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四川大学硕士学位论文 切变带形成模型的混合有限元分析 计算数学专业 研究生袁洋懿指导老师冯民富 混合有限元方法是上世纪六七十年代逐渐发展起来的，一般涉及两个或两 个以上的有限元逼近空间。该方法在弹性力学，流体力学等方面有着很好的应 用，七十年代b a b u s k a 和b r e z z i 分别提出了混合有限元的抽象理论，奠定了混 合法的理论基础。 本文讨论了一类非定常的切变带形成模型的半离散混合有限元方法，该问 题包含了两个耦合的非线性偏微分方程，含有速度与温度这两个未知量，模拟 了热塑性材料剪切变形的非线性瞬态问题。该模型在金属成形加工过程，弹道 冲击及渗透过程等领域具有很重要的应用价值。最早由m a d a n i 与m a d d o c k s 1 考虑了切变带模型的一维情形，f r e n c h 与g a r c i a 对该问题作了半离散有限元逼 近，在对真解和离散解作了一定的正则性假设的条件下，给出了r 范数下的误 差估计。谢小平等 3 】对该问题发展了一种全离散的有限元格式，并导出了相应 的误差估计。本文的主要目的是引入一个中间变量，构造出新的混合变分格式， 并采用r a v i a r t 。t h o m a s 有限元空间逼近，最后得出半离散解的上2 范数的误差估 计。 关键词：切变带形成模型混合有限元半离散 r a v i a r t t h o m a s 元 四川大学硕士学位论文 am i x e df i n i t ee l e m e n ta n a l y s i sf o ra ne v o l u t i o n p r o b l e mm o d e l i n gs h e a rb a n dd e f o r m a t i o n m a j o r ：c o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s g r a d u a t e ：y a n g y iy u a n a d v i s o r ：m i n - f uf e n g t h em i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o dh a sb e e nd e v e l o p e dd u r i n g19 6 0 sa n d19 7 0 s ， w h i c hc o n t a i n st w oo rm o r ea p p r o x i m a t i o ns p a c e sm o s t l y t h i sm e t h o ds h o w sa b e t t e rn u m e r i c a lr e s u l t st h a nt h eg e n e r a lw a yi nm a n yf i e l d s ，l i k e e l a s t i c i t y , f l u i d d y n a m i c s b a b u s k a ( 1 9 7 4 ) a n db r e z z i ( 1 9 7 4 ) f o u n dt h eb a s i ct h e o r yo ft h em i x e d m e t h o d s h e a rb a n d sa r et h i nr e g i o n si nat h e r m o p l a s t i cm a t e r i a lw h e r et h es t r a i nr a t ei s v e r yh i g hd u et ot h ea p p l i e ds t r e s s e s t h ep h e n o m e n ah a sr e c e i v e di n c r e a s i n g a t t e n t i o ni nr e c e n ty e a r sa n di sb e l i e v e dt ob eac r u c i a lp a r to ft h ed e f o r m a t i o n p r o c e s si nm e t a lf o r m i n g ，b a l l i s t i ci m p a c ta n dp e n e t r a t i o n i nt h i sp a p e rw ea r eg o i n g t od i s c u s sas e m i d i s c r e t em i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o df o ran o n l i n e a rp r o b l e m w h i c hm o d e l i n gt h ea n t i p l a n es h e a rd e f o r m a t i o n so fat h e r m o p l a s t i cm a t e r i a l t h e o n ed i m e n s i o n a lv e r s i o no ft h i sm o d e lw a sc o n s i d e r e d i n 1 】b ym a d a n ia n d m a d d o c k s ，f r e n c ha n dg a r c i ad i s c u s s e das e m i - d i s c r e t ef i n i t ee l e m e n t i 四) 1 1 大学硕士学位论文 a p p r o x i m a t i o ni n 2 】u n d e rs o m er e g u l a r i t ya s s u m p t i o n sf o rt h ee x a c ta n dd i s c r e t e s o l u t i o n s ，t h e yo b t a i n e da ne r r o re s t i m a t ei nfn o r m x i ex i a o p i n g ，f e n gm i n f u a n dl u j i n - s h ud e v e l o p e daf u l l yd i s c r e t ef i n i t ee l e m e n tm e t h o df o rt h i sm o d e li n 【3 ， a na l t e r n a t i n gs c h e m ew a sp r e s e n t e dw h i c hl e a dt ot w od e c o u p l e dl i n e a ra l g e b r a i c s u b s y s t e m s ，a n da n e r r o re s t i m a t ew a sd e r i v e d t nt h i s p a p e r ，o u rp u r p o s ei s t o i n t r o d u c ean e wv a r i a b l ew h i c hi sf o r m e db yt h et w op r i m a lv a r i a b l e s ，t h a ti s ， v e l o c i t ya n dt e m p e r a t u r e ，c o n s t r u c tt h em i x e df o r m u l a t i o n ，u s et h er a v i a r t t h o m a s f i n i t ee l e m e n tt oa p p r o x i m a t e t h e nd e r i v ea l le r r o re s t i m a t ei n 三2n o r m k e yw o r d s ：s h e a rb a n df o r m a t i o n m i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d s e m i d i s c r e t er a v i a r t t h o m a se l e m e n t 四川大学硕士学位论文 1引言 有限元方法是数值求解各类偏微分方程的一种方法。最早在1 9 4 3 年， c o u r a n t 提出了在三角形网格上用逐片线性函数去逼近d i r i c h l e t 问题，这是有 限元方法的最原始的思想。2 0 世纪5 0 年代开始，航空工程师们开始大量将有 限元方法用于求解结构问题。2 0 世纪6 0 年代中期，以冯康先生为代表的中国 学者与西方学者分别独立建立了有限元方法的数学理论基础，使之发展成为一 种系统的数值方法。至今有限元方法已经在工程力学界广泛的用于各种定常结 构问题的数值求解上，并且在流体力学，多孔介质的渗透力学等等许多学科都 已经得到广泛的应用，同时形成了完善的有限元数学理论。 有限元方法的基本思想就是将微分方程边值问题转化为相应的变分问题， 然后利用分片多项式离散求解。但对同个微分方程，往往存在不同的变分形 式。例如对于二阶椭圆问题，基于h e l l i n g e r - r e i s s n e r 变分原理，可以得出混合 变分形式。 混合有限元方法通常涉及两个或两个以上的变量以及有限元空间。例如 在多孔介质流的计算中，在通常的有限元变分形式已有的压力变量的基础上， 引入速度变量，利用混合有限元方法同时求解，这样求得的速度的数值解会比 先求出压力，再求导得出的速度的数值解具有更高的精度。在流体力学的s t o k e s 问题中，本身就含有两个变量，g a l e r k i n 方法需要两个逼近空间，实质上就是 要采用混合有限元方法。一般的混合有限元变分形式往往等价于经典的能量泛 函的极小问题，而混合有限元方法一般是和鞍点问题( s a d d l ep o i n t ) 相关的， 也就是说混合变分形式等价于一个鞍点问题。 混合有限元方法的关键是两个逼近空间的选取，人们已经证明了逼近空间 四川大学硕士学位论文 必须满足所谓的i n f - s u p 条件，或者称为l b b ( l a d y z h e n s k a y a b a b u s k a b r e z z i ) 条件。在实践中，工程师和数学家们构造了许多满足i n f - s u p 条件的有限元，如 r a v i a r t 和t h o m a s 在19 7 7 年提出的r a v i a r t t h o m a s 元，b r e z z i ，d o u g l a s 和m a r i n i 在1 9 8 5 年提出的b d m 元等等。 本文讨论了一类非定常的切变带形成模型的半离散混合有限元方法，该问 题包含了两个耦合的非线性偏微分方程。 m a d a n i 与m a d d o c k s 1 考虑了切变带形成模型的一维情形。接着f r e n c h 与g a r c i a 2 j r j 该问题的二维情况作了半离散有限元分析。谢小平等【3 】应用修正 过的c r a n k - n i c o l s o n 方法给出了该模型的全离散方法。本文的主要目的是讨论 上述模型的混合有限元方法，在空间的半离散上应用了r a v i a r t t h o m a s 元逼近 并给出半离散解的误差分析。 本文首先将介绍一些混合有限元方法的基本理论，然后给出切变带形成 模型的混合变分形式，引入r a v i a r t t h o m a s 有限元空间，最后给出误差分析。 2 混合有限元的基本理论 下面以二阶椭圆方程为例介绍下混合有限元的基本理论。 考虑如下齐次d i r i c h l e t 问题， 肋：一妻d ，仁，d ，“) ： j = 1 “i ，= 0 ， 其中d = 1 , 2 。 i n q e r ) r 为边界 通常的变分形式为0 “，v ) = ，v ) ，对v v e h ：心) ( 2 1 ) ( 2 2 ) 四川i 大学硕士学位论文 若令双线性形式口o ，v ) 2 善q “d i v ，则变分形式为 a 0 ，v ) = ( 厂，v ) ，v v h ： ) 。 人们已经证明，假设口。g ) 为对称矩阵，则以上的变分问题与日：q ) 空间上的一 个能量泛函的极小问题等价，即求 删m i ( n ) n ，( v ) = j l 上弘d p v d j v 一上少 引入向量p ，令p i = 口，d j u ，i = 1 ，d ，其中“为问题( 2 1 ) ，( 2 2 ) f 1 9 解。 则原问题可以改写为以下的一阶问题， p ，= d ，“ d i v p + f = 0 i n q ，i = 1 ，d i n q r 为边界 ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) 在实践中很可能对p 的数值解更关注，如果我们采用通常的变分格式先求出数 值解，再通过0 ) 。= q “来求解以，会使误差精度很低，因此人们更 倾向于通过改写过的问题( 2 3 ) ( 2 5 ) 来构造变分格式，直接同时求解“，p ) 。这 也是采用混合法的一个主要原因。 仍然假设g ) 为对称矩阵，由椭圆算子的正则性，系数矩阵g ) 存在逆 矩阵，记为口9 g ) ，显然口”( x ) 也是对称正定的。人们已经证明问题( 2 3 ) ( 2 5 ) 的 解p 也可以由一个泛函的极小问题给出。在齐次d i r i c h l e t 条件下，定义 四川大学硕士学位论文 ，o ) = 圭口”g 西，称之为余能泛函。 并定义= g h 陋v ，n ) l d i v q + = o m q ) ，有如下关于最小余能原理的结论。 引理1 ：假设厂2 q ) ，a = 口，；f ，= l ，d ，则极小值问题 求p 矽7 ：，0 ) 2 脚7 0 ) 存在个唯一的解。 这个问题等价于 求p 删- 善即t 印对v g 叫。 并且解p 与方程( 2 1 ) ( 2 2 ) 的解“满足如下关系 p ，= q “，i = l ，d ，这里略去证明。 ( 2 6 ) 下面介绍鞍点问题，将d i v p + f = o 视为一个限制条件，仍然假设g ) 为对称 的，引入拉格朗日方程 三0 ，v ) = ，0 ) + f a ( d i v q + f ) v ，( g ，v ) 日( 斫v ，q ) r ( q ) 所谓鞍点问题就是求( p ，“) h ( a i v ，n ) x r ( q ) 使得满足 l ( p ，v ) l ( p ，“) l ( q ，“) ，x i j - v ( q ，v ) 日( ( f f v ，q ) r ( q ) ， ( 2 7 ) 易知若0 ，“) 是这样一个鞍点，那么限制条件讲v p + f = 0 必然满足。a l l 1 已经 证明，问题( 2 1 ) ( 2 2 ) 与( 2 ，6 ) 的解p ，材就是以上拉格朗日方程的鞍点，这一性质 通常称为所谓的h e l l i n g e r r e i s s n e t 变分原理，有如下结论： 引理2 ：假设f l 2 q ) ，为对称矩阵，则鞍点问题( 2 7 ) 存在唯一的解对 0 ，“) eh ( d i v ，q ) r ( q ) ，该解对也满足以下的等价问题 四川大学硕士学位论文 e ( 口f p ，。，+ “疥w = 。 v 。日( d i v , f 2 ) 似叩+ i ) v = 0 v v l 2 ( q ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) 并且，( 见“) 是( 2 8 ) 一( 2 9 ) 的解当且仅当“是( 2 1 ) 一( 2 2 ) 的解，且p 和“满足( 2 3 ) 。 现在我们已经将问题( 2 1 ) ( 2 ，2 ) 转化为了一个涉及两个变量的问题，由此可 以推出混合变分的离散形式， 求0 。，) e k ，满足 隆 饥咖。 o 协甲。+ f ) v h = 0 ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 其中c 日 v ，q ) ，kc 三2 心) 是合适的有限元逼近空间，k 不能随便 选取，而必须满足一定的条件，即 引理3 ：假设，k 满足如下的相容性条件，即， v v 圪，q q ，q 0 ： v , d i v q 。 - a l 。 l q 。忆) 蚓j 。 则问题( 2 1 0 ) ( 2 11 ) 存在唯一的解。 上世纪七十年代，b a b u s k a 和b r e z z i 分别提出了混合有限元的抽象模型 奠定了混合法的理论基础。引理3 中的相容性条件也称为i n f - s u p 条件，或者称 为l b b ( l a d y z b e n s k a y a b a b u s k a b r e z z i ) 条件。 下面主要介绍b r e e z i 的抽象理论。本文中的二阶椭圆问题，线性弹性力学 以及s t o k e s 问题等的混合有限元法均可以由该抽象理论得到很好的解释。如前 四川大学硕士学位论文 所述，若系数矩阵口。g ) 是对称的，则问题( 2 8 ) ( 2 9 ) 及它的离散形式( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 等价于拉格朗日方程的鞍点问题，但在以下的抽象理论中不需要这样的对称性 假设。 首先引入抽象分析的框架。令x ，m 为两个实的h i l b e r t 空间，分别具有范 数| h i 。，| h | 。，x 1 ，m 为各自的对偶空间，并引入两个定义在之上的双线性形式， a ( - ，) ：x x x r ，6 ，) ：x x 彤一r 满足 l a ( w ，v 】r 1 1 d l 川v i b ( w ，妒1 j 。1 1 4 。，x c v w ，v x ，妒em ( 2 1 2 ) 考虑如下的含限制条件的问题，求0 ，妒) z m ，满足 a ( u ，v ) + 6 ( v ，妒) = ( ，v ) v v x ( 2 1 3 ) b ( u ，庐) = ( g ，妒)v m ( 2 1 4 ) 其中，x 。，g m ，( ，) 表示x 与x f n q 或m 与m 间的对偶积。为将问题( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 变为通常的算子形式。定义算子一z ( x ；x7 l b l ( x ；m ) ，三( a ；b ) 为表 示由a 到b 的连续线性泛函空间， ( a w ，v ) = a ( w ，v ) v w ，v x ( b v ，) = b ( v ，) v v x ，庐m 用曰。l ( m ；x 1 表示b 的伴随算孚，定义为 ( b 妒，v ) = ( b v ，声) = 6 ( v ，) v ve x ，m 则问题( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 可以写成：求0 ，矿) x x m 满足 a u + b 7 = f i nx ( 2 1 5 ) 四川大学硕士学位论文 b u = g i nm 定义仿射流形 x s = v e x l6 0 ，) = ( 苫，声) ，v 妒m ( 2 1 6 ) 显然x o = k e r b ，即b 的核空阳 ，为z 的一个闭f 至唰。给出f 回的l 司越， 求“x 8 ，满足口0 ，v ) = ( ，v ) ，v v o 。 ( 2 1 7 ) 容易知道，若0 ，妒) 是( 2 1 3 ) 2 1 4 ) 的解，则u 是( 2 1 7 ) 的解。我们将给出合适的条 件以使这个说法反过来也正确。 定义x o 的极点集： x ：= ke x 1 ( z ，v ) = o ，v v x 。 ， 并将z 分解为x = x 。似。) 上。 引理4 ：以下的三个表述是等价的， 0 存在常数口+ 0 使得满足以下的相容性条件 v e m ，j v x ，v 0 ：b ( v ，庐) i l v l l 。1 1 1 1 。 ( 2 1 8 ) 算子召7 是从m 到z ：的同构且 i j b 7 o ，= s ：u j p - - ；鑫”2 + j 眵i l 算子曰是从似。) 上到 。的一个同构且 忙叱2 茹鬻猡l 。 在此引理的基础上给出主要结论： 引理5 ：假设双线性形式口，) 6 ( ，) 满足( 2 1 2 ) 式，口，) 在z o 上满足强制性，即 四川大学硕士学位论文 存在一个常数口 0 ，使得 a ( v ，v ) 口例； v v ex 。 并且“，) n n ( 2 1 8 ) 中的相容性条件，则对任意的，x ，g m ，存在一个唯 一的解“满足( 2 1 7 ) ，且有一个唯一的妒m ，使得0 ，妒) 是( 2 1 3 ) ( 2 ，1 4 ) 的解。映射 ( ，g ) _ ( ，) 是从x m 到x m 的同构，且有 恤i i 。铷毗i i + 恬i i 。 眵忆冰母i i 。 + 掣唧。 通过上述理论，我们知道若要是混合问题的解存在且唯，一般需要两个条件， 即引理5 中的强制性条件和i n f s u p 条件。在某些问题如s t o k e s 方程中，强制 形条件易于满足，难度在于构造有限元空间使之满足i n f s u p 条件。 以上就是关于混合有限元理论的一些基本知识，下面介绍本文的主要工作。 3 切变带形成模型的介绍 切变带形成模型模拟的是热塑性材料剪切变形的非线性瞬态问题，该模型 包含了两个耦合的非线性偏微分方程，在金属成形加工过程，弹道冲击及渗透 过程等领域具有很重要的应用价值。其数学模型如下： 考虑如下的初边值问题，求“= u ( x ，) ，0 = o ( x ，f ) ，使的满足： a ，“一v 0 p “) = f ，i n f i x 【0 ，r 】， ( 3 1 ) a ，口一a o 一( o l v o l 2 = g ，i n q 【o ，r 】， ( 3 2 ) “= 伊= 0 ，o n f 【o ，r 】， ( 3 3 ) 四川大学硕士学位论文 “( ，o ) = ，口，o ) = o o i n q ( 3 4 ) 其中q 为r 。中的有界区域，d = 1 , 2 ，具有光滑边界f ，u 和口为实值函数，u 表示势能，护表示温度，t 为一个给定的正常数，f ，g ，“。，o o 均为给定的。函数 p ) 在q 上足够光滑且满足k 。 p ) k ：，其中k l , k ：为正常数。a w 表示 撕 a t 。 本文以下内容中出现的c ，q ，s 2 ，岛，占4 以及。印。印。v c “均为正常数，且在 不同处可以代表不同数值。 4 混合变分形式 在实际问题中，p “具有物理意义，即它表示应力，为了尽量减少数值 计算带来的误差，我们希望在变分形式中直接加入这个变量的表达式作为一个 限制条件，为此引入中间变量一= 一p 弦“，令口p ) = p ) ，则 1 k 2 口p ) l k l 。 则原初边值问题变为： o , u + v 盯= f ， a ( o ) c r + v u = 0 ，i n t q x 0 ，t 】 a ，0 一a o 一口p h 2 = g ， “= 0 = 0 ， o n f x 0 ，t 】 ，o ) = ，秽，o ) = e o ，盯，o ) = 仃。i n q 其中显然有盯，o ) = ( o o 妒= c r o 。 引入空间y ：h ( 硪v ) ： f r ( q yi v f r 心，其范数定义为 q 四川大学硕士学位论文 删：= | | r | | ：+ l l v r 虻，其中| | | | 。表示通常的：范数。 则由g r e e n 公式，原问题的混合变分形式为： 对任意，e 0 ，t 】求p 以目) e v r ( q ) 础) 使得满足， 0 p p ，r ) 一( v f ，“) = 0 ，v f y ，( 4 1 ) ( a “，v ) + ( 审盯，v ) = ( 厂，v ) ，v v r 8 1 ) ， ( 4 2 ) ( a ，目，7 7 ) + ( v 臼，v ，7 ) 一仁p 和f 2 ，叩) = q ，叩) ，v 叩e 卅( q ) ( 4 3 ) 这里，0 的初边值仍然和原问题相同，而盯的初值则由定义盯= p 妒“决定。 5 混合有限元空间逼近 考虑半离散有限元方法，仍然对有界区域q 作三角剖分l ，h 为所有三角 形直径中的最大值。引入三个离散有限元空间 x u h 瓯，其中u h 为k 阶 的r a v i a r t t h o m a s 空间，s 为分片m 阶多项式空间，分别定义为， 。= h ( a i _ l ，) i “l ，d 。，v t t ) u = v 。l 2 ) iv 。i ，ep k - i ) v t et 瓯= 白。剜) lr i ，p 卅( t l v t et ，其中t 为三角剖分中的任意三角元， b 一。为d 元七一1 次多项式空间， d 。= 仉一，) “o x r 其中x r 4 为一个独立变量， ，( t ) 为t 上的d 元m 次多项式空间， 则半离散有限元变分形式如下： 对任意的，e 【o r 】，求奴，皖) ：【0 ，丁】专。s h ，使得满足 0 慨p ，“) 一勺“，叱) = 0 ，v r 。， ( 5 1 ) l n 四川大学硕士学位论文 p ，“。，h ) + ( v - 巩，v ) = u ，v 。) ，v v u 。， ( 5 2 ) ( a 。幺, r h ) + 勺以，v 玑) 一g 慨l 吒f 2 ，玑) = ( g ，玑) ，v 玑e s h ( 5 3 ) ( ，o ) = z 0 h ，以c ，o ) = o o 。，o ) = 盯。，且有。= ( o o 。弦“。 下面考虑该半离散混合变分问题的解的 享在唯一性。应用g r e e n 公式， ，“。) + ，“) = u ，“n ) ， ( + ) 其中r 表示区域的边界，n 表示法向量，( ，) r 表示边界上的对偶内积。 取“n i r = 0 ，由r a v i a r t - t h o m a s 空间的性质v = u ， 则由( 5 1 ) 式有= 一魄) v ， 在( + ) 式中令“取。中的任意量，则推出“。i r = 0 ，这说明在半离散格式中 自然满足零边值条件。 将= 一( 岛) v u 代入( 9 ) ( 1 0 ) 式，得到 ( a ，v 。) + 0 蛾“，v 。) = ( ，v 。l v v 。e u 。， ( 5 4 ) ( a ，鼠，r l 。) + 勺吼，v 巩) 一0 慨l v “。i2 ，i 。) ：( g ，巩) ，v 玑s 。， ( 5 5 ) 由f r e n c h 与o a r c i a 2 ，在有限元空间u ，s 中分别引入基向量，由g a l e r k i n 方 法，得到一组非线性的常微分方程组，根据常微分方程组的理论易知在【o ，丁】上 该方程组存在唯一解。 下面由有限元估计的一般方法，引入离散空间的插值算子， n 最为r a v i a r t t h o m a s 映射，满足， 勺( 一n 。f x v 。) = 0 ，v v 。u 。， ( 5 6 ) 勺f ，v 一& v ) - - 0 ，v “。， ( 5 7 ) 1 1 四川大学硕士学位论文 r 为椭圆映射，满足， ( v ( o - r n o ) , v r l ) = 0 ，v r l 。瓯。( 5 8 ) 根据以上插值，给出半离散问题的初值， “o = 只“o ，0 0 = r o o ，( 5 9 ) 的初值则由盯。 = 慨弦“。得到。 由f r e n c h 与g a r c i a 2 3 之q b 的假设，对原方程的解“，0 有如下的有界性估计， 舌l。l；。篆。，。+。，|(丢)z，。“l|。，。!；， c s ，。， 赢矗1 ) | f ( 舻七旭，膨， z t ， 其中口为多重指标。 由盯= p 弦“。同样对盯也有类似估计， 磊川。萎，。圳k 旦a t ) 。4 盯】| r 。h ，。n 彳 c s z ， 并且假设解盯，“，0 足够光滑。 则由r a v i a r t t h o m a s 有限元空问插值算子及椭圆插值的性质，并根据以上解的 光滑性及有界性估计，有： 忙一n 仃扎c h ， ( 5 1 3 ) 肛一只“j i 。c h ， ( 5 1 4 ) i o - r 。钆c h “， ( 5 1 5 ) 并且以上估计对a ，仃，a ，封，a ，口同样成立。 四川大学硕士学位论文 假设以，“为半离散变分格式的解，参考f r e n c h 和g a r c i a 2 ，我们假设 。m a ，x 1 l v ( r 一目一皖j j r f n ) c ， m 嚣l l v ( e , t l - - u h 犯f 0 ) c z 且口p ) 有如下性质，即对任意范数 肛p ) 一口( 皖c 归一只 下面估计中还要经常用到y o u n g 不等式 a b 国2 + c c 6 2 。 f 5 1 6 ) ( 5 1 7 ) 6 误差分析 定理4 ：在本文中假设( 5 1 0 ) ( 5 1 1 ) ( 5 1 2 ) ( 5 1 6 ) ( 5 1 7 ) 及以- f ( 6 7 ) 式均成立的情况 下，且三角剖分中而充分小，则对v ， 0 ，丁】，问题( 1 0 ) 一( 1 2 ) 存在唯一解 p ，绋) x u 墨，且与原方程的解b 鸬口) 之间满足如下估计， - - o 。畦凼sc h 2 “咿州 0 i l u 一“ n c h 晌咖“) l i o - 0 hl i 。c h “。“，”+ 1 其中。为l ：范数。 证明： 为进行误差分析，将方程( 4 1 ) - ( 4 3 ) 与( 5 1 ) ( 5 3 ) 相差，得如下误差方程， 仁p p a 魄p 。，“) 一( v 气，“一“。) = 0 p ，“一a ，) + p p 一盯1 h ) = 0 ， p ，口一a ，铱，巩) + p 一幺l v 巩) ：b p l 仃f 2 一口( 幺】1 2 ，) 些业查兰堡主兰堡望苎 由插值算子性质( 5 6 ) ( 5 8 ) ，可将上述方程改写为， q p p 一口慨h ，“) 一“，b “) = o ， ( 6 i ) n “一a ，v 一) + 勺( n 。仃一o h ) v h ) = 0 ， ( 6 2 ) ( a ，口一a ，绋，讥) + 勺僻。臼一只l v 巩) = b p 】盯1 2 口( 皖】1 2 ，巩)( 6 3 ) 由一般误差估计方法，令 0 一岛= 0 一r h o + r 0 一o h = 刁+ 刀， “一“ = 一只“+ 只“一u = 孝+ f ， 这样由( 5 9 ) 可得，万( ，o ) = 0 ，f ( - ，o ) = 0 。 ( 6 4 ) 由插值估计，我们仅需要估计万，f 及n 0 - - 0 。为此，首先估计n 。盯一，由 三角不等式及误差方n ( 6 1 ) ，( 6 2 ) ， 1 k ：i i h 。口一盯虻白p ：i ( n 。盯一盯) n 盯一盯) i 如p b 一口魄) n 一盯，1 1 一盯一】+ i 仁p b 一口( 岛b 。，h 。盯一】 j 娅p ) 口慨渺，f i 一盯一吒】一i p p 一兀盯l 丌。盯一吒】+ = t u - - a 胁，p - 1 2 h 】 = m 】+ m 2 + m 3 由假设仃的有界性及( 5 1 7 ) 式， m c i i o 一以扎】n 一盯一盯。忆c o b 忆+ 0 丌扎】i n 。盯一仃。i i 。 s c 。f 一艏+ c 。肛艋q - 8 1 f n 盯一仃膳 由口p ) 的有界性及s h w a r z 不等式 m ： _ c l i o - 兀一仃扎i i n 一盯一盯一扎c 。i o - f i d 1 i 十f ：i i n 盯一口艏 m ，陋“一a ，p h - h 】s 陋六0 + 1 ( o ，f ，f 】 i l 石d 慨+ 刚卜岛堋 1 4 四川大学硕士学位论文 由以上各项估计相加，两边积分，并由( 6 4 ) 式， j j 兀。盯一吼j j 0 恬，硎：+ c 。j 1 圳：出+ c 。1 p n 盯虻西+ c 。j ：幽+ c 。j 1l a ，f 畦出+ 岛j 1 圳：出 。 000 00 + g + 8 2 ) j g i 一盯i i ：d s 驳g 。，s ：充分小，并4 - a ( 5 1 3 ) ( 5 1 5 ) f f 3 插值估计，有 j l l n 盯一吼畦出 - + 1 1 ：+ c h 2 + c h 2 “2 心f l l , d s + 岛删：幽 00 下面估计f ，由误差方程( 6 2 ) p ，f ，h ) = 一p ，亭，) + h 一1 7 疗1 ) 令v = f = 只“一u ，得 ( 6 ，5 ) p ，f ，f ) = 一( a ，善，f ) + p 一1 - i 。仃) p ”一u h ) = 一p ，f ，f ) + 0 p p 一口魄p 。，盯。一f i c r ) 由三角不等式，y o u n g 不等式及s h w a r z 不等式，有 ；i d 。2 | ( a f f l + f p ) 一口 渺，兀。盯l + f o p 一) ，一盯j c l i o ，善忆l i d 。+ c l l e - l 。1 i 盯一f i 。盯扎+ c i p 一盯。忆0 盯一f i 。盯忆 c 。l p ，f + s 。i i f 畦+ c 。，0 万惦+ l h e ) + 占：1 l n 。盯一盯。畦+ c 。i l e r - 1 - i 。盯畦+ 毛i l n 。盯一盯i i ： + c 1 1 h 。盯一肟 两边积分，并注意到f ，o ) = 0 1 5 婴型查兰堡主兰竺丝苎 o ；o ：5c 。i t p ，掌1 i ：d ，+ s - 1 r1 f o ：d ，+ c n 【l 万1 1 ：c 妇+ i tl 印o ：凼j + c 。 ，、 代入插值估计得 i l f | | ：c a 2 + c h 2 ”+ 2 + sj 1 例：出+ c 也，毛) j 1 i n 盯一畦凼 0 0 最后估计石，由误差万程( 6 3 ) ，有 p ，。，_ ) + ( v 丌，v 叩) = 一( a 。叩，叩) + b p l d l 2 一a ( 6 】c r l 2 ，叩) ， 令仉= ，r ，得 吉丢：+ i i v ，r e 蔓陋叩，丌l + 1 k p ) 一口蛾) 】盯1 2 ，石】+ 陋以盯1 2 一h 1 2 ) 万】 = 五十正+ 五 由s h w a r z 不等式及y o u n g 不等式， 正：陋叩，万1c l l a 珧。- c 巾堋+ e 1 删：，同样 疋：i 忆p ) 一口帆h 盯1 2 ，疗】c 归一吼石1 1 0 - 4 1 万扎+ 1 1 , 1 1 。】h l 。 - + l l ：m 删i + 训万 令 正= 陋慨蜥i n 。盯m 】+ i q x n 。a 1 m = 墨+ 最 由不等式关系，口2 一b2 = 0 6 ) 2 + 2 6 ( 口一b ) 1 6 ( 6 6 ) 凼 2 0 盯 n一盯 ，0 凼 2 o 盯一盯 f r _ j o 、l ， 占 g c十 e c+出 2 o f ， ，n = 1 0 四川大学硕士学位论文 e ：陋瓴盯f 2 - f n 盯i2 ) 万】 陋慨】n h o - - - o 1 2 , 万+ 1 2 如慨b ( n 。盯仃x 厅】 = q l + q 2 由h o l d e r 不等式， q c 0 仃一n 。仃1 2 l | 。l j 万o r - c l i o n 一盯畦。万o r 根据如下反不等式，对v r 。s 。，有 r m o j f v 巩其中 其中肘积) = m 1 。m 。：f 霎三三：， m 为一个正常数。 对ze s ，有i | ，r | l r m h l l v 1 1 。， 则q l c m o l p f i 。盯l v 硎。， 由前面( 5 1 6 ) 式的假设的v 万的有界性，只需再假设当h 足够小时，有 m o ) c ， 则q c 0 盯一f i 。盯e 再由盯的有界性， q - c l f , ，一1 7 。盯扎f f 万扎c 。i p f i 盯惦+ 毛8 石肟 同样对于只有， b - c l l n 盯一仃眩+ c 。l l n 。盯一盯眩+ 占。l k 综合以上各项估计得 ( 6 7 ) f f e 粤型查兰堡主兰竺堡苎 圭釉v 丌憾 训a 硼蝎：+ c m ：蝇：1 1 , 1 1 1 ：+ 占：+ c h 盯一盯n c 。i o - 一n 。盯n 岛： + c i j n 。盯一盯。1 1 ：+ c 。l j 兀盯一仃。眨+ s 。m ： f j 两边积? 并由4 式丌g = 0 有 ，：+ 2j l l w l l = o d s 舛n 叩肛十c 。砌：出+ g 。 0 0 + c p ，s 。) 肭：凼 代入插值估计( 5 ，1 3 ) 一( 5 1 5 ) ，得 ：+ 2 j 1 酬：出 综合( 6 5 ) 一( 6 7 ) 的估计得 根据g r o n w a l l 不等式得，对v f 【o ，瓦1 ， 由( 6 5 ) 式得 由( 6 9 ) ，( 5 1 4 ) ，( 5 1 5 ) 式及三角不等式得 1 8 ( 6 8 ) ( 6 9 ) ( 6 1 0 ) 出 2 o 盯一盯 ，10 、i j c c ，f +出 2 o 盯 n 仃 ，m0 、i j c+ 西 2 o 厅 ，n川0 c+出 2 o 盯一仃 h n ，mo c + n*2 hc 挂 cs 出 2 o 广， ，0 c+出 2 o 石 ，0 c+ +mi m2 c 一 2 0 f pf出 2 o 盯甲 ，0 2 o 厅 +mtn2 hc 一 2 o 广) +出 2 o 丌v ，l 0 + 2 0 万 +m女2 c出 2 o 盯一仃 n ，o f ： 婴型查堂堡圭兰堡堡苎 y 训。s 幽“”1 l | 乒吼c h “m 1 由( 6 1 0 ) ，( 5 1 3 ) 式得 | f 定理证毕。 f 7 结论 本文的主要工作是在原问题中引入了中间变量，构造了新的混合变分形 式，在空间的离散上采用了r a v i a r t t h o m a s 有限元空间，最后给出了半离散解 的误差分析。 1 9 minn2 c 一 出 2 o h 盯 一 口 ，月0 f 璺型奎兰堡主堂竺丝苎 参考文献 1 】j h m a d d o c k s ，r m a l e k m a d a n i ，s t e a d y - s t a t es h e a r - b a n d si nt h e r m o p l a s t i c i t y i ：v a n i s h i n gy i e l ds t r e s s ，i n t j s o l i d ss t r u c t 2 9 ( 1 9 9 2 ) ，2 0 3 9 - 2 0 6 1 2 】d o n a l d a f r e n c h ，s o n i am f g a r c i a ，f i n i t ee l e m e n ta p p r o x i m a t i o no fa n e v o l u t i o np r o b l e mm o d e l i n gs h e a rb a n df o r m a t i o n ，c o m p u t m e t h o d sa p p l m e c h e n g r g 1 1 8 ( 1 9 9 4 ) 1 5 3 - 1 6 3 3 x i ex i a o p i n g ，f e n gm i n f u ，l u j i n - s h u ，af u l l yd i s c r e t em e t h o df o ra n e v o l u t i o n p r o b l e m m o d e l i n g s h e a rb a n df o r m a t i o