（应用数学专业论文）广义区间系统鲁棒控制以及系统有限时间稳定性问题的研究.pdf

广义区间系统鲁棒控制以及系统有限时间稳定性问题的研究 王林 摘要稳定性是广义系统模型最为重要的性能指标之一广义系统不仅具 有指数运动模型，而且具有脉冲运动模型，因此，其稳定性的研究比正常系统的 稳定性的研究要复杂的多广义系统的稳定性一般可以通过系统分解，转化为正 常系统来研究近年来，张庆灵等人把正常系统的l y a p u n o v 稳定性理论推广到 广义系统，即运用l y a p u n o v 方程和l y a p u n o v 不等式来研究广义系统的稳定性 问题 区间系统是一类具有不确定参数的复杂系统模型其系统矩阵的元素不是固 定不变的常数，而是分别在某些固定的区间上变化近年来，关于正常区间系统 的研究已经取得了很多成果2 0 0 3 年，史忠科等人运用r i c c a t i 不等式，给出 了正常区间系统的鲁棒稳定和鲁棒镇定的充分条件，并且考虑了正常区间系统的 王k 控制问题和状态时滞正常区间系统的鲁棒控制问题俞立，许胜元等人运用 线性矩阵不等式的方法，给出了不确定系统鲁棒稳定的l m i 条件本文是以广义 系统的l y a p u n o v 稳定性理论为基础，首先把区间系统转化为参数不确定系统， 然后运用参数不确定系统的处理方法，来研究广义区间系统鲁棒稳定，鲁棒镇定 和风。控制问题并且同时考虑了状态时滞广义区间系统的鲁棒稳定问题和控制 时滞广义区间系统的r - 能控问题等 本文的主要内容如下： ( 1 ) 第二章给出了广义系统稳定的l y a p u n o v 不等式条件，然后以此为理论基础将 正常区间系统的鲁棒控制问题的相关结果，推广到广义区间系统最后考虑了状 态时滞广义区间系统的鲁棒稳定问题 ( 2 ) 第三章首先给出了广义控制时滞系统能控的充要条件然后以此为基础，得 到了控制时滞广义区间系统r - 能控的充要条件 ( 3 ) 第四章把正常系统的有限时间稳定性定义推广到广义系统，得到了广义系统 有限时间稳定的充要条件最后考虑了系统基于有限时间稳定性能指标的反馈控 制器 关键词：广义区间系统；鲁棒稳定；状态反馈；鲁棒镇定；时滞；有限时间 稳定 r e s e a r c ho ft h er e b u s tc o n t r o lo ft h ed e s c r i p t o ri n t e r v a l s y s t e ma n dt h ef i n i t et i m es t a b i l i t y o ft h ed e s c r i p t o rs y s t e m w a n gl i n a b s t r a c t ：t h es t a b i l i t yo fd e s c r i p t o rs y s t e m si so n eo ft h em o s ti m p o r t a n t p e r f o r m a n c ei n d e x e sf o rt h ed e s c r i p t o rs y s t e m sm o d e l i na d d i t i o nt ot h ei m p u l s e m o v i n gm o d e l ，t h ed e s c r i p t o rs y s t e ma l s oh a v ee x p o n e n t i a lm o v i n gm o d e l ，a n d8 0 ， t h er e s e a r c ho ft h es t a b i l i t yo fd e s c r i p t o rs y s t e m si sm o r ec o m p l e xt h a nt h a to fn o r - m a ls y s t e m s g e n e r a l l yt h es t a b i l i t yo fd e s c r i p t o rs y s t e m si ss t u d i e db yc o n v e r t i n g i ti n t on o r m a ls y s t e m s i nt h er e c e n ty e a r s ，z h a n gq i n g l i na n do t h e rs c h o l a r sh a v e g e n e r a l i z e dt h el y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r yo fn o r m a ls y s t e m st od e s c r i p t o rs y s t e n l s ， t h a ti st os a yt h e yu s el y a p t m o ve q u a t i o na n dl y a p u n o vi n e q u a l i t yt os t u d yt h e s t a b i l i t yp r o b l e mo fd e s c r i p t o rs y s t e m s t h ei n t e r v a ls y s t e ma r eo n eo ft h ec o m p l e xs y s t e mm o d e l sw i t hu n c e r t a i np a - r a m e t e m t h ee l e m e n t so ft h es y s t e mm a t r i xf o ri n t e r v a ls y s t e m sa r en o ti n v a r i a b l e c o n s t a n t s ，b u tv a r i a b l eo ns o m ef i ) ( e di n t e r v a l s r e c e n t l y ，s o m er e s u l t sa b o u tt h e r o b u s ts t a b i l i t yo fn o r m a li n t e r v a ls y s t e m sh a v eb e e ng a i n e d o nt h eb a s i so fr i c c a t i i n e q u a l i t y , t h er o b u s ts t a b i l i t y , t h er o b u s ts t a b i l i z a t i o na n dt h e 如p e r f o r m a n c eo f n o r m a li n t e r v a ls y s t e m sh a v eb e e ni n v e s t i g a t e db ys h iz h o n g k ei n2 0 0 3 b ym e a n s o ft h ei n e q u a l i t yo fl i n e a rm a t r i x ，t h el m ic o n d i t i o n so ft h er o b u s ts t a b i l i t yf o r u n c e r t a i ns y s t e m sh a v eb e e no b t a i n e db yy ul ia n dx us h e n g y u a n o nt h eb a s i so ft h el y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r yo fd e s c r i p t o rs y s t e m s ，t h ep r e s e n t p a p e rf i r s tc o n v e r t st h ei n t e r v a ls y s t e mi n t ot h eu n c e r t a i ns y s t e m ，a l s o ，t h e 附 b u s ts t a b i l i t y , t h er o b u s ts t a b i l i z a t i o na n d 巩c o n t r o lp r o b l e m sh a v eb e e ns t u d i e d b ym e a n so ft h em e t h o d sf o ru n c e r t a i ns y s t e m sw i t hp a r a m e t e r ，f u r t h e r m o r e ，t h e p r o b l e m so fr o b u s ts t a b i l i t yf o rd e s c r i p t o ri n t e r v a ls y s t e m sw i t ht i m ed e l a ya n d r - s t a b i l i z a t i o no fd e s c r i p t o ri n t e r v a ls y s t e m sh a v eb e e nr e s e a r c h e d t h em o s t l yc o n t e n to ft h i sp a p e ra sb e l o w ： ( 1 ) i nc h a p t e r2 ，t h el y a p u n o vi n e q u a l i t yo f d e s c r i p t o rs y s t e m sh a sb e e ng a i n e d o nt h eb a s i so ft h e s er e s u l t s ，t h ec o r r e l a t i v er e s u l t so fn o r m a li n t e r v a ls y s t e m s h a v eb e e ne x t e n d e dt od e s c r i p t o ri n t e r v a ls y s t e m a tl a s t ，t h er o b u s ts t a b i l i t yo f d e s c r i p t o ri n t e r v a ls y s t e m sw i t ht i m ed e l a yh a sb e e ni n v e s t i g a t e d ( 2 ) i nc h a p t e r3 ，t h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o no fs t a b i h z a t i o nf o rd e - s c r i p t o rs y s t e m sw i t hc o n t r o lt i m ed e l a yh a v eb e e ng a i n e d a f t e r w a r d ，t h en e c e s s a r y a n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o no fr - s t a b i l i z a t i o nf o rt h ed e s c r i p t o ri n t e r v a ls y s t e m sw i t h c o n t r o lt i m ed e l a yh a sb e e no b t a i n e d ，o nt h eb a s i so ft h e s er e s u l t s ( 3 ) i nc h a p t e r4 ，t h ed e f i n i t i o no ff i n i t e - t i m es t a b i l i t ya b o u tn o r m a ls y s t e m sh a s b e e ne x t e n d e dt od e s c r i p t o rs y s t e m sa n dt h et h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n o ff i n i t e - t i m es t a b i l i t yo fd e s c r i p t o rs y s t e m sh a sb e e no b t a i n e d a tl a s tt h es t a t e f e e d b a c ka b o u tf i n i t e - t i m es t a b i l i t yh a sb e e ns t u d i e d k e y w o r d s ：d e s c r i p t o ri n t e r v a ls y s t e m ；r o b u s ts t a b i l i t y ；s t a t ef e e d b a c k ；r o - b u s ts t a b i l i z a t i o n ；t i m ed e l a y ；f i n i t e - t i m es t a b i l i t y i i i c ： r ： r ”： z x ： ，： a t ： a 一1 ： x ： r a n k e ： x 0 ： d i a g ( e a ，e 2 ，e 。) 主要符号表 复数域 实数域 n 维实列向量集合 元素z 属于集合x 单位矩阵 矩阵a 的转置 矩阵a 的逆 矩阵x 的共轭矩阵 矩阵e 的秩 x 是正定的矩阵 以e 1 ，e 2 ，e f l 为对角元素的对角矩阵 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得陕西师范大学或其它教育机构的学位 或证书而使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中 作了明确说明并表示谢意。 作者签名：垂熔 日期：团：茎 学位论文使用授权声明 本人同意研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属陕西师范大 学。本人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕西师 范大学。学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其它指定机构送交论文的电 子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校 图书馆、院系资料室被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索； 有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 作者签名：乞盔k 日期： 前言 控制理论一般分为经典控制理论和现代控制理论两大部分现代控制理论是 上个世纪五十年代末六十年代初开始形成，并迅速发展起来的至今已经形成多 个分支，渗透到各个科技领域现代控制理论本质上是时域法建立在系统状态 空间基础上，以状态向量方程为基本工具，对系统性能进行分析 1 9 7 4 年，r o s e n b r o c k 首次提出了广义系统模型。又称为奇异系统或微分代数 系统广义系统是一类更为一般的系统，并具有广泛的实际和应用背景近年来， 广义系统控制问题吸引了更多学者的关注和研究，并取得了丰富的研究成果不 仅在理论上奠定了进一步研究的基础，而且在经济管理、水翼艇、惯性导航系统和 飞行器等领域的应甩也取得了一定的进展，国外对于机器人、电子网络和机场管 理方面也有研究当前由一些正常系统模型的性质出发，推广到广义系统乃至更 为复杂的系统模型，已成为当前系统研究的一个重要领域其中稳定性是广义系 统的一个基本研究课题广义系统不仅具有指数运动模型，而且具有脉冲运动模 型因此，其稳定性的研究比正常系统的稳定性要复杂的多我国著名控制理论 专家张庆灵，提出广义系统稳定性的l y a p u n o v 方法，即将正常系统的l y a p u n o v 方程或l y a p u n o v 不等式推广到广义系统上 鲁棒是控制对象在一定范围变化时，它能在某种程度上保持系统的稳定性与 动态性能的能力鲁棒控制是控制理论中重要的研究领域之一在过去十年里， 正规的不确定状态空间系统的鲁棒稳定性分析和鲁棒镇定性等问题一直备受关 注近年来，南京理工大学的徐胜元等在广义不确定系统以及时滞广义不确定系 统方面，做了一系列讨论和研究，并获得了一些重要的结果 ( 1 ) 在参数不确定性矩阵f 范数有界( 1 | f 0 1 冬1 ) 的情况下，广义不确定系统 二次稳定的充分条件是 ( 月r p e + e 。t r p 。a p ：+ ：a t 岛e o q q ，+ q r 哥ae - 孑i ( p e + 三e ，o q 尸。) 。 p s + r a d + o c e l r l e d p _ l d 0 和正定矩阵x ，使得r i c c a t i 不等式 x 山+ a 吾x + ；x e e t x + ) 、f t f 0 ，p o ，和正定矩阵x 使得下面r i c c a t i 不等式 x 山+ 石x + x ( 1 e 矿一i _ b b t ) x + a p r f 0 ，e 0 ，a 0 和正定矩阵x ，使得r i c c a t i 不等式 舔x + x a o + x ( a 一2 e 矿+ 7 - 2 8 1 矸一2 b b t ) x + a 2 f t f + c r c 0 ，扎 0 和a 0 ，使得下面r i c c a t i 不等式 智x + x 山+ x ( a 一1 e e r + a i l 玩砑+ 材蹋) x + a 矿f + a d 砑乃+ h 磁f 由 0 成立，则系统( 4 ) 是时滞独立鲁棒稳定的 ( 二) 考虑广义区间系统【1 8 l e 圣( t ) = 4 z ( t ) + b u ( t ) 其中z 为状态向量，t 为控制输入向量 a 为系统矩阵，且a n a ”，a m 】， f ，b 为适当维数矩阵，令a = ；( a ，一a ”) ，有如下结果z ( 1 ) 如果，a + 4 ) 是正则的，且满足 jr a n k m 岛eb 】= ，l ll i a a i h i i 锯a r ( a 瑶a t + e 矿+ b b t ) - 1 旷 则系统( e ，a + a ，b ) 是完全能控的 ( 2 ) 如果( e ，a + a ) 是正则的，且满足 ir a n k e d 昂】_ f i 9 2 ij a a i iz 0 满足 ( 舭阱= x 斛e 脚m 搬- x i f ) 妯 矿 一 e r x e 0 ( 髯x e + e ；r x x a e o x e + a 朋叮m 矿- x x i f 矿0 x 且) 0 0 - # i ， ii i ， l ， il b t x e a t x e + e r x a o + a 汐m + s e r x a e r x fe r x f d 、 i 篾e e御弘0s - 。x i 。0 i o ， l x l f a r dx e 00 一p j a t o x e + e t x a o + a m t m + d 丁d e t x f e t x be t x c 、 i 篇 0 7 叫0 。0 i o ， c r x e00 7 2 1 本文的结构安排 第一章绪论简单介绍了本文中涉及到的系统的结构特点和背景 第二章广义区间系统的鲁棒控制首先给出了广义系统的l y a p u n o v 稳定 性理论；然后考虑了广义区间系统的鲁棒稳定性，鲁棒镇定性和王k 控制问题； 最后给出了状态时滞广义区间系统鲁棒稳定的充分条件 第三章控制时滞广义区间系统的r 能控性首先给出了控制时滞广义系 统能控的充要条件；然后得到了控制时滞广义区间系统r 能控的充要条件 第四章广义系统的有限时间稳定性给出了广义系统有限时间稳定性的充 分条件，并且考虑了其状态反馈控制 7 第二章广义区间系统的鲁棒控制 2 1广义系统的l y a p t m o v 稳定性理论 l y a p u n o v 稳定性理论就是应用l y a p u n o v 方程或l y a p u n o v 不等式，来研究 线性系统的稳定性问题因为广义系统不仅具有指数运动模式，而且具有脉冲运 动模式，所以不能简单的把线性系统的l y a p u n o v 方法直接推广到广义系统因 此，其稳定性的研究比线性系统要复杂的多 考虑系统 黧砒c z ( t r d 仁， 【 薹，( t ) =) 、 其中z 舻为状态向量；a r “为系统矩阵；e r ”“；b ，c 为适当维数 实矩阵；u ，y 分别为输入和输出向量 引理2 1 1 【1 l 对于系统( 2 1 1 ) 有以下结论： ( 1 ) 若3 s c ，使得d e t ( s e a ) 不等于零，则称系统( 2 1 1 ) 是正则的 ( 2 ) 若r a n k ( s e a ，b ) = n ( v s c ) ，且r a n k e ，b 】= 礼，则系统( 2 1 1 ) 是完 全能控的 籼止( 3 a ) = n ( v s c 姐r 诎( 考) 邛则矧2 1 ，是 完全能观测的 ( 4 ) 若o ( e ，a ) cc 一，则系统( 2 1 1 ) 是稳定的 ( 5 ) 若r a n k ( s e a ，b ) = n ( v s c ) ，则系统( 2 1 1 ) 是可稳的 ( 6 ) 若r a n k ( 8 2 葛a ) = 扎( 协c ) ，则系统( 2 1 1 ) 是可检测的 若系统( 2 1 1 ) 是正则的，那么存在非奇异矩阵q ，p 使得系统( 2 1 1 ) 等价于 系统 i圣1 ( t ) = a l x l ( t ) + b l u ( t ) iy a ( t ) = g z l ( ) 圣2 ( t ) = x 2 ( t ) + b 2 u ( t ) ( 2 1 2 ) l y 2 ( t ) = c 2 2 2 ( t ) l ( t ) = 分1 ( t ) + 姚( ) 9 其中q e p = d t a s c k ，, q a p = d i a g c a ，厶：，q b = ( 三) ，c p = c a ，q ， ( 尊 把系统( 2 ，1 ，2 ) 中前两个式子称为系统的慢子系统，第三和第四个式子称为系 统的快子系统一般的系统( 2 1 1 ) 的性质可以通过系统( 2 1 2 ) 得到 引理2 1 2 1 1 j 若系统( 2 1 1 ) 是正则的，那么有以下结论： ( 1 ) 系统( 2 1 1 ) 是稳定的，等价于系统( 2 1 2 ) 的慢子系统是稳定的5 ( 2 ) 系统( 2 1 1 ) 是无脉冲的，等价于系统( 2 1 2 ) 中n = 0 引理2 1 3 n 广义系统( 2 1 1 ) 是稳定的且无脉冲的充要条件是存在矩阵y ， 满足广义l y a p u n o v 不等式 y t + a r v 0 ，( 2 1 3 a ) 矿v = v t e 2 0 ( 2 1 3 b ) 为了以后证明的需要，下面给出广义系统是稳定的且无脉冲的一个充分条件 定理2 1 1 对于广义系统( 2 1 1 ) ，若存在对称矩阵x ，使得 e t x a + a r x e 0 ，有 2 f r ，7 ；f r f + a 叩r ，7 ， ( 2 2 8 ) 其中，p 由( 2 2 5 ) 式定义 引理z 2 。r 踟给定的对称矩阵s = ( 曼：曼2 2 ) ，其中岛- 是r r 维的则 以下条件是等价的： ( 1 ) s 0 ， ( 2 ) & 1 0 ，锄一s f i i $ 1 2 0 ， ( 3 ) 如 0 有 矿( z )x t ( a t x e + e t x a o ) z + z t e r x f f 丁x e x 十a z r m r m z = 3 ，( a 吾x e + e 丁x 山+ e t x f f r x e + a m r ，) z ， 舔x e + 酽x a o + e t x f f t x e + x m t m 0 ，使得 ( a 吾j x e + e ；r x 妻a 茎o + a m 丁m e r x f e t x b i 0 ，便得 ( 邶印t 舳坩f r 州x e 删h m m 霉a i ) o ， ( 2 4 4 ) 、 一 一 一 且e r x e 0 ，则闭环系统( 2 4 3 ) 为鲁棒稳定的令 l = ( 碍x e + e r x a o 脚取- m f 1 ， k = 击b r x e 代入( 2 4 4 ) 式左边，得 l + ( 脚t 舳亍黜肷：) 由引理2 2 3 l + ( j 矿x 言b t x e ：) l + ：( 珊0b ) ( 肌e p 、，、 二+ 三( 鬈b ) ( 麟叫 。 ( 嘉二小。， 其中y = ( 鬈b ) ，刚z a a 扯证毕 下面考虑带有干扰的广义区间系统的h o o 控制问题系统模型如下 e 。x ( ”刊卫 砒 ) + 钏t ) ( 2 舶) iz ( t ) = d x ( t ) 、7 其中z 为状态向量，1 , r p 为控制输入，z r q 为评价信号，w r ” 为平方可积的外部干扰信号，e ，b ，c ，d 为适当维数的常数矩阵，a 为系统矩 阵，且a f 只q 】 王k 控制问题是，如何设计状态反馈控制器 札( t ) = z ( f ) ，( 2 4 6 ) 使得系统( 2 4 5 ) 满足如下性能指标- ( i ) 当w = 0 时，对 c a 【p q 】，闭环系统内部稳定，即a + b k 渐近稳 定 ( i i ) 对于v a 【p ，q 】，闭环系统满足 i i t = 。0 叫) | l 。s ，r ，( 2 4 7 ) ，碍x e + e r x a o + a m r m + d t d e r x fe r x be r x c 、 i 篇o ，叫0 。0 l 0 ( 2 4 8 n ) ( 2 4 8 6 ) 去b t x e ，f 、m 由( 2 2 3 ) 、( 2 2 4 ) 给出 ( 管x e + e ；r x 妻a 羔o + a 胪m e r x f e t x b ) 。 由定理2 4 1 可知，反馈矩阵k = 去口r x e 使得闭环系统满足性能指标( i ) ，下 a 2 a + b k = a + 壳b r x e ，n i p , q a t x e + e r x a + 一r 一2 e t x c c 丁x e + d 丁d 0 ，v a p q 】( 2 4 9 ) ( 2 4 9 ) 等价于对于v w 0 ，v a p ，q 1 ， - ( j w e a ) x e e t x ( j w e a 耳) + y - 2 e t x c c r x e + d 丁d 0 ，( 2 4 1 0 ) 其中表示复数矩阵的共轭转置对( 2 4 1 0 ) 两边分别左乘c 口f 0 叫e 一_ 耳) 】- 1 右乘( j w e a k ) c ，并令y 0 叫) = c t x e ( j w e a k ) c ，可得 - y ( j w ) 一y d 叫) + 7 - 2 y ( j w ) y ( j w ) + t l ( j 伽) 。o t t ，) 0 进一步，有 咒o 甜) 。o 钮) 1 2 f 一7 2 j + y ( j w ) + y ( j w ) 一1 2 y ( j w ) y ( j w ) = 7 2 ，一1 7 j 7 1 y o 加) 】【1 j 一，y 卅y ( j w ) 】 l 矿y = v r e 2 0 ( 舻y 溜0 ) 。 。5 2 i e 丁x e 0 i ( x 譬髫洲t x s e ) 0 有 1 7 矿( z ) 曼，( t ) ( 碍x e + z 尹x 山+ s + a 矿 f + ；j 尹x f f r x e + ：z 尹x 日砑x e ) z ( t ) + x t ( t ) e r x a 由z ( t d ) + z r 0 一d ) a t x e x ( t ) + x t ( t d ) ( # m t m d s ) z 0 一d ) = ( 川卜回) ( y + e r x f f r 加p 孵e t x 尥a 一曲s ) ( z 黝) 其中m = a 吾x e + e r x a o + s + ；m r m + ：矿x 日砑x e 由定理2 5 1 ，若 ( 妒a t 胛x e 以ep 等裟s )恤峨m d = ( a 墨ep 磊裟s ) + ；( 0 f ) ( 一。) 0 ，p 0 ，使得( 2 5 5 ) 成立原系统是鲁棒稳定的证毕 2 ，6 小结 本章首先给出了广义系统稳定的理论基础，即广义系统的l y a p u n o v 稳定性 理论然后以此为基础，给出了广义区间系统鲁棒稳定和鲁棒镇定的充分条件， 并且设计了一个鲁棒镇定控制器，同时考虑了广义区间系统的 k 控制问题最 后一节在广义区间系统的基础上研究了更为复杂的状态时滞广义区间系统 1 8 e em 弘啊 a f ，j-_i_i-一 第三章控制时滞广义区间系统的r 能控性 3 1系统的描述和预备知识 考虑系统 e j z ( t ) = 止( t ) + b u ( t ) + c u ( t 一 ) ，t t o ，( 3 1 1 ) 其中z r n ；t 正r p 且u ( t ) = 妒0 ) ( t o h t 如) ；e ，a r ”。”；b ，c r n 。p a 为区间矩阵，且a 州a m ，a m 】系统( 3 1 1 ) 简记为系统( e ，a ，b ，c ) 令 a o = ；( a m + ) ，a a = i ( a m 一) ， ( 3 1 2 ) 实矩阵m = ( m i j ) 。的1 1 范数定义为 ，= 黑l 脚i ， ( 3 1 3 ) 定义3 1 1 【18 j 矩阵m r ”“，若存在矩阵m + r “”( m + r ”“) ，使得 m m + = i ( m + m = n 则称矩阵m 右( 左) 可逆，且其中一个右( 左) 逆为m + 引理3 1 1 【1 9 1 对于任意适当维数矩阵，x ，y ，有 0 x y 0 1 0 x l y 忆( 3 1 4 ) 引理3 1 2 1 18 】矩阵m 右( 左) 可逆，当且仅当m 是行( 列) 满秩的 引理3 1 3 1 1 s l 对于矩阵m r n “，若i i m i l l 1 ，则d e t ( 1 + m ) 0 其中j 为单位矩阵 3 2控制时滞广义系统的能控性 为了研究系统( 3 1 1 ) 的r 能控问题，首先我们考虑当系统矩阵月是定常矩 阵时，系统的能控问题，模型如下： e 2 ( t ) = a x ( t ) + b u ( t ) + c u ( t 一九) ，t t o ， ( 3 2 1 ) 其中z r ”，札r v ，t = 妒 ) ( t o h ts o ) ；e ，a r n x n ；b ，c r 4 。p 若 系统( 3 2 1 ) 正则，那么存在可逆矩阵p ，q ，使得原系统等价于系统 j 士1 ( t ) = a l z l ( t ) + b 1 钍o ) + c i “( 。一危) ，t o( 3 2 2 ) in 2 2 ( t ) = x 2 ( t ) + b 2 u ( t ) + c 2 u 0 一 ) ，t t o 、 。 其中u = 妒c c t 。一 t t 。，z = p ( ：) ，p e q = ( 。1 品) ，p a q = ( a 1 羔) ；q b = ( 竺) ，q c = ( 戛) ；为幂零矩阵 引理3 2 1 系统( 3 2 2 ) ( t 如+ h ) 为完全能控的充要条件是 r a n k ( 岛 ，岛 r t l j l k ( b 2 n b 2 其中l 是n 的幂零指数 钟1 1 马 一1 b aa 1 a qj v q ? 1 l 一 一1 g ) = t q ) = 定理3 2 1 若系统( 3 2 1 ) 0 t o + h ) 是正则的，其完全能控的充要条件是 r a n k ( 岛历最) = 以 其中岛=(-ea：于舻。一i。，昂=(b口b舻。， 丘= ( ccc一。，矩阵中未注明处为。元素 对风作初等变换，把第三行左乘上a ，加到第一行，第二行左乘上n 加到第四 行，再划去第二行和第三行得，d - = ( 如，历。) 其中 = b 1 n b 2 e 0 1 = a 1 8 1 岛 岛 b 2 一钟0 o 一， 10 一a 1 0 onof 岛 b 2 及。= a n c 2 j r 0 0 a l g c 2 a g 如此下去经过有限次初等行变换，得矩阵d 2 【岛易j ，其中 岛= ( 胪e ，l 玩意皂：翟a 掌) 易= ( 三q 舻a i c 。g i ：a 艺a ) 因为n 为幂零矩阵，且幂零指数f n 2 ，由h a m i l t o n 定理可知 a i = 岛，+ 岛a 1 + - + 风。一1 a ：1 1 ，i n 1 对d 作初等列变换得d = ( 毛忍) ，其中 毛= ( 言：钟1 1 b 。：0 一，岛：兰) ， 最= ( c o ia p ：1 a 胪2 0 。岛_ 兰) 2 1 a q 因为矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，所以( 岛岛e ) 行满秩 争西行满 r a n k ( 玩昂丘) = 一 即( 日历忍) 行满秩矩阵 其中日= ( ? ：二一a ) 铲。蒂，玩，e c 同定理& 2 中定义 上一节中给出了控制时滞广义系统完全能控和m 能控的充要条件，下面考 虑当系统矩阵a 在区闻上变化时，系统( 3 1 1 ) 是r - 能控的充要条件 定理3 3 1 系统( e ，a + a a ，b ，c ) ( t t o 十h ) 是正则的，若满足 jr 柚k ( 玩昂b ) = n 2 ij i a a l l l i 砑( 玩日+ b 霹+ & 霹) 一 则系统( e ，a + a a ，b ，c ) 是r 能控的 证明由r a n k ( 日日坟) = n 2 可知，( 日历e c ) 右可逆由矩阵 理论可知 昂e ) + = ( 玩昂e c ) t 【( 局昂最) ( 玩昂疋) t 】一1 = ( 玩e 6e ) 丁( 局讶+ 邑砑+ e 霹) 一1 对系统( e ，a + a a ，b ，e ) ，考察矩阵 ( 疡扇最) = ( 局历疋) + ( 目oo ) 其中a e a = d i a g ( 一a 一a a ) e r “2 矿，则i i a e a - = l l a i i - 由 推论3 2 1 可知。若( 岛磊豆) 行满秩，则原系统是r - 能控的事实上 d e t 【( 岛磊扉) ( 局目e o ) + 1 = d e t ( ( 玩昂忍) + ( & oo ) ) ( 局昂最) + 】 = d e t ( i + e d 磁( e e