（应用数学专业论文）一类非线性演化方程初始问题解的衰减估计.pdf

摘要 在过去几十年里，非线性演化方程由于其有着广泛的物理应用背景，所以一直受 到国内外专家学者的紧密关注特别是k o r t e w e yd ev r i e s 方程 t t + “掰+ + 砂( 缸k = 0 ， 一 z o o ，0 和b e n j a m i n - o n o 方程 t t + 日u 粘+ 妒( t 正) 。= 0 ， 一o o 尘 o o ，t 0 关于这两类方程初始问题解的长时间行为估计已经有了很多研究本文研究的方程 起源于b e n j a m i n - o n ok o r t e w e yd ev r i e s 方程u t + 何日+ u z z - z + 卢+ ( 矿k = 0 ，t ( z ，0 ) = u o ( x ) z r ，t 0 ，此方程是罗德海研究大气现象飑线时提出的 第一章给出了此方程的研究背景及发展状况第二章对本文所使用f o u r i e r 分解方法 的基本思想和技巧作了比较详细的介绍第三章主要介绍了本文的研究结果，即在 给b e n j a m i n - 0 1 1 0k o r t e v 啊d ev r i e s 方程添加了b u r g e r s 类的耗散项a 。后，使用 改进的f o u r i e r 分解方法得列了b e n j a m i n - o n ok o r t e w e yd ev r i e sb u r g e r s 方程初始 问题解的驴和l ”范数的衰减速度最后一章对本文所研究问题作出了进一步的展 望 关键词tb e n j a m i n - o n ok o r t e w e yd e c r i e s 方程；f o u r i e r 分解；初始问题；衰减 估计 a b s t r a c t i nt h ep a s tf e wd e c a d e s ，m a n yp e o p l ea r ei n t e r e s t e di nn o n h n e a re v o l u t i o ne q u a - t i o n s ，b e c a u s et h e yw e r eu s e di np h y s i c s e s p e c i a l l y , k o r t e w e yd ev r i e de q u a t i o n t + u 托+ t k + ( t ) z = 0 ，一 z ，t 0 a n db e n j a m i n - o n oe q u a t i o n 仳t + 日u 砧+ 妒( “k = 0 ， 一o o z 0 ( z 0 ) = t l o ( z ) ， z r n 郭柏灵对此有过一些工作，可参看本文所列文献f 2 0 1 在本文第三章将利用上述方法，即给方程添加耗散项a t 。，利用改进的f o u r i e r 分解的方法来研究下面b e n j a m i n - o n o - k d vb u r g e r s 方程初始问题解的衰减估计 t i i + h u 2 z + t 2 描+ p t z + ( u 3 k = n u 嚣，u ( x ，0 ) = t l o ( z ) z r ， 其中，u = t i ( z t ) 是实变量一 = z z z 若若若 l l o 一 ，_l-(_【 = 、j z ，【 n 凹 西北大学硕士学位论文 2 1 1 空间理论 第二章预备知识及基本方法 2 1 预备知识 本节将简单介绍数学物理方程研究的基本空间的概念口l 侧 定义设，( z ) 是u c l p 上的实可测函数，记 峙= 馓川9 铲若枷0 p 了o o s u m l jl 8 j 5 l看p = 通常用p ( ，) 表示使i i f l l p ( 3 0 的，的全体，成为p 空问 性质2 1对于0 pso o ，在如上所定义的范数下是一个b a n a c h 空间 定义设，( z ) 和g ( x ) 是r t l 上的可测函数，若 ，( z y ) 9 ( ，) d p 积分存在，则称此积分为( x ) 与g ( x ) 的卷积，记为( ，g ) ( 动 y o u n g 翱t 2 - 2 设1 s p s 0 0 ，i q ，以及；+ ；l ，并且；1 = ；+ ；一1 如果，( i p ) ，9 p ( 1 p ) ，则( ，+ g ) 矿( i p ) ，且有 l i ( g ) l l n r i i f l l m i g l l l , ( 2 1 ) 定义设u 是日p 中的开集。 跣。( u ) ，1 i n ，如果存在g t l h l ( 【，) 。 使得 上爨础一上老如 v 妒c 字( u ) 则称皿为u 关于变量的弱导数，仍用通常的记号记为 抛 瓦2 乳 有时也记为n u = 9 如果对所有的i i n ，t 关于变量墨的弱导数m 都存在 则称函数“弱可微，并记u w 1 ( u ) 类似的可引进阶弱导数和女次弱可微 定义设s 为非负整数，p 1 ，u 是r t 。中的开集我们称集合 “w 。( u ) ；d 。“护( ) ，对满足j o iss 的任意n 5 西北大学硕士学位论文 “u “。，t u ，= ( e ，虿三i 。p i d z ) 1 加 ( 2 z ， 可以证明，w 5 t p ( u ) 在上述范数下是一个b a n a c h 空间当p = 2 时，常将w o , p ( u ) 记作h 5 ( 当s 0 时，定义它的范数为 删备= 爵1 上。( 1 + 。1 2 武 2 1 2f o u r i e r 变换的基本理论 本节介绍的f o u r i e r 变换基本概念和性质 7 , 2 7 驾】： 定义称函数集? = t 伊( r ) iv a ，口翟，l x # d 。t i s 肘妇，v z r ) 为速 降函数集。? 中的函数为速降函数 定义对“l 1 ( r ) ，称函数 渊= f u ( f ) = 了1 磊( 咖嘶如 ( 2 3 ) 为u 的f o u r i e r 变换，其中积分区域为r ( 后面后面凡未指明积分区域的，都认为积 分区域为r 1 ? 对于f o u r i e r 变换的好处在于它对f o u r i e r 变换是封闭的 定理2 , 3 若u p 。则缸乡 定理2 4 若u e ? ，则 “( z ) = 了1 翥蛾) e 。武 这个公式成为f o u r i e f 变换的反演公式，它可以表示为 ( z ) = ( f i ) “( 一茁) ，豇( z ) ( 一f ) = ( 缸) “( z ) 推论2 5 对任意“，口e z 有 姚= 毗 6 西北大学硕士学位论文 故 定理2 6 对任意的， 2 。有p a r s e v a l 等式 1 1 a 1 1 。( r ) = i l u o c 。( r ) ，( “，”) = ft t f d z = ( 缸，。) = d ； ( 2 4 ) 证明，在上面的推论中，取0 = 豇，则由反演公式 ”( z ) = ( 2 ”) 一l 口自( ) e 域武 - ( 2 矿m 7 丽面铜办 砺= u 讹，i l u l l 删= i i 沁( 研 类似的可证第二式 1 我们已在l 2 ( r ) 中的稠密子集2 上定义个保持范数的f o u r i e r 变换，由通常 的线性算子扩张的办法即可在p ( r ) 上定义f o u r i e r 变换 引理2 7 乡在l z ( r ) 中是稠密的 定理2 8定义在乡上的f o u r i e r 变换可扩张为l 2 ( r ) 到l 2 ( r ) 上的f o u r i e r 变换，且反演公式。p a r s e v a l 等式仍成立 证明；任取u 驴( 1 q ，由z 在酽( r ) 中的稠密性，存在饥乡的p a r s e v a l 等式 0 n 一矗lj i l 。= 0 ( t k 一铆) “i i 胪= i i u i q i i 胪0 ( k ，f 一+ ) ， 其中l 2 = l 2 ( i d ，讥是驴( r ) 中的c a u c h y 序列由l 2 ( r ) 的完备性，存在uel 2 ( r ) 满足 i i 以一训l 一0 ( k 一) 在推论2 5 的等式中令= ，我们得 f f t k v d x = f u k o d x 坳p 令k _ 0 0 得 f f w d x = u c j d z c z s ， 由此式即得矗的唯性，因若砬l 和锄都满足上式，差砬l a 2 满足 ( n l n a ) v d z = 0 ，v v z 7 西北大学硕士学位论文 由2 在驴( r ) 中的稠密性即知n l n 2 = 0 在( 2 5 ) 中令口= 魄，这里仇在l 2 ( r ) 中趋于 ，且仇2 再令k o o 取极限即知推论对任意t ，口l 2 ( r ) 皆成立 类似可证反演公式在下述意义下成立， ( 砬) “= 砬， 其中两次f o u r i e r 变换都是l 2 ( r ) 在意义下取的，豇由面= u ( - x ) 定义 l 2 r ) 中的f o u r i e r 变换是映上的因任给口驴( r ) ，令 = ( o ) “。由反演 公式。必有矗：i ： i 定理2 9 设u 口( r ) ，g l 1 ( r ) ，则 ，( ，t 9 ) “( ) = ，( t ) 争( ) ( 2 6 ) 此定理的证明参见文献【2 7 ，2 8 】 性质2 1 0 若u ，口l 2 ( r ) ，那么以下性质成立t ( 1 ) _ r u o = ，也；武， ( 2 ) 伊t = 嗽) 惋对于任意的女z + ( 3 ) = ( 矗) 。 2 1 3h i l b e r t 变换 对于定义在全实数轴r 上的函数，设f 驴( r ) ，1 p ( 3 0 ，我们定义 m ) = 觑玩丛拈扣n m 川- l 砷叫墨氓 ( 2 z ) ，称为，的h i l b e r t 变换，也记为h ( f ) 定理2 1 1 设f 驴( i ”，1 p o o ，则它的h i l b e r t 变换f ( x ) 在几乎一切 的上存在 此定理的证明参见【2 3 ，2 7 ，2 8 】 定理2 1 2 设，l 2 ( r ) ，则，的h i l b e r t 变换，l 2 ( r ) ，并且有 ( 1 ) i l i h = i i f l 2 ； ( 2 ) ( ，) “( ) = - i ( s g n t ) f ( t ) ； ( 3 ) 舰i i f 一圳z 。0 ， 8 西北大学硕士学位论文 令 其中 五= 地l 牮出 证明t 对于0 j 叩 ，作 m ，= l1 ：6 - 0 。对于一切最叩( o 6 0 ，k ( c r ) 0 ，并在上面的不等式中把和口各取为- l l l , l l , + , x m 与v l l + l l + t ( u ) ，当然。它们也是p ，p 中的函数，因而有 晡i = = 石而1 瓦丽z m z ) ”( 列如；厩1上m z ) i + ：，际1 上m 圳9 如 ：一1 + 一1 ；1 pg 由此可知 j u i “口1 6 bs1 1 1 1 0 l ，( u ) 0 0 l ( u 若i p ( 们= 0 。则u ( z ) = 0 在几乎处处的。上都有成立，从而上式成立，同 理l l 口( x ) l l l 。( u ) = 0 - 微分形式的g r o n w a l l 不等式 设叩( ) 是非负，在【0 ，刀上的绝对连续函数。且对几乎处处的t 满足微分不等式 v ( t ) 妒( ) q ( ) + 妒0 ) 1 3 西北大学硕士学位论文 其中妒【) ，妒【t ) 是【o ，t j 上田非负、司加函敢，则 ，7 e 露9 ( ，切( 。) + o 妒( s ) d s 】，。r 证明t 因为 石d ) e 一嚣“r 净) = e 一胍忙m ) 一荆槲) se 一片妒( r ) 卉妒( s ) d e0 ss s t 故对o t t 有 e 叫“岫祀) 纠。) + f o t _ ，o ( s ) d s 纠o ) + r 郴) 幽， 即不等式成立 _ 2 2 基本方法一f o u r i e r 分解 为了研究方程的解的l 2 范数衰减估计，本节将简单介绍f o u r i e r 分解方法此方 法最早是由m e s c h o n b e k 在1 9 8 0 年为研究守恒律方程的解的长时间行为估计提 出的，见文献f l o 】在1 9 8 6 年m e s c h o n b e k 和m i c h a e lw i e g e r 研究n a v i e r - s t o k e s 方程的弱解性质时得到了进一步的发展，见文献1 1 1 ，2 9 】之后，有很多这方面的文 章，参见文献 3 0 3 5 1 此方法也被认为是研究发展方程解的长时问行为的一个有 效途径 下面将简单介绍f o u r i e r 分解的基本思想和技巧此方法的主要技巧，将关于方 程解所满足的能量不等式的积分空问分解成为两个依赖于时间变量的区域，再利用 f o u r i e r 变换的性质，从而得到解的衰速率在特殊的情况下可得如下简化 假设 满足下面能量不等式 墨厶嫩s e 二附v ud z 删”( z 1 5 ) 其中c ( t ) c ( t + 1 ) 一“+ ”，z r n ，0 ，令 f s ( t ) = ：9 ( t ) ， 1 4 西北大学硕士学位论文 那么 i 缸( ) i c o ( 2 1 6 ) 这里的9 ( z ) = 丽薪，并且如果( 2 1 5 ) 和( 2 1 6 ) 都成立，则有下面估计 l l “( ，t ) l l ；c ( t + 1 ) 一” 其中咖= m i n ( o t ，n 2 ) 注意如果i n ( 毛t ) i e ，那么o z e = m i n ( a ，2 + 1 ) 下面证明如上结果， 由( 2 1 5 ) 知t l 2 ，因此矗是存在的，根据p a r s e v a l 等式，( 2 1 5 ) 可化为 豪厶旧1 2 武一e f s 9 1 2 i 卵西+ c ( 啦 令m n m z ( n ，n + 1 ) ， s ( ) = f ：i 1 - 反南) 班) ， 那么 丢厶2 鹰一e z 2 l n l 2 武一z 。俨蚓2 i 砰武+ c ( 班 我们去掉右边第一项，因为f s ( ) 。，即一c i f l 2 一罱，所以 曩厶 i 武一南厶i 撒i 删) 由于月，= s ( t ) + s ( ) 。，故 爰厶浒i 武+ 南厶邮i 武南幻撒i 删班 式子两边同乘以( t + 1 ) ”，利用p a r s e v a 等式和( 2 1 6 ) 可得 差( ( f + 1 ) ”f 1 “1 2 出) 邮+ 1 ) 一1 翰愀驯+ ( + 1 ) ”g so n ( t + 1 ) m 一1 0 + 1 ) 一“2 + e ( t ) ( + 1 ) m ( 2 1 7 ) 西北大学硕士学位论文 关于时问积分有 和 因此 o + 1 ) ”fl札12如sc(+1)-n2+m+fotcd ( ) o + 1 ) ”疵 8 + 1 ) m7i 叫2 矗z s c ( t + 1 ) 一”2 + m + c 8 + 1 ) m 一。 j 舻 f uj 2 d z c ( t + 1 ) 一“1 2 + c ( t + 1 ) 一。 j 胛 证毕 i 注意条件2 1 6 可以用下面的不等式代替t i 砬( t ) 1 2 武c ( 1 + t ) 一q d 8 ( 下章我们将用改进的此方法去研究我们所关心的方程 西北大学硕士学位论文 第三章关于b e n j a m i no n o - k o r t e w e yd ev r i e s b u g e r s 方程初始问题解的衰减估计 3 1 基本问题 本节将利用改进了的f o u r i e r 分解方法，讨论带有耗散项伽。的b e n j a m i no n o - k o r t w e yd ev r i e s 方程初始问题解的铲和l 。范数的衰减估计 我们要研究的问题是 m + 日t 牡+ w + p t 。+ ( 矿k = a 地陆，u ( x ，0 ) = t o ( z ) z r ，( 3 1 ) 其中，t = u ( x ，t ) 是实变量一o o 0 ，7 r ，j r 是实 常数，利用g r o n w a u 不等式得到t 当o 0 p = 0 ，1 ，6 r 时，方程的解t 的l 。 范数的衰减估计 i i u i i 。s c ( i + f ) 一 ， 见文献【2 3 】 1 7 西北大学硕士学位论文 为了后面记号方便，我们用c 表示本章所出现的任意正常数，其仅依赖于i i 0 1 1 l t ( r ) 和0 0 h t i r ) ，其中1 的整数并且令 i 想象_ 0 ，女_ 0 1 1 2 ，3 一0 协 本文的主要结果如下t 定理0 若u o 日2 ( r ) n l l ( r ) ，那么对初始问题( 3 1 ) 的解“有下面的估计 式成立t hs c ( 1 + ) 一j ，i l u l l 。c ( i + ) 一 和 3 2 主要引理 设q f = ( z ，$ ) ；z r ，0 s 毋，t 0 引理3 1 如果t ，口l 2 ( r ) ，那么下列关系成立 ( 1 ) 日( t ) ( f ) = i s g n ( o a ( f ) ( 2 ) u ( x ) h u ( x ) d x = 0 ，层u ( x ) h v ( x ) d x = 一v ( x ) h u ( x ) d x ( 3 ) 日( ) = ( h u ) 。，对任意h 1 ( r ) 此引理证明请参见定理2 1 2 和文献1 3 l 】 引理3 2 如果“h p ( r ) ( 1 sp s ) ，那么下面不等式成立 i i - 1 1 蝥sj l u l l l l x 1 1 证明假设t h p ( r ) 。那么有 p， m ( z ) p = 2 t 1 1 l 。d z s2 l “t ；i 如 j 一 j 一 因此可得到 c oc o u ( x ) 1 2 = u l l x d x 2 m 一如 ，o ， o “8 毛s i “u 。i d z h i i - 。l i i ，一鸳 1 8 西北大学硕士学位论文 引理3 3 假设函数g ( ) ，h ( t ) 0 满足下面不等式 9 ( ) s ( e + f ( 1 + ) 1 7 2 ) + z o ) h o ) d s ，t j 0 其中0 s t ，e 0 ，m 0 是两常数，函数丸( ) 满足j ( ) o o ，那么可以 得到g ( ) 满足不等式 g ( t ) s p + m ( 1 + ) 1 2 l e 如m 。对任意0 t o o 此引理证明请参见文献【3 司。 引理3 4 如果l o h 2 ( r ) 。则关于同题( 3 1 ) 的解有下面的结果。 s u p i l u ( t ) l l 。sg 2 a t i u 。8 ) 1 1 2 d t e ， o s t j 0 证明： 方程( 3 1 ) 两边同乘以2 ，在区域q 上关于( x ，s ) 积分，可得 j l u c t ) 1 1 2 + 2 a l l u ；( s ) 0 2 d s = 0 2 ， ，0 其中 t e o ， | ? h u z d z = 0l 。姚z 和枷 因此 s u pi l u ( t ) 1 1 2 ，2 a i l u 。( t ) 1 1 2 d t 0 0怖一 ， 蛙f ( j o 对方程( 3 1 ) 两边同乘以1 。，并且关于z 在r 积分，即有 拉1 1 2 + 纽2 = 2 必3 溉 其中 仁u x x x d x = o ，仁伽u 。z d x - o ( 3 2 ) ( 3 3 ) 西北大学硕士学位论文 又因为 2 ，”。( 。k d x j 一 , 1 l l u 。0 2 + o i i ( u 3 ) 。0 2 0 0 t 。0 2 + 9 a 一10 n 0 乞0 u 。旷 a o u 。1 1 2 + 9 q 10 u 。0 4 i l u l l 2 翱“。1 1 2 + i l u x z i l 2 _ 9 c t - i i i “1 1 2 l l u z i l 4 ， ( 3 4 ) 关于时间积分有 儿， l l u , ( t ) 1 1 2 + o 6 t 。( s ) 2 d ss9 a 一1 o t 。( s ) 1 1 4 i i u ( s ) 1 1 2 d s + i i “加1 1 2 ， j 0，0 根据引理3 3 和估计式( 3 3 ) 。可得 1 1 。1 1 2 c 备- e 印( 昙4 ) 利用引理3 1 ，则有 i i t 乏i l u i i i i 。 d i 3 3 定理的证明 定理的证明须分为f 面几个引理来元成t 引理3 5 假设定理0 的条件成立，那么我们有以下不等式； 砬( ，t ) = e x p - h ( ) t 谝( f ) 一e 印【，i ( f ) 】g ( 己s ) d s ， l n ( ，t ) l 1 1 , , o l l l ，( r ) + c i v i l i i 缸( s ) 0 5 d s l ； 0 0 s l i t 0 i i l t i 脚+ c l l t l ， 其中h ( o = o l 刮2 一妒一妇g n ( f ) k 1 2 + i 琏，g 幢，t ) = f i ( “3 ) 。】任，t ) 证明： 对方程( 3 1 ) 两边同时作用f o u r i e r 变换，有下面式子； 也( 6 ) 一i p 缸代，) 一t s 9 n 任) 悖1 2 矗幢，) + f 艇砬健，) 4 - f 【( “3 k 】( ) = 一o k l 2 缸( f ，f ) 2 0 西北大学硕士学位论文 或 矗( ，t ) + ( ) 矗+ 9 ( f ，t ) = 0 ， 上式两边同乘以e j i 化 ，可得 【矗( f ，t ) e “叩f + 9 ( ，t ) e “化) t = 0 ， 关于时问积分有 砬( 6t ) e “( 和+ g ( 毛t ) e “* p d s = 锄( ) ， ，i j 0 因此有 缸( ，t ) = e - a ( o ( ) 一e h ( o r t 5 9 ( 己s ) 叫 j o 和 i 矗( f ，t ) lsj 锄( 钏- t - 蚓p ( f ，s ) 如 ，c ，0 因为 i f 任，。) is ，。i 。 ，il。(。)11。ii。t18)ld。l l o 。o ，i f 任，s ) is i n 3 ，i l “( s 。”2 l l 0 “0 ， j - o o 所以有 i 矗( ，t ) l i i 蛳忆。( 聊+ 厂i i 驴u 孵d s j 0 怖r ) + 巾“。( s ) 1 1 2 酬 【1 1 ( 8 ) 1 1 5 d 叫垠 ，f，i j oj 0 冬l i l l o o l t ( 月) + c l i 【i i ( s ) 1 1 5 d 叫j lc l t j 0 1 1 o l l l t ( 脚+ c l a i r , i 引理3 6在定理0 的假设下，对于问题( 3 1 ) 的解成立下面的结果 i n ( o i l 。g 陋( e + ) l 一 证明；方程( 3 1 ) 两边同乘以，在区域r 上关于z 积分，可得 象仁m 圳2 d x + 2 n 仁k 1 2 d x = 。 西北大学硕士学位论文 根据p a r s e r v a l 8 等式，有下面等式 丢仁瞰圳2 如+ 缸仁蚓2 m 即妒武= 。 设 b ( t ) = 代r ；4 a ( e4 - t ) l n ( e 4 - t ) k 1 2 5 那么 故有 其中 因此 2 a 奸l n ( f ，t ) 1 2 鹰 = 2 a 盱j n ( ，t ) 1 2 蜓4 - 2 a 盱i 砬( f ，t ) 1 2 武 j b ( t ) j b ( t ) 。 丽高击再可上。卜砬( “) 1 2 鹰 = 研志丽仁m 印妒一2 ( e + 土t ) t n ( e 一+ t ) 0 昧，t ) 1 2 蜓 面d 上o 。o 纠2 蜓+ 研了盎厕仁m 印炉武 而高i 1 l = o l l n a ) + c l l 囟2 s 而盖研+ 丽盎研 l n ( e + ) 面d 陋( e 删2 仁瞰圳2 必l 眯 2 2 西北大学硕士学位论文 关于时问积分可得 ，o o i o ( t ) 1 2 武c 陋o + ) 】- j 一 证毕i 引理3 7 在定理0 的假设成立时，对- t - i e 题( 3 1 ) 的解有更好的衰减估计t h u ( 圳c ( 1 + ) 证明，如同引理3 6 的证明，我们有 爰仁m 圳2 武恤仁- o ， 因此 丢仁( 1 川2 陡+ 2 印删2 仁酬2 武_ 2 ( 1 仁陬 设 b ( t ) = r ；a ( 1 + 0 1 , i 2 l ， 那么有 2 a ( 1 + 矿好i 矗( f ，0 i 2 武 = 2 a ( 14 - ) 2 l 1 2 l 缸嬉，) 1 2 4 - 2 n ( 1 + ) 2 l 引2 i 缸代，0 i 2 必 j b ( 0j b ( t p 2 ( t 4 - ) l 矗( f ，t ) 1 2 ， = 2 ( 1 4 - t ) f n ( ，t ) 1 2 一2 ( 14 - t ) i o ( 已0 1 2 必， j 一 j b ( 0 西北大学硕士学位论文 差仁( - 瑚邵炉武 2 ( 1 + t ) i 砬( ，t ) 1 2 鹰 j 且( t ) s+)_1+，li(r)+c2(1 t l l u d l n ( f i i 。( s ) l l s d s ) h 1 ：武 s + ) 【洲i 5 2 武 j 一瞰l + f ) 】- 1 2 山 ，c g ( 1 + t ) l 2 + c i i u ( s ) 1 1 5 d s j 0 关于时间积分有 ，o 。r t ( 1 + ) 2 i 缸( ) 1 2 武i 1 2 + e ( 1 + ) 剐2 + c t i l u ( s ) 1 1 5 d s j 一 j 一j o 或 p o o，l ( 1 + t ) i a ( t ) 1 2 武c ( 1 + t ) 1 24 - c ( 14 - s ) 1 u ( s ) 1 1 2 ( 14 - s ) 一1 陋( e + s ) 】一2 d s j 一 j o 利用引理3 3 ，下面不等式成立 ，0 0 ( 1 + ) l a ( t ) 1 2 武眵+ c ( 1 + ) 1 2 】，伊( 1 + t ) 1 1 呲州) j - 2 出 j 一 即 i l u l l 2 c ( 14 - t ) 一 命题成立 i 引理3 8 假设定理0 的条件成立，则 i i 虬0 c ( 14 - t ) 一； 证明t如同引理3 4 ，有下面不等式 勃叫1 2 - i - r t 酽鲰。1 i i “i i 邗f t z i l 4 ， 西北大学硕士学位论文 爰( 1 + ) l l u = 1 1 2 + n ( 1 + ) l l u 。1 1 2 i l u = 1 1 2 + 9 口4 ( 1 刊2 i l u 。l 4 关于时问积分有 ( 1 + t ) l l w + n 小+ s ) k ) 1 1 d s 纠训2 + 0 。i l u = ( ) 1 1 2 + 兰，( + ) 1 1 2 蝌i i l u = ( s ) l l d s1 s ) l l u l li i dsjoj 0 s t 眙0 2 + 2 + 三( +2 8 札。4 u i l u o 。1 1 2 + 去l l u o l l 2 + ：- i l u o l l 2 o ( 1 + s ) l l u 。1 1 4 d s 利用弓f 理3 3 ，可得 ( 1 + t ) l l u = 1 1 2 c 备，e 印( 刍) 1 4 0 ，卢0 比较而言，是否可得到其最佳估计? 这方面的研究还有待更进一步的进行 其次，关于热方程啦= 如。我们有如下的结果， 令 磁= t ：i 矗任) i 最k i n ) r k = u ：i n ( ) = o ( 1 f l ) f o 假设是热方程的初始问题的解，其中初始值u a 磁n 驴( 日，) 。那么有 i l t i i 玉c ( i + ) ”2 其中e = c 口) 若u o 风，那么0 t i ( ，t ) l i 2 。2c ( 1 + t ) 一一彬 若u o 铲( i p ) ，并且在肛= f ：中，砬= 0 那么 f 2 。芝e z p ( 一e 2 ) 具体证明请参看【1 8 】我们感兴趣的是对于我们所研究的方程否也有类似的结果? 最后，对于我们所研究的方程正在努力推广到加权的空闻中去 西北大学硕士学位论文 参考文献 【l 】1 陆金甫关治著，偏微分方程数值解法，北京，清华大学出版社，2 0 0 4 【2 l 楼森岳唐晓艳著，非线性数学物理方程，北京，科学出版社，2 0 0 6 【3 | 范恩贵著，可积系统与计算代数，北京，科学出版社，2 0 0 4 4 1g w b l u m a na n ds k u m d 著，跏聊l e 饥a n dd i f f e r e n t i a le q u a t i o n n e w y o r k ，s p r i n g e r ，1 9 8 9 【5 】m j a b l o w i t za n dp - a c l a r k s o n 著，s o , t o n s ，n o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n a n di n v e r s es c a t t e r i n g , 世界图书出版公司，1 9 9 2 【6 】f j o h n ，j e m a r s d e na n dl s i r o v i e h 著。s e m i g r o u p so ll i n e a ro p e r a t o ra n d a p p l i c a t i o n st op a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s , n e wy o r k ，s p r i n g e r ，1 9 8 3 【7 】r j i o n oa n dv d em a g a l h 翻i o r i o ，f o u r i e ra n a l y s 妇a n dp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a 托o n s ，北京，世界图书出版社，2 0 0 3 【8 】伍卓群尹景学著，椭圆与抛物形方程引论，北京，科学出版社，2 0 0 3 【9 】陈绥阳褚蕾蕾著，动力系统基础及其方法，北京，科学出版社，2 0 0 2 【1 0 lm e s c h o n b e ld e c a yo ls o l u t i o n st op a r a b o l i cc o n s e r v a t i o nl a m s , c o ni n p d e 7 ( 1 9 8 0 ) 4 4 9 - 4 7 3 【1 l 】m e s c h o n b e k ，l 2d e c a y l o r w e a k s o l u t i o n so f t h en a v i e r - s t o k e se q u a t i o n s , a r c h r a t i o n a l m e e h a n a l 8 8 ( 1 9 8 5 ) 2 0 9 - 2 2 2 【1 2 】m e s c h o n b e k ，t h ef o u r i e r 印h t t i n gm e t h 碱a d v a n c e si ng e o m e t r i ca n a l y s i s a n dc o n t i n u u mm e c h a n i c s ( s t a n f o r d ，c a ) ，1 9 9 3 ，2 6 9 - 2 7 4 f 1 3 】l u od e h a i o nt h en d n 矗n e d rb e n j a m i n - o n oe q u a t i o na n di t sg e n e r a l i z a t i o n s ， s c i e n c ei nc h i n ab 1 0 ( 1 9 8 8 ) 1 1 1 1 - 1 1 2 2 【1 4 1f l i n a r e s ，l 2g l o b a lw e u - p o s e d n e s so it h ei n i t i a lv a l u ep r o b l e ma s s o c i a t e dw i t h t h eb e n j a m i ne q u a t i o n ，j d i f f e q u 1 5 2 ( 1 9 9 9 ) ，1 4 2 5 - 1 4 3 3 1 1 5 】h u oz h a o h u ia n dg u ob o r i n g ，w e u - p o s e d n e s so fc n u e h up r o b l e m s o rk o r t e w e g - d ev r i e s b e n j a m i n - o n oe q u a t i o na n dh i r o t ae q u a t i o n ，p r o g r e i nn a t u r a ls c i - e l l c e ，e n g l i s hs e t i * 1 4 ( 2 0 0 4 ) 4 7 2 - 4 7 6 【1 6 】g u ob o r i n ga n d h u oz h a o h u i ，t h ew e l l - p o s e d n e s so lt h ek o r t e w e 9d ev r i e sb e n - j a m i no n oe q u a t i o n ，j m a t h a n a l a p p l 2 9 5 ( 2 0 0 4 ) 4 4 4 - 4 5 8 西北大学硕士学位论文 【l7 】c j a n t i c & ，j l b o n na n dm e s c h o n b e k ，d e c a yo f s o l u t i o n so f s o m en o n l i n e a r w a v ee q u a t f i r n s , j d i f f e q u 8 1 ( 1 9 8 9 ) 1 - 4 9 。 【1 8 1d b d i x ，t e m p o r a la s y m p t o t i co fs o l u t i o n so yt h eb e n j a m i n o n o b u r g e r se q u a - t o n s , j d 旺e q u 9 0 ( 1 9 9 0 ) 2 3 8 - 2 8 7 【1 9 1z h a n gi a n g h a i ，d e c a yd ，s o l u t i o n 巧g e n e r a l i z e db e n j a m i n - b o n a - m a h o n y - b u r g e r s e q u a t i o n s 轨n - s p a c e 击m e n s i o n s n o n l i n e a ra n a l y s i s ：t h e o r y , m e t h o d s a p p u - c a t i o n s 2 5 ( 1 9 9 5 ) 1 3 4 3 - 1 3 6 9 2 0 1g u ob o u n ga n dz h a n gl i n g l l a i ，d e c a yo ，咖捌s o l u t i o n so ft w on o n l i n e a re v o l u - t i o ne q u a t i o n s , a c t am a t h e m a t i c a sa p p l i c a t a es i n i c 1 3 ( 1 9 9 7 ) 2 3 - 3 2 【2 1 】王耀东著，偏微分方程的驴的理论，北京，北京大学出版社，1 9 8 9 【2 2 jw i l l i a mp - z i e m e r 著，w e a k l yd i f f e r e n t i a b l ef u n c t i o n s