（应用数学专业论文）一类2n阶含阻尼项的非线性duffing方程周期解的研究.pdf

学位论文独创性声明 本人郑重声明： 1 、坚持以“求实、创新 的科学精神从事研究工作。 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究 成果。 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构 已经发表或撰写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示 了谢意。 作者签名：型互 日期：盘竺呈翌：6 ：! ! 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京信息工程大学有关保留、使用学位论文的规定，学校 有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸 质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书 馆被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索：有权将学位论 文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 作者签名： 丕丝五一 日期：2 芝2 星：6 ：! ! 中文摘要 非线性微分方程由于涉及领域广泛而一直备受人们关注，这类方程的周期 解的存在唯一性一直是研究的热点之一，研究的方法众多，通常有代数方法，变 分方法，不动点方法，拓扑度同伦方法，单调迭代方法，微分同胚方法等。 本文先在b a n a c h 空间l e r a y - s c h a u d e r 度理论研究讨论了一类2 n 阶带阻尼 项d u f f i n g 型方程 i 甜( 2 月o ) + 要v ，( 材o ) ) + v g ( z f ( f ) ) = 厂o ) ，f ( o ，2 万) 讲 i“1 0 ) = “气2 石) ，j = o ，l ，1 2 n 1 的周期解的存在性，并在渐近非一致条件( 厶) 下，讨论了方程 fu 2 n ( t ) + g r a d g ( u ( t ) ) + h ( t ，“( f ) ，“( f ) ) = p ( f ) 【“气o ) = 甜u ( 2 万) ，j = o ，l ，1 2 n - 1 的周期解的唯一性问题。再运用同胚延拓及不动点方法，讨论这类2 n 阶微分方 程周期解的存在性。 关键词：周期解，l i 6 n a r d 型方程，d u f f i n g 型方程，存在性，唯一性 a b s t r a c t t h en o n l 血e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o ni sp a i dc l o s e da t t e n t i o nb e c a u s et h e yr e l a t e w i l df l e l d t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h ep e r i o d i cs o l u t i o no ft h e s ep r o b l e m s a r ea l w a y so n eo f t h ec e n t r a li s s u eo f t h er e s e a r c h ，t h e r ea l em a n ym e t h o d st os t u d yi t , s u c ha sa l g e b r a i cm e t h o d ，v a r i a t i o n a lm e t h o d ，f i x e dp o i n tm e t h o d ，t o p o l o g i c a ld e g r e e h o m o t o p ym e t h o d ，m o n o t o n ei t e r a t e dm e t h o d ，h e m e o m o r p h i s mm e t h o d t h i sp a p e rf i r s td i s c u s s p 气卅丢v ) + v g ( m ) ) = 儿 ( 0 ，2 万) l ”u ( o ) = “7 ( 2 万) ，j = o ，1 ，2 n 一1 ak i n do fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n so f2 n t ho r d e rw i md a m p i n gh lb a n a c hs p a c e s ，u s i n g l e r a y s c h a u d e rd e g r e et h e o r e m t h e nt r yt od i s c u s st h eu n i q u e n e s so fp e r i o d i cs o l u t i o n i “加( f ) + g r a d g ( u ( t ) ) + h ( t ，“( f ) ，u ( ，) ) = p ( f ) 【“1 0 ) = “飞2 万) ，j = o ，l ，1 2 n 1 u n d e r ( 厶) c o n d i t i o n t h i r d l y , b yv i r t u e o fh o m e o m o 删s me x t e n s i o na n df i x e d p o i n tm e t h o d ，w ed i s c u s st h ee x i s t e n c eo fp e r i o d i cs o l u t i o no f2 n t ho r d e rd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n k e yw o r d s ：p e r i o d i cs o l u t i o n ，l i 6 n a r dr y e ，d u f f i n gt y p e ，e x i s t e n c e ，t m i q u e n e s s 2 - 一类2 n 阶含阻尼项的非线性d u f f i n g 方程周期解的研究 硕士论文 第一章绪论 1 1 问题背景和国内外研究进展 非线性微分方程在物理学、电学、天体力学、流体力学、生物学、金融经济及社会科 学的许多领域有着十分广泛的应用。非线性微分方程解的存在性一直是个令人无限向往的 领域，它吸引了无数杰出的数学家、物理学家、工程学家和经济学家的目光。 二阶非线性微分方程解的存在唯一性一直是个热点问题。人们致力于用不同的方法， 多个角度来尝试放松其求解的约束条件。 l i 6 n a r d 型及d u f f m g 型方程解的存在性问题因其涉及领域广泛而备受人们关注，研究 这类方程的问题通常有动力系统方法，代数方法，非线性分析方法等，而非线性分析方法 又包括变分与临界点理论，拓扑度同伦方法，上下解与单调迭代方法，不动点方法，微分 同胚方法等。 变分理论通常是将原问题的解转化为求泛函的临界点问题。不动点方法通常是通过构 造一个先验界，然后得到存在性结论，但这不能得到唯一性结果。拓扑度方法虽然可以减 弱解存在的充分条件，但是它的使用也不能得到唯一性且证明过程相当复杂。在具体使用 这一方法时，一般都要对方程的解进行先验估计，在许多情况下，解的先验估计是问题的 困难所在。上下解方法是建立在锥和半序的概念上的。微分同胚方法虽然涉及较多非线性 分析的知识，但是可以得到解的唯一结果，且证明过程相当简洁。 d u f f m g 型方程 “( f ) + g r a d g ( u ) = p ( f ) ( 1 ) 源自非线性摄动保守系统，由牛顿运动方程推得，这类方程质点受保守内力和周期外力作 用。这类方程为标准的d u r i n g 型方程，其周期解的存在性和唯一性一直是研究的热点。 但是对于带阻尼项方程研究的工作还不多见，当然这类方程也可以纳入l i 6 n a r d 型方程的 研究范畴，但是研究方法会有不同。我们可以运用d u f t i n g 型方程解的存在唯一性来研究 3 - 一类2 n 阶含阻尼项的非线性d u f f i n g 方程周期解的研究硕士论文 带有阻尼项的方程周期解的存在唯一性。 l a z e r 和s a n c h e z l l l 在条件( l ) 下，利用b r o u w e r 不动点定理求得方程( 1 ) 的2 7 r 周期解的存在性。 ( l ) 存在整数 0 ， 实数p 和如+ l 使得2 p 卢+ l ( + 1 ) 2 和 l 暹鱼婴) p + l 厶对所有的口r 一成立。 o x ，c 。 k a n n a n 和l o c k e r 2 1 1 在条件( l 7 ) 下给出了( 1 ) 周期解存在唯一性的简单证明。 l a z e r 【q 基于两个基本的抽象代数引理和f o u r i e r 级数的基本性质，在条件( l ) 下证明 了( 1 ) 至多存在一解。 ( l ) 存在两个常对称的刀行矩阵a 和b ，使得对所有的口r 一，有彳( 罢拿婴) 召， c 0 。 并且假如a 九九和“心以分别是矩阵a 和b 的特征值，存在整数 m ，k = 1 ，2 ，n ，使得坼 九心 ( 以+ 1 ) 2 。 a h m a d t 4 1 在条件( l ) 下通过由l e a c h 得到的p o i n c a r e 扰动定理结果，建立了( 1 ) 存 在2 z 周期解的定理。 b r o w n 和l i n t 3 1 利用整体反函数定理在( l ) 条件下给出了( i ) 唯一的2 7 r 周期解的存 在性。整体反函数定理的应用可以转化为寻找某些周期边界问题解的界，b r o w n 和l i n 的 方法不仅适用于周期边界条件也适用于d m c h l e t 和n e u m a m n 边界条件。 沈祖和【1 3 1 采用同胚方法，考虑保守内力和周期外力作用下的机械系统牛顿运动方程， 取得了存在唯一性结果。沈祖和与m a w o l f et 5 1 将牛顿运动方程和初值问题联系起来，根 据此初值问题给出了存在唯一的2 z 周期解的充分条件，推广了b r o w n 和l i n 的结果。 李维国和沈祖和2 0 1 给出d u f f m g 方程周期边值问题 4 - 一类2 n 阶含阻尼项的非线性d u f f i n g 方程周期解的研究硕士论文 x ”( f ) + c x o ) + g ( ，x ) = p ( f ) ，x ( o ) - x ( 2 石) = x 7 ( 0 ) 一x ( 2 r r ) = 0 唯一解存在的构造性证明，从初值问题和矩阵特征值入手，提供了一种司数值求解周期解 的方法。当然，存在唯一性证明一般是使用纯粹理论性证明，这类证明理论深刻，通常涉 及较多的非线性分析工具，而构造性证明的优点是可形成算法求得数值解，但技巧性较强， 此类工作不多见。 曹菊生旧在渐进一致条件( 工) 条件下给出了带扰动项的微分系统 ，“”! f ) + 册( 甜( ，) ) + 何( r ，p ) ，“o ) ) 2p ( ，)( 2 ) 【 甜( o ) = u ( 2 z r ) ，u ( o ) = u ( 2 7 r ) 的解的存在唯一性。 而对于高阶微分方程的研究也有了很大的进展，李勇等1 4 1 利用双线性型和s c h a u d e r 不动点定理给出了 u 2 ”+ v g ( 甜) = p ( t ) = p ( t + 2 r e ) 的解的存在唯一性。 杨作东1 5 1 研究了高阶半线性d z 舻馏型方程 1u 。哪+ g ( x ) = p ( t ) = p ( f + 2 万) l “2 ”+ g ( x ) = p ( t ) = p ( t + 2 z r ) 的解的周期性。 丛福仲1 6 1 利用s c h a u d e r 不动点定理研究了2 七阶微分方程组 u 2 n + 巳z ，2 7 + ( 一1 ) 斛1 厂p ，“) = o ， u r ”，a j 为常数，在条件( 三1 ) ，( l 2 ) 下的周期解的存在性。 ( l 1 ) f c 1 ( r x r ”) ，f ( t + 2 7 r ，u ) = f ( t ，甜) ，r j a c o b i 矩阵六= ( 厶) 是玎玎对称阵。 ( 三2 ) 存在i 两+ n x 玎阶常对称阵a 和b ，且彳五b 在r r ”，假如 九九和 - 5 - 一类2 n 阶含阻尼项的非线性d u f f i n g 方程周期解的研究 硕士论文 - h p 2 以分别是矩阵a 和b 的特征值，存在整数m ，i = 1 ，2 ，刀，使得 o 砰+ ( 一1 ) h a ，孵 z k “ ( m + 1 ) 2 7 + ( 一1 ) 一口( m + 1 ) 2 我们将在前人的基础上，深入研究，力求创新。 1 2 文章内容与结构 本文分五个章节，第一章介绍二阶及高阶非线性微分方程的问题背景，国内外研究成 果及文章的组织结构。第二章考虑b a n a c h 空间下2 n 阶带阻尼项的d u f f i n g 型方程周期解的 存在性：第三章考虑非渐近一致条件下2 n 阶l i 6 n a r d 型方程周期解的存在唯一性：第四章 尝试用同胚及不动点定理讨论带阻尼项方程；第五章是对前面讨论问题进行总结，说明我 们工作的意义，最后为致谢内容。 6 一类2 n 阶含阻尼项的非线性d u f f i n g 方程周期解的研究 硕士论文 第二章b a n a c h 空间下2 n 阶带阻尼项d u f f i n g 型方程周期解的存在性 本章考虑一类偶数阶带阻尼项的微分方程的周期边值问题： p 气卅丢v 砌) + v g ( 砸) ) = 儿泓( 0 ，2 引， i “0 0 ) = 甜u ( 2 石) ，_ ，= o ，l ，1 2 n - 1 其中u r ”；f ，g c 2 ( r ”，r ) ；厂c ( r ，r ”) ；f ( t + 2 7 r ) = 厂o ) 2 1 预备知识 设x = c 2 0 o ，2 7 r = “( r ) i 甜：【0 ，2 7 r 】一r ”，“( f ) = ( “，( 功，x l ，甜，r o ，2 7 ：1 ，定义内积： , re x，(州)=r”(蛾)artvuv ( t ) ) d t = 窆r 疗删m ( f ) 衍，x ，( “，1 ，) 2 上( 甜( f ) ，2 上“) m ( f ) 衍， 范数为l = 厕，x 为h i l b e r t 空间。 - i sd ( l ) = 甜l 甜x ，u j 2 k - i ) 在 o ，2 t r 上绝对连续，甜；2 。r 【o ，2 r e ，“；气o ) = 甜； ( 2 t r ) ， i = 1 ，2 ，刀，= 0 ，1 ，2 k - 1 ) ， 令线性微分算子：d ( l ) 一x ，l u = 一u 2 ，则三在d ( 三) 上是稠定的自伴算子。 事实上，对于任意“，d ( l ) ，有 ( l u ，v ) = ( “，l v ) 。 定义图范数i i ：x 专r ， | i i 甜i i = l l 掰0 + i l l “0 = 0 ”- 4 - l l u ( 2 n ) ，v ue d 一类2 n 阶含阻尼项的非线性d u r i n g 方程周期解的研究 硕士论文 d ( l ) 在图范数下是b a n a c h 空间。 由w i r t i n g e r j 不等式， 胆圳帖= 1 州2 一，2 刀一1 ， 可证明图范数和s o b 。1 e v 范数忙1 1 + u , + l l u l + + 忆2 月0 是等价的。根据s o b 。l e v 嵌入定 理，d ( l ) 可嵌入到c ：”1 【o ，2 z ，其中 c ：”1 【o ，2 z = 缸：r 专r ”i 甜，在【o ，2 z 上有连续2 以一1 阶导数) 。 d 在图范数下是肋玎础空间。：本文在b a n a c h 空间下考虑问题，设g ) 有连续的二 阶偏导数，记( 批) ( f ) ：一v g ( 甜( ，) ) ，f o ，2 7 r 】。则q ) ：( 罢呈婴) ，q ( 甜) 对v “r 一为 u 嗫卜嗫j 对称阵。这里我们假设| i q ) 0 7 7 ( 1 7 为一实数) 。 设r ”时，丸 ) ( 七= 1 ，2 ，n ) 是q ) 的特征值，且有 - ( “) 九( “) 九( “) 。 如果存在整数m ，( 七= 1 ，2 ，行) ，有 ；“ 丸( “) ( a l + 1 ) 2 ”，( 七= 1 ，2 ，刀) 。 ( 1 引理1 假设存在整数m ，( 七= 1 ，2 ，刀) ，使得( 1 ) 成立，则对于任取的厂d ，线 性系统 三甜一 = f 在d 内存在唯一的解 且满足i c 0 厂i i 。 ( 2 ) ( 这里l q 在d 上是可逆的且 峥一q ) i i _ c ，c = 嬲( 丸一所”，( m + 1 ) h 一丸) - 1 。) 一8 一类2 n 阶含阻尼项的非线性d u f f r a g 方程周期解的研究 硕士论文 证明：考虑特征值问题 l u - o u = a , u 这里特征值可写为九= m 2 一九，1 k 刀，其中m 是正整数。 ( 3 ) 由( 1 ) 知，( 3 ) 的特征值一定不为o ，因此对v f x ，系统( 2 ) 有唯一解甜d ( 三) ， 由自伴算子谱理论知， 肛一q ) 。i i = j ( o ，o r ( l - q ) ) ， 其中c r ( t q ) 记为三一q 的谱，d ( o ，仃) 为0 到仃的距离， 因此 l i ( l q ) 1 1 - m ；。i s n 。 九一所”，( m + 1 ) 加一九】 一，引理得证。 2 2 主要结论 定理1 考虑边值i 司趑 p 1 卅瓦d v 脚( f ) ) + v g ( 砸) ) = 们) ， ( 4 ) 【“1 0 ) = “7 ( 2 石) ，_ ，= 0 , 1 ，2 n - 1 其中丢v f ( 材) = 葛0 锄2 f ，抛( u ，) 一甜= ( 甜) 以假设f ( “) 有连续的二阶有界偏导数，即( 甜) 是有界连续的，且满足i | ) l = d ( 旷) ，( o ) + 有界，则( 4 ) 式在b a n a c h 空间 研”1 o ，2 z 内至少存在一个周期解。 证明：在b a n a c h 空间x 内，我们假设q ( “，) 满足： n u n v = 一q ( 甜，v ) ( 甜- v ) ，u ，1 ，d 。 令v = 0 ，则n u 一( o ) = 一q ，o ) 一o ) 。- i eq ，o ) = q ) ，则 9 - 一类2 n 阶含阻尼项的非线性d u l l i n g 方程周期解的研究 硕士论文 n u n ( o 、= 一q ( u ) u 。 假设三甜= 一甜2 ，n u = 一v g ( u ) ，则方程( 4 ) 可化为： “+ m = 丢v m ) 一厂。 又可以转化为： 三甜一q ) 甜= 丢v f ) 一( 。) 一厂 = 厶( w ) w - - n ( o ) - f( 5 ) 由引理知，方程( 5 ) 对任意w c ：”1 o ，2 u 都存在唯一解“满足： c 忆( w ) w - n ( o ) - f l i 。 则有 l i i u i i i = l l u l l + z u l l - c l l z f ( w ) w 一( o ) 一厂0 + i i q ( w ) “+ ( w ) w 7 - n ( o ) - f l i c l i 厶( w ) w 一( o ) 一厂0 + l q ( 忉0 c 0 ( w ) w 7 - n ( 0 ) - f 1 + 忆( 叻w - n ( o ) - f i = l l ( w ) w 一( o ) 一l l ( c + c l i q ( w ) i l + 1 ) l 厶( w ) w 7 0 + l ( o ) + 厂l i ) ( c + c i l q ( w ) 0 + 1 ) - q 厶( w ) t l 1 1 w 9 + l ( o ) + 厂l i ) ( c + c i l q ( w ) l i + 1 ) 因为题设中假设0 ) 0 = o ( 1 u l i - 1 ) ，则设0 ) i l 口忙7 i j - l ( 取口为适当大的常数) 。 所以有 | l | u j l l ( 口+ 9 ( o ) + 0 ) ( c + c i i q ( w ) 0 + 1 ) k ( 口+ 9 ( o ) + l i ) 1 0 一类2 n 阶含阻尼项的非线性d u f f i n g 方程周期解的研究 硕士论文 这里由前可知：| l q w ) l l - ， 令 c + c | l q ( w ) 0 + 1 c + c 7 + 1s k 。 现定义映射i ：q ”1 【o ，2 7 r 】一d 使得i w = 甜。 假设r w = u i ，i = l ，2 ，n 。 设“1 ，1 1 2 是满足方程的解a 即有 三一q ( w 1 ) u ，= ( ) 叫一( o ) 一f ， l u ：一q ( 心) 镌= ( ) 蟛一( o ) 一f 。 上面两式相减得 l ( u t u 2 ) 一q ( w 1 ) ( 一z | ：) = ( q ( w 1 ) 一q ( ) ) “2 + ( ) 嵋一( ) 嵋( 6 ) 可以发现，( 5 ) 式类似于( 4 ) 式，则有 0 一甜：i l l = i ir - f w 2 8 ( q ( 嵋) 一q ( ) ) 地+ ( 知( 磁) 叫一( ) 哦) | | f ( c + c l lq ( m ) l i + 1 ) k ( ( q ( w a ) - q ( w 2 ) ) u ：卜0 ( w 1 ) 叫一( w 2 ) 彬1 1 ) = k 0 l ( q ( w 1 ) 一q ( w 2 ) ) 屹j | + 0 ( ( w 1 ) 一( 比) ) 叫+ ( w 2 ) ( 叫一以) i i ) k ( 0 ( q ( w 1 ) 一q ( w 2 ”“：0 + 9 ( w 1 ) 一( w 2 ) 1 1 | | 叫0 + 0 ( w 2 ) l i | l 叫一嵋l i ) 这里c + c 0 q ( w 1 ) 0 + 1 k 也是成立的。 如前面所定义，映射r c 。2 ”1 0 ，2 万】jd 。这里，我们令 k ( 口+ 6 ( o ) + 厂1 1 ) r ， 取瞰= “d ，l l i “ r ) ，可以得到 一类2 n 阶含阻尼项的非线性d u f f r a g 方程周期解的研究 硕士论文 u l l - i 圳i r 。 因为图范数与6 。l e v 范数| + 忱0 + + 0 u ( 2 n ) i l 是等价的，所以忆叫i o ， 3 可知 阡酬墨6 筹。 因为q ( w ) ，( w ) 连续，所以可以取适当大的6 满足旦3 k a 6 。， 使得当 0 嵋一w 2 牝6 时， 有 l l q ( ) 一q ( 心) i i 三3 k r ， 0 ( w 1 ) 一厶( ) 忙3 k 三k 一。a r 此时，我们有| l | r 一r s ，因此r ：研”1 【o ，2 7 r 】专d 是连续的。 由预备知识可知，d 可以紧嵌入到”1 【o ，2 万】，而dc ”1 【o ，2 7 r 】，所以可以得到 f ：a ”1 o ，2 7 r 】一c ：”1 【o ，2 7 r 】是全连续的。 1 2 一类2 n 阶含阻尼项的非线性d u f f i n g 方程周期解的研究 硕士论文 定义岛7 = “q ”1 【o ，2 1 r ，lu1 r ) ，此时r 在吼内也是全连续的。 设s ： o ，1 】岛7 一，s ( f ，w ) = w t t w ，可以得到，s 在 o ，1 xa b r 上不等于0 。( 这 里是因为we c ：”1 o ，2 u 时，0w l i r ，9r w ll r ，而在峨7 - l11 w 1 0 = r ) 通过l e r a y - s c h a u d e r 度的同伦不变性可知： d e g ( i t ，b r f0 ) = d e g ( i ，毋，丁) = 1 。 所以至少存在一个w & ，使得m = w 。 即l w - o ( w ) w = i f ( w ) w 一( o ) 一厂成立，故此定理得证，边值问题( 4 ) 在空间 ”1 o ，2 万】内至少存在一个周期解。 2 3 一般情形的讨论 垮 i 矿。m 丢v 瑚) ) + v g 呦川吐 【u ( o ( o ) = u ( o ( 2 7 r ) ，i = o ，1 ，2 n 一1 ( 7 ) 这里我们令线性微分算子三：d ( ) 一石，l u = 一z o t “2 ，l 是d ( 三) 上的稠定自伴算 子，可以化为跟定理1 类似的形式，由此得到： 定理2 如果( 7 ) 式满足定理1 的所有条件，那么( 7 ) 式在b a n a c h 空间”1 o ，2 z r 】内 至少存在一个周期解。 1 3 一类2 n 阶含阻尼项的非线性d u f f m g 方程周期解的研究 硕士论文 2 4 小结 本章尝试在b a n a c h 空间下运用l e m y - s c h a u d e r 度理论讨论一类带阻尼项d u r i n g 型方程 周期解的存在性，在以后的研究中，我们将尝试其它方法力求讨论这类方程的存在唯一性 问题。 1 4 一粪2 n 阶含阻尼项的非线性d u f f i n g 方程周期解的研究 硕士论文 3 1 引言 第三章渐近非一致条件下l i 6 n a r d 型方程 周期解的存在唯一性 考察具有保守内力和周期外力机械系统的牛顿运动方程组 ”0 ) + g r a d g ( u ) = p ( t ) 其中p ：r 寸太”为2 z c 周期连续函数，g ：r “斗r 具有二阶连续偏导数，很多学者对系统 ( 1 ) 的2 z r 周期解的存在唯一性作了研究。 b r o w n 和l i nt 3 1 考察了系统( 1 ) 在非保守内力小扰动情况下的微分系统( 2 ) 的2 z r 周 期解的存在唯一性。 iu ( t ) + g r a d g ( u ( t ) ) + 日o ，“o ) ，“o ) ) = p ( f ) l u ( o ) = u ( 2 z o ，”( o ) = ”7 ( 2 厅) 其中g 满足渐近一致条件 ( 2 ) ( l ) 存在两个常对称的玎n 矩阵彳和口，使得对所有的a r ”，有 4 蔓( 罢拿婴) 占，并且假如 九和地sp 2 心分别是矩阵4 和b c 睇；o x ， 的特征值，存在整数m ，k = 1 ，2 ，刀，使得孵 s 心 ( m + 1 ) 2 。 s h e nz u h e z 3 1 在g 满足非渐近致条件( 上) 下得到方程组( 1 ) 的2 石周期解的存 在唯一性。 ( 上，) v f o ，2 疗1 ，v ( f ) 丑n ，设y i ( f ，“) 为( 毒旱) 的特征值，存在正整数以，使 a r ( 嚣i - 1 5 一类2 n 阶含阻尼项的非线性d u f f m g 方程周期解的研究 硕士论文 得研 n ( f ，甜) ( m + 1 ) 2 ， 脚1 1 ) = f e 【m o 2 i n 圳 m 邢i n m m i n ( y ( r ，蹦) 一所，( m + 1 ) 2 一y i ( 刎】) o 曹菊生在1 2 1 ( l ) 条件下得到带扰动项的微分系统( 2 ) 周期解的存在唯一性。 本章考虑一类高阶的微分方程 p 町( + 舢( 幽) + 她“( f ) ，“2 p ( r ) ( 3 ) i甜u ( o ) = “o ( 2 t r ) ，= o ，1 ，2 n - 1 在条件( 厶) v f o ，2 万】，v 甜( f ) r 一，设n ( ，“) 为( 毒罢) 的特征值，存在正整数 o x ；优； m ，使得斫” o , 且f 叭d s 。，= 佃。 ( 4 ) 设q = ( ) 为刀刀矩阵，令其e u c l i d 范数i q l = g ； j ， 则显然有i q i 刀。m 轧a ，；x 。l q 扩i 。 q 为所有满足条件( 4 ) 的w 的集合。 1 6 ( 5 ) 一类2 n 阶含阻尼项的非线性d u f f i n g 方程周期解的研究 硕士论文 令x = e o ，2 ，r 】= 伽( ，) l 甜： o ，2 r r 专r ”，z ，( f ) = ( z ，f ( f ) ) 蒯，r o ，2 r r ，x 是h i l b e r t 空间。 d ( ) = 伽fu x ，u 2 k - 1 ) 在【o ，2 r e 上绝对连续，彩2 r o ，2 7 r 】，“；气o ) = “；川( 2 r e ) ， i = 1 ，2 ，力，j = 0 ，1 ，2 k - 1 ， 令线性微分算子：d ( l ) 专x ，l u = 一u 2 ，则l 在d ( l ) 上是稠定的自伴算子。 定义图范数i l ：x 专尺，0 ”ii = l “i i + l l 三“i = l “忡”2 哪l ，v “d 。 则d ( l ) 在图范数下是b a n a c h 空间，可证明图范数和s o b o l e v 范数 “i + u l l + lu l + + 忪2 0 是等价的。根据s o b 。l e v 嵌入定理，d ( 三) 可嵌入到 ”1 【o ，2 r r ，其中”1 【o ，d r = “：r r ”i 吩在 o ，2 t e l 上有连续2 以一1 阶导数 。 因为g ( “) 有连续二阶导数，记q ) ：( 罢呈掣) ，则q ) 对于v “r 一是对称阵。令 o x 。苏， ( n u ) ( t ) = - g r a d g ( u ( t ) ) ，n 为连续可微算子。 引理l 设w q ，x ，y 为b a n a c h 空间，f ：x 专y 连续可微，v x x ，有 7 ( x ) i s 。m ( x ，y ) ，炒( x ) 】- 1 - - w ( i 怫， 则厂：d ( 三) _ y 为同胚映象。 引理2 ”1 设y 为一b a n a c h 空间，n ：d ( l ) j 】，连续可微，且存在常数，使得 n ( “) v 0 kv ，v u ，v d ( 三) ， 设对v u d ( 三) ，三+ ) 在】，上可逆，w q ，使得 三+ ( 甜) 】- 1 y l - w ( 1 l “i ) y l ，v “d ( 三) ，y y 。 则l + n ：d ( 三) 一y 为同胚映象。 1 7 一类2 n 阶含阻尼项的非线性d u f f i n g 方程周期解的研究 硕士论文 引理3 设q 为是行玎对称矩阵， 九九为其特征值，存正整数m 使得 研” 九 ( m + 1 ) 抽， 则对v f x ，线性系统 l u 一跏= f 有唯一解“d ( 三) ，且恻i - c l l f l i ， 其中0 c 0 = 嬲【丸一醒”，( m + 1 ) 抽一九】) 一。 ( 6 ) ( 7 ) ( 8 ) 引理4 设g 满足( 厶) 条件，l u = 一a ( 2 n ) 是线性微分算子，( 胁) ( ，) = 一g r a d g ( u ( t ) ) ，n 为连续可微算子，贝t jv u d ( 三) ，l + n ( “) 在x 上可逆，且存在常数k ，磊，最7 q ， 使得 n 7 ( 甜) 1 ，忙kv i i ，v u ，1 ，d ( 三) ， ( 9 ) 肛+ ( “) 川6 ( ) ，v 甜d ( 三) ， i i 三+ ) 】- 1 厅0 磊( 叫i ) 。1 俐i ，v 甜d ( 三) ，h x 。 3 3 主要结论 ( 1 0 ) ( 1 1 ) 定理1 设g 满足( 厶) 条件，l 和n 如引理4 所示，h ： o ，2 z r xr “r ”jr “， h = c o t ( a _ i ，也) ，耳= i - i , o ，而，y l ，只) 连续可微，满足 考牌社删i 阢舢削， 则v p ( t ) x ，微分系统( 3 ) 存在唯一2 z r 周期解。 1 8 一类2 n 阶含阻尼项的非线性d u f f i n g 方程周期解的研究 硕士论文 证明：令n e m y s k i i 算子h ：d ( 三) 一x 如下 ( h u ) ( f ) = 一月u ，“( f ) ，u ( ，) ) ，v t 【0 ，2 z 】。 则微分系统( 3 ) 等价于 三z f + k + 月钰= 一p 。 我们有 日，( 甜) v 】( f ) ：一( 学( 甜( r ) ) ，( r ) 一( i a l l , ( ( f ) ) 1 ，( f ) ， 劣，砂 v u ，d ( 三) ，r 【o ，2 z 】 由( 5 ) 及题设得： i i - t ( “) v i i ，鲁反( o 甜i x l v o + l 卜7 0 ) 6 6 。( o “f i ) 4 v 。( 1 2 ) 因为 三+ ) + 日7 ) = ( j + 日 ) 陋+ ) 】1 ) ( 工+ ) ) ， 令m = h ( ) 三+ ) 】_ 1 ：x x ，则由( 1 1 ) 及( 1 2 ) 式知，, j c v j - v h x ， i i m hl = 渺( “) 三+ ，( “) 一h l l l l l t 三+ n 7 ( ) m 硒( ) 删“旷i l h l l = b h i i ， 即0 m l l 6 l ，故，+ m 可逆，且l l ( + m ) 。10 ( 1 6 ) 一，因此 三+ n 7 ( “) + h ) ：d ( l ) 一x 可逆，且有 + ( 甜) + 日( “) 】= 三+ 7 ( “) 】一1 ( ，+ 膨) 一， ( 1 3 ) 由( 1 0 ) 及( 1 3 ) 可得： i i l + n 7 ( “) + 日( 甜) 州( 1 6 ) 一6 ( ) ，v “d ( 三) ， 一类2 n 阶含阻尼项的非线性d u f f i n g 方程周期解的研究 硕士论文 令 s 2 ( s ) = ( 1 一b ) s ( s ) ， 则& - 1 q ，且有 三+ 7 ) + 日 ) 】- l0 6 ：( i ) ，v “d ( 三) 。 由引理1 即得三+ + h ：d ( 三) x 为同胚映象，故 v p ( t ) x ，l u + n u + 协= - p 有唯一解，即微分系统( 3 ) 存在唯一2 丌周期解。 3 4 小结 本章在条件( 厶) 下，讨论了一类高阶l i 6 n a r d 型方程周期解的存在唯一性，将前人讨 论二阶微分方程的方法运用到2 n 阶微分方程上，具有一定的理论意义，下面我们将用同胚 延拓及不动点相结合的方法，尝试研究这类方程的周期解 2 0 - 一类2 n 阶含阻尼项的非线性d u f f r a g 方程周期解的研究硕士论文 第四章用同胚延拓方法讨论高阶带阻尼项 d u f f r a g 型方程周期解 4 1 预备知识 本章考虑一类偶数阶带阻尼项的微分方程的周期边值问题： i u ( 2 n ) ( f ) + h ( t ，甜( f ) ，砧( f ) ) + v g ( “( f ) ) = 厂( f ) ，f ( o ，2 巧) i z ，u ( o ) = 甜u ( 2 2 0 ，= o ，1 ，2 n 一1 其中u r ”；日：【0 ，2 7 r 】r ”e ng c 2 ( 灭”，尺) ；c ( r ，r ”) ；f ( t + 2 1 r ) = 厂( f ) 本文用o ”f f i n g 型方程的解的存在唯一性来研究带阻尼项的方程的周期解的存在性，主 要用同胚延拓和不动点相结合的方法。 这里其它定义同前两章，记q ) ：( 墨鱼竺) ，则q ) 对v 甜r n 是对称阵，且有 优优， 三+ 7 ( 甜) = 三一q ( u ) 设- ( “) ，九( “) ，九 ) 是q ( 甜) 在“r ”的特征值，记 ( 甜) 疋( 甜) 九( ”) ， 如果存在正整数m ( f - 1 ，2 ，n ) ，有 考虑特征值问题 肝” ( 甜) ( m + 1 ) h ，i = 1 ，2 ，刀， ( 2 ) l u q ( u o ) ”= 砌 ( 3 ) 其特征值可写为a = m 2 一九，1 k 刀，其中m 是大于等于零的整数。由( 2 ) 知零不是( 3 ) 2 1 一类2 n 阶含阻尼项的非线性d u f f i n g 方程周期解的研究 硕士论文 的特征值，从而三- q ( u 。) 是可逆的，由算子谱理论 一q ( “。) ) 一8 = d ( o ，l - q ( ) 的谱) ) 。1 = ( m m i ；n 。l z , ( u 。) 一n k t l9 ( m + 1 ) 抽一九( ) ) ) 一1 ( 4 ) 令6 ：足专足一 0 ) ， 删= m a ；x ( m 黝i n a k ( 甜) 一孵”，( m + 1 ) 抽一九( 甜) ) ) - 1 ) ( 5 ) 则6 ( s ) 是连续函数。 我f 记( 胁) ( f ) = f ( t ) - h ( t ，”( f ) ，”( ，) ) ，f 0 ，2 7 r 】， 则边值问题可化为 i甜+ = u ， “( ( o ) ：“u ) ( 2 z r ) , j = 0 , 1 ，2 刀一1 6 定义1 n 1 1 r ( t ) 为下列常微分方程的初值问题的解 j 甜5g o ，“) ， 气，气+ 口) ( 7 ) 【u ( t o ) = u o 若方程( 7 ) 在 ，0 ，t o + 口) 存在任意解u ( t ) ，对v ， t o ，t o + 口) 满足：u ( t ) r ( t ) ，则称，( ，) 为方程( 7 ) 的最大解。 引理1 设e = ( f ，u ) i ，u r ) cr 2 ，g c e ，r ，方程( 7 ) 最大解，- ( ，) 的最大解区间 为 ，o ，f o + 口) ，设聊c ( t o ，t o + 口) ，灭】，( ，朋o ) ) e ( 对v f t o ，t o + 口) ) ，m ( t ) u o ，且对 一固定的迪尼导数有 d m ( t ) g ( t ，竹( ，) ) ，f t o ，t o + a ) 一r ( 8 ) 其中：t 是区间【，o ，t o + 口) 上最多可数个迪尼不可导点集，则m ( t ) ，( f ) ，f t o ，t o + 口) 。 引理2 2 3 1 设g ：r “jr 有连续二阶导数，且q ) 的特征值满足 一类2 n 阶含阻尼项的非线性d u f f i n g 方程周期解的研究 硕士论文 研” 乃( 甜) 0 ，使得对一切“d ( 三) 有l l ，( “) 0 町。 下证( 三+ ) 一1j ) 忆( ) 是有界的。 事实上，对于任意给定的v i ( d ( l ) ) nv i i ：叩，根据引理2 ，l + n 为d ( ) 到x 的同 胚，因此存在一个p ( o ) d ( 三) 使得 ( 三+ ) p ( 0 ) 】= 0 。 i 受q ( s ) = ( 1 一j ) 0 + 肼，0 【o ，1 】) ，1 ，为x 中的任意向量函数。 对v a ( 0 ，1 】，动： o ，口) - - 4 d ( 三) ，使得： ( l + ) 【p ( j ) 】- q ( s ) = 朋， 则