（应用数学专业论文）带有限函数在最坏框架下的恢复.pdf

c 艺譬i ，l 0 l i ll l l l l li l ll1 u , l l l 1 1 11 1 1 1 1 l i | y 1 7 5 0 4 1 4 西华大学学位论文独创性声明 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究 工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方外， 本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他已申请 学位或其他用途使用过的成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献 均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文作者签名：弓篇面哆 日期：力p 斗润砌 指导教师签名：尸鲁了芰 日期沙o 6 2 西华大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，在校 攻读学位期间论文工作的知识产权属于西华大学，同意学校保留并向国家 有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅，西 华大学可以将本论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复印手段保存和汇编本学位论文。( 保密的论文在解 密后遵守此规定) 学位论文作者签名：私张 指导教师签名：产仔岁炎 日期：如p 耳6 国日 日期砂o 舌沙 西华大学硕士学位论文 摘要 指数型整函数和样条是两类基本的逼近工具，本文利用数值分析、泛函分析、调和 分析等方法和手段，对0 僻) 中带有限函数，利用其信号样本序列 ，( 九) ) 肥与 ，( 九) ) 。包在最坏框架下进行了无误差恢复，得到了非正规h e r m i t e 型样本定理，同时， 在阶的意义下给出了s o b o l e v 函数类上混淆误差的精确阶，并且利用k 重调和基样条， 得到了多元带有限函数的一个等价刻画。 关键词：h e r m i t e 型样本定理；指数型整函数；s o b o l e v 类；插值级数；混淆误差； p a l e y - w i e n e r 空间；多重调和基样条 带有限函数在最坏框架下的恢复 a b s t r a c t e x p o n e n t i a lt y p ee n t i r ef u n c t i o na n ds p l i n ef u n c t i o na r ct w ob a s i ca p p r o x i m a t i o nt o o l s i nt h i sp a p e r , w em a k eu s eo ft h em e t h o d s ，s u c ha sn u m e r i c a la n a l y s i s , f u n c t i o n a la n a l y s i s ， h a r m o n i ca n a l y s i s ，r e c o n s t r u c t i n gb a n d l i m i t e df u n c t i o n 厂i nt h es e n s eo f l 。 ) a n dt h ew o r s t f r a m e w o r kb yu s i n gi t ss i g n a ls a m p l i n gs e q u e n c e s ，( 九) ) t 日a n d f 7 ( 久) ) i 包，a n dg e tt h e i r r e g u l a rh e r m i t e t y p es a m p l i n gt h e o r e m a tt h es a m et i m e ，w eg i v et h ee x a c to r d e ro ft h e h e r m i t ec a r d i n a li n t e r p o l a t i o n s a l i a s i n ge r r o r so nt h es o b o l e vc l a s s ，a n dt h e no b t a i na n e q u i v a l e n tc h a r a c t e r i z a t i o no fm u l t i v a r i a t eb a n d l i m i t e df u n c t i o nb yu s i n g k d e g r e e h a r m o n i cc a r d i n a ls p l i n e k e yw o r d s ：h e r m i t e t y p es a m p l i n gt h e o r e m ；e x p o n e n t i a lt y p ee n t i r ef u n c t i o n ；s o b o l e v c l a s s ；i n t e r p o l a t i o ns e r i e s ；a l i a s i n ge r r o r ；p a l e y - w i e n e rs p a c e ；p o l y h a r m o n i cs p l i n e s ； 西华大学硕士学位论文 目录 摘要i a b s t r a c t i i 11 者论1 1 1 研究背景与意义1 1 2 样本定理国内外发展现状2 1 3 论文主要结果7 1 3 1 非正规h e r m i t e 型样本定理及s o b o l e v 类上混淆误差阶的估计7 1 3 2 多重调和基样条对多元带有限函数的恢复9 2 非正规h e r m i t e 型样本定理及s o b o l e v 类上混淆误差阶的估计。1 3 2 1 非正规h e r m i t e 型样本定理1 3 2 2 非正规h e r m i t e 型样本定理s o b o l e v 类上混淆误差阶的估计1 8 3 多重调和基样条对多元带有限函数的恢复2 0 参考文献2 2 攻读硕士期间学术论文及科研情况2 2 致 谢2 6 i i l 西华大学硕士学位论文 1 绪论 1 1 研究背景与意义 逼近论1 1 】是现代数学中一门经典学科，主要阐明了借助简单函数来近似表达已知复 杂函数的理论，如现在多用代数多项式、三角多项式，或借助有理函数来近似逼近某一 复杂函数，且使原函数与构造的函数保持同样的性态，如可微性、光滑性、解析性等等。 随着现代科学的发展，逼近论所包含的内容越来越广泛，与其他学科的融合也在日益加 深，与泛函分析、微分方程、概率论、计算数学、计算机科学理论等众多学科都有着密 不可分的关系，可以用来解决自动控制、信号处理、无线电、地震勘探、机械理论【2 3 j 等多方面所提出的实际问题。 例如，通信工程中，通信是通过下图来完成的1 4 j ： 首先将信源发出的各种消息转换成或模拟信号或数字信号，然后通过信道传送到接 收端，然而信道只能传送离散的数字序列，故需对模拟信号进行离散化处理，即采样， 把时间上连续的模拟信号转换成时间上离散的采样信号，并通过处理，转化成适合信道 传送的序列，经信道传送到接收端，接收端接收到的将是离散的数字序列，并不是真正 的信源发出的消息，为了得到原来的消息内容，就需要对接收的离散序列重构，重建为 原来的模拟信号，即恢复为原来的消息。 一般来说，信号可以看成某个变量的函数厂o ) 。例如，声音信号是时间的函数，图 像信号( 灰度，色彩) 是图像位置的函数。为了解决通信系统中将接收端的离散信号重建 为原来的模拟信号问题，这就要涉及到信号的抽样重构问题，即用一个序列( 样本) 来表 示一个信号，对这个序列的要求是可以由它重构原始信号。而信号抽样重构有两种方法： 一种方法是把厂o ) 按它所在空间的一个基作级数展开，取展开式系数作为样本，满足一 定条件时，用样本值和抽样函数对厂o ) 重构；另外一种方法是直接用厂o ) 在一系列离 散点 t 。k 处的值 厂也) ) 袍作为样本，当 t 。k 满足一定条件时，存在 & o ) 魁，使得 在某种意义下有：，o ) 一，也) 。s 。o ) ，其中 s 。( f ) 栏：称为抽样( 插值) 函数。 带有限函数在最坏框架下的恢复 基于通信工程中需要对原始信号抽样重构为原来的信号，1 9 4 8 年，c l a u d ee s h a n n o n 在“am a t h e m a t i c a lt h e o r yo fc o m m u n i c a t i o n 5 1 文中首先提出了样本定理的概念，接 着在“c o m m u n i c a t i o ni nt h ep r e s e n c eo f n o i s e ”中给出了深入的理论分析，并启发学者在 这个领域进行深入研究以及将研究成果应用到实际的通信工作中。 受s h a n n o n 启发，样本定理受到了学者们的广泛重视，数学家以及通信工程领域的 理论学家广泛投以关注的目光，并展开了相互独立的研究。在样本定理发展史上值得一 提的是，1 9 1 5 年e t w h i t t a k e r 在”o nt h ef u n c t i o n sw h i c ha r er e p r e s e n t e db yt h ex p a n s i o n s o f t h ei n t e r p o l a t i o nt h e o r y ”一文中提出了样本定理的轮廓，并且在后来的著作中提出了著 名的w h i t t a k e r c a r d i n a l 级数以及详细说明了带宽限制在的带有限函数都可以由间隔 2 w 为w 的抽样值以c a r d i n a lf u n c t i o n 的形式唯一的重构。1 9 2 4 年n y q u i s t 首先将s h a n n o 样 本定理与通信工程联系起来。其次v a k o t e l n i k o v 准确地描述了样本定理的内容，并将 s h a n n o 样本定理应用到解决通信工程中的实际问题，证明了低通信号和带通信号样本定 理。为纪念e t w h i t t a k e r 、c e s h a n n o 、以及v a k o t e l n i k o v 等人对样本定理所作的工 作，通常我们以w h i t t a k e r s h a n n o n k o t e l n i k o v 型样本定理来命名早期的s h a n n o 样本定 理。 样本定理提出后不仅广泛应用于通讯工程中，而且也受到众多纯数学领域学者的重 视，不仅是信息论，特别是通讯与信号处理学科中的一个重要基本结论，也是插值和样 本理论中的基本定理。样本定理阐述的内容是：每一个带宽为带有限的信号函数，并且 采样频率高于信号带宽的一倍时，都可以由其在一等距节点集上的函数值完全重构。从 信号处理的角度来看，样本定理描述了两个过程：其一是采样，这一过程将连续时间信 号转换为离散时间信号；其二是信号的重构，这一过程是将离散信号还原成连续信号， 即对样本进行插值，从离散的样本序列 厂也) 雁：中，用数学的方法恢复连续信号厂o ) 。 显然，样本定理的作用就是在离散信息和连续信息之间架起桥梁。 1 2 样本定理国内外发展现状 下面我们主要回顾纯数学领域样本定理发展的历程。首先给出一些必要的基本概念 和符号。 设l 。( r d ) ，1sp s0 0 ，表示定义在r 。上经典可测的p 次幂l e b e s g u e 可积函数空间， 并赋予通常的范数| i i i ，( ) 0 m ( 置) ：一i i 1 i p ( 一) ) 。l p ( z d ) ，l 0 ，如 果对v s 0 ，存在常数彳( g ) 0 ，使得v z = ( z 1 一，z 。) c 。，有， k ( z ) i s 彳唧( ( q + ) i z j1 ) ， 则称如( z ) 为指数仃型整函数。 记如( z ) 的全体为e ( ) ，乞( ) 中函数在上限制为有界的全体记为以俾4 ) ， 令 吃，僻j ) i 凡俾d ) c i l p ( r 4 ) ，1sp 0 ，1 p z p ( z ) ，则存在唯一的g b 哪似) ，使得g ( k z a ) 一y i ，v k z 。 注3 ( 1 ) 定理1 2 3 的( 口) 、p ) 是对经典w h i t t a k e r - s h a n n o n - k o t e l n i k o v 样本定理的 推广：( 2 ) 如果1sp 2 ，则有见，c 吃2 中，那么显然当1 s p 2 时，定理1 2 3 的( 口) 是等同于定理1 2 1 的；( 3 ) 定理1 2 3 的( c ) 为m a r c i n k i e w i c z 关于三角多项式子空间中的 一个不等式在见1 p 中的推广。 样本定理提出后被广泛应用到实际工程中，但在处理实际问题时往往会遇到处理多 变量的样本问题，基于此，1 9 9 6 年，王建军和房艮孙教授将w h i t t a k e r - s h a n n o n k o t e l n i k o v 样本定理推广到了多维空f s - j 1 5 , 1 6 1 ，证明了多元正规样本定理。 4 西华人学硕士学位论文 是否可由样本值重构。鉴于此，p a l e y 和w i e n e r l l 7 l 通过研究发现，若，只2 时，函数仍 令x 一协。) 越是满足条件d ：一s u p x 。一k l 1 4 的实数序列，g 是按以下方式定义的 g o ) ：，o x o ) l - ( 1 一z x k ) ( 1 一x x _ 。) ， ( 1 2 3 ) 则对v ，吃：似) ，有 ，o ) ；厂瓴) qo ) ， ，、f 万譬k ，如果x r “ 卜 爱齿= 三咐川， n 2 川 i g o ) = 1 ，如果z 一五 、 由于上面结果的样本点是非等距分布的，故通常称这样的样本定理为非正规样本定 理。非正规样本定理大多数结果都是在h i l b e r t 空问吃：俾) 中得到的，并且证明时都 用到了一些h i l b e r t 空间的本质特征，例如p l a n c h e r e l p a r s e v a l 等式等。因此，人们自然 想到用经典的l e b e s g u e 空问l p 俾) ，1 p 0 0 ，来代替h i l b e r t 空间l 2 俾) 。1 9 9 3 年， h i n s e n t l 8 1 完善了p a l e y w i n n e r l l 7 l 和k a d i c l l 9 l 的结果，并在吃，职) ，空间中得到了一元非 正规样本定理，即当节点组有微小扰动时，函数仍可由可列个非等距节点的l a g r a n g e 插值重构。 定理1 2 4 1 8 1 令1s p ， 气) 是满足条件k k | s z ) 的实序列，而且，当 1s p s2 时，l l 4 ；当2s p 时，l 1 2 p ，则对任意厂吃，似) ，有 厂o ) = 罗厂( 气) g 0 ) 女= 其中g o ) 、qo ) 分别按( 1 2 3 ) 和( 1 2 4 ) 式定义，而且上式右边的级数在复平面上的任一 有界子集上一致收敛。 一带有限函数在最坏框架下的恢复 1 9 9 9 年王建军和房艮孙教授在 2 0 ，2 1 】中将定理1 2 4 推广到了b 叫俾) ，1 p ， 空间，得到了一元非正规样本定理。2 0 0 9 年，陈广贵教授在文献【2 2 】中得到了多元非正 规样本定理。 样本定理发展的第三个方面就是增加对节点处的限制，利用h e r m i t e 插值重构原函 数。 1 9 5 6 年j a g e r m a n 和f o g e l 对平方可积( 即p 一2 ) 函数，在考虑函数样本时，增加了 对结点处导数的限制，即将定理1 2 1 中的样本序列 厂仁) 用二重样本序列 l o r j 把 ，争 勉和 ，( 争l 憾得到了一元平方可积h e m i t c 样本定理。这使得样本 定理从逼近论角度来说，得到了更加优美的结果，结果如下， 定理1 2 5 1 2 3 , 2 4 i 如果fe b 2 以，那么 m 一吉荟丽f ( k n r ( r ) + 等等蚴2 锻，坛觚 ( 1 2 5 ) a a c h e n 学派 3 , 8 1 由这个定理出发成功地得到了一些很有意义的逼近定理。他们首先致 力于研究导数样本定理的适当收敛标准。例如：如果厂和厂7 在r 上是有界连续的，并且 可积，那么式( 1 2 5 ) 在尺上一致成立。这是针对带有限函数而言，如果这个条件不满 足，那么这个结论在盯_ o o 的意义下也是成立的。进而，h i n s e n l l 8 1 利用复分析中围道积 分的办法证明了对于厂e b ： ，1 - sp o o ，式( 1 2 5 ) 在c 的任一有界子集上一致成立。 事实上级数( 1 2 5 ) 是h e r m i t e 型插值，因此也被称为h e r m i t ec a r d i n a l 级数。 2 0 0 0 年房艮孙教授和李冱岸对该定理应用实分析和调和分析的方法做了进一步的 推广，证明当1 p ，fe b 2 叫时定理1 2 5 依然成立。 定理1 2 6 2 5 , 2 6 l 令f 垦 ，1 p ，那么 ( 口) m ；荟孑1 。 f ( k 万舢c r ) f + 警等? 2 似，v x e r , 相右边的级数在尺上 一致收敛； p ) i i f ( x ) 一磊吉鼢+ 尝甏等灿2 似，呻。，一； ( c ) 。4 1 1f l l ，s ( 互) i ( ( i ，( 坚) i + 1 1 ，( 坚) 1 ) p ) i - ：b i l lf l l p ，其中彳p 和曰p 是仅依赖p 0够000 。 的常数： 6 西华大学硕士学位论文 似) 如果y = y t e l p ( z ) ，y7 。d ： z p ( z ) ，则存在唯一的g 口2 哪似) ，对于给 定的序列y 和y 在节点k 厕r c r 上满足h e i m i t e 插值条件，使得g ( k 翻r o ) - y t ， g ( k 刀r c r ) 一y ：，v ke z 。 2 0 0 6 年房艮孙教授和李跃武在【2 7 】中将【2 5 】中的结果推广到多元h e r m i t e 型样本定 理。 本文继续以上的研究，利用h e n n i t e c a r d i n a l 级数对单变量带有限函数在非规则节点 进行插值逼近，得到了非正规h e r m i t e 型样本定理。 1 3 论文主要结果 1 3 1 非正规h e r m i t e 型样本定理及s o b o i e v 类上混淆误差阶的估计 下面我们给出l p 僻) ，1 p 0 0 ，中非j 下规h e n n i t e 型样本定理及s o b o l e v 函数类 上混淆误差阶的估计。 定理l 肌肌p ，。= 影象，豢， 6 = m i n o ，l o g ( a p b p + 1 ) 2 c r ， 九k 包是一实数序列，满足条件 a o ；0 ，m ：；s u p l a k - k 刀r a i 6 ， 那么，对任意厂b 2 叫，有， 圳刘p s ( 詈善圳+ 抄( 圳) ，卜( 1 + 酬刘p ，3 其中丁；b 4 ( e t 幻p p _ 1 ) 形( e ( u f - 1 ) 石，p 是任意正常数，彳p 与口，为仅依赖p 的常 数，其定义见定理1 2 6 。 注4 ( 1 3 1 ) 式是指数型整函数在非等距样本空间的m a r c i n k i e w i c z z y g m u n d 型不等 式。m a r c i n k i e w i c z z y g m u n d 型不等式1 2 8 】在逼近论中有着重要的作用，它表明阶不超过坍 的三角多项式的p 范和该三角多项式在整个点的值的离散z ；”1 范等价。 由定理1 3 1 ，我们得到。职) 中带有限函数在非正规节点的h e r m i t e 插值定理，如 下， 定理1 3 2 设1 p 0 ， 丸k 为满足定理1 3 1 中条件的序列，那么有， 带有限函数在最坏框架下的恢复 ( 1 ) 任意y - s o , 。日，y 一 y ：) 。曰，以及y ，p ( z ) ，y ( z ) ，存在唯一的g ，p ， 使得，g ( 九) 。儿以及g ( 九) 一“，七z ； ( 2 ) 如果g b 2 叩，贝l j ：f i g ( a t ) e ，( z ) 以及倨7 ( ) ( z ) ； ( 3 ) 任意f e b ：哪，有 删一荟( 器+ 器) 器， 且上级数在l ( 1 p s q s 0 0 ) 意义下收敛。特别，在r 上一致收敛。 注5 ( 1 ) 如果 九k 满足定理1 3 1 中的条件，那么由定理1 3 2 ， 九k 是一个稳 定的插值序列：( 2 ) 定理1 3 2 的( 3 ) 是将等距节点的正规h e r m i t e 型样本定理推广到非等 距样本点，从而称为非正规h e r m i t e 型样本定理，且表明l p 俾) 中的带限函数在最坏框 架下可利用其二重样本序列 厂( 九) ) 。包和 ，( 九) ) 。日在一致意义和( 1 pa q ) 意义 下无误差恢复。 作为样本定理的一个应用，下面我们估计其非正规h e r m i t e 型样本定理在s o b o l e v 函数类上的混淆误差阶。 首先给出一些概念。 l p r 僻) ，l a p ，r e n ，表示l ，( r ) 中在rk r 一1 阶倒数局部绝对连续，并 且使得i l 厂”i i 朋) 有限的函数，的全体。 设，三p 僻) ，1 s p ，用：，o ) ；( 一矿一c ：( x + 加) 表示函数，o ) 的七阶差 分。而 皑( 厂，f ) p ( 矗) ，叩| la ：f ( x ) l l p ( r ) 定义函数厂 ) 的七阶连续模。同时，我们记q ( ，f ) ，( r ) 为( ，f ) p ( 矗) 假设f ：r - c 是一可测函数，而且【，( 九) z p ( z ) ， 厂( 九) z p ( z ) ，则在定理 1 3 1 的条件下，由定理1 3 2 ，有唯一的插值算子h 。( f ) e a 2 哪，使得， 日。( ，九) 一，( 九) ，h ：( ，疋) 一，( 九) ，七z 在工程上，称，一日。( ，) 为混淆误差，下面定理1 3 3 给出s o b o l e v 函数类的混淆误 差估计的上。 定理1 3 3 令f e ( 尺) ，1 s p ，那么有， 两华大学硕士学位论文 o ，一日。( ，乩置) sc ，p 仃吖( 厂p ，寺) p ( r ) 舯叫) | 荟( 盟( x - & y + 器) 。器是肚p 中的插雠子，插值点是 九) 。包，c ，是与r ，p 有关的常数。 注6 定理1 3 3 给出了s o b o l e v 函数类上混淆误差阶上界的估计。由于匕俾) ， 1 p ，在最坏框架下，其仃平均宽度的阶等于盯因此，定理1 3 3 给出的上界 在阶的意义下是精确的，而且插值算子也( 厂) 给出了一个最优算法，易叫( 尺) 是它的一 个渐近最优子空间。 1 3 2 多重调和基样条对多元带有限函数的恢复 样本定理对原函数恢复中，由于s i n 万x 不属于l 2 俾) ，因此s i n c o ( x 一七石o r ) 当 x 一4 - 0 0 时，收敛速度很慢，从而式( 1 2 1 ) 的算法是不稳定的。于是s c h o e n b e r g i 2 9 j 利用多 项式样条来稳定式( 1 2 1 ) 的算法，并得到了比较重要的结论，如果厂( e b ：。似) ，即 ，e p w ( r ) ，s 2 m - i 厂是对厂在整数点上插值的分段多项式样条，则， l i m ( s ：。一。厂) ) 一厂0 ) ， 其中，岱2 m - 1 ，) o ) = 罗厂o ) k 一。o 一七) ，k 一。o k ) 为2 m 一1 次的基本多项式样条，满足 条件九，一1 0 一七) = 6 0 j ，k e z ，6 0 j 为k r o n e c h e r 符号。 由于九州o ) 当x - + 时是以指数型衰减的，因此样条插值比样本定理更为稳定。 基于此，s c h o e n b e r g 2 9 1 、m i c c h e l l i l 3 0 1 及r i e m e n s c h n e i d e r l 3 1 1 做了进一步研究，完善了上 述思想，将结果推广到更广泛的带有限函数上。 在样条函数的研究中，关于用样条对带有限函数恢复的问题研究的比较少，目前房 艮孙，龙晶凡等在这方面做了一些研究【3 2 ，3 引。1 9 9 9 年，龙晶凡在文献【3 4 】中证明了若l 一 样条伴随的咒阶微分算子只有实特征根，且这些特征根关于 一致有界，则带有限函数 可以由l 一样条一致恢复。2 0 0 1 年，房艮孙在文献【3 5 】中证明了如果厂只，1 s p ， 且其f o u r i e r 变换在卜石，万】内，则，及其导数， ，j ；l 2 ( j ) ，可以由厂的样本点 序列 ，( 七) 在l q ( r ) ，1 p = q 或1 p 1 。 对放乏d + 1 ，饼x 似4 ) 表示所有k 一重调和基样条的集合，且它是m ( r d ) 的子空间， 它的元素，具有以下性质： 0 ) ，c 2 “扣1 僻4 ) ； ( 2 ) a k f ( x ) t 0 ，v x r 4 z d 1 0 两华人学硕十学位论文 由 3 6 1 ，对任意的f e s h 置僻。) 有以下级数形式的表达式： f ( x ) - e j)，,f(j)lk(x ，e 工 而且级数关于x 在尺。的任一紧集上一致收敛。其中，t e s h x 似d ) 具有以下性质： ( 1 ) 对任意的_ z 4 ，l k ( j ) 一，其中，a1 ，当k j ；气= 0 ，当k _ ； ( 2 ) 船h 矿2 器 蔷 这是一元基样条插值向多元的推广。由【3 5 】，k 一重调和基样条插值有唯一解。 定理1 3 4 3 6 】如果 ，一 y 忍。是多项式增长的，则存在唯一 s k ( ；v ) s h k ( r d ) 使 得 ( j ；，) t ，j ，v j z 4 进而我们有， 定理1 3 5 t 3 7 1 设2 七d + 1 ，f _ s h k ( r 4 ) ，则 厂( ，) 】粤2 ( z d ) 当且仅当厂2 职d ) ， 而且，如果厂阳。( r 4 ) a l ：俾4 ) ，则 a i i 厂( _ ) ) i i ：, d l l 川：。sb 呲f ( j ) l l ：一， 其中，a 、b 为绝对正常数。 由定理1 3 4 以及定理1 3 5 ，如果 ，( i ) z ：( z 。) ，则存在唯一的 s k ( ；f ) e s h 。僻4 ) a l ：( ) 使得， 瓯( _ ；厂) = 厂( _ ) ，z 4 ( 1 3 2 ) 则， 我们的主要结果如下： 定理1 3 6 令2 k 苫d + 1 ，如果厂e p w 。，则， ；i mi i 厂一( ；，) | l = o 定理1 3 7 令2 k d + 1 ，且厂c 僻4 ) ， f ( j ) e e 2 ( z d ) ，如果， ! i ml i 厂一& ( ；厂) 一o ， ，p 矽4 注7由定理1 3 6 以及1 3 7 我们得到了刻画空间p w d 的等价定义。 命题1 3 1 令2 k 苫d + 1 ，则下列条件等价： ( 1 3 3 ) ( 1 3 4 ) 一一= 堂塑坚笪鏊垄星堑堡塑! 塑堡堑 一一一 ( 1 ) f p 4 ； ( 2 ) l i m i i f 一& ( 。；厂) l 2 , d 一0 定义1 3 1 设x 是赋范线性空间，x ，m 是x 的一子空间。称 e ( f ，m ，x ) 昌i n fi i ，- gk ( 1 3 5 ) 为空间m 对，的最佳逼近。 定理1 3 8 如果厂厶( r 4 ) ，则 e ( 厂，p ，l ：( ) ) = 熙e ( 厂，s h k ( r 4 ) n l 2 ( 尺4 ) ，：( 尺4 ) ) ( 1 3 6 ) 注8 上面等式建立了分别利用经典p a l e y w i e n e r 空间p w d * ol 2 职4 ) 中七一重调和 基样条空间在如一尺度下对l ：俾8 ) 中函数最佳逼近这两个极值问题之间的联系。 西华人学硕士学位论文 2 非正规h e r m i t e 型样本定理及s o b o l e v 类上混淆误差阶的估计 2 1 非正规h e r m i t e 型样本定理 绪论1 3 1 节中我们给出了非等距样本空间的m a r c i n k i e w i c z - z y g m u n d 型不等式以及 非正规h e r m i t e 型样本定理，如上定理1 3 1 以及定理1 3 2 非正规h e r m i t e 型样本定 理表明，对于对任意厂b e 叫，1 p 0 0 ，函数都可以由其非正规节点的样本序列值 ，( 九) 、厂( 九) 在，俾) 尺度下完全重构，在重构的插值方式上我们选择比l a g r a n g e 插 值更加优美的h e r m i t e 插值。 这部分在对定理1 3 1 、定理1 3 2 的证明中我们用实分析以及调和分析的方法和手 段，通过引入大量的引理及推论实现了对定理的分析证明。 为证明定理1 3 1 我们首先给出以下引理。 引理2 1 b e r s t e i n 不等式【3 5 l 】如果f e b 2 ，l p ，那么， c 觥d x s 2 肚盯肚c 扩刚d x 下面给出一个与证明定理1 3 1 至关重要的引理。 引理2 2 对于1 p ，如果 九) 满足m - s u p i 九一等l 0 ，那么， 罗( ( 1 厂( 九) i + 三l 厂( 九) i ) 一( i 厂( 竺) l + 三if7 ( 竺) 咿sr p 罗( if ( n 舅r ) l + llf ( 旦) 叭 鼍0 o ro ro r鼍0o ro r 其中丁= b p 彳p k 2 。7 一1 y 【p 严一1 】9 ，p 是任意正常数，r 1 p + l q 一1 。 引理2 2 的证明：由著名的t a l o y 公式，有， 胞h 帅，。薹掣卧 因此 。i 严( 竺) i i 地) i - if ( 酬盯) l s 荟半 2 m 带有限函数在最坏框架下的恢复 一一 吉( if ( & ) i - if ( n s t o ) 1 ) 1 篙翘t 旺2 ， ： 结合式( 2 1 ) 以及( 2 2 ) ，有， ( 1 ，( 九) l + 仃l _ _ lf ( 九) 1 ) 一( if ( r 扰。) l + i 盯ll ( 胍仃) i )0 o ( i 厂( 九) i - if ( 咒石l a ) 1 ) + - 仃- l ( if ( 九) i - | ，似仃) 1 ) u s 专竺竺! 鲨坦= 竺型m 。s x 卫一- 白 七! l 厂隹( ，何仃) l + 吉i 厂忙“( 胍仃) i ( p m ) t ；x ：r _ 一旦斗 爿 p ! ) i ! ) i 噻业型嘉竺坐声噻学，； 【荟二煮矿一r 【荟鼍 r ；【y ( if t k ) ( n x a ) l + 鲁z 百if k m ( n u a ) 1 ) 声 e p r o ) - 1 l ；， = 【荟芬万一r 1 9 根据上面的不等式以及定理1 2 6 的( d ) 、引理2 1 ，有， 驷胞) l + 1 i f7 ( 枷一( if ( n 石仃) i + - 仃ill 似堋， - f it l s 罗专竺竺驾檠竺坐巾f s ；荟焉万一巾伽胛。1 】9 s 薹南。垆) l l “严一彳 s 薹南伽肌峻【e 洲1 詈 s 薹南詈修( 2 。虿1 弓；( 咖) | + - 口i ll 伽吖e t p m ) q - 1 】詈 爱薹c e o u ) 。- 1 声驴c 一) i + 抄叫州 两华大学硕十学位论文 一筹，忙争】【e 伽r - 1 】镩( i ，( 舸m l + 抄m p 辜( i ，( 胍仃) i + 三口i f ( 胍仃) 叭 其中丁- b , a p e 2 。伽广- 1 ，k 州尸- 1 9 ，1 p + l q 一1 ，p 是任意正常数a 引理2 3 得 证。 下面我们证明定理1 3 1 。 定理1 3 1 的证明：由引理2 2 ，有， 罗( ( 1 ，( 九) i + 三i ，7 ( 九) i ) 一( if ( n 石o ) i + 三lf ( n z a ) i ) ) p 乍og r t p 罗( if ( n z o ) i + 三i 厂7 仃) 孵 _ n 因此， ；( i 胞) i + 三口if ( 枷r 引；( 1 厂( ，何仃) l + 吉i ，7 ( 舰仃) i ) p 声+ 玎；( i ，( 舰盯) l + 吉i 厂( 胍盯) 旷】吉 z ( 1 + 丁) 【；( i ，o 万盯) i + 土盯if 7 ( 胍口) 坩 s ( 1 + t ) b p p 石) p1 i ，i i p 同理，我们可证得， 掣m ) 峙i ，( 枷】p 2 ( 1 - 丁) 【罗( i f ( n z l o ) l + 土l 厂( 胍仃) p 鼍0 1 - r ) 4 ) i lf l l p ， 。石 由以上两不等式，就有， c 1 一丁，。i i 厂i i p s ( 吾荟( 1 ，c 九，l + 吾i 厂c 九，i ) p ) 夕p s c 1 + 丁，q “厂i i p ， 带有限函数在最坏框架王的恢复 m ：- s 。u ；p ，l ；k k 万a l l 。g ( a p b p + 1 ) 2 0 ，t b p a p ( e 0 口p ) ，一1 ) 石( e ( 州) _ 一1 ) ， t z 定理1 3 1 得证。 同样为证明定理1 3 2 我们给出以下引理。 引理2 3 【6 】t ：x 一】，是b a n a c h 空间x 到b a n a c h 空间y 的有界线性算子，如果存 在两个正常数m 和e ( o f 1 ) ，使得线性算子r 具有以下性质：对空间y 的单位球上的 任意向量y ，存在向量x e x ，使得l lx l ism 并且0 戥一y l i ，则r 是x 到y 上的满射。 引理2 4 1 1 8 l 令) ，一 y t ) 域，) ，- d ： i 岜，y e l p ，y e l p ，1 主p ，则存在唯一 的g e b ： ，对于在插值点忙石仃) 熘上的序列y 和y ，满足h e r m i t e 插值条件 g ( k u a ) 一y t ，g ( k z a ) 一“，并且， g o ) = 荟1 ( g ( k ：r c r ) 产+ 石g 一( k 七s 万r a 口) ) ) j s i n 2 t y x ， 并且等式右边的级数在尺上绝对一致收敛。 引理2 5 令y z p ，若对任意歹；( y ，y ) e y ，赋予范数 。列i y = ( e ( 1y 。i + 三iy ：i ) p ) p ，那么( y ，y ) 是b a n a c h 空间，并且l | | | y 是】厂上的范数。 引理2 5 的证明：因为 ( 1 )| | 列| y 苫o ，( v 歹e y ) ，i i 列0 ；0 ，当且仅当罗= 0 ； ( 2 )| | i + 列0si l 矧j r + l | 列i y ，( v z y ，巧y ) ； ( 3 ) i i 口到i y - - l ai l l 刘l ，( v a e r ，v - i e y ) ； 故，州i y ) 是b a n a c h 空间，并h i h i y 是y 上的范数，引理2 5 得证。 下面我们给出定理1 3 2 的证明。 定理1 3 2 的证明： 令r ：暖叫呻】，若有厂b 2 叫，贝ut ( f ) 一( 厂( 九) ，f ( 九) ) 。由定理1 3 1 我们可知， 丁是有界的线性影射。令石ic ，c ) y ，且满足i l - l l ys 1 。由引理2 4 ，存在函数，b 2 卵， 使得f ( k z a ) 一c k ，f ( k z a ) 一，又由定理1 2 6 的( d ) ，我们有， 1 1 1三 i i f l i p 毒加a y ( 荟( i 似州i + 吉”取州i ) 勺p 1 三 1 三 。玄叻叫旧i ys 玄叻p 1 6 两华人学硕士学位论文 根据引理2 2 ，并且令p 一( 2 a ) p m p ，可得， i i r f 一- j 0 = 【( i 厂( 丸) 一c ki + 三i 厂( 九) 一i ) p 】p 0 = 【( i 厂魄) 一f 刀o ) l + li 厂( 九) 一厂7 硝口) | ) ，】， tu s 彳，l b 2 州一1 ) 0 列i y s 彳，i n 0 一1 ) ， 因为肘 妞吃+ 1 ) 12 0 ，即以) 。 2 枷- 1 ) 1 ，由引理2 3 ，则丁是x 到y 上的 映射。那么，存在g 垦唧，使得g ( 九) 一凡，g ( 九) 一虻，v k e z 。 下面证明函数g 的唯一性。 我们用反证法证明函数g 的唯一性。如果存在函数j i l g ，h e b 2 ，使得i l l ( 九) ；儿， h ( a k ) = 以，v k e z ，那么因为g ，h e 岛叫，根据定理1 3 1 ，有， l i g 一 i i p ；( i g c 九，一 c 九，i + 吉i g c 九，一 c ，i ) p 】i = 。， 那么则有j l = g ，即存在唯一的占垦哪，使得，g ( ) 一虼以及g ( 丸) = “，七z 。 定理1 3 2 的( 1 ) 得证。 下面证明定理1 3 2 的( 2 ) 。 由定理1 3 1 ，有， 川卜( 珊删+ 扣驯) p 】，( m 眺k ， 以及ge b 唧似) ，那么我们就有佑( ) ) z p ， g ( 九) 】z p 。 定理1 3 2 的( 2 ) 得证。 下面证明定理1 3 2 的( 3 ) 。 令f e b 2 。， 删t 。薹( 器+ 器) 器 易见，对v 七，有 带有限函数在最坏框架下的恢复 瓦硒丽g e ( x ) p ( 鼽 又因为f ( 三b 2 叫，根据定理1 3 1 ， f ( a k ) e p ， ，( 九) ，因此，有，厂o ) 易哪， 1 p 口墨，以及j a c k s o n n i k o l s k i i 不等式，有 i i ，一a l l 9 2 a 坳讪i i f 一，i i p s 幻帅一蜘a n ( 1 1 - t ) ( 仃一7 l ，( 九) i + 吉i ，( 九) i ) ，) p 一。，( - ) 至此，我