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屯 北天学硕士学位论文 新型二叉树参数模型在亚式期权定价中的应用 摘要 期权是一种重要的金融衍生产品。随着衍生证券在金融领域的地位越来越 重要，如何寻找更合理的数学模型为期权定价也成为研究的重点。经典 b l a c k - s c h o l e s 公式己经给出标准欧式期权的解析公式。然而，对于具有复杂损 益函数的欧式期权和大多数美式期权并不存在这样的解析公式，也无法求出精 确解。因此，发展各种计算美式期权价格的数值方法具有重要的实际意义。 二叉树方法就是比较常用的数值方法之一。它直观、易懂，对欧式期权和 美式期权都可以定价。目 前普遍使用的二叉树参数模型带有缺陷，比如在某种 情况下会产生负的概率。本文将借助于概率论中矩的思想，重新构造二叉树模 型。新的模型永远不会产生负的概率且具有很高的计算精度，因而可实际应用 于各种期权的定价。将二叉树方法扩展，可以处理路径依赖型期权，比如亚式 期权。把插值法和新的二叉树参数模型运用其中，既可以减少计算量，又可以 保证解的计算精度。 关键词:期权定价;二 叉树模型; 路径依赖型期权;亚式期权: 拉格朗日插值; 矩:数值计算 1 1 东北大学硕士学位论文abs tract t h e a p p l i c a t i o n o f a n e w t y p e o f b i n o m i a l p a r a m e t e r mo d e l f o r a s i a n o p t i o n s p r i c i n g ab s t r a c t o p t io n s a r e i m p o r ta n t d e r i v a t i v e s e c u r i t i e s . a s t h e s t a t u s o f d e r i v a t i v e s b e c o m e s m o r e a n d m o r e s i g n i g i c a n t i n f in a n c i a l d o m a i n , i t h a s b e e n t h e r e s e a r c h e m p h a s i s h o w t o f i n d m o r e r e a s o n a b l e m a t h e m a t i c a l m o d e l s f o r o p t i o n p r i c i n g . b l a c k - s c h o l e s e q u a t i o n h as g i v e n t h e a n a l y t i c a l f o r m u l a o f s t a n d a r d e u r o p e a n o p t i o n s . b u t , t h e r e h a s b e e n n o a n a l y t i c a l f o r m u l a f o r e u r o p e a n o p t i o n s o f c o m p l e x i n c o m e f u n c t i o n a n d m o s t o f a m e r i c a n o p t i o n s , n o r t h e a c c u r a t e s o l u t i o n . t h e r e f o r e , t h e r e i s p r a c t i c a l i m p o r t a n c e t o d e v e l o p a l l k i n d s o f n u m e r i c a l m e t h o d s f o r a m e r i c a n o p t i o n s p r i c i n g . t h e b i n o mi a l t r e e i s o n e o f t h e n u me r i c a l me t h o d s i n c o mmo n u s e . i t i s i n t u i t i v e a n d e a s y t o u n d e r s t a n d , a n d w h a t s m o r e ， it c a n p r i c e n o t o n l y t h e e u r o p e a n o p t i o n s , b u t a l s o t h e a m e r i c a n o p t i o n s 厂 1 h e b i n o m i a l p a r a m e t e r m o d e l w h i c h i s o f t e n u s e d n o w h a s d e f e c t -i t w i l l d e d u c e n e g a t i v e p r o b a b il t y u n d e r s o m e c ir c u m s t a n c e s . t h i s a r t i c l e w i l l c o n s t r u c t t h e b i n o m i a l p a r a m e t e r m o d e l a g a i n u s i n g t h e i d e a o f m o m e n t i n p r o b a b i l i t y t h o e r y . t h e n e w m o d e l w i l l n o t g e t t h e n e g a t i v e p r o b a b i l i t y a n d h a s h i g h c a l c u l a t i n g a c c u r a c y . t h e r e f o r e , i t c a n b e a p p l i e d t o v a r i o u s o p t io n s p r i c i n g . b y e x t e n d i n g t h e b i n o m i a l m e t h o d , w e c a n d e a l w i t h p a t h - d e p e n d e n t o p t i o n s , s u c h a s a s i a n o p t i o n s . a p p l y i n g i n t e r p o l a t i o n a n d t h e n e w b i n o m i a l p a r a m e t e r m o d e l t o t h e m e t h o d w o u l d n o t o n l y r e d u c e t h e n u m b e r o f c a l c u l a t i o n s , b u t a l s o g e t t h e s o l u t i o n o f h i g h c a l c u l a t i n g a c c u r a c y . k e y w o r d s: o p t i o n p r ic i n g ; b i n o m i a l m o d e l ; p a t h - d e p e n d e n t o p t i o n s ; a s i a n o p t i o n s ; i a g r a n g e i n t e r p o l a t i o n ; m o m e n t ; n u m e r i c a l c a l c u l a t i o n . i i i . 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。论文中取得的研究 成果除加以标注和致谢的地方外， 不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包括本人为获得其它学位而使用过的材料。与我一同工作的同志对木研究 所作的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表不谢意。 学 位 论 文 作 者 签 名 :连板飘 日r x :夕 dm夺，1 2, . 2 / 学位论文版权使用授权书 本学位 论文 作者和指导教师完 全了 解东北大学有关保留、 使用学位论文的 规定:即学 校有权保留并向国家 有关部门 和机构送交论文的复印 件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权东北大学 可以 将学位沦 文的 全部或部分内 容编 入有关数据库进行检索、交流 r li o t a 师同意网上交流，请在下方签名:否则视为不同意 ) 学 位 论 文 作 者 签 名 :连ua r 签 字 日 期 :. ) v v 手 / 1 - .1 1 导师签名: 签字口期: 必衫夕补 孙 州 乏 北 大学硕士学位论 文 符 仁二 下了 5:股票现价 e : 期权执行价格 t : 期权的到期时间 t : 现在的时间 s t 在t 时刻股票的 价格 c: 购买一股股票的欧式看涨期权的价值 p :出售一股股票的欧式看跌期权的价值 。 :购买一股股票的美式看涨期权的价值 p :出售一股股票的美式看跌期权的价值 ; : 在t 时刻到期的投资的无风险利率 。: 股票价格的波动率 ,u: 股票的期望收益率 y j外国 的 无 风险 利率 d w: 维纳过程 9 ( m , s ): 均值为m ， 标准差为， 的正态分布 n ( x )累积正态分布函数 e ( q ) : 。 的均值 d ( q ) : n 的方差 u:n 阶原点矩 p , : n 阶中心矩 东 北大学 硕士学 位论文绪 论 绪 论 最近二十年来， 伴随着前所未有的技术进步， 金融产品和要素市场竞争的全 球化以及金融市场管制放松和一体化这两种主要的外部力量， 导致金融环境发 生了根本性的变化。从各方面看， 现在的金融环境比二十年前更具风险性， 过去 金融市场的确定性己被现在经常波动的市场所替代。任何一个借款人和投资者 都不能忽视不可预计的利率和汇率变动带来的风险。如此一来，投资者追求投 资回报与规避投资风险之间的矛盾越来越突出。一方面，投资者期望获得最大 的投资回报;另一方面，投资者又希望把风险降到最低。为此，金融市场设计 出各种金融工具和策略使借款人和投资者可以对冲市场风险。 这些管理风险的产品，更常见的说法是衍生工具，在很多方面支配着国际 金融市场。 衍生工具 ( d e r i v a t i v e s ) 也被称为或有权利， 它的价值是从其它的基 础证券和基础变量的价值衍生出来的。基础证券和基础变量，有时也称为标的 资产，包括股票、债券、股票指数、债券指数、货币、利率、商品和商品指数 等等。 在有效和完善的金融市场中，衍生证券是多余的，因为在这种环境下，一 种衍生证券的投资回报和现金流可以 通过动态的对冲策略得到完美的替代。然 而，在现实的金融市场中有各种摩擦，使得替代特定的衍生工具的成本昂贵的 令人无法接受，有些情况下甚至是不可能的。因此，衍生工具第一个经济上的 重要功能是使市场更加完善。衍生工具也提供了一种有效的风险分配机制，使 希望避免风险的人把风险转移给更愿意承担风险的人。它还保持了基础证券的 流动性，提供了进入本来很难进入的市场的渠道，并减少了交易成本。 衍生工具管理风险的作用只是事情的一个方面。近年来，在各种金融和商 品市场上，衍生工具越来越多的被用于投机。巴林银行的倒闭和亚洲金融危机 的爆发曾一度使人们对金融衍生工具的交易充满了恐惧和好奇，同时也开始反 思今后该如何正确的运用这把 “ 双刃剑” 。 衍生工具的形式多样而广泛，总的来说可以分为四类:期权、期货、远期 合约和互换交易。互换可以看作一系列远期合约的组合。远期合约和期货均强 调交易者的义务，而期权则是一种选择权，并非必须履行的义务。当标的资产 的价格发生了对其不利的变化时，持有者有权放弃合同。因而，它可以保护投 s 乙 北大学硕士学位论文绪 论 资者在价格向不利方向变动时免于遭受过多的损失，也可以为投资者保留价格 向有利方向转变时可获得的利益。再加上它交易成本低，流动性强等优点，使 越来越多的投资者倾向于选择期权进行交易。 衍生证券定价理论， 通常指期权定价， 是现代金融学最伟大的成就之一。 它 己经成为衍生证券估值的基本工具， 在衍生资产帐户风险管理中必不可少。 它能 用来在给定公司资产时对公司债务进行估值， 或给定公司股权值时对公司债权 估值。具有广泛的实际应用价值。 早在 2 0世纪初就有许多学者致力于建立一个合理的期权定价理论体系和 未定权益估值的一般理论。 这方面最早进行研究的是法国数学家l o u i s b a c h e l i e r , 他在1 9 0 0 年的博士论文 投机的数学理论 中， 首次提出了 确定期权价格的均 衡理论方法，并给出了到期日为t的看涨期权的价格公式。但他的理论是建立 在一些不现实的假设之上，如利率为零，股票价格可以为负等，实际性较差。 进入6 0 年代， s p r e n k l e ( 1 9 6 1 ) , a y r e s ( 1 9 6 3 ) , b o n e s s ( 1 9 6 4 ) , s a m u e l s o n ( 1 9 6 5 ) , t h o r p 和 k a s s o u f ( 1 9 6 7 ) , s a m u e l s o n和 m e r t o n ( 1 9 6 9 ) 以及 c h e n ( 1 9 7 0 ) 先后在 l o u i s b a c h e l i e : 的理论基础上进行研究，极大的推动了期权定价理论的发展和完善。 但他们大多数都是根据认股权证的思想方法对期权定价，将期权价格等同于期 权期望收益的贴现值。从理论上来说，这种思想方法没有错误，但是由此推导 出 来的公式均在不同 程度上依赖于股票未来价格的 概率分布 和投资者的风险 厌 恶程度。虽然这两个参数从理论上可以进行严格的定义，但在实际应用中无法 能够预测和正确估计，从而大大降低了这些模型的意义和用途。 1 9 7 3 年， f i s h e r b l a c k 和m y r o n s c h o l e s 在美国 政治经济学 上发表了 论 文 期权和公司债务的定价 ， 给出了欧式不支付红利的股票看涨和看跌期权的 定价公式，即著名的b l a c k - s c h o l e s 公式。 一个惊人的事实是: 期权的实际成交 价格的确总是在由此公式所得出的理论价格上做偏差不大的波动，特别是对时 间较短、没有太大波动的期权交易，这一模型的误差只有 1 yo。这对于规范国 际市场起到了非常大的作用。随后，该公式又被推广到支付红利，标的资产为 其它变量，以及利率是随机等多种情况。 现在越来越强调的是为越来越复杂的金融问题带来更有效的解的新产品设 计能力。因而，由标准期权变化、组合和派生出了许多新型期权。这些金融创 新品在场外市场上交易，并且能使投资者完成多种对冲策略。亚式期权就是其 中一种。这种期权的发行有其专有的特点:其损益依赖到期日以前这段固定时 期内标的资产的平均价格。这种期权可能以直接的形式出现，也可能暗含在债 2 之 北大学硕士学位论文绪 论 券和约中。亚式期权是路径依赖期权，其最终损益是一个关于标的资产过去平 均价格的函数。 基于标的资产平均价格的亚式期权在场外市场上交易非常活跃。这些期权 的损益依赖于计算平均价格的方式以及事先指定的观测频率。当平均基于几何 平均时， 亚式期权的定价很简单， 并且容易得到b l a c k - s c h o l e s 类型的封闭形式 解。然而，当平均是基于算术平均时，亚式期权的估值就相当复杂，要得到一 个如b l a c k - s c h o l e s 情形中那样的封闭形式解相当困难。 对大多数美式期权也没有b l a c k - s c h o l e s 这样的解析公式， 更无法求得精确 解。因此，发展各种计算期权的数值方法具有重要实际意义。目 前比较成熟的 数值方法有:蒙特卡罗 ( mo n t e c a r l o ) 方法，二叉树方法，有限元和有限差分 法。二叉树模型是1 9 7 9 年由c o x , r o s s和 r u b i n s t e i n 构造的， 它直观易懂，得 到的结果与b l a c k - s c h o l e s 公式等价。 而且， 还可以用来为美式期权和路径依赖 期权定价。 本文第一章先介绍了期权基本知识: 第二章给出b l a c k - s c h o l e s 公式的推导 过程及一些推广形式;在第三章首先指出原有二叉树模型的缺陷，然后给出新 的模型参数，并通过数值计算例检验新模型的精度;第四章叙述了亚式期权和 运用插值方法后的二叉树模型，最后用新型二叉树参数模型求解亚式期权。 3 几 北大学硕士学位论文权太木理论 第一章 期权基本理论 1 . 1期权的定义和分类 自1 9 7 3 年在美国首次进行场内期权交易以来， 期权市场的发展十 分迅猛。现在，期权在世界各地的不同交易所中都有交易。银行和其 它金融机构 同时也进行 巨额期权和约的场外交易。 期权 ( o p t i o n s )是一种赋予持有者在将来某一确定时间以某一确 定价格购买和出售标的资产 ( u n d e r l y i n g a s s e t )的权利。“ 某一确定时 间”即期权到期日 ( e x p i r y d a t e )， “ 某一确定价格”即期权的执行价 格 ( e x e r c i s e p r i c e ) 。 标的资产包括股票、 股票指数、 外汇、 债务工具、 各种商品和期货合约。本文主要讨论以股票为标的资产的期权定价问 题 。 按不同的标准，期权可以分为以下几种类型。 ( l )按期权所赋予的权利不同，可以分为看涨期权 ( c a l l o p t i o n ) 和看跌期权 ( p u t o p t i o n )。看涨期权的持有者有权在到期日以执行价 格购买标的资产。看跌期权的持有者有权在到期日以执行价格出售标 的 资产 。 ( 2 )按期权的执行时间不同，可以分为欧式期权 ( e u r o p e a n o p t i o n s )和美式期权 ( a m e r i c a n o p t i o n s )。欧式期权只能在到期日执 行。美式期权可在期权有效期内任何时候执行。目前在交易所中交易 的期权大多数为美式期权。然后，欧式期权比美式期权更容易分析， 并且美式期权的一些性质总是可由欧式期权的性质推导出来。 ( 3 )按期权交易的场所不同，可以分为场内交易期权和场外交易 期权。场内交易期权是在期权交易所内进行交易的期权，交易的对象 是标准化的期权合约。而场外交易期权是指在期权交易所以外进行交 易的，这里达成的期权合约可以根据买卖双方的要求制订，是非标准 化 的。 ( 4 )按期权的金融载体不同，可分为现货期权、期货期权和复合 期权。现货期权是指期权合约的标的资产是各种现货，如外汇、股票、 几 北大学硕士学位论文权太木理论 第一章 期权基本理论 1 . 1期权的定义和分类 自1 9 7 3 年在美国首次进行场内期权交易以来， 期权市场的发展十 分迅猛。现在，期权在世界各地的不同交易所中都有交易。银行和其 它金融机构 同时也进行 巨额期权和约的场外交易。 期权 ( o p t i o n s )是一种赋予持有者在将来某一确定时间以某一确 定价格购买和出售标的资产 ( u n d e r l y i n g a s s e t )的权利。“ 某一确定时 间”即期权到期日 ( e x p i r y d a t e )， “ 某一确定价格”即期权的执行价 格 ( e x e r c i s e p r i c e ) 。 标的资产包括股票、 股票指数、 外汇、 债务工具、 各种商品和期货合约。本文主要讨论以股票为标的资产的期权定价问 题 。 按不同的标准，期权可以分为以下几种类型。 ( l )按期权所赋予的权利不同，可以分为看涨期权 ( c a l l o p t i o n ) 和看跌期权 ( p u t o p t i o n )。看涨期权的持有者有权在到期日以执行价 格购买标的资产。看跌期权的持有者有权在到期日以执行价格出售标 的 资产 。 ( 2 )按期权的执行时间不同，可以分为欧式期权 ( e u r o p e a n o p t i o n s )和美式期权 ( a m e r i c a n o p t i o n s )。欧式期权只能在到期日执 行。美式期权可在期权有效期内任何时候执行。目前在交易所中交易 的期权大多数为美式期权。然后，欧式期权比美式期权更容易分析， 并且美式期权的一些性质总是可由欧式期权的性质推导出来。 ( 3 )按期权交易的场所不同，可以分为场内交易期权和场外交易 期权。场内交易期权是在期权交易所内进行交易的期权，交易的对象 是标准化的期权合约。而场外交易期权是指在期权交易所以外进行交 易的，这里达成的期权合约可以根据买卖双方的要求制订，是非标准 化 的。 ( 4 )按期权的金融载体不同，可分为现货期权、期货期权和复合 期权。现货期权是指期权合约的标的资产是各种现货，如外汇、股票、 二 北大学硕士学位论文权疚本理论 股价指数、债券等; 而期货期权是以期货为标的资产的期权合约; 复合 期权则是以期权为标的资产的期权合约。 需要强调的是，期权的持有者 ( h o l d e r )或多头 ( l o n g p o s i t i o n ) 拥有某种权利而不是义务。他不一定必须行使该权利。当标的资产的 价格发生了对其不利的变坏时，持有者有权放弃合同。然而，对出售 期权合约的一方 ( w r i t e r )或空头 ( s h o r t p o s i t i o n )却存在潜在的义 务。如果期权持有者选择执行期权，那么出售方就必须买或卖标的资 产 。 1 . 2期权定价 既然期权赋予它的持有着是一种权利而不是义务，它必然有一定 的价值，即期权的价值。一个期权是否执行依赖于对期权持有者有利 的机会是否出现，故也称期权为一种未定权益 ( c o n t i n g e n t c l a i m )。 因此期权定价 ( o p t i o n p r i c i n g )本质上就是对这种未定权益定价。从 这种意义上来说，期权定价将远远超出衍生证券定价的范围，可以在 很多其它领域如投资、保险等找到应用。 为了取得这个未定权益所需要付出的代价称为期权金( p r e mi u m) o 考虑下面这个例子。一份一年后到期的欧式看涨期权，到期后能以 s o 元的执行价格购买一股股票。这份期权的期权金该是多少呢?为了对 期权定价有一个直观的了解，不妨假设股票在到期日只有两种情况。 一种是一年后股票价格上涨到 7 0元，执行期权，以 5 0元的执行价格 购买股票，再以 7 0元的价格卖出，可以获利 7 0 -5 0 =2 0元;另一种 是一年后股票价格下降到 3 0 元，这时期权不会被执行，获利为 。 。假 如这两种情况发生的概率一样，那么到期日的期望收益为 0 . 5 x0 +m x2 0 =1 0元 如果不考虑利率的话，该期权的期权金就是 1 0元。当把期权金考 虑在内时，期权持有者在第一种情况的总收益是 7 0 一5 0 一1 0 = 1 0元 当然，实际的期权定价不会这么简单。期权的价值受股票价格， 执行价格，距离到期日时间长短，波动率和银行利率大小等多种因素 的影响。另外，由于客户的需要是千变万化的，因此金融机构为此设 5 二 北大学硕士学位论文权疚本理论 股价指数、债券等; 而期货期权是以期货为标的资产的期权合约; 复合 期权则是以期权为标的资产的期权合约。 需要强调的是，期权的持有者 ( h o l d e r )或多头 ( l o n g p o s i t i o n ) 拥有某种权利而不是义务。他不一定必须行使该权利。当标的资产的 价格发生了对其不利的变坏时，持有者有权放弃合同。然而，对出售 期权合约的一方 ( w r i t e r )或空头 ( s h o r t p o s i t i o n )却存在潜在的义 务。如果期权持有者选择执行期权，那么出售方就必须买或卖标的资 产 。 1 . 2期权定价 既然期权赋予它的持有着是一种权利而不是义务，它必然有一定 的价值，即期权的价值。一个期权是否执行依赖于对期权持有者有利 的机会是否出现，故也称期权为一种未定权益 ( c o n t i n g e n t c l a i m )。 因此期权定价 ( o p t i o n p r i c i n g )本质上就是对这种未定权益定价。从 这种意义上来说，期权定价将远远超出衍生证券定价的范围，可以在 很多其它领域如投资、保险等找到应用。 为了取得这个未定权益所需要付出的代价称为期权金( p r e mi u m) o 考虑下面这个例子。一份一年后到期的欧式看涨期权，到期后能以 s o 元的执行价格购买一股股票。这份期权的期权金该是多少呢?为了对 期权定价有一个直观的了解，不妨假设股票在到期日只有两种情况。 一种是一年后股票价格上涨到 7 0元，执行期权，以 5 0元的执行价格 购买股票，再以 7 0元的价格卖出，可以获利 7 0 -5 0 =2 0元;另一种 是一年后股票价格下降到 3 0 元，这时期权不会被执行，获利为 。 。假 如这两种情况发生的概率一样，那么到期日的期望收益为 0 . 5 x0 +m x2 0 =1 0元 如果不考虑利率的话，该期权的期权金就是 1 0元。当把期权金考 虑在内时，期权持有者在第一种情况的总收益是 7 0 一5 0 一1 0 = 1 0元 当然，实际的期权定价不会这么简单。期权的价值受股票价格， 执行价格，距离到期日时间长短，波动率和银行利率大小等多种因素 的影响。另外，由于客户的需要是千变万化的，因此金融机构为此设 5 东 北大 学 硕士学 位 论文第 一章 期权幕本理论 计出的金融产 品一一 期权亦是多种多样 的，每一种期权都需要定价 。 1 . 3 价格 期权的收益 如果以e 代表执行价格， t 代表到期日， s : 代表标的资产的到期日 ，则在到期日欧式期权 千护、lesl 一一 多头头寸的收益 m a x ( s : 一 e ,o ) m a x ( e 一 s , ,o ) 看涨期权 看跌期权 这两个收益函数图形分别如图 1 . 1 和图 1 . 2 收 益 收 益 e s t s , 图 1 . 1 看涨期权的多头 f i g . 1 . 1 l o n g c a l l 图 1 . 2 看跌期权的多头 f i g . 1 . 2 l o n g p u t 空头头寸的收益 一 s , , o ) e ,o ) 看涨期权 看跌期权 它的收益函数图形分别如图 1 . 3 和图 1 . 4 图 1 . 3 看涨期权的空头 f i g . 1 . 3 s h o r t c a l l 图 1 . 4看跌期权的空头 f i g . 1 . 4 s h o r t p u t 1 . 4期权的作用 6 东 北大 学 硕士学 位 论文第 一章 期权幕本理论 计出的金融产 品一一 期权亦是多种多样 的，每一种期权都需要定价 。 1 . 3 价格 期权的收益 如果以e 代表执行价格， t 代表到期日， s : 代表标的资产的到期日 ，则在到期日欧式期权 千护、lesl 一一 多头头寸的收益 m a x ( s : 一 e ,o ) m a x ( e 一 s , ,o ) 看涨期权 看跌期权 这两个收益函数图形分别如图 1 . 1 和图 1 . 2 收 益 收 益 e s t s , 图 1 . 1 看涨期权的多头 f i g . 1 . 1 l o n g c a l l 图 1 . 2 看跌期权的多头 f i g . 1 . 2 l o n g p u t 空头头寸的收益 一 s , , o ) e ,o ) 看涨期权 看跌期权 它的收益函数图形分别如图 1 . 3 和图 1 . 4 图 1 . 3 看涨期权的空头 f i g . 1 . 3 s h o r t c a l l 图 1 . 4看跌期权的空头 f i g . 1 . 4 s h o r t p u t 1 . 4期权的作用 6 东 北大 学 硕士学 位 论文第 一章 期权幕本理论 计出的金融产 品一一 期权亦是多种多样 的，每一种期权都需要定价 。 1 . 3 价格 期权的收益 如果以e 代表执行价格， t 代表到期日， s : 代表标的资产的到期日 ，则在到期日欧式期权 千护、lesl 一一 多头头寸的收益 m a x ( s : 一 e ,o ) m a x ( e 一 s , ,o ) 看涨期权 看跌期权 这两个收益函数图形分别如图 1 . 1 和图 1 . 2 收 益 收 益 e s t s , 图 1 . 1 看涨期权的多头 f i g . 1 . 1 l o n g c a l l 图 1 . 2 看跌期权的多头 f i g . 1 . 2 l o n g p u t 空头头寸的收益 一 s , , o ) e ,o ) 看涨期权 看跌期权 它的收益函数图形分别如图 1 . 3 和图 1 . 4 图 1 . 3 看涨期权的空头 f i g . 1 . 3 s h o r t c a l l 图 1 . 4看跌期权的空头 f i g . 1 . 4 s h o r t p u t 1 . 4期权的作用 6 乙 北大学硕士学位论文权双木理论 期权有两个基本用途:套期保值和投机。 套期保值 ( h e d g i n g )的目的在与减少己经面临的风险。大多数生 产商或贸易商参与衍生证券市场交易的目的是转移或减少现货市场的 价格风险，确保本身获取预期利润。假定某中国公司 9 0 天以后要支付 英国供应商一百万英镑。该公司面临汇率变动的风险。如果汇率上扬， 则公司将增加支付成本。从而直接影响它的预期利润。为此可以购买 一个看涨期权进行套期保值。比如在 9 0 天后，按 1 2 . 5 元/ 英镑的指定 汇率购买一百万英镑。期权金为 2 5万元。如果 9 0天后，实际汇率为 1 3元/ 英镑，公司就会执行期权以 1 2 . 5的汇率购买一百万英镑，总支 付成本为 1 2 7 5万元。如果实际汇率在到期日为 1 2元/ 英镑，公司将放 弃执行期权， 按通常的做法直接在市场上买入英镑， 总支付成本为 1 2 2 5 元。运用这以期权策略，公司可以防止汇率不利变化的损失，同时依 然可以从汇率的有利变化中获利。 投机 s p e c u l a t i o n )的目的是希望通过不断地买进卖出衍生证券， 从市场价格的经常变化中获取利润。运用期权投机能提供额外的杠杆 作用，投资者通过投入少量资金 ( 支付期权金) ，而实际进行的是比它 大十几倍甚至几十倍的标的资产的投机。为了说明这一点，假定股票 价格为$ 3 2 ，那些认为股价会上升的投资者购买执行价格为$ 3 5的看涨 期权，每个期权的期权费为$ 0 . 5 0 。如果在期权有效期内，股票价格并 未高于$ 3 5 ，则投资者在每个期权上会损失$ 0 . 5 0( 即 1 0 0 %的投资额) 。 但是，如果股票价格在有效期内上升到$ 4 0 ，则投资者在每个期权上获 利$ 4 . 5 0( 即 9 0 0 %的初始投资) 。 投机的出现是套期保值业务存在的必要条件和业务发展的必然结 果。投机者恰好承担了套期保值者转嫁出去的价格变动风险，所以投 机者是衍生证券市场风险的主要承担者，投机是衍生证券市场中不可 缺少的润滑剂。频繁的投机活动，活跃了市场，并使保值策略得以实 施 。 1 . 5其它类型的期权 看涨期权和看跌期权有时称为大众型 ( p l a i n v a n i l l a )或标准化 ( s t a n d a r d )衍生证券。最近几年，为满足顾客的需要，银行和其他金 7 乙 北大学硕士学位论文权双木理论 期权有两个基本用途:套期保值和投机。 套期保值 ( h e d g i n g )的目的在与减少己经面临的风险。大多数生 产商或贸易商参与衍生证券市场交易的目的是转移或减少现货市场的 价格风险，确保本身获取预期利润。假定某中国公司 9 0 天以后要支付 英国供应商一百万英镑。该公司面临汇率变动的风险。如果汇率上扬， 则公司将增加支付成本。从而直接影响它的预期利润。为此可以购买 一个看涨期权进行套期保值。比如在 9 0 天后，按 1 2 . 5 元/ 英镑的指定 汇率购买一百万英镑。期权金为 2 5万元。如果 9 0天后，实际汇率为 1 3元/ 英镑，公司就会执行期权以 1 2 . 5的汇率购买一百万英镑，总支 付成本为 1 2 7 5万元。如果实际汇率在到期日为 1 2元/ 英镑，公司将放 弃执行期权， 按通常的做法直接在市场上买入英镑， 总支付成本为 1 2 2 5 元。运用这以期权策略，公司可以防止汇率不利变化的损失，同时依 然可以从汇率的有利变化中获利。 投机 s p e c u l a t i o n )的目的是希望通过不断地买进卖出衍生证券， 从市场价格的经常变化中获取利润。运用期权投机能提供额外的杠杆 作用，投资者通过投入少量资金 ( 支付期权金) ，而实际进行的是比它 大十几倍甚至几十倍的标的资产的投机。为了说明这一点，假定股票 价格为$ 3 2 ，那些认为股价会上升的投资者购买执行价格为$ 3 5的看涨 期权，每个期权的期权费为$ 0 . 5 0 。如果在期权有效期内，股票价格并 未高于$ 3 5 ，则投资者在每个期权上会损失$ 0 . 5 0( 即 1 0 0 %的投资额) 。 但是，如果股票价格在有效期内上升到$ 4 0 ，则投资者在每个期权上获 利$ 4 . 5 0( 即 9 0 0 %的初始投资) 。 投机的出现是套期保值业务存在的必要条件和业务发展的必然结 果。投机者恰好承担了套期保值者转嫁出去的价格变动风险，所以投 机者是衍生证券市场风险的主要承担者，投机是衍生证券市场中不可 缺少的润滑剂。频繁的投机活动，活跃了市场，并使保值策略得以实 施 。 1 . 5其它类型的期权 看涨期权和看跌期权有时称为大众型 ( p l a i n v a n i l l a )或标准化 ( s t a n d a r d )衍生证券。最近几年，为满足顾客的需要，银行和其他金 7 东 北大 学硕士学 位论文第一章 期权基本理论 融机构开创性地设计了许多非标准的衍生证券，有时也称为新型期权 ( e x o t i c o p t i o n ) ， 包括两值期权( b i n a r y o p t i o n s ) ， 复合期权( c o m p o u n d o p t i o n s ) ，任选期权 ( c h o o s e r o p t i o n s )， 障碍期权 ( b a r r i e r o p t i o n s ) , 亚式期权 ( a s i a n o p t i o n s ) ，回望期权 ( l o o k b a c k o p t i o n s )等。 有些非标准的衍生证券只是两个或更多的普通看涨期权和看跌期 权的组合。有些衍生证券则十分复杂，比如路径依赖型期权 ( p a t h - d e p e n d e n t o p t i o n s ) ，它们的价值不仅依赖于到期日标的资产的价格， 还和标的资产的历史行情有关。障碍期权，亚式期权和回望期权就是 路径依赖型期权。 障碍期权的收益依附于标的资产的价格在一段特定时期内是否达 到了某个特定水平，即障碍。当达到某种障碍时，期权或者存在或者 一文不值 。 亚式期权的收益依附于标的资产有效期至少某一段时间内的平均 价格。 回望期权的收益依附于期权有效期内标的资产达到的最大值或最 小值。 在本文的第四章我们将讨论如何用扩展的二叉树方法为亚式期权 估值 。 . r 二 北大学硕士学位论文二章 b l a c k - s c h o l e s 期权定价公a 第二章 b l a c k - s c h o l e s 期权定价公式 1 9 7 3 年，f i s h e r b l a c k 和my r o n s c h o l e s 推导出基于无红利支付股 票 的任何衍 生证券 的价格必须满足 的微分方程 出股票 的欧式看涨期权和看跌期权 的定价公式 他们运用该方程推 导 被称为华尔街的第二 次革命。现在每天都有成千上万的交易者在运用 b l a c k - s c h o l e s 公式。 本章我们对 b l a c k - s c h o l e s 模型进行阐述并给 出其它几种推广形式。 2 . 1股票价格的行为模式 人们通常假设股票价格遵循马尔科夫过程 ( ma r k o v p r o c e s s ) 。也 就是说股票的现价己经包含了过去历史的所有信息，只有它与未来的 预测有关，股票过去的历史和从过去到现在的演变方式则与未来的预 测不相关 。 股票价格模型通常用著名的维纳过程 ( wi e n e r p r o c e s s e s ) 来表示。 假设在时刻t 的股票价格为s，在随后的d t 时间内股票价格从s 变化到 s + d s 考 虑 譬 的 构 造 类似与无风险利率的收益 它一般被分为两部分，一部分是确定的收益 ，用,u d t 表示。f t 为股票价格的预期收益率或 期望漂移率。 另一部分是由某些不确定信息使收益产生的波动， 用cr d w 表示，a为股票价格波动率，d w是标准维纳过程。将这两部分合在一 起，就可以得到股票价格变化的随机微分方程: d s _s、 + a y d w ( 2 . 1 ) 其中d w = e 福， 是一标准维纳过程，: 为 标准正态分布的随机抽样值。 股票价格行为模型 ( 2 . 1 )有时也称为几何布朗运动，该模型的离 散形式为 : 八几 万 下 丁 二 尸a l 十口e n l i t j ( 2 . 2) 方程 ( 2 . 2 )的左边是短时间后股票的收益比。,u 4 t 是这一收益的 9 二 北大学硕士学位论文二章 b l a c k - s c h o l e s 期权定价公a 第二章 b l a c k - s c h o l e s 期权定价公式 1 9 7 3 年，f i s h e r b l a c k 和my r o n s c h o l e s 推导出基于无红利支付股 票 的任何衍 生证券 的价格必须满足 的微分方程 出股票 的欧式看涨期权和看跌期权 的定价公式 他们运用该方程推 导 被称为华尔街的第二 次革命。现在每天都有成千上万的交易者在运用 b l a c k - s c h o l e s 公式。 本章我们对 b l a c k - s c h o l e s 模型进行阐述并给 出其它几种推广形式。 2 . 1股票价格的行为模式 人们通常假设股票价格遵循马尔科夫过程 ( ma r k o v p r o c e s s ) 。也 就是说股票的现价己经包含了过去历史的所有信息，只有它与未来的 预测有关，股票过去的历史和从过去到现在的演变方式则与未来的预 测不相关 。 股票价格模型通常用著名的维纳过程 ( wi e n e r p r o c e s s e s ) 来表示。 假设在时刻t 的股票价格为s，在随后的d t 时间内股票价格从s 变化到 s + d s 考 虑 譬 的 构 造 类似与无风险利率的收益 它一般被分为两部分，一部分是确定的收益 ，用,u d t