（应用数学专业论文）某些种群的周期解、概周期解和最优捕获问题.pdf

摘要 生物资源是一种可再生资源，如何利用有限的可再生资源，实现 其可持续开发和利用，已成为从经济管理学家到生态学家都在关心的 问题，历来受到学术界的重视本文在第二部分研究了以a 如i n a y a l a 单种群增长模型为基础，假定生产函数为e x 4 ( f l 为正常数) 的捕获模 型 圣= r x 1 一( 新一e 扩 的最优开发问题，确定了最优开发策略，推广了文献 1 中已有的相应 结果，为可再生生物资源的实际管理提供了理论依据由于许许多多现 实问题往往都可归结为寻求以微分方程( 常微分方程、泛函微分方程) 为数学模型的周期解、概周期解，因此本文在第三部分运用y o s h i z a w a 型周期解定理的推广，研究了以下具有m i c h a e i i s m e n t e n 型反应函 数的非自治三种群时滞扩散捕食系统 妒帅m h l l ( 咖m 卜翥怒群一而a 啦1 3 ( 。t ) x 3 怕( t ) 十d l ( t ) y ( t ) 一z 1 ( t ) ， 茁。= z z h 。( t ) + 面而习a 2 l f ( t ) z 葡l ( t 干- 币n ) f 葡 。3 2 。3 【一0 3 【亡j + 0 3 2 l , t m j 3 2 1 2 ( 【亡t ) x 一3 丁3 ( tj - - t 2 ) 4 - 1 x l ( t - - 2 ) 。? 9 2 3 2 ( t ) x 3 ( t 一7 3 ) + 2 ( 亡一q ) ” i = y a 4 ( t ) 一a 4 4 ( t ) y ( t ) + d 2 ( t ) x l ( t ) 一f ( t ) 一 ! 丝盟苎曼盟 m 2 3 ( t ) x 3 ( t ) 十z 2 ( t ) 的周期解的存在性，给出存在正周期解的充分性条件在第四部分运 用构造l y a p u n o v 函数的方法讨论了如下三种群食饵系统 i 茁1 = z l b l ( t ) 一a l l ( t ) x l a 1 2 ( t ) x 2 一a 1 3 ( t ) x 3 ， 峦2 = z 2 卜b 2 ( t ) + a 2 1 ( t ) x 1 一a 2 2 ( t ) x 2 一a 2 3 ( t ) x 3 ， l ：3 = x 3 一b 3 ( t ) + a 3 1 ( t ) x l + a 3 2 ( t ) x 2 一a 3 3 ( t ) x 3 】 的概周期解的存在唯一性和全局渐近稳定性 i i i 关键词：g i f p i n a y a l a 模型，可持续捕获，一致持久，y o s h i z a w a 型周期解定理，周期解，概周期，全局渐近稳定性，l i a p u n o r 函数 i v a b s t r a c t b i o l o g i c a lr e s o u r c ei sak i n do fr e n e w a b l er e s o u r c e ，t h eo p t i m a i n a l l - a g e m e n to fr e n e w a b l er e s o u r c e s w h i c hh a sad i r e c tr e l a t i o n s h i pt os u s t a i n a b l ed e v e l o p m e n ta n de x p l o i t a t i o nh a sc o n i ci n t ot h ep t o b l e m sc o n c e r n e d b ye c o l o g i s t sa n de c o n o m i s t sa n dh a sb e e nt a k e nc o u n to fb ya c a d e m i cf i e l d t h es e c o n dp a r to ft h i sp a p e ri sm a i n l yb a s e do n g i l p i n - a y a l as i n g l e - s p e c i e s g r o w t hm o d e l w ea s s u m ep r o d u c t i o nf u n c t i o ni se 茁8 旧i sp o s i t i v ec o n - s t a n t ) t h e nt h i sm o d e lb e c o m e s ， 士= r x 1 ( 一e 扩 o p t i m a le x p l o i t a t i o no ft h em o d e li sc o n s i d e t e d o p t i m a le x p l o i t a - t i o np o l i c i e sa r ed e t e r m i n e d r e l a t i v er e s u l t sw h i c hh a v eo b t a i n e di n 1 】 a l eg e n e r a l i z e d r e s u l t sp r o v i d et h e o r yb a s i sf o ro b j e c t i v em a n a g e m e n to f r e n e w a b l eb i o l o g i c a lr e s o u r c e s m a n yo b j e c t i v ep r o b l e m so f t e nb et r a n s - f e r r e dt oh o wt of i n dt h es o l u t i o no fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ( o d e ，f d e ) ， e s p e c i a l l yo np e r i o d i cs o l u t i o na n da l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o no fm a t h e m a t i c s m o d e l e x t e n s i o no fy o s h i z a w ap e r i o d i cs o l u t i o ut h e o r e mi sm e n t i o n e di n t h et h i r dp a r t n o n a u t o n o m o u st h r e es p e c i e sp r e d a t o r - p r e yd e l a yd i f f u s i o n s y s t e mw i t hm i c h a e l i s - m e n t e nr e s p o n s ef u n c t i o ni ss t u d i e d 叠- = z t i n t ) 一n - - ( t ) z ，( t ) 一再i j i a l 再2 云( t 百) x i _ 2 ；( t 丽) 一再五j 再a i = l s 磊( t t ) 巧x 3 _ = ( 丽t ) + d l ( t ) y ( t ) 一z 1 ( t ) 】， 一 ! 垫塑塑盟 m 2 3 ( t ) z a ( t ) + z 2 ( t ) w eo b t a i nn o to n l ye x i s t e n c eo fp e r i o d i cs o l u t i o no ft h es y s t e m ，b u t a l s os u f f i c i e n tc o n d i t i o no fp o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n i nt h ef o u r t hp a r t ，w e v s t r u c t u r el i a p u n o vf u n c t i o nt od i s c u s st h ef o l l o w i n gt h r e es p e c i e sp r e d a t o r f 峦1 = 。1 【6 1 ( 亡) 一。1 1 ( t ) z 1 一。1 2 ( ) 嚣2 一n 1 3 ( t ) 茁3 】， 叠2 = x 2 - b 2 ( t ) + a 2 1 ( t ) x l a 2 2 ( t ) z 2 一a 2 3 ( t ) x 3 ， i 畦；= x 3 【_ b 3 ( t ) + a 3 1 ( t ) x l + a 3 2 ( t ) x 2 一a 3 3 ( t ) x 3 w eo b t a i ne x i s t e n c e ，u n i q u e n e s sa n dg l o b a la s y m p t o t i cs t a b i l i t yo fa l m o s t k e yw o r d s ：g i l p i n - a y a l am o d e l ，s u s t a i i r a b l ey i e l d ，u n i f o r mp e r - s i s t e n c e ，y o s h i z a w ap e r i o d i cs o l u l i o nt h e o r e m ，p e r i o d i cs o l u t i o n ，a l m o s t p e r i o d i cs o l u t i o n ，g l o b a la s y m p t o t i cs t a b i l i t y ，l i a p u n o vf u n c t i o n v i 独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。除了文中特另1 j j n 以标注和致谢的地方外，论 文中不包含其他人已经发表的研究成果，也不包含他人为获得东北师 范大学或其它教学机构的学位或证书而取得的研究成果。与我一同工 作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表 示谢意。 签名：盏盔整日期：邕型i 。! 关于论文使用授权的说明 本人了解并遵守东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定， 即：学校有权保留、向国家有关部门送交学位论文的复印件，允许论 文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影 印、缩印或其它复印手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 作者签名： 日期： 盥指导教师签名 日期： i i 王l 第一章引言 种群生态学是生态学中的一个重要分支，也是迄今数学在生态学 中应用最为广泛和深入、发展得最为系统和成熟的分支运用数学的 方法来研究种群的变化规律，首先是根据大量的实验或统计资料建立 数学模型，然后借助于数学的理论和方法去揭示种群的变化规律，预 测它的未来，再通过实践去检验和不断修正、深化原有的模型，以求 得对现实更为真实的反映 人类在发展的过程中，持久性策略对于人类的长久发展是很重要 的生物资源是一种可再生资源，在过去和今天，那种对生物资源未 能充分利用和开发过渡造成资源枯竭的情况都是屡见不鲜的为了能 长期地利用生物资源，就必须对它们进行合理地开发和科学地管理， 如何利用有限的可再生资源，实现其可持续开发和利用，已成为从经 济管理学家到生态学家都在关心的问题，历来受到学术界的重视文 献 1 7 讨论了各种自治单种群捕获模型，以最大可持续捕获量和最 大净利润为管理目标，得到最优捕获策略本文在第二部分研究了以 g i l p i n a y a l a 单种群增长模型为基础( 此方程比著名的l o g i s t i c 方程 更广泛) ，假定生产函数为e 扩( 芦为正常数) 的捕获模型 士= r z 1 一( 新一e ( 1 1 ) 的最优开发问题，确定了最优开发策略，推广了文献 1 中已有的相应 结果，为可再生生物资源的实际管理提供了理论依据其中，。为t 时 刻种群数量，r 0 为种群的内禀增长率( 或固有增长率) ，k 0 为环境 的最大容纳量，0 0 表示种群密度制约效应的强弱，即种内竞争的 激烈程度e 0 为捕获努力量，例如在渔业中可看为单位时间内出 海捕鱼的标准鱼船数 生物数学根本的价值在于它来源于现实又应用于现实许许多多 现实问题往往都可归结为寻求以微分方程( 常微分方程、泛函微分方 程) 为数学模型的周期解、概周期解从而，生态系统周期解、概周期 勰的存在性问题成为数学生态学理论中的一个重要组成部分，受到许 多学者的重视 近年来，有大量的文献研究了具有时滞的l o t k a v o l t e r r a 捕食 系统的持久性与稳定性问题( i s 】一 1 1 ) ，文【8 】研究了模型 邮) 硇( t ) a l - - a 1 x l ( t ) 一而硒a 1 3 x f a ( t ) 丽 椰) = z z ( t ) a 2 - a 2 2 x 2 ( t ) 一而面a 2 3 x 币3 ( t ) 丽 删一a h 。+ 面考等编 a 3 2 x 2 ( t 一死)1 。m 2 3 x 3 ( t t 2 ) + z 2 0 一亿) ” 的持久生存与稳定性问题但在实际环境中，当外界的某些条件或自 身的某些因素发生改变时，自治系统就不能精确地描述客观事物了， 而且种群总是从密度高的斑块向密度低的斑块迁移，从而通过扩散达 到种群的持续生存那么，在这种情况下，系统的解的性态是如何的 呢? 本文在第三部分研究了以下具有m i c h a e l i s m e n t e n 型反应函数 的非自治三种群时滞扩散捕食系统 峦，( = z - ( t ) 陋( 一。t ( 旬。，( 旬一；五j ；i 高焉群】+ d l 叭沪删 ， 酬一。m 而高警鲁戋习 ( 1 z ) a 2 3 【t ) x 3 ( t ) 1 m 2 3 ( t ) x 3 ( t ) + x 2 ( t ) ” 删一。m “+ 而稿等等著习 。! 墼! 兰2 丝坚= 旦21 m 3 2 ( t ) x 3 ( t 一7 3 ) + 。2 ( 一) “ 口( t ) = y ( t ) k 4 ( t ) 一a 4 4 ( ) ( t ) 1 + d 2 ( t ) 陆1 ( t ) 一( t ) 1 的周期解的存在性其中“= 1 ，2 ，3 ) 表示第i 个种群在斑块j 中 的密度，y 表示x l 在斑块，中的密度； a i ( t ) ，o 巧( t ) ，m 。j ( t ) ( j = 1 ，2 ，3 ) ，d i ( t ) ( i = 1 ，2 ) 都是定义在r + 上的非负、有界、周期为u 的 2 周期函数，且啦( t ) ，8 ”( t ) ( i ，j = 1 ，2 ，3 ) 为严格正，毛0 = 1 ，2 ，3 ) 0 为常 数时滞；。1 能在斑块j 和j j 之间扩散，扩散系数为d 。( t ) o ( i = 1 ，2 ) 面。，。3 限定在斑块中不能扩散研究泛函微分方程周期解的存在性 有各种各样的方法，如：不动点定理方法、拓扑度方法、常微分方程产 生法、映象特征函数法、l y a p u n o v 第二方法等( 见文献 1 2 一1 6 及其 所引文献) 本文运用y o s h i z a w a 型周期解定理的推广，得出系统( 1 2 ) 至少有一个“周期解的充分条件。 概周期现象和周期现象相比较，概周期现象是在自然科学和社会 科学中更容易见到的一种现象因此，讨论微分方程解的概周期性质 有更重要的意义在文 17 】中作者建立适当的l y a p u n o v 函数，利用微 分不等式，讨论了一类二维l o t k a v o l t e r r a 捕食模型的一致持久性 与全局吸引性，获得了该模型的周期解的存在唯一性、概周期解的存 在唯一性在文 1 8 】中作者运用b r o u w e r 不动点定理及构造l y a p u n o v 函数的方法讨论了如下三种群食饵系统 lf 1 ( t ) = 。l ( t ) 6 l ( t ) 一a l l ( t ) x l a 1 2 ( t ) x 2 一a 1 3 ( f ) z 3 ， z 2 ( t ) = t 2 ( t ) - b 2 ( t ) + a 2 1 ( t ) x l a 2 ：( t ) x 2 一0 2 3 ( t ) 。3 ，( 1 3 ) l2 3 ( t ) = z 3 ( 【_ - b 3 ( t ) 十a 3 1 ( t ) x l + a 3 z ( t ) x z 0 3 3 ( t ) 。3 】， 的周期解的存在唯一性其中函数6 i ( t ) j ( t ) ，( i ，j = 1 ，2 ，3 ) 是定义在 o ，+ o 。) 上的周期为u 的连续周期函数，系统( 1 3 ) 表示种群2 ：3 以种群 z 。和种群x 2 为食饵( 以种群z - 为主) ，种群。2 以种群- 为食饵由文 1 7 】的启示，系统( 1 3 ) 对应的概周期系统是否存在唯一稳定的概周期 解呢? 本文在第四部分对系统( 1 3 ) 对应的概周期系统进行了研究，并 给出概周期解的存在唯一性和全局渐近稳定性的充分条件 第= 章自治单种群生物资源的最优开发策略 对于模型( 1 1 ) ，我们并不需要解方程以得到。( t ) 的动态变化过 程，只希望知道生物种群的稳定性和保持稳定的条件，即时间t 足够 长以后生物种群量z ( t ) 的趋向，并由此确定最佳捕获努力量和最大持 续产量。为此我们来判断方程的平衡点的存在性，并分析其稳定性 3 2 1 平衡点的存在性和稳定性 系统( 1 1 ) 的平衡点是代数方程 f ( 。) = r z 1 一( 嘉) 9 _ e = o 的解 定理2 1 1 当1 _ 臼 1 + 0 时，系统( 1 1 ) 存在唯一稳定的正平 衡点x + 证明： f ，( z ) 2 r r ( 1 + ! 差2 8 一e 卢。4 1 f ”( z ) 一r ( 1 + e ) o 一e z ( z 一1 ) 扩2 0 f ( k ) 一r o e 卢k 口一1 0 f 7 ( ) = 0 f f 瓦1 0 ，在( i ，k 】上f ( 。) 0 ，f ( k ) 0 由零点定理得， 在( i ，k ) 上存在唯一点z + 使得f ( 。+ ) = 0 ， 综上所述，可得在( 0 ，k ) 上存在唯一点z + 使得f ( x + ) = 0 ，即矿 为系统( 1 1 ) 在( 0 ，k ) 上唯一的平衡点显然x + 依赖于捕获努力量e 下面讨论系统( 1 1 ) 的平衡点z + 的稳定性 4 由于x + 是系统( 1 1 ) 的平衡点，故有f ( z + ) = 0 ，从而x * z - 1 = 与一面t i x * ) 8 于是， f 7 ( z + ) = r r ( 1 + 口) ( ) 9 一f l e x + 4 1 = r ( 卜卢) 十r ( 卢一目一1 ) ( 鼍) t 显然，当1 一卢 0 ，卢一口一1 0 时，f ( z + ) 0 故当1 卢 1 + 8 时，矿是系统( 1 1 ) 的唯一稳定的平衡点 定理2 1 2当p = 1 ，0 e r 时，系统( 1 1 ) 存在唯一稳定的 正平衡点z + 证明： 令，( 。) = r $ 1 一( 妻) 。 因，7 ( o ) 2n 且，”( z ) = 一r ( 1 + p ) 9 鼍矿 o ，故当o 0 而当。( 矿，k ) 时， f ( z ) 0 故z + 是稳定的 当0 卢 1 时，可证明当e 较大时，系统( 1 1 ) 将不存在正平衡 点，而当e 较小时，系统( 1 ，1 ) 将存在两个正平衡点较大的一个是稳 定的，而较小的一个是不稳定的在理论上单位时间捕获量最大时， 这两个正平衡点将重合因而对应的均衡解将是不稳定的最优捕获 策略是不能实现的，因而是不存在的 对生物资源的开发应该在稳定的前提下追求经济利益和环境利益 的统一我们感兴趣的是可持续的均衡捕获，下面我们在1 卢 0 ，y ( o ) 0 ，r = m a r x 丁1 ，t 2 ，乃) 系统( 1 2 ) 的满足初始条件( 3 0 ) 的解( z l ( t ) ，x 2 ( ) ，x 3 ( t ) ，g ( t ) ) 称为 正解，是指跏( t ) o ( i = 1 ，2 ，3 ) ，g ( ) 0 ，t 0 考虑生态学意义，本 文限于在区域r + = “z l ，z 2 ，x 3 ，y ) l x i o ( i = 1 ，2 ，3 ) ，y 0 ) 内讨论系统 ( 1 2 ) 3 1 预备知识 本文运用推广了的y o s h i z a w a 型周期解定理来讨论系统( 1 2 ) 的 周期解存在性问题 关于有限时滞泛函微分方程的周期解的存在性问题，1 9 6 6 年 y o s h i z a w a 给出了如下结果： 引理3 1 1 【1 9 】设( 1 ) u r ，( 2 ) 方程的解一致有界，( 3 ) 方程的 解一致最终有界则方程至少有一个u 周期解 近三十年来，许多作者试图推广这一定理，部分作者成功地去掉 了u r 的限制，给出如下结果： 引理3 1 2 2 0 , 2 1 设( 1 ) 方程的解一致有界，( 2 ) 方程的解一致 最终有界则方程至少存在一个u 周期解 3 2 周期解的存在性 定义3 2 1 如果存在有界紧集dcr 量，使得系统( 1 , 2 ) 满足初始 条件( 3 0 ) 的每一个解最终都进入并滞留在集合d 中，则称系统( 1 2 ) 是一致持久的 引理3 2 1 如果系统( 1 2 ) 是一致持久的，则系统( 1 2 ) 的每一个 满足初始条件( 3 0 ) 的正解都是一致有界和一致最终有界的 引理3 2 2 集合磷是系统( 1 , 2 ) 的正不变集【1 6 ，即系统( 1 2 ) 满 足初始条件( 3 0 ) 的解在区间【0 ，o o ) 上存在且恒正 证明：对任意t 0 ，。) 和( z 1 ( p ) ，x 2 ( o ) ，z 3 ( 日) ，g ( o ) ) r 辜，由系统 9 ( 1 2 ) 有 y ( t ) ( 咖印 扣( s ) - 。l l ( s ) 州沪m 1 2 型( s ) x 2 业( s ) + x l ( s ) 日 一= 罴等掣而+ d 。( s ) 一z 。( s ) ) d s ) ，8 - 4 - 5 9 m 1 3 ( s ) 。3 ( )1 ( 8 ) 。 “”“”严1 一。酬舻t 。( s ) + 而老警耘蒜习 一高筹 d s ) ， m 。( 啦印 弘s ( s ) + 而意拦等 + 而巷警87 篝- 3 羔习7 3 】d s ) ，。m 3 2 ( s ) 。3 ( 一) + z 2 ( s 一) 。” ( o ) e 印掣t 【0 4 ( s ) 一0 4 4 ( s ) ( s ) 】+ d 2 0 ) i x l ( s ) 一( s ) ) d s ) 显然，当嗣( 口) o ( i = 1 ，2 ，3 ) ，y ( o ) 0 时，必有5 。i ( t ) o ( = 1 ，2 ，3 ) ，y ( t ) 0 ，t 0 ，。) 因此，系统( 1 2 ) 满足正初值条件( 3 0 ) 的解 的每一个分量在有限时间内保持恒正，故集合磴是关于系统( 1 2 ) 的 正不变集 设集合d = ( x l ，x 2 ，。3 ，y ) r 4 i o ，m i ：= a l 孚m i 2 m h ，而i - 。0 2 m i n m i 0 0 乳 0 ， m 1 = ，疵i ) ，m i ：= j r 一 ，而i _ ，。 ， 蟛：= 锗e 印；，一n 孤 o ， 蟛，( 3 2 1 ) m；：=：兰l鬻u a 2 u 3 e 印c c n ；+ 惫，n ， 。，”地 o ，晒 蝎， o b m 喀= 虹磊芦e 印( 卅抄帅“嘛 定理3 21 若系统( 1 2 ) 满足条件( 3 2 1 ) ，则系统( 1 2 ) 是一致持 1 0 久的 证明；设x ( t ) = ( z 1 ( t ) ，z 2 ( t ) ，z 3 ( t ) ，( t ) ) 是系统( 1 2 ) 满足正初始 条件( 3 0 ) 的任意正解 对于第一个方程，取 1 竹0 ) = m o 。 z 1 ( t ) ， 0 ) ) ， k ( t ) = m m 。1 ( t ) ，g ( t ) ) 对任意给定的一个t 0 ，。) 由引理3 2 3 可知，沿系统( 1 2 ) 计 算d + v i ( t ) 有两种可能： ( 1 ) 如果z l ( t ) ( t ) ，则 d + h ( t ) 。1 ( t ) 0 一n i l 1 ( t ) 茎k ( ) 陋￥一0 1 1 0 ) d + k ( t ) ”( t ) m a ￥4 y ( t ) 】 ( t ) 瞰一础4 v 2 ( t ) 咖戮篇涟：黎 = k ( t ) n i n ￥。o ) 一兰等一兰笋1 1 h i m s u p v l ( o o 篆a i - 1 _ 虮 t + l i m i n f v 2 ( 渺堂一1。+ + 。2 ) = ：p ：3 ” 贝0v 2 ( t ) ”i j ，即z 1 ( t ) - q ，y ( t ) r n i 存在码 0 ，当t t a 时，有 l i m i 。n f v 2 ( 蛇鼍- 畸 则v 2 ( t ) 胤；，即1 ( t ) 佩i ，f ( t ) 佩 取m 1 = m i n m i ，伉f ) ，t = m a - x t 1 ，乃，乃 ，从而当t t 时，有1 。l ( t ) sm 1 ，m 1s ( t ) m 1 对于第二个方程有 k 2 ( t ) z 2 ( t ) ( 一0 5 - 4 - n ；1 ) 因此，当t t 1 时，将此式从t t 1 到t 积分后可得 x 2 ( t t 1 ) z 2 0 ) e 印 ( 0 5 一n 巍) n 从而当t t + t 1 时，有 矧雌面而知烈等丽m 卜幽 一0 2 tm 2 ll e 印 ( n 5 一n ；ln i x 2 ( t ) ) ， 取蟛一紫唧；l 一；川 蟛删 存在5 0 ，有尬2 蟛+ 5 蟛 下面证明存在t l ，有x 2 ( t 1 ) m 2 否则，若对t 0 ，+ 。) ，有 z 2 ( t ) m 2 ，由( + ) 式得 2 。) sj ：_ = 盏 一。! m 6 e 印 ( 。5 一。巍) q ) = 面高硝氓 矗。乳e z p ( o 彗1 一0 5 ) 丁1 “吖 其中6 7 = 丽i 豕毫从而有。当z 。( t ) = 。，与假设z 。( t ) m 2 矛盾 1 2 再证对v t t l ，有x 2 ( t ) m 2 否则，存在t 2 t l ，有。2 ( t 2 ) m 2 ，2 ( 2 ) 0 ，且当t t l ，t 2 时，有x 2 ( t ) m 2 由( + ) 式知 啪，面意啪， = 一m 2 0 z 2 ( t n ) 。2 ( t ) e 印 ( n i + 蓑) n - 以蛇酬 _ ；十面象一惫 ， 忑磊卷珲a u 磊如b 帆_ ( 0 抖惫) m t m ，+ 嘣e 印+ 惹) 雠) 一一。“5 3 一 _ ( 0 ；+ 惫腩e 印 蕊惫) - 取 。， 而：笔墨娑州针耖畸 ( n i + 蓑) 嘣 ”吃3 则存在e 0 ，使得m 2 m 一 下面证存在t 3 ，使得x 2 ( t 3 ) m 2 否则，对任给t ，有z 2 ( t ) m 2s m ；一 t 3 ，有z 2 ( t ) 兰m 2 否则，存 在t 4 t 3 ，有x 2 ( 缸) = m 2 ，x 2 ( t 4 ) f ，从t n 0 = 2 ，3 ) 到t 积分可得 x 3 ( t 一瓦) x 3 ( t ) e x p ( a 5 一o ；l o 勃) n ( i = 2 ，3 ) 取m = m a x m l ，m 2 ) ，m = m i n m 5 1 ，m 5 2 ) ，则对于t t 3 + r ，有 吲岖x 3 ( t ) - a 1 3 + 。您铲炉a 2 l m i i 圈丽 ，n 如m “ ：。 等二爱h 如1 巍( 群凌黜_ j 9 3 ( 州1 5 + 面而赢# 篆赢 ， = m - 4 - m e x p ( 葶a 篙i 历厕 ( - “强+ 。如) m5 一。荸1 一n 勃) 吨 z 3 ( ) ”3 。3 1 。“3 2 尸 取瞒：= 盥鼍岩逃e 训一+ 醇。憾蚓同第二个方程的 证明，存在t ”，使得t t ”时，有x 3 ( t ) m 3 同上证明，对于充分大的t ，有 x 3 ( t 一死) 茁3 ( 亡) e z p ( o g 孔) ， e x p ( a ；t ) x 3 ( t ) ( i = 2 ，3 1 令m 4 = m a x m g l ，m 勃) ，m + = m i n m l ，”2 l ，则 x 3 ( t ) z 3 ( t ) z 3 ( t ) t n - + + m 。 ) z 3 ( t ) 同理，取m = 生皆e 印( 一口g 吨m s t ”时，有x 3 ( t ) m 3 1 4 解 显然，0 0 ，对于所有的t t ，系统( 1 2 ) 满足初始条件( 3 0 ) 的每一个 正解最终进入并滞留在区域d 中，故系统( 1 2 ) 是一致持久的 由于系统( 1 2 ) 是周期为u 的系统，并且系统( 1 2 ) 是一致持久 的，由引理3 2 1 可知，系统( 1 2 ) 的满足初始条件( 3 0 ) 的每一个正解 都是一致有界、一致最终有界的根据y o s h i z a w a 型周期解定理的推 广一一引理3 1 t 2 得到，系统( 1 2 ) 至少存在一个u 周期解 第四章三种群食饵系统的概周期解 本章讨论系统( 1 3 ) 对应的概周期系统 t ) b l ( t ) 一a 1 1 ( t ) z l a 1 2 ( t ) z 2 一a 1 3 ( t ) x 3 ， t ) 卜幻( t ) + a 2 1 ( t ) z l a 2 2 ( t ) z 2 一n 2 3 ( t ) z 3 ， ( 4 0 ) t ) f - b 3 ( t ) + a 3 1 ( t ) z l + a 3 2 ( t ) x 2 一a 3 3 ( t ) ：9 3 的概周期解的存在性问题其中函数( t ) ，o 灯( t ) ，( i ，j = l ，2 ，3 ) 是定义在 【0 ，十o 。) 的连续概周期函数 对任一初始值x 0 = ( 1 ( t o ) ，2 ( t o ) ，3 ( t o ) ) ，t o 0 ，系统( 4 0 ) 存在唯 一解，记为 。( t ；t o ，x o ) = ( x l ( t ；t o ，z o ) ，z 2 ( t ；t o ，z o ) ，z 3 ；t o ，z o ) ) = ( x l ( t ) ，x 2 ( t ) ，z 3 ( t ) ) 根据系统( 4 0 ) 的生态学意义，本文考虑它的所有正解 1 5 1 z o o = = | | !i z 茁 石 ，i_itj【tii_l 对任一定义在r + 上的连续、有界的实概周期函数9 ( t ) ，仍记 g “= s u p g ( t ) l t 0 ) ，g 。= i f g ( t ) l t 0 ) 由此，我们定义如下常数 牡等“= 笔，非半 牡謦，蜘虹警生“= 埘学 4 1 一致持续生存性 定义4 1 1 系统( 4 0 ) 是一致持续生存等价于：如果存在正常数。! 和? ( _ l ，2 ，3 ) 使得对于系统( 4 , 0 ) 的任何正解x ( t ) = ( x l ( t ) ，。2 ( t ) ，x 3 ( t ) ) 都存在t 0 ，当t t 时，有。：( t ) x i ( t ) z ? ( i = 1 ，2 ，3 ) 引理4 1 1 如果系统( 4 0 ) 的解之初始值大于零，则其解也大于 零；如果系统( 4 0 ) 的解之初始值非负，则其解也非负即集合_ r 王是 系统( 4 0 ) 的正不变集 证明：对于任意的t t o ，+ o 。) 和( x l ( o ) ，z 2 ( t o ) ，x 3 ( t o ) ) 磷系 统( 4 0 ) 的解为 z l ( t ) = x l ( t o ) o x p f o b l ( s ) 一。1 l ( s ) z l ( 8 ) 口一1 2 ( s ) z 2 ( s ) n 1 3 ( s ) 。3 ( 5 ) d s ) ， x 2 ( t ) = x 2 ( t o ) o x p t f ：o 一6 2 ( s ) + a 2 1 ( s ) z 1 ( s ) o d 2 2 ( s ) 。2 ( s ) 一口2 3 ( s ) 。3 ( s ) d s ) x 3 ( t ) = z 3 ( t o ) x p g 一b a ( s ) + a 3 1 ( 8 ) z 1 ( 8 ) n - 4 - 。3 2 ( s ) 。2 ( s ) 一a 3 3 ( s ) x 3 ( 8 ) d s ) 显然当x i ( t o ) o ( i = 1 ，2 ，3 ) 时必有( ) o ( i = 1 ，2 ，3 ) ，因此，系 统( 4 0 ) 的正初值解的每个分量在有限时间内为保持恒正所以，集合 r 3 关于系统( 4 0 ) 是正不变集 引理4 1 2 设集合k = ( 钆x 2 ，x 3 ) l x x i z ? ，i = l ，2 ，3 ，则集 合k 是系统( 4 0 ) 的正不变集且是系统( 4 0 ) 的解的最终有界域 证明： 由引理4 1 _ 1 可知f l x l ( b 一。i l x l ) ，故当z 1 导：= z ? 时，量1 茎0 因此，当0 z l ( 0 ) z 时有 1 6 同样由引理4 1 ，1 知i 2 。2 ( 一鸸+ o g l 。 一0 5 2 x 2 ) 故当0 z 2 ( o ) 掣：。g 时，有 x 2 ( t ) z ，( 4 1 2 ) 而蠕z 3 ( 山5 + 。孽l 。 + n 3 2 。警一n 5 3 。3 ) 故当o z 3 ( o ) 韭堡丛弓a 趔3 2 x 2 z ；时，有 x 3 ( t ) s 。；，( 4 1 3 ) 由不等式( 4 1 2 ) 与( 4 1 3 ) 可知叠l z l ( 6 i n ￥1 x l a “1 2 x ”2 一n 1 3 2 3 ) 故 。- ( 。) b i ur u u u i 时，有 由不等式( 4 1 3 ) 与( 4 1 4 ) 知疵z 2 ( 一蟛+ n 5 1 。 一a 2 x 2 一a 2 3 x 3 ) 故 吲0 ) 型学：刊时，有 x 2 ( t ) 。!