（应用数学专业论文）序贯条件模拟方法研究及应用.pdf

摘要 序贯条件模拟方法研究及应用 作者简介：胡先莉，女，1 9 7 5 年7 月出生，2 0 0 4 年9 月师从于成都理工大学王玉兰 副教授，于2 0 0 7 年6 月获硕士学位。 摘要 条件模拟方法作为地质统计学的重要组成部分，也是地质统计学发展的一个 主要方向和趋势。自从1 9 7 3 年m a t h e r o n 教授提出了转向带法条件模拟以来，许 多学者致力于条件模拟方法的研究，为不同的应用需要研究出了多种条件模拟的 方法，条件模拟的应用范围也越来越广泛。近年来，条件模拟在储层随机建模中 得到了深入的应用，也出现了很多成熟的包含克立格估计和条件模拟模块的储层 建模软件。 条件模拟方法的思路主要分为误差模拟和序贯模拟，序贯模拟方法是将序贯 思路与克立格插值相结合的条件模拟方法，其主要思路是沿着随机路径序贯地求 出各网格结点的条件累积分布函数，并从条件累积分布函数中取得模拟值。常用 的有序贯高斯模拟( s g s l 和序贯指示模拟( s i s ) 。序贯高斯模拟( s g s ) 主要是适用 于满足高斯分布的连续型数据场，而序贯指示模拟( s i s ) 则是主要适用于离散型 数据场，也可以用于离散化的连续型数据场。 由于勘探资料不完全，储层描述往往具有不确定性，储层预测结果便具有多 解性。条件模拟克服了克立格方法的平滑效应，不仅可以再现储层属性空间分布 的相关结构，还可以条件化到已知井位数据，同时可以得到多个实现结果，以满 足对储层不确定性的描述和分析。因此，人们广泛应用随机模拟方法对储层进行 建模和预测。 本文主要是对序贯模拟方法进行研究并将其应用到某油区块的物性参数建 模中。讨论了序贯高斯模拟和序贯指示模拟方法对于高斯场数据和离散型数据的 适用性，条件模拟方法的随机性，以及模拟值在实测点处与原始数据相等的特点， 并通过模拟结果反映出了克立格插值所不能体现的极值。最后将序贯模拟方法应 用于储层建模中，为描述真实的地质情况提供了多种选择。 关键词：地质统计学、序贯高斯模拟、序贡指示模拟、储层建模 成都理1 人学硕= _ = 学位论文 r e s e a r c ha n da p p l i c a t i o no fs e q u e n t i a l l yc o n d i t i o n a l s i m u l a t i o nm e t h o d s a b s t r a c t a sai m p o r t a n tp a r to fg e o l o g i cs t a t i s t i c s ，c o n d i t i o n a ls i m u l a t i o ni sam a i n d e v e l o p i n gt r e n do fg e o l o g i cs t a t i s t i c s s i n c et h et u r n i n gb a n dm e t h o dh a db e e n b r o u g h t f o r w a r db yp r o f e s s o rm a t h e r o n ，t h e r ea r em a n ys c h o l a r sw h oa p p l y t h e m s e l v e st or e s e a r c ho fc o n d i t i o n a ls i m u l a t i o n ，a n di n v e n ts o m em e t h o d sw h i c ha r e w i d e l yu s e d r e c e n ty e a r s ，c o n d i t i o n a ls i m u l a t i o na r ea p p l i e dd e e p l yi nr e s e r v o i r s t o c h a s t i cm o d e l i n g ，al o to fm a t u r er e s e r v o i rm o d e l i n gs o f t w a r e ，w h i c hi n c l u d e k r i g i n ge s t i m a t i o na n dc o n d i t i o n a ls i m u l a t i o nm o d u l e ，h a v ea p p e a r e d t h er e s e r v o i rd e s c r i p t i o ni sa l w a y su n c e r t a i na n dt h er e s u l to fr e s e r v o i rf o r e c a s t h a ss e v e r a lr e s u l t sb e c a u s e 也er e c o n n o i t e ri n f o r m a t i o ni si n c o m p l e t e c o n d i t i o n a l s i m u l a t i o n ，w h i c ho v e r c o m e st h es m o o t he f f e c to fk r i g i n ge s t i m a t i o n ，n o to n l y r e a p p e a r st h er e l a t i v es t r u c t u r eo f r e s e r v o i ra t t r i b u t e ，b u ta l s om a k e st h ek n o w n d a t at o b ec o n d i t i o n a l p e o p l ea l w a y su s et h es t o c h a s t i cs i m u l a t i o nm e t h o d st om o d e la n d f o r e c a s tt h er e s e r v o i rb e c a u s ec o n d i t i o n a ls i m u l a t i o nc a ns a t i s f yt h ed e s c r i p t i o na n d a n a l y s i so f u n c e r t a i nc h a r a c t e ro f r e s e r v o i r c o n d i t i o n a ls i m u l a t i o ni sd i v i d e di n t oe r r o rs i m u l a t i o na n ds e q u e n t i a ls i m u l a t i o n s e q u e n t i a ls i m u l a t i o ni s am e t h o dt h a tc o m b i n e st h es e q u e n t i a lr o u t ea n dk r i g i n g e s t i m a t i o n i ti st h er o u t eo fs e q u e n t i a ls i m u l a t i o nt h a ts e e k st h ec c d fo fe v e r yg r i d p o i n ts e q u e n t i a l l yb yt h es t o c h a s t i cp a t ha n d o b t a i n st h ev a l u ef r o mt h ec c d f s e q u e n t i a lg a u s s i a ns i m u l a t i o n ( s g s ) a n ds e q u e n t i a li n d i c a t o rs i m u l a t i o n ( s i s ) a r e v e r yf a m i l i a r s g si su s e df o rc o n t i n u o u sd a t aw h i c hm e e tg a u s s i a nd i s t r i b u t i o n s i s i su s e df o rt h ed i s c r e t ed a t aa n dt h ec o n t i n u o u sd a t aw h i c hh a sb e e ns c a t t e r e d t l l i sp a p e ra p p l i e ss e q u e n t i a ls i m u l a t i o ni np e t r o p h y s i c a lm o d e l i n go fac e r t a i n a r e a ，a n d d i s c u s s e st h ea p p l i c a b i l i t yo fs g sa n ds i sw h i c hc a nb eu s e df o rg a u s s i a n d i s t r i b u t i o nd a t aa n dd i s c r e t ed a t a t h i sp a p e ra l s or e s e a r c h e st h er a n d o m i c i t yo ft h e c o n d i t i o n a ls i m u l a t i o nm e t h o da n dc o h e r e n c eb e t w e e nt h es i m u l a t i o nd a t aa n dt h e o r i g i n a ld a t a ，a n ds t a t e st h ea p p l i c a b i l i t yo fs e q u e n t i a ls i m u l a t i o n t h ec o n d i t i o n a l s i m u l a t i o nc a nr e f l e c tt h ee x t r e m u mw h i c hc a nn o tr e f l e c t e db yk r i g i n gm e t h o d a t l a s t ，t h es e q u e n t i a ls i m u l a t i o ni su s e di n t ot h er e s e r v o i rm o d e l i n ga n dp r o v i d e sm u l t i r e s u l t sw h i c hc a r ld e s c r i b et h ea c t u a lg e o l o g i c a lc o n d i t i o n k e y w o r d s ：g e o l o g i cs t a t i s t i c s ，s e q u e n t i a lg a u s s i a ns i m u l a t i o n ，s e q u e n t i a li n d i c a t o r s i m u l a t i o n ，r e s e r v o i rm o d e l i n g i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导f 进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得盛壑堡兰盍堂或其他教 育机构的学位或证书而使用过的材料。与我同一r 作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者导师签名： 动笔 学位论文作者签名： 茂免萄 哩。0 1 年f 月2 ， 门 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解盛壑堡工盍堂有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阅。本人授权盛壑理王太堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名 确铲鼠弘 第1 章绪论 第1 章绪论 条件模拟是地质统计学的重要组成部分之一，这种方法可提供多个可选的模 拟结果，并且使得实测点处的值与模拟值保持一致。随着条件模拟各种方法的出 现和不断完善，其技术在许多方面都得到广泛的应用。但就目前而言，条件模拟 大都偏重于应用方面，而较少对方法本身进行研究。本文中主要以条件模拟在石 油储层中的应用为例，对序贯模拟方法进行研究和讨论。 1 1 研究目的及意义 条件模拟技术是地质统计学中继克立格估计技术之后，迅速发展的一个新工 具。在地质统计学中，研究对象具有区域性变化，是一种具有结构特征，并且还 要求保持一定相关性的随机变量。如果再增加一个更严格的约束条件，将模拟条 件化，即令在实测点处的模拟值等于该点的实测值则称为条件模拟。 在地质统计学中，研究的对象是具有随机性的区域化变量，因此可以使用蒙 特卡洛法。传统的统计模拟只要求伪随机数服从一定的概率分布，具有给定的方 差和均值，而地质统计学中的模拟除了以上要求外，还要保持与实际数据有相同 的协方差函数或变异函数。条件模拟是地质统计学中特有的内容，也可以说是一 种新蒙特卡洛方法。和传统的蒙特卡罗模拟相比，条件模拟不但能保持变量的空 间相关性，如变异函数保持不变，还要能条件化，当控制点越多时模拟就越接近 客观实际，而且通过条件模拟还可以实现三维空自j 的模拟。 自从1 9 7 3 年m a t h e r o n 教授提出了转向带法以来，许多研究人员又提出了许 多新的方法，如l u - - 角矩阵分解法、序贯高斯模拟、序贯指示模拟、截断高斯 模拟、示性点过程模拟、退火模拟以及分形模拟等各种各样的方法。这些方法被 广泛的应用于采矿、储层建模等许多方面，近几年来条件模拟还被用在了一些非 地质领域，如水土资源、森林资源评估等方面。目前对空间信息分布特征或模拟 其离散性和波动性，均可用地质统计学及相应的理论进行研究，地质统计学也已 成为评估各种区域性自然现象、自然资源及再现其波动过程的新的工程科学。由 此可见对条件模拟的研究仍具有非常深远的意义。 条件模拟通常有两种基本思路：误差模拟和序贯模拟。序贯模拟方法可用于 成都理i ：人学硕十学位论文 高斯随机模拟和指示随机模拟。高斯随机域是最经典的随机函数，这种方法主要 用于连续变量的随机模拟，而指示模拟既可用于类型变量，又可用于离散化的连 续变量，因此，本文主要以这两种应用广泛的方法来作为讨论和研究的对象。 1 2 国内外研究进展 自从六十年代初，法国的g m a t h e r o n 教授提出区域化变量理论并创立地质统 计学以来，地质统计学已得到广泛的应用。而条件模拟即随机建模是在此技术之 后迅速发展起来的，它的优点是可以再现变量的波动性。最初是a ，j o u r n e l 教授 在他的的著作“矿业地质统计学”中详细地阐述了条件模拟的基本概念和算法， 这本著作全面地介绍了转向带法( t u r n i n gb a n d ，简称t b ) ，总结了地质统计学 在当时的发展，至今仍被广泛地引用。p e t e r1 b ( 1 9 8 5 ) 改进了转向带法，经推 导得出一维球状模型协方差函数的表达式。d a v i s ( 1 9 8 7 ) 提出了l u 分解，即将数 据点和网格点之间的协方差矩阵c 进行三角分解得到厶u 矩阵。s h i n o z u k a 和 j a n ( 1 9 7 2 ) 最早利用傅立叶变换来进行条件模拟。此法称为法，这种方法的主 要缺陷在于模拟出的协方差函数具有周期性。j o u r n e l 和a 舾e f t ( 1 9 8 9 和1 9 9 0 ) 提出了序贯高斯模拟以及序贯指示模拟，它们的思路大体一致，都是逐次推断出 n 1 个条件概率。 地质统计学中的随机模拟在油减描述中的应用被称为了油气储层的随机建 模。在第一届和第二届国际地质统计学大会中只有少数这方面的文章，而在法国 a v i g n o n 举行的第三届会议中，o d u b r u l e 和s r u s w i c k 在他们的论文中提出了油 藏的随机模型。从2 0 世纪9 0 年代起，随机建模的发展有了很大的发展，出现了 比克立格更为复杂的模拟算法。在1 9 9 2 年的第四届国际地质统计学大会上出现 的标准算法有：离散数据，指示值的编码处理，概率场模拟，还出现了模拟退火 和迭代随机模拟算法，包括马尔科夫链和序贯算法。在1 9 9 3 年的以“下一个世 纪的地质统计学”为题的学术会议上，c d e u t s c h 运用了“算法定义的随机函数” 的术语，意为通过所有的实现所产生的一个随机函数，这里的实现由一个给定的 算法产生，而每一个实现则由一个随机种子完全确定。目前，地质统计学所用的 模拟算法大多属于算法定义的随机函数，包括大多数面向对象的算法。 在国内，随着条件模拟在的应用越来越广泛，出现了一大批的研究人员及其 2 第1 章绪论 论著。如王仁铎教授指出了地质统计学发展方向是由估计向模拟的趋势；裴韬在 【条件模拟方法近期研究进展】中对传统的转向带法、l u 分解、快速傅立叶变换等 方法进行了综述。条件模拟在石油储层建模方面的应用尤为广泛，例如王家华和 张团峰教授所著的【油气储层随机建模】，他们以指示模型、截断高斯模型、示性 点过程模型等国际上流行的储层随机建模方法为核心，以此来解决确定沉积相带 的空间分布，还首次提出了利用随机游走模型来确定水下辫状河道的流向和位 置；以及陈恭洋所著的【碎屑岩油气储层随机建模】等。 条件模拟的发展还体现在了一些非地质领域，比如陈亚新、史海滨和魏占民 等著的土壤水盐信息空间变异的预测理论与条件模拟】，将地质统计学引入了水 土科学中，为水土资源的时空分布、储量估计、规划设计、预测监测和现代管理 提供了解决问题的新理论和新方法。冯益民等还将序贯指示模拟方法用于了森林 类型的空间分布，对汪清林业局森林类型分布进行了模拟，模拟结果与实际调查 得到的森林分布图相比较，模拟精度达到了7 3 8 0 。 由前面的现状分析我们可以看到，条件模拟的应用非常广泛，但现有的文献 大都仅限于其方法的运用，而对其理论本身并未做探讨，因而方法的理论基础仍 较为薄弱。 1 3 研究思路 本文主要对序贯模拟方法进行研究和讨论。通过去掉已知实测点前后结果进 行比较，观察条件模拟中实测点与模拟点重合时，其数据的一致性以及非实测点 处模拟数据的随机性；对高斯场数据进行序贯高斯模拟，并对模拟前后的数据构 形进行观察和比较；对不满足高斯分布的数据场或离散型数据进行序贯指示模 拟，分析其模拟结果。 除了对方法进行研究和讨论外，本文选取某油区作为研究对象，划分出一块 矩形区域，选用了其中1 2 口井的数据。通过随机模拟的方法，探索性的建立所 选区域的三维地质模型，以此来对序贯高斯模拟和序贯指示模拟做进一步的研 究，拓宽序贯模拟方法的应用，研究思路见图l l 。 成都理i ：大学硕十学位论文 r _ j l 1r _ j l r j l r l 1 i 序贯高斯模拟|i 序贯指示模拟ii 序贯高斯模拟ii 序贯指示模拟| e 。一l 。_ j e 。一e 。j 图卜1 研究思路图 4 詈查 第2 章条件模拟方法的基本原理 第2 章条件模拟方法的基本原理 2 1 克立格方法的基本原理 条件模拟和克立格方法是地质统计学的两大组成部分，在条件模拟中也要用 到克立格方法。 2 1 1 区域化变量理论 以空间点x 的三个直角坐标x 。，x ，x 。为自变量的随机场z ( x 。，x ，x ，) = z ( 称为一个区域化变量。对区域化变量进行了一次随机观测后，就得到了它的一个 实现z ( 硝，它是一个普通的三元实值函数，或者说是空间点函数。 区域化变量有两重性：观测前，把z ( x ) 看作随机场；观测后，把z ( x ) 看作 一个空间点函数。在地质中，很多变量都可以看作是区域化变量。区域化变量同 时反映地质变量的结构性与随机性，区域化变量还具有如下地质学特性： ( 1 ) 空间局限性：区域化变量往往只存在于一定的空间范围内，这一空间称为 区域化变量的几何域，并且区域化变量是按几何承载来确定的； ( 2 ) 不同程度的连续性：不同的区域化变量具有不同程度的连续性； ( 3 ) 不同类型的各向异性：区域化变量如果在各个方向上性质相同，则称为各 向同性，否则就称其为各向异性。地质变量往往是各向异性的，因此，由 区域化变量不同类型的各向异性，可以很好地反映出地质变量不同类型的 各向异性。 由于区域化变量具有以上这些不同于纯随机变量的特殊性质，因此只用经典 概率统计方法是不够用的。在地质统计学中引入了一个基本工具变异函数来 对区域化变量进行研究。 2 1 2 变异函数 变异函数是区域化变量空间变异性的一种度量，它反映了空间变异程度随距 成都理i ：人学硕十学位论文 离而变化的特征。变异函数强调三维空间上的数据构形，从而可以定量地描述区 域化变量的空间相关性，它是地质统计学的所特有的基本工具，也是进行地质统 计学计算的基础。变异函数即能描述区域化变量的结构性交化，又能描述其随机 性变化，在条件模拟中变异函数也同样有着非常重要的作用。 一维条件下对变异函数定义如下：当空间点x 在一维x 轴上变化时，把区域 化变量x 与x + h 处的值z ) 与z ( 工+ h ) 的差的方差之半定义为区域化变量z ( x ) 在x 轴方向上的变异函数，并记为： 从公式( 2 1 - 1 ) 中可以看出，r ( x ，h ) 一般是依赖于x 和h 两个自变量的。如 果r ( x ，h ) 与工的取值无关，只依赖于h ，则可把变异函数r ( x ，h ) 写为r ( h ) 。 公式( 2 1 1 ) 只是一个理论数学表达式。根据数理统计知识，要想估计数学 期望e z ( x ) 一z ( x + 厅) 】2 以及e z ( x ) 一z ( x + ) 】的值，就要通过z ) 和z ( x + h ) 这 一对区域化变量的多次实现来得到，但是在实际工作中不可能对同点采取多次采 样，只能得到一对这样的数值z ) 和z ( x + h ) 。为了解决这个问题，就需要对z ) 做一些假设，最常用的是二阶平稳假设和本征假设( 或称内蕴假设) 。 ( 1 ) 二阶平稳假设： 当z ) 满足下列条件时，则称z ) 满足二阶平稳：在整个研究区域内，区 域化变量z 的数学期望存在并等于常数，即研z ) 】- 聊；z ) 的协方差函数 存在且相同，由此可得： c o y 【z ( x ) ，z ( x + ) 】= 研z ( x ) z ( x + 而) 卜l i z ( x ) 】e z ( x + ) 】 = e 【z ( 工) z ( x + ) 卜m 2 垒c ( ) ， 垤，v h 当h = 0 时，式( 2 1 2 ) 就变为： v a r z ( x ) 】c ( o ) ，v x ， 6 ( 2 一l 一2 ) ( 2 1 3 ) 伊及研 一扣 卜 蝴= 卜 陬 b 2 第2 章条作模拟方法的基本原理 即表示有先验方差，协方差平稳意味着方差及变异函数平稳，从而有关系式： c ( 矗) = c ( o ) 一y ( ) ( 2 1 4 ) ( 2 ) 本征假设： 二阶平稳假设要求比较强，一般来说不容易满足。而本征假设相对来说要求 弱一些，当z ( z ) 的增量【z ( x ) 一z ( x + ) 】满足下列条件时，则称为本征假设： 坷z ( 力一z + ) 】= o , v x , v h ；增量瞄- z ( 工+ ) 】的方差函数存在且平稳( 即 方差函数不依赖于x ) 。则变异函数公式( 2 1 1 ) 变为： ，( ) = 妄e z ( 功一z ( x + 厅) 】2 ( 2 一l 5 ) 两种假设相比较而言，二阶平稳假设较强，而本征假设较弱。满足二阶平稳 假设的区域化变量z ) 必定满足本征假设；满足本征假设的z ) 不一定满足二阶 平稳假设。 由公式( 2 一l - 5 ) 可看出砸) 的增量只依赖于分隔它们的向量h ( 滞后距) ，而 不依赖于具体x 的位置。变异函数r ( h ) 随滞后距h 变化的特征，表达了区域化变 量的各种空间变异特性。 在满足了二阶平稳假设或本征假设的条件下，计算实验变异函数。把在x 轴 上相隔为 的n ( h ) 对点薯和+ 矗( f = 1 , 2 ，( 厅) ) 处的( 协对值z ( x j ) 和 z ( x t + 功( f = 1 , 2 ，( 厅) ) 看成是z 和坝工+ ) 的( 对实现，则可用求算术平 均的方法来计算变异函数，( j j i ) 的估计量，( ) ，即实验变异函数的计算公式为： ，( 2 赢善 z ( 一) - z ( x , “) 】2 ( 2 - 1 - 6 ) 在实际情况中，选取实验变异函数的基本距离作为步长，分别计算相距为 厶红，3 l ，址距离的实验变异函数值。一般来说，数据点对之间的距离 都不能很精确的满足条件，因此在步长距离和方向都分别给出一个容许的范围， 分别称之为步长容限和角度容限，如图2 1 所示，以此来计算实验变异函数。 7 成都理i ：人学硕十学位论文 图2 - 1 实验变异函数的计算 图2 - 2 变异函数图 h 图2 2 为一个变异函数图，变异函数的各个参数反映了各自不同的作用，变 异函数也反映了区域化变量的许多重要性质。不同方向上的变异函数图可以反映 区域化变量的各向异性。下面以变异函数图2 2 为例，介绍一下变异函数的几个 参数： ( 1 ) 变程a 在图2 2 中，a 即为变程。通过变程可以反映变量的影响范围，在变程范 围内，变异函数r ( h ) 随着的增大而增加，当的值增加到a 时，变异函数 值就稳定在了一个极限值r ( o o ) 附近。变程的这种特性表达了区域化变量在变 程范围以内，数据具有相关性，在变程范围以外，数据之间不相关的特点。 通过变程可以反映变量的平面非均质性。在储层建模中，变程可以用来表征 储层物性空间分布的某种结构的最大相关范围。 ( 2 ) 块金常数c o 变异函数在原点处间断，这就称为“块金效应”。块金效应表现为在很短 的距离内有较大的空间变异性。块金常数c o 的大小可以反映区域化变量的随 机性大小，c 0 越大，区域化变量的随机性越大。在储层建模中，块金效应出 现的原因有两种，一是由于采样点的间隔大于空间结构局域变化的范围，即 超出了变异函数的变程范围；二是由于测量误差产生的。 ( 3 ) 基台值c o + c c 0 + c 为基台值，它代表变量在空间上的总变异性大小，是变异函数在h 8 第2 章条件模拟方法的基本原理 大于变程时的值，即最大滞后距可迁性变异函数的极限值。在满足二阶平稳 假设的条件下，且c ( a o ) = 0 时，有，( m ) = c ( o ) = v a r z ( x ) 】，这表示基台值为 砸) 的先验方差。但如果不满足二阶平稳假设，这个关系式就不成立。基台 值可以反映出变量在这个方向上变化幅度的大小。 协方差和变异函数的关系如图2 3 所示： 2 1 3 估计方差 c ( o ) “h ) ，( ) = = c ( 0 ) k 彳。 巡芝c ( 叻：0 1 0口 图2 - 3 协方差与变异函数关系图 在实际工作中，被估块段的实际值往往与估计值不同，即产生了估计误差。 假设z 为二阶平稳的区域化变量，则估计误差为：r ( x ) = z ，一z 。由于z ) 是二阶平稳的，可以证明r ( 也是二阶平稳的，则得到如下的估计方差： 盯e 2 = e ( z r z ) 一所； ( 2 1 7 ) 其中r r l 。表示平均估计误差的大小，而盯；则表示估计误差对其分布中心m 。 的离散程度的大小，这就是估计方差的实质含义。 在数理统计中，个好的估计量应该是无偏的和有效的。在地质统计学中， 一个好的估计应该有无偏性( g z 】= e z ，】) 和估计方差最小性 ( 盯：= e z ，一z 】2 达到最小) 。 我们一般通过上述两个条件得到一个方程组，再通过方程求得权系数五，从 而得到线性估计量： 9 成都理l ：人学硕十学位论文 z = z ( x ，) = z ，# l，l l 估计方差盯；的计算公式为： ( 2 1 8 ) 盯e 2 = 2 r ( v ，v ) - r ( v ，v ) - r ( v ，v ) ( 2 - 1 9 ) 其中v 表示表示信息承载的整体，v 为待估块段。 2 1 4 变异函数的理论模型 通过变异函数可以有助于解决区域化变量的变化及结构性状。对区域化变量 进行结构分析，其主要内容就是计算实验变异函数，然后拟合一个理论变异函数 的模型，这些模型将直接参与克立格法的估计运算。变异函数的理论模型常用的 有以下几类： ( 1 ) 球状模型： 球状模型是非常常用的一种模型，它的公式为： 艇 ) = 0，h=0 c o + c ( 导矧n ( 2 - 1 - 1 0 ) c o + c h 4 其中c 0 为块会常数，c 0 + c 为基台值，a 为变程，见图2 4 。 肋卜i c 0 + c 卜0 f h = 0 ( 2 1 1 1 ) 矗 o 当h = 3 a 时，r ( h ) “c o + c ，故其变程为3 d ，见图2 5 。 ( 3 ) 高斯模型： y ( 功= h = 0 ( 2 1 1 2 ) o 当矗= 孔时，y ( 矗) m c o + c ，故其变程为- 玎，见图2 - 6 。 ( 4 ) 幂函数模型： 1 0 、 口l，似k 一 ，1 + o g 第2 章条1 ，| ：模拟方法的基本原理 与幂函数模型相应的区域化变量z ( 曲既无协方差函数，也无先验方差，只有 变异函数存在，它的公式为： ，( 矗) = h 4 ，0 口 2 幂函数的理论模型见图2 7 。 ( 2 1 1 3 ) 图2 - 4 球状理论模型变异函数图图2 5 指数理论模型变异函数图 图2 - 6 高斯理论模型变异函数图图2 - 7 幂函数理论模型变异函数 2 1 5 常用的几种克立格方法 h 克立格方法最早是由南非金矿工程师d g 克立格提出来的，后来由马特隆教 授系统研究并以克立格的名字命名的一种方法。克立格法最初是用于矿产储量的 计算。克立格方法区别于其它传统方法的关键就在于，它不仅考虑了已知数据点 与待估点的影响，而且也考虑了已知数据点之间的相互影响。它是通过变异函数 来表征区域化变量的空问结构性，即样品之间不是独立的，而是存在一定的相关 关系。克立格方法是一种最优、线性、无偏、估计方差最小的方法，也可以说是 一种特定的滑动加权平均法。克立格方法有很多种，对于不同的目的和不同的条 件使用不同的克立格法，这样可以取得更好的效果。各种克立格估值方法关键都 是要解决两个问题：一个是求出克立格权系数；另一个是求出克立格方差。 成都理l ：人学硕十学位论文 ( 1 ) 简单克立格 当数学期望研z ( x ) 】= m 为已知常数，可用简单克立格法。令y ( 工) = z ( 工) - m ， 则研y ( x ) 】- n z ( x ) 一m = o 】，因此估计z ( 矿) 的问题就化为估计y ( y ) 的问题了。 形是】，( 矿) 的无偏估计量，估计方差的表达式如下： 一 一 月 d ；= c ( v ，v ) - 2 z c ( x ，y ) + 丑乃c ( t ，_ ) ( 2 1 1 4 ) t = l j = 1 = 1 为了使公式( 2 1 1 4 ) 达到最小，将其对 求偏导，并令其为0 ，最后得到简单 克立格方程组： 乃c ( 一，x j ) = c ( t ，y ) ， i = i 2 栉 ( 2 1 1 5 ) 从这甩个方程中可以解出h 个丑，即为简单克立格权系数。并且可以进一步 得到估计方差公式： 盯；= c ( 矿，矿) 一丑c ( x ，y ) t = l ( 2 1 1 6 ) 由于y ( 矿) 的简单估计量为砭= 乃，因此得到z ( 矿) 的简单克立格估计量 ，l 公式如下： z ：= 乙+ m ( 1 一乃) ，ij * l ( 2 1 1 7 ) ( 2 ) 普通克立格 普通克立格是最常用的一种克立格方法，在区域化变量礅) 的数学期望为未 知常数的情况下，则可以用到普通克立格。为了得到无偏估计，权系数应满足如 下无偏性条件，这也是普通克立格与简单克立格的区别： = 1 i = l 普通克立格方程组见公式2 - 1 1 9 。 1 2 ( 2 1 1 8 ) 第2 章条件模拟方法的基本原理 i 窆 c ( x l ，x j ) - a = 于( x ，功，( f - l 2 ，疗) ( 2 - 1 1 9 ) l 五= 1 l ，z l 得到的普通克立格方差： 盯。2 = c ( y ，v ) - c ( y ) + ( 2 1 2 0 ) 从克立格方程组可以看出，克立格方法是根据已知数据点来进行估值的，因 此，克立格方法是一种严格的内插方法，而且普通克立格的方程组和方差都不依 赖于样品数据的具体数值，只取决于结构模型c ( h ) 和相对空间位置。 ( 3 ) 指示克立格 指示克立格法是属于非参数地质统计学的范畴，它是由a g j o u m e l 教授于 1 9 8 2 年提出来的。它并不十分依赖于矿床样品值的平稳性，也并不要求区域化 变量服从某种分布。这种方法是在不必去掉重要而实际存在的高值数据的条件下 来处理各种不同的现象，而且给出一定风险条件下未知量z 【的的估计量及空间分 布。 用z c 的来表示在x 点处的值，x d ，并且给出边界值z 则在d 上的每一 个点x 上定义一个z 的指示函数见公式( 2 1 2 1 ) ： 删刀= 嚣骝；至( 2 - 1 - 2 1 ) 在d 上任一区域a d 内，低于边界值z 的值所占区域a 的比例表示如下： 则z ) 2 去，( 置z ) 挑【0 , 1 】( 2 - 1 - 2 2 ) 妒( 彳；z ) 可以看作是累积分布函数。 根据指示数据来表示的实验指示变异函数如下： n ( h ) 肛志荟叭以“；驴7 ( 以；z ) 】2 ( 2 - 1 - 2 3 ) 指示克立格法是用给出的在无偏的条件下，同样采用类似于普通克立法方程 的推导，得到指示克立格方程组和指示克立格方差如下： 成都理i ：人学硕十学位论文 值。 i 窆万( 以，j ，；z ) + = 歹，( 以；4 ；z ) ，口= l ，2 ，甩 i 3 i h i 以= 1 l a ；l 仃目2 = 以_ ( 以，4 ；z ) 一万( 一，a ；z ) + a ( 2 1 2 4 ) ( 2 1 2 5 ) 再根据求得的权系数来得到指示函数的估计值，最后得到z c 的估计 2 2 条件模拟的常用思路与方法 传统的模拟方法要求伪随机数服从一定的概率分布，具有给定的数学期望和 方差即可。而地质统计学中的模拟除了这些要求以外，还要保持一定的空间自相 关性，即保持与实际数据有相同的协方差函数或变异函数，这种模拟在地质统计 学中称为非条件模拟。如果再增加一个条件，各实测点处的模拟值等于该点实测 值，这时的模拟就称为条件模拟。 条件模拟是地质统计学所特有的内容，用条件模拟方法得出的模拟值不但能 保持与z ) 数学期望、方差和分布函数的一致性，而且还能保持协方差函数或变 异函数的一致性，同时在各实测点处的模拟值还等于该点的实测值。 2 2 1 条件模拟与克立格方法的区别 与克立格方法相比，条件模拟着重反映空间数据的波动性，而克立格法则是 力求减少估计误差。它们之间的差别主要体现在以下三个方面： ( 1 ) 克立格方法是力求对待估点做出最优和无偏的估计，而不会专门考虑估计 值的空间相关性，条件模拟虽然在点估计时使用的是克立格算法，但它估 计的是待估点的分布，考虑的是模拟值的全局空间相关性，而不是只对单 个的点进行无偏估计； 一2 ( 2 ) 克立格法有着一定的平滑效应：d 2 ( v g ) zd ；( v o ) + 盯，而且无法给 出真实值的离散程度，而条件模拟则能更好地再现真实情况的波动性。在 后面的应用中将进一步研究克立格和条件模拟方法的差别； 1 4 第2 章条什模拟方法的基本原理 ( 3 ) 克立格法进行插值只能得到一个确定性的结果，而条件模拟则可得到多个 实现。 2 2 2 误差模拟思路 由于克立格估计具有平滑效应，因此，为了反应真实值的波动情况，可以对 其进行误差模拟。误差模拟的主要思路是，在克立格估值的基础上，增加一个被 克立格法的平滑效应给去掉的误差部分。 为满足二阶平稳的区域化变量，已知数学期望研z ( x ) 】_ m ，并存在协方 差函数c o ) 或变异函数r ( h ) 。要想求得z ( x ) 的条件模拟z 。( x ) ，就需找出与 z ( 功同构( 有相同的数学期望和分布，以及相同的c ( 矗) 或，( 矗) ) 的区域化变量 z 。( 功的一个现实，且在实测点x a 上模拟值等于实测值，即有 z 。( 屯) = z ( x d ， ( 2 - 2 1 ) 要想求得z 。( x ) 的计算公式，还需引入克立格估值和非条件模拟值z ，( x ) 。 z ( x ) 在x 点处的真实值可以表示为其克立格值与其误差之和，即 z ( x ) = 2 ：( x ) + 【z ( x ) 一2 ：( 工) 】= z ；0 0 + r ( x ) ( 2 2 2 ) 其中矗( x ) 为未知的误差。由于克立格误差与克立格估值的正交性： 耳z ( y ) 【z ( x ) 一z ：( x ) 】 = o ，y ，因此，可以用一个与r ( x ) 同构而且独立的非 条件模拟的克立格误差【互( x ) 一z 二( x ) 】来取代公式( 2 2 2 ) 式中的未知克立格 误差 z ( 一z ( x ) 】，即可得到条件模拟理论计算公式( 2 2 3 ) ： z 二( x ) = z ：( x ) + z 。( 工) 一z 二( x ) 】 ( 2 2 3 ) 由于z 。( 力与z ( x ) 有着相同的数学期望和相同的变异函数，在实测数据点上，条 件模拟的值等于实测值，即z 。( k ) = z ( x 。) ，v 。且z ，( x ) 与z ( 功又有相同的变 异函数，求克立格估值z 二( x ) 和z ( x ) 时数据构形又相同，因此其克立格方程组 也一样，方程组的解也一样，即有相同的权系数以，口= 1 , 2 ，m 。于是将 1 5 成都理l ：人学硕十学位论文 h 月 z ：( x ) = x z ( x 。) ，z 二( x ) = 忽，( x 。) 代入( 2 2 3 ) 式，即可得 口；1口= 1 h z 卵( x ) = z ，( 工) + 乏：_ 讧 z ( 】吃) 一z ，( x 。) 】 ( 2 2 4 ) a ；l 这就是计算条件模拟的实用型公式。根据公式( 2 2 4 ) 可知，首先要求出一个 非条件模拟值互 ) ，再对实测点x 。上的差值【z ( x 。) 】z ，( k ) 】，o r = 1 , 2 ，珂进 行克立格估计，最后把这两者相加即可得到z 。( x ) 。 具体模拟步骤如图2 8 所示，误差模拟简单图示如图2 - 9 所示。 对原始数据进行克屯 格捅值。取得估计值 2 ，2 3 序贯模拟思路 进行非条件模拟。得到 非条件模拟值 原始克市格耐计值与 差值相加。即得到条件 模拟值 图2 - 8 误差模拟步骤 用观测点处非条件模 拟值来进行免市格插 值，得到新的估计值 将两估计值相减，得h 差值 序贯模拟的思路是，沿着随机路径序贯地求出各网格结点的条件累积分稚函 数，并从条件累积分布函数中取得模拟值。 对于n 个随机变量z ( x ) 的条件联合概率模型可以表示如下： f a z l ，z 2 ，z i ( 刀) 】= p r o b z ，z ，i = 1 , 2 ，ni ( 丹) ( 2 2 5 ) 可以通过个步骤来得到公式( 2 - 2 - 5 ) 中的元样本。由概率论可知如下 关系： 蹦毛，z 2 ，z 】- p r 曲 z 1s z l ) p r o b z 2 2 2i ( 行+ 1 ) ) ( 2 2 6 ) p r o b z sz i ( 栉+ 一1 ) 1 6 第2 章条件模拟方法的基本原理 图2 9 误差模拟简单图不 通过如下j v 个单变量的条件累积分布函数可唯一确定联合分布： z 1 p r o b z l 毛i ( 疗) ) ； z 2 p 。0 6 z 2 。2i ( 玎+ 1 ) ) ； ( 2 2 - 7 ) z p r o b z z l ( 弗+ n 1 ) 通过给定的力个原始数据，从z i 的条件累积分布函数中抽取一个样本毛，将 而作为新的条件数据加入到原始数据中，成为了咒+ 1 个条件数据。再从z 2 的条 件累积分布函数中抽取一个样本z ：，构成了n + 2 个数据。这样序贯地得到个 随机变量，最后可以得到j v 个随机变量的联