（凝聚态物理专业论文）一维光子晶体量子阱的理论研究.pdf

一维光子晶体光量子阱的理论研究 摘要 光量子阱是将一种光子晶体插入到另一种具有不同能带结构的光子 晶体中所构成。由于阱区能级与垒区能级的不同，光子在光量子阱结构中 的状态与简单的周期结构相比有较大的不同，使其具有特殊的光子性能。 本文在( 彳b ) 。( c d ) 。( 8 a ) 。形式光量子阱研究的基础上对( 彳b ) 。( a b b a ) 。( 删) 。 形式一维光量子阱滤波性能进行了系统的研究，主要内容包括： 1 、利用传输矩阵法，对构成一维光量子阱的势垒和势阱光子晶体 ( 彳b ) 。( 删) 。和光子晶体( c d ) 各自的性质进行了简单分析，得出了构成一 维光量子阱的条件。对于( 么b ) 。( c d ) ( b a ) 。形式光量子阱，固定光量子阱垒 层光子晶体( 4 b ) 。( b a ) 的重复周期数m ，改变阱层光子晶体( c d ) 重复周 期数刀，得出了在中心波长k 的两侧对称分布着两套结构和特点相同的透 射峰，透射峰的条数与阱层光子晶体( c ，d 1 的重复周期数n 有关，且透射 峰的峰值、禁带宽度等也随着改变。 2 、在前面的基础上引入负折射率材料讨论了含负折射率材料的光 量子阱结构的透射特性。阱层光子晶体( c - d ) 重复周期数聆为奇数时，光 量子阱结构的透射谱中只在中心频率处出现一个局域态；以为偶数时，阱 中出现了两个关于中心频率处对称的局域态，且相应的透射峰的峰值禁带 宽度等也随着改变。并指出他们在光子晶体滤波器光开光等器件上的简单 应用。 3 、 对( 彳b ) 。( a b b a ) ( b a ) 形式一维光量子阱各个参数进行了多方面 的研究，研究结果表明：中心波长确定的情况下一维光量子阱垒区和阱区 不同周期数、介质a 和介质b 不同高低折射率比都会对该结构的禁带宽 度和透射率影响很大，而选取不同的中心波长又会影响光量子阱的带隙位 置。为了制作更精密的光学开关、光滤波器等光学器件，综合考虑这些因 素的影响是十分必要的。 关键词：光子晶体，光量子阱，传输矩阵，透射谱 北京化工大学硕士学位论文 t h e o r yr e s e a r c ho f o n e d i m e n s i o n a lp h o t o n i c q u a n t u m w e l l a b s t r a c t o p t i c a lq u a n t u mw e l li si nt h ec o m p o s i t i o no fap h o t o n i cc r y s t a li s i n s e r t e di n t oa n o t h e r p h o t o n i cc r y s t a l sw i t hd i f f e l e n te n e r g yb a n d s t r u c t u r e s s i n c et h ed i f f e r e n te n e r g yl e v e l so ft h et r a pe n e r g yl e v e la n d b a r r i e rr e g i o n ，p h o t o n q u a n t u m - w e l ls t a t ei nt h el i g h to ft h ec y c l ei s d i f f e r e n tw i t has i m p l ep e r i o d i c i t ys t r u c t u r e ，w h i c h i m p l i e sp a r t i c u l a r o p t i c a lp e r f o r m a n c e t h et r a n s m i s s i o np r o p e r t i e so f1ds y m m e t r i c a l p h o t o n i cq u a n t u m w e l li nt h ef o r m ( 彳b ) 。( a b b a ) 。( 删) 。w e r es t u d i e di n d e t a i l ，i n c l u d i n g ： 1 u s i n g t r a n s f e rm a t r i x m e t h o d ， f o r ac e r t a i nf o r m ( 彳召) 。( c d ) 。( 鲋) 。p h o t o n i cq u a n t u m - w e l l a n da g i v e np h o t o n i c q u a n t u m 。w e l l ( 彻) 。( e a ) 。p e r i o d i c i t y , t w ot r a n s m i s s i o ns p e c t r u m sw i t h s a m es t r u c t u r e sa n dp r o p e r t i e sa r el o c a t e di nt h et w os i d e so ft h ec e n t e r l e n g t h 如，a n dt h en u m b e ro ft h et r a n s m is s i o ns p e c t r u m si ss a m ea s ( n 1 ) o ft h ep h o t o n i cq u a n t u m w e l l ( c d ) 。 2 m s oo nt h i sb a s i so fs e c t i o nlt od i s c u s st h ei n t r o d u c t i o no fa n e g a t i v e r e f r a c t i v ei n d e xm a t e r i a l sw i t h n e g a t i v e r e 行a c t i v ei n d e x m a t e r i a l sc o n t a i n i n gq u a n t u m w e l lo p t i c a lt r a n s m i s s i o nc h a r a c t e r i s t i c so f t h es t r u c t u r e q u a n t u mw e l ls t r u c t u r eo fo p t i c a lt r a n s m i s s i o ns p e c t r u m o n l ya p p e a r e da1 0 c a ls t a t ei nt h ec e n t e rf r e q u e n c yw h e n i so d d ；f o rt h e c a s eo fe v e nn u m b e r ，w e l lt h e r ew e r et w os y m m e t r i c a la b o u tt h e f r e q u e n c yo ft h el o c a ls t a t e ，a n dt h ec o r r e s p o n d i n gt r a n s m i s s i o np e a k w i d t ho ft h ep e a kc u t o f fa l s oc h a n g ew i t ht h a t t h i si n n o v a t i o nh a st h e p o t e n t i a la p p l i c a t i o ni nd e s i g n i n gt h ew a v e l e n g t hd i v i s i o nm u l t i p l e x i n g s y s t e m 3 m a n yi n v e s t i g a t i o n sh a v eb e e nd o n ef o rt h e1do p t i c a lq u a n t u m i i 北京化工大学硕士学位论文 w e l lw i t ht h ef o r mo f ( a b ) ，( a s b a ) 。( 8 a ) 。t h er e s u l t ss h o w e dt h a t ：a s i g n i f i c a n ti n f l u e n c ew a sf o u n d i nt h ep h o t o n i cb a n dg a p sa n dt h e t r a n s m i s s i o nr a t eo ft h es t r u c t u r e sd u et ot h e d i f f e r e n tp e r i o d i c i t yo ft h e p h o t o n i cw e l lr e g i o na n db a r r i e rr e g i o na n dt h ed i f f e r e n tr a t e sb e t w e e n h i g ha n dl o wr e f r a c t i v ei n d e xo ft h em e d i u maa n dm e d i u mb ：h o w e v e r , t h ec h o i c eo fd i f f e r e n tc e n t e rw a v e l e n g t h sa l s oh a da l le f f e c ti nt h eb a n d g a pp o s i t i o no fp h o t o n i cq u a n t u m w e l l i no r d e rt om a k et h eo p t i c a l s w i t c h e s ，o p t i c a l f i l t e re t cm o r ep r e c i o u s l y , i ti sv e r yn e c e s s a r yt o c o n s i d e r a t eo ft h e s ei n t e g r a t e df a c t o r s k e yw o r d s ：p h o t o n i cc r y s t a l ，p h o t o n i cq u a n t u m - w e l l ，t r a n s m i s s i o n m a t r i xm e t h o d ，t r a n s m is s i o ns p e c t r u m i i i 北京化工大学硕士学位论文 符号说明 电流密度 电荷密度 中心波长 中心频率 磁导率 介电常数 入射角 真空的介电常数 真空的磁导率常数 介质的相对介电常数 介质的相对磁导率常数 介质的折射率 角频率 晶格常数 s 偏振光反射率 p 偏振光反射率 s 偏振光反射相位 p 偏振光反射相位 介质a 的折射率 介质b 的折射率 介质c 的折射率 介质d 的折射率 光子晶体 光子带隙 电磁带隙 平面波展开法 v i i i g g 厄 j p 沁 咖 肛 e 印 岛 n a b 啼 冁 哪 如 毗 m 陀 腿 职 m 北京化工大学硕士学位论文 t m m f d t d 传输矩阵法 时域有限差分法 i x 北京化工大学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含 任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重 要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声 明的法律结果由本人承担。 作者签名：珏耋圭垄日期： 鲨簟：笸| ! 关于论文使用授权的说明 学位论文作者完全了解北京化工大学有关保留和使用学位论文的规 定，即：研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属北京化工大 学。学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内容，可 以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文。 保密论文注释：本学位论文属于保密范围，在土年解密后适用本授 权书。非保密论文注释：本学位论文不属于保密范围，适用本授权书。 作者签名： 导师签名： 日期： 日期： 北京化工大学硕士学位论文 1 1 论文的研究背景 第一章绪论 1 1 1 光子晶体的概念和性质 光子晶体是由介电常数不同的介质材料在空间周期排列而成的人造结构。电 磁波在其中的传输行为犹如电子在晶体中一般，将受介质的周期排列所控制，而 无需改变物质内在的化学结构。具体表现为：一定频率范围的电磁波，在光子晶 体的特定方向上被强烈散射，因而不能透过，形成光子能量禁带，而其它频率的 电磁波能够透过光子晶体p 。7 】。如果光子晶体的能量禁带在所有方向上的宽度都 相互重叠，则称这种光子晶体为完全带隙光子晶体；若光子晶体的能量禁带不相 互重叠，或只在某些方向上重叠，则称之为不完全带隙或带隙光子晶体。光子禁 带是光子晶体的最根本特征，由光带隙结构可控制光在光子晶体中的运动。因此， 光子晶体也常常被称为“光子带隙材料”或“光的半导体”。一般而言，光子晶体的 绝对带隙越大，其性能越稳定，就越有应用价值。所以探索更大绝对禁带的光子 晶体仍是该领域的研究方向之一。光子晶体的另一个重要特征是光子局域。当光 子晶体理想无缺陷时，根据其边界条件的周期性要求，不存在光的衰减模式。若 在光子晶体中引入某种缺陷，使原有的周期性或对称性受到破坏，则光子禁带中 就有可能出现谱宽很窄的传导模式，类似于掺杂半导体晶体带隙中的杂质能级。 缺陷态的位置、线宽由光子晶体的结构和其中缺陷的参量共同决定。与缺陷态相 吻合的光子会被局域在缺陷态的位置，一旦偏离此位置，光就迅速衰减。缺陷包 含有点缺陷和线缺陷。点缺陷仿佛是被全反射包裹起来，利用点缺陷可以将光“俘 获”在某一个特殊的位置，光无法从任何方向向外传播，相当于微腔。在垂直于 线缺陷的平面上，光只能沿线缺陷方向传播。对光子晶体中的缺陷，理论上可以 设计成任意的形状和大小，而且还能选择具有不同介电常数的材料来制造，从而 缺陷引起的能级可以根据设计需要调节到任何频率位置。光子晶体的许多应用都 是基于缺陷态特性，如抑制自发辐射、非线性增强的高次谐波产生、耦合腔波导 等等。光子晶体的这些性能使人们在控制和操纵光的能力上有了新的突破。根据 光子晶体的周期特点，可以将其分为一维光子晶体、二维光子晶体和三维光子晶 体。如果光子晶体在几何构型上仅具有一维周期性，它将形成一维光子晶体，光 子禁带将出现在此方向上；如果在二维或三维上均具有周期性，它将形成二维或 三维的光子晶体。其中在三维光子晶体中，通过改变晶格常数、对称性以及提高 北京化工大学硕士学位论文 介电常数的对比值，可以使所有方向上的禁带重合，即产生完全光子禁带，此时 落在禁带中的光波将在任何方向上都被禁止传播。 1 1 2 光子晶体研究概况 虽然光子晶体的概念是在1 9 8 7 年提出来的，但实际上在此之前，人们早己 观察和研究了光波段光与有序排列电介质结构相互作用的问题。1 9 7 9 年o h t k a a k 研究了可见光和紫外光衍射的动力学理论，模拟了光与三维有序排列的同质同尺 度球型电介质系统的相互作用。而1 9 8 7 年提出光子晶体概念后，立即激起了众 多科学家的研究兴趣，无论是理论研究、实验研究和应用研究都得到了蓬勃的发 展。1 9 8 8 年至1 9 9 0 年，平面波法( p w m ) 、格林函数法( k k r ) 等被用于对光子晶 体进行理论计算；h o k m 等发表论文提出了第一个具有实际可行性的光子晶体结 构一金刚石结构，1 9 9 1 年b l o n o v i e t h e 等指出“y a b l n o o v i t 结构可形成完全光子带 隙，并成功地制造出了世界上第一个具有完全光子带隙的三维光子晶体，它工作 于微波波段；1 9 9 4 年，几种具有完全光子带隙的光子晶体结构被提出，一维光 子晶体的光子带隙、光学双稳态和相位共扼波两个研究小组各自独立提出的一种 新型的完全光子带隙材料，这种被称为“木料堆”或“逐层叠加”的光子晶体有其独 特的优点，可以用照相平版印刷( 法) 技术制作；1 9 9 5 年a s t a r t o v v n 等人尝试用胶 体粒子的自组装技术制作光子晶体；1 9 9 6 年l i n s y 等人在二维光子晶体中观察 到，当频率非常接近带隙边缘时光子被强烈地色散；1 9 9 7 年v e l v e o d 等人首次 获得了反蛋白石结构，该结构可获得完全光子带隙；1 9 9 8 年孔m m a o t o n 和l i n s y 科研小组用平版；gj n ( 法) 术各自独立获得了“逐层叠加”结构的四层光子晶体，该 光子晶体在中一红外波长范围具有光子带隙；k o s k a a h 等发现了光子晶体的超棱 镜现象；s a c o f a r m 提出了金属一电介质一维光子晶体带隙结构模型，该光子晶体 可工作于可见光波段；提出了对光子带隙计算的新方法；1 9 9 9 年f l e m i n g j g 等 人首次发现了工作于负折射率区域的光子晶体，这是四层的“逐层叠加”光子晶 体，且其周期性低至可与负折射率频率相匹配；2 0 0 0 年n o d a s 等人用晶片熔接 法制备了八层光子晶体，并在其中引入了可控制的缺陷层；e u i s i n e 等用平板刻蚀 技术、2 0 0 2 年s o s h u k 等用立体刻蚀技术、2 0 0 3 年m i 等用全息平板印刷技术、 2 0 0 5 年m u l o t m 等用离子束刻蚀技术、2 0 0 5 年b a e k k h 等用小粒子自组装聚合 技术等成功制作了光子晶体，并研究了其光学性质。 光子晶体的应用主要基于光子晶体的能带结构中存在的光子带隙。频率处在 光子禁带内的光波不能在光子晶体中传播，因此光子晶体可以于制作全反射镜、 谐振腔、滤波器、偏振器、波导、波分复用、光开关等【3 1 - 4 6 1 。 2 北京化工大学硕士学位论文 近期的应用主要集中在高品质反射镜的制造、改善发光二极管的效率、实现 低阈值激光振荡、高品质因数微谐振腔的制造、宽带带阻滤波器的制造、极窄带 选频滤波器的制造、光开关、光子存储器、光子限幅器以及光子频率变换器等诸 多方面，前景非常广阔。 1 2 光量子阱的研究进展 1 2 1光量子阱概念 光量子阱【4 7 缶6 】是将一种光子晶体插入到另一种具有不同能带结构的光子晶 体中所构成。由于阱区能级与垒区能级的不同，光子在光量子阱结构中的状态与 简单的周期结构相比有较大的不同，使其具有特殊的光子性能。 光量子阱结构具有如下几个优势。第一，势垒厚度能够按照设计需要有计划、有 目的地增加或减小，这样可以系统地研究结构参量对光量子阱光学特性的影响。 第二，通过改变势阱的厚度，量子化能态能够在光子晶体带隙区域自由调整。第 三，通过构建闭腔光量子阱结构，可以更进一步增强对光子的束缚作用，改善光 学器件的光学性能。光量子阱结构中光子禁带被视为势垒，可以量化势阱材料的 连续态，与半导体量子阱结构中势垒对电子态的量化相似。势阱材料可以视为势 垒材料的缺陷，它可以是与势垒光子晶体结构或介电参量不同的另外一种光子晶 体，也可由均匀媒质构成，具有很大的灵活性。光量子阱概念为调节频率，调整 带宽和微腔模式提供了更多的可供选择的自由度。 1 2 2 光量子阱性质 当光量子阱势阱宽度减小到光波长量级时，光子的波函数将被明显改变，光 量子阱将展现各种量子效应。从概念上分，可以将量子效应分为如下几种类型： ( 1 ) 光子隧道效应 当光子与光量子阱结构的某一势垒相碰撞，若势垒较厚，光子不能穿越该势 垒。而当势垒厚度较薄，薄到接近光子波长时，光子在不加任何外界条件下就能 穿越该势垒，此称为光子隧道效应，这是光子所处能级不连续性和光子波动性决 定的特性。若光子初始定域在一个势阱中，在一定条件下，系统可保持原有的定 域状态，不发生隧穿现象；光子也可在系统中来回隧穿，形成振荡。 ( 2 ) 量子尺寸效应 当势阱尺寸很小，光子在该方向的运动就会出现“量子尺寸效应”，势垒将光 3 北京化工大学硕士学f 立论文 子限制在可与波长相比较的范围内，产生尺寸量子化效应，即光子的运动出现了 量子化特征，能量取不连续的分立值，致使势阱中只允许特定波长或特定波矢的 光子存在。量子尺、j - 化引起光子的固有能量呈离散化分布，不同能量的光子占据 能量不同的离散能带，形成驻波形式的能量本征态( 或称为量子阱态) 。光量子 阱的结构不同，光子尺寸化程度也不同。三维空间自由运动的光子，若在一个方 向上受到限制，便形成光量子阱，阱中光子运动的性质是准二维的，在量子阱生 长方向上能级会量子化；若光子在两个方向受限制，只在沿线的方向上能自由运 动，便形成光量子线；若在三个方向上受限制，便形成光量子点。值得注意的是， 在光量子阱结构中，由于阱宽很小，常常为光波长量级，光场不再只局限在势阱 中，而是扩展至光限制层中。 ( 3 ) 量子干涉效应 光子在光量子阱中传输，当尺寸量子化达到某种程度时才发生该效应。由于 光子的波动性，进入势阱中的光子会被多重势垒反射回来，其结果便引起先后进 入势阱的光子相互干涉。在某一能量时，干涉会使光波加强或使光波减弱，光子 的透射率强烈地依赖这些波的相位差。光波得到加强时，即产生谐振效应，谐振 结果会明显增加光子透射率。从光束相干的原理可知，这种相干图样的光强极大 值之间的间距是与参与干涉的光的波长同数量级的。 ( 4 ) 共振隧穿效应 此效应是一种特殊的隧道效应，首先在双势垒光量子阱结构中观察到。双势 垒结构和一个简单势垒的区别在其能够形成量子化能级。向量子阱入射的光子， 如果能量与中间量子阱中的束缚态能量( 即阱中量子化能级) 一致时，有很大的 穿透几率，隧穿概率可接近l ；能量不一致时，隧穿概率几乎为零。该效应可用 相干隧穿机制和顺序隧穿机制进行解释，散射作用的强度决定了这两种隧穿机制 的不同物理模型。相干隧穿机制建立在光子运动过程中散射作用较弱之时，光波 相位始终保持在相干条件基础上。而顺序隧穿机制是建立在散射作用较强，光子 运动因散射作用而不能保持原有相位基础上；这种模型认为整个隧穿过程是由两 个互相独立的隧穿过程串接而成，除了与势垒、势阱的高度和宽度有关外，共振 隧穿还与材料的能带结构有关。 1 2 3 光量子阱的研究现状 光量子阱这一领域的研究还处在理论和实践的探索时期。虽然已有文献报道 了光量子阱的概念、组成、实验方法和具体应用，但还没有形成系统的规律性认 识。跟半导体量子阱研究已达到的深度相比较，大部分工作还属于开创阶段，不 4 北京化工大学硕士学位论文 是很深入、很成熟。光量子阱是微细结构，周期结构的尺度应与光波波长处于同 一量级。要想在电磁波的各个波段上获得量子化能级，必须依靠人- r 南l j 作，但制 备工艺十分复杂。从近几年的发展历程来看，制备工艺的不成熟是制约研究进展 的瓶颈。特别是当前国内这些基础环节十分薄弱，实验样品的制备情形不容乐观， 给自主研制新型光量子阱器件带来很大的困难，还需要科研工作者们不懈的努 力，在借鉴国外同行研究的基础上，尽快发展本国的生产基地，为长远的研究发 展打好基础。 目前面临着光子晶体的发展机遇。尽管光量子阱理论和实验的研究进展很 快，但毕竟是一种全新的概念，在很多方面还没有完善。最严重的问题就是光子 晶体的材料问题，到现在为止所发现的天然材料和人工材料还非常有限。光量子 阱的材料大多为无机材料，结构模型也只有几种。另外，目前的理论研究是在给 定光子晶体的结构组成后才能定性、定量地得出结论，虽然我们已经知道有几个 参数如介电常数、晶格常数和占空比等对光子禁带有影响，但到底是什么物理机 制在光子禁带的形成中起决定作用，即怎样从物理上定量或半定量分析和设计光 子禁带，这个基本的问题还没有明确的答案。例如，如果要得到某些特殊结构的 光子禁带，该找什么样的光子晶体结构呢? 尽管现在对光子晶体的结构有了较系 统的优化设计，但光子晶体的理论分析和数值计算还有很多局限性，它们大多只 能解决特定的问题，其算法本身还需要优化，有待进一步改进。另外，光量子阱 的很多模型还只是停留在实验阶段，还需要进一步开发才能够真正地得到实际广 泛的应用。所以光量子阱的研究和开发还需要很多人的努力，还有大量的工作要 做。但我们有理由相信，随着研究的不断深入和新突破的不断产生，许多美好设 想即将成为现实，光量子阱将极大地推动光子学和光子产业的发展，光子时代将 加速向我们走来。 1 3 本论文意义和主要工作 在电子线路己经发展到极限的今天，光子晶体为解决这一问题展示了光明的 前景，就像人们现在控制半导体中的电子一样，由光子晶体做成的器件可以如人 所愿地控制光子的流动，并且光子晶体的研究不仅仅是光通信领域内的问题，它 同时对其他相关高科技领域都将产生巨大的影响，所以光子晶体越来越引起人们 的广泛关注。光子晶体将成为一种新型器件一光子器件的基础。通过研究光子晶 体的形成条件和光波在光子晶体中的传播行为，不仅能对光波与物质相互作用的 基本知识有所了解，而且能够探索性地去寻找一类新型材料，因此研究光子晶体 的构成及其光学传输性质有着基础物理和材料科学上的重要意义。本文对 5 北京化工大学硕上学应论文 ( a s ) m ( c d ) 。( b a ) m 形式和( a b ) m ( a b b a ) n ( b a ) m 形式光量子阱的滤波性能进行了 系统的研究本文共分五章，具体内容如下： 第一章为绪论。首先介绍了光子晶体的概念和性质，总结了光子晶体的研究 概况，然后在此基础上提出光量子阱的概念，概述其研究状况。 第二章介绍了几种常用的分析计算光子晶体的理论研究方法，比较分析了每 种方法的优缺点，得出最适合计算分析一维光子晶体量子阱的是传输矩阵法，并 对传输矩阵法应用在一维光子晶体模型中的分析计算过程进行了介绍。 第三章首先对构成一维光量子阱的势垒和势阱光子晶体( 彳b ) 。( b a ) 和光子 晶体( ) 。各自的性质进行了简单分析，选择参数设计( 彻) 。( c d ) 。( 鲋) 。形式光 量子阱，固定光量子阱垒层光子晶体( a b ) 。( 8 a ) 。的重复周期数，改变阱层光子 晶体( c d ) 重复周期数聆，讨论透射峰的峰值禁带宽度等变化。最后对 ( 仰) 。( c d ) 。( b a ) 。形式光量子阱引入负折射率材料讨论了含负折射率材料的光 量子阱结构的透射特性。 第四章对( 彳b ) 。( a s i a ) 。( 8 a ) 。形式一维光量子阱各个参数进行了多方面的 研究，包括：中心波长确定的情况下一维光量子阱垒区和阱区不同周期数、介质 a 和介质b 不同高低折射率比、选取不同的中心波长等，都会对该结构的禁带 宽度和透射率的影响，并指出他们在光子晶体滤波器光开光等器件上的简单应 用。 第五章为结论，系统总结了本文所研究的( a b ) 。( c d ) 。( 8 a ) 。和 ( a b ) 。( a b b a ) 。( 剐) 。形式一维光子晶体量子阱的传输特性及光谱特性。 6 北京化工大学硕士学位论文 2 1 引言 第二章光量子阱的基础理论分析 采用纯实验的方法研究光量子阱，一般研究周期较长，而且研究成本昂贵。 早期的实验工作集中在微波波段。由于没有理论指导，实验所需的知识主要来源 于长期工作的经验。受实验工作的推动，一些理论工作者开始介入，不同标准且 成熟的数值计算方法扮演着越来越重要的角色。通过计算机可计算出由麦克斯韦 方程所描述的各种光学现象，并能达到非常高的精度。这样，可指导光量子阱的 设计，为实验制作指明方向、提供参数、缩短制作时间和减少制作成本。 能带结构是光量子阱研究的中心课题。早期研究能带结构采用的是标量波动 方程，忽略了光子具有两个偏振方向。结果表明，标量波方程的解不能完全反映 真实情况，与实验不符。后来采用计及光子的两个偏振方向的矢量波方法，与实 验符合得很好。由于电磁场的矢量特性，光子晶体的理论模拟变得比较困难。尽 管如此，几种理论上的模拟和实验上的结果己取得了极好的一致。事实上，这些 理论方法比电子能带理论计算方法更为完善，主要原因是光子之间不存在库仑相 互作用，而这在电子能带计算中是必须要考虑的。从能带理论的精确度来看，虽 然电子结构中一般认为能带理论总是一种很好的近似，但事实并非如此，当电子 之间有很强的相互作用时，这种近似就变得很粗糙。从这个角度来讲，能带理论 对光子比对电子更有意义。 2 2 光子晶体的理论分析方法 上世纪8 0 年代末期光子晶体的概念被提出以后，y a b l o n o v i t c h 和g m i t t e r 于 1 9 8 9 年首次在实验上证实三维光子能带结构的存在，至此，物理界展开这方面 的理论研究。由于光子晶体有类似电子晶体的结构，人们通常采用分析电子晶体 的方法再结合电磁理论来分析光子晶体的特性，并取得了和试验一致的结果。主 要的方法有：平面波展开法( p l a n ew a v ee x p a n s i o nm e t h o d ，简称：p w m ) 、传输 矩阵法( t r a n s f e rm a t r i xm e t h o d ，简称：t m w ) 、时域有限差分法( f i n i t ed i f f e r e n c e t i m ed o m i n e ，简称：f d t d ) 等。 7 北京化工大学硕士学位论文 2 2 1 平面波展开法 平面波法是在光子晶体能带研究中用得比较早和应用最广的一种方法。平面 波展开法是一种频域的方法，主要是通过将电磁场在倒格矢空间以平面波叠加的 形式展开，将麦克斯韦方程组化成一个本征方程，通过求解本征值便得到允许传 播的光子的频率。它是光子晶体研究中应用得最多的一种方法，对于计算各种结 构的理想光子晶体的光子能带结构特别有效。在计算光子晶体结构中直接应用结 构的周期性将麦克斯韦方程组中的场矢量按平面波在晶体介电周期的倒格子空 间作傅立叶展开，运用b l o c h 理论得到展开式系数所满足的本征方程，求解本征 值便得到传播的光子本征频率，从而可以求出光子晶体的带结构、色散关系。应 用超晶胞技术，平面波展开方法流行两种形式，一种是常规平面波展开法，另一 种是k m h o 等提出的方法。该方法的特性是有利于从理论上分析二维、三维光 子晶体的周期特性、填充比对带结构的影响，指导光子晶体的设计。但是，平面 波方法有明显的缺点：难以直接得到有限周期光子晶体的透射率、反射率的具体 结果；计算量与平面波的波数有很大的关系，几乎正比于波数的立方。在平面波 的波数为无限多时，e m e m o d 及h m e t h o d 计算所得到的光谱都相同。但即使 是使用几千个平面波来计算，这两种方法得到的光谱差异也很大，因此平面波展 开法受到严格的约束，对某些情况无能为力。在处理有缺陷的体系时，需要大量 平面波，可能因为计算能力的限制而不能计算或难以计算，往往超出计算机所能 承受的范围。当介电常数不是恒值而是随频率变化时，没有一个确定的本征方程 形式，展开时可能发散，根本无法求解。 2 2 2多重散射法 多重散射法把光子晶体作为个散射体来研究，其空间的辐射边界条件自然 满足，不需要像时域有限差分法那样进行人为的边界条件设置，占用很少的计算 机资源，并且收敛快，精确度高，既能计算传输谱，也能得到场分布。缺点是只 能计算二维情况，且一般用于处理同种介质，对于非线性等一些复杂的问题则较 难处理，很难应用于实际器件的设计。 2 2 3 时域差分法 时域有限差分法是电磁场数值计算的经典方法之一。这种方法直接把含时间 变量的m a x w e l l 方程在y e e 氏网格空间中转化为差分方程，在差分格式中每个网 8 北京化工大学硕士学位论文 格点上的电场或磁场分量与它相邻的磁场或电场分量及上一时间步该点的场值 有关。按时间步计算网格空间各点的电场和磁场分量，随着时间的推进，能直接 模拟电磁波的传播及其与物体的相互作用过程。由于在差分格式中被模拟空间电 磁性质的参量是按空间网格给出的，因此只需对相应空间点设定适当的参数，对 介质的非均匀性、各向异性、色散特性和非线性等结构，均能很容易地进行精确 模拟。该方法原则上能处理任意结构的光子晶体。这种方法的优点是简单直观容 易编程，且可大大减少计算量节省计算机内存。 2 2 4 传输矩阵法 传输矩阵法，有的文献称为特征矩阵法或转移矩阵法。传输矩阵法是运用电 磁场理论和矩阵光学的方法研究稳态情况下光子晶体的光学透射率、反射率和色 散关系等。具体方法是将实空间或倒格矢空间分割成许多薄层，每一层的厚度非 常小，以至于可以认为层内的介电常数和磁导率是不变的，每一薄层两边的电磁 场可以通过一个矩阵形式进行转换，由矩阵的乘法可得到整个晶体空间的传输矩 阵，从而将麦克斯韦方程组化成转移矩阵形式，变成本征值求解问题。转移矩阵 表示一层格点的场强与紧邻的另一层格点场强的关系，它假设在构成的空间中在 同一个格点层上有相同的态和频率，这样可以利用麦克斯韦方程组将场从一个位 置外推到整个晶体空间。这种方法对介电常数随频率变化的金属系统特别有效。 由于转移矩阵小，矩阵元少，计算量较平面波法大大降低，只与空间格点数的平 方成正比，精确度也非常高。这对从理论上研究光子晶体的色散特性、电磁波的 带结构、光孤子传播、脉冲压缩、非线性效应等是非常有效的方法。主要通过将 电磁场在实空间格点位置展开，利用m a x w e l l 方程组得到光子晶体的转移矩阵来 计算有限周期光子晶体的透射谱和反射潜。传输矩阵表示一层( 面) 格点的场强与 紧邻的另一层( 面) 格点场强间的关系。假设在构成的空间中在同一格点层( 面) 上 有相同的态和相同的频率，这样可以利用麦克斯韦方程组将场从一个位置外推到 整个晶体空间，得到光子晶体的透射( 反射) 系数。它对于处理介质介电系数随频 率变化的情况以及包含有金属这样耗散介质的体系特别有效。 在实际理论分析中，还有很多其他的方法，如：有限元法、n 阶法等。这些 方法各有优缺点，在应用时要根据实际场合合理地选用。通常是先应用这些方法 分析得出光子晶体的一些特性，再由试验来对结论进行验证。 在用电磁理论来分析光子晶体的特性时，可以套用固体能带理论的方法，同 时可以从光学的角度进行计算。麦克斯韦方程从根本上决定了光场在光子晶体内 的传播规律，因此可以利用在电磁波理论分析光波在光子晶体中的传播问题。对 9 北京化t 大学硕士学位论殳 于一维光子晶体，可以看作是多层膜的叠加问题，因此我们可以用传输矩阵法对 介质膜层中的光波进行计算分析。本章主要介绍在研究中所依据的基础理论知识 和采用的传输矩阵计算方法。 1 、电磁波在介质中的传播 描写电磁场的麦克斯韦方程组为： v 虑一争( 2 - 1 ) v 肌一等“胁2 ) vxd = p q 一3 ) v x b = 0 ( 2 4 ) - - m， 其中云是电场强度，西是电位移矢量，疗是磁场强度，雪是磁感应强度，p 是电荷密度，7 为电流密度，由于介质受磁场作用的极化响应，豆、西和厅、云 满足如下的物质方程： d = s e j ( 2 5 ) b = ( 2 - 6 ) 式中g 和为介质的介电常数和磁导率常数，一般比较复杂，可以是频率的 函数，即存在色散现象。现在只讨论一种比较简单的情况，即对于均匀的、各向 同性的介质，s 和为常数，可以写成： s = 8 0 6 r 一( 2 7 ) = 懿所- ( 2 8 ) 式中岛和岛为真空的介电常数和磁导率常数，和所为介质的相对介电常 数和相对磁导率常数。 由于在介质中即没有空间电荷也无电流，p = 0 ，j = 0 ，将( 2 5 ) 式一( 2 8 ) 式带入( 2 1 ) 式一( 2 4 ) 式，于是得到 v e = 0 ( 2 9 ) v 岳一 - ( 2 - 1 0 ) v x b = 0 ( 2 1 1 ) v x 云= 从毛t 百a e ( 2 一1 2 ) 北京化工大学硕士学位论文 对( 2 一lo ) 式两边取旋度 v x ( v v ) ：v ( v 豆) 一v 2 豆：一婴m ( 2 1 3 ) 优 把( 2 9 ) 和( 2 - 2 ) 代入( 2 1 3 ) 中即可得到e 和b 满足的波动方程 ( v 2 一万1 矿3 2 ) 豆= ”( 2 1 4 ) ( v 2 一了1 矿1 3 2 ) 雪( 2 1 5 ) 式中q 为介质中电磁波的波速： c l ：士：士：三一f 2 1 6 ) 铲面2 孺菰2 瓦2 一 c 为光速，行为介质的折射率。式( 2 1 4 ) 和( 2 1 5 ) 的解为 丘= 扇“芦圳( 2 一l7 ) 云= 反p 嘶叫( 2 18 ) 其中i 是波失，它的方向沿波的传播方向，垂直于平面波的等位面。 i ：孥磊：竺磊( 2 19 ) 毛是沿波传播方向的单位矢量，允为波长，国是角频率。介质中的传播的电 磁波具有以下特征： ( 1 ) 介质中的电磁波是横波并且以速度g 传播。 ( 2 ) 线性介质中的电磁波是平面偏振波。 ( 3 ) 线性介质中电磁波的能量密度为：彩= 云1 ( g e 2 + 万1 b 2 ) ( 4 ) 线性介质中电磁波的能流密度为：雪氡疗= 序2 邓云 2 、电磁波在分层介质中的传播 周期性介质的光学特性可以由介电张量和磁导率张量来描述，它们表现出在 某方向如x 方向的平移对称性 g ( x ) = 占( x + 口) ，( x ) = ( x + 口) 一( 2 2 0 ) 其中a 为晶格常数。在三维周期性介质中，则以三个基矢q 、表示晶体的 周期性，当经过位移矢量口= 嗽+ 鸭+ 红( 其中历，刀，为任意整数) 作平移 北京化_ l 大学硕：学位论文 变换后，介质仍然保持平移对称性。当频率为c o 的单色光在周期性介质中传播时， 根据m a x w e l l 方程有： v = i r 0 6 e 一( 2 21 ) vxe = 一i c o l a h q - 2 2 ) 由于介质的平移对称性，有： 日= h k ( z ) p 一【2 2 3 ) e = 色( x ) p 一一( 2 2 4 ) 这时巨( x ) 和h 。( x ) 都是周期性函数，即 e ( 功= 巨( x + 口) ( 2 - 2 5 ) 月l ( x ) = h ( x + 口) ( 2 2 6 ) 此即b l o c h 定理，其中后为b l o c h 波矢。张量具有如下周期性： 占( z ) = 6 ( z + i a ) ( 2 2 7 ) 其中a 为周期，为任一整数。这里假定传播介质是非磁性介质。假设有一束光 入射进一多层介质，在该介质中电场满足如下波动程： v x ( v e ) 一国2 ，店e = 0 一( 2 - 2 8 ) 因为介质是周期性的，可以将e ( z ) 展成如下f o u r i e r 级数的形式： e ( ，) = p 一曲( 2 2 9 ) 其中g 为倒格矢，在一维情况下 g = l g = ，警却= o + l ，+ 2 ，m ) ( 2 _ 3 0 ) 其中三为z 方向上的单位矢量，则： s ( z ) = g 尸一啦”枷( 2 - 31 ) 同时，电场可作如下f o u r i e r 展开： s ( ，) = ，d 3 触( 尼) p 罐一( 2 - 3 2 ) 将( 2 2 9 ) 和( 2 - 3 2 ) 代入( 2 2 8 ) 中，可以看到 j | 【后4 ( 尼) 】+ 国2 ( 后一g ) = o ( 2 3 3 ) g 如此，形成关于k 的一系列子集，相应的e ，可以表示为： 1 2 北京化工大学硕士学位论文 丘= y 彳( 后一g ) e 一似一g p = e - 7 k r ya ( k g ) e 1 g “_ j、-一 gg q - 3 4 ) = p - i k r 乜r ( 厂) 对于一维，由( 2 - 3 0 ) 可以得到： e ( z ) = a ( k - l g ) e 啦”扯( 2 3 5 ) f 如果介质在x ，y 方向上是各向同性的，则由式( 2 3 4 ) $ 1 ：i ( 2 3 5 ) 可以推出： e = e 一卅k y y p e k z ) ( 2 3 6 ) 其中e ( z ) 为周期函数。 2 3 传输矩阵的理论模型 传输矩阵法是研究多层薄膜理论的现代方法，对于基本研究和数值计 数，它具有快捷和普遍的优点，它首先是由p e n d r y