（光学专业论文）方向偏微分方程滤波模型的研究及其应用.pdf

摘要 电子散斑干涉技术( e s p i ) 是一种对光学粗糙表面进行非接触无损计量的技 术。它是在激光、视频、电子及数字图像处理等基础上发展起来的现代光测技术， 具有高精度、高灵敏、全场、实时测量等特点，被广泛的应用于物体的振动、位 移、应变以及医学诊断等方面的测量中。对电子散斑条纹图和相位图的处理分析 是我们获取有关物体信息的主要手段之。但是由实验得到的电子散斑条纹图和 相位图中总是伴随着强烈的噪声，导致我们无法直接利用这些图像正确的分析物 体信息，所以我们有必要对电子散斑条纹图和相位图进行滤波预处理，提高图像 的平滑度，去除噪声的影响。研究更好的滤波处理方法，对e s p i 图像处理技术 的发展十分重要。 方向性是e s p i 条纹图与相位图的一个重要特征，对于指导滤波具有重要作 用。利用偏微分方程( p d e ) 对e s p i 图像进行处理通常能取得比较好的结果。 本文针对电子散斑条纹图与相位图的方向性特点提出了方向偏微分方程滤波模 型，将其应用在电子散斑干涉条纹图与相位图滤波处理中，并与相关的偏微分方 程模型的滤波结果进行了比较。根据实验结果，新的模型显著的改善了图像质量： ( 1 ) 对于电子散斑条纹图能够很好的保留细密条纹特征；( 2 ) 对于较为细密的 相位图既能去除噪声也能很好的保持相位跳变信息。这种方法为进一步的图像处 理奠定了基础，取得了预期的目标，有着较高的实用价值。 关键词： 偏微分方程滤波电子散斑干涉条纹图电子散斑干涉相位图方向偏 微分方程滤波图像滤波 a b s t r a ct b a s e do nm o d e mh i g ht e c h n o l o g i e ss u c ha sl a s e r , v i d e o ，e l e c t r o n i c s ，i m a g e p r o c e s s i n ga n dh o l o g r a p h y ，e l e c t r o n i cs p e c k l ep a t t e r ni n t e r f e r o m e t r y ( e s p i ) i 各a w e l l - k n o w nt e c h n i q u ef o rn o n - - c o n t a c tn o n d e s t r u c t i v em e a s u r e m e n to fo p t i c a lc o a r s e s u r f a c e w i t ht h ea d v a n t a g e so fh i g hp r e c i s i o n , h i g hs e n s i t i v i t y , w h o l e f i e l da n d r e a l - t i m et e s t i n g ，i th a sb e e na p p l i e di nm e a s u r i n go b je c tv i b r a t i o n , d i s p l a c e m e n t ， d e f o r m a t i o na n ds o m em e d i c a ld i a g n o s i s a n a l y s i se s p if r i n g ep a t t e m sa n de s p i p h a s ep a t t e r n si so n eo f t h em a j o rw a y sw eo b t a i nt h ei n f o r m a t i o na b o u to b j e c t b u t t h ee s p if r i n g ep a t t e r n sa n dp h a s ep a t t e r n sg o tf r o me x p e r i m e n t sh a v es t r o n gn o i s e s ， f o rg e t t i n ga c c u r a t ei n f o r m a t i o na b o u tt h eo b j e c tf r o mt h ee s p if r i n g ep a t t e r n sa n d p h a s ep a u e m s ，w es h o u l dr e d u c et h en o i s e so ft h ep a t t e r n s s of i n d i n gag o o df i l t e r i n g m e t h o di sv e r yi m p o r t a n tt ot h ee s p i d i r e c t i v i t yi sav e r yi m p o r t a n tc h a r a c t e r i s t i co fe s p if r i n g ep a t t e r n sa n dp h a s e p a t t e r n s ，a n di tp l a y sav e r yi m p o r t a n tr o l ei nd i r e c t i n gt h ef i l t e r i n gp r o c e s s t ot h e e s p if r i n g ep a t t e r n sa n dp h a s ep a t t e r n s ，a l w a y sw ec o u l dg e tb e t t e re f f e c t sw i t h p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ( p d e ) f i l t e rm e t h o d s a c c o r d i n gt oe s p ip a t t e r n s d i r e c t i v i t y , w ep r o p o s et h eo r i e n t e dp d ef i l t e r i n gm e t h o d s ，a n da p p l yt h e mi nt h e e s p if i i n g ep a t t e m sa n dp h a s ep a t t e r n s a f t e rc o m p a r i n gw i t ht h ee x p e r i m e n t a l r e s u l t sw h i c ha r eg o tf r o mt h er e l a t e dp d ef i l t e rm e t h o d s ，w ef m dt h en e wm e t h o d s c a ni m p r o v et h ep a t t e mq u a l i t ye f f e c t i v e l y ：( 1 ) w i t ht h en e wm e t h o d s ，t h ec l o s ee s p i f r i n g ef e a t u r e sc a nb ep r e s e r v e dw e l la f t e rb e i n gf i l t e r e dt ot h ee s p if r i n g ep a t t e r n s ； ( 2 ) w i t ht h en e wm e t h o d s ，t h ec l o s ep h a s ef i - i n g e sc a nb er e d u c e dn o i s ea sw e l la sb e p r e s e r v e dt h ep h a s ej u m pa f t e rb e i n gf i l t e r e d n ea d o p t i o no ft h ef i l t e r i n gm e t h o d s c a nm a k eag o o db a s ef o rt h ef o l l o w i n gp r o c e s s i n g t h ev a l i d i t yo ft h e s em e t h o d sh a s b e e nd e m o n s 订a t e d k e yw o r d s ：p d ef i l t e r , e s p if r i n g ep a t t e r n , e s p ip h a s ep a t t e r n , o r i e n t e d p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nf i l t e r , i m a g ef i l t e r i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得墨盗盘堂或其侥教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签每：童争煮扛 签字日期：劢谚年石月f 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解苤盗盘堂有关保留、使用学位论文的规定。 特授权苤鲞盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名： 麴林 i 导师签名：乓旅 签字日期：矽留年舌月5 - 日签字日期：加护年6 月厂e t 第一章绪论 第一章绪论 1 1 数字图像处理及图像去噪方法概述 数字图像处理- 4 1 ，即是指利用计算机对科学研究和生产中可视化信息的数 字处理，经过对图像信息的加工以满足人的视觉心理或应用需求的行为。例如平 滑被噪声污染的图像，增强信息微弱的图像，校正失真的图像等。这是一门还很 年轻的学科，但是随着计算机软硬件技术的迅猛发展，以及数字处理技术的不断 发展，数字图像处理已经深入地应用于航空航天、生物医学工程、工业检测、机 器人视觉、公安司法、军事制导、文化艺术等领域。而数字图像处理技术本身也 在向着高分辨率、高速度、立体化、智能化方向发展。 通常人们希望得到的图像能够准确地反映客观情况。然而在实际的观测过程 中，由于观测仪器本身的误差、观测环境的影响、观测手段的限制，我们往往只 能获得已经受到噪声污染的图像。这些噪声的存在使得所观测到的图像模糊不 清，细节不易辨别，严重影响了图像的应用效果，比如降低了指纹识别率、使 e s p i 相位图无法有效的进行解包裹运算等。这时我们就有必要对图像做滤波去 噪运算，之后才能对图像做进一步分析处理。 所谓图像去噪主要是指利用各种滤波模型，对己知的含有噪声的图像中进 行一次或多次滤波运算来去除噪声成分。数字图像处理技术发展到现在，我们已 经有很多滤波模型可以用来抑制图像中的噪声，诸如常见均值滤波、中值滤波、 顺序统计滤波、维纳滤波等，以及由这些滤波方法衍生而来的许多其他滤波器， 包括模糊滤波器、自适应均值滤波器、基于边缘特征的滤波器等【5 13 1 。但是在对 图像进行滤波去噪的过程中，始终存在着噪声抑制与图像边缘保留之间的矛盾。 前面提到的各种滤波方法都能在一定程度上滤除图像中存在的噪声。应用这些常 规的方法在滤除噪声的同时，往往会损失目标在图像中的高频信息，引起边缘和 纹理的模糊。因此有必要寻找更好的去噪方法，使得我们能够在抑制噪声的同时， 还能较好的保持边缘和纹理信息，清晰的再现图像中的目标信息，使图像更符合 进一步的分析处理要求。近来，基于偏微分方程的图像平滑越来越成为研究的热 点，这类方法在解决去噪和保持特征这对矛盾之间取得了不错的效果。本文主要 就基于偏微分方程的图像滤波方法进行一些讨论。 第一章绪论 1 2 基于偏微分方程的图像处理方法发展简介 基于偏微分方程( p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，简称p d e ) 的图像处理在图像 处理领域中占据着重要地位，它研究的主要内容是考察偏微分方程在图像处理中 的应用，是近年来数字图像处理领域内各国科研人员的重点研究对象【1 4 - 3 2 1 ，它 从分析图像去噪的机理入手，结合数学形态学、微分几何、射影几何等数学工具， 建立了滤波和偏微分方程相关的公理体系。另外，它在图像重构、图像分割、图 像识别、遥感图像处理、图像分析、边缘检测、图像插值、医学图像处理、动态 图像修补、立体视觉深度检测、运动分析等方面得到了广泛内的应用。 采用偏微分方程进行图像处理的思想根源最早可以追溯至l j g a b o r ”1 和其后 j a i n 所做的工作。但是实质性的飞跃要归功于k i e b d e r i n d 1 6 1 和w i t k i n 1 7 1 引入的尺 度空间概念。尺度空间把一组图像同时在多个尺度上表述，这个理论是今天图像 处理中对偏微分方程研究的基础。他们的工作主要是将多尺度图像表示为高斯滤 波器处理的结果。随后1 9 8 3 年，w i t k i n 提出了最早的图像滤波模型各向同性 的常系数热传导方程。但是这个模型存在着重大缺陷：在滤波过程中会造成的图 像边缘的严重模糊。1 9 9 0 年，p e r o n a 和m a l i k 在热传导方程的基础上提出了著名 的各向异性扩散模型，解决了上述问题。该模型也为图像处理领域开辟了一个新 的研究方向，揭开了一系列偏微分图像处理领域理论和实际上的问题 j s - za 。1 9 9 2 年，c a t t 6 针对p e r o n a m a l i k 模型对噪声敏感的不足对其进行了改进，提出使用对 边缘的估计信息决定扩散程度的选择平滑模型【2 2 1 。同年，在此基础上a l v a r e z 又 提出了退化扩散模型，该模型要求图像只在沿着边缘的方向扩散，而在垂直于边 缘的方向不扩散，因此这种模型能够很好地保持图像的边缘晗3 1 。1 9 9 4 年， j w e i c k e r t 【2 蝴6 】提出了基于张量积的各项异性非线性扩散模型，有效地解决了纹 理图像。o s h e r 【2 7 】和他的研究小组提出了基于全变差的图像消噪模型。 近年来许多新的模型相继出现，使得基于偏微分方程的图像处理方法与应用 日趋丰富和广泛。1 9 9 5 年，p a s q u i g n o n 提出了基于偏微分方程的细化方法并成功 地提取出二值图像的骨架线【2 8 1 。2 0 0 0 年，y o u 和k a v e h 提出了用于去除噪声的四 阶偏微分方程【2 9 1 。2 0 0 1 年，c h e n 提出了用于平滑和边缘检测的耦合方程【3 0 1 。2 0 0 3 年，g i l b o a 【3 u 提出了复扩散模型，从而将p m 模型从实数域扩展到复数域，扩展 了范围。这些方法成功之处在于将图像视为由跳跃边缘连接而成的分片光滑函 数，从而与某种偏微分方程的分片光滑解相联系，但是也带来了一个缺陷：对纹 理细节比较丰富的图像不能取得很好的处理结果。 偏微分方程滤波方法与经典的滤波方法相比计算量比较大，但同传统方法相 比它拥有很多明显的优点【3 2 】：首先，p d e 给出了分析图像的连续模型，离散的 2 第一章绪论 滤波表现为连续的微分算子，因而使得局部非线性滤波分析易于实现。其次，当 图像表示为连续信号，p d e 可视为具有微小领域的局部滤波的迭代。这种特性允 许将已有的滤波方法进行合成和分类，并形成新的滤波方法。最值得注意的优点 是p d e 方法能获得较好的图像质量，并具有定的稳定性。数学上完备的偏微分 方程理论和丰富的数值计算方法，也为图像处理提供了很大的帮助。另一方面， 粘性解理论为基于p d e 的图像平滑提供了一定的框架基础。此外，基于偏微分方 程的图像处理过程是一个逐渐演化的过程，它能够给出图像处理的中间状态，这 就有利于选择最优结果，避免出现诸如过度滤波和增强等现象。 然而，应用偏微分方程模型对图像进行处理与分析还存在着许多问题需要解 决，研究前景还十分广阔。例如对于复杂非光滑的图像，函数空间的提出及模型 解的存在唯一性，各种数值方案的收敛性和稳定性的研究，建立关于图像边缘检 测，分割重建的图像处理数学模型等始终偏微分方程图像处理未来发展的重要问 题。 1 3 电子散斑干涉测量技术概述 电子散斑干涉( e s p i ) 技术是一种对粗糙表面进行无损全场光学测量的技术， 是计算机图象处理技术、激光技术、全息干涉技术、电子技术、精密测试技术相 结合而发展而出的现代高科技成果。早在上世纪六十年代末散斑干涉测量技术就 已经开始发展起来，被广泛应用于光学粗糙表面的变形测量和无损检测。其原理 是：利用一束相干光照射在未经加工的物体表面并在其表面发生各个方向的反 射，入射光与反射光相互干涉从而形成散斑场。当被测的物体产生微小的位移或 形变时，在其表面上所形成的散斑场也必将发生改变，利用光学照相的方法将散 斑图形记录下来，对前后两幅散斑图进行相减或其他处理就可以得到散斑干涉条 纹图。通过对条纹的处理与分析，可以得到被测物体的位移等信息。 虽然早在t 9 1 4 年散斑现象就己经被人们所发现，但直到全息术的提出之后才 受到人们的重视。在1 9 6 0 年世界上第一台激光器问世之后，全息术成为光学中最 活跃的领域。当激光照射到漫反射物体表面时，物体表面的近前方形成许多明点 和暗点，称之为“散斑”。激光散斑的存在严重影响了全息图的质量，也给全息工 作者带来了许多麻烦，激光散斑作为一种“噪声由此弓i 起了人们对它的关注。 1 9 6 6 年，b r u c h 和e n n o s 在实验中首先发现散斑具有可测的强度和确定的相 位，这样借助于散斑不仅可以研究粗糙表面本身，而且可以研究它的形状和位置 的变化，从而为散斑的应用奠定了基础【3 3 1 。1 9 6 8 年，j m b u r c h 和j k t o k a r d l d 首先提出了散斑照相术和散斑干涉原理，并用于疲劳检测方面。1 9 7 0 年， 第一章绪论 e a r e h b o l d ，j m b u r c k 和e e n n o s t 3 4 1 提出了单光束散斑干涉法( 或称散斑照相) ， j a l e e n d e r t z 等人提出了双光束散斑干涉法，利用两束相干光以相同的角度在法 线两侧平行入射照明粗糙物体表面，而物体表面两束光形成的散斑图相互干涉形 成第三个散斑图。 由于散斑照相通常利用银盐干板作记录介质，不仅费时、费力，且显影、定 影等操作过程复杂，再加上干涉条纹图的处理极其困难，这就给散斑干涉计量奴 术的推广带来了困难。为了适应工业部门的快速和自动计量的要求，必须解决记 录方法和干涉条纹图自动处理等问题。电子散斑干涉法就是在这种要求下发展起 来的。 1 9 7 1 年，b u t t e r s 和l e e n d e r t z 【3 6 】首先应用电视摄像机代替了全息干板将采集 到的物体变形前激光散斑光强信息存储在磁带上，然后把电视摄像机采集得到的 物体变形后的散斑图通过电子处理的方法( 硬件) 不断与磁带中变形前的散斑图 进行比较处理，从而在监视器上观察到散斑干涉条纹，这种方法就被称为电子散 斑干涉法。1 9 7 4 年，p e d e t s e n t 3 7 1 等把硅靶摄像管作为光电探测头应用在e s p i 中， 提高了e s p i 系统对光的灵敏度；1 9 7 6 年，l o k b e r g l 3 剐等把全息干涉术中的参考光 位相调制技术引入电子散斑，使之能测量振动的位相分布；1 9 7 7 年，w y k e s 讨论了 电子散斑干涉法中的消相关效应，并提出了相应的改进措施；1 9 7 8 年，j o n e s 等利 用双波长电子散斑干涉法测量了物体的轮廓；1 9 8 1 年j o n e s 3 9 】等系统地对电子散 斑干涉中各种参数的选取和优化作了详细报道。随后，l o l k b e r g 把断续激光用于 电子散斑，1 9 8 7 年，w y k e s 等使用了小功率激光器和半导体激光器实现了电子散 斑干涉术，从而使得e s p i 系统更加紧凑、实用。 上世纪八十年代，出现了集成化的电子存贮模块。利用这种技术，电视图像 可以以点阵的形式量化为数字图像。把这种技术应用在电子散斑干涉中，使物体 变形前后的散斑图以点阵形式量化为数字图像存储在帧存储体中，由计算机对物 体变形前后的散斑图进行运算，从而在图像监视器上再现出干涉条纹图，这种方 法称为数字散斑干涉术( d i g i t a ls p e c k l ep a t t e r ni n t e r f e r o m e t r y 简称为d s p i ) 。数 字散斑干涉术减小了电子散斑的噪声，大大提高了干涉条纹的清晰度。习惯上， 人们把用电子的手段实现的电子散斑法和用数字手段实现的数字散斑干涉法统 称为电子散斑干涉法。1 9 8 0 年，由n a k a d a t e 删首次实现并得到5 1 2 5 1 2 阵列数 字散斑干涉条纹。但直至1 j 1 9 8 4 年，d s p i 才f l ：l c r e a t h 4 u 正式提出并作为种新技术 并加以推广，数字图像阵列也进一步发展到今天的1 0 2 4 x 1 0 2 4 和2 0 4 8 2 0 4 8 ，乃至 更大，灰度等级也扩展至u 2 5 6 级，而且以微机和图像采集卡取代了原始的大型数 字图像处理系统，从而为以后的广泛应用奠定了坚实基础。 电子散斑干涉技术是在现代高科技成果的基础上发展起来的一种现代光测 4 第一章绪论 方法。由于它具有全场、非接触、高精度和高灵敏度，不避光、不照相、不需要 特殊防震、快速实时并可在线检测等优点，该技术用途极为广泛。首先电子散斑 干涉法被广泛的用于振动测量和模态分析，其次它被用于物体轮廓的测量。电子 散斑技术还可用于高温物体的位移测量和热变形测量。另外电子散斑技术也可以 用来检测复合材料，集成电路，压力容器和焊接物体表面或内部缺陷，是x ，射 线、红外和超声等传统无损检测方法的一种有效的补偿手段。总之，该技术在土 木、水利、电器、轮机工程、航空航天、兵器工业及生物医学等领域的检测中具 有非常重要的地位【4 2 埘】。 随着计算机技术的发展和进步，把数字图像处理技术与当今激光测试技术相 结合是现代测试技术的一个发展趋势1 4 8 。早期的散斑干涉技术由全息干板记录 物面散斑场的光强信息，采取手工操作的方式对采集的条纹图形进行处理，费时 费力且受主观因素影响，使得该方法的发展受到很大限制。而电子散斑干涉技术 采用c c d 或t v 摄相机和电子存储器取代全息干板记录光强信息，以数字形式 存入存储介质中，这为实现条纹的计算机处理创造了良好的条件。运用数字图像 技术处理电子散斑干涉条纹图，方便快捷，也能够大大的降低处理成本。数字图 像处理技术的引入为散斑干涉技术指明了新的发展方向，有效的解决了散斑图的 记录与干涉条纹图的自动处理问题。随着e s p i 技术的自动化程度不断得到提高， 它也更好的符合工业部门的快速与自动计量需求。 然而电子散斑条纹图与相位图伴随有很强的颗粒性噪声，这导致散斑干涉条 纹的可见度和分辨率很低，使得这些图像的最终应用效果大大降低。因此如何有 效地去除颗粒噪声的影响，提高条纹的对比度是e s p i 发展的关键技术之一，同时 也是准确读取电子散斑条纹图与相位图的信息的必要条件。传统的滤波方法分为 空域滤波和频域滤波两大类。最常用的空域滤波方法有均值滤波和中值滤波。频 域滤波中常用的则为傅立叶滤波。但是这些传统方法在对散斑条纹图进行处理时 都存在着重大的缺陷：均值滤波和中值滤波往往会造成图像的严重模糊，不能有 效地保护条纹边缘；傅立叶滤波在处理条纹图时难以确定最优化的截止频率。因 此，研究如何有效地对散斑条纹图和相位进行滤波具有非常重要的理论意义和应 用价值。 1 4 本文的主要工作 本文首先分析了电子散斑条纹及相位图的方向特性，总结了几种方向图的提 取方法。接着对偏微分方程滤波模型中的退化扩散模型做了算子上的作用分析， 并针对电子散斑条纹及相位图的方向性特点，提出了方向偏微分方程滤波模型。 第一章绪论 并将这些模型应用在了电子散斑条纹图与相位图中，取得了良好的滤波效果。本 文的结构如下： 第一章绪论，简要介绍了图像滤波的作用，基于偏微分方程的图像处理方 法和散斑干涉测量技术的发展历史，阐述了本论文的意义和主要的研究内容。 第二章本文对电子散斑条纹图与相位图的特点进行了分析，并介绍了几种 主要的条纹方向图的求法。又通过实验结果对比，指明了这几种方法的特点。： 第三章本文针对电子散斑条纹图与相位图的方向性特点，提出了方向偏微 分方程滤波模型。又将其拓展到耦合方程，得到了基于方向的耦合方程模型，并 将新得到的这些模型离散化使其可以应用于图像处理。 第四章本文运用新的偏微分方程模型对电子散斑条纹图与相位图进行处 理，取得了很好的滤波效果。 第五章总结与展望，总结了本文的工作，并对今后的研究方向提出了设想。 6 第二章方向图的提取 第二章方向图的提取 电子散斑条纹图、电子散斑相位图的正余弦图，指纹图像这一类图像都具有 明显的、强烈的方向性或者各项异性的特征。因此，对于这类图像如果采用传统 的各项同性的滤波算法必然会有很强的局限性。针对这一类图像的特点，如果能 够按照条纹的方向进行滤波将会取得比较理想的滤波效果。因此能否准确地取得 条纹图的方向图就显得非常重要。 求取方向图有很多种方法，这里介绍其中的三种方法：平面拟合法、最d , - - 乘法、平面拟合与最小二乘法相结合【4 9 】的方法。 2 1 方向图的提取方法 2 1 1 平面拟合方法 文献 5 0 5 1 】中提出：先对条纹图像当前点进行局部最小二乘法平面拟合1 ， 再确定拟合平面的方向导数为零的方向，以此方向为条纹方向。 设条纹图像上某一点及其邻域的灰度为j w ，对其进行拟合的平面方程为： g ( x ，y ) = 日+ k + 砂 ( 2 1 ) 用最小二乘法在此邻域上进行平面拟合，得 口1 + 6 工+ c y = l 口3 c + 6 石2 + c x y = ，叫石 ( 2 - 2 ) a e y + 6 x y + c e y 2 = 岛y 如果以当前点为坐标原点，取其邻域为对称区域，则上式中包含 z x ，少，砂的项都等于零；取x ，y 为同样的范围，则x 2 - z y 2 。于是 可以得到： 第二章方向图的提取 口1 = ，砂 x yx ，y 6 x 2 = 岛x x ，l ， c j ，2 = 岛y x yx ，y ( 2 - 3 ) 取拟合平面方向导数为零的方向为条纹方向，得到以下的求条纹方向的运算 形式： 降伴l 叫瓶瓷仁4 ， 由上式t 。，1 0 的角度值取值范围是【- 万，万】，由于条纹两侧角度是相反的，为了 得到相同的方向，需要将一侧的角度值反向，得到了【0 ，万】范围的条纹方向值： 9 ：i e p + 7 矿( 秒0 ) 矿( 秒 口) ( 2 5 ) 公式( 2 4 ) 提供了一个计算条纹方向的简洁算子，它用平面拟合方式克服了直 接求微分对噪声敏感的问题。因此，在用这种方法求条纹方向图时，可以放宽对 条纹图的平滑处理要求。 2 1 2 最小二乘法 在目前已知的条纹方向求取方法中，最 b - 乘法是应用最为广泛的一种方 法 5 2 - 5 5 。该方法分为如下几个步骤： 首先，对整幅图像上的所有像素使用梯度算子计算它们所在点沿工方向和沿 y 方向的偏微分量。梯度算子可以使用s o b e l 算子或者更为复杂一些的 m a r r - h i l d r e t h 算子。在本文中使用了另外一种算子警和譬来做为梯度算子， 锻 砂 其中g 为7 7 的高斯矩阵。 其次，设立一个3 1 3 1 ( 本文中采用的尺寸) 或者其他奇数尺寸的滑块窗 1 ：3 在图像上移动，并按下式估算窗口内的条纹平均方向，则滑动窗i = 1 的中心所在 像素的方向即为所求出的滑块平均方向。依照这种方法求出图像上每一个像素点 的方向。 第二章方向图的提取 巧( f ，) = e 2 l ( “，v ) i y ( u ，v ) ( 2 - 6 ) ww “1 “1 ， v y ( i ，) = 艺e ( 州) 一e ( ) ( 2 - 7 ) “爿 v 爿 印；妒黑 ( 捌 由于电子散斑条纹图与相位图存在着大量的噪声，有可能造成求出的方向图 局部上不够准确，因此需要对其进行平滑处理。一般采用低通滤波器进行平滑滤 波。为采用低通滤波器，首先要将求得的方向图按照以下两式转化为一个连续的 矢量场： q ，( f ，) = c o s ( 2 0 ( i ，) ) ( 2 9 ) 。( f ，) = s i n ( 2 0 ( i ，) ) ( 2 1 0 ) 其中。和，为该矢量场在x 与y 方向上的分量。然后按照下式做平滑处理： 以_ ，) = f ( u ，1 ，) 。( f + “，+ v ) ( 2 1 1 ) 砖_ ，) = e - f ( u , v ) o ，( f + “，+ v ) ( 2 1 2 ) 其中f ( u ，) 为一个二维的低通滤波器。最后得到平滑的方向图： 叭“曩1t m 。1 端 ( 2 _ 1 3 ) 最d , - 乘法可以求得比较准确的条纹方向，但很明显求取梯度时容易受到噪 声的干扰，所以这种方法对于噪声比较敏感。但对于一些噪声较低的电子散斑条 纹图与相位图，这种方法还是能够求出我们所需的方向图的。 2 1 3 平面拟合与最, j 、- - 乘法相结合 平面拟合方法容易受到计算窗口尺寸的影响惭1 ，但它具有较好的抗噪声能 力。而最小二乘法不易于受窗口尺寸的影响，故而将两种方法结合使用能取得较 为理想的结果。 由上文的平面拟合法中的公式( 2 4 ) 可以得到： t 川，= 器c o s ( = 务= 詈 弘 j， d 其中： 9 第二章方向图的提取 l y 2岛工2 六- c2 旁卸2 弦 q 1 5 将其代替最d , - - 乘法中的梯度带入公式( 2 6 ) 、( 2 7 ) d o 可得： r r v x ( i ，) = 艺2 t ( ) 0 ( 州) ( 2 一j 6 ) h 。f v ：f 、 22 ， 巧( f ，_ ，) = e ，v ) 一髟 ，v ) ( 2 1 7 ) “裔兰v 茸 22 鲍= 嬲 ( 2 1 8 ) 同最小二乘法一样，为消除方向图中的畸变噪声，使方向过渡更为平滑，也 需要对所得的方向图进行滤波处理。 下面总结一下这种平面拟合与最小二乘法相结合的方法的处理过程： ( 1 ) 首先对当前像素点选用合适大小的窗口( 本文考虑到条纹的细密状况使 用的是5 5 窗口) ，使用公式( 2 4 ) 对窗口内灰度进行平面拟合，得到公式( 2 2 ) 的拟合平面的参数b ，c 。 ( 2 ) 其次将所求得的参数b ，c 带入公式( 2 1 6 ) ( 2 - 1 7 ) ( 2 1 8 ) 中，求取方向。、 ( 3 ) 使用低通滤波器( 同前文的最d , - 乘法一样，本文使用高斯低通滤波举v 对所求得的方向图进行平滑，降低噪声干扰。 2 2 方向图的对比 下面是三组利用公式( 4 8 ) 得到的模拟减条纹图像。其中办- # o ，l 和，分别 是在分别是在- - 7 ，万】，1 0 ，。】和【o ，。】范围内的随机值，。是常数，p 是对比 度参数。这里，= 1 8 0 ，p = o 2 。，分别由公式( 4 1 3 ) 、( 4 1 4 ) 、( 4 1 5 ) 给出。 下面我们分别应用最d , - 乘法、平面拟合与最小二乘法相结合的方法对它们求取 方向图，并以灰度图的形式将表示出来。结果如下： 1 0 第二章方向图的提取 糜麟 藏 蘩蓊 f d ) 拟台最小二乘法求出的方向图( 曲拟台最小二乘法求出的方向图的灰度图 圈2 1 方向图结果对比之一 冀一 第二章方向图的提取 震 散斑条纹雷 ：一、：+ 黝溅i 霪 耋鬻| ； | 餮囊霎 ( d ) 拟台最小二乘法求出的方向圈扣) 扭合最小二乘法求出的方向圈的灰度圈 图2 - 2 方向图结果对比之二 第二章方向图的提取 熏 a 1 散斑条纹圈 【b ) 最小二乘挂求出的方向圈一 ：，：。：、+ ：l ：7 ：，二： 遵彗鞑 l 懋惑鋈 f d l 拟告最小二乘法求出的方向图( e ) 拟舍最小二乘法求出的方向国的灰度围 囤23 方向图结果对比之三 鋈黧一 羹 第二章方向图的提取 2 3 本章小结 ， 条纹的方向图对于指导滤波的具有重要作用，它还是本文以后提出的方向偏 微分方程滤波模型的基础。从上一小节的结果图中我们可以发现：最小二乘法算 出的方向图在细节保留上较好，但其求出的方向图不够平滑；而平面拟合与最小 二乘法相结合的方法算出的方向图更为平滑，局部方向的一致性更好一些，但对 于细密条纹的方向不如最小二乘法保留的准确。特别是第三组图像左上角的细密 条纹处更清晰的表明了这一点。总之，两种方法各有特点，可根据情况的不同来 选择合适的方法。 1 4 第三章方向偏微分方程滤波方法 第三章方向偏微分方程滤波方法 3 1 经典的偏微分方程滤波模型 基于偏微分方程的图像平滑方法在去除噪声的同时，可以很好的保持图像边 缘。因此在图像处理领域得到了广泛的重视，并得到了深入的研究与应用。下面 介绍几个与本文有关的经典偏微分方程模型。 3 1 1 常系数热传导平滑方程 1 9 8 3 年，w i t k i n 提出了最早的偏微分图像滤波模型各向同性的常系数 热传导方程1 7 】。设初始灰度图像为u ( x ，y ，0 ) ，u ( x ，y ，t ) 为在时间t 时的平滑图像。 则图像的热传导平滑方程为： o u ( _ x , y , t ) ：v 2 “( x ，y ，f ) ，g ，y ，o ) = ，g ，y ) ( 3 1 ) 优 其中v 2 为拉普拉斯算子，上式的解为： u ( x ，y ，t ) = g t 木u ( x ，y ，0 ) ( 3 2 ) 其中g ，为高斯函数，幸表示卷积。也就是说初始图像与不同尺度的高斯滤波器的 卷积等价于热传导方程的解 1 6 】。w i n t k i n 采用的尺度空间滤波器就是高斯滤波 器。 从变分法的角度来分析，方程( 3 1 ) 的解具有明确的几何解释。给定一幅图像 j ，对其进行滤波的目的相当于寻找一个光滑的图像u ，使以下泛函最小。 e ( u ) = l 口i v u ld x ( 3 3 ) 其中口是一个常数。利用欧拉公式，可得当满足条件 v 2 u = 0 ( 3 - 4 ) 时，泛函e ( u ) 取得极值。这个求解过程可以通过演化方程( 3 1 ) 实现。这样，通 过变分法把上述泛函的极值问题转化为对偏微分方程的求解。 但是公式( 3 1 ) 对图像的平滑过程是各向同性的。因为( 3 一1 ) 式描述的是一个各 向同性的扩散过程，因此其平滑的过程自然会带来边界的模糊。 3 1 2 退化扩散模型 1 9 9 2 年a l v a r e z 在选择平滑模型瞄1 的基础上提出了如下退化扩散模型2 3 1 ： 第三章方向偏微分方程滤波方法 a ，“= v 2 “一告d 2 “，v 甜) ，“g ，y ，o ) = ，g ，y ) ( 3 5 ) l i z 、 。 ，、。，、7， 、 i v u l 其中，方程第一项是一个拉普拉斯算子，显然是一个常系数热传导方程；方程的 第二项用来禁止图像沿梯度方向的扩散，其中v u 是“的梯度，= 每d 2 “( v “，v “) l v “l 是图像沿梯度方向的二阶偏导数。 i - 这个模型巧妙的调整了扩散算子，使得图像在平行于边缘的方向扩散较大而 在垂直于边缘的方向扩散较小，从而取得了较好的图像平滑效果。 在实际计算时，文献 2 3 中采用t ( 3 5 ) 式的等价形式： 础制击v ， “g ，y ，o ) = ，g ，y ) ( 3 6 ) 方程在垂直于边缘的方向上限制了图像的扩散，因此模型( 3 6 ) 在滤波去噪的 同时，能够较好的保护图像的边缘。 3 1 3 选择退化扩散模型 采用退化扩散的思想，结合选择平滑模型 2 2 1 中的g 函数以调整图像不同部 分的扩散速率，可以得到如下选择退化扩散模型： 即= g q 慨慨叫尚j ，础烘o ) - 地，y ) ( 3 7 ) 其中，g 是一个平滑的非增函数，称为平滑系数，满足g ( o ) = 1 ，g g ) 0 ， 且s 无限大时，g g ) 趋于0 。通常g g ) 取下述形式： g 女g ) = 【l + k s 2 ) 1 ( 3 8 ) ，一、 其中七是一个预先设定的参数。同退化扩散模型，式( 2 - 3 2 ) 中的l v “j 讲y 【晶i 为退 化扩散项，其作用是使方程在梯度的方向上不进行任何扩散。因子9 0 嘭宰v “i ) 用 于边缘的增强，它控制着扩散速度。l q * v u i 表示对图像的梯度进行高斯平滑， 如果它在点( x ，y ) 处较小，则点( x ，y ) 邻域内的灰度变化比较平缓。因为g ( s ) 为非 增函数，所以此处的扩散速度比较强。反之，在图像的边缘点上，i 瓯* v u l 较大， 从而扩散速率较小。所- 以式( 3 7 ) 的解使得图像边缘得以保持，而灰度变化不大的 地方更加光滑。 3 2 方向偏微分方程模型 常系数热传导方程是一个各向同性的扩散算子，可以分解为两个相互正交的 1 6 第三章方向偏微分方程滤波方法 二阶偏导数之和。因此，我们可以将其分解为沿图像边缘方向与垂直于图像边缘 方向的两个二阶偏导数之和： a 。u = v2 “= “廊+ 比丌( 3 - 9 ) 盟铲 ( 3 - 1 0 ) “丌：盟遗磐掣( 3 - t 1 ) 2 1 订一 其中“删表示沿图像边缘方向的二阶偏导数，其作用是使图像沿边缘方向扩 散；“玎表示垂直于图像边缘的方向的二阶偏导数，其作用是使图像沿条垂直于 图像边缘的方向扩散。显然退化扩散方程只保留了热方程中的沿图像边缘方向的 扩散算子。 对于电子散斑条纹图、相位图等这一类具有明显方向性的图像，图像的边缘 方向即为条纹切线方向。我们可以用第二章中的方法较为准确的直接求出其条纹 方向。因此我们就能直接将退化扩散方程改写为如下形式： a f u = u n n = u 。c o s 2o + u ws i n 2 秒+ 2 u 删s i n o c o s 0( 3 1 2 ) 其中o 为直接求出的条纹方向，u ( x ，y ，0 ) = i ( x ，y ) 为初始条件。 将其引入到选择退化扩散方程，则选择退化扩散方程可写为： a f “= g ( j g 宰v “i _ ) ( h 。c o s 2o + u w s i n 2o + 2 u 印s i n o c o s 0 ) ( 3 1 3 ) 其中u ( x ，y ，0 ) = i ( x ，y ) 为初始条件。 这样因为使用了更为准确的条纹方向信息，所以改进后的模型可以较好的保 留细条纹的纹理特征。 3 3 基于方向的耦合偏微分方程及其离散化 3 3 1 改进的耦合偏微分方程滤波模型 百先，我们采看内个二彤r 偏微分万栏模型：异性扩敌模型_ j f 口选掸半滑扩敢模 型。 旦竺i 孑2 尘= 西1 ，k ( i v “i ) v “( x ，j ，f ) 】，“( 工，少，o ) = ，( 工，少) ( 3 - 1 4 ) 掣：西v k v q “i ) v “】疣v k o v v 肚) 】叫训，6 ) 叫w ) 、( 3 - 1 5 ) g 川= 丽1 唧( 之掣 仔 在选择平滑模型中，v = g 矿事“；在异性扩散模型中，v ：“。g v v l ) 项的作 第三章方向偏微分方程滤波方法 用为控制扩散速度，对比上面两个模型的实验结果表明，选择平滑模型的滤波效 果要优于异性扩散模型。这就表明在9 0 v v l ) 中，1 ，的选择对于图像的平滑效果很 重要。 在耦合偏微分方程模型当中，取的是一个与“相关联的非线性扩散方程的 解，这样可以达到随时间的发展不断调整各个时刻各个地方光滑程度的目的。 yc h e ne 3 9 1 提出了这样一个方程组： 詈2 昭忡州剐瑚i ) ) v u - 8 肌i ( 3 - 1 7 ) - 加瓦f = a ( t ) d i v 矧- 6 ( ) ( 3 - 1 8 ) u ( x ，y ，0 ) = ， y ) ，v ( x ，y ，0 ) = i ( x ，y )( 3 1 9 ) 其中，参数口( f ) 是一个随时间演化的函数，参数b 是一个常数。 要对耦合方程进行改造有必要了解其中各项的作用。方程中( 3 1 7 ) 和( 3 1 8 ) 各项作用的解释如下 5 7 1 ： ( 1 ) 脚v ( 高产示退化扩散作用作用是使枳在垂直于黻的方杜扩 散。 ( 2 ) 9 0 v v j ) 用于增强边缘，是要选取图像中光滑的部分并控制扩散速度。 ( 3 ) v ( g ( i v ，i ) ) v u 是方向v u 的反应。此项对于保持边缘发生作用。 ( 4 ) 0 一i ) 的作用是，使稳态解“是给定初始图像的最佳逼近。 因此，我们只需将方程( 3 1 7 ) 和( 3 1 8 ) 中的退化扩散项改为公式(