变量法是求解此类问题的有效工具之一，这种传统解法将归结为自伴算子的特征值 问题，如著名的s t u r m - l i o u v i l l e 问题，进一步要得到问题的解就涉及到特征向量组的 完备性等问题，而算子为自伴时这些问题都可得到保证然而，在应用中大量问题分 离变量后并不能导致自伴算子，如二阶偏微分方程中出现混合偏导数的情况这样， 特征向量组的完备陛难以保证，分离变量法失效 1 9 9 1 年，钟万勰院士利用结构力学与最优控制的模拟理论，将无穷维h a m i l t o n 系统应用于弹性力学等相关领域，把传统分离变量法难以解决的一类二阶椭圆型方程 和条形板弯曲问题导向h a m i l t o n 系统，阐述了基于h a m i l t o n 系统的分离变量法思 想【7 】钟万勰院士将弹性力学和无穷维h a m i l t o n 算子相结合，推广了传统的分离变 量法一基于h a m i l t o n 系统的分离变量法，开创性地建立了弹性力学求解新体系 辛对偶变量体系陟1 3 】近二十年来，钟万勰院士力图将对偶体系的方法论贯穿于应 用力学和控制理论的各个方面，根据力学中多门学科相互间的密切关联将它们纳入这 】 2 内蒙古大学博士学位论文 2 0 1 1 矩 一公共的理论体系，对应用力学体系进行改革【1 4 】，这方面的文献可参见钟万勰院士和 相关学者近年来的一些工作f 1 5 - 2 6 此方法的理论基础是无穷维h a m i l t o n 算子的特 征值问题，其中特征向量组的完备性尤为重要因此，研究无穷维h a m i l t o n 算子特征 向量组的完备性，扩充h f l b e r t s c h m i d t 展开定理的应用范围具有重要意义 下面给出无穷维h a m i l t o n 算子的定义 定义1 1 1 设x 为h i l b e r t 空间， 日= ( 三一b a 事) ：秒c 日，g x x x x c 1 。1 1 ， 是稠定闭算子若a 是稠定闭算子，j e 7 ，c 是自伴算子，则称日为无穷维h a m i l t o n 算子，简称h a m i l t o n 算子 特别地，当c = o ( 即全空间上的零算子) 时，称为上三角无穷维h a m i l t o n 算子， 记为上乇当a = 0 时，称为次对角无穷维h a m i l t o n 算子 注从定义1 1 1 可知，无穷维h a m i l t o n 算子的主对角元分别为稠定闭线性算子 a 和它的共轭算子俞，并且二者相差一个负号；次对角元均为自伴算子这种结构特 性给无穷维h a m i l t o n 算子在某些方面的研究带来了困难，如自伴算子构造上的困难 使得无穷维h a m i l t o n 算子的谱扰动问题难于解决但也由于这个结构特性使得它具 有讨论完备性的得天独厚的优势一辛正交性，这是一般算子没有的性质 关于无穷维h a m i l t o n 算子，k u r i n a ，a z i z o v ，m a r t y n e n k o ，d i j k s m a ，g r i d n e v a ，阿 拉坦仓等学者就有界性、可逆性、可约性、谱结构、谱扰动、半群、数值域以及完备性 等内容加以研究 ( i ) 在有界性方面，文 2 7 】通过引入不定度规空间研究了非负无穷维h a m i l t o n 算 子的有界性，得到了其有界的一个充分条件 ( i i ) 在可逆性方面，文【2 8 证明了当算子a 或算子b 和c 有有界逆时，非负 无穷维h a m i l t o n 算子有有界逆；【2 9 】按主对角占优和次对角占优，给出非负无穷维 h a m i l t o n 算子可逆的条件；【3 0 】给出了一般的无穷维h a m i l t o n 算子可逆的条件，并 将结论应用在d i r a c 算子的可逆性问题当中；【3 1 】利用空间分解的方法和分块算子矩 阵技巧，得到了一类无穷维h a m i l t o n 算子具有有界逆的充分必要条件更多相关文 献见3 2 一a 5 2 0 1 1 年第一章绪论 3 ( i i i ) 在谱结构及谱的刻画方面，文【3 6 】利用算子本身与其共轭算子谱的关系， 结合无穷维h a m i l t o n 算子的特性，得到了无穷维h a m i l t o n 算子的谱结构：无穷维 h a m i l t o n 算子的谱、点谱和剩余谱之并集、连续谱这三个集合均关于虚轴对称，基此 实现了用点谱刻画剩余谱文【3 7 】中得到了同点谱算子和反点谱算子的谱结构文【3 8 】 给出了比无穷维h a m i l t o n 算子和j 一自伴算子矩阵更广泛的一类非自伴算子矩阵的谱 结构：谱关于某直线对称文 3 8 _ 4 3 】分别给出了无穷维h a m i l t o n 算子近似点谱，本 质谱，点谱，剩余谱和连续谱的刻画 ( i v ) 在谱的扰动方面，文阻】研究了自伴算子的构造方法，得到一类上三角算子 矩阵自伴扰动，并将结果推广到无穷维h a m i l t o n 算子情形文【4 5 】给出上三角型算 子矩阵的m o o r e - p e n r o s e 谱的扰动结果文【4 6 】描述了上三角算子矩阵的点谱、剩余 谱和连续谱的扰动 无穷维h a m i l t o n 算子的可约性，生成半群和数值域方面的文献见【4 7 _ 5 2 】 1 2非自伴算子特征向量组的完备性 h i l b e r t s c h m i d t 定理，也称为本征函数展开定理，是传统分离变量法的理论基础， 在求解数学物理的自伴问题中起本质作用本征函数展开定理有两个基本要求，即所 考虑算子的自伴性和紧性，它们可以保证按本征函数展开的系数的计算和本征函数系 的完备性然而，对于非自伴算子，特征值不再是代数简单的，特征向量组也不一定 完备 相对自伴算子而言，非自伴算子谱理论的研究进展缓慢，没有统一的处理方法， 其谱可能是全平面，也可能剩余谱存在，因而研究起来有一定难度人们通常只对特 殊的非自伴算子进行个别研究，如j 一自伴算子、j 一自伴算子矩阵【5 3 】、u 一标算 子【5 4 _ 5 7 】、积一微分迁移算子等在非自伴算子特征向量组的完备性方面，2 0 世纪 初期，b i r k h o f f 作了开创性的工作，基于g r e e n 函数的解析性质，研究了非自伴常微 分算子的特征函数展开问题【5 8 - 6 0 到了1 9 5 1 年，k e l d y s h 【6 1 】建立了更为广泛的非 自伴算子多项式的特征向量和相关向量的完备性定理以及关于特征值的渐近定理，这 些出色的工作对非自伴微分算子的谱理论产生了极为重要的影响随后在文【6 2 】中， k e l d y s h 对文【6 1 】中的第一部分内容进行了详细的阐述1 9 6 9 年，g o h b e r g 和k r e i n 撰写了非自伴算子的专著【6 3 】，其中包含当时h i l b e r t 空间非自伴箅子理论这一领域 中的大量成果，讨论了全连续非自伴算子根向量组的完备性此外，l i d s k i i 【6 4 _ 6 6 】， 4 内蒙古大学博士学位论文 2 0 1 1 年 m a r k u s 【6 7 - 7 0 ，m a t s a e v 【7 1 ，7 2 】和a g r a n o v i c h 7 3 】等很多学者在完备性方面也作 了大量的工作，取得了许多重要的成果1 9 8 0 年以来，由于抽象非自伴算子理论的 难度，人们的注意力更多地转向椭圆算子等非自伴微分算子的研究上，这方面可参见 z w o r s k i 【7 4 ，e g o r o v 【7 5 】，h i t r i k 【7 6 】和t a r k h a n o v 【7 7 】等 无穷维h a m i l t o n 算子是一类非自伴算子，一般情况下，它的特征向量组和根向量 组是不完备的【7 8 ，7 9 】然而，在研究无穷维h a m i l t o n 算子谱结构的过程中发现，很多 无穷维h a m i l t o n 算子的特征值均匀分布在实轴上或虚轴上，并且正负成对出现【8 0 】( 点 谱的对称性) 再有，无穷维h a m i l t o n 算子自身的结构特性导致其特征向量组具有辛 正交性将上述性质与微积分中无穷积分：f ( x ) d x 在c a u c h y 主值意义下的收敛 性相结合，发现了无穷维h a m i l t o n 算子的特征向量组在c a u c h y 主值意义下的完备 性【7 9 ，8 1 】 定义1 2 1h i l b e r t 空间x 中的向量组 u n ) ：兰o o 称为在c a u c h y 主值意义下是 完备的，如果对任意，x ，都存在常数列 瓯) 忌- - ：0 0 1 ，。c 。，i 。t - ：o o 使得 + o o ，= 瓯钆七+ c - k u 一知 知= 1 成立 目前，无穷维h a m i l t o n 算子的特征向量组在c a u c h y 主值意义下的完备性已经 取得了较好的结果文【7 9 】对分离变量后可转化为s t u r m - l i o u v i l l e 问题的偏微分方 程，引入h a m i l t o n 体系，从而导出无穷维h a m i l t o n 算子的特征值问题，然后利用辛空 间的知识讨论了无穷维h a m i l t o n 算子特征函数系在c a u c h y 主值意义下的完备性 文【8 1 】在b 正定，g 非负或负定的条件下讨论了逆紧的无穷维h a m i l t o n 算子特征 函数系在c a u c h y 主值意义下的完备性文【8 2 】讨论了逆紧的次对角无穷维h a m i l t o n 算子特征函数系在c a u c h y 主值意义下的完备性更多文献参见【1 5 ，8 & - 8 5 基于无穷维h a m i l t o n 算子特征向量组完备性的研究现状，我们从以下三方面进 行了讨论 ( i ) 定义1 2 1 中的这种完备性不是通常意义下的完备性，其本质是按特征向量组 展开的级数通过两两组合之后的收敛性在我们