（光学专业论文）基于matlab的光学实验仿真.pdf

西北工业大学研究生学位论文 基于m a t l a b 的光学实验仿真木 摘要 光学实验的计算机仿真不仅在科学与工程计算方面发挥着重要作用，而且在光学 教学方面也引起了广大教育工作者的广泛关注。使用不同工具编写的各种光学实验仿 真应用软件大量涌现，掀起了光学实验仿真的热潮。 本文在仿真实验的基础上系统地探讨了利用m a t l a b 实现光学实验仿真的理论和 方法，并详细给出了光学实验的各种仿真结果。具体内容有： ( 1 ) 光的干涉实验仿真。用光波波前叠加的方法实现了对两列球面波干涉、多 光束干涉等实验的仿真；用传播矩阵描述衍射光波波前传播的方法对杨氏双缝和双孔 干涉实验进行了仿真，并具体详细地分析了单缝衍射对双缝干涉的影响；另外还分析 了光场的时间相干性对干涉条纹反衬度的影响。 ( 2 ) 光的衍射实验仿真。具体分析了规则形状如单缝、矩孔、圆孔、圆盘、三 角孔、黑白光栅及些不规则形状等孔径的菲涅耳衍射和夫琅禾费衍射图样强度分 布，为深入理解菲涅耳衍射和夫琅禾费衍射及其内在联系与区别提供了理论依据。 ( 3 ) 光学像差仿真。以相一幅转化理论为基础，仿真光学波像差，得到了赛德尔 像差和泽尼克多项式等多种像差的轮廓图与三维形状图等。应用金斯莱克( k i n g s l a k ) 论述的方法对包含像差的典型双光束干涉图样进行了仿真分析。并在此基础上讨论了 各类像差对干涉条纹的影响。 ( 4 ) 光学v 系统仿真。讨论了利用光学4 ，系统进行光学信息处理的基本原理， 并据此提出了仿真光学够系统的算法。孀仿真的铲系统实现了网格滤波以及图像相 加、相减等光学信息处理实验。 ( 5 ) 设计制作光学实验仿真软件界面。针对m a t l a b 应用程序无法脱离其运行环 境的缺点结合m a t e o m 4 5 将m a t l a b 的m 文件转化成相同功能的c + + 代码，然后在 v i s u a lc + + 环境下将其编译成外部可执行文件，使整个软件可脱离m a t l a b 环境运行。 关键词：光学实验仿真，干涉，衍射，像差，傅里叶变换，m a t l a b ，m a t c o m 4 。5 ，v i s u a l c + + 。 国家“十五”重点教材建设项目资助 摘要 o p t i c a le x p e r i m e n t s i m u l a t i o n sw i t hm a t l a b a b s t r a c t i nr e c e n td a y s ，o p t i c a le x p e r i m e n ts i m u l a t i o n s ，a san o v e la l t e r n a t i v em e t h o dd i f f e r e n t f r o mt h e r o ya n de x p e r i m e n tt oe x p l o r en e w t h i n g s ，a r ea t t r a c t i n gm o r ea n dm o r ea t t e n t i o n f r o mb o t hs c i e n t i s t sa n dt e a c h e r s b a s e do nm a n ys i m u l a t i v ee x p e r i m e n t s ，w ep r e s e n tt h e o p t i c a ls i m u l a t i v ea l g o r i t h ma n dr e s u l t sb yu s i n gm a t l a bp r o g r a ma n dg i v ea ni n t r o d u c t i o n t oa l lt h er e s u l t sf r o mt h es i r e u l a t i o n s t h em a i nw o r ki sa sf o l l o w s ： ( 1 ) f i r s t ，s i m u l a t i o n so fo p t i c a li n t e r f e r e n c ea r ep r e s e n t e d t w os p h e r i c a lw a v e sa n d m u l t i p l es p h e r i c a lw a v e si n t e r f e r e n c e ，a n dy a n g si n t e r f e r e n c ee x p e r i m e n t sa r es i m u l a t e d b yu s i n g d i f f e r e n tm e t h o d s t w os p h e f i c a lw a v e si n t e r f e r e n c ei sf o c u s e do nt h e0 n - p l a n eo r o u t p l a n eo f t h es p o tl i g h ts o u r c ep l a n ea n dt h eo b s e r v i n gp l a n e t h e n ，w ea n a l y z eh o wt h e t e m p o r a lc o h e r e n c eo fo p t i c a lw a v e si n f l u e n c et h ec o n t r a s t o ft h ei n t e r f e r e n c e p a t t e m f u r t h e r m o r e ，e q u a l i n t e n s ea n d u n e q u a l i n t e n s e s p h e r i c a l w a v e si n t e r f e r e n c e sa r e i n v e s t i g a t e d f i n a l l y , y a n g s d o u b l es l i t sa n dc i r c l e a p e r t u r e s s i m u l a t i v er e s u l t sa r e d e t a i l e d l yp r e s e n t e d ( 2 ) s e c o n d ，s i m u l a t i o n so fo p t i c a ld i f f r a c t i o na r ep r e s e n t e d t h ef r e s n e la n df r a n h u f e r d i f f r a c t i o np a t t e r n s o fr e g u l a rs h a p e ss c r e e ns u c ha ss l i t s ，r e c t a n g u l a ra p e r t u r e s ，c i r c l e a p e r t u r e s ，d i s c s ，t r i a n g l ea p e r t u r e s ，r o n c h ig r a t i n g s ，a n ds o m ei r r e g u l a rs h a p e ss c r e e n ，a r e o b s e r v e di nt h ed i f f e r e n tp r o p a g a t i o nd i s t a n c e t h i sc l e a r l yg i v e st h er e l a t i o na n dd i f f e r e n c e o f t h et w od i f f r a c t i o np a t t e r n s ( 3 ) t h i r d ，o p t i c a l a b e r r a t i o n sa r es i m u l a t e d b a s e do np h a s e - i n t e n s i t yt r a n s f o r m p r i n c i p l e ，t h es i m u l a t i o nr e s u l t so f s e i d e la b e r r a t i o na n dz e r n i k ep o l y n o m i a la r ep r o v i d e d ， a c c o r d i n g t ot h e k i n g s l a k st h e o r y , t h et y p i c a l d o u b l eb e a m si n t e r f e r e n c e p a t t e r n s i n f l u e n c e d b y t h ea b e r r a t i o n sa r ef u r t h e ra n a l y z e d ( 4 ) f o r t h ，s i m u l a t i o n so f4 fo p t i c a ls y s t e ma r ep r e s e n t e d t h eo p t i c a li n f o r m a t i o n p r o c e s s i n gs u c h a sg r i d d l ef i l t e ra n di m a g e p l u s & s u b s t r a c t a r er e a l i z e db y u s i n g t h es y s t e m ( 5 ) f i n a l l y , as o f t i s p r o g r a m m e df o rt h es i m u l a t i o no ft h eo p t i c a le x p e r i m e n t i t c o n s i s t so fa l lt h ea b o v es i m u l a t i v ep r o g r a m s ，a n dd o s en o td e p e n do nt h ee n v i r o n m e n to f m a t l a bo rv i s u a lc + + ，b a s e do nt h em a t c o m 4 5 n l em f i l e so fm a t l a ba r et r a n s l a t e di n t o c + + c o d e s t h e nas u i t a b l ea p p l i c a t i o np r o g r a mi n t e r f a c ea r ed e s i g n e db yu s i n gv i s u a lc + + k e y w o r d s ：o p t i c a le x p e r i m e n t s i m u l a t i o n s ；i n t e r f e r e n c e ；d i f h a c t i o n ；a b e r r a t i o n s ； f o u r i e rt r a n s f o r m ；m a t l a b ；m a t c o m 4 5 ；v i s u a lc + + ； i i 西北工业大学研究生学位论文 第一章绪论 1 1 光学实验仿真的国内外研究现状 在计算机飞速发展的今天，光学实验仿真受到越来越多的科研工作者和教育工作 者的广泛关注。其应用主要有两个方面：第一是在科学计算方面，利用仿真实验的结 果指导实际实验，减少和避免贵重仪器的损伤：第二是在光学教学方面，将抽象难懂 的光学概念和规律，由仿真实验过程直观地描述，让学生饶有兴趣的掌握知识。 在科学计算方面，国外的光学实验仿真是在模拟设计和优化光学系统的过程中发 展起来的。在这方面，美国走在最前面，其中最具代表性的是劳伦斯利弗莫尔实验室 光传输模拟计算软件p r o p 9 2 【1 , 2 】及大型总体优化设计软件c h a i n o p 和p r o p s u i t e n 其中软件p r o p 9 2 是采用f o r t r a n 语言编写，最大采样点数为5 1 2 5 1 2 。这些软件在大型激 光器n o v a 的设计制造中发挥了重要作用。另外法国也开发完成其具有自身特点的光 传输软件m i r o 4 1 。该软件采用c + + 编写，可以运行于多个平台。俄罗斯普通物理实验 室在上世纪9 0 年代初推出光传输软件f r e s n e l 2 0 t ”，经过几年的发展，目前已经推出 f r e s n e l 4 0 版本。该软件是一套成熟的商业化光传输软件，在处理光传输的数值模拟算 法上有独到之处，主要体现在其快速傅里叶变换的计算效率很高；软件采用特殊方法 能够处理小于计算分辨率的灰尘点的衍射过程以及截止频率小于计算网格分辨最小 频率的滤波过程等。另外，该软件图形显示界面友好，运行稳定可靠，如图1 1 所示。 图i 1f r e s n e l 软件界蕊 我国用于科学研究的光学实验计算机数值仿真软件虽开发较晚，但也已经取得了 显著成绩。特别是1 9 9 9 年，神光一i i i 原型装置t i l 分系统集成实验的启动为高功率固 体激光驱动器的计算机数值模拟的研究创造了条件。目前已基本完成的s g 9 9 t 6 】光传输 第一章绪论 模拟计算软件的开发，推出的标准版本基本能稳定运行，对s g 9 9 主要计算模块的验证 结果表明s g 9 9 对能流放大、线性传输、非线性传输的计算是合理可靠的，其中线性传 输的计算模块的计算精度与国外同类软件f r e s n e l 十f l 当：目前该软件已经应用于神光一 i i i 主机可行性论证的工作中。 在光学教学方面，国外已有相关的配有光盘演示光学实验的教材【7 l 该教材主要 针对高年级学生和研究生使用。其中不仅详尽的介绍了几何光学、物理光学、光学成 像技术及图像处理技术，而且利用现在普遍使用的软件工具m a t l a b 对它们进行了系统 的仿真。也有针对理科和工科低年级学生使用的光学教材【8 1 ，该教材使用m a t c h c a d 绘 制各种逼真的光学仪器创造出仿真的光学实验室。学生可利用其进行探索和发现性 学习，充分调动学生的积极性。还有网络版光学教材【9 j ，该教材采用m a t h e m a t i c a 进行 光学仿真计算，结合l i v e g r a p h i c 3 dj a v a l 1 的动画制作功能在网络上实时演示各种光 学实验的结果图。我国光学教材在利用计算机仿真方面相对落后，至今没有同类教材 出现。在2 0 0 3 年北京举行的网络教育软件展上，有关光学实验的网络教学软件都偏重 于理论分析方面，对计算机应用于光学实验的仿真方面未给与充分重视。结合国家十 五教材建设计划，在光学实验仿真方面进行大量的研究，各项研究工作将在后续各章 中一介绍。 1 2 光学实验仿真研究的意义 在工程设计领域中，人们通过对研究对象建立模型，用计算机程序实现系统的运 行过程和得到运算结果，寻找出最优方案，然后再予以物理实现，此即为计算机仿真 科学0 l 。在计算机同益普及的今天，计算机仿真技术作为虚拟实验手段已经成为计算 机应用的一个重要分支。它是继理论分析和物理实验之后，认识客观世界规律性的一 种新型手段。 计算机仿真过程是以仿真程序的运行来实现的。仿真程序运行时，首先要对描述 系统特性的模型设置一定的参数值，并让模型中的某些变量在指定的范围内变化，通 过计算可以求得这种变量在不断变化的过程中，系统运动的具体情况及结果。仿真程 序在运行过程中具有以下多种功能【1 1 1 ： ( 1 ) 计算机可以显示出系统运动时的整个过程和在这个过程中所产生的各种现象 和状态。具有观测方便，过程可控制等优点； ( 2 ) 可减少系统外界条件对实验本身的限制，方便地设置不同的系统参数，便于 研究和发现系统运动的特性； ( 3 ) 借助计算机的高速运算能力，可以反复改变输入的实验条件、系统参数，大 大提高实验效率。 因此计算机仿真具有良好的可控制性( 参数可根据需要调整) 、无破坏性( 不 会因为设计上的不合理导致器件的损坏或事故的发生) 、可复现性( 排除多种随机因 西北工业大学研究生学位论文 素的影响，如温度、湿度等) 、易观察性( 能够观察某些在实际实验当中无法或者难 以观察的现象和难以实现的测量，捕捉稍纵即逝的物理现象，可以记录物理过程的每 一个细节) 和经济性( 不需要贵重的仪器设备) 等特点。 在光学仪器设计和优化过程中，计算机的数值仿真已经成为不可缺少的手段。通 过仿真计算，可以大幅度节省实验所耗费的人力物力，特别是在一些重复实验工作强 度较大且对实验器材、实验环境等要求较苛刻的情况下如在大型激光仪器的建造过 程中，结合基准实验的仿真计算结果可为大型激光器的设计和优化提供依据。 仿真光学实验也可应用于基础光学教学。光学内容比较抽象，如不借助实验，学 生很难理解，如光的干涉、菲涅耳衍射、夫琅禾费衍射等。国外著名的光学教材i 坨1 配有大量的图片( 包括计算和实验获得的图片) ，来形象地说明光学中抽象难懂的理 论。光学实验般需要稳定的环境高精密的仪器，因此在教室里能做的光学实验极 为有限，而且也受到授课时间的限制。为了克服光学实验对实验条件要求比较苛刻的 缺点，可采用计算机仿真光学实验，特别是光学演示实验，配合理论课的进行把光 学课程涉及的大多数现象展示在学生面前，以加深对光学内容的理解。如利用计算机 仿真联合变换相关实验，可以得到清晰的相关峰，而在实验中液晶光阀的分辨率较低， 很难得到清晰的相关峰：又如光学菲涅耳衍射与夫琅禾费衍射，初学者不易理解，如 果通过光学仿真实验，可以计算出它们之间的演化规律，清楚地说明二者之间的联系 与区别。学生们可以根据对光学原理和规律的理解，自己设置在仿真光学实验中的可 控参数，探索和发现光学世界的奥秘，调动学习的积极性。 1 _ 3m a t l a b 语言用于计算机仿真的优势 m a t l a b 是m a t h w o r k s 公司于1 9 8 2 年推出的一套高性能的数值计算和可视化软件。 它集数值分析、矩阵运算、信号处理和图形显示于一体，构成了一个方便、界面友好 的用户环境。它还包括了t o o l b o x ( 工具箱) 的各类问题的求解工具，可用来求解特定 学科的问题。其特点旧” j 副是： ( 1 ) 可扩展性：m a t l a b 最重要的特点是易于扩展，它允许用户自行建立指定功能 的m 文件。对于一个从事特定领域的工程师来说，不仅可利用m a t l a b 所提供的函数 及基本工具箱函数，还可方便地构造出专用的函数。从而大大扩展了其应用范围。当 前支持m a t l a b 的商用t o o l b o x ( t 具箱) 有数百种之多。而由个人开发的t o o l b o x 则不 可计数。 f 2 1 易学易用性：m a t l a b 不需要用户有高深的数学知识和程序设计能力，不需要 用户深刻了解算法及编程技巧。 ( 3 ) 高效性：m a t l a b 语句功能十分强大，一条语句可完成十分复杂的任务。如m 语句可完成对指定数据的快速傅里叶变换，这相当于上百条c 语言语句的功能。它大 第一聿绪论 大加快了工程技术人员从事软件开发的效率。据m a t h w o r k s 公司声称，m a t l a b 软件 中所包含的m a t l a b 源代码相当于7 0 万行c 代码。 由于m a t l a b 具有如此之多的特点，在欧美高等院校，m a t l a b 已成为应用于线性 代数、自动控制理论、数理统计、数字信号处理、时间序列分析、动态系统仿真等高 级课程的基本教学工具：在研究单位、工业部门，m a t l a b 也被广泛用于研究和解决各 种工程问题。当前在全世界有超过4 0 万工程师和科学家使用它来分析和解决问题。 1 4 本文的主要工作 本文的主要目的是探讨利用m a t l a b 进行光学实验仿真的方法及实现程序。在大量 仿真实验的基础上建立基于m a t l a b 的光学实验仿真系统。各章的具体内容如下： 第二章：介绍了m a t l a b 用于光学实验仿真的基本理论，分析利用m a t l a b 实现光 波波前、光束传播、规则图形绘图、图像显示等的可行性。 第三章：讨论光的干涉实验仿真的理论基础和仿真方法，详细给出两列球面波的 干涉、多光束干涉、杨氏实验的仿真方法及仿真结果。 第四章：讨论光的衍射实验仿真的理论基础和仿真方法，具体给出菲涅耳衍射和 夫琅禾费衍射的仿真方法及仿真结果。 第五章：讨论光学波像差仿真的理论基础和仿真方法，具体给出赛德尔像差和泽 尼克多项式以及组合像差的仿真结果，分析波像差对干涉条纹的影响。 第六章：在前述几章工作的基础上详细讨论光学可系统的仿真，以及基于移系 统的光学滤波和相干光学信息处理等的仿真。 第七章：制作了初步应用程序界面，给出光学实验仿真系统。在m a t c o m 4 5 的基 础上，探讨如何将m a t l a b 的m 文件转化成相同功能的c + + 代码，然后应用v i s u a l c 十+ 给出一个合理的应用程序界面。 最后为结论与展望，总结本文的一些主要工作与思路并对后续工作方向提出一 些个人的看法。 西北工业大学顶士学位论文 第二章m a t l a b 用于光学实验仿真的基本理论 在光学实验的仿真过程中，理解波前的概念是十分必要的。“波前”一词，过去 人们常指的是一个等相面( 波面) ，或走在最前箍的波面，后一种含义只对冲击波一 类非定态波有意义【l “。研究定态托波时，“波前”词泛指波场中任曲面，更多地 指一个平面，如记录介质、感光底片、接收屏幕、透明的黑自画面等所在的平面，或 透镜前后的某个平面。实际问题中，一列波携带着许多信息，如频率、波长和传播方 向( 二者包含在波矢k 中) 、振幅分布、位相分布、传播速度等信息全部包含在三维 的复振幅分布函数中。然而，通常光学系统中的一个元件只和波场中某个波前打交道 也就是说，与它有关的只是这个波前上的信息，所以通常只关心复振幅在波前上的二 维分布问题。 在光学实验仿真过程中需要解决的主要问题是如何准确地描述复振幅在某个空 侧平面上的离散分布。计算机处理的图像是离散化的，所谓图像离散化，就是把图像 分割成如图2 1 ( b ) 所示的称为像素的小区域，每个像素的亮度或灰度值( g r a yl e v e l v a l u e ) 用一个整数来表示”】。一幅n x n 个像素的数字图像其灰度值可用行列 的矩阵u 来表示，如图2 1 ( c ) 所示。这样，对数字图像的各种运算处理就变成对矩阵 u 的各种运算。 f 曲p i c t u r e u = z i一： 五，厶， 厶厶： t b d i g l t a lp i c t u r e n 1 m a ”“( 一) ( ) p i x d 图2 1 图像的离散化和矩阵表示 2 】利用m a t l a b 语言实现光波波前 m a t l a b 语言描述光学波前的优越性具体体现在三个方面： 是m a f l a b 语言可以 方便地确定光学平面，特别是同轴平面，并能方便地描述光学平面所满足的函数关系； 二是m a t l a b 数学函数库提供了计算光束线性传播所需要的二维快速离散傅里叶变换； 三是m a t l a b 语言具有强大的绘图功能，可以方便地显示各种光学场的计算结果。 2 1 1 剥用m a t l 西语言实现光波波前 二维x y 直角坐标可唯一地确定一个平面( 垂直于z 轴的平面) ，用这个平面表示 光波场的波前可以在此平面上对光波场的复振幅作相应的各种运算。用m a f l ：, b 语言 可以方便确定这样一个平面。利用m a f l a b 庠函数m e s h g r i d o f l a l 生成两个n n 维矩阵 第二章m a t l a b 用于光学实验仿真的基本理论 变量r n 和n ，其中矩阵m 按行变换，矩阵n 按列变换，按照这两个矩阵寻址可确定用 矩阵u 表示的平面上的任意像素，如图2 2 所示。可以根据需要确定矩阵的阶数， 即平面的采样点数。 11 22 nn l 2 l2 12 j l 1 2 l r j u = 工一： ， ： q h l m q 由库函数m e s h g r i d o 确定的各个平面的坐标原点位于平面的中心，使所有参与运 算的平面之间保持很好的同轴性。调用库函数c a r t 2 p o l 0 9 1 可进行直角坐标和极坐标之 间的相互转换。另外矩阵u 中的元素可以为复数，且其中的所有元素都可进行加、减、 乘、除等运算，由此可解决复振幅在波前上二维分布的计算问题。 2 1 2 平面光波的波前实现 平面光波是光波的一种最简单形式( 2 0 1 。在某一时刻t ，具有相同位相的波动构成 组平面，每个平面都与波动的传播方向垂直。点光源发出的光波经透镜准直，或者 把点光源移到无穷远，可以近似获得平面波。 沿 方向传播的单色平面波在光场中p ( x ，y ，z ) 点产生的复振幅可以表示为 u ( x ，y ，z ) = a e x p 【i k ( x c o s c t + y c o s f l + z c o s y ) 】 ( 2 1 1 ) 式中，a 表示常量振幅，c o s a 、c o s f l 、c o s g j 口传播方向的方向余弦，它们满足： c o s 2 g r + c o s 2 f l + c o s 2 y = l ( 2 1 2 ) 由此可将式( 2 1 1 ) 改写为： 吣，z i = 轰篆芹粤c o s 鬟器c o s 五荔矬。口+ 心。蒯c z 。，= 口e x p d 切1 2 口一 2 居x p 【j 七( x c o s 口+ y c o s ) 】 对于在确定方向上传播的平谣波，以及所选定的垂直z 轴的x - y 平面，上式中的第一 个位相因子e x p j k z ( 1 c o s 2 g - c o s 2 历“2 是常数位相因子，不随x 平面坐标变化。因此， 可以引入一个复常数4 。令 a = 口e p 【j k 1 一c o s 2 口一c o s 2 pj ( 2 1 4 ) 式中，位相因子表示平面波在，平面上产生均匀相移。其大小随着x - y 平面位置z ， 以及平面波传播方向余弦c o s l z 、c o s p 而变化。 西北工业大学硕士学位论文 7 x - y 平面上的复振幅分布可以表示为 ，g ，y ) = a e x p j k ( x e o s a + y e o s f l ) ( 2 1 5 ) 通常称e x p j k ( x c o s a + y c o s # ) 为平面波的线性位相因子。若平面上的复振幅分布的表达 式中包含这一因子，可知它代表一个方向余弦c o s t z 、c o s f l 的平面波经过该平面，见国 2 - 3 ( a ) 。 等位相线的方程是 x c o s 口+ y c o s 口= c ( 2 16 ) 式中，c 为某一常量。不同c 值所对应的等位相线是一些平行斜线，见图2 3 ( b ) 。 ( a ) 嫌 夕 k 。 fl 。 r h 、 图2 3 ( a ) 传播过程中的平面波波前：( b ) 平面波在x - y 平面上的等位相线 要实现( 2 1 ，5 ) 式的离散化，可利用m a t l a b 库函数m e s h g r i d o 产生两个矩阵变量 m 和n 。其中矩阵m 按行变换，代表离散化的x 坐标变量；矩阵玎按列变换，代表离 散化的y 坐标变量。按照这两个矩阵寻址来确平面光波波前的矩阵。其中振幅a 、方 向余弦c o s t ：涌：lc o s f l 为常量，与坐标变量无关。设平面上x 、y 方向的采样点数分别为 肼和，则采样间距缸、缈分别为： r i a x = 砌a y 2 ( 2 - 1 - 7 ) 式中l 和4 分别为x 和y 方向的积分范围。离散化的平面光波波前的表达式为： ( 厂a x ， 缈) = a e x p j km 缸c o s 口+ 尬y c o s p ) 】 ( 2 1 s ) 式中m 、行及u 均为m n 维矩阵。由相应程序实现的平面光波波前如图2 4 所示。 ( a 】二维包裹位相( b ) 连续位相 ( c ) 十拶位福 图2 4 与z 轴和y 轴夹角为4 5 0 的平面光波波前位相图 2 1 3 球面波的波前实现 从点光源发出的光，其波面表现为球面，因此球面是基本的波面形式f 2 d 】。单色的 第二章m a t l a b 用于光学实验仿真的基本理论 发散球面波在光场中任意一点p 所产生的复振幅 v ( p ) = a e x p j k r 】 ( 2 1 9 ) 式中，波数k = - 2 冗a ，表示单位长度上产生的位相变化。，表示观察点p ( x ，y ，z ) 到点 光源的距离。口表示距点光源单位距离处的振幅。对于会聚球面波，则有 o r ( e ) = - x p - j 鼢】 ( 2 1 1 0 ) 点光源或会聚点位于坐标原点， r ：仁2 + y 2 + z 2 y ” ( 2 1 1 1 ) 点光源或会聚点位于空间任意一点s ( x o ，y o ，z o ) 时， r ：振i 再石葡可二习 ( z 1 1 2 ) 图2 5 球面波在x y 平n y - o 向等位相线 考虑光波在某一特定平面上产生的复振幅分布的数学描述，见图2 5 。设点光源 s ( 工o ，y o ，o ) 位于x o - y o 平面，考察与其相距：( z o ) 的x - y 平面上光场分布。，可以 写为： ，：推可二硼= z ( 2 1 1 3 ) 若在x 吵平面上只考虑一个对s 点张角不大的范围，有 ( x - x o y + - y o y 1 2 利用二项式展开，并略去高阶项，得到 ，。+ 垒= 逸! 立= 筮! ( 2 1 _ 1 4 ) 把式( 2 1 1 4 ) 代入式( 2 1 9 ) ，得到近轴条件下发散球面波在”，平面上产生的复振 幅分布为 u g y ) = a _ ：e x p ( j 把o x p 怯b 喵) 2 + ( y y o ) 2 】 ( 2 1 1 5 ) 式中分母上的，已用z 近似，由于所考察的区域相对z 很小，可以认为各点光振动的 一 望苎三些垄兰竺主堂堡垒查 ! 振幅近似相等( 近轴近似) 。但在位相因子中，由于光的波长五极短，七= 2 州丑数值很大， 以致r 误差对位相值影响较大，所以r 的近似式中应多取项。 在位相因子中包括两项：e x p ( j k 力式常量位相因子：e x p j ( k 1 2 z ) ( x - x o ) 2 + ( y - y o ) 2 ) 描 述了位相随x 哕平面坐标的变化，称为球面波位相因子。当平面上复振幅分布的表达 式中包含这一因子，就可近似认为距离该平面z 处有一个点光源发出的球面波经过这 个平面。 x - y 平面上位相相同的点的轨迹，即等位线方程为： ( x x o ) 2 + 一地) 2 = c ( 2 。1 1 6 ) 式中c 表示某一常量。不同值所对应的等位相线构成一族同心圆，它们是球形波面与 x - y 平面的交线。注意位相值相隔2 兀的同心圆之间的间隔并不相等，而是由中- c , , r 句j , l - 愈来愈密集。 若光源位于x o - y o 平面的坐标原点上，则在傍轴近似下，发散球面波在x - y 平面上 复振幅分布为 u b ，y ) = 导e x p ( j k z ) e x p ij 尝g 2 + y 2 ) l ( 2 1 1 7 ) zz 7t 若z 2 2 1 提出b p m ( b e a m p r o p a g a t i o nm e t h o d ) 算法用于仿真激光束在空气中的传播。1 9 9 3 年b r e n n e r 和s i n g e r i 2 列提出w p m ( w a v e p r o p a g a t i o nm e t h o d ) 用于仿真微透镜的成像特性。这 两种算法都是利用亥姆霍兹方程的迭代解法仿真光波的传播。1 9 9 7 年高隽在衍射理论 的基础上提出了相干光学系统的计算机仿真算法 2 4 , 2 5 ，利用该算法仿真的相干光学系 统得到很好的模拟结果，使相干光学系统的仿真发展到个新的水平。 第二章m a t l a b 用于光学实验仿真的基本理论1 0 2 2 1 光波的线性传输 傅里叶光学中通常是以线性系统理论为基础去分析各种光学问题。在一定的限制 条件下，光波的传播、衍射、成像等现象都可以看作是线性的和空间不变的。所以可 以用线性系统分析的典型方法，特别是傅里叶分析法( 频谱分析法) ，来简化问题的 讨论，更清晰地揭示出这些现象的物理实质。 ( 1 ) 光波的线性传输 光束线性传输理论立足于傍轴条件下的基尔霍夫标量衍射理论，即以衍射积分为 主要的理论基础，具体就是远场条件下的惠更斯一菲涅耳衍射积分【2 6 1 。 光在线性介质( 无增益，无非线性效应) 中的传输遵从亥姆霍兹方程，傍轴近似 下，方程写成标量的惠更斯一菲涅耳积分公式： 日g，y)=百exp(jkd)f+j问k,yoaa) e x p 兰a k 一) 2 + o 一乩) 2 】 d d 虬( 2 2 1 ) 1 。 l 一 。i 式中d 为传输距离，兄为光波波长，女为光波波数，孙y o ，和x 、y 分别为输入平面和 输出平面坐标。 ( 2 ) 光波的线性传输数值算法 对于衍射积分方程的数值求解，若采用直接积分的算法，计算量相当大。因此需 寻求快速计算的方法。通过对衍射积分方程进行变形和推导，可以得到两种求解该方 程的快速算法。 远场算法 如果将( 2 2 1 ) 式积分中的二次相位因子展开，可得到菲涅耳衍射的傅里叶变换 表达式， 巩小可e x p o k d ) 唧曙( x 2 + y 2 ) 水f 执) e x r 匿k 叫 1 ) ( 2 2 z ， 式中，f f 表示二维傅里叶变换，空间频率为五气( 五印和石_ ( 脚。上式表明，衍射积 分助扭， 可看作对输入函数岛，肋) e x p o 2 回瞄+ 如2 ) 作傅里叶变换后，再乘以二次 位相因子，基于此，可以采用快速傅里叶变换实现菲涅耳衍射积分。 近场算法 在( 2 2 1 ) 式中，令脉冲响应函数 ( x - x o , y - y o ) = 击e 冲。删) e x p 篆k 一) 2 + o 一儿) 2 ) c z 2 s ， 则衍射积分方程可写为： e d g ，y ) = ff e o ( x o ，y o ( x 一，y y o ) d x o d y o = e o ( x ，y ) + ( x ，y ) ( 2 2 4 ) 式中一表示卷积运算。根据傅里叶变换的卷积定理，上式可化为 里些三些查量塑主芏堡垒墨 ! ! e dx ，y ) = f “ f 民( 五y ) f ( h ( x ，y ) h ( 2 2 5 ) 上式中，f 表示傅里叶变换，f “表示逆傅里叶变换。令月仉，f y ) = f h ( x ，y ) ) ，式中五，石 为频谱坐标，则推导可得 日( 正，乃) = f 伪o ，y ) = e x p ( j 垄导) e x p 卜j 兀材( 正2 + 乃2 ) j ( 2 2 6 ) 上式为菲涅耳衍射在频域中的传递函数。频域中的菲涅耳积分可表示为 毛( 六，兀) = e 。( 正，) e x p ( i 垒导) e x p - j 兀射( 正2 + 厶2 ) 】 ( 2 2 7 ) 上式说明，不同平面上物场复振幅分布的频谱是点点对应的，光波从z = 0 平面传播到 z = d 平面时，相应的频谱函数由e o 惦，力) 转换为助惦，五) ，二者之f 3 k t 目差一个相位 因子。 ( 3 ) 两种数值算法的适用范围 需要指出，采用快速傅立叶变换实现上述两种算法时，它们分别适用于不同的传 输距离。这是由于进行数值计算时需要对连续形式进行离散化离散的数值序列必需 满足抽样定理。无论是近场算法还是远场算法，从表达式可知道它们分别含有在空域 和频域的二次位相因子项。数值计算是否准确取决于对二次位相因子的抽样是否够 准确，二次位相因子以2 兀为周期，越往外结构越密，要保证抽样准确，应使任意相邻 两点位相差不超过兀。 因此，对于近场算法，其二次位相因子e x p ( 0 兀五机2 ) 的抽样必须满足： 兀五d ( 五+ d 正) 2 7 【 句擘兀 ( 2 2 8 ) 同样，对于远场算法，其= 次位相因子e x p ( 0 7 r 露以印的抽样也必须满足： 罟【x g 。+ d x 。) 】2 一告g - - x 0 ) 2 7 【 ( 2 2 9 ) 其中 为光波波长，d 为传输距离。4 和出。分别为物空间和频率域空间的采样间隔。 从上两式可看出传输距离d 对二次位相因子的抽样有重要影响。为满足抽样定理，必 须有：d f ，_ l ( a x ) o ，d x o _ l ( a 0 0 ，其中( 砷。为物体的原始宽度( 自。为物体的频谱宽度。 推导可得( 蠲o ，越a 0 0 为根据传输距离d k 分近场算法和远场算法的分界点。当 蝮心0 五( o o ，采用近场算法计算菲涅尔衍射积分才能得到准确的结果；当 龟( 蠲o 坝毋。时，则必须采用远场算法。 实际算法实现过程中，选取r 州为判断条件，其中为物空间采样范围，j 为采 样点，a 为光波波长，如实际尺寸l = o 。1 4 1 4 m 的空间采样范围，若取n = 5 1 2 个采样点， 在2 = 6 3 2 8 n m 时，龙3 1 7 1 6 8 m , 1 必须采用远场算法。 2 2 2 利用m a t l a b 语言实现光波线性传输的近场算法 本文中如果没有特别说明，程序使用的全部是近场算法。利用m a l a b 语言实现 第二章m a t l a b 用于光学实验仿真的基本理论 光波的线性传输的近场算法时，需要解决的主要问题是离散化光学传递函数的实现。 下面从二维傅里叶变换的基本理论出发，谈谈如何实现离散化的光学传递函数。 ( 1 ) 二维离散傅里叶变换的基本理论 所谓信号的频谱分析就是对信号进行傅里叶变换 2 7 1 ，在信号的频谱域内进行某些 操作。由于现代电子技术获取的信号往往是离散的数字信号，加之连续的傅里叶变换 不便于直接用于计算机进行计算，人们提出了离散傅里叶变换。离散傅里叶变换 ( d i s p e r s ef o u r i e rt r a n s f o n r i ，缩写为d f t ) 是时域和频域均离散化的变换，适合数值 运算，成为分析离散信号和系统的有力工具。 d f t 的实质是对有限长序列傅里叶变换的有限点离散采样，即实现频域离散化 使数字信号处理可以在频域采用数字计算的方法。这样就大大增加了数字信号处理的 灵活性。d f t 有多种快速算法，统称为快速傅里叶变换( f a s tf o u r i e rt r a n s f o r m ，缩 写为f f t ) 。f f t 能大大节约运算时间，使信号的实时处理和简化设备有可能得以实 现。 二维d f t 具有如下的形式： f ( ”) = 占岁x ：o 篁y = o 厂( x 川e x p 卜j 2 兀( 等+ 万v y ) 铲0 ，l ，肛l ；v = 叫，1 ( 22 1 0 ) x = 0 1 ，m 1 ；3 1 = 0 1 ，n - 1 ( 2 2 1 1 ) 式中e x p - j 2 n ( u x m + v y n ) 和e x p j 2 n ( u x m + v y n ) 称为正反傅里叶变换核。x 、y 为空间 域采样值，“、v 表示频率域采样值。 由此，频率域采样增量和空问域采样增量之间有如下关系 “= m l a x v = 二n a y ( 2 2 1 2 ) _ 为满足抽样定理。使抽样值能还原成原函数，必须使x ，y 方向抽样点最大允许间隔满 足奈魁斯特间隔【”1 ，即 啦m 。矗n 沁2 若n = 1 0 2 4 。9 = 6 3 2 8 n m ，则x 。茎3 2 4 u m 。如果采样点的间距过大，频谱区域就会出 现混叠现象，不能在频谱面对其进行滤波或其他操作。实际情况中，可根据图像的清 晰度在此范围内调整采样间距的大小，来获得清晰度最佳的图像。 虽然d f t 是信号分析与处理的一种重要变换，但是因为其运算量过大，直接用 d f t 算法进行谱分析和信号处理是不现实的。f f t 算法的核心就是不断地把长序列的 d f t 分解为几个短序列的d f t ，并且利用变换核的周期性和对称性来减少d f t 运算 次数【捌。下面把二维d f t 变换转化为两次一维f f t ，先对图像矩阵的各列取行傅里 1 u 咿一 + 坚m ( h 七 弧v“ 以 脚脚 f f 力， 西北工业大学硕士学位论文 叶变换，然后在对变换结果的各行取列傅里叶变换，如图2 7 所示。 0 ，0 ) n - i 图2 ，7 二维d f t 的快速计算 二维f f t 的流程