（应用数学专业论文）脉冲动力系统在种群生态模型中的应用.pdf

摘要种群动力系统中有很多自然现象和人为干预因素的作用都可以用脉冲来描述本文以脉冲微分方程为基础，建立并研究了带脉冲效应的种群动力系统模型数学上结合离散动力系统、连续动力系统和脉冲动力系统的相关理论，系统的分析了所提出模型的各种动力学行为，并利用数值模拟研究了系统的各种复杂现象从生物学的角度来看，我们所研究的系统具有很强的生物背景，所得到的理论结果具有很强的生物意义并能为实际生活提供很多决策依据第一章我们给出了一些脉冲微分方程的基本理论第二章我们研究了一个具有脉冲出生和脉冲收获的单种群年龄结构模型，利用单参数族映射的中心流形定理、正规型和指数积分函数的性质、p o i n c a r e 映射得到了具有非线性出生率和密度依赖成熟率的混杂矩阵模型正平衡态的存在性和稳定性、超临界分支以及各种复杂现象甚至混沌第三章我们提出了几个多种群脉冲模型在具有周期系数的互惠系统中研究了该模型边界周期解的稳定性和正周期解的存在性问题在具有性别偏食的模型中研究了该模型边界周期解的稳定性、系统的有界性及持久性问题在给捕食者添加食物的捕食者一食饵模型中研究了该模型在连续收获下边界平衡点和正平衡点的稳定性问题及在脉冲收获下边界周期解的稳定性和系统的有界性及持久性问题在一个捕食者两个食饵的捕食模型中，研究了边界周期解的稳定性、系统的有界性和持久性问题第四章我们将捕食者一食饵模型与传染病模型结合起来，分别研究了具有连续控制和脉冲控制的引入有病害虫的资源和害虫管理模型的有界性、边界周期解和正周期解的存在性与稳定性问题在每个模型的研究中我们均作了数值模拟，通过所得到的图形我们可以明显地看到图形和我们所得到的结论是一致的关键词：脉冲微分方程；频闪映射；周期解与稳定性；有界性；持续生存a b s t r a c ti ti sw e l lk n o w nt h a tm a n yr e a lw o r l dp h e n o m e n aa n dh u m a na c t i v i t i e se x h i b i ti m p u l s i v ee f f e c t s i nt h i st h e s i s ，b a s e do ni m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，p o p u l a t i o nd y n a m i c a lm o d e lw i t hi m p u l s i v ee f f e c t sa r ee s t a b l i s h e d m a t h e m a t i c a l l yw eu s eac o m b i n e da p p r o a c ho fd i s c r e t ed y n a m i c s ，c o n t i n u o u sd y n a m i c sa n di m p u l s i v ed y n a m i c st oi n v e s t i g a t ev a r i o u sd y n a m i c a lb e h a v i o ro ft h es y s t e m sw ec o n s i d e r e d w i t ht h eh e l po fm a t h e m a t i c a ls o f t w a r e ，w es t u d i e da 1 1k i n d so fb i f u r c a t i o na n dc o m p l e x i t yo ft h eg i v e ns y s t e m s f r o mt h ev i e w p o i n to fb i o l o g y , t h em a t h e m a t i c a lr e s u l t sa r ef u uo fb i o l o g i c a lm e a na n dc a nb eu s e dt op r o v i d e dr e l i a b l ef o u n d a t i o n sf o rm a k i n gd e c i s i o n s i nc h a p t e r1 ，w eg i v es o m ef u n d a m e n t a lt h e o r e m so fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n i nc h a p t e r2 ，as t a g e s t r u c t u r em o d e lw i t hi m p u l s i v eb i r t ha n dh a r v e s ti ss t u d i e d u s i n gc e n t e rm a n i f o l dt h e o r e ma n dn o r m a lf o r mo fm a p s ，t h ep r o p e r t i e so fp o i n c a r em a p ，w eg e te x i s t e n c ea n ds t a b i l i t yo ft h ep o s i t i v ee q u i l i b r i u mo fh y b r i dm a t r i xm o d e lw i t hn o n l i n e a rb i r t hr a t ea n dd e n s i t yd e p e n d e n tm a t u r a t i o nr a t e ，s u p e r c r i t i c a lf l i pb i f u r c a t i o na n dv a r i o u sc o m p l e xb e h a v i o re v e nc h a o s i nc h a p t e r3 ，w eo b t a i ns o m em u l t i p l es p e c i e sm o d e l s i nm u t u a ls y s t e mw i t hp e r i o d i cc o e f f i c i e n t s ，s t a b i l i t yo fb o u n d a r yp e r i o d i cs o l u t i o na n de x i s t e n c eo fp o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o na r es t u d i e d i nm o d e lw i t hs e x u a lf a v o r i t i s m ，s t a b i l i t yo fb o u n d a r yp e r i o d i cs o l u t i o na n db o u n d e d n e s sa n dp e r m a n e n c eo ft h em o d e la r es t u d i e d i np r e d a t o r p r e ym o d e lw i t ha d d i t i o n a lf o o d ，s t a b i l i t yo fb o u n d a r ye q u i l i b r i u ma n dp o s i t i v ee q u i l i b r i u mu n d e rc o n t i n u o u sh a r v e s ta n ds t a b i l i t yo fb o u n d a r yp e r i o d i cs o l u t i o na n db o u n d e d n e s sa n dp e r m a n e n c eo ft h em o d e lu n d e ri m p u l s i v eh a r v e s ta r es t u d i e d i no n ep r e d a t o r - t w op r e ym o d e l ，t h es t a b i l i t yo fb o u n d a r yp e r i o d i cs o l u t i o na n db o u n d e d n e s sa n dp e r m a n e n c eo ft h em o d e la r es t u d i e d i nc h a p t e r4 ，c o m b i n i n gw i t hp r e d a t o r p r e ym o d e la n de p i d e m i cm o d e l ，w es t u d yt h eb o u n d e d n e s sa n de x i s t e n c ea n ds t a b i l i t yo fb o u n d a r yp e r i o d i cs o l u t i o na n dp o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o no fr e s o u r c ea n dp e s tm a n a g e m e n tm o d e lw i t hc o n t i n u o u sa n di m p u l s i v ec o n t r 0 1 w eh a v em a d en u m e r i c a ls i m u l a t i o nf o re v e r ym o d e lw eh a v es t u d i e d ，f r o mw h i c hw ew i l lk n o wt h a tt h ec o n c l u s i o ni sc o r r e s p o n d i n gt ot h ef i g u r ew eo b t a i n e d k e yw o r d s ：i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；s t r o b o s c o p i cm a p ；p e r i o d i cs o l u t i o na n ds t a b i l i t y ；b o u n d e d n e s s ；p e r m a n a n c e 独创性声明本人声明所呈交的学位论文足本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得天津工业大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意学位论文作者签名；呵切霭签字日期：哆，月锣日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解天津工业大学有关保留、使用学位论文的规定特授权天津工业大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅同意学校向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明)学位论文作者签名：气物勇签字日期：弘矽年月矽日导师签名：谚水哆签字日期：亿叫年月，了日学位论文的主要创新点、在单种群两阶段模型中将出生脉冲、收获脉冲和幼年种群的密度依赖成熟率结合起来得到了一个全新的模型，研究了幼年种群的密度依赖成熟率是如何影响该系统的动力学行为，并得到了零平衡点和正平衡点存在及稳定的条件二、将周期系数的互惠系统与脉冲干扰结合起来得到了一个新的模型，利用局部分支方法研究并得到了该模型边界周期解稳定性和正周期解存在性的条件。三、将性别偏食与综合害虫治理( i p m ) 策略结合起来得到了一个新的模型，研究并得到了该模型边界周期解的稳定性、系统的有界性及持久性的条件，发现了性别偏食在抑制害虫方面的积极作用四、将给捕食者添加额外食物与两种收获策略结合起来，研究并得到了该模型在连续收获下边界平衡点和正平衡点的稳定性条件，在脉冲收获下边界周期解的稳定性和系统的有界性及持久性的条件第一章引言与预备知识第一章引言与预备知识自然界的许多实际问题在发展过程中常常出现短暂时间内的扰动作用，这个短暂时间同整个发展过程的时间相比较可以忽略不计，因此很自然的假设这种扰动作用是瞬时的这种现象广泛存在于各种应用领域中，如理论物理、经济上的优化控制、生物技术、经济、种群动力学及药物动力学等若仍沿用连续动力系统去刻画这种现象，就模型本身而言已不太合理和准确因此分析这种变化过程中的特征和规律时，往往要研究解不连续的动力系统，即脉冲微分方程系统正是由于这种系统的状态在瞬间发生很大的变化，导致系统的解不连续，因而使得研究脉冲动力系统更加困难近年来，很多学者已经研究了由脉冲微分方程所刻画的系统，形成了一些基本的理论，b a i n o v 等 1 - 8 ，s a m o i l e n k o 、p e r e s t y u k g l 为此作了很好的总结虽然脉冲微分方程系统大多来自于自然现象和实际应用中，但多数文献集中于理论的研究，如文献 6 , 1 0 1 研究“鞭打”现象，文献【3 】研究解的合流现象，文献 1 1 - 1 3 】研究解的存在性，唯一性和连续性，文献【7 ，8 ，1 4 j 研究解的振动性，文献 4 , 1 4 , 1 5 】研究系统的稳定性，文献 1 6 - 1 9 】研究了周期解的存在性和稳定性，但这些结果在实际中应用起来很困难种群动力学中有很多自然现象、生命现象，人们对这些现象的控制都是脉冲的例如，在农业害虫治理中，农民经常在固定时刻用杀虫剂杀虫，或定期地投放天敌；在渔业生产中，渔民定期地收获一定年龄和大小的鱼，定期地投放鱼苗；在害虫的综合治理中，杀虫剂的脉冲投放；为保护濒临灭绝的珍希动物，经常先圈养这些动物然后放养到大自然中，或定期地为这些动物投放食饵这些现象都可以用脉冲微分方程描述近些年来，具有代表性的研究有：脉冲生育 2 0 , 2 1 】，资源的脉冲输入【2 2 1 ，种群的脉冲控制【2 3 矧，种群的一致持续生存1 2 5 , 2 6 】，癌细胞的化疗 2 7 , 2 8 】，疾病的脉冲免疫接种 2 9 , 3 0 等但在种群动力学中的应用与研究，目前刚起步，得到的结果还不足很多本文针对脉冲在种群动力学中的实际意义和可再生资源管理中遇到的一些实际问题，建立了几个具有脉冲效应的种群模型，系统地研究了这些模型的动力学行为以及脉冲效应对这些种群系统的影响下面介绍脉冲微分方程的一些基本概念和结论，给出脉冲微分方程三种常见的形式，解的存在性、唯一性、延拓性、稳定性，周期脉冲微分方程的分支定理与乘子理论，脉冲微分方程的比较定理同时也介绍了一类特殊函数的定义及其性质1 1 脉冲微分方程1第一章引言与预备知识( 1 ) 我们考虑由下列微分方程所描述的系统：象训( 1 - 1 )其中f ：r + xq _ 舻，qcr ”是一个开集，冗”是n 维欧几里德空间且r + 是非负实数集合；( 2 ) 集合m ( t ) ，g ( t ) cq ，t r + ；( 3 ) 算子a ( t ) ：m ( t ) _ ( ) ，t r + 设x ( t ) = x ( t ，t o ，z o ) 是系统( 1 一1 ) 以( t o ，2 ：0 ) 为初值的解，该解的运动过程如下：点p = ( t ，z ( ) ) 从初始位置b 。= ( t o ，x o ) 开始，沿着曲线( ( t ，x ) ：t t o ，x = z ( ) )运动，一直到达时刻t 1 ( t o ) ，此时点r 遇到集合m ( ) 在t = t 1 处，算子a ( t )把点只，= ( t l ，x ( t 1 ) ) 变换为只，= ( t l ，z j _ ) n ( t 1 ) ，其中z i - = a ( t 1 ) x ( t 1 ) 然后点最从只，= ( t l ，z ! - ) 开始继续沿系统( 1 1 ) 的解曲线z ( ) = x ( t ，t l ，z i ) 运动，直到在下一个时刻t 2 t 1 处遇到集合m ( t ) ，这样点吃= ( t 2 ，x ( t 2 ) ) 又变换为只土= ( t 2 ，z 手) n ( t 2 ) ，其中z = a ( t 2 ) x ( t 2 ) 同样，点r 从只 = ( t 2 ，z 亨) 开始继续沿着系统( 1 - 1 ) 的解曲线z ( ) = x ( t ，t 2 ，z 手) 运动，只要系统( 1 - 1 ) 的解存在，就重复上述过程我们把刻画上述演变过程的( 1 ) 、( 2 ) 和( 3 ) 统称为脉冲微分系统，称由尻所构成的曲线及定义该曲线的函数为积分曲线和解脉冲微分系统的解可以足下列三种情形之一：( i ) 连续函数，如果积分曲线与集合m ( t ) 不相交或交于算子a ( t ) 的不动点；( i i ) 有有限个第一类间断点的分段连续函数，如果积分曲线与集合m ( t ) 交于有限个算子a ( t ) 的非不动点；( i i i ) 有可数个第一类间断点的分段连续函数，如果积分曲线与集合m ( t ) 交于可数个算子a ( t ) 的非不动点点b 与集合m ( t ) 相遇的时刻缸被称为脉冲时刻我们假设脉冲微分系统的解z ( t ) 在t 知( 后= 1 ，2 ，) 处是左连续的，即z ( i ) = 1 i r a x ( t k h ) = z ( 惫) 自由选取描述脉冲微分方程系统的三个关系( i ) 、( i i ) 和( i i i ) ，我们可得到不同的系统下面考虑几种典型的脉冲微分系统：固定脉冲时刻的系统假设集合m ( t ) 表示一系列平面t = t k ，这里 惫】是时间序列，使得当忌一o o时如_ 0 0 在t = t k 处按下列方式定义算子a ( ) ，得到算子序列 a ( 七) ) ：a ( k ) ：q _ q ，z _ a ( t ) x = x 十磊( z ) ，这里厶：q q 相应地n ( t ) 也仅仅在t = t k 处定义，有n ( k ) = a ( 七) m ( 后) 这2第一章引言与预备知识样选择m ( 七) 、n ( k ) 和a ( 忌) ，一个在固定时刻发生脉冲的脉冲微分系统可描述为： 愁戮t 笺t k 12 ，卜2 ，i z = 厶( z ) ，= ，= ，、7其中在t = t k 处：z ( t k ) = z ( 靖) 一z ( t k ) 且z 吉) 2 l i r a 。+ x ( t k + 九) 因此，我们知道系统( 1 - 2 ) 的解满足：( i ) 鲁= f ( t ，z ( ) ) ，t ( t k ，t k + 1 ，( i i ) a x ( t k ) = 厶( z ( 靠) ) ，t = t k ，七= 1 ，2 ，变化脉冲时刻的系统设 s k ) 是由瓯：t = ( z ) ( 南= 1 ，2 ，) 给出的一个曲面序列，且亿( z ) 亿+ 1 ( z ) ，1 i m ( z ) = 0 0 我们有下面的脉冲微分系统：( 1 3 )变化脉冲时刻的系统( 1 3 ) 比固定脉冲时刻的系统( 1 2 ) 复杂一些，脉冲时刻依赖于系统( 1 3 ) 的解，即对任意的k ，t k = ( 如) ) 这样，始于不同点的解有不同的不连续点一个解可以与同一个曲面t = 亿 ) 相交几次，我们把这种现象称为“鞭打”现象；另外，不同的解在某个时刻后也可以合为一个解，我们把这种现象称为“合流”现象脉冲自治系统如果集合m ( ) 、n ( t ) 及算子a ( t ) 不依赖于t ，即m ( t ) 三m ，n ( t ) 三n ，a ( t ) 三a 且a ：m _ 由a x = z + ，( z ) ，：q _ q 给出，可得到下面的脉冲自治系统：! 害2m ) ，zzm ，( 1 - 4 )ia x = ( z ) ，z m ，k = 1 ，2 ，、系统( 1 4 ) 的解x ( t ) = x ( t ，0 ，x 0 ) 在时刻t 遇到集合m 时，算子a 立刻将点x ( t ) m 转换为点y ( t ) = z ( f ) + ，( z ( n 由于( 1 4 ) 是自治系统，点x ( t ) 的运动可沿着( 1 4 ) 的轨线在集合q 内考虑系统( 1 4 ) 看似简单，但上述现象在同一系统中也可能出现，还可能出现一个系统由于参数的不同导致很多解都是周期的，或很多解在某一区域足稠密的( 见文献e 3 , 3 1 j ) 由此可见脉冲微分方程系统与连续微分方程系统有着很大的不同1 2 解的存在性、唯一性、延拓性、稳定性3戡第一章引言与预备知识在这一节中，我们给出脉冲微分方程解的存在性、唯一性、延拓性和稳定性的一些结果，这些结果主要引自文献 1 , 3 1 设表示正整数集合，z 表示整数集合解的存在性设qcr “是一个开集，d = r + xq ，对任意的k = 1 ，2 ，z q ，有亿( z ) c a ，( o ，) 】，仉( z ) 0 为系统( 1 - 5 ) 的解，如果( i ) z ( t 手) = x 0 且对所有的t t o ，t o 十o ) 均有( t ，z ( ) ) d ，( i i ) 当t t o ，t o + 凸) ，t 亿( z ( t ) ) 时，z ( t ) 连续可微且象= f ( t ，z ( t ) ) ，( i i i ) 如果t t o ，t o + o ) ，t = ( z ( ) ) ，那么z ( + ) = x ( t ) + 厶( z ( ) ) ，在这样的时刻t 处，我们总假设x ( t ) 是左连续的，且对某个6 0 ，任意的j n 及t s 0 使得当o t t 1 5 ，i z 一2 ：1 i 0 定理1 2 假设( i ) 函数f ：d _ r ”是连续的；( i i ) 函数亿：q _ ( 0 ，) 是可微的；( i i i ) 如果对某个( t l ，z 1 ) d ，k 1 ，有t 1 = ( z 1 ) ，则一定有一个6 0 使得当0 f t l 文i z z l f 一t如、门l扛k=他厶l j气归啪血出“-j、ll、第一章引言与预备知识那么，对每一个( t o ，z o ) d ，初值问题( 1 5 ) 一定存在着一个解z ( ) ：【t o ，t o + o t ) _r n ，其中q 0 定理1 3 假设q = r n 且( i ) 函数f ：d _ 舻是连续的；( i i ) 对所有的k 1 ，有厶c f l ，r n ，亿c f l ，( 0 ，) 】；那么，对系统( 1 - 5 )的以有限区间【t o ，b ) 为最大存在区间的任意解z ( ) ，只要下面三个条件之一满足：( a ) 对任意的k 1 ，t 1 = t k ( x 1 ) 意味着存在一个5 0 ，使得对0 t t 1 5 ，i z x l i 0 ( 1 6 )那么，系统( 1 5 ) 的解z ( t ) = z ( t ，t o ，x o ) ( 1 z o i u 0 ) 的最大存在区间足 t o ，。o ) 定理1 5 若定理1 3 的假设成立，且对( t ，z ) 冗+ r 竹，有【z ，z ) + 三蕊知蚪危，z ) l _ 9 ( t ，mi z + i k ( z ) i i z i ，z r n ，其中g c r + xr + ，嗣，r ( t ) = r ( t ，t o ，u o ) 是( 1 6 ) 在 t o ，。) 上的最大解那么，仍然有定理1 4 的结论5第一章引言与预备知识解的唯一性与延拓性定理1 6 假设函数f c r o ，r ” ，g c t o ，t o + 翻 0 ，2 6 i ，r + 】，且对( t ，z ) 、( t ，y ) r o 有i f ( t ，x ) 一f ( t ，可) l g ( t ，i x 一可1 ) ，在此，r o = 0 ，z ) ：t o t t o + a ，i z z o l 纠，进一步地，对任意的t o t + t o + ，初值问题丝：) ，u ( ) ：d tg ( t , u02) ，u ( 2在 t + ，t o + 口】上有唯一的解u ( t ) = 0 则系统( 1 - 5 ) 在 t o ，t o + 0 4 上至多有一个解推论1 1 对每个( t o ，z o ) ，初值问题筹= ，z m 。) 砘的解的唯一性蕴涵着初值问题( 1 - 5 ) 的解的唯一性特别地，对以下在固定时刻脉冲的系统：( 1 7 )其中稚 t k ，当( t ，y ) 一( 亿，z ) 时，( t ，y ) 的极限存在，则对任意的( t o ，z o ) r xq ，一定存在p t o 使得初值问题( 1 7 ) 有一个解z ( ) ：( t o ，p ) _ 舻进一步，如果函数，在rxq 内关于z 是局部l i p s c h i t z 连续的，则该解是唯一的定理1 8 设下面的条件被满足：1 函数f ：r q _ 冗”在集合( ，7 - k + 1 】q ( 足z ) 上连续，且对每一个k z 及z q ，t 亿，当( t ，y ) _ ( t k ，z ) 时，f ( t ，y ) 的极限存在；2 设妒( ) ：( o l ，卢) _ 舻是( 1 7 ) 的一个解，则解妒( t ) 可延拓到p 的右侧当且仅当极限l i m 妒( ) = 叩存在且下列条件之一满足：( a ) 对每一个k z ，t k ，且叩eq ；( b ) 对某个七z ，p = 弧，且7 7 + 厶( 叼) q 定理1 9 设下面的条件成立：1 定理1 8 的条件成立；6仉亿=、乃l，p 知tk他如=气一啪丝出烈，j、【第一章引言与预备知识2 函数，在r q 内关于z 是局部l i p s c h i t z 连续的；3 对每一个k z ，叼+ 厶( 叩) q 且7 7 q ；则对任意的( t o ，z o ) r q ，一定存在初值问题( 1 7 ) 的唯一解，它定义在形式为( t o ，u ) 的区间内，且不能延拓到u 的右侧设定理1 9 的条件均被满足，( o ，x 0 ) r q ，用j + = j + ( t o ，x 0 ) 表示解z ( ；t o ，x o ) 的形如( z o ，u ) 的最大存在区间在种群动力学中，我们经常需要解的最大存在区间为( t o ，o o ) ，对此有如下定理：定理1 1 0 设下面的条件被满足：1 定理1 9 的条件1 、2 及3 均适合；2 妒( z ) 是初值问题( 1 7 ) 的一个解；3 存在一个紧集qcq ，使得当t j + ( t o ，：g o ) 时妒( ) q ；则，+ ( t o ，x 0 ) = ( t o ，+ ) 设妒( t ) ：( o ，u ) _ 形是系统( 1 2 ) 的一个解，下面考虑该解在口左侧的延拓性如果q 仉( 七z ) ，则在a 的左侧的延拓性可像常微分方程一样解决，在这种情形下，当且仅当下列极限存在，这种延拓才能进行：。l i m 妒 ) = 叩q ( 1 8 )+ a t如果对某个k z ，q = ，当极限( 1 8 ) 存在且方程z + 几( z ) = 叩有唯一解x k q 时，解妒( t ) 可延拓到死的左边在这种情形下，妒( ) 延拓后的函数妒( t ) 在( t k 一1 ，】上与下列初值问题的解重合：如果妒( t ) 可继续延拓到t k 一1 的左边，就重复上述过程，依次类推在定理1 8 的条件下，对每个( t o ，x o ) r q ，一定存在初值问题( 1 7 ) 定义在形如( q ，u ) 区间内的唯一解z ( t ；t o ，x o ) 的最大存在区间，且j 一= j 一( t o ，2 ；0 ) = ( o l ，t o 我们用下式表示初值问题( 1 7 ) 的解z ( z ；t o ，z o ) ：h + 髭m ，z ( s ”d s + t 0 0 ( 均与z o 无关) ，使得当时间t 充分大时有仇x i ( 幻m ( i = 1 ，2 ，礼) ，则称系统( 1 2 ) 足一致持续生存的，同时也称该系统中的每个种群也足持续生存的定义1 4 若对任意初值z o 有卫mi z ( ) 一z + ( t ) j = o ，则称z + ( ) 是全局吸引的【_ o o定义1 5 若对任意e 0 ，叩 0 ，存在一个6 = 5 ( t o ，e ，7 7 ) 0 ，使得当i z o x 0 i t o ，i t t o i 叩时，i x ( t ) 一z + ( ) j 0 以及q n ，使得对任意的t r + ，k n ，z q 有s ( t + t ，z ) = s ( t ，z ) ，厶+ 口x ) = 厶( z ) ，t k + q ( z ) = t k + t ，则称系统( 1 2 ) 足丁一周期的周期脉冲微分方程系统具有如下两个性质定理1 1 l 【1 】设系统( 1 - 2 ) 是t 一周期的，z ( ) = z ( ；0 ，x o ) 为其任意解并满足z ( o ) = x o ，则x ( t + j t ) = x ( t + j t ；0 ，x o ) 也是其解并满足x ( t + j t ) = z ( t ；0 ，z 0 丁) ) 定理1 1 2 【1 】设系统( 1 2 ) 是丁一周期的，则系统( 1 2 ) 有丁一周期的充要条件是存在x o q ，使得z ( t ；0 ，z o ) = x o 下面我们给出线性t - 周期脉冲微分方程的f l o q u e t 乘子理论，更详细的结论见文献【1 】定义1 9 若脉冲微分方程：j 褰24 ) z ，亿，6 冗，( 1 1 0 )la x = b k x ，t = 仇，k z ，、7满足条件( h 1 1 ) ：h 1 1 1a ( ) p c ( r ，c 竹n ) ，a ( t + t ) = a ( ) ，t r ；h 1 1 2b i , c 竹n ，d e t ( e + b 知) 0 ，t k r k + l ，k z ；h 1 1 3 存在q n 使得b _ i c + g = b k ， r k + 叮= 亿+ t ，k z 则称系统( 1 1 0 ) 是线性t 一周期脉冲微分方程定理1 1 3 【1 】假设条件( h 1 1 ) 成立，则系统( 1 1 0 ) 的基解矩阵可以表示为下面的形式：x ( t ) = ( ) e 肘( t 冗) ，其中a c 似n 是常数矩阵，( ) p c i ( r ，c 似竹) 是非奇异的丁一周期矩阵由于x ( t ) 是基本解矩阵，所以x ( t + t ) 也是基本解矩阵，且存在唯一的非奇异矩阵m c 似 使得x ( t + t ) = x ( t ) m ，t r ( 1 1 1 )定义1 1 0 我们把方程( 1 1 1 ) 中的常数矩阵m 称为相应于基本解矩阵x ( t ) 的单值矩阵注1 1 系统( 1 1 0 ) 的所有单值矩阵都相似，从而有相同的特征值9第一章引言与预备知识定义1 1 1 称脉冲系统( 1 1 0 ) 的单值矩阵的特征值卢1 、为其f l o q u e t乘子定义1 1 2 称定理1 1 4 中的矩阵a 的特征值入1 、k 为系统( 1 一1 0 ) 的特征指数( 或f l o q u e t 指数) ，且有1= 亭l n 心( j = 1 ，n ) 通常，用下式计算单值矩阵：qm = x ( t + ) = ( e + 玩) e 口a ( 伽七= 1定理1 1 4 【1 】设条件( h 1 1 ) 成立，则复数肛是系统( 1 一1 0 ) 一个乘子当且仅当存在系统( 1 1 0 ) 的一个非平凡解妒( ) ，使得妒( 十t ) = p 妒( ) ，t r ，定理1 1 5 【1 】设条件( h 1 1 ) 成立，则有一个非平凡七t 一周期解当且仅当它的某一个乘子的k 次幂等于1 定理1 1 6 ( f l o q u e t 乘子理论) f 1 】设条件( h 1 1 ) 成立，则线性i 周期脉冲系统( 1 1 0 ) 是：1 稳定的当且仅当它的所有乘子肛，0 = 1 ，n ) 的模小于或等于1 ，即i 蜥i l ，而且，模等于1 的乘子心有相应的单重初等因子；2 渐近稳定的当且仅当它的所有的乘子如0 = 1 ，佗) 的模小于1 ，即i 鳓i 1 线性非齐次周期脉冲微分方程下面考虑线性非齐次脉冲周期微分方程j 西d x = a ( 。) z + 9 ( 。) ，。t k ，。r ，( 1 一1 2 )la x = b k x + h k ，t = 亿，kez 、7假设条件( h 1 1 ) 成立，且下列条件( h 1 2 ) 也被满足：( h 1 2 ) 夕( ) p c ( r ，c ”) ，h k c ”( 七z ) 且g ( t + t ) = 9 ( ) ，h k + 口= h k ，t r k z 下面我们分两种情形考虑系统( 1 1 2 ) 的丁一周期解的存在性第一种情形：非临界情形，即d e t ( e x ( t ) ) o 在这种情形下，线性齐次周期方程( 1 1 0 ) 的f l o q u e t 乘子都不等于1 ，则方程( 1 1 0 ) 除了零解外无丁一周期1 0第一章引言与预备知识解，此时线性非齐次周期方程( 1 1 2 ) 有唯一的周期解如下：荆2o tg ( 咖( s ) d s + 。e q tg ( j c ，其中fx ( t ) ( e 一x ( t ) ) 一1 x 一1 ( s ) ，0 s t t ，lx ( t + 丁) ( e x ( t ) ) 一1 x 一1 ( s ) ，0 t s t ，a ( t ，s ) 2 g ( t k t ，s j t ) ，j t s j t + t ,|lk t 醯t 灯钉是线性非齐次周期方程( 1 1 2 ) 的周期解的g r e e n 函数，x ( t ) 是线性齐次周期方程( 1 1 0 ) 的标准基解矩阵第二种情形：临界情形，即d e t ( e x ( 丁) ) = 0 此时线性齐次周期方程( 1 1 0 ) 至少有一个f l o q u e t 乘子，从而方程( 1 1 0 ) 有一个非平凡的t 一周期解在这种情形下，非齐次线性周期方程( 1 一1 2 ) 是否有周期解取决于( 1 1 2 ) 中的自由项9 ( ) ，九与( 1 1 0 ) 的伴随方程( 1 1 3 ) 的周期解的关系： 蠹州# 嘞t k , t ，er-(et ：z ”1 3 )【y =+ b z ) 一1 b ；可，= 亿，七、7其中a + ( z ) 、成分别是a ( t ) 、b k 的共轭矩阵定理1 1 7 1 1 设条件( h 1 1 ) 、( h 1 2 ) 均成立，且齐次线性周期方程( 1 1 0 ) 有m个线性无关的丁一周期解妒1 ( t ) 、垆m ( t ) ( 1 m n ) ，则1 伴随方程( 1 1 3 ) 也有m 个线性无关的t 一周期解妒l ( t ) ，妒m ( t ) 2 方程( 1 1 2 ) 有t 一周期解当且仅当下述条件成立：z t 谚( 扪d t + 蜓 0 ，g k 和w 0 是常数，k n 则对t 0 有w ( t ) 叫( o ) 1 - i e x p ( f tf ( s ) d s )o t k + 后兀 e x p ( f ( 盯) d a ) g ( s ) d s + 兀乃e x p ( 疋f ( s ) d s ) g ks t k o t k t k t j 0 我们有叫( ) 叫( o ) 兀 o x v ( f of ( s ) d s )0 t k t+ 后n e x p ( f ：厂( 盯) d 盯) 9 ( s ) d s + i - i 办e x p ( f ：。f ( s ) d s ) g 知s t k to t k tt k t j ： t脉冲微分方程研究的一个非常重要的理论是脉冲微分方程的比较定理首先给出这个定理要用到的极值解的概念考虑脉冲微分方程f 警= g ( t ，茁，t t k ， a u ( t k ) = 妒南( u ( k ) ) ，t = t k ，k n ，( 1 1 6 )iu ( t + o ) = u o其中g c r + xr ，r 】，妒：r _ r ，k n 定义1 1 3 设r ( t ) = r ( t ，t o ，1 5 0 ) 是区间忙o ，t o + a ) 上的一个解，如果对于( 1 1 6 )在该区间上的任何一个解u ( t ) = u ( t ，t o ，u o ) ，都有u ( t ) r ( ) ，t 【t o ，t o + n ) ，( 1 1 7 )1 2第一章引言与预备知识则称r ( t ) 是( 1 一1 6 ) 的最大解如果不等式( 1 1 7 ) 的符号反过来，可以得到最小解的概念跟连续微分系统一样，在讨论脉冲微分系统：f 害= ( t ，z ) ，t t k ，z = i k ( x ) ，t = t k ，k n ，( 1 1 8 )iz ( t 手) = x 0 ，的稳定性时，经常会涉及到对其解的估计，一个有效的方法是l i a p u n o v 函数法然而由于系统( 1 1 8 ) 的解是分段连续的函数，我们不必要象连续系统那样要求l i a 广p u n o v 函数是连续的，只需要其分段连续假设系统( 1 1 8 ) 符合下面的条件：( i ) 0 t l t 2 t k t k + 1 。，且在整个复平面上是解析的记h ( x ) = e i ( 1 ，z ) 一e l ( 1 ，p z ) ，0 p 1 则我们有下面的结论：定理1 2 0 1 3 9 】函数e i ( 1 ，x ) 和h ( x ) 有下面的性质：( i ) 变元n 为1 的指数积分函数是一个c a u t h y 主值积分，只对实的自变量z有定义，即：e i ( 班厂掣班，且对z 0 ，其中7 = e u l e r 常数；( i i i ) l i m oh ( x ) = l n ( 一p ) ，且对任意固定的p ( 0 ，1 】，l i m 一。h ( x ) = o ；( i v ) 当j z 0 时，h 7 ( z ) = 呈二竽 0 ，l n ( - p ) 日( z ) 0 1 4第二章具有阶段结构的单种群模型及其种群动力学性质第二章具有阶段结构的单种群模型及其种群动力学性质2 1 生物背景为了对生物种群动力学能有更好的理解，一个世纪以来，理论生态学家及应用数学家在许多方面改进了经典模型及建模思想当考虑到种群个体的生理与行为特征时个体之间是有差异的因此，它们与环境之间的交互影响也是不同的结果，个体之间像出生、死亡、生长、新陈代谢、资源消耗等生命过程会有变化年轻一些的个体里的出生率通常来说与年老一些的个体中的出生率大不相同，体型大一点的个体与体型小一点的个体的死亡率也不一样，类似的例子还可以举出很多而且，种群内部的差异比种群之间的差异还要来得大这些个体的生命指标最终决定整个种群的动力学行为及物理性的、生物性的环境对这些动力学行为的影响方式现在引用一些少量的例子来说明研究以下问题需要结构化模型：处理那些成熟与繁殖的时滞作用；同类别内部个体的竞争( 介于小个体和大个体之间或介于幼年与成年之间) ；同类别内部的自食；选择特定年龄或特定体型食饵的捕食行为这些及其他一些例子参看文献 3 1 , 4 0 - 4 9 1 一般地，我们假设一个时代重叠的种群具有礼个阶段所有阶段具有生育能力且生育率为侍( 如果存在k 个幼年阶段，则历= 仍= = 玩= o ) 阶段i 的个体死亡率为地，成熟到下一个阶段的成熟率为仇i 因此我们得到如下的常微分方程组f学= 套1 岛a j ( ) 一( 仇1 + p 1 ) a 1 ( z ) ，l 坐堕d t 盟= m 1 a 1 一( m 2 + p 2 ) a 2 ( ) ，；( 2 1 )l 堡垒：毳也= ，n 。一2 a 。一2 一( m n 一1 + # n - 1 ) a n - - 1 ( ) ，【璺业d t = m 。一1 a 竹一1 一a n ( ) 其中a i ( i = 1 ，2 ，n ) 表示阶段i 的生物量或数量假设岛( o ) 0 ，器。山( o ) 0 ，如 0 ，歹= 1 ，2 ，n 生殖率岛，成熟率，死亡率心可以是时间依赖和密度依赖的在这种情况下，参数岛，m ，p ，是非线性函数具有密度依赖阶段结构的矩阵模型我们可以参考文献 4 5 , 4 8 , 5 0 , 5 1 1 从文献 4 1 , 4 2 , 5 2 , 5 3 】我们知道具有密度依赖的生命指标函数( 成熟率、死亡率和出生率等) 有下面的一些形式：( f 1 ) f i ( w ) = b e 邮，满足a 0 ，b 0 ；( f 2 ) f 2 ( w ) = 再钫，满足s ，q ，n o ；( f 3 ) f 3 ( w ) = b ( 1 一r ) 考，满足b 0 ，r 0 ，1 5第二章具有阶段结构的单种群模型及其种群动力学性质其中是总数量的权函数，即w ( t ) = r l a l + r 2 a 2 + + 4 n r i o ( i =1 ，2 ，n ) 是种间竞争系数函数f 1 ，当n = l 时的函数f 2 分别是通常用在渔业模型中的r i c k e r 函数和b e v e r t o n - h o l t 函数函数f 3 具有d e r i s o s c h n u t e 形式酬注意到如果r _ 0 ，函数f 3 能够退化成r i c k e r 函数6 e w ；如果r = - 1 和赡= l ，函数f 3 能够退化成b e v e r t o n - h o l t 函数志种群模型可分为离散的和连续的两类对于离散模型，l e s l i e 矩阵模型给出了基本的年龄结构模型而m c k e n d r i c k 偏微分方程模型和形如系统( 2 1 ) 的非线性微分方程模型1 4 2 , 4 3 j 给出了基本的连续的年龄结构模型许多作者还研究了这两类模型之间的联系 4 95 5 】以上模型不变的假设成年种群的出生是连续的，然而事实并非如此，很多种群的出生通常是季节性或瞬时的【5 6 1 因此为了正确刻画这类种群的动力学行为，成年种群的连续出生应该用一个年度的生育脉冲代替这一章的主要目的是研究具生育脉冲的阶段结构模型的动力学行为特别的，我们试图回答下面的问题：( 1 ) 混杂矩阵模型的动力学行为与由常微分方程确定的连续阶段结构模型的动力学行为的主要区别是什么?( 2 ) 混杂矩阵模型关于参数的全局动力学行为是什么?( 3 ) 密度依赖的出生如何影响混杂矩阵模型的动力学行为?为了回答以上问题，我们将研究一个从连续年龄结构模型推导出的混杂矩阵模型的动力