（概率论与数理统计专业论文）两类风险模型的分红及破产问题的研究.pdf

曲阜师范大学硕士学位论文 两类风险模型的分红及破产问题的研究 摘要 本文主体分为三部分第一部分主要研究了带扰动经典模型的分红问题，考 虑的分红策略为按比例分红的模式运用了复合泊松过程可以逼近布朗运动的方 法，结合g e r b e r 和s h i u ( 2 0 0 6 ) 所给出的结论，我们得到了直到破产前所有分红的 期望折现值y ( z ；b ) 所满足的积分一微分方程 ， 1 譬y ( z ；b ) + i v 7 ( 。；b ) 一( a 1 + 6 ) y ( z ；b ) i + a t 臂v ( x 一可；b ) p l ( y ) d y = 0 ，0 z b ， lq + 譬y ( z ；b ) + ( p q ) y 7 ( z ；b ) 一( a 1 + 6 ) y ( z ；b ) i + a 1 君y ( z 一秽；b ) p l ( y ) d y = 0 ， z b 且给出当索赔额的矩母函数满足一定条件时，y ( z ；b ) 的精确表达式 v u ( x ；b ) ： e l o c k 扩，o 锄妯， l 詈+ ；：od k e 2 ，z b 第二部分主要研究带常利率的e r l a n g ( 2 ) 风险模型，并在模型中采用多段分 红策略，给出了在三段分红策略下，模型的g e r b e r - s h i u 期望罚金函数西( u ) 所满 足的微分方程式 ( p u + c ) 2 圣( u ) + ( p u + c ) 沪一2 ( 入+ 6 ) 西7 ( u ) = 一( a + 6 ) 2 西( u ) + a 2 片西( u y ) d p ( y ) + 好l ：w ( u 1 譬一u ) d p ( y ) 。 ( p t + c 乜1 ) 2 圣( u ) + ( 肚+ c q 1 ) 陋一2 ( 入+ j ) 】西7u ) = 一( a + 6 ) 2 西( u ) + a 2f g 西( u y ) d p ( y ) + a 2 r 仞( u ，y u ) d p ( y ) ， ( p u + c a 2 ) 2 西( “) + ( p u + c q 2 ) 加一2 ( a + 6 ) 蛋7 ( u ) = 一( a + 6 ) 2 西( u ) + a 2 ( 君圣( u y ) d p ( y ) + 入2 f ( u ，y u ) d p ( y ) ， ( 0 钆b 1 ) ， ( 6 1 u b 2 ) ， ( b 2 u b 3 ) 曲阜师范大学硕士学位论文 同时给出了在索赔额服从指数分布的特殊条件下，圣( u ) 所满足的微分方程式 第三部分，在前一章给出的模型条件下讨论了破产前瞬间盈余函数f ( u ，。) ， 破产时赤字函数g ( u ，) ，及其的联合分布函数日( u ，z ，y ) 的性质，分别给出了其所 满足的积分一微分方程 广f z l，z，o o f ( u ，z ) = g ( x l ，札) f 1 一z 1 ) p ( z 1 ) d z l d x l + g ( x l ，u ) p ( z 1 ) d z l d x l ， ，t 一0 j uj z l ，o o f z l厂o of z l + 暑 g ( u ，y ) = g ( x l ，u ) g ( x l z 1 ) p ( z 1 ) d z l d x l + g ( x l ，u ) p ( z 1 ) d z l d x l ， j 1 1 j 0，u，z 1 ，”f z lf xf z l + y h ( u ，z ，可) = g ( x l ，u ) 日( 可l ，z ，y ) p ( x l - y 1 ) d y l d x l + f79 ( x l ，u ) p ( z 1 一y 1 ) d y l d x l ，uj 0 j t j x l 且给出了其精确值 ，z ，o o f ( u ，z ) = 9 ( u ) d p ( z 1 ) d x l ，t j 善1 + 薹z 如z 勘d z l l 如nf 慨钆 h ( u ，z ，可) = 9 ( z l ，u ) p ( z l y 1 ) d y l d x l + 量z 0 。如z o 纵仁，如。肛汹肌神剁批 关键词：分红策略复合泊松模型布朗运动期望折现函数常利率e r l a n g ( 2 ) 风险模型破产前瞬间盈余破产时赤字 龉阜师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h i sp a p e ri sd i v i d e di n t ot h r e em a i np a r t s t h ef i r s tp a r tm a i n l ys t u d i e st h e d i v i d e n d so ft h ec o m p o u n dp o s s i o nm o d e l p e r t u r b e db yd i f f u s i o n ，a n dc o n s i d c ri t b yt h et h r e s h o l dd i v i d e n ds t r a t e g y u s i n gc o m p o u n dp o s s i o np r o c e s st oa p p r o a c h b r o w n i a nm o t i o n ，u n i t i n gt h ec o n c l u s i o nw h i c hg e r b e ra n d s h i u ( 2 0 0 6 ) g i v e n ，w e g e tu n t i la l lb a n k r u p t c yo ft h ee x p e c t e dd i v i d e n dp r e s e n td i s c o u n tv ，b ) o f i n t e r - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s l 譬矿( g ；6 ) + 弘v ，( 鬈油) a l + 6 ) 矿( 髫； j 十a 1 后y ( z ；b ) p 1 ( v ) d v = 0 ， l 理譬矿秘；5 ) 专纰一貔) ；妨一( a l + 5 ) y ；6 ) l + a l 劈y ( 。一y ；b ) p x ( y ) d y = 0 ， o b 。 a n dg i v e st h ee x a c te x p r e s s i o no fv ( x ，6 ) ，w h e nm o m e n tg e n e r a t i o nf u n c t i o n s a t i s f yc e r t a i nc o n d i t i o n s 獬，一 冀和o x 扫_ t h es e c o n dp a r tm a i n l ys t u d i e st h ee r l a n g ( 2 ) r i s km o d e lu n d e rc o n s t a n t i n t e r e s tf o r c e ，c o m b i n e sw i t ht h em u l t i d i v i d e ds t r a t e g y , a n dg i v e st h ei n t e r d i f f e r e n t i a le q u t i o na b o u tt h eg e r b e r - s h i ud i s c o u n t e dp e n a l t yf u n c t i o n ( p u + e ) 2 圣( 瓤) + ( p u 十e ) 洳一2 ( a + 艿) ! 委7 ( 珏) = 一( a + 艿) 2 蚤扣) + a 2 君蚤( 札一v ) 4 f ( v ) + 天2r 御( 嚣，y u ) d f ( y ) ， ( p u + e a 1 ) 2 垂( 钍) + ( p u 十c o f l ) l o 一2 ( a + 巧) j 心7l t , ) = 一( a + 2 釜( 铭) + a 2 嚣蚤( 铭一y ) d f ( y ) + 天2 f 谢( 珏，芗一u ) d f ( y ) ， ( p u + c 0 2 ) 2 圣( 口) 十( p 札十c 一口2 ) 洳2 ( a + j 国7 ( 札) = 一( 爻+ 5 ) 2 釜( 珏) + 天2 ( 嚣委( 珏一y ) d f ( y ) 爻2 f 铭扣，箩一u ) d f ( y ) ， 王王王 ( 0 舔曼b t ) ， ( b l 戡冬如) ， ( 6 2 铭h a ) 。 曲阜师范大学硕士学位论文 f u r t h e r m o r e ，w h e nt h ec l a i ms i z ei se x p o n e n t i a l l yd i s t r i b u t e d ，ad i f f e r e n t i a le q u 跏 t i o n sc a nb ed e r i v e d i nt h et h i r dp a r t ，w ei n v e s t i g a t et h em o m e n t so ft h es u r p l u sb e f o r er u i na n d t h ed e f i c i ta tr u i nu n d e rt h ef o r m e rc o n d i t i o n s a n dw eo b t a i ni n t e g r a le q u a t i o n t h a tf ( u ，z ) ，g ( u ，z ) ，日( u ，z ，y ) s a t i s f i e d f ( u ，z ) = g ( u ，y ) f 0 g ( ux l - - z l m 砌觑蝌z z g ( x l ，u ) p ( z 1 ) d z l d x l ， = i o of o = , g ( z ，u ) g ( z - 一z - ) p ( z - ) d z - 如，+ z 0 。? r 可夕( z ，u ) p ( z - ) d z - 出- ， 日( u ，z ，y ) = f 鼢9 ( 钆他) 日( 虬刀，矽) p ( z l y 1 ) d y l 如1 ，0 + z 2z i l + v 9 ( z - ，u 功( z i - - y 1 ) 咖- 如- a n di t sp r e c i s es o l u t i o n sa r ea l s og i v e n f ( 邺) ：厂z j u + f ：_ ， n = 2 g ( x l ，u ) d p ( z 1 ) d x l 如- 小孙如。 日( 也，z ，y ) = z 霉z i l + 掣9 ( z - ，u ) p ( x l - y 1 ) 由，d z - l 慑氘。r 咄 ，仳j 0 k ( z 1 ，石1 ，2 7 n ，磊) d 锄， e ，玩3 ，h n ( x l , y l , , x n , 洲鼽 k e y w o r d s ：d i v i d e n ds t r a t e g y t h ec o m p o u n dp o s s i o nm o d e l b r o w n i a n m o t i o nt h ed i s c o u n t e dp e n a l t yf u n c t i o n c o n s t a n ti n t e r e s t e r l a n g ( 2 ) r i s k m o d e lt h em o m e n t so ft h es u r p l u sb e f o r er u i nt h ed e f i c i to fr u i n l v 。 f 厂 脚 曲阜师范大学硕士学位论文原创性说明 本人郑重声明：此处所提交的硕士论文两类风险模型的分红及破产问题的 研究，是本人在导师指导下，在曲阜师范大学攻读硕士学位期间独立进行研究工 作所取得的成果论文中除注明部分外不包含他人已经发表或撰写的研究成果 对本文的研究工作做出重要贡献的个人和集体，均已在文中已明确的方式注明 本声明的法律结果将完全由本人承担 储磁炎7 7 醐o h b 曲阜师范大学硕士学位论文使用授权书 袋两类风险模型的分红及破产问题的研究系本人在曲阜师范大学攻读硕士 学位期间，在导师指导下完成的硕士学位论文本论文的研究成果归曲阜师范大 学所有，本论文的研究内容不得以其他单位的名义发表本人完全了解曲阜师范 大学关于保存，使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门送交论文的复 印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅本人授权曲阜师范大学，可以采用影 印或其他复制手段保存论文，可以公开发表论文的全部或部分内容。 曲j 、f j | ， 哆够，i 期 期 日 日 十， t k 、- 1 三 强占 名 名 签 签 者 师 作 导 第一章绪论 分红问题最早是由d e f i n e t t i 于1 9 5 7 年提出的，其把分红作为一个重要的 因素加入到保险风险模型自此，分红问题成了风险理论中又一个研究的热点问 题我们一般研究的主要有两种常用的分红策略，一是带分红上限的边界分红策 略，又称为b a r r i e r 分红策略：其主要是通过设定一个常数边界b ，当盈余超出b 时，超出的部分全部进行分红的分红方式来进行分红d e ：f i n e t t i 通过对一个 离散时间模型的研究，得出边界分红策略是最优分红策略，即采用这种分红策略 能使公司的盈余达到最大值但采用该分红策略，公司最终破产概率为1 由此， j e a n b l a n c p i c q u g ，s h i r y a e v 和a s m u s s e n ，t a k s a r 2 1 提出一个边界分红率的概 念，即每单位时间的分红率不能超出一个上界o t ，这种分红策略可以看作是边界 分红策略的一个推广，即按比例分红策略又称为t h r e s h o l d 分红策略：给定一个 常数b ，当盈余部分超过b ，超出的部分按常数比率进行分红通过对扰动风险模型 的研究，g e r b e r 1 5 1 得出，按比例分红策略是最优分红策略此外还有很多学者 也对分红问题进行了研究和讨论，例如：a l b r e c h e r ，k a i n h o f e r 1 ，c l a r a m u n t 2 6 ， h u b a l e k ，s c h a c h e r m a y e r 1 0 等等 近年来，e r l a n g ( 2 ) 风险模型也成为众多学者研究的热点，即考虑索赔来到 时间服从e r l a n g ( 2 ) 分布的模型，其作为一种特殊的更新风险模型，有着重大的 研究意义d i c k s o n ( 1 9 9 8 ) 中考虑了e r l a n g ( 2 ) 风险模型的生存概率问题，并且得 到了具有分红上限的破产概率的精确的表达式d i c k s o n ，h i p p ( 1 9 9 8 ) 中也得到 了该模型的生存概率的精确表达式及破产时刻的阶矩近期，c h e n g ，t a n g 3 2 讨论了e r l a n g ( 2 ) 风险模型中破产前瞬间盈余和破产时赤字的联合分布问题，得 出了罚金函数所满足的积分微分方程式，且精确的刻画出了罚金函数的值 第二章带扰动经典风险模型分红问题的研究 2 1引言 带扰动的经典风险模型是由g e r b e r 于1 9 7 0 年首次提出的，是在原来经典模 型上加了一项随机干扰项随后，很多学者对此模型各方面的性质都做了深入的 研究，并取得了一些很好的结果f i n e t t i 和a s m u s s e n 在研究最优分红的问题 时，提出当布朗运动模型的分红率有界时，其最优分红策略为按比例分红策略 故本文采用按比例的分红策略，并借鉴了g e r b e r 和s h i u ( 2 0 0 6 ) 中提到的用复合 泊松逼近布朗运动的方法，结合复合泊松模型已有的结论，得出了带扰动的经典 风险模型分红期望折现函数y ( z ；b ) 的新结论 本章共分为三部分，第一部分，对本文所研究的模型进行简单的介绍第二 部分，总结复合泊松模型的一些相关结论第三部分，给出本文的主要结论 2 2 带扰动经典风险模型的模型介绍 带扰动经典模型中，保险公司的盈余过程为 u ( z ) ) ， l ( t ) o ) = x + l u t 一科+ 口慨， ( 2 1 ) i - - - - - 1 其中，x 表示初始准备金，肛表示保险公司在单位时间内的保费收入，0 p 是一列与 1 ( z ) ) 相互独立的具有相同分布的非负随机变量序列，其 矩母函数为俄霉( ) = f ge t a d p ( x ) 0 ) 分发红利；当盈余小于b 时，不分发红利令d ( t ) 是 到时刻t 为止的累积分红值，则t 时刻保险公司的修正余额u ( t ) 为 u ( t ) = u ( t ) 一d ( t ) ，t 0 ， 定义破产时丁为 t = i n f t 0 ，u ( t ) _ 蕊，t 0 i = l 其中z 是初始资本，c 是常数保费率，值l v ( 1 t 五是参数为入的复合泊松过程 采用按比例分红策略，定义d n ( t ) 是t 时刻为止的累计分红值，则 n ( t ) = n ( t ) 一d n ( t ) ， 表示时刻t 的修正余额过程令t r = i n f t 0 ，元( t ) 0r ( 0 ) = z ，则表 示破产时故累计分红折现值为 用( z ；b ) 表示d r 的期望 e - s t d d 冗( t ) ( z ；b ) = e d nlx ( o ) = z 】 由参考文献【1 5 】，我们可以给出复合泊松模型上按比例分红策略下的分红函数 坛( z ；6 ) ，满足的积分微分方程 且可以证明( z ；b ) 应满足条件 y n ( 6 + ；b ) = ( 6 一；6 ) 0 z b ( 2 2 ) ( 2 3 ) 特别地，当索赔额服从指数混合分布时，可以得到v n ( x ；b ) 的精确解我们会在 第三部分主要结果的证明过程中，引用该部分的结论，故在此我们只给出结论， 证明过程可参考文献【1 5 】 3 厂，加 = 埘 胪 则 d 鼠 o = y矽q 涫炉们 矽 一 枷 撕疗 一 ， o j 且侥，a 满足0 p 1 p i 陬，多( ) 是p ( 可) 的拉普拉斯变换 d o = 0 ，当b = 0 时，d l ，d 2 ，风满足方程 争丽i = 一箍 u o ，u 1 n 满足方程 ( c a ) 一( a + 6 ) + ， ) = 0 i = 1 ，2 ，n ，y ! 仉，仇满足方程 ，y q e m = 詈+ d 矽 ， k = o 。 七= 1 7 塞g 杀b 沙6 一茄一砉仇万1 瓦少k 。 2 4主要结果 ( 2 4 ) 该部分我们首先直接给出，带干扰复合泊松模型的分红函数v ( z ；b ) 所满足的积 分微分方程；其次，证明当索赔额服从7 ( 2 ，a ) 时，复合泊松：溪型可以逼近布朗运 动，且其分红函数( z ；b ) 的极限是y ( z ；6 ) ；最后，通过已有的复合泊松的结论 得出满足一定条件下，带干扰复合泊松模型的分红函数y ( z ；b ) 的精确值 4 z 6 八1 0 z ， 矿 d 矾璐 + = 的扛 喙 曲阜师范大学硕士学位论文 定理2 4 1 带扰动复合泊松风险模型矿( t ) = z + 一篓f 砖1 十仃w 0 ) ，在按 比例分红策, 6 t 的分红函数y ( z ；b ) 满足方程 f 譬y ( z ；6 ) + p y 7 ( z ；b ) 一( 入l + 6 ) y ( z ；6 ) p 1g 以扣引6 ) m 脚= 0 ， o 狄6 ( 2 5 ) i 口+ 譬y ( z ；b ) + 一a ) y 7 ( z ；b ) 一( a 1 + 6 ) y ( z ；b ) 【+ a 1f ov ( x 一秒；6 ) p l ) 句= 0 ， z b 证明当0 0 】+ e 喾【e ( 一现) ，丑，痧( 冗) 0 】+ o ( e ) = e ( 一如( 1 一a 1 e ) e 【y 仞+ 肛+ 盯w ( ) ；6 ) 】+ e ( 一5 ) a l e y 一秒；b ) p l ( y ) d y + d ( e ) 由泰勒公式得 e y ( z + p + 盯w 0 ) ) ；6 】：y ；6 ) + p z v ，0 ) + 百0 - 2 e v ( z ；6 ) + 。0 ) ， 及 e 一拈= 1 6 e + d 忙) 霎e y ，( z ；6 ) + 肛y ， ；6 ) 一a l g y ( z ；6 ) 一巧y ( z ；6 ) + a l e 厂2v ( x - v ；6 ) p 1 ( y ) d 秒 二 j 0 + 肛2 y ，( z ；6 ) + 譬e 2 y ，( z ；6 ) 一a i 2 v ( 。；6 ) 一a 1 9 2 厂霉v ( x - v ；6 ) p 1 ( 秒) d y ：o j 0 ( 2 6 ) 对上式两端同除以，且令s _ 0 有 譬y ，( z ；6 ) + p y ，( z ；6 ) 一( a l + j ) y ( z ；6 ) + a 1 厂2v ( x - y ；b ) p l ) c f ：0 二 ，0 同理可证明当z b 时，y ( x ，b ) 满足方程 + 等y 7 7 ( z ；6 ) + ( p - - o r ) y 7 ( z ；6 ) 一( a 1 十6 ) y ( z 油) + a 1 y ( z 一；6 ) p 1 ( y ) d y = 0 ，z ，0 5 第二章 带扰动经典风险模型分红问题的研究 得证 下面我们考虑风险模型x ( t ) = x ( o ) + 脚+ 盯w ( t ) ，证明当索赔额服从，y ( 2 ，) 分布时，复合泊松过程可以逼近布朗运动 定理2 4 2 当复合泊松风险模型的参数c _ o 。，a _ 。，p 一。o 时，令c 一蛩_ p ，豁一虿0 - 2 ，则( t ) = ( o ) + 以一驾五的极限是x ( t ) = x ( o ) + 彬+ 盯w ( t ) 其中，五一，y ( 2 ，p ) 分布n ( t ) 服从参数为a 的泊松分布 证明由平稳独立性，可取t = 1 故其矩母函数为 由 x ( 1 ) = x ( o ) + p 4 - 盯w ( 1 ) ，w o ) 一n ( o ，1 ) 可得到x n ( 1 ) 的矩母函数 因为 晚x ( 专) = e 【e x ( 1 】 = e 如e p + 口2 2 豌x r ( ) = e 8 x r ( 1 】= e 缸e f c 刀【e 一罂恐】， 五一p 2 e 一肪z ，z 0 e 【e 吨掣牛三o o 球嘲) ”等e “ = 薹c 磊，轨 = ( 熹) 箸e 以 = e ( p - i f ，- - - + 1 ，一1 ) a ：e 一警+ 簪+ 。 即 e 哪：伊c e 一警+ 簪 故当c _ 。o ，a _ ，p o 。，对上式求极限，因为c 一警_ 肛，j 譬，故 层 e x ( 1 】= e e x r ( 1 】 6 溉 ：l c +坛 = d“ x 曲阜师范大学硕士学位论文 由矩母函数与分布函数的一一对应性，可知在定理给出的条件下，x n ( t ) 的极限 是x ( t ) 因此易得，若r ( t ) = z + d 一( 篓f 。碰1 十r i 2 = l ( 。碰2 ) ，其中n x ( t ) ，2 ( t ) 是参数为入1 ，入2 的泊松过程，且耐引是一列独立的服从，y ( 2 ，恳) 分布的随机变 量；则过程u ( t ) = z + t i t f i l = 1 ( 碰”+ a w ( t ) 是过程r ( t ) 的极限过程所以 对这两个模型的分红折现函数，y ( z ；6 ) ( z ；b ) 进行研究我们可以证明，在满 足上述极限条件时，( z ；b ) 的极限是y ( z ；6 ) 定理2 4 3 碡型r ( t ) = x + c t 一( 篓f ) 砖1 ) + 省。砖2 ) ，其中1 ( t ) ，2 ( ) 是 参数为入l ，a 2 的泊松过程，碰2 ) 一鹾z e 一尻霉，z 0 则当c o 。，a 2 - 。o ，屁一 ，且c 一警_ p ，万3 a 一丁o - 2 时，分红折现函数( z ；6 ) 的极限是y ( z ；6 ) 即 。脚l i m 。( z ；6 ) = y ( z ；6 ) ( 2 7 ) 证明当0 z 优，i t 0 ，u 1 u 2 是 譬3 + ( 丁2 0 - 2 斛_ p 叫“( 3 i # - a 肛n 吠一溉= o 的不同解，且钆o 珏1 让2 瓯是方程 2 瓯 k - - - - 0 & p k 的解，并且，y ，g ，d k 满足方程 2 ，y 瓯 k = 0 = 0 ，i = 1 ，2 ，y q e 础= 善+ d 扩 ， k = 0k - - i 8 t + ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) e 时一茄一善2 仇去e 蚶= o 江 证明首先证明当碰1 的矩母函数满足定理条件时，x 服从指数混合由 于五的分布函数为氏= - 。丑十- - ，、。f ：, - ) 十京：2 ) 故其矩母函数 9 + 熹殛， 6z 6 八1 0 z ， 毗 娩 矿 d 瓯 卸萏盛 + 7 a j ，_ljl【 第二章带扰动经典风险模型分红问题的研究 当随机变量y 胃艮从指数混合时，其密度函数为p ( y ) = 1a i a e ”，0 q 1 q 2 p 1 p 2 ，z t 0 让l u 2 ，y ，q ，d 七满足定理所述条件 1 0 第三章带分红的常利率e r l a n g ( 2 ) 风险模型罚金函数的研 究 3 1 引言 关于常利率e r l a n g ( 2 ) 风险模型中的有关破产问题，已经被很多学者进行了 广泛的研究在本章内容中，我们主要考虑了带分红策略的常利率e r l a n g ( 2 ) 的 风险模型的破产问题，在使用三段分红的分红策略下，得出罚金函数西( u ) 所满 足的积分。微分方程，并讨论了特殊情况下其解所满足的微分方程式，给出了一 些边界条件 3 2 模型介绍 设( q ，厂，p ) 是一个完备的概率空间，u ( t ) 表示在没有支付红利条件下，保 险公司t 时刻的盈余额， d u ( t ) = c d t + p u ( t ) d t d s ( t ) ，t 0 ， ( 3 1 ) 或者 ，i t u ( t ) = u + ( c + p u ( t ) ) d s s ) ，t 0 ( 3 2 ) j 0 其中u 0 ，是初始盈余额，p 0 是常利率， c 0 是不变的保费收益率， s ( t ) = 忙n ( 1 t 恐，表示到时刻t 时的索赔额总和，1 v ( t ) 表示时刻t 所发生的索赔 的个数， 死，k 1 ， x k ，k 1 】- 分别表示两列独立同分布的非负随机变量，其 中瓦表示发生第k 一1 次和第k 次索赔之间的时间间隔，且死服从参数为a 的 e r l a n g ( 2 ) 分布，即t k = 疋l + t k 2 ，t k l ，死2 相互独立且同服从于参数为a 的指 数分布x 惫表示第七次索赔量的大小，其分布函数设为尸( z ) 假设保险公司的分红方式为复合分红模式，即给定三条分红线， 6 1 ，6 2 ，6 3 ， 当保险公司的修正余额函数0 n ( t ) b l 时，保险公司不进行分红；当盈余额 b l n ( t ) b 2 时，保险公司按比例o t l 进行分红；当b 2 n ( t ) b 3 时，保险公 司按比例q 2 分红；当b 3 = n ( t ) 保险公司把大于6 3 的部分全部进行分红即保 险有分红上界b 3 ， l z b 3 保险公司的盈余不能超过b 3 d ( t ) 表示到时刻t 为止保 险公司所支付的红利总和，按上述分红情况下，在时刻t 的修正盈余为 厂t r ( t ) = u ( t ) 一e p ( 卜。) d d ( s ) ( 3 3 ) 第三章 带分红的常利率e r l a n g ( 2 ) 风险模型罚金函数的研究 倒归隧娶 t ) b z ， b l n ( t ) b 2 ， b 2 用妒( t ) 表示风险过程冗( ) ，t 0 的破产概率即 妒( 札) = p ( t o o l u ( 0 ) = u ) 考虑破产时丁出现的情况下，关于破产前瞬时盈余r ( t 一) 和破产时赤字in ( t ) 的罚金折现函数期望即 西( 缸) = e 【e 一6 t w ( r ( t 一) ，lr ( t ) 1 ) f ( 丁 0 ，e 一乳可以理解为折现因子，( ) 是示性函 数， ，( 丁 。o ) = 1 , t o o , 通过对罚金函数的研究，我们能得到一些描述破产的特征，例如：当w ( x ，y ) = 1 ，( 3 4 ) 式就是破产时t 的l a p l a c e 变换；当6 三0 ，叫( z ，y ) = l 时，( 3 4 ) 式是 时刻t 的破产概率当w ( x ，y ) = 矿，或者训( z ，y ) = ”，( 3 4 ) 式分别为破产前盈 余和破产是赤字的礼阶矩 1 2 些皇堑整盔堂堡圭堂垡迨銮 - _ _ ，_ 一 3 3 罚金函数满足的积分微分方程式 定理3 3 1 西( u ) 满足如下积分一微分方程式 ( + c ) 2 西7 7 ( u ) + ( p u + c ) p 一2 ( a + j ) 】圣7 ( u ) = 一( 入+ 6 ) 2 圣( u ) + 入2 片西( t 正一秒) d 尸0 ) + 入2c ，w ( u ，秽一u ) d p ( y ) ， ( o u b 1 ) ， ( 舢+ c a 1 ) 2 西( 也) + ( p u + c 0 1 ) p 一2 ( a + d ) 】西7 ( u ) ：一( 入十6 ) 2 圣( u ) + 入2 片西( u y ) d p ( y ) ( 3 - 5 ) + a 2 ：，叫( u ，y u ) d p ( y ) ，( b l 珏幻) ， ( 舢+ c a 2 ) 2 圣，( u ) + ( p u + c 一及2 ) p 一2 ( 入+ 6 ) 】西( 珏) = 一( a 十6 ) 2 圣( u ) + 入2 ( 片西( t 一y ) d p ( y ) + a 2 ：叫( u ，y u ) d p ( y ) ，( b 2 珏b 3 ) 证明以6 l 乱b 2 为例进行证明因为，时间间隔t k e r l a n g ( 2 ) 分布，即 死：死1 + 靠2 ，瓦i 。e 即( 入) 故，令= 0 ，m 1 = 死1 ，尬= 死l 十死2 设1 - 是 索赔发生所经过的时间定义 圣j ( u ，b 1 ) = e e 一6 口一，- ) 叫( 冗( 丁一) ，i 冗( 丁) i ) ( t 打) e 一6 打e 净。( u e 腑+ 竺( e 腑一1 ) ) + p 陬l 打) = 1 一入d 丁+ d ( 打) ， p ( 孔l d t ) = a d r + d ( d 7 - ) ， e m u e p d 下+ ! 半( e 砂一1 ) ) 】= 圣。( u ，b 1 ) 十( 肌+ c q 1 ) 圣。如1 6 1 ) + t i t , e 睁1 ( u e p 出+ 尘# ( e p d r 一1 ) ) 1 _ 圣l ( u ，b 1 ) + ( 肚+ c q 1 ) 圣1 7 ( u h i ) + 打 1 3 箜三童堂坌丝丝堂型奎e r l a n g ( 2 ) 风险模型罚金函数的研究 把上式代入( 3 6 ) 式，得 西o ( u ，b 1 ) = ( 1 一a d t + d ( 打) ) ( 1 一& i t + d ( d 十) ) 印o ( u ，b 1 ) + ( + c 口1 ) 西0 7 ( u ) d 丁】 + ( a 打+ o ( 打) ) ( 1 6 打+ d ( 打) ) 睁1 ( u ，b 1 ) + ( 肼+ c a 1 ) 圣1 7 ( t 正) d 7 - 化简后得 圣o ( ，b 1 ) = 西o ( 乱，6 1 ) + ( 肚+ c o l i ) 西0 7 ( u ，b 1 ) d r 一( a + 回圣o ( u ，b 1 ) d 丁+ a 西1 ( t 上，b 1 ) d r 上式两端同时除以d t ，且令打一o ，有 面l ( u ，h i ) = 妄( ( 入+ 巧) 圣o ( u ，6 1 ) 一( 舢- i - c a 1 ) 圣0 7 ( u ，6 1 ) 】 ( 3 7 ) 九 。 同理，我们可以得到，当j = l 时， 妄【( a + 西( u ，6 ，) 一( 肚+ c 一。- ) 圣- 7 ( u ，6 - ) l = z u 圣。( u - - x , b i ) d 尸( z ) + z ( ? 嵋, x - - u ) d p ( z ) ( 3 8 ) 对( 3 7 ) 两边求导有 西- 7 ( 乱，6 - ) = 委 ( a + 6 ) 西。7 ( u ，6 1 ) 一尸西。，( 乱，6 1 ) 一( p u + c - a 1 ) 圣。，( u ，6 。) 】( 3 9 ) 由( 3 7 ) ，( 3 8 ) ，( 3 9 ) 式，得 知半吣一她等掣幽嘶6 1 ) 一照坠掣幽嘶，6 1 ) + 下p ( p u + c - a i ) 嘶，6 1 ) 】 = 一鱼型掣西。( 札，6 ) + “西。( u - - x , b 1 ) d p ( z ) + z 。伽( 钍，宅一u ) d p