（一般力学与力学基础专业论文）一类干摩擦振动系统的动力学及其稳定性研究.pdf

西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 摘要 本论文研究了一类干摩擦系统的动力学行为及其周期运动的稳 定性，主要有以下内容： 第一章介绍了干摩擦系统研究的现状与取得的成果，及其所涉及 的一些基本概念，譬如分界面、擦边分岔等；还阐述了非光滑系统周 期运动稳定性研究的基本方法。 第二章讨论了干摩擦力的非线性特性，随后建立了一类两自由度 干摩擦模型，着重研究该两自由度干摩擦系统的动力学特性。文中列 出了系统处于纯黏附、纯滑移及半黏附状态时的判定条件，并给出了 对应于不同状态时系统的运动微分方程。 第三章应用f l o q u e t 理论研究了处于纯滑移状态干摩擦系统的周 期运动稳定性。首先研究了处于纯滑移状态时单自由度线性干摩擦系 统周期运动的稳定性；接着，再将研究方法推广到两自由度系统，根 据相轨线穿越分界面的情况，本文将两自由度线性干摩擦系统分为三 类，即无穿越系统、单穿越系统及双穿越系统，随后对此三类系统逐 个进行稳定性研究；最后，还简要介绍了在纯滑移状态下非线性干摩 擦系统周期运动稳定性的研究方法。 第四章利用m a t l a b 软件对以上干摩擦系统进行数值仿真，数值 模拟了处于黏附状态与滑移状态系统的周期运动，得到了处于纯滑移 状态系统周期运动的相图，并对其进行了稳定性判定。 关键词：干摩擦，黏附状态，滑移状态，稳定性 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 i 页 a b s t r a c t i nt h i s p a p e r , w es t u d yt h ed y n a m i c sb e h a v i o ra n dt h ep e r i o d i c m o t i o no fad r yf r i c t i o ns y s t e m t h ec o n t e n t sa r el i s t e da sf o l l o w s ： i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c et h ep r e s e n ts i t u a t i o na n dt h ea c h i e v e m e n t a b o u tt h es t u d yo ft h es y s t e mw i t hd r yf r i c t i o n ，w h i c hi n v o l v es o m e b a s i cc o n c e p t s ，s u c ha st h es w i t c hb o u n d a r y , g r a z i n gb i f u r c a t i o n b e s i d e s ， w ee l a b o r a t et h eg e n e r a lm e t h o df o rs t u d y i n gt h es t a b i l i t yo ft h ep e r i o d i c m o t i o ni nn o n s m o o t hs y s t e m i nc h a p t e r2 ，w ea n a l y z et h en o n l i n e a rc h a r a c t e r i s t i co ft h ed r y f r i c t i o n , a n dt h e ns e tu pt h em o d e lo fat w o d e g r e e - o f - f r e e d o ms y s t e m w i t hd r yf r i c t i o n o u rs t u d y i n gw i l lf o c u so nt h ed y n a m i c sc h a r a c t e r i s t i c o ft h es y s t e m w el i s tt h ec o n d i t i o n sa b o u tt h ef u l ls t i c ks t a t e ，f u l ls l i p s t a t e ，h a l fs t i c ks t a t e ，a n de s t a b l i s h t h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw h i c h c o r r e s p o n dw i t ht h es t u d i e ds y s t e m i nc h a p t e r3 ，w es t u d yt h es t a b i l i t yo ft h ep e r i o d i cm o t i o no ft h e s y s t e mw i t hd r yf r i c t i o nu n d e rt h ef u l ls l i ps t a t ew i t ht h eh e l po ff l o q u e t t h e o r y f i r s t l y w es t u d yt h e s t a b i l i t y o ft h e p e r i o d i c m o t i o no f o n e - d e g r e e - o f - f r e e d o ms y s t e mw i t hl i n e a rd r yf r i c t i o nu n d e rt h ef u l ls l i p s t a t e t h e nw ee x t e n dt h es t u d yt ot w o - d e g r e e - o f - f r e e d o ms y s t e m a c c o r d i n gt ot h er e l a t i o nh o wt h et r a j e c t o r i e sp a s st h es w i t c hb o u n d a r i e s ， t h ep e r i o d i cm o t i o no ft w o - d e g r e e o f - f r e e d o ms y s t e mw i t hd r yf r i c t i o n c a nb ec l a s s i f i e di n t ot h r e ek i n d s ，w h i c ha r ed e n o m i n a t e da sn o t - c r o s s i n g , s i n g l e c r o s s i n g , d o u b l e - c r o s s i n gc a s e si nt h i sp a p e r s u b s e q u e n t l y ，w eg i v e t h ee x a m p l e st h e ma n ds t u d yt h es t a b i l i t yo ft h e mr e s p e c t i v e l y f i n a l l y , w e b r i e f l yi n t r o d u c et h em e t h o d st os t u d yt h es t a b i l i t yo fp e r i o d i cm o t i o no f t h es y s t e mw i t hn o n - l i n e a rd r yf r i c t i o nu n d e rt h ef u l ls l i ps t a t e i nc h a p t e r4 ，b ym e a n so fm a t l a bw ec a r r yo u tt h en u m e r i c a l s i m u l a t i o no ft h es y s t e mw i t hd r yf r i c t i o nw eh a v em e n t i o n e da b o v e ，a n d 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 ii 页 o b t a i nt h ep h a s ep o r t r a i t so fp e r i o d i cm o t i o ni nt h es y s t e mu n d e rt h es t i c k s t a t eo rs l i ps t a t e i na d d i t i o n ，w eg e tt h ep h a s ep o r t r a i t so fp e r i o d i c m o t i o nu n d e rt h ef u l ls l i ps t a t e ，a n da n a l y z et h e i rs t a b i l i t y k e yw o r d ：d r yf r i c t i o n ，s t i c ks t a t e ，s l i ps t a t e ，s t a b i l i t y 西南交通大学 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权西南交通大学可以将本论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等 复印手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 保密口，在年解密后适用本授权书； 2 不保密g ，使用本授权书。 ( 请在以上方框内打“4 ) 学位论文作者签名：条参嵩 h 期：2 0 口6 9 5 t 3 指导老师签名：谛寺辈 日期： 二3 ， 西南交通大学学位论文创新性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是在导师指导下独立进行研 究工作所得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任 何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出 贡献的个人和集体，均已在文中作了明确的说明。本人完全意识到本 声明的法律结果由本人承担。 本学位论文的主要创新点如下： 1 本文在对干摩擦系统动力学行为的研究中，根据质块与传送带 间的相对运动关系，将系统的运动分为了纯黏附、纯滑移及半黏附( 或 半滑移) 三种状态，并给出了系统运动处于这些状态的判断条件，并 列出了对应状态下系统的运动方程。 2 本文将通常用于光滑系统的f l o q u e t 理论推广到了对干摩擦系 统周期运动稳定性的研究，重点讨论了分段线性干摩擦系统处于纯滑 移状态时其周期运动的稳定性，并将干摩擦系统分为无穿越、单穿越、 双穿越三种情形分类讨论。 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 第1 章绪论 1 1 引言 非线性是当今科学研究中经常遇到的问题，并且在许多科技领域 中有广泛的应用。在工程力学、工程机械、应用数学及应用物理等众 多领域中，存在着大量的非线性动力学问题，引起越来越多学者的广 泛关注。 非光滑系统动力学问题【1 】是近年来非线性动力学中为人们研究 较多的课题之一。人们开始研究此类力学系统中由于碰撞【2 1 、冲击、 干摩擦、可变刚度、开关、阀值、脉冲调制控制、数字控制等大量非 光滑因素引起的复杂动力学行为，这些行为的主要特征是由约束条 件、本构关系和控制方式决定的，通常具有很强的非线性特点。 目前，人们讨论最多的是几种非线性因素同时存在的系统，如分 段光滑向量场系统和有刚性约束脉冲作用的系统。近几十年来，人们 开始利用p o i n c a r 6 映射方法，通过对单、双自由度的非光滑系统的动 力学进行分析，发现其有某些跟非线性光滑系统相似的动力学行为， 但是还有大量特有的复杂现象，例如碰撞系统中多种吸引集( 如多点 碰撞周期运动、混沌等) 的共存现象、擦边碰撞和许多其它的边界碰 撞分岔现象，如跳跃、粘滞、尖角等。人们对非光滑动力系统的次谐 周期运动及稳定性、擦边行为和擦边轨道、多碰周期运动的h o p f 分 岔、f l o q u e t 特征乘子以及l y a p u n o v 指数的计算【3 1 、约束分岔和控制 等问题进行了探索。 传统的动力学系统理论主要是针对光滑系统的，而非光滑系统的 却有着许多新的特点，譬如向量场的不可微性( 或间断性) 导致系统 的强非线性与奇异性，能量耗散机理和过程的复杂性，参数( 如恢复 系数、摩擦系数等) 的理论分析和实验测定的困难等，这些都无法用 光滑系统理论来分析的。也正因此，非光滑系统的研究引起了学术界 的广泛兴趣，尤其是其中的动力学与控制问题。 人们开始在动力系统研究中考虑非光滑因素、分析非光滑动力学 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 页 特性对分岔、混沌以及复杂性的影响【4 ，5 l ，脉冲微分方程【铀1 和微分包 含i 1 j 理论就是在这方面研究中发展起来的。 目前，非光滑系统动力学理论研究的主要问题是：非光滑系统的 周期解和环面解的定性分析、共振和同步问题、复杂分岔行为和通向 混沌路径的多样性( 特别是边界碰撞分岔现象) 、时滞和随机因素对 动力学行为的影响等。 而在对系统的非线性分析中，无论怎样对摩擦面进行简化，对诸 如干摩擦之类系统的减振研究始终都是一个非常复杂的非线性问题， 只有个别简单模型才可能求得解析解，如单自由度系统模型中不考虑 接触刚度或接触点做简单圆周运动的情况，其它大部分模型只能依赖 于数值解。通常，主要使用以下两种方法： 1 数值积分法：此方法可以跟踪系统的响应时间历程，为了能够准确 反映摩擦面黏附状态与滑移状态之间的转换，在状态转换点附近需要 采用较小的时间步长才能保证计算的准确性。故该方法的主要缺点是 需要大量的计算时间，从瞬态振动过渡到稳态振动往往可能需要上百 个振动周期。对阻尼块进行优化设计时往往需要进行多次仿真计算， 若用数值积分法，人们需要谨慎考虑计算时间。数值积分法一般用于 检验其他算法的正确性。 2 谐波平衡法：假设当物体受简谐激振力时，物体的振动位移及接触 面间的摩擦力均呈周期变化且周期与激振力的周期相同，则振动位移 与摩擦力可以展开成傅立叶级数形式【1 2 ，1 3 】。假设物体振动位移主要表 现为基频振动，同时只保留摩擦力级数展开式中的一次项，这样非线 性摩擦力就转化为线性摩擦力，再将非线性微分方程转化为非线性代 数方程进行求解。这是一种求解强非线性问题稳态解十分有效而快速 的方法，被成功地应用于阻尼块的优化设计中，且在许多情况下都能 够提供充分准确的结果。但是，需要注意的是，当非线性摩擦力中的 高次谐波对振动影响较大时，一次谐波平衡法计算的结果将极有可能 产生较大的误差。为此，曾有学者提出过考虑高次谐波影响的增量谐 波平衡法1 1 4 , 1 5 l ，不过该方法在计算速度上与数值积分法一样都不够令 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 页 人满意。 近年来，广大科技工作者对非线性动力学的研究取得了非常丰硕 的科研成果。比如，对干摩擦系统的研究，比较有代表性的研究有 m c m i u a n 对干摩擦系统中的滑动摩擦力进行了专门地研究与讨论1 1 6 1 ， t h o m s e n 等做了一类含阻尼单自由度干摩擦系统的幅频响应研究【1 7 1 ， 郭树起等研究了在简谐激振力下一类干摩擦阻尼系统的非粘结振动 情况【1 8 l 等等。 本文主要工作是研究一类干摩擦振动系统的动力学及其稳定性。 1 2 干摩擦系统研究概况 干摩擦系统属于一类典型的非光滑动力学系统，也是目前学术界 较为热门的研究课题之一。它的建模方式也有许多，如图1 2 1 所示， 是一类比较常见的单自由度干摩擦系统模型。在图1 2 1 中，质量为m 的物块在速度恒为的粗糙传送带上做往复运动，在质块上作用有 简谐激振力p ( f ) ，且质块m 通过刚度为k 的弹簧和阻尼系数为c 的阻 尼器与刚性壁面相连。在此，以坐标z 表示质块m 的绝对位移，则戈可 表示质块m 的绝对速度，并将原点d 固定于弹簧为原长时质块所处位 置。 图卜2 1 单自由度干摩擦模型 现在，以图0 2 1 所示单自由度干摩擦模型为例，根据在一定时 间内质块运行的相轨线与传送带速度曲线的变化关系，我们可将对干 西南交通大学硕士研究生学位论文第4 页 摩擦系统动力学特性的研究分为以下四类： 1 传送带速度曲线与质块相轨线无交点 如图1 2 2 所示，当系统运行稳定后，质块相轨线与传送带速度 曲线不相交。此时，倘若传送带与质块间的干摩擦力是分段线性的， 则此系统便退化成为了一个线性系统；而若干摩擦力是分段非线性 的，则此系统便是一个常见的非线性光滑系统【1 蛆1 1 。 厂、 j 、 () j 图卜2 2 无交点图1 - 2 3 有重合部分 目前，讨论非线性光滑系统的稳定性主要有以下两种方法： ( 1 ) 利用h o q u e t 理论 考虑咒维光滑系统 i = f o ，f )( 1 2 - 1 ) 若系统( 1 2 1 ) 有周期解 墨- ，1 0 ) ，夏n 厂2 0 ) ，曩。 o )( 1 - 2 - 2 ) 令x - i + 石，代入( 1 2 1 ) ，得到扰动方程 戈；f ( x ，f ) 一彳( f 肛+ 0 0 l x l l ) ( 1 2 3 ) 现在，研究系统线性扰动方程 x = a ( t ) x ( 1 - 2 - 4 ) 式中x - 僻。，x ：，x 。) r ，并设其基解矩阵为o ) 。 最后，只需再将周期时间t n t 代入以上基解矩阵中，并求解 i 妒( ? ) 一u l 。0( 1 2 5 ) 得出基解矩阵的特征值，研究所有特征值的模。若全体特征值的模都 西南交通大学硕士研究生学位论文第5 页 小于1 ，则可判定系统周期解( 1 2 2 ) 是稳定的；若有特征值的模大于 1 ，那么周期运动是不稳定的。 ( 2 ) 利用p o i n c a r 6 映射 首先建立系统的运动微分方程，为研究系统的一个周期运动的稳 定性，可将一个周期分为m 个阶段，并写出各阶段始末的映射关系 x 。- 只( x o ) ，x ：t 最( x 。) ，x 。= 己( 以一。) ( 1 - 2 - 6 ) 式中，x o ，z ：，) r ，而x ；的下标i 表示第i 阶段末与第f + 1 阶段 初时刻系统的状态变量。易写出各阶段映射所对应的线性化矩阵 d e , ，d e e ，识( 1 - 2 7 ) 从而复合映射的线性化矩阵为 d p 一识d p 2 d e ,( 1 - 2 8 ) 式( 1 2 8 ) 的特征方程为 l d p m 1 1 0 ( 1 29 ) 得出总线性化矩阵的特征值，研究其所有特征值的模。若全体特征值 的模都小于1 ，则可判定系统是稳定的。 理论上，对于非线性光滑系统周期运动稳定性判定方法已相当成 熟。本文第三章讨论的就是这种可转换成光滑系统周期解的稳定性。 2 传送带速度曲线与质块相轨线有重合部分 如图1 2 3 所示，当系统运行稳定后，质块相轨线与传送带速度 曲线有重合部分。在对于此类情形干摩擦系统的研究中【勿，通常把相 轨线与传送带速度曲线重合时称为系统的黏附状态，不重合时则称为 系统的滑移状态l 捌。 在k o w a l c z y k 等对f i l i p p o v 系统研究中【2 4 1 ，根据黏附区域的起 始位置与历经方式的不同将系统分为了五种基本情形。这五种基本情 形可任意组合，构成多种不同的系统运动情形，当系统运动情形发生 了变化，通常便称系统发生了s l i d e 分岔。 西南交通大学硕士研究生学位论文第6 页 在本文的讨论中，我们也会对系统黏附滑移情形有所涉及，着重 对此类情形进行相应的数值模拟。 3 传送带速度曲线横截质块相轨线 如图卜2 4 所示，质块的相轨线直接穿越传送带速度曲线，故系 统在一个周期内将始终处于滑移状态而无黏附状态( 后文称之为在纯 滑移状态下的周期运动) 。此类情形将是本文研究的重点，在第二、 第三章中，我们对此类情形的两自由度干摩擦系统的动力学行为及其 周期运动的稳定性进行讨论。 x ，、 () j 囊 ；：二；：弋 - 图1 屯一4 相交图1 - 2 - 5 相切 而且在下一节中，我们还会就此类情形系统周期运动稳定性讨论 的理论依据进行叙述。 4 传送带速度曲线与质块相轨线相切 一旦传送带速度曲线与质块的相轨线相切时，即如图1 - 2 - 5 所示， 系统的动力学行为将会变得格外复杂，并且研究表明，此时系统的扰 动全局基解矩阵的特征值将会跳跃地穿越单位圆，发生诸如周期三、 混沌等一系列复杂的情况，我们通常称之为擦边分岔。对于干摩擦系 统擦边分岔的研究也是比较活跃的，如n o r d m a r k 等最先推导出了刚 性碰撞振子擦边分岔附近的局部映射，得到了一个具有平方根奇异性 的分段映射p 2 n ，同时他还与f r e d e r i k s s o n 等提出了非连续映射的 概念与方法团捌，而c h i n 等则对n o r d m a r k 映射进行了详细的分析 西南交通大学硕士研究生学位论文第7 页 3 0 3 1 1 ，随后b e r n a r d o 等人又进一步发展了n o r d m a r k 映射在擦边分岔 点附近的推导【3 2 ，3 3 1 。 1 。3 稳定性研究的理论依据 在上一节中，我们已提到过在干摩擦系统中传送带速度曲线可能 横截而不重合于相轨线，对于具有这种运动特点的干摩擦系统，在 l e i n e 等的著作中【卅，将用于光滑系统的f l o q u e t 理论引入到对此类 非光滑系统的稳定性判定。在本文中，我们也将利用该方法对一类两 自由度干摩擦系统( 在纯滑移状态下的周期运动) 的稳定性作讨论。 文 _兰；i：、萝_。i - 图卜3 1 纯滑移状态f 周期运动的相图 在这一节中，我们将先简要介绍一下此方法，从而为下文的应用 做好理论准备。如图1 - 3 - 1 所示，为一个非光滑系统周期运动，相图 平面被分界面分为旷与一两个区域，相轨线与分界面分别交于日、 c 两点，设相轨线从任意点a 出发，由箭头方向顺时针分别经曰、c 两点，一个周期l 后回到点a 。在t 与一两个区域内系统的运动微 分方程不同，即整个系统是非光滑的，相轨线在b 、c 两点处是不可 导的。 首先，需建立系统的运动微分方程并将其无量纲化，随后可将其 西南交通大学硕士研究生学位论文第8 页 写为如下范式形式 k ；g 。佤，k ，k ，z ) e 。g z 暇，_ ，k ，n ( 1 - 3 一1 ) l t g 。( k ，l ，l ，丁) 但由于在t 与圪这两个区域内系统的运动微分方程表达式不同，故 系统范式可重新写为 在矿区域内： 在k 区域内： k ；g 。一瓴，k ，k ，r ) 匕。9 2 - 佤? 匕，l ，r ) ( 卜3 2 a ) ： 硗= g 。一( k ，e ，k ，t ) 酸一9 1 隔，匕，k ，t ) k 5 9 2 + ? k ，e ，r ) ( 1 3 2 b ) 或；g 。+ ，k ，e ，丁) 而分界面的分界面函数可写为【3 4 l h i i rh 佤，k ，k ) ( 卜3 3 ) 需要指出的是，当相轨线从区域k ( 日 0 ) ( 或 从区域k 进入到区域旷) 时，将相点代入到分界面函数日中，分界面 函数将变号。 随后，将系统变量写为如下形式 yi l l 佤，l ，k ) r ( 卜3 4 ) 则有 矿；戎，硗，砭) r ( 1 - 3 - 5 ) 考虑g 在k 与e 中是分段线性函数，则 西南交通大学硕士研究生学位论文第9 页 在区域内：矿= 4 一y + b 一 ( i - 3 - 6 a ) 在以区域内：矿- a + y + b + ( 卜3 6 b ) 以上式中，彳一和彳+ 为珂厅阶矩阵。在此，研究某周期解在e 区域内 系统的扰动方程 矿a 彳一y ( 1 - 3 7 ) 可得出其基解矩阵为 丸- e a - ( t 一瓦)( 卜3 - 8 a ) 式中，瓦为系统初始时刻。同理，可写出在丘区域内所对应的基解矩 阵 九te a ( t - r , ) ( 卜3 8 b ) 现在，再来讨论切换矩阵的求法。易知，分界面的法向量为 n = ( 日乏，h 乏，日乏) r ( 卜3 9 ) 而范式( i - 3 - 2 a ) 与( 1 - 3 - 2 b ) 所对应的向量场又可写为 在矿区域内：，- 一，- ，t ) ( 卜3 1 0 a ) 在k 区域内： - ，+ ，t ) ( 卜3 1 0 b ) 可写出在交点曰处( 即相轨线从区域t 进入到区域k 的过渡点) 的 切换矩阵【3 4 j s 一+ - “始学掣 刀。，i y 。1 。l 式中，匕与分别表示周期解在b 处的坐标及对应时间，下式中匕与 亦同。同样的，交点c 处( 即相轨线从区域一进入到区域k 的过 度点) 的切换矩阵为 乳小螋等铲 ，l r i y ，1 ， 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 0 页 至此，业已得出了此非光滑系统在光滑区域t 与内的基解矩 阵和分界面与相轨线交点处( 即相轨线不可导处) 的切换矩阵。再根 据图卜3 1 所示相轨线的前进路线，便可得到扰动方程的全局基解矩 阵 ：e - ( t a 呜也s + 一e 4 ( 也s 一+ e 丸( r j r a ) ( 1 3 1 2 ) 最后，只须再求解 i 一盯i = 0 ( i - 3 - 1 3 ) 得出全局基解矩阵的特征值，研究所有特征值的模。若全体特征值的 模都小于1 ，则可判定系统的周期运动是稳定的；若全局基解矩阵中 有模大于1 的特征值则对应的周期运动是不稳定的。 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 1 页 第2 章模型的非线性分析与动力学研究 2 1 工程背景 干摩擦是一种十分常见的自然现象，无论是在尖端科学的研究， 还是在生产实践的应用，乃至我们的日常生活，无处不见它的身影， 所以人类对干摩擦系统的理论探求与应用尝试从未停止。通常，我们 所研究的干摩擦阻尼系统都是属于非光滑动力学系统，对其的研究有 着较高的理论价值和极其广阔的应用前景，目前正倍受国内外学者的 广泛关注。 在早期的研究中，科研工作者们对干摩擦阻尼系统的研究主要侧 重于单自由度或两自由度系统；而随着研究的不断深入，出现了构件 的干摩擦阻尼设计方面的研究，其中主要包括连续梁、悬臂梁、复合 材料梁、矩形板、圆板、柔性转子等含干摩擦结构的研究。 在科学研究的各个不同领域中，随处可见干摩擦所引起的振动现 象，其引起的振动对系统有着重要的影响，所以在航空、机械、控制 等众多领域对干摩擦都有着广泛的研究【3 5 删。 譬如，在航空航天结构、机械系统中存在着许多非光滑动力学及 其控制问题。航天器铰接结构是具有局部铰链非线性约束的高维非线 性系统，其中便存在干摩擦、间隙撞击、非线性刚度、非线性耦合、 密集模态等大量复杂的非光滑因素。此外，航天器的伸展机构、航天 器的对接，飞机的起飞、降落以及跑道滑行都有大量的涉及结构性能 和飞行器安全的非光滑动力学问题。许多机械系统也存在冲击、碰撞 及干摩擦现象，微机械系统也有表面力、电磁力等新的非光滑动力学 因素，而控制系统中的开关切换、数字式脉冲作用等也都属于非光滑 动力学问题。虽然目前非光滑系统理论分析多局限于低自由度简谐激 励的碰撞振动系统和电路系统，但是在冲击机械、地震、航天技术、 微机械系统、运输设备中的实际应用中已开始受到重视。这些研究对 于机电系统特性、部件耐久性和寿命、安全性、舒适性、故障诊断和 治理等都有重要意义。此外，非光滑振动系统的控制问题研究也正逐 西南交通大学硕士研究生学位论文第12 页 渐发展起来。 而在具体的生产实践中，干摩擦多应用于制动装置、制刹装置p 圳、 减振装置【柏】等。有关于干摩擦颤振方面的研究多在机械切削颤振、磨 削颤振、飞机机翼颤振及非线性振子动力学问题【4 1 舶j 中广泛展开。 例如，将干摩擦阻尼块应用于航天器的叶片减振装置中，即在叶 片缘板下加摩擦阻尼块，这是一种应用极为广泛且有效的减振方式。 在最近的二十年里，大量的研究人员在这一领域做了许多理论、实验 研究，应用多种非线性分析方法求解带阻尼块叶片的响应特点，为阻 尼块的最优设计提供了一定的理论依据。目前，在航空发动机的设计 中，干摩擦阻尼器已成为一种非常典型的叶片减振装置了。 由此可见，干摩擦的研究与应用已深入到了科学的各个领域及不 同层面，所以对干摩擦系统的研究有着不可估量的现实意义。从整体 而言，目前学术界对非光滑系统动力学的理论【4 7 1 、数值分析及应用研 究正发展起来，其已成为当前国际上动力学与控制领域倍受到广泛关 注的课题之一，其理论意义和应用价值不言而喻。就干摩擦非光滑系 统而言，为了研究干摩擦的动力学行为，各种不同的数学、物理模型 被建立起来，广大学者采用诸如理论推导、数值仿真等各种不同的方 法来解释所研究的问题，正不断充实着干摩擦系统的理论基础，发展 十分迅速。 但是，由于大型机械结构摩擦的数理模型不够完善，导致系统中 存在的许多非线性因素所引起的复杂动力学行为尚未被彻底弄清，这 就不能满足现代工业设计的需求。我们迫切地需要建立合理的动力学 理论，以了解系统中存在的非线性因素对系统的影响，从而提高对系 统运动的认识，这也能为人们对现实生产设备更好地利用与开发提供 理论依据。 在本章以下的讨论中，我们将先简单介绍一下干摩擦的非线性特 性，然后再具体研究一类两自由度干摩擦系统的动力学行为。 西南交通大学硕士研究生学位论文第13 页 2 2 干摩擦的非线性特性 通常，在理想的线性系统中，惯性力与物体的加速度戈成正比， 阻尼力与物体的速度戈成正比，弹性力与弹簧的变形x 成正比。但是， 对于实际的振动系统，根据问题的性质与精度的要求不同，系统的惯 性力、阻尼力及弹性力往往不能按线性化处理，这就是非线性振动系 统。 对于非线性振动系统，首先可将其微分方程写为如下形式 h q i ) + ，o ) + g o ) 一p o ) ( 2 2 一1 ) 上式中，p o ) 表示施加于物体之上的简谐激振力。通过方程式 ( 2 2 一1 ) ，可很容易看出，非线性振动系统的非线性特性主要表现在 其的惯性力非线性、阻尼力非线性及弹性力非线性这三方面。本文我 们所研究系统中存在的干摩擦便属于阻尼力非线性。 而在现实生活中，阻尼力的表现形式也是多种多样的。例如，当 物体在气体或液体介质中以较大的速度运行时，则此时，方程( 2 2 1 ) 中阻尼力厂o ) 可与速度的平方成正比，而非与速度成正比，即有 ，g ) = 厩2 s i g n ( s o ( 2 2 2 ) 在此，我们有必要指出，当物体沿某一粗糙固体表面运动摩擦时， 应区分湿摩擦与干摩擦两种情况。对于湿摩擦( 如图2 - 2 - 1 所示) ， 阻尼力厂 ) 在通过速度j 的零点而改变符号时是连续的，在速度戈的 零点附近，阻尼力可认为是线性的；而对于干摩擦( 如图2 - 2 2 所示) ， l o 、i _ ， 0 厂 图2 - 2 1 湿摩擦特性曲线图2 2 2 干摩擦特性曲线 西南交通大学硕士研究生学位论文第14 页 在速度j 的零值处阻尼力有“跳跃 现象。由此可知，即使在速度的 绝对值吲很小的区域里，阻尼力也是非线性的。 现在，我们已经知道干摩擦具有非线性特性，而为了进一步今后 的研究，根据其两个分支的曲线特征，我们又可将其分为分段线性干 摩擦和分段非线性干摩擦。按照c o u l o m b 假设，摩擦力大小与速度无 关，故可写出 ， ) = 一f o 。s 枷 ) ( 2 2 3 ) 摩擦力呈现为分段线性，即分段线性干摩擦力( 如图2 - 2 - 3 所示) 。 1 i j l 5 l 0 】 f 图2 2 3 分段线性干摩擦特性曲线 而我们又可将分段非线性干摩擦力的表达式写为【删 厂 ) 。心轫o ) 【# 嘉+ 6 + 城：】( 2 - 2 4 ) 工十y p i 式中，变量6 、变量，7 及变量y 分别控制着曲线的相关特性。譬如， 令6 0 0 、r 一0 0 、， 0 0 ，可得到如图2 2 4 a 所示的分段非线性 干摩擦特性曲线；而令6 0 0 、r 一0 0 、， 0 0 ，便可得到图2 2 4 b 所示的特性曲线。 西南交通大学硕士研究生学位论文第15 页 z l j 。l 1 o 。 0 - 1 0 。 1 0- ，一一 6 o 6 - 1 0 一一一一一 图2 2 4 a 分段非线性干摩擦特性曲线图2 2 4 b 分段非线性干摩擦特性曲线 ( 6 = 0 0r = 0 0 ， 0 0 )( 6 0 0r t0 0y 0 0 ) 特别地，若令6 0 0 、，7 0 0 、y 0 0 ，就会得到图2 2 4 c 所 示的分段非线性干摩擦特性曲线。本文第四章数值仿真中将提到，对 有一类干摩擦系统只有采用此类干摩擦力，系统才能发生自激振动。 - ，。 1 0 ，一一 6 0 6 - 1 0 ， 图2 - 2 - 4 c 分段非线性干摩擦特性曲线 ( 6 0 0r 0 0 ) ， 0 0 ) 实际应用中，在计算系统的固有频率或非共振情况下的振幅时， 即使阻尼力是强非线性的，但因其对振动的振幅及频率影响很小，仍 可将其线性化，甚至忽略不计；而在分析自由衰减振动及计算共振情 况下的振幅或研究自激振动时，我们就必须考虑阻尼力的非线性特性 了。 西南交通大学硕士研究生学位论文第16 页 2 3 模型的动力学研究 2 3 1 系统动力学方程 如图2 - 3 - 1 所示，是一类从实践问题中抽象出的常见力学模型： 质量为m ，、m ：的两物块分别在匀速运动的粗糙传送带上做往复运动， 且传送带速度为。其中，在两质块上作用有振幅分别为p 。和p ：的 简谐激振力p ，o ) 与p ：o ) ，另外，通过刚度为忌，的弹簧和阻尼系数为c 的阻尼器将质块m 。与刚性壁面连接，并且其还与质块m ：通过刚度为 k ，：的弹簧相连。 图2 - 3 - 1 两自由度干摩擦模型 由于以上模型为一个两自由度干摩擦动力系统，如图2 - 3 - 1 所示， 用坐标x ，、x ：以分别表示质块m ，与质块m ：的绝对位移( 其中坐标x i ( i = 1 2 ) 的原点d 均固定于弹簧为原长时质块所处位置) 。根据动 力学基本定律，可列出满足不同条件时系统的运动微分方程： 系统中，质块m ，、m ：皆与传送带保持相对静止时( 即黏附于传 送带上) ，有 m 1 葺= 0 ( 2 - 3 一l a ) m ，兑一0 ( 2 3 一l b ) 而质块m ，、m ：皆与传送带有相对运动时( 即滑移于传送带上) ，有 m l 薯+ a + 七1 而+ 七1 2 0 q z 2 ) 一- a 。s i g n ( y q 一 ，咖) + p ls i n ( t o l t ) ( 2 - 3 2 a ) m 2 茗2 + 七1 20 2 一x 1 ) a f o s i g n ( y c 2 一l ，出) + p 2s i n ( t 0 2 t ) ( 2 3 2 b ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第17 页 式中，o 表示质块与传送带间的动摩擦力( 即干摩擦力) 。这里，为 了表述方便，我们采用的是上一节中所介绍的分段线性干摩擦力。实 际上，分段非线性干摩擦力也是可以用于此模型的，在下一章的系统 稳定性分析及第四章的数值仿真中，我都会对分段非线性干摩擦力有 所涉及。 又当质块m ，与传送带保持相对静止，质块m ，与传送带有相对运 动时( 即质块m ，黏附于传送带、质块m ：滑移于传送带上) ，有 m ，葺= 0 ( 2 3 3 a ) m 2 戈2 + 七1 2 0 2 - - x 1 ) = 一厂0 s i g n ( 戈2 - - v 出) + p 2s i n ( t o ：t ) ( 2 3 3 b ) 最后，当质块m ，与传送带有相对运动，质块m ：与传送带保持相对静 止时( 即质块m 。滑移于传送带、质块m ：黏附于传送带上) ，有 m l 薯+ a 吒+ 七1 z l + 七1 2 ( x 1 - - x 2 ) a - f o 。s i g n ( y q 一) + p l s i l l ( q f ) ( 2 3 4 a ) m 2 茗2 0 ( 2 3 4 b ) 那么，两质块又是在什么情况下会与传送带保持相对静止，在什 么情况下与传送带有相对运动呢? 2 3 2 黏附与滑移状态的判断条件 通过对两质块处于黏附( 滑移) 临界状态时系统平衡方程的分析， 以及对系统自身特点的研究，我们可写出两质块处于黏附或滑移状态 的判定条件。 与前文相对应，也可分为四种情况考虑。若系统同时满足以下判 定条件，则两质块m ，、m ：均与传送带保持相对静止( 即黏附于传送 带上) i 一西l - k l z l - k 1 2 0 l x 2 ) + p ls i n ( c o , t ) f 无且南一( 2 3 5 a ) i - k 1 2 2 一x 1 ) + p 2 s i n ( t 0 2 f ) l f 且量2t ，由 ( 2 3 5 b ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 8 页 式中，无与f 表示两质块与传送带间的最大静摩擦力。 而若系统同时满足以下判定条件，则两质块m 。、m ：均与传送带 有相对运动( 即滑移于传送带上) i d l - k 1 而- k 1 2 “一工2 ) + p ls i n ( t o , t ) i 之或叠l ( 2 3 6 a ) i - k 1 2 ( x 2 一x 1 ) + p 2s i n ( ：_ 0 2 f ) i 乏f 或j 2 乒 ，由 ( 2 3 6 b ) 如果系统能同时满足以下判定条件，则是质块m ，与传送带保持相对静 止、质块m ：与传送带有相对运动( 即质块m 。黏附于传送带、质块棚： 滑移于传送带上) l d l 一七 - k 1 2 0 l x 2 ) + p l s i n ( q 叫 l r ：c 1 一，矗( 2 3 一t a ) i - k 。2 ：- x 1 ) + p ：s i n ( t 0 2 f ) l 苫f 或岛一 ( 2 3 7 b ) 最后，如果系统能同时满足以下判定条件，则是质块坍，与传送带有相 对运动、质块m ：与传送带保持相对静止( 即质块m 。滑移于传送带、 质块历：黏附于传送带上) i a - k 。z ，一缸：o ，一z 2 ) + p ，s i l l ( f ) | 无或戈。- v 由( 2 3 8 a ) l - k 1 2 ( x 2 一z 1 ) + p 2s i n ( o d 2 f ) l f 且j 2 一y 由 ( 2 3 8 b ) 2 3 3 系统动力掌行为 为进一步对系统进行研究，对系统方程进行无量纲化。首先，令 m 1 = m 2 mk ls “p t 咄；。赤朋2 等，声。警( 2 3 - 9 ) 然后，再令 即即万k 即r 一丘p ，q ；居r - 居m ( 2 _ 3 _ 1 0 )p p y 庀y 诵讨卜式容易推导出 。 西南交通大学硕士研究生学位论文第19 页 及 x l - - 巫戈。，2 2 巫戈：，2 1f f i j ( 2 。m 戈：( 2 - 3 1 1 ) p。ppp 吃。巫，只。立，e 。一f s i ( 2 - 3 1 2 ) ppp 现在，我们便可写出对方程无量纲化以后，两质块m 、m ，处于 不同状态( 黏附状态或滑移状态) 时系统的运动微分方程，共可分为 以下四种情形： 1 当两质块、m ：满足 一2 9 j 。一x 。一a ( x ，一x ：) + s i n ( q 。t ) i e 且j 。= ( 2 3 1 3 a ) l 一口2 一x 1 ) + 卢s i n ( q 2 丁) | 且j 2 ( 2 3 1 3 b ) 则它们皆黏附于传送带上，系统的运动微分方程为 宕，；o ( 2 3 1 4 a ) j ：= 0 ( 2 3 1 4 b ) 在本文中，我们称此时系统处于纯黏附状态。 2 当两质块m ，、m ：满足 l 一2 ；j 。一x 。一口似。一x ：) + s i n ( a ，t ) | 芑只或戈。一( 2 3 1 5 a ) i 一口( y 2 一x 1 ) + 卢s i n ( q 2 丁) | 或萱：一y 0 ( 2 3 1 5 b ) 则它们皆滑移于传送带上，系统的运动微分方程为 x 1 + 2 ；y l + z l + 口( 五- x 2 ) = - f o 。s i g n ( x , 一p 0 ) + s i n ( q 1 t ) ( 2 - 3 1 6 a ) x 2 + a ( x 2 - x 1 ) t r 。s i g n ( y 2 一y z ) + 芦s i n ( 9 2 2 z ) ( 2 3 1 6 b ) 称此时系统处于纯滑移状态，本文第三章将主要讨论在该状态下 系统周期运动的稳定性。 3 当两质块、肌：满足 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 0 页 l 一2 9 戈，一x 。一口伍。一x ：) + s i n ( q ，丁) l f , _ r2 。= ( 2 3 1 7 a ) l 一口c y 2 - x 1 ) + s i i l ( q ：z ) i 或膏：乒y i ( 2 3 1 7 b ) 则质块所。黏附，质块加：滑移于传送带上，系统的运动微分方程 为 萱，；0 ( 2 3 1 8 a ) 戈2 + 口y