（应用数学专业论文）广义超弹性杆方程解的研究.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 本文主要研究广义超弹性杆方程c a u c h y 问题解的局部存在性、 解的爆破，以及初边值问题解的性质等，全文分为三部分。 第一部分介绍背景、现状及本文主要结果的概述。 第二部分研究广义超弹性杆方程的c a u c h y 问题，应用k a t o 关于 拟线性发展方程的理论结合先验估计讨论解的局部存在性，解在有限 时间内爆破及其爆破率的精确估计。 第三部分研究广义超弹性杆方程的初边值问题，讨论方程整体解 的存在性，解的日1 整体指数稳定性估计及日2 整体渐进稳定性估计。 关键词：广义超弹性杆方程；初边值问题；整体解；爆破；整体指数 稳定性；整体渐进稳定性 江苏大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w es t u d yt h ec a u c h yp r o b l e mo ft h ee x i s t e n c eo ft h e l o c a ls o l u t i o n ，t h eb l o w u po fs o l u t i o nf o r t h eg e n e r a l i z e dh y p e r e l a s t i c r o d e q u a t i o n , a n dt h e c h a r a c t e r so fi t ss o l u t i o nt oi n i t i a lb o u n d a r y p r o b l e m ，t h e r ea r et h r e es e c t i o n si nt h i sp a p e r ： t h ef i r s ts e c t i o n ，w ew i l li n t r o d u c et h eb a c k g r o u n da n da c t u a l i t ya n d s u m m e r i z et h em a i nr e s u l t s t h es e c o n ds e c t i o n ，w ec o n s i d e rt h ec a u c h yp r o b l e mo ft h eg e n e r a l i z e dh y p e r e l a s t i c - r o de q u a t i o n ，w i mk a t o sm e t h o df o ra b s t r a c tq u a s i l i n e a te v o l u t i o ne q u a t i o n sa n dap r i o re s t i m a t e s ，w eg e tt h ee x i s t e n c eo f t h e l o c a ls o l u t i o n ，t h eb l o w u po fs o l u t i o na n di t se x a c tb l o w - u pr a t e f i n a l l y , w ec o n s i d e rt h ei n i t i a lb o u n d a r yp r o b l e mo ft h eg e n e r a l m e d h y p e r e l a s t i c r o de q u a t i o n , t h ee x i s t e n c eo fg l o b a ls o l u t i o n ，h1 g l o b a l e x p o n e n t i a ls t a b i l i t ya n dh2 - g l o b a la s y m p t o t i cs t a b i l i t ya t eo b t a i n e di n t h i ss e c t i o n k e yw o r d s ：t h eg e n e r a l i z e dh y p e r e l a s t i c - r o de q u a t i o n ；t h ei n i t i a lb o u n d - - a r yp r o b l e m ；g l o b a ls o l u t i o n ；b l o w - u p ；g l o b a le x p o n e n t i a l s t a b i l i t y ；g l o b a la s y m p t o t i cs t a b i l i t y 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部 内容或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 书。本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权 不保密团。 学位论文作者签名：声镀 硎8 年i z 月( 7e t 搏了弋日 名所， 签 月 青p - = y f 捌 钭 导p 乜日 椭他 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外，本论 文不包含任何其他个人或集体己经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：声瓠 蒯年，2 月7 7 日 江苏大学硕士学位论文 第一章绪论 随着对偏微分方程研究的深入，偏微分方程在理论上取得了巨大的成就，并 用于解决许多实际生活中的问题。尤其在力学、量子力学、连续介质力学、电磁 理论等方面的基本规律，也都被写成偏微分方程的形式，并用偏微分方程的理论 给出了这些物理系统研究的新成果，极大地推动了偏微分方程理论的发展。近些 年来，人们将偏微分方程应用于化学、生物学、经济学以及社会学等学科领域， 涌现出许多偏微分方程的新类型。其中，非线性发展方程、无穷维动力系统和非 线性随机偏微分方程成为当今非线性偏微分方程研究的重要领域。 偏微分方程中所研究的数学模型源自物理学、化学、生物学和金融学等，这 些数学模型具有较强实际背景，高度非线性，在理论研究和实际应用方面具有重 要的意义。这些数学模型中，我们所关注的状态变量随时间变化表现出的规律往 往可以表示为关于状态变量的微分方程，这些方程既可以是线性的，也可以是非 线性的。实际问题遇到的偏微分方程大多是非线性的，线性方程只是非线性方程 的某种近似。线性方程较容易求解，并且具有一些良好的特征( 如叠加性) ，然而 非线性方程一般难以求出显式解，数学家们转而去求证解的存在性，寻找解的一 些特征。因此，对非线性方程的研究已成为新问题的源头，极大地激励了偏微分 方程及其它学科领域的新研究方法的产生，成为了现代数学理论和应用研究最活 跃的领域之一。近百年来，数学物理学家、力学家们利用动量守恒定律、质量 守恒定律和变分原理建立了许多流体运动的数学物理模型，在这些模型中，大多 数都是用非线性发展方程进行表示的，其中经典的就有n a v i e r - s t o k e s 方程。将 n a v i e r - s t o k e s 方程用各种数学方法进行渐进展开，获得了不同的流体运动方程， 特别是浅水波方程，如k d v 方程、b u 增e 璐方程、b b m 方程等。 在诸多非线性发展方程的研究中，描述孤波现象的方程的研究成为一个重 要方面，由于孤立子解( 包括尖峰孤立子) ，h a m i l t o n 结构，碎波解( b l o w - u p ， b r e a k d o w n ) 等特性，使得k d v 、c h 、d p 、d g h 等孤立色散波方程构成了非线 性发展方程研究的重要内容。与这些有限小振幅且长波长的方程类似，在超弹 性杆研究中也可以获得相似的超弹性杆方程。这些方程作为物理工程等技术领 江苏大学硕士学位论文 域上的数学模型都具有普遍而重要的意义，引起了研究者的极大兴趣。 1 1k d v 方程和c h 方程 孤立子理论切是非线性科学的一个重要方面，它是通过研究一类自然现象， 例如江河中的某类水波，光纤中的光信号传播，太空中涡旋星系的密度波，弹性 杆中纵向色散波等等而获得的。孤立子理论在数学上的研究首先始于k d v 方程， 1 8 9 5 年，k o r t e w e g 和d ev r i e s 在研究浅水波运动时，引入了描述具有小振幅色 散的浅水波运动经典模型一k d v 方程 u f + 6 u u ，+ h 。= 0 t 0 x r ( 1 1 1 ) 其中“o ，t ) 表示波的高度( 相对于平底) 。该方程与我们所熟悉的线性方程不同， 具有一些有趣的性质如：存在孤立子解，无穷多个守恒律，双h a m i l t o n 结构， 可用逆散射方法求解等。由此引起了非线性完全可积方程研究的热潮。k d v 方 程的孤立解是光滑的，而c a m a s s a 和h o l m 喀1 在研究浅水波运动时发现了另一类 完全可积系统的孤立子解是不光滑的，具有一阶导数间断，又一次引起了人们的 极大兴趣。同时浅水波运动出现了间断现象( 波的间断现象是指在波的运动过程 中，波保持有界，而其斜率在有限时间内变成无界) ，而水波的间断现象是水波 理论研究者长期感兴趣的问题之一。于是，w h i t h a m 提出了一个相对简单的模型 u f + 比口：+ ik o ( x o h ，x o d f = 0 t 0 x r ( 1 1 2 ) i - 0 0 其中奇异核 = 去e ( 等) ；萨彬 来描述波的间断现象，但数值计算结果表明：方程( 1 1 2 ) 无孤立子解。 1 9 9 3 年，c a m a s s a 和h o l m 1 用物理方法导出了标准的c a m a s s a h o l m 方程 ( 简称c h 方程) f 一以稿f + ：比，+ k u ，= 2 u ：“。+ “比。；( 1 1 3 ) 其中k 是一个与临界浅水波速度有关的常数。 对任意k 0 ，方程( 1 1 3 ) 具有双 h a m i l t o n 结构，也具有无穷个守恒定律。当七= 0 ，即得到通常的c - h 方程 u f u x x t + 3 u u ，= 2 u 。u 。+ 删珊( 1 1 4 ) 2 江苏大学硕士学位论文 方程( 1 1 4 ) 是完全可积的非线性偏微分方程，并且是非线性色散波( 具有色 散项删一) ，具有双h a m i l t o n 形式，这种双h a m i l t o n 性质可用于将该方程改写 成线性拟谱问题的相容性条件，使得初边值问题可用逆散射方法求解。对不可压 缩e u l e r 方程的h a m i l t o n 系统渐进展开，保留其高阶项也可以得到方程( 1 1 4 ) ， 去掉高阶项则得到b b m 方程或相同阶下的k d v 方程。因此，c h 方程较b b m 方程和k d v 方程保留了更多的运动信息，能更好地描述水波运动特征。 c a m a s s a 和h o l m 不仅导出了方程( 1 1 4 ) ，而且发现了方程( 1 1 4 ) 的带尖点 的孤立子解“= c e i 卜训，c 为任意常数。该函数在x = c t 时不可导，故理解为日1 意义下的弱解，且是整体解。这个解可用于描述水波的不光滑现象。 由于c h 方程具有上述重要的特殊性质，使得它成为浅水波理论研究的重 要对象之一，关于其解的各种性质已有许多好的工作：1 9 9 8 年，c o n s t a i n t i n 研 究了c h 方程周期整体解的存在性，谱与逆谱问题，用几何方法( 测地线思想) 描述了长期波与间断波的存在性哼d 劲；c o n s t a n t i n 和e s c h e r 研究了c - h 方程 c a u c h y 问题整体解的存在性及解的b l o w u p 性质、解的适定性、弱解的存在性 等n 3 。1 7 3 ；2 0 0 0 年，张平等在不同的条件下，证明了c - h 方程弱解的存在性n 8 3 ； 2 0 0 2 年，刘正荣等研究了一类推广的c h 方程带尖点的孤波解的存在性n 9 鳓； 高洪俊等用不动点定理证明了c - h 方程初边值问题局部解的存在性；f o i a s 和 h o l m 等则把c - h 方程推广到三维，证明了整体吸引子的存在性以及粘性系数趋 于零时，其解趋近于n a v i e r - s t o k e s 方程的解，s t r a u s s 等讨论了其孤立子的稳定 性以1 ；近些年来，田立新、丁丹平等研究了带耗散项c h 方程解的存在性、解 的爆破及解的全局存在性陇1 ；田立新、宋秀迎研究了广义c h 方程及广义弱耗 散c h 方程，并得到了一类新的尖峰孤立子解；殷朝阳研究了广义c h 方程的 c a u c h y 问题，得到了光滑解及爆破解的结果1 。 一些与c - h 方程性质相类似的方程被人们称为c h 族方程。其中包括 c h 方程、d p 类方程、超弹性杆方程等弭。彤1 。由于c h 族方程在诸如超弹性 材料力学等应用科学邻域中有广泛的应用，c h 族方程成为目前国内外数学物 理学界所关注的一大热点。因此讨论c h 族方程相关性质，在准确合理解释自 然现象、确定物理材料属性等方面具有极大的应用价值。 3 江苏大学硕士学位论文 1 2 超弹性杆波动方程和广义超弹性杆方程 1 9 9 8 年，d a ih u i h u i 对普通超弹性可压缩材料得出有限波长有限振幅的一 个新的超弹性杆波动方程 ，f + 0 - v v f + 0 - 2 v 嚣f + 0 - 3 ( 2 v f v 嚣+ w 搿) = 0 ( 1 2 1 ) 其中， ，( 善，f ) 表示对预应态的径向伸缩。吼0 ，仃： 0 ，0 3 - 0 是由材料杆的 预应力系数确定的常数。 令f ：3 4 - - 0 2f ，孝：- - 压2 x ，则方程( 1 2 1 ) 可改写为 0 - , h f h 埘+ 3 u u ，= r ( 2 u ，“嚣+ “。) 厂= 旦 ( 1 2 2 ) 0 1 0 2 对于方程( 1 2 2 ) 的研究已有很多结剁2 4 1 ，如c a u c h y 问题整体解的存在性， 周期边值问题整体解的存在性，解的适定性，解的b l o w u p ，弱解的存在性等。 d a ih u i h u i 研究了方程( 1 2 2 ) 在y 0 ，0 o ，使得 v = v ( ，v o ) c ( 【0 ，乃；h 1 ) n c l ( 0 ，t ) ；l 2 ) 且v o 哼1 ，( - ，v 0 ) 是日1 到c ( 【0 ，r ) ；日1 ) n c l ( 【0 ，丁) ；r ) 的连续映射。 设l i o 日3 僻) ，则存在有限时间r 0 ，方程( 1 4 1 ) ( 1 4 2 ) 的解”满足 u = h ( “o ) c ( 【0 ，丁) ；日3 ) nc 1 ( 【0 ，z ) ；日2 ) 并且方程的解对初始值是连续的，即映射 u o _ “( 。，“o ) 是日3 到c ( 【0 ，z ) ；h 3 ) n c l ( 【o ，丁) ；日2 ) 的连续映射。 ( 2 ) 解在有限时间内的爆破 7 江苏大学硕士学位论文 对c a u c h yi h - j 题( 1 4 1 ) 一( 1 4 2 ) ，u o ( 固，则有如下结论 若 ( 斗1 - x 2 + l l “。 l k - v ( g ) 1 。，d o = c a x u o ( 力 0 ( 1 4 1 0 ) ( b ) u t 满足日2 整体渐进稳定性估计 m - ，f ) 略f 啦。峙) p t o ( 1 4 1 1 ) 这里f ( ) 是在【0 ，佃) 上的连续函数。 9 江苏大学硕士学位论文 第二章广义超弹性杆方程解的爆破 1 9 9 3 年，c a m a s s a 和h o l m 发现了具有双h a m i l t o n 结构和尖峰孤立子的 色散浅水波方程，即c h 方程。自1 9 9 8 年，a c o n s t a n t i n 得到c h 方程解的 具体精确结果之后，关于c h 方程的研究迅速形成一个内容丰富、应用广泛的 研究领域。至今对c h 方程的研究已获得了许多很好的结果，如c h 方程的 完全可积性，双h a m i l t o n 结构，尖峰孤立子的存在性及其刻画，解的爆破等。 与此同时，一些与c h 方程相类似的方程，如广义超弹性杆方程、d p 方程等 也获得了许多成果，人们通常将这些方程称为c h 族方程。 d a ih u i h u i 关于普通超弹性可压缩材料提出了超弹性杆波动方程，并讨论 了行波解的分类。在此基础上，c o c l t e ，h o l d e n ，k a r l s e n 等将d a i 的方程推广 到一般形式，即广义超弹性杆波动方程 1 嘞一秘积+ 去g7 弦，= r ( 2 u ，“。+ 掰“。) ( 2 0 1 ) 二 当y = 0 ，g ( u ) = 2 k u 2 ，方程( 2 0 1 ) 即为b b m 方程 一m 删+ k ( u2 ) ，= 0( 2 0 2 ) 当y = l ，g ( u ) = 3 u 2 时方程( 2 0 1 ) 即为c - h 方程 当y = l ，g ( u ) = p + 1 ) “2 时方程( 2 0 1 ) 即为d - p 方程 “r 一“删+ p + 1 ) u u ，= 2 u ，“曩+ “h 。( 2 0 3 ) 本章研究y = l 时的广义超弹性杆方程 u t u x t t + g ( h ) 叱= 2 u x u = + ( 2 0 4 ) 讨论其解的存在性、解的爆破条件及精确爆破率。 ! 按( 1 3 。1 ) 定义的算子q = ( 一) ：，作用于方程( 2 0 4 ) ，表示成如下形式 珥+ a x ：q - 2 ( 眠一甙甜h 一) 初始值 = p 事( u u ，一g ( u ) u ，一材，u 。) 甜( o ，x ) = u o ( x ) u oe i - p ( r ) 1 0 ( 2 0 5 ) ( 2 0 6 ) 江苏大学硕士学位论文 2 1 解的局部存在性 首先将文中有着重要作用的k a t o 定理l 7 8 - 凹 重述如下 对抽象的发展方程的初值f , - j 题 等州咖= f ( o 川 ( 2 1 1 ) “0 ) = v o ( 2 1 2 ) 设x 和y 为h i l b e r t 空间，y 连续地嵌a 至u x 中，s ：y x 是一个拓扑同 胚。 设y o ，当川i ，y ，i i z u ，y 时 ( i ) a ( y ) el r ，x ) ，对，z ，w e y ，有 i i ( 么( 少) 一么( z ) ) w 0 工j - 鳓i l y z o x8 w 0 ， 且彳( y ) 是拟m 增长算子1 。 s a ( y ) s 一= 4 ( y ) + b ( y ) ，其中b ( y ) ( x ) 在y 的有界集上一致有界，且对 y , ze y 。w ex 奄 炉( 少) 一b ( z ) ) 吨- u i l y z | i y | | 叱 ( 哟厂：y y 可以延拓到x x ，厂在y 的有界集上一致有界。 对y ，z e y ，有 i i f ( y ) 一厂( z ) | i r o ，使得 v = v ( ，v o ) c ( 【o ，丁) ；日1 ) 厂、c 1 ( 【0 ，丁) ；r ) 且1 i d 斗v ( ，v o ) 是h 1 到c ( 【o ，丁) ；日1 ) n c l ( 【o ，丁) ；r ) 的连续映射。 证明 a c o n s t a n t i n 和j e s c h e r n 3 1 证明了厂( v ) = 2 v ( q v ) ，也即 g ( u ) = 3 u 时的情形，在他们的工作中证明了算子a ( d 满足k a t o 定理的条件，因 此我们仅需证明 f ( v ) = - 2 v ( q - 2 v ) ，+ ( 3 矿，一g ( q - 2 v ) x q - 2 v ) ， 满足局部l i p s c h i t z 条件。 因为，= q 2 u ，则有 胪v i 巳驯i iv n ：。- 1 m ，和胪v i i ：r 2 - i i v 嘭 任取y , z p 江苏大学硕士学位论文 3 q 2 y ( q ) ，) ，一3 q - 2 z ( q - 2 力， 于是有 之y ( q 2 ) ，) ，一- 2 y ( q 2 力，+3 q _ 2 y ( q _ 2 力，一3 q - 2 z ( q _ 2 z ) ， 3 q - 2 y ( q 2 ( ) ，一z ”，+ 3 q _ 2 ( ) ，一z x q - 2 z ) ， 3 q 2 y ( q - 2 y ) ，一3 q - 2 z ( q - 2 z ) ，眨 3 炉y l l ：l ( q - 2 ( y 一圳b 3 i i q ( 少一耀i i ( 矿圳： 3 1 1 y l l ；i l y - z 眨+ 3 1 1 z 纠y z 忆2 同理可得 | l g ( q _ 2 y x q - 2 y ) ，_ g ( q - 2 z x q - 2 z ) ，眨 i g ( q 。2 y ) 幢i l y z 眨+ g ( q - ：y ) 一g ( q 。2 耀1 1 = 睡 0 y 0 i l y z 0 + 易i i = 1 1 ；i l y - z 0 ，( y ) 一( z ) = 2 ) ，( q 。2 y ) ；+ 2 z ( q 。2 力，+ 于是有 即 。2 y ( q 之) ，) ，一 十g ( q - 2 z x q - 2 力，- g ( q - 2 y x q - 2 ) ，) ， i i f ( y ) 一f l l ； s q 。2 z ( q 力， - o 。 由k a t o 定理，直接可得定理2 1 1 的结论。 定理2 1 2 设h 3 僻) ，则存在有限时间t 0 ，方程( 2 0 5 ) ( 2 0 6 ) 的解“满 足 u = “( ，“o ) c ( 【0 ，丁) ；h 3 ) n c l ( 【0 ，z ) ；h 2 ) 并且方程的解对初始值是连续的，即映射 1 1 0 一口( ，比o ) 是日3 到c ( 【0 ，丁) ；日3 ) n c l ( 【o ，丁) ；h 2 ) 的连续映射。 证明 由1 ，= q 2 u ，得比= q - 2 y ，代入( 2 1 5 ) ，( 2 1 6 ) 得 a ( u ) = u o ， f ( u ) = 一2 心+ 一g ( u ) ) u x ， 设y = h 3 ，x = 日2 ，显然，q - 2 由h 3 到日2 上是同构的。为证明定理2 1 2 ，我 们仅需验证彳 ) = u o 。和厂( 甜) = _ 2 雌+ ( 锄一g ) ) 吃满足k a t o 定理，直接根据 定理2 1 1 可得。 2 2 基本引理 为了得到广义超弹性杆方程解的爆破条件，我们对( 2 2 1 ) 中各项卷积以及有 界泛函g ( “) 的最大变分作估算。 首先我们来计算p 宰( u u ，一g ( u ) u x 一蚝) ；。 p * ( u u x g 弘- - l i x u 。) ，= p 幸( + 暇一g x ( u ) u ；一g ) l 。一一心弘。) p 幸2 = p ( x y ) u ；a y = 上p o y ) u u 1 4 江苏大学硕士学位论文 = 工m 队。一y ) d u 一王r p ( x y ) u a u ， p * u u 。= p ( x y ) u u 州a y = p ( x y ) u d u y p 幸l 乞2 = p ( x y ) 砖a y = 工p ( 石一y ) u d u ， = 上以( x y ) u y d u y 一上p ( 工一y ) 略d b p 毒酲。扯。= p ( x y ) l l ，h 岬d ) 7 = k p ( x y ) u ，d u 搿 p 幸g ( “) “。= p ( x y ) g ( u ) u ，y d y = p ( x y ) g ( “) 矗b = f ：x 。t 0 , 7 3 因此杖口，f ) 是尺到尺上的一一映射。 引理2 2 2 设g ( 甜) = rg ( j ) 凼是有界泛涵，记其最大变分为 y ( g ) = s u p g ( u ) 一巡g ) x e r x e r 则有 ( 0 ) y ( g ) 只。g ( ”) z 一( o ) y ( g ) p ：( 0 y ( g ) p g ( m ) “。一p ：( 0 少( g ) 证明 见宰g ( u ) u ，= a 一y ) g ( u ) u y d y = 艮 一y ) g ( u ) d y 群，细 2 l p 。o y ) g ( u ) d y - i - 上p 。o y ) g ( u ) d y 一反( 0 ) 砒g ( u ) + p ：( 0 ) s u p g ( u ) “ = p ：( o ) 矿( g ) 另一方面 见宰g 溅= 上a o y ) g ( u ) u , d y = 上p = ( x - y ) g ( u ) d y 雕， 2 l p 珥( x y ) g ( u ) d y + 上p 。( x y ) g ( u ) d y 一( 0 ) s u p g ( u ) + p ：( o ) i n f g ( u ) h = 一( 0 y ( g ) 从而有 1 6 江苏大学硕士学位论文 ( o j y ( g ：) 见丰g ( u ) u x 一( o ) 【g ) 同理可证 p ：( 0 y ( g ) p 幸g ( u ) u ，一反( 0 ) y ( g ) 上式亦可写成 p ：( o ) y ( g ) p g ( “) ，一p ：( o ) y ( g ) 引理2 2 3 设h 3 职) ，有界泛函g ( “) = r g o ) d s ，z 是方程( 2 0 5 ) - ( 2 0 6 ) 的解存在的最大时间。当p ：( 0 少( g ) p 木g ) ，0 时，则在定理2 1 2 的条件下， 有 - k u ( t ，) k 其中 k = 扣加m l i p 州o ，d 进而有 0 h 2 0 ，) k 2 证明f l j ( 2 0 5 ) 鸭+ 珑乞= p * ( u u x g ( u ) u x 一心l k ) 注意到 p 宰嗷= _ 1e e _ l x _ 川u u y d y = 互1 p 。+ y 材吩砂+ 丢r 广y 甜够砂 = 三f p _ 1 p 州掰2 砂一言p 十叫“2 砂 类似地，有 一p 宰配工“嚣= 石1d 十叫“；咖一三厂p 十刊“；方 根据方程( 2 2 2 ) 1 7 江苏大学硕士学位论文 丢比枷) ) - 啪舷嘞鸲榭) ) 掣 = ，+ u u j ) ( f ，x ( a ，f ) ) 当p ：( o 少( g ) p 木g ( “) ，0 ，贝i j 有 一p 事g ( u ) u ，= 一p 宰g ( h ) ，0 根据方程( 2 0 5 ) 又因 从而 一三r p 十一协咖一托s 十一l 啪掣 一言尽杈吖一i 2 + “；) 咖一丢e 门e 帆叫护咖一托分k 叫“；方 一i 1e e - l x ( a ：) - y l 2 + “油华 同理可得 华丢出力刊 2 + 咖咖 d l4 工m 、 。 故 告e e 十f ) _ y l 2 叫2 ) 咖石上。o o 2 + 咖方 根据引理2 2 1 一丢o 。o 。d u ( t f , x ( a , t ) 三i 陋。i 巴。 将上不等式从0 到f 积分，则 从而有 一专肛。略，+ 甜( f ，“口，) 丢l 晦，+ r 【o ，r ) 1 8 江苏大学硕士学位论文 i “( f ，x ( 口，f ) ) l l l 甜( f ，x ( 口，f ) ) o r 丢l l 甜。l i ：f + o “。o p ( 2 2 3 ) 对( s ，7 7 ) 【0 ，t x r ，t 【0 ，z ) ，运用s o b o l e v 嵌入定理3 2 1 可得虬( s ，7 ) 是一致有界 的，根据引理2 2 1 ，对任意t 【o , t ) ，存在常数c ( f ) 0 ，使得 p c ( f 2 x ( 口，f ) e c ( f ) o a 、。7 由上不等式知，对任意f 【0 , t ) ，函数x ( 口，f ) 在r 上严格递增，且有 l i mx ( a ，f ) = + o o 口- 土o o 根据( 2 2 2 ) 得 l “p ，x ) i 0 u ( t ，x ) 8 p = 0 u ( t ，x ( 口，f ) ) 0 r k 其中 k = 丢。龆。i 巴，+ o “。i i r r 【。，z ) 从阿让明j 引埋2 2 3o 引理2 2 4 设“是方程( 2 0 5 ) 一( 2 0 6 ) 的解，t 是方程的解存在的最大时间，则有 4 1 _ r 2 p ：( 0 ) 1 1 0 ， 砧2 o 所以 如 一力三甜2 砂o 同理可得 r 。 一：p ：( o ) 0 ，“2 k 2 p y ) d y 0k 【 。( x 一= p ：( o ) ，“2 r p 。 训 2 方三p k 2 江苏大学硕士学位论文 综上得 丢木“2 = e 一y 珐甜2 砂+ r 。一y 珐“2 方 三p ：( 呕2 同理可得 一 丢群= 上儿( z 训甜2 砂 = 儿。一y ) 三甜2 咖+ f ”p o j 一力丢材2 砂 一丢p ：( o ) k 2 从而证明了引理2 2 4 。 引理2 2 5 设“是方程( 2 0 5 ) - ( 2 0 6 ) 的解，t 是方程的解存在的最大时间，则有 i i , , o l l p ( o ) k - f 1 上艮 一y ) u d u y 一i i o l l r ( o ) k 证明- i 1 攻( x 训毗= 三【p ( x 训叻_ 1i r p = ( x 刊“方 一丢( o ) k + 三( 。) ( 一k ) = 一( o ) k 同理可得 吾i , p o x y ) d u y = 云1 扩( x 刊咖= 互1 上氏( x y ) u d y 一兰( 0 ) ( 一k ) + 五l 川f ：呲 = p ：( 0 ) k 因此，当工p o ( x y ) 饥o 时 三上如( x y ) u d u y 一扣峙上职( x 训帆 l l u o l l p ( o ) k 吊一青而 江苏大学硕士学位论文 j 1 上氏( z y d u y 1 “。峙上氏( x y ) 砌y 一扣峙( 0 ) k 同理，当上如。一y ) 也y 。，d o = o 。u o ( 力 一瓜， 且赠a ，( 砷 _ 、万，则解“在有限时间z 内爆破。 进一步有 r ( 一赠屯啪) 一面) 。1 且 鲫蝶似，o ，砷= 咖 其中 = 叫( 。) ( k 2 小i k - v ( g ) ) y (