（应用数学专业论文）一类非线性发展方程的精确解.pdf

学位论文版权使用授权书 i 科f 燃f f 6 g 江苏大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、中国学术期刊( 光盘版) 电子杂志社有权保留本人所送交学位论文的复印件和电子文档，可以采用影印、 缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致， 允许论文被查阅和借阅，同时授权中国科学技术信息研究所将本论文编入中国 学位论文全文数据库并向社会提供查询，授权中国学术期刊( 光盘版) 电子杂 志社将本论文编入中国优秀博硕士学位论文全文数据库并向社会提供查询。 论文的公布( 包括刊登) 授权江苏大学研究生处办理。 本学位论文属于不保密口。 指导教师签 沙f f 侑叩 不0年 名 签 者作文沦位学 一类非线性发展方程的精确解 e x a c ts o l u t i o n st oa n do f n o n l i n e a re v o l u t i o n a r y e q u a t i o n s 2 0 1 1 年6 月 江苏大学硕士学位论文 摘要 近年来，对非线性问题的研究一直是人们关注的热点，非线性科 学也在科学技术的各个领域做出了重大贡献本文主要围绕精确求解 非线性发展方程( n e e ) 的若干问题进行了研究和探讨，介绍了几种精确 求解非线性发展方程的重要方法如f 展开法、j a c o b i 椭圆函数展开法、 扩展的j a c o b i 椭圆函数展开法、新的扩展的j a c o b i 椭圆函数展开法，给 出了多种扩展的j a c o b i 椭圆函数法中形式解的统一形式应用新的扩展 的j a c o b i 椭圆函数展开法研究了k d v - m l 殂v 方程、m k d v 方程，除了得 到已有的大量结果外，还得到了许多有意义的新解这一方法与传统 的方法相比，具有形式统一、使用方便、得到的结果更全面等优点这 对于发现新的孤立子解，研究孤子的结构有着积极的意义应用f - 展 开法研究了变系数k d v 方程的特殊形式，还得到了一些有意义的解 关键词：非线性发展方程，扩展的j a c o b i 椭圆函数展开法，f - 展开法， 精确解，孤子解，周期解 一类非线性发展方程的精确解 江苏大学硕士学位论文 a b s r a c t r e c e n ty e a r s ，n o n l i n e a rp r o b l e m sb e c o m eah o tt o p i ci nm o d e mp h y s i c sa n d n o n l i n e a rs c i e n c ea l s oc o n t r i b u t e sg r e a t l yi nm a n yf i e l d st os c i e n c ea n dt e c h n o l o g y n o n l i n e a rp h y s i c si so n eo ft h ei m p o r t a n tb r a n c h e si nn o n l i n e a rs c i e n c e t h i sp a p e r m a i n l yf o c u s e so nt h ei s s u e so ff i n d i n ge x a c ts o l u t i o n so fn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n ， a n di n t r o d u c e ss e v e r a li m p o r t a n tm e t h o d so fa c c u r a t es o l u t i n gn o n l i n e a re v o l u t i o n e q u t i o n s f o re x a m p l e ，f - e x p a n s i o nm e t h o d ，j a c o b ie l l i p t i ce x p a n s i o nm e t h o d ， e x t e n d e dj a c o b ie l l i p t i ce x p a n s i o nm e t h o d ，n e we x t e n d e dj a c o b ie l l i p t i ce x p a n s i o n m e t h o d ，a n dg i v et h eu n i f i e de x p r e s s i o no ff o r ms o l u t i o n so fj a c o b i a ne l l i p t i cf u n c t i o n s u s i n gn e we x t e n d e dj a c o b ie l l i p t i ce x p a n s i o nm e t h o dt or e s e a r c ht h ee x a c ts o l u t i o n so f k d v - m k d ve q u a t i o na n dm k d ve q u a t i o n ，w eo b t a i nal o to fn e ws o l u t i o n se x c e p t m a n ys o l u t i o n sw h i c hw eh a v ek n o w n c o m p a r e dt ot r a d i t i o n a lm e t h o d s ，t h i sm e t h o d h a sm a n ya d v a n t a g e s s u c ha s ，h a v i n gu n i f i e df o r m s ，e a s yt ou s e ，a n dt h er e s u l t si sm o r e c o m p r e h e n s i v e ，e r e t h em e t h o dh a sa c t i v em e a n i n gf o ru st of i n dn e ws o l u t i o n sa n d r e s e a r c hs t r u c t u r eo fs o l i t o n s a p p l i c a t i o no ff - e x p a n s i o nm e t h o d ，w er e s e a r c h e da s p e c i a l o fk d ve q u a t i o nw i t hv a r i a b l ec o e f f i c i e n t s ，a l s or e c e i v e ds o m e i n t e r e s t i n g s o l u t i o n s k e yw o r d s ： n o n l i n e a re v o l u t i o n e q u a t i o n ， e x t e n d e dj a c o b i a n e l l i p t i c f u n c t i o n e x p a n s i o nm e t h o d ，fe x p a n s i o nm e t h o d ，e x a c ts o l u t i o n s ，s o l i t o n s o l u t i o n s ，p e r i o d i c a ls o l u t i o n s 一类非线性发展方程的精确解 江苏大学硕士学位论文 第一章 1 1 1 - 2 1 3 第二章 2 1 2 2 2 3 2 4 第三章 目录 蕾论。1 研究背景1 研究现状2 本文的主要工作和研究意义2 基本概念4 孤立子定义4 孤立波与孤立子4 孤立子发生机理。4 孤立子的结构和分类。5 研究方法6 3 1j a c o b i 椭圆函数。6 3 2j a c o b i 椭圆函数法8 3 2 1j a c o b i 椭圆正弦函数展开法8 3 2 2 扩展的j a c o b i 椭圆函数展开法之一1 0 3 2 3 扩展的j a c o b i 椭圆函数展开法之二1 1 3 2 4 扩展的j a c o b i 椭圆函数展开法之三。1 2 3 2 5 新的扩展的j a c o b i 椭圆函数展开法。1 4 3 3f 展开法。1 5 第四章新的扩展的j a c o b i 椭圆函数展开法的应用。一1 7 4 1 组合k d v m k d v 方程的精确解。1 7 4 2m k d v 方程的精确解2 3 第五章f 展开法求解变系数k d v 方程的精确解。3 l 5 1 变系数非线性方程的f 展开法3 1 5 2 变系数k d v 方程的精确解。3 1 结束语 参考文献 致谢 攻读硕士期间发表的论文 3 4 3 5 3 7 3 8 v 江苏大学硕士学位论文 1 1研究背景 第一章绪论 孤子最早是在自然界中发现的，从发现到现在虽然经历了一百多年，但是他的 重大发展和在许多学科中的应用开始于2 0 世纪7 0 年代，其发展大致分三个阶段 第一阶段主要在上世纪最早讨论孤立子问题的是s c o t tr u s s e l l ，但他的学说 并未能成功的使当时的物理学家信服，孤立波的问题在当时许多物理学家中间引 起了热烈争论直到6 0 年后，即在1 8 9 5 年，k o r t e w e g 和d e c r i e s 导出了著名的 k d v 方程，解释了r u s s e l l 的浅水波现象，才使得有关争论告一段落 第二阶段大致可划在1 9 5 5 1 9 7 5 年1 9 5 5 年f e r m i ，p a s t a ，u l a m ( f p u ) 用 计算机计算了一维非线性晶格在各个振动模之间的转换，发现在时间足够长时能 量又似乎回到了开始的分布，这与经典的理论背道而驰后来t o d a 研究了这种模 式的非线性振动，得到了孤波解，使f p u 问题得到正确回答，从而激发了人们对 孤立波的研究兴趣 第三阶段自1 9 7 5 年至今孤子理论的研究蓬勃发展，含有孤子或孤波的论 文数目几乎是直线增加这是由于孤子理论的发展已具备了必备的数学工具和在 众多的学科里确认孤子的存在，且更重要的是发现孤子有许多实际应用因而引 起了各国学术界的重视，投入越来越多的人力和资金，国际性学术会议相继召开， 国际性非线性科学的杂志相继问世如1 9 7 8 年7 月在英国牛津召开了“凝聚态物 理中的非线性( 孤子) 结构和动力学会议”，专门刊登非线性科学论文的期刊 ( ( p h y i c i ad 于1 9 8 0 年出版 在我国，孤子理论的研究始于2 0 世纪7 0 年代当时杨振宁、李政道教授等 回国讲学时，介绍了孤子理论的研究发展，并指出它的重要性随后在中国科学 院和国内部分高等学校相继展开了孤子方面的研究工作曾于1 9 8 0 在厦门，1 9 8 6 年在上海分别召开了小型讨论会，推动了孤子理论的研究活动我国从事孤子理 论和实验研究的人力、物力增加得很快 孤立波的早期研究大都局限在单一的学科中，随着新问题的不断涌现，孤立 波的研究也逐渐扩展到其他领域非线性是物理现象的本质，非线性问题与物理 一类非线性发展方程的精确解 学问题相伴而生，可以从物理问题推导，导出包括孤立子方程在内的许多非线性 发展方程物理的启发性、实用性和数学的严密性相结合，相互依赖，相互渗透， 相互促进，从而使孤立子理论显示出了强大的生命力 1 9 7 3 年，电子和光学界普及了孤立子理论同年，h a a e g a w at a p p e r t 预言光 纤孤子的存在性1 9 7 5 年，k r u m h a n s ls c h i e f f e r 开始研究孤波的统计力学非线性 方程的求解自然也出现在很多领域中，非线性发展方程的精确解成为了非线性科 学中的一个重要课题对这一比较热门的课题，科学家们虽然已经做了大量的工 作，给出了很多方程的精确解，也得到了一些很有效的解法，但这些解法都是针 对某个方程或某一类方程，对于非线性发展方程还没有系统的、统一的解法正 因如此，使得非线性发展方程精确解的研究具有很大的研究价值和空间，很多科 学家一直活跃于这一领域 1 2 研究现状 非线性发展方程与许多的非线性现象密切相关为进一步解释这些物理象， 人们已采用了许多有效的方法来寻求非线性发展方程的精确解但截至目前为止， 主要的方法有：p a i r d e v e 截断展开法、c k 直接法、t a n h 函数法、三角函数法、齐 次平衡法、r i c c a t i 方程法、j a c o b i 椭圆函数法【2 】、b a c k l u n d 变换法【3 】、d a r b o x 变换 法【4 】、推广的t a i l l l 函数法【5 】、s i n e c 0 s i n e 法【6 】、逆散射方法【8 】、f 展开法【9 】、h i r o m 双线性函数法【2 9 】、各种微扰法【3 0 】- 【3 3 】，小参数法、变分法、不变量法，以及其 他各种形式的拟设法等这些方法可以归为三大类：一、直接拟设法；二、间接 拟设法，后者又分为借助约束方程和借助算子两种；三、分离变量法新的方法 还在不断涌现，是对传统方法的修正和发展，构造更加精巧，适用范围更加广泛， 能获得的解更多数学的发展史告诉我们，往往是方法越简单，威力越强大，当 然所蕴含的数学原理也越丰富，求解也必然会从单个方程走向一类方程，从单个 解走向一类解，从常系数走向变系数，从低维走向高维，从低阶走向高阶 1 3 本文的主要工作和研究意义 本文主要围绕非线性发展方程的精确求解的若干问题进行了研究和探 讨，主要内容有： 2 江苏大学硕士学位论文 第二章介绍了与本文相关的一些基本概念，符号，给出了孤立子的定义和发 生机理，探讨了孤立波和孤立子的异同 第三章介绍了几种精确求解非线性发展方程的重要方法如f - 展开法、j a c o b i 椭圆函数展开法、扩展的j a c o b i 椭圆函数展开法之二、扩展的j a c o b i 椭圆函数展开 法之三、新的扩展的j a c o b i 椭圆函数展开法给出了多种扩展的j a c o b i 椭圆函数法 中形式解的统一形式 第四章应用新的扩展的j a c o b i 椭圆函数展开法研究了k d v - m k d v 方程、m k d v 方程以符号计算软件m a p l e m a t h e m a t i c a 为工具，除了得到已有的大量结果外， 得到了许多有研究价值的新解 第五章应用f 展开法研究了一个特殊的变系数k d v 方程，得到了许多有研究价 值的解 本文研究的意义：j a c o b i 椭圆函数展开法是近年提出的一种求解非线性演化 方程孤立波解和周期波解的直接拟设的方法，此方法通过直接拟设方程的解为椭 圆函数来求解方程的精确解随着拟设的椭圆函数的约束条件的不断简化，扩展 的j a c o b i 椭圆函数法中形式解的形式逐渐统一我们将其应用于求解k d v - m k d v 方 程、m k d v 方程同时以符号计算软件m a p l e m a t h e m a t i c a ：为i 具，除了得到传统的 结果外，得到了许多有研究价值的新解及其数值模拟图像这对于发现新的孤立 子解，研究孤子的结构有着积极的意义应用f 展开法研究了一个特殊的变系数 k d v 方程，由此证明了此方法在构造非线性方程精确解方面有很高的使用价值 3 一类非线性发展方程的精确解 2 1 孤立子定义 第二章基本概念 孤立子理论是一综合性、交叉性、集成性的学科，在揭示物质世界基本规 律、预见新现象、促使不同学科交叉和渗透、推动基础学科和新兴学科的发展、 引领新技术革命等方面起到了无可替代的重要作用有许多非线性发展方程都具 有物理意义，它的解能成功地解决物理中的许多现象，为其他学科的发展也起到 了巨大的推进作用 但目前对孤立子还没有一个确切的定义李政道 2 8 1 认为：在一个场论系统中， 如果有一个经典解，他在任何时间都束缚于空间的一个有限区域内，那么这个解 就叫做经典孤立子解 对于孤立子目前一般有下列两种定义： 定义2 1 ：孤立子是波动问题中的一种能量有限局域解，能在空间给定区域稳定存 在，相互作用不改变各自的特征 定义2 2 ：孤立子是向单方向传播的行波，( 形式( x 一耐) 为右行波，矽( x + 以) 为左 行波若x = c ，当f = o 时，波行为矽( c ) ；当波以速度口运动，在t = 矗时，x = c q , a t l 波形( x 一口) = 矽( c ) ，在运动中波行保持不变) 分布在空间的一个, j , x e x , ，波 动形状不随时间演变而发生变化，相互之间的作用具有类似粒子一样的弹性碰撞 2 2 孤立波与孤立子 孤立波在形态上：孤立波是存在于自然界罩的相干结构( 或称拟序结构) 它 是一种行波，既可以以速度1 ，在空间传播，又可以处于静止状态 孤立子具有弹性碰撞特性的孤立波称为“孤立子s o l i t o n ”，简称“孤子”孤立 子是由非线性场所激发的能量不弥散的、形态上稳定的准粒子 2 3 孤立子发生机理 4 经研究发现，一般具有孤子解的非线性方程都可表示成： 江苏大学硕士学位论文 运动项+ 色散项+ 非线性项= 0 或运动项+ 色散项+ 非线性项+ 耗散项= o 其中的运动项主要包括了状态矢量随时间的变化，这是物质始终处于运动状态的 具体体现，没有必要去深入研究它但色散项和非线性项具有重要作用，则一般 认为孤立子之所以产生，归根结底就是由于色散效应和非线性作用相互影响和相 互平衡造成的 2 4 孤立子的结构和分类 在孤立子的类型中，最常见的是钟形和扭结形孤波解，除此以外，还有包络 孤子、拓扑性孤子、呼吸子、亮孤子和暗孤子、正孤子和反孤子，以及它们叠加 而成的形形色色的孤子 从拓扑性质角度，孤立子可分为拓扑性孤立子和非拓扑性孤立子拓扑性孤 立子稳定存在的必要条件是有简并真空态，即在无穷远处存在不同的真空态，或 者说不同的边界条件；有孤立子解时，无穷远处的边界条件与没有孤立子解时的 不同非拓扑性孤立子不需要简并真空态，无论有无孤立子，在无穷远处都有同 样的边界条件 按空间的维数来分，孤立子可分为： ( 1 ) ( 1 + 1 ) 维空间中的孤子：( 明，暗) 钟型孤立子、( 反) 扭型孤立子、奇异型孤 立子、紧孤立子( c o m p a c t o n ) 、尖峰孤立子? e a k o n ) 、呼吸子、类孤立子、n 孤立 子、光孤子等 ( 2 ) ( 2 + 1 ) 维空间中的孤子：( 明、暗) 钟形孤立子、( 反) 扭形孤立子、奇异孤立 子、( 多类) 紧孤立子( c o m p a c t o n ) 、( 多类) 尖峰孤立子( p e a k o n ) 、呼吸子、类孤立子、 n - 孤立子、( 多) d o n n a i n 解( 直线孤子) 、( 多) s o l i f f ) 挥( 半直线孤子) 、圆锥曲线孤子( 抛 物孤子、双曲孤子、r i n g 环孤子) 、( 多类) l u m p 1 孤子( 团孤子) 、峰孤子、方形孤子、 菱形孤子、瞬子、似瞬子、折叠子、光弧子、激子孤子、声子孤子、磁子孤子、 质子孤子、液晶孤子、分子孤子、m 型孤子、w 型孤子、涡旋孤子和水孤子等 ( 3 ) ( n + 1 ) 维空间中的孤子：除了上述孤子类以外，更多的类别和形式的孤子结 构还有待我们探寻和发现 随着研究的深入，新的研究方法不断的被发现，因此，新的孤子结构还将不 断的涌现，这对我们进一步深入了解和研究非线性科学必将提供新的视角 5 一类非线性发展方程的精确解 3 1j a c o bi 椭圆函数 第三章研究方法 j a c o b i 椭圆函数的产生最初源于椭圆的弧长公式，在介绍j a c o b i 椭圆函数之 前我们先定义椭圆积分： 定义3 1 ：l e g e n d r e 椭圆积分 第一类l e g e n d r e 椭圆积分为： 一 u2 i 旬 其中0 所 1 称为模数 缈：f 一 国 ( 3 1 ) ( 3 2 ) 称为第一类完全l e g e n d r e 椭圆积分 定义3 2 ：j a c o b i 椭圆函数 根据( 3 1 ) 式知u 是t , m 的函数，反之也可以认为t 是u , m 的函数，从而可以得到 三种j a c o b i 椭圆函数的定义： j a c o b i 椭圆正弦函数：s n ( u ，m ) = r = s i n j a c o b i 椭圆余弦函数：e n ( u ，所) = l f 2 = c o s 第三种j a c o b i 椭圆函数：d i l ( 材，聊) = 圻丽= 、i 二孑i 巧 其它九种j a c o b i 椭圆函数： n s u = s n 一1 “，n c u = c n 一1 “，n d u = t i n 一1 “， s o u = s n u = l c i l 一1h ，s d u = s n u , d n u ，d c u = d n u c n u ， c s u = s o 。1 “，d s u = s d 一1 “，c d u = d c u j a c o b i 椭圆函数几类重要性质如下： 恒等式： s l l 2 u + c i l 2 u = l 卜m 2s n 2 m = d i l 2 h ， 肌2 c n 2 u + 1 一刀1 2 = d n 2 u ，圆2 = n s 2 u 一1 d s 2 u = a s 2 u 所2 ，d s 2 “= 1 一胁2 + c s 2 u ， 6 江苏大学硕士学位论文 微分： n c 2 ”= s c 2u + l ，d c 2 “= l + ( 1 _ 册2 ) s c 2 甜， d c 2u = m 2 + ( 1 一m 2n ou , c d 2 u = l - ( 1 - m 2 ) s d 2 甜， n d 2u = l + m 2s d 2z f ，历2 c d 2 u = l 一1 - m 2 ) n d 2 “ d ( s n u ) ：c n 甜d n “ d u d ( c n u ) = - s n u d n u ， d ( n _ s u ) = - c s u - d s u , d ( d - s u ) ：一n s 甜c s 甜， a u a u d ( c _ s u ) ：一n s 棚s 甜，掣：n c 甜d c 甜， a u a u d ( 砌n c u ) = s c u d c u , d ( d c u ) d u = ( 1 一聊2 ) n c 粥c 甜， 口甜 、7 d ( n _ d u ) = m 2s d 扰c d 甜， a u u c d 甜 d 了( c d u ) = 一( 1 一所2 ) s d u o n d u , d ( “d “n u ) = 一所2 s nz ，c n 列 退化： 当用斗0 时， s n u - - - s i n u ，c n u 哼c o s “，d n u _ 1 ，嬲比c s c u ， c s u c o t u ，d s u 专c s c u ，s c u - - - t a n u ，n c ujs e c u ，d c ujs e c h ， s d u - - - s i n u ，c d u 专c o s u ，n d uj 1 当m _ 1 时，s n ujt a n h u ，c n u s e c h u ，d n u _ s e c h “，n s ujc o t h h ， c s u 专c s c h u ，d s u c s c h u ，s o u s i n h u ，n c u _ c o s h u ， d c u - l s d us i n h u ，c d u - - - l n d u 专c o s h u 定义3 3 ：w e i e r s t r a s s 椭圆积分 第一类w e i e r s t r a s s 椭圆积分为： f = f ：丽1 矿c 3 d r 其中c 2 ，c s 为常数，称为w e i e r s t r a s s 椭圆函数不变量 定义3 4 ：w e i e r s t r a s s 椭圆函数 ( 3 3 ) 根据( 3 3 ) 式知f 是“，c 2 ，c 3 的函数，反之也可以认为u 是孝，c 2 ，岛的函数，从而 可以得到w e i e r s t r a s s 椭圆函数的定义：称函数u = t 9 ( 孝，c 2 ，巳) 为w e i e r s t r a s s 椭圆函 数显然我们有： 7 一类非线性发展方程的精确解 刎卅吩 3 2 j a c o b i 椭圆函数法 ( 3 4 ) j a c o b i 椭圆函数展开法是近年提出的一种求解非线性演化方程孤立波解的有 效方法，其也可以用来求解非线性演化方程的周期波解鉴于双曲函数展开法能 够求得很多非线性演化方程的孤波解和冲击波解，但是不能求得非线性演化方程 的周期波解，文u 1 9 ，2 0 2 4 1 提出了j a c o b i 椭圆函数展开法这种方法包含了双曲正 切函数展开法，也可以求得方程的孤立波解和冲击波解j a c o b i 椭圆函数法是一种 直接拟设的方法，就是通过直接拟设方程的解为椭圆函数来求解方程的精确解的 方法 此方法的特点： ( 1 ) 此方法求得的行波解，波形、波数、频率、宽度、速度均不随时间变化 ( 2 ) 最终是把微分方程化为代数方程来求解 ( 3 ) 在极限情况下( 模数册专1 或m 一0 时) ，j a c o b i 椭圆函数周期解分别退化为 孤立波解和三角函数周期解 为达到此目的，通过引入一个或者数个展开函数，把解表达为展开函数的有 限项级数当然，并不是所有的o d e 都可以化为展开函数的多项式，也不是随便 引入展开函数就能把o d e 化为它们的多项式所以，该方法只是针对某一类方程 求解的在选择展开函数的时候，要能够保证化o d e 为多项式方程 这类方法的最大好处是能够实现机械化计算正因为如此，该方法提出后迅 速得到了广泛的推广和应用有很多复杂的非线性演化方程，在以前用手工来解 基本是不可能的现在借助高速电子计算机代数系统如m a p l e 或m a t h e m a t i c a ，解 一些复杂的方程，已经有了可能性和现实性 在很多情况下，由上面方法得到的非线性代数方程组也是很复杂的，如f i i 更 有效地求解这样的代数方程组，是个值得研究的问题 3 2 1j a c o bi 椭圆正弦函数展开法 设非线性发展方程的般形式为： 8 江苏大学硕士学位论文 a ( u , u t ，u ，u n ，u 矗，h 。，一) = 0 其中a 是关于变元口，u ，u x ，u 口，u 搿，的多项式 第一步：做行波变换： ( 3 5 ) u ( x ；t ) = u ( 0 孝= k ( x - c t ) + 磊 ( 3 6 ) 将( 3 6 ) 式代a ( 3 5 ) 式中，贝j j ( 3 5 ) 式约化为一个非线性常微分方程： b ( ，“”，h ”，) = 0 ， ( 3 7 ) 第二步：假设( 3 7 ) 的行波解u ( 孝) 可以展开为下列j a c 0 b i 椭圆正弦函数s n ( 善) 的 级数： u ( 善) = 口，s n 7 ( 乡) j 曲 ( 3 8 ) 其中面du = 砉a j s i l l - 1 孝c n c a n 孝，c n 孝和d n 孝分别为j a c o b i 椭圆余弦函数和第三种 j a c o b i 椭圆函数且满足上一章的所列举的恒等关系和导数关系 第三步：通过平衡( 3 7 ) 式中的最高阶导数项和最高阶非线性项，可以确定n 的 值( 注：如果得到的刀值不是j 下整数，则可以作变换u ( 孝) = ”( f ) ，代入( 3 7 ) 式， 然后在平衡其中的最高阶导数项和非线性项) 第四步：借助m a t h e m a t i c a 软件，将( 3 8 ) 代入( 3 7 ) 并结厶j a c o b i 椭圆函数的性质， 可得到一个关于s n ( 江o ，l ，2 ，) 的代数方程( 组) 第五步：收集关于s n 孝( i = o ，1 ，2 ，) 的同幂次项，并令它们的系数为零，得到 一个关于七，c ，q ( f _ o ，1 ，2 ，) 的待定的非线性代数方程组借助m a t h e m a t i c a 软件， 利用吴代数消元法，解上面得到的待定非线性代数方程组，可得到 七，c ，q ( 扛o ，l ，2 ，) 的值 第六步：将结果回代后，可求得原方程的解 同样，相应的有j a c o b i 椭圆余弦函数展开法和第三类j a c o b i 椭圆函数展开法， 类似可得 j a c o b i 椭圆正弦函数展开法、j a c o b i 椭圆余弦函数展开法和第三类j a c o b i 椭圆函 数展开法，统称为j a c o b i 椭圆函数展开法 应当指出，当m 哼1 时，踮善_ t a n h 善，( 3 8 ) 式就退化为： 9 一类非线性发展方程的精确解 u ( f ) = a ，t a r d a ( f ) ， i = o 这正是双曲正切展开法可见文献【2 5 】 3 2 2 扩展的j a c o bi 椭圆函数展开法之一 设非线性发展方程的一般形式为： a ( u , u t ，u x ，u d ，u x t ，h 。，) = 0 其中a 是关于变元h ，u ，u x ，u 口，u j a ，u 。，的多项式 第一步：作行波变换： ( 3 9 ) u ( x ；t ) = u ( 0 孝= 七( x c t ) + 彘 ( 3 1 0 ) n ( 3 1 0 ) 式代入( 3 9 ) 式中，则( 3 9 ) 式约化为一个非线性常微分方程： b “，h ”，u ，) = 0 ，( 3 1 1 ) 第二步：假设( 3 1 1 ) 的行波解u ( 善) 可以展开为下列j a c 0 b i 椭圆函数的级数： u ( 善) = s n h 孝( q 蛳孝+ 包c n f ) + a o ( 3 1 2 ) i = 1 其中各j a c o b i 椭圆函数之间的恒等、导数、退化关系见第三章第一节 第三步：通过平衡( 3 1 1 ) 式中的最高阶导数项和非线性项，可以确定刀的 值( 注：如果得到的胛值不是正整数，则可以作变换u ( 孝) = 矽”( f ) ，代入( 3 1 1 ) 式， 然后在平衡其中的最高阶导数项和非线性项) 第四步：借l 功m a t h e m a t i c a 软件，将( 3 1 2 ) 代入( 3 1 1 ) 并结合j a c o b i 椭圆函数的性 质，可得到一个关于s n 孝c n 7 善( 扛o ，l ，2 ，) ( = o ，1 ) 的代数方程( 组) 第五步：收集关于s n 孝c n 7 孝( f - o ，1 ，2 ，) ( = o ，1 ) 的同幂次项，并令它们的系 数为零，得到一个关于后，c ，呸( i = o ，1 ，2 ，) 的待定的非线性代数方程组借助 m a t h e m a t i c a 软件，利用吴代数消元法，解上面得到的待定的非线性代数方程组， 可得到七，c ，q ( f = o ，l ，2 ，) 的值 第六步：将结果回代后，可求得原方程的解可见文献【2 6 】 同理，在上述第二步中将( 3 1 2 ) 式改为： u ( 孝) = s n hf ( 口fs n 孝+ 匆d n 孝) + a o ( 3 1 3 ) 1 0 设非线性发展方程的一般形式为： ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) a ( u , u t ，u x ，“盯，够材，比。，一) = 0( 3 1 8 ) 其中a 是关于变元“，u ，u x ，u 群，的多项式 第一步：作行波变换： u g f ) = u ( 0 孝= k ( x - c t ) + 彘 ( 3 1 9 ) 将( 3 1 9 ) 式代入( 3 1 8 ) 式中，贝j j ( 3 1 8 ) 式约化为一个非线性常微分方程： b ( 比，“”，“，一) = 0 ， ( 3 2 0 ) 第二步：假设( 3 2 0 ) 的行波解u ( 善) 可以展开为下列j a 0 0 b i 椭圆函数的级数： 其中 n1 1 u ( 0 = + 呸f ( 0 + b , f h ( 0 9 ( 0 + c f h ( o h ( o ( 3 2 1 ) i = 1 i = 1i = 1 f = f ( 孝) = 而1 ，g = g ( 手) = ：；鲁，h = h ( ) = 而d n ( ( 3 2 2 ) 这里，为常数各j a c o b i 椭圆函数之间的恒等、导数、退化关系见第三章第一节容 易验证( 3 2 2 ) 式中的各函数满足下面的关系： f = g h ，g = ( 1 一，2 ) f h + r h , h = ( 1 - m 2 + 聊2 ，2 ) 龟一坍2 ，g 9 2 = ( 1 一，2 ) f 2 + 2 ，f - 1 ，h 2 = ( 1 - m 2 + 聊2 r 2 ) f 2 2 m 2 r f + m 2 m 为j 猢b i 椭圆函数的模( 一般0 m 1 ) 第三步：通过平衡( 3 2 式中的最高阶导数项和非线性项，可以确定刀的 1 1 一类非线性发展方程的精确解 值( 注：如果得到的刀值不是j 下整数，则可以作变换u ( 孝) = “( 乡) ，代入( 3 2 0 ) 式， 然后在平衡其中的最高阶导数项和非线性项) 第四步：借助m a t h e m a t i c a 软件，将( 3 2 1 ) 代入( 3 2 0 ) 并化简，可得到一个关于 f i ，f g ，f i h ，f i g h ( i = o ，1 ，2 ，) 的代数方程( 组) 第五步：收集关于f i ，f f i h ，f i g h ( i = o ，1 ，2 ，) 的同幂次项，并令它们的系数为 零，得到一个关于后，c ，q ( f - o ，1 ，2 ，) 的待定的非线性代数方程组借助m a m e m a t i c a 软件，利用吴代数消元法，解上面得到的待定的非线性代数方程组，可得到 七，c ，q ( f = o ，l ，2 ，) 的值 第六步：将结果回代后，可求得原方程的解可见文献【2 7 】 3 2 4 扩展的j a c o bi 椭圆函数展开法之三 在以上方法的基础上，引入更多的参数和更一般的j a c o b i 椭圆函数组合形 式从而，使方程的解具有更一般的形式，进一步推广了j a c o b i 椭圆函数展开法具 体地说： 假设非线性发展方程一般形式为： a ( u , u t ，u ，u 甜，) = 0( 3 2 3 ) 式中的a 是关于变元比，u 。，u x ，u 甜，的多项式 引入变换： u ( x , t ) = u ( 0f = k ( x 。c t ) + 磊 ( 3 2 4 ) 其中k 和c 是非零的待定常数 将( 3 2 4 ) 式代入( 3 2 3 ) 式，z 。，1 0 关于“( 善) 的常微分方程 b ( u , u ，“”，“，) = 0 ， ( 3 2 5 ) 设方程式( 3 2 5 ) 具有如下形式的行波解： u ( 0 = 口。+ qf ( 0 + 包f 1 ( f ) e ( 0 + 。 阔 。 两 ( 3 2 6 ) 一一 、 7 qp 。1 ( 国g ( 0 + 喀f 1 ( 孝) h ( d i = 1 i = 1 其中a o ，q ，龟，q ，4 ( i = 1 2 ，甩) 是待定常数，孝= 孝( 五f ) 是关于z ，的函数，正整数即 的值通过平衡方程( 3 2 5 ) 中的非线性项和最高阶导数项来确定 1 ， 江苏大学硕士学位论文 e ( f ) ，f ( o ，g ( 9 ，h ( 孝) 的选取本看计算简单的原则，司从e ，f ，g ，h 中任葸选择，冥中 e2 e ( o 2 万干i 五再再了三i 厕 ( 3 2 7 ) f _ f ( o2 而丽蔫( 3 2 8 ) g2 g ( 。2 万面酉鬲c h i c 碡 而( 3 2 9 )p + ，s n 【多j + ，- c n i 多j 十j d n 【乡j h _ 吣) 2 而丽蔫 ( 3 3 0 ) 其中p ，歹，s 是任意常数，e ，f , g ，h 这4 个函数满足下面的关系： e 7 = 一j g h + rn l + 册2 龟 f7 = p g h + r e h + s e g g = - p f h j e h + s ( m 2 - 1 ) e f ( 3 3 1 ) h 7 = - m 2 p f g r ( m 2 - 1 ) e f - j e g 9 2 = e 2 - f 2h 2 = e 2 - m 2 f 2 m 是j a 0 0 b i 椭圆函数的模( o m 1 ) ，并且函数e ，f , g ，h 满足如下的关系式： ( 1 ) 当s ：p ：0 时，有f = 生华； ( 2 ) 当s ：r ：on ，有e ：坐； p ( 3 ) 当s ：j ：0 时，有e ：1 - r g ； p ( 4 ) 当p ：r ：on ，有h ：业； ( 5 ) 当p ：j ：0n ，有h ：1 - r g ； ( 6 ) 当r ：j ：0 时，有h ：1 - p e ； 将( 3 2 6 ) 及( 3 3 1 ) 代入方程( 3 2 5 ) ，则得到关于e ( 0 ，f ( 9 ，g ( 0 ，h ( 9 的多项式方 程令f ( ) e 7 ( 孝) g ( o h 。( 0o = 0 ，1 2 ，) ，( = 0 1 ) ， = 0 ，1 ) ，o = 0 ，1 ) 的系数为零，就 得到了关于，a ，岛，q ，噍( f = 1 ，2 ，n ) 的非线性代数方程岬s ) 利用m a t h e m a t i c a 软件及吴代数消元法求解该非线性代数方程组，并将所得的解代入( 3 2 6 ) 式，即可 一类非线性发展方程的精确解 得到方程( 3 2 3 ) 的解 3 2 5 新的扩展的j a c o b i 椭圆函数展开法 在上一节扩展的j a c o b i 椭圆函数展开法之三的基础上经过改进可以得到新的 扩展的j a c o b i 椭圆函数展开法( 可见文献【1 】) ，方法如下： 对于给定的含有两个独立的变量x 和r 的非线性发展方程，其一般形式可写为： a ( u , u t ，u 。，“仃，u x t ，) = 0( 3 3 2 ) 引入行波变换： u 似f ) = u ( 0 善= k ( x c t ) + 4 0 其中k 和c 是非零的待定常数，岛是任意常数方程( 3 3 2 ) 转换成关于h ( 孝) 的常微 分方程： b “，“”，u ，) = 0 ( 3 3 3 ) 设方程式( 3 3 3 ) 具有如下形式的行波解： u ( o = 口o + 口l f ( 孝) + 包f 。1 ( o n o + 。 问 。m ( 3 3 4 ) 一 、 e c , v d ( 孝) g ( 0 + d lf 。1 ( 0 h ( 善) 其中a o , a 。，包，q ，或o = 1 2 ，万) 是待定常数，正整数n 的值通过平衡方程( 3 3 3 ) 中的非 线性项和最高阶导数项来确定e ( 0 ，f ( 9 ，g ( o ，h ( 孝) 的选取本着计算简单的原则， 可从e ，f , g ，h 中任意选择，其中： 忙e ( 0 2 万面函再焉函币丽p + 留s n 【告，历j + ，c n 【亏，打j + l 血i 告，栉j f _ 盼而而篇 ( 3 3