（光学专业论文）超短光脉冲在分段中空光波导中的光谱展宽和脉冲压缩.pdf

中文摘要 本文对用分段中空光波导获得超导脉冲进行了理论计算，其内容主要包括： 1 运用展宽公式推导出了正确的分段光波导展宽的理论估算公式： 2 运用分步傅立叶法解广义非线性薛定谔方程给出了改变各个参数的情 况下，中空光波导展宽光谱的情况，并与展宽公式相联系经行了分析； 3 运用分步傅立叶法解广义非线性薛定谔方程对分段光波导对超短脉冲 进行光谱展宽以及随后的脉冲压缩进行了数值模拟计算，给出了计算结果， 并且对其位相给与了计算： 4 对于不同情况下的分段光波导对超短脉冲进行光谱展宽以及随后的脉 冲压缩进行了数值模拟计算，证明了用分段光波导获得超短脉冲的可行性以 及优越性，并且证明了为了获得高能量的超短脉冲，用两段半径不同的中空 光波导的优越性； 关键词：超短脉冲，中空光波导，广义非线性薛定谔方程，分步傅立叶法 脉冲压缩 a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o nd i s c u s s e st h es p e c t r u mb r o a d e n i n ga n dp u l s ec o m p r e s s i o no f t h eu l t r a s h o r tp u l s ep r o p a g a t i o ni nc a s c a d e dh o l l o wf i b e r s ，b ys o l v i n gt h eg e n e r a l i z e d n o n l i n e a rs c h r 6 d i n g e re q u a t i o nw i t ht h es p l i ts t e pf o u r i e rm e t h o d t h es i m u l a t i o n s h o w st h a tt h et e c h n i q u eu s i n gc a s c a d e dh o l l o wf i b e r si sar e l i a b l er o u t et oa c h i e v e f e wt om o n o c y c l ep u l s e so f h i g he n e r g y t h em a i nc o n t e n t so f t h i sd i s s e r t a t i o nc a l lb e c l a s s i f i e da sf o l l o w s ： 1 d e d u c t i o no fc o r r e c ts p e c t r u mb r o a d e n i n gf o r m u l af o rt h eu l t r a l s h o r tp u l s e p r o p a g a t i o ni nc a s c a d e d h o l l o wf i b e r sf r o mt h es p e c t r u mb r o a d e n i n gf o r m u l a ； 2 c a l c u l a t i o no ft h es p e c t r u mb r o a d e n i n go ft h eu l t r a l s h o r tp u l s ep r o p a g a t i o n i nh o l l o wf i b e r sa td i f f e r e n tc o n d i t i o n s ； 3 c a l c u l a t i o na n d a n a l y s i s o ft h e s p e c t r u mb r o a d e n i n g ，p h a s e s a n d c o m p r e s s i o np o s s i b i l i t yo ft h eu l t r a s h o r tp u l s ep r o p a g a t i o ni nc a s c a d e dh o l l o w f i b e r s b ys o l v i n gt h eg e n e r a l i z e dn o n l i n e a rs c h r 6 d i n g e re q u a t i o n 晰t ht h es p l i t s t e pf o u r i e rm e t h o d ，a n dd e m o n s t r a t et h eb e n e f i t so fu s i n gc a s c a d e dh o l l o w f i b e r sw i t hd i f f e r e n tr a d i u st oa c h i e v eu l t r a l s h o r tp u l s eo f h i g he n e r g y k e y w o r d s ：u l t r a s h o r tp u l s e ，h o l l o wf i b e r , g e n e r a l i z e dn o n l i n e a rs c h r 6 d i n g e r e q u a t i o n ，s p l i ts t e pf o u r i e rm e t h o d ，p u l s ec o m p r e s s i o n 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其它人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得苤壅盘堂或其它教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名： 幂垢明 签字日期： t 万年，月矿日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解鑫生盘堂有关保留、使用学位论文的规定。 特授权叁生盘茎可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名： 采摇d ，寻 导师签名： ；戤酬 签字日期：1 ，u o 岁年，月户日签字日期：2 ，确：f 月厂日 第一章绪论 1 1 引言 第一章绪论 飞秒激光脉冲技术是上世纪八十年代初期产生并迅速发展的激光前沿研究 领域，为物理、化学、生物、材料科学等领域的研究提供了崭新的手段。飞秒脉 冲技术在近几年内取得了显着的进步，如何获得更短( 单周期或几个周期的) 的 脉冲，成为人们研究的焦点和主要方向。而其中最为可行的方案便是利用充惰性 气体的中空光纤展宽放大后的脉冲光谱。2 0 0 3 年1 0 月，人们获得了3 8 f s i 】的超 短脉冲，同年1 1 月，便达到了3 4 f s 2 1 。到了2 0 0 4 年，这个记录又被刷新为2 8 f s 3 1 。 但是，这些最短的脉冲( 2 8 3 4 f s ) 能量都很低( 约o 5 u j ) 。这些损耗首先来 自脉冲展宽时的中空光纤的耦合和传输损耗，其次来自压缩系统中光栅以及液晶 光调制器的损耗。在采用一根光纤展宽光谱的实验中，为了获得超宽带光谱，中 空光纤的直径必须特别小( 1 0 0 p m ) ，以提高脉冲峰值功率密度。这样就导致耦 合损耗和传输损耗过大。为了保持脉冲在压缩同时保持高能量，人们提出了分段 光纤压缩脉冲的方法【】。理论 4 1 和实践都告诉我们，展宽脉冲光谱并不需要特别长 的光纤，因为光谱展宽在有限的长度内已经基本完成。所以，对脉冲进行两次展 宽压缩，以便获得更短的脉冲的做法是有理论依据并且在实践上是可行的。 飞秒脉冲在充惰性气体的中空光纤内的非线性展宽过程是比较复杂的影响 因素众多的非线性过程，包含自相位调制、自陡峭效应和色散、损耗等因素的互 相作用。广义非线性薛定谔方程就是描述这一物理过程的强有力的工具。它包含 了上面所说的各个物理过程，因而用广义非线性薛定谔方程来描述飞秒脉冲在充 惰性气体的中空光纤内的非线性展宽过程是完全可能的。解这个方程的有效方法 便是分步傅立叶法。这是一种通过在频域内计算色散，在时域内计算非线性效应， 来解非线性方程的方法。本文中，我们利用计算广义非线性薛定谔方程来证明分 段光纤压缩脉冲的可行性和优越性。 第一章绪论 1 2 本论文的研究内容 近些年，人们直在尝试获得更短的( 几个周期至一个周期) 脉冲人们在 追求超短脉冲的同时，还要求脉冲具有较高的能量。而目前，人们获得的短脉冲， 普遍能量都很低。利用分段中空光波导对脉冲进行两次展宽压缩，是目前一个比 较可行的方法。此方面的实验已有进行，而对此的理论计算正是作者所要解决的 问题。 本论文研究的主要内容是飞秒光脉冲在分段中空光波导中传播过程中的光 谱展宽，以及随后的脉冲压缩。可以分为以下几部分内容： 1 ，介绍了飞秒脉冲的些基本概念和数学表达； 2 介绍了广义非线性薛定谔方程以及解此方程的分步傅立叶法( 通过解非 线性薛定谔方程对孤子传输进行了模拟计算) ； 3 讨论飞秒脉冲在分段中空光波导传输过程中的光谱展宽以及脉冲压缩， 包括： 3 1 中空光波导的各项参数以及惰性气体的参数的获得； 3 2 运用展宽公式推导出了正确的分段光波导展宽的理论估算公式； 3 3 运用分步傅立叶法解广义非线性薛定谔方程给出了改变各个参 数的情况下，中空光波导展宽光谱的情况并与展宽公式相联系经行了 分析； 3 4 运用分步傅立叶法解广义非线性薛定谔方程对分段光波导对超 短脉冲进行光谱展宽以及随后的脉冲压缩进行了数值模拟计算，给出了 计算结果，并且对其位相给与了计算： 3 5 对于不同情况下的分段光波导对超短脉冲进行光谱展宽以及随 后的脉冲压缩进行了数值模拟计算，证明了用分段光波导获得超短脉冲 的可行性以及优越性，并且证明了为了获得高能量的超短脉冲，用两段 半径不同的中空光波导的优越性； 半径不同的中空光波导的优越性； 第二章飞秒脉冲基础 第二章飞秒脉冲基础1 5 i 2 1 飞秒脉冲的基本概念 2 1 1 脉冲电场的复数表示 我们都知道，电磁波可以用复数形式的电场表示，即：e ( r ，r ) = e ( x ，j ，z ，) 。 通过傅立叶变换，我们可以求得在频域内的表达式，即： e ( 4 r ，c o ) = f 。e ( + r ，d ) = j e + ( + r ，t ) e 一“出= i e ( 4 r ，甜) i e ( m ) ，) =，r ) ) = i，1 “出= l，圳p ” 一 e 一( r m = f 飞三( ；，c o ) ) = 去k e ( r + ，c o ) e m d c o ，r ) = 。 e ( r ，) = 亡i ， 2 1 2 功率、光强和能量 对于脉冲的功率和光强，我们有如下定义 p ( f ) = 叫矗吉e 2 ( t t2 矽 f + ， 1t - 7 ，2 心) = 8 0 c n l “t j 2 s o o n - - 争e 2 ( ，冲：丢阴呦1 2 心)jf 冲= 告阴陋) 1 2 卜r ，2 。 而脉冲能量( j ) 为：矿= e ( t ) a t 单位面积上的脉冲能量( 3 d ) 为：= j l ( t ) a t 21 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 上面公式中e o 为真空中的介电常数；c 为真空中光速；n 为材料的折射率 j 妇表示光束传播截面上的积分。 籀三章秒躲淬基穑 2 ，1 3 脉冲静豫宽耩灌宽 耩藩游；中都膂一宠渤黥宽辩城黧落蜜( 频域) 。通辫镶两种寰舅方法= 一种戆脉冲的半宽度瓦( 在光强度蜂值的1 1 e 赴) ；另一种蹙半檬犬全宽膨z k 。； 耐。1 于不间黥脉冲形状，二者存不鄹的按簿荚系n 对于高斯脉冲，有：”w * 2 ( i n 2 ) ”2 磊 2 7 对予蔽戆委窖辣洚，霄；霉。- - 2 ( i n ( 1 + 压臻 2 。8 2 1 4 荤脉冲能量、薰复频率、峰值功率和平均功率 脉冲在时域肉悬离散的，即它璃一霆的重复频率。每个脉冲都有寇的能量 ( 单徘冲能量) ；而对予一定形状豹脉冲，都谢一个峰值功率；而一系劁龅脉冲 输出，澍一定的功率( 平均功率) ；对于以上概念，有如下公式： 蜂蘧功率= 攀骤狰燧繁辣窕 平均功率= 单脉冲自擞卑重爱频率。 2 ；1 。5 璃嗽 简单的说，碉嗽憝指频率随时闯盼褒佬而变讫，我 f 】知邋，掰= d 妒( t ) a t ， 那么，嘲嗽就是指矗掰，蔽= 参。罴事 o 时，我们称伟燕二蹶嗽；反之，我们禳 榛魁下嘲嗽。 2 。1 6 藏斯脉冲与双豳正割脉冲 我们定义归依化初始高斯脉冲和双曲正割脉冲的形式分别如下： 吣d = 孵学争 垄。s u 峨n = s e 曲嚎，e x 卧筹争 ：，。 其中，t o 为艨冲拳掇度：c 强稽菇骊壤参蹙；对c 0 ，双前沿戮麓瀣簿辩 频率线+ 隧增加c 上或磁啁嗷) ；对c 0 ，从目蕾沿到后沿瓣时颁率线性减少( “f 或 第二章飞秒脉冲基础 负啁啾) 2 2 介质的损耗与色散 2 2 i 介质的损耗 若r 是入射脉冲的功率，传输功率弓= p oe x p ( - a l ) 。式中，口使衰减系数 通常称为损耗。l 为介质的长度，习惯上，损耗通过下式用d b k m 来表示： 口m = 一半- g c 篝，= 。- ，4 s 口 z ， 2 2 2 介质的色散 当一束电磁波与电介质的束缚电子相互作用时，介质的响应通常与光波频翠 0 9 有关，这种特性成为色散，它表明折射率n ( o j ) 对频率的依赖关系i 一般来说， 色散的起源与介质同过束缚电子的振荡吸收电磁辐射的特征谐振频率有关，远离 介质谐振频率时，折射率可以表示为： 以咖嘻格 2 1 2 式中，o j j 是谐振频率，曰，是，阶谐振强度。 在数学上，光纤的色散可以通过在中心频率o ) o 处展开成模传播常数声的泰 勒级数来解决： ( 国) = h ( 珊) 竺= 成+ f l , ( c o 一) + ：1 ，。( c o c o o ) 2 + a 2 1 3 其中尼，= ( 丽d f 1 ) 。， 2 1 4 参量届，岛和折射率一有关，它们的关系式可以由下面的式子得到： 尼：生一1 三( ”+ 粤) 、 2 1 5 c v cd ” 第二章飞秒脉冲基础 岛= 丢c z 嘉+ 嘉k 。 ：，e 式中，是群折射率，k 是群速度，脉冲包络以群速度运动；肛是群速度 色散( g v d ) 参量，屈为三阶色散( t o d ) 参量。 介质的色散为材料色散与波导色散的和。 2 2 3 相速度与群速度 相速度表征相位在空间变化的频率，v ，2 詈 群速度表征光信号包络的传输速度，k = 嘉 2 3 飞秒脉冲在色散介质中的传播 2 3 1 色散引起脉冲展宽 2 1 7 2 1 8 对于脉冲的复振幅表达式，我们引入一个归一化振幅u ，若a ( z ，t ) 为脉冲 包络的慢变振幅，则有： a ( z ，r ) = 再u ( z ，r ) 2 1 9 其中，t = t - - z v g ，是以群速度k 移动的参考系。 若我们只考虑线性色散介质中传输时的g v d 效应，则归一化振幅u ( z ，t ) ， 满足线性偏微分方程： f 型：鱼塑 出 2a r 2 2 2 0 删撇色散长度驰铲禹 同过解偏微分方程，我们可以看到，脉冲在时域内被展宽了，而在频域内保 持不变。 蓥二章飞骖躲弹基蕊 圈窆。 毙鳋晦出色散所羧离新脒；枣时矮内震宽 2 。3 。窑兰瓣色徽效应 在安蜷豢终串，遥豢鸯感鬟三除琶数佟丽。脉冲潜燕野方惫盼演变，僚赖子 崩和孱的稠对大小，而它 f 有依赖于光波长如偏离零色救被长如的程度。我们 定义易= 罱，便当岛- s 黾对，三阶色黻趣主娶稼用t 鼙2 2 给缀了在；。5 岛t 处两种情况下的脉冲形状。 图2 。2 兰阶色散 第二章飞秒脉冲基础 2 4 自相位调制 2 4 1 非线性折射率 光纤中的最低阶非线性效应起源于三阶电极化率z ”它是引起诸如三次谐 波产生，四波混频，以及非线性折射等现象的主要原因。然而，除非采取特别的 措施实现相位匹配，牵涉到新频率产生的( 三次谐波产生，四波混频) 非线性过 程在光纤中是不易发生的。因而，光纤中的大部分非线性效应起源于非线性折射 率，而折射率与光强有关的现象是由z 引起的，即光纤的折射率可表示成： ( ，j e l 2 ) = h ( 卯) + 也i e l 2 22 1 胛( ) 是线性折射率，陋1 2 为光纤内的光强，屿是与z 有关的非线性折射率 系数。 折射率对光强的依赖关系大量有趣的非线性效应，其中便包括自相位调制。 2 4 2 自相位调制基本概念 非线性光学介质中，介质的折射率与入射光的光强有关。这一现象通过自相 位调制( s p m ) 来体现，它将导致光脉冲的频谱展宽。 自相位调制是指光场在光纤内传输时光场本身引起的相移，它的大小可以通 过记录光场相位的变化得到： 庐= n k o l = ( n + n 2 蚓2 ) k o l 2 2 2 其中：k o = 2 n 2 ，l 是光纤长度，与光强有关的非线性相移= , 毛k o l l e l 2 是由自相位调制引起的。 如果我们只考虑自相位调制的作用，光脉冲的演化方程可以写为： 。a u ：_ i e - a zl u l 2 u 2 ，2 3 出 l 式中，口代表光纤损耗，三。为非线性长度，定义为：= ： ，“ ，为非线性系数，其定义为：，= 拿产，岛为有效纤芯截面。通过解上面 翻w 。 第二章一秒赫挣基赫 豹方疆，鬣镪可以器囊，窭轺位镳锱产生隧光强燹能的精耩。伯撩潍麴疆黪幂奄。 2 4 3 艨律癞港媳变化 我们蹙义光纤舱有效长度l e 簿o ( - v t l ) l o ：，则自相位调铡弓| 超斡 线 性相移司+ 表示为：妒。( 工，功= i u ( 仉r 孵( 岛，上。) 。最大捆秽出现程脉冲的中心， 都r = o 懿t 因为甜是润一他的，卵 u 戆o ) t = i t 艨以，缸= 岛，= 线e 谊痘自裰镶诵裁断致冁曦是螽套，对予笼瞩嗽商瓣敝狰，霄如下关系： 巍k 。= o 8 6 九。 。2 。2 4 其中矗鳓= l ，磊，是幅度酶戮1 e 处黪拳宽度。 图2 。3 无啁瞅高斯脉冲j ；i 留s p m 麟宽频谱的计算值 图2 + 3 为自桷褴调卷爝宽频谱的计算蘧，依次为蟊。= 霈，1 。5 蕊2 5 瓤3 。5 霈。 9 第二章飞秒脉冲基础 2 5 脉冲在色散及s p m 作用下的传播 2 5 1 傅立叶变换极限脉冲 我们引入一个理想脉冲的概念，即傅立叶变换极限脉冲( t r a n s f o r ml i m i t e d p u l s e ) 。一个脉冲的脉冲包络( 时域) 半高宽址，与其频谱( 傅立叶变换光谱) 的半高宽v = o 2 x 的乘积( 时间带宽积) 必须大于等于一个常数r ，即 a t * a v r ，r 依波形而异，对于高斯脉冲，r = 0 4 1 4 ，对于双曲正割脉冲， k = o 3 t 5 。这就是说，一定的脉冲时域波形，它的光谱分布不一定相同。或者 说，或者说，相同“r ) 的脉冲，并不一定有相同的“) ，这取决与脉冲的位相因 子妒( f ) 。当这个位相因子妒( f ) 是个常数时，出与a v 的乘积最小，我们称这样的 脉冲为傅立叶变换极限脉冲换句话说，对于同样的谱宽y ，当( ) = c o n s t 时傅立叶变换获得的脉冲最短。 2 5 2 脉冲在色散介质及调制器件中的传播 当脉冲本身含有位相调制或通过含有二阶以上的色散的介质时，时间带宽 积大于常数k 。以高斯波形入射脉冲为例，表2 1 列出了传播后的脉冲特性。 表2 1 超短脉冲在色散介质及调制器件中的传播 传播后、 入射脉冲介质或位相调制啁啾脉宽谱宽 变换极限脉冲正或负群延色散上或下啁啾变宽不变 变换极限脉冲二阶位相调制上或下啁啾不变变宽 线性啁啾或下啁啾正或负群延色散上或下啁啾变宽变宽 线性啁啾或下啁啾负或正群延色散可能无啁啾可能变窄可能不变 2 5 3 脉冲在色散和s p m 共同作用下的传播 我们给出脉冲在色散和s p m 共同作用下的传播规律。其结果如表2 2 所示， 上为脉冲传播的长度。 。鎏三堑篓墼鐾登羹憨， 表望。2 脉冲在镪散稿s | p 黼共黼作雳下的传播 点胁岛 s 粥镬g v d脓狰嶷纨 l l ml 娥上d 滩翰盛作用无嗡撼佟用保持不整( 形 状尉枷始脉 冲) l 占与毛接遥， 嚣繇整簿蘑起弗麓辣洚壤惫； 频落不爨。 或b 岛 点卑三舰接近，上l o 越作蕊无弱髅雅穗频谱艨爨； 脉瑚不菠。 戚l 委与接遥，乏粤厶接近， 起僚爝起穆耀 霆 0 ，可溺 或 或z l o 来进行脉冲雁 绩；愿o ， 孤子甓瓣 2 6 踩肆鹾缩 毙学躲游豹赋端一般憩分簿黪来爨躐。我瓣酋先暇宛夸带宽鞭铡韵输入黪 耪，箕过凝裁下；簿一步，髭先强黼手艨静一令鞫链调制碳f ，这个捆懋鬻潮蘸站 w 以是觚自褶位调制褥到的，那么遽个脉冲在频率域就被餍宽了，在时阀域贸4 是 碉嗽，它豹封闽域波形艇 一般黪凝谢改变，或缓少改变。只照相谴改变了，垂 魏鼗爨戳i 誊掰餐劐瓣，辩予一令缝夔鼗霉 鼗棱实嚣，笼被澎予啜蔽，鑫鞣蕊 谲铬i 并不改变辣洚澎状。只是巍落穗稳疆改变1 ；第二步，靛脉狰逶过器释色散 器件，对黢弹进杼撬绱，遂豢的办法枣；光纾一巍援对脓冲艨瓣，空心渡薅一棱镜 对一色散镜脉冲腻缩。 第二章毪移稼蹲基础 黼2 。4 遴过蜜襁僮溺潮黧璃瞅誊转德匿缝躲渖示意图 2 。7 嵩瞬棼线性效应 第美麓始出的镑播蠖德，讨谂懿范围只是最低阶盼g v d 糯s p m 效应。瓣予昧 宠磊 l p s 麓超短躲游，黎露要嚣蕊毯捂囊黪包毅鞠 蓼绫穗羧应翁广义攀缆褴静 定谔方税。黧数学具体表迭落式，将在下一章给媸。本节讨憾舫嘉蘩对离瓣棼缆 褴效盔，憾搔自潍蛸散发霸受激控鼹黻装徽一下潴攀介绍。 2 7 1 鑫髓精效簌 党艨滞煞垂陵罴瓣遵滚对宠黧黪依浆关系避畿鹣，鑫醚每致了趣短黪黪$ p m 展宽频谱的不对称蚀。我们用参量s = l ，嚣来描述自陡峭散随。超作用缀袈是 红穆蜂较麓移蜂有较大的酶幅；蓝裥鞍红镄| 有更大的s p m 散频谱餍宽。圈2 。5 绘 盛了s z = 娃。b 0 。2 缝篮s = 0 。瓣鹣骧洚黪姨酸诗箕缡聚。其中霉= z l 点髫互。 塞 第二章飞秒脉冲基础 图2 5 无色散情况下高斯脉冲的自陡峭 2 03 04 0 t o 图2 6 无色散情况下高斯脉冲自陡峭频谱 2 7 2 受激拉曼散射 受激拉曼散射( s r s ) 是光纤非线性光学中一个很重要的非线性过程。在任 何分子介质中，自发拉曼散射将- - + 部分入射功率由一光束转移到另一频率下移 的光束中，频率下移量由介质的振动模式决定，此过程称为拉曼效应。量子力学 描述为：入射光波的一个光子被一个分子散射成为一个低频光子，同时，分子完 他 ：宝 呲 叩 量* e 旦e 眦 眦 0 o 一 一 一 o o o 第二章飞秒脉冲基础 成其两个振动态之间的跃迁。入射光作为泵浦产生称为斯托克斯波的频移光。 在光纤内同时发生的s p m 和其它非线性效应，如s r s 、f i n d ( 四波混频) ，能 将超短脉冲的频谱展宽至l o o n m 或更宽，这种极端的频谱展宽现象称作超连续谱 的产生。 2 8 光孤子简介 在某个光谱区域中，非线性效应和色散具有相反的符号，脉冲的传播具有 完全不同的性质。此时非线性薛定谔方程的解预言，脉冲在光纤中保持波形不变 或周期性重复。这就是所谓的光学孤子。它的存在可以解释如下。非线性折射率 造成光谱展宽以及上啁啾。因为屈 0 ，在脉冲尾部产生的低频分量比在脉冲前 沿产生的高频分量传播得快，啁啾与色散相互抵消。当然，只有对特定脉冲和光 纤才能完全抵消。 基态光孤子的标准形式为： u ( f ，f ) = s e e h ( r ) e x p ( i 掌2 ) 2 2 5 其中，f = z l d ，f = t t o 。 光孤子是展 5 p s ，参掌( 瓦) 。 和t i t og 艮d ，则方程3 3 9 中的最后两项可以忽略；同时，对于这种脉冲，三阶 色散项的贡献也很小( 只要在波波长不十分接近光纤零色散波长) 。则广义非线 性薛定谔方程3 3 9 退化成非线性薛定谔方程( 口= 0 时) 3 2 4 。 我们引入一个对初始脉宽归一化的时间量r 以及归一化振幅u r ：t t o ：! 二! ! 兰 3 4 0 a ( z ，f ) = 币。a z 2 u ( z ，f ) 3 4 1 式中，只为峰值功率，指数因子代表光纤损耗。 并且，作如下定义： 厶2 禹厶2 商t , 3 k 2 两1 s 。z = z | l d 胪。等。舒懈f 3 4 3 第三章；广义非线性薛定谔方程 l j = 一 瓦 则方程3 2 4 和3 3 9 可以分别写成： f 詈吲属) j 1 萨a 2 u _ n 2 e - a ： u 2 u a u + f s g n ( p ：) 8 2 u ： 出 2 l 。 a r 2 等万8 3 u + ，i e - a zc 啪+ 括华训掣， 3 2 脉冲传播在特殊条件下的解析解 3 4 4 34 5 3 4 6 在某些特殊情况下，可以求出脉冲传播方程的解析解，而不需要直接去解非 线性薛定谔方程，下面将直接给出结果。 3 2 1 只有色散的作用 假设入射脉冲为u ( o ，t ) ，其傅立叶变换为： u ( o ，国) = iu ( o ，t ) e x p ( i w t ) d t 则有： ，丁) = 去西( o ，) e x p ( 兰岛国2 z + i i 屈( 0 3 z - i ( o t ) d m 3 2 2 只有自相位调制 3 4 7 3 4 8 定义光纤的有效长度和自相位调制引起的非线性相移痧。( 上，r ) 分别为 = 1 一e x p ( 一g l ) l a “( 厶r ) = i u ( o ，吖( 如) 脉冲频谱的真实形状s ( 国) 为： s ( 脚) = i u ( 。，r ) e x p 【( f 妒，( 上，r ) + f ( 国一。气) 丁) 】d r | 2 34 9 3 5 0 3 5 1 第三章：广义非线性薛定谔方程 3 2 3 无色散、损耗下的自陡峭效应 定义归一化距离z = z l n l 3 5 2 又有：历= 屈= 0 ，靠= o 和口= 0 则方程3 4 6 变为： 一au+5掣刊2uaza f 将u = 4 7 e x p ( f 庐) 代入上式，并将其实部和虚部分离，可得 丝+ 3 盯丝：0 o z a f 盟+ s l 丝：， a z刁f 其通解为： l ( z ，r ) = f ( r 一3 s l z ) 这里，用到了初始条件： i ( z ，f ) = f ( r ) 其中，厂( f ) 描述了z = 0 处的脉冲形状a 例如，考虑高斯脉冲情形，则有： i ( o ，f ) s 厂( f ) = e x p ( 一f 2 ) i ( z ，f ) = e x p - ( r - 3 s l z ) 2 】 我们需要对每个r 求解，以得到给定的z 值处的脉冲。 脉冲的频谱为： s ( 出) ：ir 【，( z ，f ) 1 ”e x p i ( z , r ) + f l e a 一) r d f i i z 3 3 分步傅立叶法 3 3 1 分步傅立叶法 我们把方程3 3 9 写成如下形式 35 3 3 5 4 3 5 5 3 5 6 3 5 7 3 5 8 35 9 3 6 0 第三章：广义非线性薛定谔方程 掣：( 缶膏) 爿 3 6 1 c ) z 刍= 主屈景+ 吉岛导 se z 涵y t l a l 2 + 瓦ij 1 而0 ( m a 警】 3 6 3 d 是差分算符，表示线性介质的色散和吸收；是非线性算符，决定了脉 冲传输过程中的非线性效应。 一般说来，沿光纤的长度方向，色散和非线性是同步作用的。分步傅立叶法 通过假定在传输过程中，广场每通过- d , 段距离h ，色散和非线性效应可以分别 作用，得到近似结果。即从z 到z + 的传输过程分两步进行。第一步，仅有非线 性作用，方程3 6 1 中d = 0 ；第二步，仅有色散作用，方程3 6 1 中= o 。其数 学表示为： a ( z + ，t ) e x p ( h d ) e x p ( h n ) a ( z ，r ) 3 6 4 指数操作e x p ( h d ) 傅立叶域内进行： e x p ( hd ) b ( z ，t ) = f , - 1e x p hd ( i c o ) 辱b ( z ，t ) 3 6 5 辟表示傅立叶变换，巧1 为傅立叶逆变换。 分步傅立叶法已广泛应用于各种光学领域，包括：大气中的光传输，折射率 梯度光纤，半导体激光器，非稳腔和波导耦合器等。当它应用到连续波在非线性 介质中传输的情形时，要用衍射代替色散，这时通常被称为光束传输法。 虽然分步傅立叶法运算相对简洁，但需要小心选择z 和r 的步长，以保证精 度要求。特别是，它需要计算守恒值，如脉冲能量( 无吸收情况) ，来监视精度。 最佳步长的选择依赖于问题的复杂程度，且有时需要减小步长重复计算来保证数 值模拟的精度。 一般来说，只要小心使用，分步傅立叶法是一个很好的工具。 除了分步傅立叶法外，还有有限差分法可以用来解n l s 方程，这里不再作介 绍。 3 3 2 分步傅立叶法解非线性薛定谔方程例预子传输 我们假设孤子脉冲包络的振幅为a ( z ，t ) ，并且作如下定义 第三章：广义非线性薛定谔方程 u 2 击吩毒一号： 我们可以得到孤子传输的方程： ，詈瑙峨珐害圳f 巾 。e e 其中，n 为孤子阶数，在反常g v d 情况下，s g n ( f 1 2 ) = 一1 。孤子传输具有周 期性，其周期为： 毛2 争2 詈禹 。e ， 我们通过解非线性薛定谔方程3 6 6 来验证孤子传输的周期性。计算结果如 下：分别计算一阶、二阶、三阶孤子的传输，各图中所示由前至后间距为o 1 2 0 ， 最前面的为输入脉冲，最后的为一个周期后的输出脉冲，和输入脉冲相同。 与o _ 4 0 _ 2 0 ( o 。) t 。2 0 4 06 0 l jl 图3 1 一阶孤子传输( 频域图) 0 5 o 5 o 2 1 1 0 n 扫i s c 卫u | 第三章：广义 # 线性薛窥湾方程 2 0 1 8 4 8 1 4 1 2 1 ，鑫 0 + 8 0 6 蠡4 0 + 2 o o - 4 0- 3 0 - 2 0 一 0o o2 0 3 04 0 弼 豳3 。2 一瞬疆予传羲( 时蠛l i t ) 我裥可阻看到，辨孤子在抟输过程中僳持不变。丽下面灼围剐展现了高附 孤子的周期性。 蚤 。丽 c 翌 量 壕o4 0 _ 2 0 ( 咒。) t 。2 0 4 06 0 网3 。3 二盼孤予传输( 频域图) 鸢蔼。冀暑 第三鬻：广义j # 线性薛定谔方程 , - 4 03 0 - 2 0* 1 001 02 04 0 t r r o 图3 4 二阶孤子传输( 时域圈) 2 魏强矫示对予二阶孤子，当传输至半周期奇数倍时，脉冲蹑缝兹最短。 一6 04 0- 2 0 02 04 d6 0 f 一g ) 0 ) t o 图3 5 _ - - 阶孤子传输( 频域圈) o 5 o 5 d 2 1 ， o o 誊c嚣c一 藜三章：广义罄线性薛庭褥方程 8 0 5 ，5 5 o 4 5 4 0 3 ，5 3 。0 2 ，5 2 0 1 。5 ，0 0 。5 0 0 - 0 ，5 - 4 0 - 3 0 2 0一，001 02 04 0 ，绣 醋3 。6 _ - - 阶孤予传输醚域圈 我弼露强蓍副，霹予三酚瑟予，鲞佟输至半周裁奇鼗嵇时，融冲突垒势裂溅 双峰。 誊肇h昱孽一 第四章：中空光波导 4 1 中空光波导参数1 6 i 4 1 1 中空光波导结构 第四章中空光波导 高能脉冲的压缩有以下几点要求： 1 在有大尺度截面的波导介质中传播； 2 单模运转： 3 介质有快速而且高的z 3 ) ： 4 介质有高的损坏域值高的自聚焦临界功率。 而充满惰性气体的中空光波导正解决了以上问题；基于充惰性气体的中空光 波导展宽光谱，随后进行压缩，给我们提供了一个向超短脉冲进军的强有力武器。 中空光波导的结构，如图4 1 所示 n 2 ( n ，) 图4 1 中空光波导结构图 到目前为止，充气空心光波导是唯一被证明了的能产生高能量超宽带光谱的 方法。此项技术的优点在于，它可以采用大孔径单模波导以及高多光子电离阈值 的气体。实验证明中空光波导具有传输效率高，相互作用长度长和空间模式好等 许多优点，并且还有能力处理数百微焦能量的脉冲。而在中空光波导中充入惰性 气体则是有效地利用了惰性气体电离阈值较高、在不是太高的气压下就有很好的 三阶非线效应以及非线性效应由气压可控等优点。 第四章：中空光波导 4 1 2 中空光波导的基模( e h 。模) 参数 对于中空光波导，它的各项基模( e h 。模) 参数以下形式： 强度的半径分布： ，( r ) o c 名( 2 4 0 5 l ) 口 位相常数： = 讣圭 警 2 场衰减常数： o r f 2 4 0 5 1 2 名2 v 2 + 1 i 2 l 百j 万万亏 其中： v e 臻n 2 4 1 3 中空光波导的各阶模及耦合效率 4 1 4 2 4 3 4 4 在中空光波导中，其各阶模式如图4 2 所示； 对于不同的模，各阶模的衰减常数也是不一样的，以e h 模衰减最小：且各 阶模的耦合效率是不一样的。对于不同的模，耦合效率如图4 3 所示；可见，对 于e h 。模，我们可以获得最佳的耦合效率，所以，我们在实验中，一般采用e h l 模。 第四章：中空光波导 图4 2 中空光波导的各阶模 图4 3 各阶模的耦合效率 第四章：中空光波导 4 2 惰性气体参数 4 2 1 惰性气体参数的计算 气体的折射率聆依赖于气体的压强p ( a t m ) 和温度r ( k ) j o n = 2 粒器+ ， i ，2 ( ，一蓦甜” 。s 其中是在标准条件下( p o = l a t m ，r o = 2 7 3 5 k ) 的线性折射率，可以由式 4 5 8 1 求得。也是真空中的波长。 n 0 2 - 1 = 5 5 4 7 叫半+ 半+ 半+ 半 4 6l 又由4 6 式我们便可以求得各阶色散值( 其中纸为中心角频率) 。 口：竺刀 c 成_ 箬 。 而对于非线性折射率 ：，我们可以由关系式4 7 求得7 】 p = 9 8 x 1 0 “m 2 w 4 2 2 自聚焦临界功率 4 7 4 8 对于输入的脉冲，由于自聚焦作用，有一个临界功率，例如，对于高斯脉冲， 我们有【9 】： 昂乓 0 , 5 4 9 0 = 厶2 2 z n 2 = 凡2 2 z r l 2 p 41 0 仍= n 2 p 41 1 其中，晶为输入脉冲峰值功率：只为i 临界功率；凡为中心波长；仍为非线 性折射率与压强的比值。 第四章：中空光波导 4 2 3 充气中空光波导的损耗与色散 对于充惰性气体的中空光波导的损耗，我们可以由4 3 式求出；而其色散值 则需是4 2 与4 7 求出的材料色散与波导色散的和。 e 三卫 入 ( m ) 图4 4 中空光波导的损耗 如图4 4 所示，是半径为l o o l “m 的中空光波导在压强为3 3 b a r 氩气的情况 下的损耗曲线；图4 5 正是这一情况下的色散曲线图。我们可以看到，波导色散 是一个很小的负值( 相对于材料色散) ，以至于材料色散与总色散相差不多。所 以，在精度要求不是很高的情况下，我们有时可以忽略波导色散，而直接用材料 色散当作总色散。 毒，s 。一。 0 0 0 0 0 0 0 200 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 e 0 0 0 0 0 0 0 b 00 0 0 0 0 1 0 九( m ) 图4 5 充气中空光波导的色散 第四章：中空光波导 下面，我们再来看一下材料色散与波导半径和压强之间的关系。首先，我们 保持半径不变( 1 0 0 “m ) ，压强值分别为2 、3 、4 b a r ，其结果如图4 6 所示，我 们可以看到色散值随压强的增加而增加；其次，我们保持压强不变( 3 3 b a r ) ， 半径值分别为5 0 、1 0 0 、1 5 0 p j n ，结果如图4 7 所示，我们可以看到，色散值随 半径的增加而增加；而且，从图4 5 、4 6 、4 7 我们还可以看出，色散随波长的 增加而减小。 。”一。0 0 0 0 0 0 4 紫硒。”一。一” 图4 6 材料色散与压强的关系 图4 7 材料色散与半径的关系 此外，我们还可以由公式4 3 可以看出，损耗随半径的增加而减小，随波长 的增加而增加。 8 日 也 啦 雌 l 宴 3 2 e ， 第四章：中空光波导 4 3 实验背景 4 3 1 典型实验装置 典型的装置是初始脉冲经过充气中空光波导进行频谱展宽后，再经过压缩装 置( 棱镜对，棱镜对和光栅对，啁啾镜等) 进行色散补偿来压缩脉冲。 图4 8 空心光波导和棱镜对压缩脉冲的实例 如图4 8 所示，正是利用中空光波导和棱镜对对脉冲进行压缩的典型实验装 置图。 4 3 2 世界上的实验进展 正如我们在绪论中所说的那样，人们在2 0 0 3 年l o 月，获得了3 8 f s 1 1 的超 短脉冲，同年1 1 月，便达到了3 4 f s 2 1 ，而到了2 0 0 4 年，这个记录又被刷新为 2 8 f s 吼人们获得3 8 f s 和3 4 f s 的实验装置分别如图4 9 和4 1 0 所示。 第四章：中空光波导 4 3 3 计算的目的 图4 93 8 f s 实验装置图 图4 1 03 4 f s 实验装置图 如上所述的实验虽然得到了极短的脉冲，但其能量都很低( 约o 5 山) 。这些 损耗首先来自脉冲展宽时的中空光纤的耦合和传输损耗，其次来自压缩系统中光 栅以及液晶光调制器的损耗。对实验进行理论计算，可以得出各种情况下的结果， 从而对实验有一定的指导作用。当然，理论计算不能完全代替实验，并且，由于 实验中存在各种确定的和不确定的因素，其结果也不可能和计算结果完全相同。 我们的目标是，通过理论计算，得出得到具有较高能量的极短脉冲的实验条件， 从而对实验进行指导和辅助。 第四章：中空光波导 4 4 光谱展宽的理论估算 4 4 1 最佳展宽长度 我们定义归一化的脉宽及归一化的谱宽分别为口= f ，( 0 7 加， = a o j ( z ) 甜o ( * 0 9 0 = 4 1 n 2 t p o ) ，以及传播距离f = z l d ，由非线性薛定谔 方程，我们可以得到如下方程： 笔：4 1 n 2a 厅- f 1 2 - 1 。+ ( 4 1 n 2 ) 2 竺孝掣4 1 n 2 ( 1 + 丝o 4 1 2 d 亡g t g t 口 筹= 嘉刨删2 ( 钾l d ”掣生l n l 上。z 2 一伯 初始条件是口( 善= 0 ) = 1 及觑手= 0 ) = 1 。有趣的是，脉冲和光纤的参数在方 程中只表现为k 三。这组常微分方程可以用数值积分做出来。对于熔融石英 光纤( 展m 6 x 1 0 4 f s 2 m ，“3 2 1 0 。6 c m 2 w ) 来说，有效芯面积是1 0 a n 2 ， 设入射脉冲是5 0 0 f s ，波长是6 0 0 h m ，峰值功率1 2 k w ，则得l d 工m = 1 6 0 0 ，其中 厶“4 2 m ，三“0 0 0 2 6 m 。图4 1 l 绘出了方程的解。可以清楚地看到，光谱 展宽有一个类似饱和的特性，而脉宽的展宽基本上成线性。这个例子中，光谱展 宽倍数约为2 0 。这就限制了可能被压缩的脉冲的宽度。 为了压缩脉冲，需要极大地展宽脉冲光谱。但是图4 1 1 告诉我们，这并不 需要特别长的光纤，因为展宽在一个有限的长度l ，内已经基本完成。为了获得 最大的光谱展宽。与k 的近似关系式，我们可以这样做，先用微扰法解出 4 1 _ 2 ，4 1 3 式的渐进解，然后把卢= 。代入4 1 2 ，这样得到一个时间展宽 口= 2 ( 5 + 1 ) i n 2 考序。这个解再代入4 1 3 ，以昴和为积分上下限积分4 1 3 得到 小雠，a 每壶古 一，t 第四章：中空光波导 得 若选择知= l ，k ，并设此时的厦靠) = 肌。，m 可以用百分数表示，则 成k 百l n l 。而1_ d - 。、1， 4 1 5 图4 1 1 表示的是4 1 2 ，4 1 3 式的数值解。这个解给出，与k 和三。关系 弘鲁“成地s 胨 一侣 为了满足4 1 5 ，即成。三。昂= c o n s t ，利用4 1 6 式，l ，应该满足 l fo c l d l n l 4 1 1 在这个例子中，光谱达到最大展宽的9 5 时，l , - = 2 9 如三。z4 3 c m