（应用数学专业论文）拓扑动力系统上的（伪）转移不变集.pdf

摘要 符号动力学是非线性科学的重要组成部分，是研究动力学行为的严格方 法。从原则上讲一切非线性动力学的研究者，应当从符号动力学入手。 在符号动力学快速发展的几十年中，有限符号动力系统一直是符号动力学 发展的的主题，同时在众多数学工作者的努力下得出了相当多的和相当重要的 理论和现实结果，使得符号动力学有了飞速发展。 本文在前两章主要谈到了有限符号动力学，我们考虑某种相空间x 中完全 确定论的动力学，它把x 映射到自身： ：x x 只要x 是紧致流形，它就具备有限的开覆盖，以不同的字母命名各片覆盖，只 需用到有限的字母集合，用这个字母集合可以通过动力学生成种种符号序列。 本文第二，三章主要谈到了这样的有限符号动力系统。 另外数学工作者较重视扩展概念的外廷，使系统或定理具有尽可能弱的前 提，从而可以在更广的范围内成立。本文就将系统的底空间作一些改进，不要 求底空间是紧的，则可以将紧空间上动力系统即有限符号动力系统改进为广义 符号动力系统，主要是可数个符号的动力系统。本文最后主要讨论了一般动力 系统与广义符号动力系统之问的拓扑关系：不变子集，拓扑共轭和拓扑半共轭 等。 关键词：广义符号空间，l i y o r k e 混沌，转移映射，转移不变集，拓扑半共轭 a b s t r a c t s y l b o ld y n a m i c si s t h ei m p o r t a n tc o m p o n e n to fn o n h n e 盯8 c i e n c e ，i ti sa s t r i c tm e t h o do fs t u d y i n gd y n a m i c sb e h 且v i o r f l o mp r i n c i p l e ，t h er e s e a r c h e rw h o s t u d yn o n u n e a rd y n a m i c ss h o u l ds t a r tf r o m8 y m b o ld y n a m i e s i nt h ef a s td e v e l o p m e n to fs y m b 0 1d y n a m i c si nt e n so fy e a r 8 f i n i t es y m b o l d y n a m i c a ls y s t e mi s8 1 w a 沸t h em a i nt h e m eo ft h ed e v e l o p m e n t0 f8 y m b o ld y n 砌一 i c 8 ，a tt h es 锄et i m e ，u n d e rt h e 幽r t 8o fn u m e r o u sm a t h e m a t i c 8w o r k e r 8 ，m 跗1 y p r e t t yi m p o r t a n tt h e o r e t i c 出a n dr e a l i s t i cr e s u i t 8h a er e 们h e d ，m a k et h es y m b o l d y n a m i c 8d e 、，e 1 0 p e df a s t i nt h i 8p a p e r ，t h ef o r m e rt w oc h 印t e r sh a em a i n l yt a l k e da b o u tn n i t e8 y m b 0 1 d y n a m i c s ，w e n 8 i d e rd y n a m i c 8 ，o fc o n l p i e t ed e f i n i t et h e o r yi s o m ep h a s es p 驰e x ，i tm a pxt ox ，：x _ xs ol o n ga sxi sc o l p a c tm a n i f o l d ，i th a sf l n i t e o p e nc o v e r i n g ，u s i n gd i 舶r e n tl e t t e r st on a m ee v e r yo p e ns e to fo p e nc o v e r i n g ， o n l yn e e dt ou 8 ef i n i t ec h 盯8 c t e rs e t ，t h r o u 曲d y n a m i c s ，v 甜i o u ss y m b o ls e q u e n c e w e r ef o r m e dw i t hu s i n gt h i sc h a r a c t e r8 e t t h ec h 8 p t e r2a n d3o ft h i sp a p e rh 8 s m a i n l yt a l k e da b o u t8 u c hh m i t e d8 y m b o ld y i l a m i c a ls y s t e m b e s i d e s ，o 妇e rm a t h e m a t i c 8w o r k e r sa t t 8 c hg r e a ti m p o r o a z l c et o 既p a n d i n g t h ec o n c e p tt om a k es y 8 t e mo rt h e o r e mh a st h ea sw e a ka sp o s s i b l ep r e r e q u i - s i t e ，s oa 8t om m 潞t h e s es y s t e mo rt h e o r e ms e tu pi nm o r eb r o a d8 c o p e i nt h i s p a p e r ，b a s es p a c eo fd y n a m i cs y s t e mi si m p r o v e d ，r e q u i r i n gb a s es p a c ei 8 n o n c o m p a c t ，s oa st oc h a n g ec o m p a c ts y m b o ld y n a m i c a l8 y s t e mo rf i n i t ed y n a m i c a l s y s t e mt og e n e r a l i z e ds y m b o ld y n a m i c a ls y s t e m ，w h i e hm a i n l ya b o u tc o u n t a b k s y m b o ld y n a m i c a ls y s t e m t h el a t t e rc h a p t e r so f t h i sp a p e rm a i n l yd i s c u s s e d i n v a r i 锄ts u b 8 e to fn o n c o m p a c ts p a c e ，a n dt o p o l o g i c mc o n j u g a c yo rt o p o l o g i c a l s e m i - c o n j u g a c yo fg e n e r a l i z e ds y m b o ld y n a m i c “s y s t e m k e y w o r d s ：g e n e r a l i z e ds y m b o l i cs p a c e s ， l i y b r k ec h a o s ，s h i f t 8m a p p i n g ，t r a n 8 i t i v ei n v 盯i a n ts e t ，t o p o l o g i c a ls e m i c o n j u g a c y i i 西北大学学位论文知识产权声明书 y8 9 3 9 1 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻 读学位期间论文工作的知识产权单位属于西北大学。学校有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人允许论文被 查阅和借阅。学校可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学 位论文。同时，本人保证，毕业后结合学位论文研究课题再撰写的文 章一律注明作者单位为西北大学。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：凌! 丝指导教师签名：糍 训6 年，月孑日么裤多1 月细 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 年月日 0 1 本文的组织结构与内容安排 以下所列出的是本文作者硕士阶段在导师王延庚副教授的指导和帮助下完 成的，各章节的主要内容： 1 前言 2 拓扑动力系统 3 符号动力系统及其性质 4 广义符号空间和广义符号动力系统 5 主要结果和研究前景 0 2 本文的研究目标和范围 动力系统是非线性科学的一个重要组成部分，而符号动力系统是一类特殊 的动力系统，符号动力系统形式简单，而且具有广泛的应用。包括在混沌物理 学( 见文 2 1 1 ) ，计算复杂性( 【2 2 1 ) ，计算机科学，乃至编码学等学科和分支 中的应用。作为数学的一门新兴学科，符号动力学与人类的生产、生活密切相 关。 本文研究的是空间满足什么样的条件可以和更加简单更加形象的符号动力 系统拓扑等价。也就是说，当一个系统或子系统满足什么样的条件时会和符号 动力系统拓扑共轭或半共轭。这样我们可以在拓扑等价的意义下来研究符号动 力系统或子系统，使得找到研究一般空间性质的更好，更具体的方法。 i i i 0 1 本文的组织结构与内容安排 以下所列出的是本文作者硕士阶段在导师王延庚副教授的指导和帮助下完 成的，各章节的主要内容： 1 前言 2 拓扑动力系统 3 符号动力系统及其性质 4 广义符号空间和广义符号动力系统 5 主要结果和研究前景 0 2 本文的研究目标和范围 动力系统是非线性科学的一个重要组成部分，而符号动力系统是一类特殊 的动力系统，符号动力系统形式简单，而且具有广泛的应用。包括在混沌物理 学( 见文 2 1 1 ) ，计算复杂性( 【2 2 1 ) ，计算机科学，乃至编码学等学科和分支 中的应用。作为数学的一门新兴学科，符号动力学与人类的生产、生活密切相 关。 本文研究的是空间满足什么样的条件可以和更加简单更加形象的符号动力 系统拓扑等价。也就是说，当一个系统或子系统满足什么样的条件时会和符号 动力系统拓扑共轭或半共轭。这样我们可以在拓扑等价的意义下来研究符号动 力系统或子系统，使得找到研究一般空间性质的更好，更具体的方法。 i i i 第一章前言 动力系统是非线性科学的一个重要组成部分，拓扑( 半) 动力系统是动 力系统的理论基础和重要组成部分，拓扑( 半) 动力系统是拓扑空间上的 一个变换( 半) 群，其一般理论的研究始于2 0 世纪初g d b i r k h 胡等人的工作 ( f 1 9 1 ，f 2 0 】) 。拓扑动力系统的研究有一个一般的框架，由一些基本的概念和 它们之间的相互关系构成，本文在第二章给出了拓扑动力系统的一般定义、定 理、性质及一般的研究框架。 而符号动力系统是一类特殊的拓扑动力系统( 本文主要研究的是单 边符号动力系统即拓扑半动力系统) ，符号动力系统形式简单，而且具 有广泛的应用。包括在混沌物理学，计算复杂性，计算机科学，乃至编 码学等学科和分支中的应用。根据史料所录，符号序列的使用可以追溯 到1 8 5 1 年( 见文f 1 ) ；在1 8 9 8 年符号动力学的技巧应用于负曲率面上的 测地线的研究( 见文f 2 1 ) ；1 9 2 1 年，m m o r s e 首先注意到符号动力学方 法在动力系统研究中的重要性( 见文【3 】) ；1 9 2 7 _ 1 9 3 5 年，b i r k h o 丘开始 应用符号动力学方法研究动力系统( 见文 4 】) ；1 9 3 8 年，m m o r s e 和他 的学生g a h e d l u n d 首次正式将符号动力学作为个独立的学科提出( 见 文5 1 ) ；1 9 4 9 年，l e v i n 8 0 n 用符号动力学方法和思想研究了、h nd e rp o l 受 迫振动方程( 见文【6 】) ，其研究结果导致了s m a l e 马蹄理论的形成( 见 文【7 【8 1 ) ；此后，r ，b o w e n ，d ，r u e u e 和y a g s i n 8 i 等人在各态历经理论和微分 动力系统方面发展了符号动力学，后来v m a l e l ( s e e v 在1 9 7 9 年把r b o w e n 的六篇 文章( 9 】【l o 【1 1 1 2 【1 3 】 1 4 ) 编辑成书，书名为符号动力学方法。 一项重要的发展到来之前，总是许多的人已经独立的为他做了种种准 备。1 9 7 5 年，l it i a n y a n 和j a 1 r k e 第一次在文1 5 1 中用严格的数学语言给出 混沌的概念。l i y o r k e 混沌的出现，吸引了许多数学和物理工作者，使符号动 力学得到了更加迅速的发展。 l i y j r k e 混沌和修改的d 混沌人们早已熟知，对于一个系统的混沌性状有 些已经得出了比较完善的结论，但是对于这门新兴的学科，混沌性状还远远没 有被解决。为了一个学科的发展，做一些具体的构造性的工作是必不可少的， 构造反例往往和证明命题同样重要，在动力系统研究中也不例外，构造反例其 方法当然越简单越初等越好，符号动力系统以其特有的表达方式，为动力系统 研究提供了一个绝好的无可替代的构造反例的工具。同时符号动力系统也是研 究动力学行为的严格方法，也利于一般理论的发展。 有限符号动力系统即紧致空间上系统的研究已经有了很多的成果，但是在 无限符号动力系统下的结果还相对较少。s w i g g i n s 在文【2 中指出对许多系统 的不变集的刻划需要用到可列无穷多个符号，因而他在文2 1 中对具有可列无 穷个符号的符号动力系统作了一些简略的讨论。而本文正是在有限符号空间 的基础上，给出了( z + ) 广义符号空间，将非紧致空间上的一些动力性状通 过拓扑( 半) 共轭用相对简单和实用的广义符号系统展现出来，从而可以通 过( ( z + ) ，a ) 【船】体会到非紧拓扑动力系统的动力性状。 一般的减弱对动力系统底空间的要求，会出现区别于一般符号动力系统的 性状，在( z + ) 空间上的一般理论不够完善的情况下，通过对一些特殊混沌 集的构造，而获得广义符号动力系统所特有的性质，进而来完善广义符号动力系 统的一般理论，这是科学研究中一种很好的手段和方法，构造反例，其方法当 然越简单越初等越好，符号动力系统以其特有的表达方式，为动力系统的研究 提供了一个绝好的几乎无可替代的工具。 2 第二章拓扑动力系统 拓扑动力系统的研究有一个一般的框架，由一些基本的概念和它们之间的 相互关系构成。那么在我们主要讨论符号动力系统前，先来看一下一般的拓扑 动力系统的性质，我们可以解决很多符号动力系统中的问题。下面给出拓扑动 力系统主要研究框架：动力系统的定义，子系统，回复性，传递性，拓扑混 合，拓扑共轭和拓扑半共轭等。 2 1 动力系统，子系统的定义 设x 是紧致度量空间， l ：x _ x 为从x 到自身的连续影射。 ，可以看作是x 上的一个作用，每一个点。x 在，作用下生成象 点，( z ) 。，( z ) 仍然是x 中的点，可以对它继续作用，生成象点，( ，( z ) ) = ，2 ( 。) 。这个过程可以无限进行下去，即 p = 诚p = j 1 产一| o 一般地，对n 22 ， f n = 1o ； 其中符号。表示映射的复合。 用r 和z 分别表示实数集和整数集按通常加法构成的实数拓扑加群和整数拓 扑加群，x 和y 分别表示拓扑空间。 定义2 1 ：设g r ，z ) ，x 是一拓扑空间，称连续映射 ，：g x x 为x 上的一个拓扑动力系统，若，满足： ( 1 ) ，( o ，z ) = z ，v 。x ( 2 ) ， + s ，) = ，0 ，厂( 8 ，。) ) ，s g ，z x 此时，空间x 又称为相空间，也简称为动力系统。 有时，为了指明相空间，又将动力系统记为( x ，) ，特别当x 是微分流形 且，是映射p 1 ) 时，则称厂是一个伊微分动力系统。 3 当g = r 时，称动力系统，是x 上的流，如果，又是伊微分动力系统，则 称，是流；当g = z 时，称动力系统，是x 上的离散动力系统。 对x 上的动力系统，和任一t g ，可定义映射： f t ：x _ x 为 ，。：z 一，( t ，z ) 显然，。具有连续逆映射，一，因而，是x 到x 的一个同胚，且满足： ( 1 ) ，o = i d ( 2 ) ，蚪8 = ，o ，8 ，s g 其中i d 表示恒同映射，o ，8 表示复合映射。 定义2 2 ：设g r ，z ) ，连续映射，：g x x 称为拓扑动力系统， 若 ，。it g ) 是映x 至x 的同胚映射簇且按复合运算“。”构成加群； 若g r + ，z + ) 时， ，。l g ) 按复合运算“。”构成半群，则称，为半动 力系统。 仞2 1 ：设耽g ，。= 诏：x x 则，是一动力系统，称之为平凡动力系 统。 不言而喻，非复实数集r + 和非复整数集z + 按通常加法构成半群。 而本文主要讨论的是离散半动力系统。 定义2 3 ：x 上连续自映射序列 ，o ，1 ，2 ，) 叫做“x 上由连续自映射，经迭代而生成的离散拓扑半动力系统。” 以下用( x ，) 表示由紧致可度量空间x ，f _ = 的连续自映射，生成的离散拓扑半 动力系统，简称动力系统或紧致系统。 对每一点z x ，z 在，作用下生成的轨道 t z ，( 。) ，”( z ) ，) 4 定义2 4 ：若ecx 且，( e ) ce ，则称曰为，的不变集。 定义2 5 ：设( x ，) 为紧致系统，如果紧致子集。cx 对，不变，即，( x o ) c x o ，则把，在粕上的限制映射 f x b ：x o x o 所生成的紧致系统( j ，o ，i ) 或，i ，称为( x ，) 或，的子系统。 子系统在动力系统研究中有着重要的作用。般的，给定一个紧致系 统( x ，) ，我们要研究的是它的动力性状，而( x ，) 的每一个子系统的动力性状 是( x ，) 的动力性状的一部分，( x ，) 的全部动力性状可由它的全部子系统的动 力性状决定。 给定z x ，易见z 的轨道o r 6 ( z ) 是对，不变的，因而紧致子集历丽也 对，不变。因而 ，l 酾两：铆b ( z ) 一0 而( 。) 是子系统。 这是构造子系统的一种重要方法，这种子系统也是最基本最重要的子系 统。 2 2 回复性 动力系统研究的核心问题是点的轨道的渐进性质和拓扑结构，所以我们知 道只有那些具有某种回复性的轨道才是最重要的。 下面我们介绍动力系统的回复性： 设( x ，) 为紧致系统。 定义2 6 ：对于z x ，如果存在整数n o ，使得，n ( z ) = z ，则把z 叫 作，的周期点，并把使，“( z ) = z 成立的最小正整数n 叫作它的周期。 ，的全体周期点的集合记作p ( n 。 周期为l 的周期点叫作不动点，的全体不动点的集合记作f ( 厂) ，易 证f ( ，) 是x 的一个闭子集。 周期性是最强的回复性，也是最重要的回复性。 5 定义2 7 ：对于o x 如果存在正整数递增数列啦，使 j i m ，“( z ) = z ； 或等价地，对任意 0 ，存在n o ，使 厂“( 。) y ( z ，s ) ， 这里y ( 圣，) = 妇x i d ( z ，g ) o 参见文献 2 3 】p l o ， 定义2 8 ：对于任意。x ，如果存在 o ，使得 ，4 ( y ( z ，) ) ny ( z ，e ) = 圣，v n 0 ， 则把z 叫做，的游荡点；如果嚣不是，的游荡点，即对每一个s 0 。存在n o ， 使 歹“( y ( 2 ，) ) ny ( 。，s ) 垂， 则把z 叫做，的非游荡点。 从定义可以看出，的游荡点的集合是x 的一个开子集，因而，的非游荡 点的集合是x 的闭子集，叫做，的非游荡集，记作q ( ，) 。 容易证明有： f ( ，) cp ( ，) cr ( ，) c n ( ，) ， 而且它们都是对_ ，不变的。 非游荡性是最弱的回复性，限制在非游荡集上的子系统 ，l q ( 掺q ( ，) 一q ( ，) 是最重要的子系统，在某种意义下，它可以代替原系统而保留全部重要动力性 状。 6 定义2 9 ：设z x ，如果存在递增数列m ，使 j i m ，“( 茁) = ， 则把点叫作。的钌一极限点；并称。的全体口一极限点的集合为z 的口一极限集， 记作。如，) 。 命题2 2 ：设z x ，则口( z ，) 是x 的非空闭子集。 参见文献 2 3 p 8 定义2 1 0 ：设z x ，若存在p p ( ，) ，使 0 骢d ( ，”( z ) ，“( p ) ) = o ， 则称。为，的渐近周期点；当存在七 o ，使 ，( 。) p ( ，) 时，则称z 为，的终于周期点。 ，的渐近周期点集和终于周期点集分别用a p ( ，) 和e p ( ，) 来表示。 5 2 3 传递性，拓扑混合 设( x ，) 为紧致系统。 定义2 1 1 ：，叫做拓扑传递的，如果存在x ，使得 。而( z ) = x ， 即z 的轨道在x 内处处稠密。 定义2 1 2 ： 川麓谳泌地 其中x 。x 表示x 和自身的拓扑积。 定义2 1 3 ：如果，是拓扑传递的，则称，是拓扑弱混合的。 7 定义2 1 4 ：如果对任意非空开集，口cx ，存在 0 ，使得 ，“( “) n 织v n 则称，是拓扑强混台。 从以上定义可以看出： 拓扑强混合寺拓扑弱混合：争拓扑传递。 2 4 拓扑共轭和拓扑半共轭 设( x ，) 和( y g ) 都是紧致系统。 定义2 1 5 ：如果存在映上的同胚映射： ：x - f 使得 o ，= 9 0 危， 则称，和9 拓扑共轭，记作，2g 。即有下述图表的交换性成立 x lx l y 1 产y 这时，称 是从，到g 的拓扑共轭。 命题2 3 ：设，19 ，则p 2 扩， 0 证明：设 ：x y 是从，到g 的拓扑共轭，有 九，2 = ：危，= 9 ，= 9 2 可以归纳的证明 ，“= 9 “危，b 7 礼 o 即 也是从，“到旷的拓扑共轭。 8 命题2 4 ：设正g ，勉c o ( x ) ，则 1 ) ，竺，； 2 ) ，2g 寺9 2 ，； 3 ) ，2g ，9 1 危= ，= 参见文献p 2 3 】2 0 设( x ，) 和( 9 ) 都是紧致系统，且 ，( ) = x ，9 ( y ) = y 命题2 5 ：设，19 ，且危：x y 是从，到9 的拓扑共轭，又设z x 若m 为递增序列，使 j i m ，“；( z ) = 。o x 则 j i m9 “4 ( ( z ) ) = s 0 y 且 ( 茹o ) = 蜘 参见文献【2 3 】p 1 9 定义2 1 6 ：在定义2 1 5 中，如果 ：x y 仅仅是在上连续的，则 称，与9 拓扑半共轭，叫做9 的扩充，g 叫做，的因子，危叫做从，到g 的拓扑半 共轭。 命题2 6 ：设 ：x y 是从，到9 的一个拓扑半共轭，若，是拓扑传递的 ( 拓扑弱混合的，拓扑强混合的) ，则9 也有同样的性质。 证明见参考文献【2 3 p 2 0 。 由命题2 4 知道，拓扑共轭是g o 陋) 上的一个等价关系，它把c 由( x ) 分成不 相交的等价类；命题25 则说明拓扑共轭保持系统的轨道结构，因此拓扑共轭的 两个系统可以看作同一个系统，两个紧致系统有完全相同的动力性状( 拓扑不 变性) 。但是拓扑半共轭的两个紧致系统，其动力性状却可以大不一样。在拓 扑半共轭的情况下，扩充( 因子) 的那些动力性状得以在因子( 扩充) 中被保 持则是一个重要的问题。由命题2 6 我们知道，在拓扑半共轭的条件下也同样可 以保证系统的某些拓扑不变性，所以这个问题的探讨使得拓扑半共轭成为由已 知系统研究未知系统的一个有力工具。 9 第三章符号动力系统及其性质 有限符号动力系统是拓扑动力系统中一种重要的动力系统，在上一章我们 知道拓扑共轭与拓扑半共轭能够体现出两个系统之问拓扑性状的关系，下面我 们主耍就是讨论满足什么样的条件两个系统就是拓扑共轭或拓扑半共轭的。首 先我们给出有限符号空间的定义，及有限符号空间上符号动力系统的些基本 动力性状。 在以后的讨论中，如没有特殊说明我们所指的有限符号空问简称为符号空 间，有限符号动力系统简称为符号动力系统。 3 1符号空间 设v 2 ，s 是个符号的集合，记为 s ( ) = o ，1 ，一1 ) ， 赋以离散拓扑而成为紧致的拓扑空间，称为状态空间。 定义3 1 ：称拓扑积 + ( ) = n ( ) ，& = s ( ) 为双边符号空问； 称 ；( - ) = ( 乳) ，= s ( ) = 0 为单边符号空间，其元素分别为双边符号序列 和单边符号序列 r 面我们在空间( ) 七定义拓扑。 下面我们在空间( | - ) 七定义拓扑。 1 0 定义3 2 ：设m o ，矗z ，a = ( n m ，o 一1 ；口o ，口m ) ，记 魄陋】= 如( ) l z + = ，m ) 称为双边符号序列空间的柱集( 类似可以定义单边符号空间的柱集) 。 取h = o ，m 和鲰( m ) 分别取遍z 十和s ( ) 中的元素，所得柱集的全体形 成( ) 的一个可数拓扑基。 ( ) 中的每一个开集都可以表示成若干柱集的并，柱集是开集也是闭集。 对( ) 中的元素 目= ( ，乳2 ，一1 ；蜘，h 抛，- ) ， 定义 讹川= 董掣， 其中 m r 蓑篡。 易验证，d ( z ，f ) 是( ) 中元素茹和g 之间的距离；类似在单边序列空间中也可定 义距离。 在本章中主要讨论单边符号空间，为了方便我们记+ ( ) 为( ) 。根据 吉洪诺夫定理我们知道( ) 为紧致拓扑空间，下面我们有： 命题3 1 ：符号序列空间( ) 赋以度量d ( z ，) 而成为度量空间。 定义3 3 ：在( ) 上定义映射为： 卜翟) = 翟， 一叫做单边符号空间( ) 上的“转移自映射”，并且称( ( | v ) ，a ) 为“符号动 力系统”。 命题3 2 ：口是连续的，在上的，且能够证明( ) 是紧致的、完备的、完 全的且完全不连通的度量空间，同胚于康托尔三分集。 证明见文 2 4 l 【17 】a 由定义2 3 和命题3 2 陇们知道，( ) 上由口经迭代而生成的是离散拓扑半 动力系统，动力系统( ( ) ，a ) 具有拓扑动力系统的基本性质，同时，它还具有 自己的一些特有的动力性状。 命题3 3 ：口有以每一个正整数为周期的周期点。 命题3 4 ：( ) 中的周期点集p ( a ) 的个数是可数的。 命题3 5 ：p ( 口) = ( ) ，即口的周期点集在( ) 上稠密。 命题3 6 ：盯是拓扑传递的。即存在。( ) ，使得西石两= ( ) 命题3 7 ：a 是拓扑弱混合的。即 ( j v ) ( ) 一( ) ( ) 是拓扑传递的。 命题3 8 ：口是拓扑强混合的。即对任意非空开集u ， ( ) ，存在k 0 ，使得 盯“( 札) nu 西v n k 命题3 7 ，3 8 的证明参见【2 3 】，p 6 0 。 3 2 拓扑共轭与半共轭 在本节中我们主要讨论的是符号动力系统的拓扑共轭和拓扑半共轭。由于 拓扑共轭在动力系统研究中的重要性，和子系统在动力系统中的重要性，在本 节，我们讨论了一般拓扑动力系统的子系统与符号动力系统拓扑共轭以及拓扑 动力系统嵌入符号动力系统的条件，有助于动力系统的具体化和简便化，也是 研究系统动力性状的一种手段。 定义3 4 ：设( x ，) 是拓扑动力系统，若其子系统 f m ：m _ m 与符号动力系统( ( ) ，口) 拓扑共轭，即存在在上间胚映射 ：m 一( ) ， 12 使得下面的交换图成立 m km h li h ( ) 1 产( ) 即 九o ，l m = 盯。 ， 则埘叫做，的节转移不变集。 如果上面的九仅仅是在上连续的，则称m 是，的一个节伪转移不变集。 命题3 9 ：若m 是，的转移不变集，则m 同胚于康托尔三分集。 由命题3 2 和定义3 4 容易证明。 引理3 1 ：【1 q 妒是从紧致空间x 到h a l l s d o 艘间y 的连续单射，则讪是同胚 映射。 引理3 2 ：，( a n ，一1 ( b ) ) = ，( a ) n b 证明：必要性：设vf ，( a n ，- 1 ( b ) ) ，则弓z a 且z ，一1 ( b ) ，使，( z ) = 可，则，( 。) a 且，如) b ，即，( a ) nb ，必要性得证； 充分性：设vz ，( a ) n b ，则譬，( a ) 且。b ，则j a 使 ，( ) = 。且，( g ) b ，贝u ，一1 b ，我竹】可得至0 ”an ，1 ( 6 ) ，贝u ，( ) ，似n ，_ 1 ( b ) ) ，即z ，n ，。( b ) ) ，充分性得证； 综上可知引理成立。 定理3 1 ：1 2 5 1 紧致系统慨，) 中，有阶转移不变集的充要条件是存在个 两两不交的闭子集 a o ，a l ，一，a 一1c x ， 满足条件： ( 1 ) ，( 冯) ) ua ；，j = o ，1 ，一，一1 ； i = 】 ( 2 ) g 。r 烈n ，矗1 ( a b ) ) 1 ， v ( i o i l 2 ) ( ) 另外，在文【1 6 】中作者y a i l g e n gw a n g 和g u ow e i 在s h i g e oa k a s h i 得到的一 个结果( 拓扑动力系统嵌入符号动力系统的一个充分条件( 见文f 2 翻) ) 基础 上，给出了紧致拓扑动力系统嵌入符号动力系统的一个充分必要条件，即紧致 拓扑空间与一个符号拓扑空间拓扑共轭的充分必要条件。 1 3 在下一章我们将把此定理加以推广和改进，得到广义系统之间的拓扑共轭 关系，下面我们给出此定理的简单介绍： 定义3 5 ：设( x ，) ，( f 9 ) 是两个拓扑动力系统，若y 与x 的一个子集z 同 胚，即存在一个同胚映射危，使得，i x 。忍= 。g ，则称( g ) 嵌入到( x ，) 中。 y a l l g e n gw a n g 和g u ow e i 的定理： 定理3 2 ：设( x ，) 是拓扑动力系统，则( x ，) 能嵌入到符号动力系 统( ( ) ，口) 的充分必要条件是；存在两两互不相交的闭子集 e ) 名1 ，fs ， 有： z ( 1 ) u 曩= x ； t = 1 ( 2 ) 对于任意( 0 i l i 2 ) ( f ) ，g o r d n ，一3 ( 只。) ) s1 ； o = 0 ( 3 ) 若n ，1 ( 最。) ) = 岔 ，则 n ，”( 只。) ，芒。是。的拓扑基。 s = u 8 = o 1 4 第四章广义符号空间和广义符号动力系统 4 1 广义符号空间及其上的动力性状 z + = o ，1 ，2 ， ， ( z + ) = 最，& = z + ， = o ，1 ，2 ， 即 乏二( z + ) = 茹= ( 蜘，z 1 ，。2 ，) i 。z + ，v 礼o ) 设啦z + 其中t = o ，1 ，一，扎一1v 钆 o ，记 u o 【凸o ，1 ，一，n n 一1 1 = z ( z + ) l 甄= 凸f ，t = o ，1 ，礼一1 ) 叫做( z + ) 上的标准柱形，标准柱形是开集，也是闭集。显然，全体标准柱形 的集合是可数的，而且构成( z + ) 的乘积拓扑的一组基。 在( z + ) 上定义度量为： 咖，”) ：掣，v 砌( ， 其中 d c z n ，鼽，= 0 ：耄i ：筹：v 礼。 定义4 1 ：在( z + ) 上定义映射为： j 一：( z + )一( z + ) l( 铷，z ，z 。，) 一( 。，。，z 。，) a 叫做单边广义符号空间( z 十) 上的“转移自映射”，并且称( ( z + ) ，一) 为 “广义符号动力系统”。 命题4 1 ：口是连续的，在上的，且( z + ) 是非紧致的，完备的，完全的， 完全不连通的。 1 5 龠题4 2 ：口有以每一个正整数为周期的周期点。 证明：由命题3 3 及( ) ( z 十) 知上命题成立。 命题4 3 ：取万= ( z + ) ，即a 的周期点集在( z + ) 上稠密，并 0 0 且u ( ) 也在( z + ) 中稠密a 七= 1 证明：设任意的= ( z o ，z 1 ，z 2 ，) ( z + ) 对v 札l ，有点列 矿= ( 。h 一，“轧而岫) ( z + ) 则对于任意的 o ，存在正整数g = n 0 9 2 + 1 】+ 1 o ，有 出”= 薹掣薹去= 嘉s 即 l i m 护= z n + 则说明( z 十) 中每一点都是盯的周期点的极限点，即： 丽= ( z + ) 另外，任意的p = ( 伽，p l ，一1 ，p 0 ，p l ，一1 ，) p ( 盯) ，则存在一 个k 使得p 0 ，m ，加一1 s ( k ) ，贝i j p ( k ) ，有 o 。 尸( 一) cu ( k ) c ( z + ) ， 血= l 可证u ( k ) 在( z + ) 中稠密。证毕。 七= 1 命题4 4 ：( z + ) 中的周期点集尸( 口) 是可数的。 证明：由命题4 3 知( z + ) 中的周期点就是u ( k ) 中的周期点。 用p ( 口k ) 表示( 耳) 中的周期点集，则由命题34 知p ( 口k ) 是可数 的，而u ( ) 中的周期点就是p ( ) ，由于p ( ) 是可数的， 向芝1 = lt = l 则u ( k ) 中的周期点是可数的，有( z + ) 中的周期点集就是可数的。证 = l 毕。 命题4 5 ：a 是拓扑传递的，既存在z ( z + ) 使得瓦琵砑= ( z + ) 1 6 证明： 由命题4 4 知( z + ) 中的周期点是可数的，设为只，i ：1 ，2 ，一，另 设碍，j = 1 ，2 ，表示周期点只的前j 项组成的序列，并按下图排列： 设 z = 硪竣避哦瑷砖魂磅磁琰磁磷 其中z 为按上图以正方形规则排列而成。 则下面可证明0 r 6 ( z ) ；( z + ) 任取p p ( 口) ，对任意的n 1 ，由z 的构造易知，存在k 1 ，使 得口k ( z ) 的前n 1 项序列与p = p 1 m l ) 的前n 1 项相同，由于n 的任 意性我们有 恕a k ( z ) 2 p 即有0 而( z ) p p ) ，再由命题4 3 则有 丽= 丽丽= ( z 十) 则命题成立。 4 2 广义符号空间上的l i - 、b r k e 混沌集 混沌是描述动力系统复杂性的一个重要概念，在动力系统复杂性的研究中 有着重要的地位，但是直至今日混沌还没有一个统一的定义。一般我们常见的 混沌定义有：l i y i r k e 混沌、狄万内( d e v a n e y ) 混沌等。下面我们简单的介绍 一下狄万内( d e v a n e y ) 混沌。接下来再主要的介绍l i 1 r k e 混沌和广义符号空 间构造的一个l i y 0 r k e 混沌集。 定义4 2 ：如果存在d 0 ，使得对每一点z x 和z 的任意邻域玩存 在f 玩和n o ，满足 d ( ，”( z ) ，“( 掣) ) 6 ， 则称，对初值敏感依赖，d 称为敏感常数。 】7 碍毋碍 碍碍霹 砰曙碍 料磅璐 定义4 3 ：如果下面三个条件得到满足， ( 1 ) ，是拓扑传递的： ( 2 ) ，的周期点在义内处处稠密，即p ( ，) = x ； ( 3 ) ，对初值敏感依赖， 则称，在狄万内意义下是混沌的。 在此定义中，条件( 1 ) 和( 2 ) 是蕴涵条件( 3 ) 的【2 3 】p 5 2 ( 命题6 ) ，则 由上一节的命题4 3 和命题4 5 我们知道广义符号动力系统在狄万内意义下是混沌 的。 定义4 4 ： 设( x ，d ) 为度量空间，：x x 连续，如果存在不可数集 合s c x 满足： ( i ) 熙1 n f d ( ，“( z ) ，p ( ) ) = o ，vz ，口s ； ( ) 溉s u p 矗( ，“( g ) ，8 o ，v 蟊爹墨f t 则称，在x 上是l i y o r k e 意义下混沌的。 下面我们给出一个构造的l i _ y o r k e 混沌集，增进我们对广义符号动力系统的 直观认识。 第一步：构造集合g m z + ) 记 矿= z ( z + ) iz 。= t ) ，f = o ，1 ，2 ， 即 话+ = 。( z + ) = o ) ， s f + = 忙( z + ) iz o = 1 ) ， 碟+ = 。( z + ) = n ) 它们是( z + ) 上的不相交的子集。 易见 p ( 算+ ，够+ ) = i n f d ( z ，) | 算+ ，警+ ) = 1 ，vi j 1 8 。怛三骜捌 。岘半邓 l 镪= 铲，当江瞎 瑶，研，鄢一- ) z ) = 嘲一- ) z 霹= 砰+ ，( f 一1 ) 2 z o 和熙华= 町。 设m ”t 是上面引理4 2 中所构造的集合，并且它对应满足引理4 1 条件的 唯一赢为 护= ( 。3 ，z ? ，。”) ( z + ) 又记 岛= 桫( 矿) lq ( o ，1 ) ) ， = 驴( ) ，其中危z + 则有下面断言：其中o 目 口 o ，使 = f 2 ，m l f ( f 一1 ) q 】= 1 ，并且我们 有 。+ f = p + j ，o o ，存在f ，使z 品z 是；否则，易看出r ( m q ，f 2 ) 一 r ( m 。，f 2 ) 有界，导致町= 目的矛盾。 第二步：证明集合瓯m z + ) 是l i y o r k e 混浦集 定理4 1 ：伉( z + ) 是转移自映射：( z + ) 一( z + ) 的l i y 0 r k e 混沌 集，且集合gc ( z 十) 一p ( 口) ， 满足： a ) 概8 u p p ( 盯”( z ) ，盯”( 掣) ) 21 ，vz ，瓯，。可； b ) 拦1 n f p ( 扩( 。) ，扩( 口) ) = o ，vz ，g ； c ) 熙i n f p ( 口”( z ) ，扩( ) ) ，vz ，魄，v p p ( 口) a 证明：由( 3 ) 易见，当o 叩 o ，q ( o ，1 ) ) 都不是口周期点。即c kc ( z 十) 一尸( 口) 。 a ) 设( 妒) 和口“( 扩