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h a t a 树上的调和结构的存在性 计算数学专业 研究生冯祥永指导教师周吉( 博士教授) 。= 卜1 ，割 t h ee x i s t e n c eo ft h eh a r m o n i cs t r u c t u r eo fh a t a s t r e e - l i k es e t c o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s g r a d u a t e ：f e n gx i a n g - y o n g a b s t r a c t ：l e tx = c ， s u p e r v i s o r ：z h o uj i y l ( z ) = 砑，丘( z ) = ( 1 一| c 1 2 ) - + i c l 2 。= ( 苫一c l ，三) 四川师范大学学位论文独创性及 使用授权声明 本人声明：所呈交学位论文，是本人在导师 旦直 指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文 不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究 做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以昵确方式标明。本声明的法律 结果由本人承担。 本人承诺：己提交的学位论文电子版与论文纸本的内容一致。如因不 符而引起的学术声誉上的损失由本人自负。 本人同意所撰写学位论文的使用授权遵照学校的管理规定： 学校作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者须授权所在大 学拥有学位论文的部分使用权，即：1 ) 己获学位的研究生必须按学校规 定提交印刷版和电子版学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入 有关数据库供检索；2 ) 为教学、科研和学术交流目的，学校可以将公开 的学位论文或解密后的学位论文作为资料在图书馆、资料室等场所或在有 关网络上供阅读、浏览。 本人授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位 论文全文数据库，并通过网络向社会公众提供信息服务。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 签字日期：, a r o 年 彳 净 弘月多日 导师签名： 闻 签字日期：1 口年华月7 日 引言 分形几何学是由数学家b e n o i tb m a n d e l b r o t 率先提出并创立的一种探索 自然界复杂形态的数学分支1 9 6 7 年，他曾在美国科学杂志上发表的英 国的海岸线有多长论文中，第一次阐明了他的分形思想1 9 7 3 年，他也曾在法 兰西学院讲学时正式提出了分形几何和分维的概念随后，他总结了自然界中 无规则的几何图形，并发表了论文分形：形、机遇和维数，首次提出了分 形这个概念分形( f r a c t a l ) 【6 一词，它来源于拉丁语“f r a c t u s ”，其原义“支 离破碎的、不规则的、分数的”物体，是没有特征长度的图形及现象的总称 m a n d e l b r o t 是想用此词来描述自然界中传统几何学所不能描述的一大类复杂不 则规的几何对象例如，起伏不平的山脉、弯弯曲曲的海岸线、变幻无常的浮 云、粗糙不堪的断面、纵横交错的血管、九曲回肠的河流、令人眼花僚乱的繁 星等等它们的特点是极不光滑或极不规则直观地说，这些对象都是分形几何 图形m a n d e l b r o t 说：“山峰不是锥体、浮云不呈球形、树皮并不光滑、闪电从 不沿直线行进、海岸线不是圆圈”分形几何学的创立，使得研究这些被传统几 何学排除在外的不规则形体成为可能此后，分形几何学在不同学科领域中被广 泛的应用1 9 8 2 年，m a n d e l b r o t 的专著( t h ef r a c t a lg e o m e t r yo fn a t u r e ) ) 被 出版，才表明分形理论已初步形成 自上世纪八十年代以来，在计算机图形学及应用科学的推动下，分形的基础 理论及其应用在多种学科中都得到了迅速的发展由于分形几何学有着极强的 应用性，所以无论是在材料的结构与控制、物理的相变理论、信息数据模式识 别、自然图形的模拟，还是在力学中的断裂与破坏等多学科领域都取得巨大的 成功在计算机图形学和应用科学的推动下，分形的基础理论也得到迅速地发 展，如分形集的生成与结构、维数的估计与算法、动力系统的吸引子理论、分 形集的局部结构、分形的随机理论等方面取得了较为深入的结果 当前分形几何理论的研究主要分以下三种类型f 3 】： 1 分形几何学的基础理论研究如分形集维数的性质与估计，分形集的积与 交，分形集的局部结构，随机分形结构，分形分析等方面的研究 第1 页，共3 0 页 引言 2 分形几何理论在实际应用中的研究例如，在物理、化学、生物、地震等 各个方面中有着广泛的应用 3 分形几何图形的生成方法研究 在这三类研究中，第一类的理论研究较为困难，特别是分形集维数、测度的 估计及其本质的认识，分形集结构的研究等方面进展迟缓后两类的理论研究者 较多，其进展较快，尤其是分形几何理论在物理学、化学、生物学等多个学科领 域的应用取得了显著的成绩特别是在一些广告、艺术作品、三维动画中，分形 技术得到成功的应用 目前，分形几何理论己经得到广泛的应用，推动了许很多学科的发展但从 国内外分形理论研究的发展来看，分形几何本身还有很多的问题需进一步的研 究作为分形几何理论的核心，分形的理论还有待进一步地完善例如，如何判断 一个对象是分形，分形的生成原因是什么，分形维数的本质是什么此外，分形几 何学在与其他学科结合的过程中，还存在一些问题如分形物理学理论，分形高 分子理论等重要研究方向都有待进一步的深入 在分形集上建立完整的分析理论将有助于这门非线性学科的发展及新的突 破目前，对这方面的研究虽然出现了一些可喜的成果，但是距离建立完整的理 论体系似乎还有很长的路要走，国内外在这些方面做出的成果可以简要地概括 为：局部域上的分形分析研究，例如：局部域上的p a d i c 导数与h s l d e r 型空间之间 的关系分形的几种维数( h a u s d o r f f ，p a c k i n g b o x - c o u n t i n g 维数) 的分析定义及 性质，随机分形，l i p s c h i t z 及其性质研究中的一些基本概念等f 5 ，8 ，2 l ，2 2 1 同 时还构造了一些有意义的分形例子在分形分析的研究中，逐步揭示了局部域 上调和分析与欧氏空间的本质差别【1 5 ，1 8 ，2 7 ，2 8 1 ，以及在分形分析研究中两者 所具有的优越性，可作为人们在研究过程中选择适当工具的参考另外，在分形 分析研究中，分形集上狄利克雷形式的建立也为分形分析研究提供了一个很有 用的工具f 1 6 1 目前，我们通常对分形集_ l l a p l a c i a n 的定义 1 0 ，2 0 】有两种方法：第一 种方法是基于概率论来定义的随机过程，类似于布朗运动，该方面的论述 请见g o l d s t e i n 【2 3 】，k u s u o k a 【2 4 - 2 6 】等人的著作中另一种方法是由数学 家k i g a m i 提出的积分思想 1 0 - 1 3 ，而这些理论中的主要概念是能量的定义，尽 第2 页，共3 0 页 引言 管在经典分析理论中，能量通常被看成是梯度平方的的积分，但是对于分形集的 情形，这些都需重新定义【1 1 ，1 7 】，由于在分形集上定义的函数并没有或根本就 不存在积分或梯度 此外，值得我们注意的是分形集上的图能量定义【1 9 1 例如，设g 是有限连 通图，u 是定义其顶点y 上的实值函数那么我们定义其图像能量如下： ( u ) = ( u ( z ) 一乱( 秒) ) 2 z p 其中，c x 。表示电导系数，z 一可表示x ，y 间的直接连接我们也需要建立双线 性形式1 14 】： e c ( u ，u ) = ：( 乱( z ) 一孔( 耖) ) ( 秒( z ) 一锄( 3 ，) ) 2 可 当然：如( 让) = e g ( 仳，孔) 我们也可以将双线性变换成二次形式，有如下恒 等式成立： ( 乱，u ) = ( e 0 ( 乱+ 秒) 一品( 缸一可) ) 若t z 为常数，贝 j e c ( u ) = 0 ；如果g 是连通的，那么反之也成立 现在给定两个图g ，g l ，使得y ，缸，u 1 分别是定义在v 上的实函数，这 里vk 是g ，g 1 上的顶点集 假设孔1 在y 上的限制是札，即牡= u l l y 因此函数u 1 可以作为函数u 的延拓， 显然上述这种延拓至少有一种使得，( u 1 ) 最小并记豇为满足这种延拓的唯一 的函数，我们称这种延拓为调和延拓，且有：矗l 矿= u ，e g ，( 包) e g 。( 乱1 ) 对于所有的满足u l l y = “的函数u l ，称e c ，( 五) 是e a ，到g 上的限制能量，这 样得到的能量与e g ( 札) 有下面的关系：e g 。( 面) = r e v ( 让) ，其中r 满足0sr 1 我们定义重整化图能量为： m ( u ) = r - m e m ( u ) ( 0 s ，若日5 ( f ) 0 ， 则日8 ( f ) = 0 0 因此h 8 ( f ) 存在8 的一个临界点使得h 5 ( f ) 从“跳跃”n 0 这个 临界值称为f 的豪斯多夫维数，通常记为d i m 日f 这个定义可以如下表示： d i m hf = i n f s 0 ：h 8 ( f ) = o ) = s u p s ：h 8 ( f ) = o o 比例性假设s 是相似比为入 o 的相似变换，若fcr n ，则 h 8 ( s ( f ) ) = a 8 h 8 ( f ) 豪斯多夫维数都满足下面的性质( 这对任何合理的维数定义都期望成立 的) ： 单调性如果ecf ，则d i m 日e d i m 曰f ；这可从对每一个s ，h 8 ( e ) h s ( f ) 这个测度性质立即得到 可数稳定性若日，r ，为一( 可数) 集序列，则 d i m hu e = ，! u ，p d i m h 只) i = 1 1 ) 。二 根据单调性可知，对于每一个j ，显然都有d i m hu 只d i m h 乃而另一方 i = l 面，若对，都有8 d i m h 只，则日8 ( r ) = 0 ，所以日8 ( ue ) = 0 ，从而给出反向 不等式 可数集假设f 是可数的，贝u d i m nf = 0 ；如果r 是一单点，则日o ( 只) = 1 ， i l p d i m n 只= 0 ，所以由可数稳定性可知，d i m hu 只= 0 开集假设fc 豫竹为开集，则这是由于f 包含一个具有正礼维体积的球，因 此d i m f n ；而又由于f 包含在可数个球的并里，我们可以利用可数稳定性和 第5 页共3 0 页 第一章基础知识 单调性，可以得至u d i m 日f n ，从而得出结论 光滑集设f 为r 扎中的光滑m 维子流形( 且p r n 维曲面) ，则d i m 日f = m 特别 地，光滑曲线维数为1 或2 时，本质上是从豪斯多夫测度与勒贝格测度之间的关系 得到 假设对于任意给定的非空有界子集fc 豫n ，n 6 ( f ) 是直径最大为6 ，可以覆 盖f 的集的最少个数，则f 的下计盒维数和上计盒维数分别定义为： d i m b f = 鹄 一d i m 台f ：面掣警 如果这两个值相等，则称其值为门均计盒维数或盒维数，通常记为： c l i m bf = 乜等 1 2 相似压缩族与不变集 设k 是r n 的非空紧子集， ) 1 s 墨m ：r n _ r n 是相似压缩映射0 o 吲，我们通常用、眠来替代皑、皑 设k 为完备度量拓扑空间，s 是有限集，假设 只 t s ：k _ k 是连续单映 射，若存在一个连续映射7 r ：一k ，使得eo7 r = 7 r om ( i s ) ，其中e = s ，定 义吼：e 一，且对任意w 1 砌2 蛾e ，都有 t t i ( w l w 2 w 3 ) = i 叫1 删2 蛾 第7 页，共3 0 页 第一章基础知识 成立，雯i u ( k ，s ， e t s ) 是自相似结构 命题1 3 1 【l 】设( k ：s ， 只) l s ) 为自相似结构，舭$ w l w 2 w 3 ， 都存在唯一的7 r ，使得 丌( 叫) = nr 。鼢删。( k ) m o 设l = ( k ，s 只) 炬s ) 为自相似结构，定义： c l k = u ( 只( k ) n r a k ) ) ，优= 7 1 - - 1 既，k ，p l = u 矿( q ) i , j e s i j n l 则称既是l 的临界集( c r i t i c a ls e t ) ，兄为l 的超临界集( p o s tc r i t i c a ls e t ) 设l = ( k ，s r l s ) 为自相似结构，且兄是有限点集，则称l 是p c f ( p o s t c r i t i c a lf i n i t e ) 自相似集如s i e r p i n s k i 垫片、h a t a 树均为p c 自相似集 例1 3 1 设，l ( z ) = 露，止( 名) = ( 1 一l c l 2 ) 乏+ i c l 2 假设k 是关 于 ，厶) 的h a t a 树若l = ( k 1 ，2 ， ，尼) ) ，则l 为p c f 自相似结构，且有： q ，k = i c l 2 ) ，优= 1 1 2 ，2 垒) ，p l = 1 垒，空，i ) 注：本文的基础知识详细请见参考文献【1 3 】 第8 页，共3 0 页 第二章一类h a t a 树的相似维数 2 1h a t a 树的定义及其性质 设x = c ，定义： k ( z ) = 露，丘( 名) = ( 1 一坪) 乏+ l c l 2 其中i c l ，1 1 一c i ( 0 ，1 ) 令l = ( k ， 1 ，2 ) ， ，厶) ) ，则称自相似 集k 为h a t a 树( h a t a st r e e - l i k es e t ) ( 如下图2 1 ) 性质2 1 1 【1 】设k ( z ) = 历，厶( z ) = ( 1 一l e l 2 ) - - t - i c l 2 假设k 是关t f l ，2 ) 的h a t a 树令 a = ：0st 曼1 ) ij 西：0 t 1 ) 则有 ( a ) u 如( a ) ) a 因此，不妨设： a m = uf w ( a ) w e w m 则序列 a 。) 。o 是递增的，k = ua m 我们很容易得到： m o ( k ) n 易( k ) = i c l 2 ) ，k ( o ) = 0 ，k ( 1 ) = 1 ， ( ( 1 ) ) = 尼( o ) = i c l 2 因此， 7 r 一1 ( o ) = ( i ) ，7 1 - - 1 ( 1 ) = 垒) ，7 r 一1c ) = l 垒) ，7 r 一1 ( i c l 2 ) = 1 1 2 ，2 i 而且，当丌) = 7 r ( 7 - ) 7 i ) 时，则存在一个w w ：，使得 u ，7 ) = w 1 1 2 ，w 2 i 图2 1h a t a 树：f l ( a ) jf 2 ( a ) 第9 页，共3 0 页 第二章一类h a t a 树的相似维数 2 2 开集条件 从定义( 1 2 2 ) 可以看出相对于自相似集的h a u s d o r 雠数而言，自相似集 的相似维数计算要略微简单一些而研究相似维数与h a u s d o r 雠数的关系是 非常必要的，但在计算h a u s d o r f f 维数时就比较复杂首先介绍一下相似集数 与h a u s d o r f f 纬! 数的关系： 定理2 2 1 3 设k 是相似压缩族孑= ， ，厶) 所确定的自相似集， q 为相似维数，则 d i m h ( k ) q 定义2 2 1 假设苫= ，止，厶) 是相似压缩族如果存在开集g ，使得 以下两条成立： ( 1 ) ( g ) cg ，i = 1 ，2 ，m ； ( 2 ) ( g ) n 办( g ) = 0 ，i j ，z ，j = 1 ，2 ，m 则称孑满足开集条件 当吝满足开集条件时，有以下几个重要结论成立： 定理2 2 2 3 】假设孑= f l ，止，厶) 是相似压缩族k 是由孑确定的 自相似集，则孑满足开集条件时，日口( k ) 0 ( 口是k 的自相似维数) ，从而 有d i m h ( ( 1 = q 定义2 2 2 设孑= ，尼，m ) 是相似压缩族如果存在开集gc p ，使 得以下三条成立： ( 1 ) ( g ) cg ，i = 1 ，2 ，m ； ( 2 ) 五( g ) nf a a ) = o ，i j ，i ，j = 1 ，2 ，m ( 3 ) gnk d 则称孑满足强开集条件显然d i m h ( k ) = q k 是由孑确定的自相似集，q 为k 的相 似维数 定理2 2 3 【3 设k 是由相似压缩族苫= ，2 ，厶) 确定的自相似集， 则以下三个条件等价： 第1 0 页。共3 0 页 第二章类h a t a 树的相似维数 ( 1 ) 孑满足强开集条件； ( 2 ) 否满足开集条件； ( 3 ) h a ( k ) 0 ，其中q 为k 的相似维数 2 3 一类h a t a 树的相似维数 设l = ( k ， 1 ，2 ) ， ，2 ) ) 为p c f 自相似结构，其中k 是h a t a 树，且 ( z ) = 虏，止( 名) = ( 1 一l c l 2 ) 乏+ i e l 2 若r = ( r ，1 一r 2 ) ，贝l j d i m hk q ，其中r = j c i ， d i m hk 为h a u s d o r 雠数。乜为k 的相似维数 启发式计算h a t 稍k 分为左半部分和右半部分( 如上图2 1 所示) ，显然两部 分都几何相似于k ，比例系数分别为r 、1 一r 2 ，且k = k luk r ，所以对任意s ， 由豪斯多夫维数的比例性质可得： 日口( k ) = h n ( 虬) + h a ( ) 一日a ( 虬f1 ) ( 2 1 ) 由于h a ( k ln k r ) = o ( k ln k r 为单点集) ，所以等式( 2 一1 ) 可变为： 日a ( ) = h 口( 吮) + h o ( ) = 严h 口( ) + ( 1 一r 2 ) a h o ( k ) ， 假设0 1 第n 页，共3 0 页 第三章h a t a 树上的调和结构的存在性 3 1 预备知识 这一节，我们将介绍一些有限集上基本概念，如d i r i c h l e t 型( d i r i c h l e t f o r m ) 、l a p l a c i a n s 算子( l a p l a e i a n so p e r a t o r ) 及有效阻抗( e f f e c t i v e r e s i s - t a n c e ) 等f 1 ，9 ，1 0 ，2 9 设y 是一可列集合，我们定义： l ( v ) = 厂l ，：v _ r ) 如果1 ，7 是有限集，则可以定义l ( y ) 中的内积为： u ，秒) = “p ) u ( p ) ，( 乱，u 2 ( y ) ) p e v 定义3 1 1 设y 为一有限集，定义在f ( y ) 上的对称双线性形式称为y 上 的d i r i c h l e t 型，如果满足下列条件： ( d 1 ) c ( u ，u ) 0 ，对于v u z ( y ) ； ( d 2 ) e ( u ，u ) = 0 ，有且仅有u 是定义在y 上的常值函数； ( d 3 ) 对于v 乱z ( y ) ，e ( u ，札) ( 面，面) ，这里面定义为： l l ，u ( p ) 1 ， 雹( p ) = 扎( p ) ，0 o ( i s ) ，定 义( m d f ( ) 如下： ( m ( 牡，口) ：e v ( u 。r ，口。冗) 叫u 一 这里牡，v f ( ) ，u = u 1 u m 厂m ，r w = r w l 。 定义3 2 2 ( d ，f ) 称为调和结构，当且仅当 ( ，) ) m o 是相容序列，且 当0 r i o ) 因此，若d 是辟的特征向量，即厮( d ) = 入d ，则d 是磁，的不动点 第1 5 页，共3 0 页 第三章h a t a 树上的调和结构的存在性 蜀( z ) = 考及尼( z ) = 詈+ 三， 设= 嘉) 注0 ，1 ，2 t n ，我们定义d l a ( v o ) 如- f ： 。1 二。) 据定义3 2 王，可知： 晶( u ，u ) = l 7 _ 1e d ( 让。乃，u 。日) + l r 2 e d ( 钍。岛，u 。易) = 丢( z z ) 2 + 去( 一z ) 2 日= ( 享一击差老) 若满足( d ，r ) 是调和结构也即满足 风 = d ，r p 确- t 一。j x 1 j = d o1 q oq 2q 1 圈3 1 【0 ，1 】单位区间 第1 6 页，共3 0 页 根 其 第三章h a t a 树上的调和结构的存在性 丁= ( _ ，：) ，j = ( 妻) f 丽1 ( 六十去) = 1 毒+ 赤一砉一l 【三r 2 + 磅1 一云1 = 一1 ( 一石1 一去) 。= 隆m ) 凰= ( 善一争一鲁一妻0 一芒墨二堇 t = 1 r 三 r 0 1 一 r ( _ i l + 1 ) r 0 一三0b)，x=(一；一三1一芒知_：量h)， 第1 7 页，共3 0 页 第三章h a t a 树上的调和结构的存在性 一= ( 二爨一r+h昏-r2h1-r2)(r+h+rhh ) 小 l 7 一 (一r 2 ) j 。一 一百万干) i 百广 忙旧 根据t 一j x 一1 j = d 等式，从而有： t o j x 一1 j = = d 1 0 r 一必0 r 0 1 一霄 三 r r + + r 一r 2 h 一可再而；酉 h r + h - - 丽h 0 h i 石蕊 h 再石蕊 00 h2(1-r2)h 一r ( r + h - r 2 h ) 一i 石辆 r 一再丽 一西罩顷再而；丽 ) = ( 苫一1 三) 从而推出当r h = 1 时，( d ， ) 是正则调和结构，证毕 证法二：令乱2 ( v o ) ，豇2 ( ) ，且u ( 9 0 ) = u ( q 1 ) = 0 ，u ( q 2 ) = 1 ，f i ( q o ) = c j ，豇( q 1 ) = 07 u ( q 2 ) = 1 ，u ( q 3 ) = x ，f i ( q 4 ) = y 则根据定义3 2 1 及如下图3 2 所示，可知：晶( 札，札) = h l c l 2 + 1 ， 1 ( 面，矗) = 言岛( 豇。r ，豆。只) + 丁石岛( 面。尼，豇。足) = 妄 ( i c l o ) 2 + h ( x o ) 2 】+ 击 ( 1 一z ) 2 + h ( x 一可) 2 1 = 圭( i c l 2 + h x 2 ) + 击 ( 1 一z ) 2 + h ( x 一秒) 2 】 第1 8 页，共3 0 页 、lilil， 南 o 一r 0 o 0 ，jfii一 0 0 0 ，。一 1 一r 1 一r 0 1一ri r o ，。一，fi。一 第三章h a t a 树上的调和结构的存在性 h p ： 图3 2h a t a 树：= c ，0 ，1 ) 分别对x ，可进行求偏导，并其令为0 ： s l ( 五，五) = 了2 h z + g ，。( 豇，冠) = 解该方程组得： 2 h 1 一r 2 将x ，代入1 ( 豆，缸) 可得： ，( 面，缸) = 熹 i c l 2 + 2 1 一r 2( x - 1 ) + f 2 7 h ( z 一3 ) = o ( y x ) = 0 7 z2y 。i 五= 丽 h r 2 ( 7 + 九一打2 ) 2 h r ( r + h h r 2 ) 2 危7 + 炉一 2 产 ( r + h h r 2 ) 2 根据重整化方程( 3 2 ) 知： 】+ 击( ， 1 ( 豇，霞) = c o ( u ，缸) = h l c l 2 + 1 矗( 姗) = 嘉评i + 研+ 舻一舻户 ( r + h h r 2 ) 2 第1 9 页共3 0 页 r + h h r 2 = h l c l 2 牟1 ) 2 ( 3 - 5 ) 器 + + 2 2 c c 1 一r 1 一r = = 第三章h a t a 树上的调和结构的存在性 若有如f 方程组成立： 降九 l 揣= 1 则方程( 3 5 ) 恒成立 从而我们很容易看出r = 1 ，满足该方程组根据命题3 2 1 可知，当r h = 1 时，( d ，r ) 是正则调和结构，证毕 由于我们是对二次方程进行最小化处理，所以我们可以在k 的顶点上定义 初始的实值函数钆l ( v o ) ，不妨设其初始值为m ，n ，p ( 如下图3 3 所示) 令u l ( y o ) ，缸f ( ) ，且u ( q o ) = m ，u ( q x ) = 几，u ( q 2 ) = p ，u ( q o ) = m ，矗( 口1 ) = 佗，缸( 口2 ) = p ，面( q 3 ) = z ，五( 9 4 ) = y 则根据定义3 2 1 及如上图3 3 所示，可知：e ou ，札) = h ( m 一礼) 2 + ( 佗一p ) 2 ， 易( 霞，五) = 三易( 磊。只，西。日) + 禹易( 面。易，也。尼) ri r 5 孝 ( 仇一礼) 2 + ( z 一竹) 2 + 南【( z p ) 2 + 九( z 一) 2 分别对z ，进行求偏导，并其令为0 ： ，g 如面) - 2 h r ( x - n ) + 评2 ( z p ) + 评2 h ( z 一秒) = o i ( 蛐) = 再2 h 互 一z ) = o 图3 - 3i - i a t 埘：v o = m ，几，p ) 第2 0 页，共3 0 页 第三章h a t a 树上的调和结构的存在性 解该方程组得： h n ( 1 一r 2 ) + z 。y5 再百万 r 十几一凡7 h n ( 1 一r 2 1 + p r 佗) 2 】 +一1。hn(1-r2)+pr一纠21一? - 2 r 上h h r 2 ，3 = r l - ( m - 礼) 2 + 器+ 窘宰 = 昙( m 一扎) 2 + 根据重整化方程( 2 ) 知： 嬲hh ( 凡刊2 r 2 ) 2 f r + 一 。7 矗( 面，面) = 岛( 牡，乱) = h ( m 一扎) 2 + ( 凡一p ) 2 间= 熹( m 一妒+ 而h r + 研h 2 - h 2 r 2 若有如下方程组成立： h ( m 一铊) 2 + ( 佗一p ) 2 三：九 r 胁+ h 2 一h 2 r 2 ( r + h 一 r 2 ) 2 = 1 ( n p ) 2 ( 3 - 6 ) 则方程( 3 6 ) 恒成立 我们很容易看出7 危= 1 ，满足该方程组根据命题3 2 1 可知，当r h = 1 ， ( d ，r ) 是正则调和结构因此( d ，r ) 是正则调和结构的充分条件7 _ 危= 1 与其 在的顶点上所定义的初始值无关 3 3h a t a 树在调和结构下的若干结果 设三= ( k ， 1 ，2 ) ， ，2 ) ) ， ( z ) = 露，2 ( 名) = ( 1 一i c l 2 ) 乏+ l c l 2 其中l c l ，1 1 一 第2 1 页，共3 0 页 m哟豫旷 动争 | | 龇 计矗 将 第三章h a t a 树上的调和结构的存在性 c i ( 0 ，1 ) ，则l 是自相似结构设v o = c ，0 ，1 ，定义d l a ( ) ： d = h0 j 一( + 1 ) 1 i 11j + r = ( r l ，咆) ( o r l ，r 2 1 ) ，若r 1 = 1 ，r 2 = 1 一萨1 ，则( d ，r ) 是正则调和结 证明：如同例3 2 2 中证法二，我们也作同样的假设，则根据定义3 2 1 及如上 m 3 2 所示，可知：晶( u ，u ) = h l c l 2 + 1 ， 1 ( 豇，也) = 二岛( 蟊。r ，豇on ) + 二易( 豇of 2 面。尼) 7172 。去( 评+ 危x 2 ) + 去”z ) 2 + ( z 一可) 2 分别对z ，进行求偏导，并其令为0 ： 解该方程组得： 将z ，剪代入矗( 豇，豇) 可得： 1 ( 面， 差( z - 1 ) + i 2 h ( z 刊= 。 z 1 = 0 r 1 z ! 2 r l + h r 2 1 r ，( i c l 2 4 - h x 2 ) + 恚【( 1 刊2 州z 刊2 1 - 9 _ r ，f c 卜 胁1 + h 2 r 2 - - ：一 ( r 1 + h r 2 ) 2 根据重整化方程( 3 2 ) 知：害1 ( 豇，豇) = e o ( u ，钍) = h l c l 2 + 1 ，即： 矗( i r 。i c n 丽h r l + h 2 r 2 = 晰+ 1 若如下方程组成立： ( r l + h r 2 ) 2 = 1 第2 2 页，共3 0 页 ( 3 - 7 ) ( 3 - 8 ) 吐危o ，li + 一 弘 娩一n娩一您 i i = 、i，、l， u _ u - u - u ，i、，j、 声 g g 第三章h a t a 树上的调和结构的存在性 则方程( 3 7 ) 恒成立 由方程组( 3 8 ) 可知： n = ，且r 2 = l 一云 ( 3 9 ) 根据命题3 2 1 可知，很容易看w , 当r l = 丢，t 2 = l 一矗时，( d ，r ) 是正则调和 结构根据方程( 3 9 ) 很容易看m r l ，r 2 都只与参数 有关由于0 r 1 ，t 2 1 而函数r l ，r 2 关于h 的变化趋势如下图3 4 f u n c t i o n r 1 , r 2w i t hr e s p e c t t oh ( 1 h 2 )f u n c t i o n r 1 , r 2 w i t hr e s p e c tt oh ( 1 h 5 ) - 己” 0 2 n 1 o ( b ) 图孓4 函数r 1 ，7 2 关于h 的变化趋势图像 ( d ) 同样，如同例3 2 2 中证法二，我们也是对二次方程进行最小化处理，所以我 们可以在的顶点上定义初始的实值函数u l ( v 0 ) ，不妨设其初始值为m ，礼，p 第2 3 页，共3 0 页 c o ；u c 一i_j co一芑cnj 令u l ( v o ) ，豆z ( ) ，且札( q o ) = m ，u ( q 1 ) 面( 9 1 ) = 咒，f i ( q 2 ) = p ，蠢( 舶) = z ，西( 吼) = y 礼，u ( 9 2 ) = p ，雹( 口o ) = 根据定义3 2 1 及如上图3 - 3 所示，可知：疡( 乱，札) = h ( m 礼) 2 + ( 礼一p ) 2 ， l ( 五，五) = 三r l 岛( 缸。f l ，豇。r ) + 葛1 岛( 云。马，豇。易) = 丢( m 一佗) 2 + 鲁( z 一死) 2 + 去( z p ) 2 + 龛( z 一) 2 分别对z ，箩进行求偏导，并其令为o ： 厂g ，z ( 豇，面) = 导 ( z 一礼) + 姜( z p ) + 导当( z 一) = 。 l i ，掣( 豇，雹) = 导 ( 3 ，一z ) = 。 解该方程组得： z = = 案 将z ，秒代入l ( 豇，豇) 可得： 磊( 缸，雹) =丢( m 一礼) 2 + h ( w r l l + h n r 2 一礼) 2 + 恚( 2 筹 ) 龛笔兰 n a - ( m - 佗) 2 + 面h r l 丽( n - p ) 2 + 可h 2 r i 2 ( n 五_ f p ) 2 = 三r l ( m 一竹) 2 + 丽h r l + h 2 r 2 ( 礼一p ) 2 根据重整化方程( 3 - 2 ) 知： a ( 豆，豇) = 岛( 缸，u ) = h ( m 一佗) 2 + ( 佗一p ) 2 岛( 豆，面) = i 1 ( m 一仃) 2 + i h r l | 2 + 十h r , 2 。r 厂2 ( 扎一p ) 2 = 忽( m n ) 2 + ( 几一p ) 2 若如下方程组成立： f 三：危 1 器鲁= l p ) 2 ( 3 - 1 0 ) ( 3 - 1 1 ) 第三章h a t a 树上的调和结构的存在性 则方程( 3 1 0 ) 恒成立 由方程组( 3 - 1 1 ) p - 7 知： r l = 丢，且您= 1 一云 ( 3 - 1 2 ) 根据上面的证明过程，我们不难发现方程组( 3 9 ) 与方程组( 3 1 2 ) 是完全相 同的，也即是r 1 ，他的选取只与参数h 有关( r l ，r 2 关于危的变化趋势图见3 4 ) ，与其 在的顶点上所定义的初始值无关 第2 5 页，共3 0 页 参考文献 【1 】k i g a m i ，分形分析( 英文版) 【m 北京：机械工业出版社，2 0 0 4 【2 】( 英) 肯尼思k 法尔科庆j ( k e n n e t hj f a l c o n e r ) 著：曾文曲译分形几何一数学 基础及其应用【m 1 北京：人民邮电出版社，1 9 9 9 3 】文志英分形几何的数学基础【m 上海：上海科技教育出版社，2 0 0 0 4 】谢和平，薛秀谦分形应用中的数学基础与方法 m 】，北京：科学出版社，1 9 9 8 【5 周作领自相似集的h a u s d o r f f 钡0 度丰一- - k o c h 曲线【j 中国科 学( a 辑) ，1 9 9 7 ，2 7 ( 6 ) ：4 9 1 4 9 6 6 b b m a n d e l b r o t ，l e s0 b j e c t sf r a c t a l s ：f o r m e ，h a s a r de td i m e n s i o n j 1 f l a m m a r i o n ，19 7 5 【7 】c a r o g e r s ，h a u s d o r f fm e a s u r e s m ，c a m b r i d g em a t h l i b r a r y , c a m b r i d g e u n i v e r s i t yp r e s s ，1 9 9 8 8 】c b a n d ta n dg r a f s e l f - s i m i l a rs e t sv i i ac h a r a c t e r i z a t i o no fs e l f - s i m i l a r f r a c t a l sw i t hp o s i t i v eh a u s d o r f fm e 西由e j p r o e a m e r m a t h s o c 1 9 9 9 ( 11 4 ) ：3 1 9 3 4 4 9 】j k i g a m i ，e f f e c t i v er e s i s t a n c e f f o rh a r m o n i cs t r u c t u r e so i lp c f s e m i s i m i l a r s e t s j ，m a t h p r o c c a m b r i d g ep h i l s o c ，1 9 9 4 ( 1 1 5 ) ：2 9 1 3 0 3 1 0 】j k i g a m i ，l a p l a c i a n so ns e l f - s i m i l a rs e t s ( a n a l y s i so nf r a c t a l s ) j ，a m e r m a t h s o c t r a n s l s e r ，1 9 9 4 ( 1 6 2 ) ：7 5 - 9 3 【1 1 】j k i g a m i h a r m o n i cc a l c u l u so np c f s e l f - s i m i l a rs e t s j 】t r a u s a m e r m a t h s o c 1 9 9 3 ，3 5 5 ：7 2 1 7 5 5 【1 2 j k i g a m i ，d i s t r i b u t i o n so fl o c a l i z e de i g e n v a l u e so fl a p l a c i a n so np c f s e l f - s i m i l a rs e t s j ，j f u n c t i o n a la n a l y s i s ，1 9 9 8 ( 1 5 6 ) ：1 7 阻1