（应用数学专业论文）强耦合捕食模型的初边值问题解的全局存在性.pdf

强耦合捕食模型的初边值问题解的全局存在性 研究生t 胡俊导师：王明新教授 东南大学数学系 摘要，本文包括两部分内容 第一部分考虑下面带有齐次n e u m a n n 边界条件的强耦合抛物方程组。 侥一d i v j l = ( 口一b u 一删) 让， ( 霉，力q ( 0 ，o o ) ， a t v - d i v 也= ( m 一赤) 牡n ( o 删， t 五7 = 0 ， ( $ ，t ) a nx ( 0 ，) u ( x ，0 ) = t o ( 。) ，口( ，0 ) = 铷( z ) ，z q ， = v ( d l l u + d 1 2 u 2 + t f ) ，如= v ( d 2 1 t ，+ 如2 ”2 + 锄) ， 其中qcr 4 有界，边界a n 充分光滑借助g a l e r k i n 逼近、熵不等式、二1 ( o ，置x ) 空间 的紧性条件以及o r l i c z 空间的性质，本文证明了这个捕食模型的非负弱解整体存在 第二部分考虑带另一类交错扩散项的捕食模型， a 一d i v j l = ( 8 一阮一c ) n ， 磊”一d i v 如= ( - - 8 + m t ) 口， j ；i 7 = 0 ， 、 u ( 霉，0 ) = = t 0 ( z ) ，口( z ，o ) = t ，o ( z ) ， j l = v ( d l i u + d 1 2 蛾j 2 = v ( d 2 - ”+ 如2 v 2 + 击) ， ( $ ，力n ( 0 ，o o ) ， ( 2 ，t ) q ( 0 ，o o ) ， ( z ，t ) a q ( 0 ，o o ) ， q 其中ncr n 有界，边界鼬充分光滑借助抛物型方程的最大值原理、g r o n w a u 不等式 和线性抛物型方程的正则性理论，本文证明了当空间维数ns4 时，这个模型存在唯一 的非负整体解这一部分的最后指出对于另外几类带有分式响应函数的捕食模型，全局 的非负古典解依然存在 关键词；捕食模型；交错扩散；熵不等式；整体存在性；最大值原理；g r o n w d l 不等 式 g l o b a le x i s t e n c eo fs o l u t i o n st os o m e s t r o n g l yc o u p l e dp r e y p r e d a t o rm o d e l s c a n d i d a t ef o rm a s t e r ：h uj u n s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rw a n gm i n g x i n d e p a r t m e n to fm a t h e m a t i c s ，s o u t h e a s tu m v e r s i t y a b s t r a c t t h i sp a p e rh a si n c l u d e dt w op a r t s i nt h ef i r s tp a r t ，t h ef o l l o w i n gs t r o n g l yc o u p l e dp 壮a b o l i ce q u a t i o n sw i t han u l ln e u m a n n b o u n d a x yc o n d i t i o na x ec o n s i d e r e d ： 巩t 一d i v j l = b 口一d i v 以= ( d h 一c ) 珏， ( m 一南) ( $ ，t ) n ( 0 ，o o ) ( z ，t ) q ( 0 ，o 。) 也- ，y = 0 ，0 ，t ) a n ( o ，0 0 ) ， t ( ，0 ) = t o ( 。) ，口( 2 ，0 ) = t 7 0 ( ) ， 。n ， = v ( d n u + d l $ u 2 + 札t ，) ，如= v ( d 2 w + d 2 2 v 2 + t 坩) ， w h e r eqc 倒i sb o u n d e d ，a n da ni ss u f f i c i e n ts m o o t h b yv i r t u eo fg a l e r k i n 8a p p r o x i m a t e ， e n t r o p yi n e q u a l i t y , t h ec o m p a c t n e s so ft h es p a c e 工1 ( o ，t ；x ) a n dt h ep r o p e r t yo fo r l i c zs p a c e ， t h eg l o b 越e x i s t e n c eo fan o n n e g a t i v ew 础s o l u t i o nt ot h ea b o v em o d e li sp r o v e d r i nt h es e c o n dp a r to ft h i sp a p e r ，t h ef o l l o w i n gs y s t e mi sc o a s i d e r e d ： 仇一d i v t ，l = ( o 一6 t l c ”) ， 最口一d i v j 2 = ( 一s + m 功以 五r 7 = 0 ， t ( z ，0 ) = u o ) ，口( z ，0 ) = t j 0 ( z ) ， d l = v ( d l i l 3 + j ，：也粤；v ( 咖+ d 2 2 v 2 + 毫) ， ( ，t ) qx ( 0 ，o o ) ， ( z ，力n ( 0 ，o o ) ， ( 霉，) 目q ) c ( o ，) ， 霉0 w h e r eqcr ”i sb o u n d e d ，a n d 勰i ss u f 丑c i e n ts m o o t h u s i n gt h em 积i m 衄p r i n c i p l e ，g r o n w a l l s i a e q u a l i t ya n dt h er e g u l a r i t yt h e o 哆o fl i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n ，t h ep r e s e n tp a p e rd r a wa c o n c l u s i o nt h a ti fns4 ，t h i ss y s t e mh a sau n i q u eg l o b a ln o n n e g a t i v es o l u t i o n t h el a s to ft h e p a p e rp o i n t so u tt h a tt h ec o n c l u s i o na l s oh o l d sf o ra n o t h e rp r e y - p r e d a t o rm o d e l sw i t hf r a c t i o n a l r e s p o n s ef u n c t i o n s k e y w o r d s ：p r e y - p r e d a t o rm o d e l ；c r o s s - d i f f u s i o n ；e n t r o p yi n e q u a l i t y ；g l o b a le x i s t e n c eo f s o l u t i o n ；t h em a y a m u l lp r i n c i p l e ；g m n w a l l si n e q u a l i t y r r i n 鼬 ，y 巩 护( q ) i l u l l p 二( q ) j o o d o 一 ”p ( n ) i i t , i i 。，p 日”( q ) w w 护( q ) 王学( 0 ) g ( q ) c ”( n ) c ”( n ) 记号 维实欧式空间，r = r 1 全体非负实数组成的空间 嵌入 r 中带有光滑边界的有界区域 q 的边界 a q 的单位外法向量 = 刍 n 上可测且使得i u i 可积的函数空间( 1 p 0 | | t ( $ ) i g 在q 上几乎处处成立，其中“工”( q ) = 丽等面，口- ( a ) = 萎n 啦 = t id 4 “x 2 ( a ) ，i 口fs m ) = 蜷。l l t , l l p = w - 1 , 2 ( q ) 由在q 内有紧支集且任意光滑的实值函数构成的空间在范数0 m 一下的完备化 = w r 2 ( q ) 在磊上连续的实值函数构成的空阔 在q 上具有m 次连续可微的实值函数构成的空间 在q 上具有m 次连续可微的实值函数构成的空间 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过 的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意 研究生签名。蛰缝日期。2 1 1 z ：f ：! 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学，中国科学技术信息研究所，国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印，缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档的内 容和纸质论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅。可 以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究 生院办理 硝 第一章前言 1 1 问题的背景 在运用数学方法解释现实问题的时候，人们将越来越多的问题归咎于建立偏微分方 程，这是因为偏微分方程能够更加准确地表达模型中各种复杂的影响因素在生物种群 动力学中，影响种群分布的因素除了时间和初始条件，还包括各式各样的环境因素因 此利用偏微分方程( 组) 尤其是反应扩散方程( 组) 研究生物种群动力学已成为生物数学 研究领域中的一个重要的研究方向 1 9 7 9 年，s h i g e s a d a ，k a w a s a k i 和t e r a m o t o 三人在文献【2 l 】中提出了下面的强耦合抛 物型方程组的初边值问题， a “一d l v = ( 口) ， 魂廿一d i v j 2 = ，2 ( t ， ) ， 以一y = o ， ( $ ，t ) q ( 0 ，) ， ( z ，t ) n ( 9 ，o o ) ，； ( 。，2 ) a n ( ( 1 1 1 ) “( 孑，o ) = - o ( z ) ，t ，( ，0 ) = t ，o ( 霉) ，善q ， j 1 = v ( d l l t + d 1 2 “2 + d l t u ) 如= v 池1 口+ d 2 2 口2 - i - d 2 删) ， 其中t 和”代表两个种群的密度分布j ；f ( q t ) 代表相应的种群在区域中的流动t v u 和v 口代表种群的扩散，v u 2 和v ”2 表示种群因为自己种群的压力向密度较小的区域扩 散。这个过程称之为自扩散；v ( u v ) 表示种群因为对方种群的驱赶而向对方种群密度较 小的区域扩散，这个过程称之为交错扩散奶和面( 1 ，j ；1 ，2 ) 代表相应的扩散系数，它 们取成常数表示扩散的强度与区域没有关系 右端项取成不同的形式时，模型就表示不同的现实问题当右端项取成 1 = u ( a l b l u c l v ) ，2 = 口( 0 2 6 2 t 一啦， 模型表示两个种群间存在着竞争关系；当右端项取成 = “ r ( 1 一姜) 一曲】，f 2 = v ( 一s + m “) ， 此时的模型表示两个种群之间存在捕食关系 捕食模型的开创性提出归功于l o t k a 和v o l t e r r a 1 9 2 6 年在研究地中海中鲨鱼数量的 动态变化规律时，v o l t e r r a 首先提出了l o t k a - v o l t e r r a 模型上面给出的右端项就是经典 1 2 东南大学硕士学位论文 的l o t k * v o l t e r r a 模型其中r 表示食物的本性增长能力，k 表示整个系统对环境的承 受能力( 当食物的密度到达嚣时系统饱和，食物的分布就会因为内部竞争而减少) ，8 表 示猎物的死亡率，黜称为响应函数，表示单个猎物在单位时间内( 比如说一天) 捕捉到 食物的个数m 表示转化率，即猎物得到食物后用以繁殖后代的能力因此”w 赳可以 看成猎物的出生率从模型中我们可以看到如果没有食物，猎物就会灭绝，即当t - - 40 0 时，i 0 古典的l o t k a - v o l t e r r a 模型有着天生的不足因为当食物t 很大时。一个猎物在单位 时间内不可能也不需要捕捉到这么多( 叫食物因此用c u l ( k + u ) 来代替咖更为合理， 其中是半饱和常数，这种响应函数被称为h o l l i n g - i i 型响应函数另外，在现实现象中 因为存在群体效应，也就是说当食物的密度很大时，猎物捕捉到食物的几率反而会减少。 所以在这种意义下采用非单调的响应函数c ( 1 + p u 2 ) 更加合理于是就出现了下面各种 形式的右端项； = “i t ( 1 - 昙) 一c t ，】，或者 = 缸 r ( 1 一妻) 一南 ，或者 = “ r ( 1 一专) 一孑 ， 和 ，2 = ”卜s + m 卅，或者丘= ”f _ d + e 煮 ， 或者厶= ”i s ( 1 一# 茜) i ，或者厶= v i a ( 1 一器) 】 背景的详细描述参见文献 2 2 1 1 2 问题的最新进展 近年来，问题( 1 1 1 ) 引起了很多人的注意但是这类问题的困难是显而易见的，这 是因为问题( 1 1 1 ) 有一个强耦合的扩散矩阵 蛳卜d l l + 2 d 1 2 u + d l v d l u 椭。) 伽 因为这个矩阵是非对称的而且当d l 。= d 2 = 0 时还是退化的。所以这种非线性问题很难 处理正因为此，这类问题在提出后的十几年内基本上没有相应的结果 现在这类问题的相关研究主要集中在两个方向一个是研究相应的椭圆型问题非平 凡解的存在性1 9 9 6 年，l o uy u a n 和n iw e i m i n g 在文献【1 4 1 中探究了s h i g e s a d a - k a w a s a k i - t e r a m o t o 竞争模型非平凡解的存在性 2 0 0 4 年，p e t e r y h p a n g 和王明新在文献【1 6 】 中研究了推广的三种群s h i g e s a d a k a w a s a k i - t e r a m o t 0 捕食模型的平衡态问题其它椭圆 型问题的进展参见【1 1 ，1 7 ，2 0 ，1 9 1 第一章前言 另一个方向是研究相应的反应扩散问题的动态性质这个方面的首要工作当推h a m a n n 1 9 9 0 年，h a m a n n 在一系列重要的文献【1 ，2 】中给出了问题( 1 1 1 ) 总存在一个 局部解也就是说当初值条件口o ，如孵( 哟，并且t = 很小时，问题1 1 1 ) 存在一个 古典解此外a m a n n 还给出了这个解的个二择一性质这个性质成为后继研究解的整 体存在性的一个重要依据 关于s h i g e s a d a - k a w a s a k i - t e r a m o t o 模型的研究，已往的工作主要集中在处理相应的 竞争模型1 9 9 8 年，l o uy u a n ，n iw e i m i n g 和w uy a p i n g 在文献【1 3 】中研究了下面的 s h i g e s a d a - k a w a s a k i t e r a m o t o 竞争模型； ia “一z x ( d l u + o t l l u 2 + 口1 2 t ) = u f ( u ， ) ，0 ，t ) o ( 0 ，) ， i 巩臼一z x ( a 2 v + 0 t 2 2 口2 ) = v g ( u ， ) ， ( 蕾，t ) n ( 0 ，o o ) ， ( 1 2 1 ) i 州升= 踟铆= 0 ，) 锄x ( 0 ，o o ) ， l 【t ( $ ，0 ) = t 1 0 ( z ) ， ( z ，0 ) = o ( z ) ， z q 他们证明当空间维数n = 2 ，t 0 ，v 0 w ：( q ) 时，上面的竞争模型( 1 2 1 ) 存在唯一的全局古 典解 2 0 0 3 年，y s c h o i 、r o g e rl l i i 和y o s h i oy a m a d a 在文献【9 】中研究了下面的问题一 l 魂t = d l a ( 1 + n t i ) 川+ a u ( 1 一u 一 ) ，扛，t ) q ( 0 ，o o ) ， l i 磊口= 如口+ 蚰( 1 一d “一) ， 扛，) q ( 0 ，o o ) ， ( 1 2 2 j la u a ，r = 踟升= 0 ， ( z ，t ) a n ( 0 ，o o ) ， i i “( 霉，0 ) = t o ( z ) 0 ，口( 。，o ) = v o ( x ) 0 ，善n 他们证明，存在一个依赖于0 蜘i f 。的常数a + 0 ，使得当a 0 并且n 0 ( 1 ，j = 1 ，2 ) 是 种群的扩散系数o20 是食物的本性增长率m20 是猎物的本性增长率，c20 是猎 物的捕食系数b 0 是食物的l o g i s t i c s 增长系数这些参数取成常数表示它们与环境因 素无关v u 2 和v v 2 表示种群因为自身的压力向自己种群密度较小的区域扩散；v ( u v ) 表示种群因为猎物的驱赶或食物的共同抵御而向对方种群密度较小的区域扩散这两个 扩散过程分别称为自扩散和交错扩散另外6 0 表示一种人为保护边界条件五r 7 = 0 表明两种群生活在一个封闭的环境里，不仅他们不往外迁移，而且也没有外部种群迁入 2 1 主要结果 为了说明我们的结论，我们先在这里给出同题( 2 0 1 ) 弱解的定义 定义2 1 1 函数对( 口) 是问题( 2 0 1 ) 的一个弱解当且仅当对所有的忧三”( 0 ，曩h ( 0 ) ) ，f = 1 ，2 ，t 0 ，q t = n ( o ，t ) 满足 f t ( 魂u ，妒1 ) d t + 二( d 1 1 v u + 2 d 1 2 t 上v t + v ( t 删) ) v p 1 d x d t = 二 ( ”) 妒1 d a d t ， z t a t ”，i p 2 ) m 十五，池- v ”+ 2 屯v 珊+ 审) ) 田忱曲出= 正，2 ( “，。血出， 并且在对偶空间( j r ( 0 ) ) ，上满足( 2 0 1 ) 式的初值条件其中( ，- ) 表示s o b o l e v 空问h ( n ) 和其对偶空间( h 5 ( q ) ) 的对偶积 下面是我们的主要结果 定理2 1 1 设8 = 1 + d 2 ( 2 d + 2 ) ，a q ，1 其中n ，t s 此外。令口，b ，c ，m 0 ，6 0 ，白 0 ( t ，j ；1 ，2 ) ，u 0 ，伽如( q ) 并且在0 中满足u o ，如20 那么问题( 2 0 ，1 ) 存 6 箜三熏一二羞塑煎今擅食模型弱解的全局存在性 在一个弱解( t ，口) 并且满足 廿0 i n q ( o ，o o ) ，侥蛳侥口三k ( o ，o o ；( 耳5 ( q ) ) ) ， u ，口一l 1 4 3 、 n 。，c o ；w 1 , 4 3 ( q ) ) n l 蕊( o ，o o ；l 霍( q ) ) 其中，如( q ) 表示的是由霍( z ) = ( 1 + z ) 1 n ( 1 + z ) 一z ，z 0 产生的o r l c z 空间在文 献【1 2 】中s k n i e s 已经运用o r l i c z 空间来解决抛物型方程了 o r l i c z 空间的定义和性质 可以参见文后的附录一 另外在这里我们还要给出几个引理和命题，这些引理和命题会在后面的证明中用到 命题2 1 1 ( 【3 】) 令 u n 黯lcl ”( q ) 和 ) 怨lcl q ( a ) ，g 1 ，并且 ) 罂l 在 工”( f 2 ) 中有界，当忭- + o 。时，- + 口在n 上几乎处处成立，在l q ( n ) 中有一”那 么在l q ( e ) 中有撕。一啦以 引理2 1 1 ( 引理3 1 ， 4 1 ) 令nc 则是有界区域，驴( n ) ，1sp o o ，并且 t t 1 ) 。0 0 1 在( q ) 中有界，当n - + o o 时在q 上t ，l - + u 几乎处处成立那么对任何g 0 对时间进行分割( o ，t i = u 是l ( 忙一1 ) r 七7 i ，其 中r = 纠耳令h ) 是驴( n ) 的一个稠密子集并且在二2 ( q ) 内积下两两正交，其中 5 = 1 + d 2 ( 2 d + 2 ) 这个稠密子集是存在的例如，我们可以通过下面的方法进行构造 取巧是带有齐次n e u m a n n 边界条件的l a p l a c e 算子的特征函数另外我们再假设”1 = 1 因为边界勰的光滑性，我们可以通过标准的正则化方法不断抬高特征函数的光滑性使 之满足h 。( n ) 又因为l a p l a c e 算子自共轭并且其逆算子还是紧算子，所以锄) 墨l 在 l 2 ( n ) 中稠密，从而也在日。( q ) 中稠密值得注意的是1 一( n ) l 工。( q ) ，一= 2 d + 2 令= s p a n v l ，t 1 2 ， ，b n 则是日( o ) 的一个有限维子空间再令越岍 k “= 1 ，2 ) ，使之满足当n o0 0 时，在l 雪( f 1 ) 空间中e x p w i o 川- - t t 0 ，e x p 谜n j 叶铷 对于给定的w p - l , n ) ， - l , n ) 碥，u ( k l ，1 ) = 唧t i ，p - 1 ，口伪- l ，) = e x p t 毋- 1 神，我们 7 8 壅直盔堂塑主堂笪堡塞 考虑如下的逼近问题； 上( e v 叫+ d 1 1 u ( k n ) v w ；t m + 2 d 1 2 ( t 上佧神) 2 v ) v x l d 。 + z 一m v ( ”p 一+ 毋4 ) v x ，血+ s 上”i 帕x ，出 。_ 1f n ( u c k , ) 一“忙一l ”) ，x - a z + f t c u i k , n ) , v 忙，n ) ，x zd 曩 。， 上( + d 2 1 v ( k n ) v w ( 2 k n ) t 2 护哪j 2 咐一) j v x 2 d 。 + 上神硝审( ”乎4 ) + t 毋一) v 尬血+ s 上”笋巾x ：血 一；上( 渺) - 扩) ) x 2 d x 1 - ff 2 ( u 慨，护h ：血， 其中测试函数x l ，尬k ， o ，h ( 。神= e x p 滞，静婶m ) = e x p 谚柚 下面我们证明一个离散的熵不等式首先，定义如下的熵泛函 ， 刀，n ) = ( u 佧 n ( 1 n u 忙一) 一1 ) + 1 ) d z + 扣( 七 n ( 1 n 移( 七，n ，一i ) + 1 ) 出 j f l ，n 我们将在下面证明这个熵泛函是一致有界，也就是说存在一个与，n ，e 无关的界 引理2 2 1 当7 - 0 固定并且充分小时，对所有的詹= 1 ，凰逼近问题( 2 , 2 1 ) 都 存在一仑弱解0 p 4 ，谬一) 曙，并且满足如下的不等式 砂神+ e r 妾砉上( i v 砂1 2 + ( 掣神) 2 ) 出+ a r 妾正( a ，j l v 以两1 2 + 如i v 石丽1 2 + j v 瓜丽| 2 ) 血砌妻z ( 血：眇小畅眇“，伊+ “骞心如 + 等妾小) ) 2 h 川) 2 + - de + 莲上 d xs 口( ， ( 2 2 2 ) 其中常数e ( j ) 与_ 佗，和f 无关( 但是却与婶间长度t 有关) 证明为了简化下面的计算，我们省略了上指标和饥对于给定的( 西1 ，锄) 咯，面= 呻西z ，o = e x p t z , 2 和口f 0 ，l 】，通过求解下面的方程，我们构造一个映射s ：咯x 【0 1 】+ 咯 上( e v 和，v x - + e ”) ( - ) 血+ 。五【俪- 面+ 掰- 西2 ) 可西+ 豇i v ( 西- + 奶) 】。v x z 如 i 一；上豇一t 忙一1 ”。x l d 正+ 口乓，1 豇 x l d $ ( ：。) 正( c v 忱。v x z + 跚2 x 2 ) 血+ 口厶【( d 2 l 。+ 2 d 2 2 面2 ) v 奶+ 莉v l + 奶) 1 v x 2 血 = 一；上p 一。1 t n ) ) x 。d z + 一上丘( 豇，。) x z 如 第二章 一类强祸合捕食模型弱解的全局存在性 9 因为旬1 ，也，所以v 砚日一( 2 “2 ) ( q ) ql 2 ( n ) “= 1 ，2 ) ，面；e x p 面1 l 。( o ) ，口= e x p , z j 2 l 。( n ) 另外， i l f l ( 豇，啻) l l n 。( n ) ( o + 6 f f 刮f 工( n ) + c f f 哥f f l ( n ) ) f 陋f | l ( 锄f q f l 2 s a l l f 2 ( , 旺，v ) i i l ：( 哪s ( ”t + 6 1 l j 面j j 工( ) 0 哥i i l ( n ) i q l l 2 d 那么运用l a x m i l g r a m 引理，我们得到问题( 2 2 ，3 ) 存在唯一的一个解( w 1 ，忱) 咯利 用这个解，我们定义映射s l ，如，盯) = ( t l j l ，1 l ，2 ) s 是个不动点映射 当a = 0 时，此时问题( 2 2 3 ) 就是标准的带有齐次n e u m a n n 边界条件的齐次椭圆方 程因此利用标准的椭圆方程理论。问题( 2 2 3 ) 只有零解于是对任何( 面1 ，晓) 曙都 有s ( 西1 ，面2 ，0 ) = ( o ，o ) 另外根据标准理论可知s 是连续算子又因为是有限维子空 间，对任何a o i j ，映射联，盯) 都是紧的如果还能找到s “- ，盯) 的一致上界，我们 就能- 5 上运用l e r a y - s c l m u d e r 不动点定理得到问题盯【o ，1 】的解了假设( 埘1 ，耽) 是不 动点并且u = e x p w l ，口= e x p w 2 取x l = 埘1 = l a u 作为问题( 2 2 3 ) 的测试函数，我们有 ；上( u 一“忙_ l 神) l n u 出+ s 上( i v 伽- 1 2 + i 叫- | 2 j 出+ 盯上让i v 伽- 1 2 + 甜t 。胡- 1 2 + 埘，v ( 叫l + t 啦) v t 1 ) d z = 口( 口一b u c t ，) “i n t d z ( 2 2 4 ) ，n 利用初等不等式( 1 n 岳一l n f ) $ 一| ，上式( 2 2 4 ) 的第一项可以作如下放缩； 五“一_ 1 “) i n t 血2 二心l n “一“传- 1 一“忙- 1 神+ t 忙- 1 棚i n t 壮- 1 n 一“扯_ l 神1 n “) 如 ( u l a u t 冲一1 8 ) l n u 耻一1 ，帕+ u 伪一1 ，”) 一缸) d z = ( t ( k “一1 ) + 1 ) d 。一( 锚忙一1 一( 1 n 钍廿一1 神一1 ) + 1 ) d x 。 ( 2 2 5 ) 再利用不等式z h z 2 。一1 和。sz 汹卫一1 ) + a 我们有 z e 口一k c t ，”，n 咖z h 础一i nb u 2 n u 血一上c t ，c u 一，血 = 点。( “【1 n u 一1 ) + 1 ) 血一b c u 2 i n 护+ 1 ) 如一上”血 + c 上”出+ 。上咖+ 字i q i 2 n 上“( 1 n u - 1 ) + 1 ) 出+ c 上( ”( 1 n ”一1 ) + 1 ) 血 一；上( 铲h 2 + ) 出一上伽血+ d ( z 卫6 ) 取测试函数尬= t i ，2 = l n 口，我们有 ；上扣- l 神) l n ”血+ e 上( i v u z l 2 + i 。| 2 ) 血+ a 上( 如”i v 忱p + 2 d 2 删2 i v 她1 2 栅v ( ”z + 忱) v 铆) 如= a 上( m 一若去) ”l n ”如 ( 2 2 7 ) 1 0 东南大学硕士学位论文 和上面一样利用一系列初等的对效不等式。我们得到 l ( v - - v ( k - l n ) ) l n 。血上扣( i n v - - 1 ) + 1 ) 如一上( 一l 川( 1 n 一l 神一1 ) + 1 ) 如， 上( m 一若与) ”k ”如= m 上u h v 如一上而v 2 h z v 血 s 2 m 上扣( i n v - 1 ) + 1 ) d z 一五器t k + g ( ( 2 2 8 ) 把( 2 2 4 ) 一( 2 2 8 ) 式联合起来，我们得到 ；( e ( 女神一e ( 扣l 神) + e 娄上( f v 弛f 2 + 砰) 出+ 如上( 札f v 缸f 2 + d 2 t f v 铜2 + i v 同2 ) 出 + 2 盯上( d 1 2 i v t 1 2 + 锄i v 印) d $ + 鲁上( 铲n 铲+ ) 血+ c c r 上删血+ ；上等血 sa c e ( 七一) + 口g ( 占) ， 因为打st ，通过和用离散g r o n w a u 不等式，我们知道对于充分小的r ( 】衣a = 1 ) 上式蕴 含了( 2 2 2 ) 式。估计式( 2 2 2 ) 给出了w 1 和耽的一个日1 ( q ) 估计，从而引理成立口 2 3 弱解的全局存在性 考虑到对弱解的影响。我们将闫题( 2 2 1 ) 的解( ”步，t 毋，“) 改写成( ”，”) ，毋一) ， 并且将上述的一系列解用分段函数表示如下， 7 ( 弘t ) = t | i ，“# ( ) ，扛，) n ( 佧一1 ) n 卅， “ r ) = e x p t t ， r ) ，t ，= e x p t ，轨= o ( o ，t ) ， f ( t ( ) ：厂( t ( r ( 1 n “( t ) 一1 ) + d d z + ( ”p ) ( 1 n v ( r ) 1 ) + 1 ) 血， j r j f l 西“( ，t ) = ；“毛n ) 一t 忙一l 神) ，巧u ( ，t ) = 7 1 ( 封( ，帕一f 似一i l ) ， t ( 啤一1 ) l 七一 从而估计( 2 2 2 ) 可以改写成如下 e c r ，+ t z 。( 如l v ：万1 2 + 如，j v 而_ | 2 + j v “丽1 2 ) 血出+ c 石。v 呻血a t 托1 声i = l ，q t ( i v w ! r ) 1 2 + ( 趔7 ) ) 2 ) 血出十z 。( d x 2 l v u ( ，_ ) 1 2 + d 船i v ) 1 2 ) 如出 + ；。( ( u p ，) 2 n ( u c f ，) 2 + ) d z d t + ；五。垒尘兰；：； i 兰：竺二兰d z d t 0 ，那么当( e ，r ) - + 0 ，t 1 时，都存在函数“和t ，使得下面的 极限成立( 为了书写方便且不影响结果，我们仍用原序列表示子序列) u ( 7 ， “。 臼7 jop v u ( r ) = u ( 7 ) v 叫，一v u ，v v ( 7 ) = 口( 7 v 谚一v 口 ( t ( r ) 2 一舻，o r ) q ( r ) v ，) + 谚) 一v ( 删) ( r ) ”( f ) 。删 v ( 州一毗v ( ) 。一v 以端一未 v 7 ，一0 ，e 越7 ，一0 刃u ( 7 ) 一a “，西 ( 7 ) 一a 伽l 1 ( o ，正胪( q ) ) ， i nl 4 3 ( q r ) ， 饥( q t ) ， i nl i + 1 1 4 ( q ) ， 讯( q r ) ， n 工2 ( q r ) ，i = 1 ，2 ， 讥l 1 ( 0 ，t ；( 日。( n ) ) ) ， ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) ( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ) ( 2 3 7 ) ( 2 3 8 ) 其中1 s 口 4 3 ，r = ( 2 d + 2 ) ( 2 d + 1 ) 证明利用初等不等式扛+ 1 ) l n 扛+ 1 ) 一z 2 z ( 1 n z 一1 ) + 口和善s z ( 1 n z 一1 ) + a 并且根据估计式( 2 , 3 1 ) 我们有 0 “( 7 ) 1 1 厶，( o ) s2 e ( r ) + c s b 0 t ( 7 ) l l vc n ) se ( 7 ) + g a 0 瓜丽。删( n ) ) s g i i ( 7 ) 0 l ，( n ) 2 e ( 7 ) + gs g 1 i v e 7 ) il l ( n ) 5e ( 7 ) + g a 8 瓜而删。( n ) ) s g 令p ；2 + 2 d ，0 = 2 d 0 一1 ) 【( d + 2 ) p j ( 因此印= 2 ) 利用g a g l i a r d o - n i r e n b e r g 不等式我们 得到 | i 佰丽l l l ( q t ) - c l i 瓜丽雠删钟，l 瓜丽删m ，s a ( 2 s 9 ) 当r = ( 2 d + 2 ) ( 2 d4 - 1 ) 时，我们有 o v ( u ( r ) v ( r ) l ，( 。，；= 2 0 ：而v 、7 ：i 丽9 l c 。+ ：) 。+ 。) 。，) z l | 瓜丽k 小面丽岐口，) d ( z 3 1 0 ) 从估计式( 2 3 1 ) 可以得到i i v u ( r ) i i 胪( 钉) ，l l v ( r ) l l n 。( 口，) g ，那么由s o b o l e v 嵌入不等式 我们得到i i , t c 7 ) l l 护( o r ) ，i i v ( 7 ) i l l 。( 钉) c 于是， 刚7 b ，3 ( = 2 l l 历、丽 利7 ( 训v 历a i l v v c 7 ) 1 1 p 3 ( 口t ) a ( 2 3 1 1 ) ( 2 3 1 2 ) 东南大学硕士学位论文 同理，有 i l v u c 7 ) i l l r ( 口r ) ，v ( 7 ) i l l r ( 口t ) ，| l v ( “( 7 ) ) 2 i i l ，( 。r ) ，l i v ( 勘( 7 ) ) 2 i i l ，( 。t ) a 另一方面，对右端项来说，有 i t u ( 7 ( 口一b u o ) 一c , , c 1 ) l l z l ( 口r ) l | t p ) il l ( q r ) ( a l q t l l 2 + b l l v ( 7 ) 口( 口r ) + c 0 口( r 0 胪( 口t ) ) sq 护，( s 一篇) 1 1 纠州7 ，u l 2 ( q t ) ( s 删2 + l i 鼎岐) 钉p ) i l l z ( 口r ) ( s i q t l l 2 + d 一1 i i p 一) i i l 2 ( q r ) ) g 令晶：( q ) + k 因为p ( n ) l w l , r ( n ) ，所以对任何妒= 细，妒伊( q ) ，口三* ( o ，”， 都有 i ，西“( 丁) 妒血m l = i 石，西u ( 下) ( r 毋) ”如出i i ( v ( d l l “( 7 ) + d 1 2 ( u ( 7 ) 2 + t ( 7 ) 掣( 7 ) v ( 乓妒) ) 吁d 卫d t i ， j 口t + i 五，。7 ) ( 口一阮一一力) r 伽曲m i sjj v ( d u u ( 7 ) + d 1 2 ( u ( 7 ) ) 2 + u ( 7 ) 口( 7 ) ) i l l r ( 口r ) l l v 妒l l 工一( n ) 0 玎0 l 一( 0 。d + l l u ( 7 ) ( d b u ( 7 ) 一c 口p ) ) l k , c q r ) j l lj l 。c n ) l l n l l l * fo 即 s c u 4 , j t w l ，一( 疗) j | 叩工芦f 。，砷sc | | 妒j j 五c o ，t ；h f n ) ) ， 其中，= 2 d + 2 由稠密性，我们得到上式对任何妒l 。( o ，叠h 5 ( q ) ) 都成立这就表明 l l o f u ( 7 ) i l l - ( o 疋( 日( n ) ) ，) d ( 2 3 1 3 ) 类似地，我们有 0 西v ( 7 ) ( o ，t ；( 日。( n ) y ) g ( 2 , 3 1 4 ) 综合( 2 3 1 1 ) 一( 2 3 1 4 ) 式，再利用a u b i n 引理( 3 c 献【8 】中定理5 ) ，我们得到( 2 3 2 ) 式 由此，存在 t ( ”，口( 7 ) ) 的子列( 仍记作 u ( ”，f ( 下) ) ) ，使得 当( ，订时( 0 ，o ) ，l _ + b 虫“_ ， _ 籼已i n q t 因为( 丽) 和 以而) 在l 4 ( q t ) - - 致w 9 ，那么引理2 1 1 表明对任何口 4 都有 以两- + 矗石两_ + 西i n l q ( q r ) 由于 v 佰r ) 和 v 历r 在胪( q t ) 中一致有界，我们得到 v “万。v 矗v 而石一v 而i n 工2 ( q r ) 箜三量二差堡塑全煎金送型堑堡塑全墨查垄丝 1 3 于是， v u ( f ) = 2 历v 历一2 以v 以= v u ，v v ( r ) j 乳i n l q ( q t ) ，1 口 4 3 ( 2 3 1 5 ) 又因为( 2 3 1 1 ) 式和( 2 3 1 2 ) 式，所以上面的弱收敛( 2 3 1 5 ) 式对口= 4 3 也成立由此， ( 2 3 3 ) 式成立 因为f l “丽i | 州口，) 一致有界并且“( r _ + u ( r ) + ”& e i n 钉，所以利用引理 2 1 1 我们得到 t ( r ) 口( r ) 一删i nl l + l d ( n ) ，以两而_ + 何i nl q ( q t ) ，q p ( 2 3 5 ) 式成立， 由估计式( 2 3 ，1 ) 我们有j j v ( v 趟7 ) i b ( 珊) e ， ( 州7 ) 8 舻( 钉) c ， = 1 ，2 因 此。 当_ + o 时，v 以7 ) 一0 ，e 1 7 ) 一0i n l 2 ( ( 扣) 于是，( 2 3 7 ) 式成立 因为j i v “了；河两( 劬) 有界并且 钍( 7 ) 和 ( 7 ) ) 几乎处处收敛，我们得到 v 以瓦而一v 俪i nl 2 ( q t ) 。 于是。 u o j v ( r ) v ( 埘( r + t 毋) = v 似( 7 ) u ( r ) v 口) i nl q (