（一般力学与力学基础专业论文）干摩擦系统自激振动的同伦方法.pdf

中文摘要 干摩擦引起的具有粘滑特性的自激振动广泛地存在于工程实际中，对于干摩 擦动力系统的研究具有重要的理论和实际意义。由于干摩擦动力系统是一类复杂 的非光滑非线性动力系统，对其进行解析分析有一定的难度，目前主要是依靠数 值分析手段和试验进行研究。同伦方法是近年来提出的一种新的非线性求解方 法，已被运用于许多非线性问题之中，在某些问题上还得到了精度很高的解析近 似解，表现出很大的活力和潜力。本论文尝试利用同伦方法，对干摩擦系统自激 振动进行研究，分析复杂的粘滑运动以及参数变化对系统运动形式的影响。论文 工作主要包括以下几部分： 1 介绍干摩擦自激振动系统的研究背景，对同伦方法的发展现状进行了综 述。 2 针对单自由度干摩擦系统，运用同伦方法对质体纯滑动运动形式和粘滑 运动形式的自激振动进行了解析分析，并与数值结果进行了比较。利用稳定性理 论对系统平衡点进行了稳定性分析。 3 针对两自由度干摩擦系统，运用同伦方法对质体纯滑动运动形式自激振 动进行了解析分析，并与数值解进行了比较。 4 论文总结并提出以后的研究方向。 关键词：干摩擦自激振动同伦方法粘滑稳定性 a b s t r a c t t h es e l f - e x c i t e dv i b r a t i o n si n d u c e db yd r y f r i c t i o nw h i c ha r ea c c o m p a n i e dw i t h s t i c k s l i pm o t i o n s e x i s tb r o a d l yi ne n g i n e e r i n gf i e l d s s oi ti si m p o r t a n t ，b o t hi nt h e o r y a n di np r a c t i c e ，t os t u d yt h ed y n a m i c so ft h es y s t e m sw i t hd r y f r i c t i o n o t h e r w i s e ，i ti s v e r yd i f f i c u l t t os t u d ya n a l y t i c a l l yt h i sk i n do fc o m p l e x ，n o n - s m o o t hn o n l i n e a r d y n a m i c a ls y s t e m s s ot h ei n v e s t i g a t i o n so ft h i sk i n do fs y s t e m sa r em a i n l yb a s e do n t h en u m e r i c a la n a l y s i sa n de x p e r i m e n tr e s e a r c h i nr e c e n ty e a r s ，an e wa n a l y t i c a p p r o x i m a t et e c h n i q u ef o rn o n l i n e a rp r o b l e m s ，n a m e l yt h eh o m o t o p ym e t h o d , h a s b e e np r o p o s e d i ti sw i d e l ya p p l i e dt om a n yn o n l i n e a rp r o b l e m s ，w h i c hr e s u l t sm a n y a n a l y t i ca p p r o x i m a t es o l u t i o n sw i t hh i l g hp r e c i s i o n i nt h i sp a p e r ，t h eh o m o t o p y m e t h o di su s e dt oa n a l y z et h es e l f - e x c i t e dv i b r a t i o n so fd r y f r i c t i o n a ls y s t e m s ，t o r e v e a lt h ec o m p l e xs t i c k - s l i pm o t i o n sa n dt h ee f f e c to fp a r a m e t e rv a r i a t i o no nm o t i o n f o r m so ft h es y s t e m s 乃et h e s i si n c l u d e st h ef o l l o w i n gs e c t i o n s 1 t h es e l f - e x c i t e dv i b r a t i o ns y s t e m sw i t hd r y - f r i c t i o na r ei n t r o d u c e d t h e r e s e a r c h e so ft h eh o m o t o p ym e t h o da r es u m m a r i z e d 2 t h es e l f - v i b r a t i o no fas i n g l e d e g r e e o f - f r e e d o md r y - f r i c t i o n a ls y s t e mi s s t u d i e d t h ep u r es l i pm o t i o na n dt h es t i c k - s l i pm o t i o no ft h es y s t e ma r ea n a l y z e db y u s i n gt h eh o m o t o p ym e t h o d t h ea n a l y t i ca p p r o x i m a t es o l u t i o n sa r ec o m p a r e dw i t h t h en u m e r i c a lr e s u l t s t h es t a b i l i t yo ft h ef i x e dp o i n t si sa l s oa n a l y z e d 3 t h es e l f - v i b r a t i o no fat w od e g r e e o f f r e e d o md r y f r i c t i o n a ls y s t e mi ss t u d i e d t h ep u r es l i pm o t i o no ft h es y s t e mi sa n a l y z e db yu s i n gt h eh o m o t o p ym e t h o d t h e a n a l y t i ca p p r o x i m a t es o l u t i o n sa r ec o m p a r e dw i t ht h en u m e r i c a lr e s u l t s 4 a tt h ee n do ft h i sp a p e r , t h em a i ni n v e s t i g a t i o nr e s u l t sa r es u m m a r i z e d k e yw o r d s ：d r y f r i c t i o n ，s e l f - e x c i t e dv i b r a t i o n ，h o m o t o p ym e t h o d ，s t i c k s l i p ， s t a b i l i t y 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得鑫注盘堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：旅舞清签字日期：砷7 年7 月署日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解墨盗盘堂有关保留、使用学位论文的规定。 特授权墨盗盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：号长毒鸯渍 签字日期加f 7 年9 月留日 2 导师签名： 签字日期：如口c 7 年夕月罗日 丁 天津大学硕士学位论文 第一章绪论 第一章绪论 1 1 非线性动力学的发展状况 非线性动力学是研究非线性动态系统中各类运动状态的定性和定量的变化 规律的学科，尤其关注系统长时间演化行为中的复杂性。近几十年来，非线性动 力学发展迅速，成为非常活跃的力学分支。由于它与其他科学和工程中的非线性 研究紧密联系，因而成为现代科学技术的重要研究领域，在各个具体的工程科学 技术，甚至在社会科学的研究中，都显示出了广阔的应用前景。 现实的动力系统中存在着多种多样的非线性因素，比如非线性力，运动非线 性以及几何非线性。实际工程的数学模型其实也是非线性模型。将非线性模型简 化为线性模型加以处理，仅限于一定的范围之内。很多情况下，非线性因素对模 型有着及其重要的影响，倘若忽略，将得到很大的误差，甚至不能解释一些发生 的现象，与实际不符。因此，非线性的深入研究对于实际工程而言非常必要。目 前，工程结构日益大型化，多样化，建模时考虑到了很多因素的影响，往往得到 非常复杂的非线性方程。计算机的迅速发展和广泛运用，以及非线性动力学理论 的研究，使得解决这类问题成为可能。 非线性动力学是一门年轻的学科。虽然早在1 6 7 3 年惠更斯观察并记录了大 幅单摆对等时性的偏离以及两只频率接近的时钟出现同步化的非线性现象，然而 非线性动力学的真正奠基却是由庞加莱的工作来完成的。在十九世纪八十年代， 他讨论了二阶奇点的分类，引入了极限环概念并指出了极限环存在的判据。后来， 他又研究了分岔问题，论证了摄动方法的合理性。他还明确指出了对初值敏感依 赖从而导致出不可预测性。俄罗斯科学家李雅普诺夫的博士论文运动稳定性通 论，成为研究平衡点附近稳定性的重要依据。后来，美国科学家b i r k h o f f 出版 著作动力系统，标志着对动力系统的定性理论的研究达到一个新的高度。 二十世纪三四十年代以后，一些美国和俄罗斯的数学力学家，系统地发展了 各种摄动和渐进方法，构造非线性方程的解析近似解，比如平均法，小参数法等 等，。由此，求解非线性方程的定量方法迅速发展起来。这些方法解决了很多力 学和工程上的问题，同时也提炼出了一些经典的数学模型，比如d u f f m g 方程， v a nd e rp o l 方程等，经久不衰，至今仍被研究。 二十世纪六十年代起，分岔理论汇入到非线性学科的主流理论之中，混沌现 天津大学硕士学位论文第一章绪论 象的发现更是为非线性的发展注入了新的活力。这期间得到了许多重要的成果， 比如t h o m 的突变理论，s m a l e 马蹄映射，f e i g e n b a u m 发现的由倍周期分岔进入 混沌的规律等等。非线性理论空前活跃起来，立刻成为当代动力学。振动与控制 研究的一个重要的分支。 目前，非线性动力学的理论仍然不够完善，许多重要运动性态的机理尚不清 楚。国内外大量力学工作者正努力攻克一个又一个的难关。非线性动力学的发展 和研究状况非常活跃。现在比较热门的方向有：多自由度的非线性振动问题，多 频激励力作用下的振动性态，强非线性问题及其解的特性，突变理论和混沌的特 性和机理，非线性随机系统的分岔研究等等。此外，加强非线性科学与其他工程 学科的联系，将非线性动力学和非线性振动的理论用于指导和解决实际工程技术 的各种问题，也是迫切需要进行的工作。非线性动力学的理论已被广泛运用于控 制科学，电子电力科学，航空航天技术，船舶和海洋工程，机械设计制造，结构 工程，经济学等等多门学科。加强学科间的渗透，更好地运用非线性科学解决实 际问题，需要力学工作者和相关专业学者的共同努力和相互交流。 一般来说，非线性动力学的研究方法主要包括几何方法，解析方法和数值方 法。几何方法是一种定性方法，并不直接研究具体方程的解法，而是对运动作直 观的描述，判断方程解的性质。几何方法主要为非线性动力学的发展提供理论依 据。解析方法是一种定量方法，通过精确或近似地寻求非线性微分方程的解析解， 得到非线性系统的运动规律，以及对系统参数和初始条件的依赖关系。能得到精 确解的方程非常有限，大部分得到的是解析近似解。解析方法的运用有限，而且 得到的解未必具有稳定性，需要与其他方法得到的解互相印证，但是解析方法可 以确定非线性运动随时问变化的规律，得到运动与参数之间的依赖关系，因此也 是十分重要的研究方法。数值方法的准确性较高，可以得到较多的数据，以及描 述系统运动特性的多种图形，如相图，p o i n c a r e 截面图，时间历程图等等。数值 方法可以验证几何方法和解析方法的准确性【1 】。 1 2 干摩擦自激振动概述 自激振动，就是指振动系统通过本身的运动，不断向振动系统馈送能量，与 外界的激励无关，完全依赖自身的运动来激励。维持定常振动的保守系统，是一 个理想化的无耗散的振动系统，在实际中并不存在。考虑到系统的阻尼消耗，想 要维持系统的定常振动，一般需要一个显含时间的外界激振力。然而在自振系统 中，由振动物体运动所产生的阻尼力非但不阻止振动，反而进一步激励振动，从 而形成并维持振动过程。因此，在自激振动系统中，维持系统定常振动的力并不 2 天津大学硕士学位论文第一章绪论 显含时间。同时，自激振动的振幅和频率也是固定的，它们都由系统本身的参数 所决定。这两个特点，使自激振动区别于线性振动和一般非线性振动中的一切情 况。一般来说，自激振动有如下几个特点： 1 自振系统是非保守系统，存在着能量的耗散与输入。在稳态的振动状态 下，在振动的每个循环内消耗的能量一定精确地等于系统之外非振动能 源所补充的能量。 2 自振系统是非线性系统。而自振系统与一般的非线性系统还有所不同， 自振系统的振幅与频率都是固定的，只与系统的参数有关，也就是由系 统本身决定。 3 自振系统是自治系统。虽然自振系统也需要外激励来补充能量。但是外 力不是周期性的，不显含时间。这与一般的非线性系统在周期性外力条 件下所做的受迫振动有很大的区别。 由此可见，从根本上说，自激振动就是常能源对振动系统的周期运动做正功， 补充系统因为实际上存在的阻尼而耗散的能量，从而维持定常的振动。 自激振动作为一种独特的非线性振动，在日常生活中却十分常见。比如教室 的铃声，许多乐器的振动发声等等。工程中的许多自激振动的现象往往是有害的。 如火车在平直的轨道上行驶，车速达到某值时，车身会产生严重的摆动，称为“蛇 行”，汽车在平直路面上行驶，车速到达某值时，也会发生类似的现象，称为“摆 振”。这些现象会加速零件的磨损，损害车辆，并且有可能引发交通事故。车床 工作时，刀具的断续爬行也是一种自激振动，这将降低加工精度，而且损坏刀具 和工件。此外，飞机机翼的颤振，大型旋转机械的油膜振动等等自激振动，都有 不同程度的危害。因此，为了降低自激振动带来的危害性，提高机械系统运动的 稳定性和安全性，对自激振动进行深入研究是很有必要的。 干摩擦引起的自激振动具有很重要的工程应用，越来越多的干摩擦模型的建 立，表明这种自激振动已受到众多专家学者的关注和研究。y o n gl i ，z c f e n g 【2 】 在2 0 0 4 年发表的论文中，对干摩擦自激振动进行了详细的分析。作者在论文中 讨论了单自由度干摩擦自激振动的机理及分岔现象，指出在中等速度时，系统存 在一个稳定的极限环，并且会出现混沌现象。b l v a nd ev r a n d e 等人【3 j 在1 9 9 9 年发表的文章中，将不连续的干摩擦力用一个连续光滑的力近似替代，并以一个 具体模型为例证明了这种替换的可行性，同时还指出了替换系数对结果影响的大 小。黄毅，丁千【4 】研究了一类双质体传输干摩擦系统，分析了平衡点的稳定性， 揭示了系统在非内共振，l ：2 和l ：3 内共振三种情况下的非线性动力学现象。 结果显示，系统在平衡态失稳之后，会出现纯滑动和粘滑形式的干摩擦自激振动， 甚至出现多环复杂运动甚至混沌。丁旺才，张有强等【习研究了一类干摩擦粘滑系 天津大学硕士学位论文第一章绪论 统，给出了判定系统滑动状态和粘着状态分界点的理论方法，分析了粘滑振动， 结合l y a p u n o v 指数分析了系统的稳定性，并指出了系统周期运动失稳后，将通 往混沌。 总的来说，对于干摩擦自激振动的研究取得了不少成果，也极大的丰富了非 线性振动和非线性动力学的理论。本论文正是在此基础之上，试图通过同伦方法， 求得干摩擦自激振动的近似解，进一步深化干摩擦自激振动的研究工作。 1 3 同伦方法概述 同伦方法是近几年来兴起的一种新的求解非线性方程的解析算法，在许多非 线性问题的计算中取得了很好的结果，因此，同伦方法的研究和应用成为非线性 近似解析算法中的一个热门方向。 一般来说，非线性方程难以求得精确解。通常采用的方法是数值方法和解析 近似方法。现在计算机的迅速发展，计算软件的广泛运用，使得数值方法成为重 要的求解方法。不过，数值方法仍有缺陷，透过数值结果对于非线性问题难以有 一个全面的了解，而且，如果非线性问题具有奇异性或者多解情况，运用数值方 法也会出现一些困难。解析近似方法可以弥补数值方法的这些欠缺。一个好的， 精确的解析近似解也是许多非线性问题分析中所需要的。只有将数值方法和解析 近似方法结合起来，相辅相成，才能将非线性分析中的定量计算的工作做到完美。 上个世纪发展起来的一些定量分析方法，如平均法，三级数法，摄动法，多 尺度法等等，不论是在理论基础，还是在实际应用方面都已十分成熟，取得了大 量的成果，已然成为目前非线性定量分析的主流方法。不过，这些方法具有一定 的局限性，比如过多的依赖于小参数，对强非线性问题常常是失效的，解的误差 偏大。近年来，一些学者提出一种新的定量求取近似解的方法，也就是同伦方法 【6 】，在一定程度上弥补了传统方法的不足。 同伦，是拓扑学中的一个基本概念。其定义如下： 设厂和g 是从空间z 到空间】，中的连续映射，如果存在连续映射 f ：x z y 满足， f ( x ，0 ) = 厂( x ) ，f ( x ，1 ) = g ( x ) 对任意的x x 都成立。则称厂同伦于g ，f 称为厂和g 之间的一个同伦。 如果把q ，看作为参数，令映射 4 天津大学硕士学位论文第一章绪论 ：工_ y 定义为 ( x ) = f ( x ，q ) 对任意x x 都成立。则 ：x y k z 是连续映射的族。当q 由0 连续变化 至l 时，厂也连续地形变至一7 1 。 同伦的基本思想就是构造一个同伦函数将一个映射连续地形变至另一个映 射。此思想可以这样运用于非线性求解问题中：构造一个线性方程和所求非线性 方程的同伦，那么线性方程的解也将连续地形变至所求非线性方程的解，而线性 方程的解是容易求出的。在这个过程中，不要求非线性方程必须含有小参数，而 且，如果构造出一个好的同伦，也可以对强非线性方程的解有较高的近似。可见， 相比于传统方法，同伦方法有其优越之处，而且同伦方法本身简单，实用。因此， 自从面世以来，同伦方法立即吸引了许多非线性专家的注意。在众多关于同伦方 法的研究成果中，可以发现，对于很多非线性问题，同伦方法确实可以得到很好 的近似解。不过，同伦方法的运用仍有很多问题。首先，同伦方法的基础数学理 论部分比较薄弱，缺少严密的数学理论进行指导；其次，同伦方法在构造同伦， 选取线性算子，初始解等等方面自由性很大，不容易选取非常合适的同伦或者算 子；再次，同伦方法的运用范围也不得而知。哪些方程运用同伦方法有很好的结 果，哪些方程不适合运用同伦方法等等，这些问题都没有完全解决。 同伦方法作为一种求解非线性问题的新方法，遇到这些问题都在所难免。事 实证明，同伦方法是一种有效的求取近似解的方法，因而必将吸引更多人的关注 和研究。相信同伦方法的发展一定会越来越成熟，将成为非线性定量计算中的一 个有力的工具。 1 4 本文的工作内容和安排 本文的工作内容和安排如下： 第一章绪论，简单介绍了非线性动力学的发展状况，干摩擦自激振动的研究 进展，以及同伦方法的概述，简要介绍了其他各章节的内容安排。 第二章同伦方法的介绍，具体论述了同伦方法运用于求解非线性方程的各个 步骤，揭示了同伦方法的理论依据及求取近似解的合理性。简要介绍了同伦方法 的发展状况和最新进展。 第三章单自由度干摩擦自激振动的同伦算法，建立了单自由度干摩擦自激振 动的模型，详细分析了自激系统到达稳态后的几种情况，运用同伦算法计算了系 5 天津大学硕士学位论文第一章绪论 统纯滑动极限环和粘滑极限环两种状态，并与数值解进行了比较和分析。最后对 单自由度千摩擦自激振动进行了稳定性分析。 第四章两自由度干摩擦自激振动的同伦算法，建立了两自由度干摩擦自激振 动的模型并进行了分析。运用同伦算法计算了系统的最终稳态为纯滑动极限环时 的情况，并与数值解进行了比较，最后对系统进行了稳定性分析。 第五章进行了全文的总结。 6 天津大学硕士学位论文第二章运用于非线性计算的同伦方法 第二章运用于非线性计算的同伦方法 2 1 运用同伦方法解方程的一般步骤 考虑一个具有一般形式的非线性方程 ( 工( f ) ) = o ( 2 1 ) 表示非线性算子，x ( t ) 是所求的方程的解。现在需要构造一个初始猜测解而( t ) 和一个辅助线性算子。构造过程中，一般只要求初始猜测解和精确解尽可能接 近，辅助线性算子和非线性算子结构类似即可。将g 【0 , 1 】作为嵌入变量，构 造如下同伦： ：h ( e 1 0 g ( t ) ；q ) , x o ( ( ，；t g ) , ) h 一, q x o ( ，) 一q h n e d o ( t ；q ) 2 2 ) = ( 1 一g ) ( f ；g ) 一( f ) 一 令同伦( 2 2 ) 为0 ，即 ( 1 - q ) l e 。( t ；q ) - x o ( t ) 3 = h q n e ( i ) ( t ；q ) ( 2 3 h 是选取的辅助参数，可用于调节解的精确度。( 2 3 ) 式也被称为零阶形变方程。 其中的x o ( t ) ，厶h 都是可以自由选取的，这里也可以看出同伦方法有很大的自 由性。 当g = 0 时，零阶形变方程成为 三 ( f ；o ) 一x o ( 0 = o 。 ( 2 4 ) 因此方程解为 o ( t ；o ) = x o ( t ) ( 2 5 ) 当g = 1 时，零阶形变方程成为 o ( f ；1 ) = o ( 2 - 6 ) 那么方程的解为 ( f ；1 ) = x ( t ) ( 2 7 ) 因此，在g 从0 连续变化到1 的过程中，西( f ；g ) 也从初始猜测解( f ) 连续 变化到所求非线性方程的解x ( f ) 。这一过程完整地反映出拓扑学中同伦的基本思 7 天津大学硕士学位论文第二章运用于非线性计算的同伦方法 想，构造出一个连续变换的同伦函数，将线性方程和非线性方程联系在一起。 假设对所有的g 【o ，1 】，零阶形变方程的解( f ；g ) 均存在，再假设( f ；g ) 关 于g 的无穷阶导数也存在，将其在g = 0 处做泰勒展开： 定义 o ( f ；g ) = ( 巧o ) + 那么( 2 8 ) 式可以写为 ，、 1 毛【) 2 i 摅掣l 制i ，o o o 幻” ( 2 8 ) ( 2 9 ) a p ( t ；q ) = 孔( f ) + ( f ) q ” ( 2 - l o ) n = l 假设以上幂级数在g = 1 时是收敛的，于是有 x ( f ) = 西( f ；1 ) = 而( f ) + _ ( ) ( 2 1 1 ) n = 1 上式给出了非线性方程的解工( f ) 与初始猜测解x o ( t ) 2 _ f n - j 的关系。下面的步 骤就是解出每个具体的矗( t ) 。 将( f ；g ) 的幂级数展开式代入到零阶形变方程中，再将其展开，比较q 的相 同次幂的系数，使之为0 ：这样就可以得到一系列的关于x 。( t ) 的线性方程。这 些线性方程称为高阶形变方程。由此，求解零阶形变方程就转化为求解无限多个 高阶形变方程，非线性问题转化为线性问题。 x ( t ) 的m 阶近似解为： 工( f ) = 而( f ) + 毛( f ) ( 2 1 2 ) 如果非线性方程是有初始条件的，则可以要求初始猜测解而( t ) 满足所有的 初始条件，而五( f ) ，恐( t ) ，毛( f ) 等等只需要满足 五( t ) = 恐( t ) = x 3 ( t ) = = 0 毫( t ) = 是( t ) = j q ( t ) = = 0 在解非线性方程之前，首先要根据方程的特性，考虑选用怎样的一组函数来 表达近似解。这样的函数被称为基函数。较好的基函数有着相对更好的逼近效率。 比如，方程存在一个周期解，可选用三角函数作为基函数，因为三角函数也是周 期性的。而一旦基函数选定了，初始猜测解和辅助线性算子会有相应的要求，因 为必须要保证高阶形变方程解出来的( t ) 符合基函数的形式。这一点是比较重 8 天津大学硕士学位论文第二章运用于非线性计算的同伦方法 要的8 1 。 2 2 同伦方法的发展和现状 同伦方法是近年来发展的一种新型的求解非线性问题的解析近似方法。我国 学者对于同伦方法的研究取得了重要的成果，比较著名的有，廖世俊提出的同伦 分析方法，何吉欢提出的同伦摄动方法等。两位学者均是在上世纪9 0 年代将拓 扑学中的同伦概念运用于求解非线性方程。廖世俊在其博士论文同伦分析方法 及其在力学中的应用中，已尝试运用同伦方法分析非线性方程。何吉欢【9 】在论 文应用一种新的摄动方法求解数学摆的近似解析解中提出了同伦摄动方法， 并运用此方法得到了单摆运动周期近似解。相比较之下，廖世俊教授长期从事于 同伦方法的研究，解决了不少非线性问题，而且他对于同伦方法作了系统性的总 结，提出了运用同伦方法解决问题的一般步骤，并证明了一些相关定理，完善了 同伦方法的数学理论基础。所以，廖世俊的研究工作影响可能更大一些。本论文 也主要参照了廖世俊关于同伦分析方法的研究成果，使用了他所提供的一些相关 术语以及同伦方法具体求解的各个步骤。 廖世俊指出，同伦分析方法能够成立，是基于以下四个假设： 1 对任意的q 【o ，1 】，零阶形变方程的解( f ；g ) 存在 2 o ( t ；q 1 关于g 的各阶导数也存在 3 所有高阶形变方程都有解 4 ( ；留) 按q 展开的泰勒级数在q = 1 时收敛。 他认为，只要初始猜测解，辅助线性算子等选取合适，可以保证上述假设均 成立。同时，他还指出了同伦分析方法的三大优点： 1 自由性大，基函数的选择是自由的，完全可以选取一组合适的基函数来 有效的逼近一个非线性问题的解。 2 调节参数五提供了一个调节和控制级数解收敛速度和收敛区域的有效途 径。 3 不依赖任何小参数，可以适用于强非线性问题。 最初，廖世俊教授将同伦分析方法运用于求解粘性流动，边界层流动等流体 力学问题。1 9 9 8 年之后，他首次将该方法运用于非线性振动的研究中【1 0 】，并发 表论文( ( a p p l i c a t i o no f h o m o t o p ya n a l y s i sm e t h o di nn o n l i n e a ro s c i l l a t i o n ) ) 。此后， 他又研究了带有阻尼的衰减振动【l l 】和自激振动1 2 1 等问题的同伦解法。钱有华， 张伟【1 3 】运用同伦方法分析了两自由度耦合的v a nd e r p o l 振子的周期解。张新东， 胡月宏l l4 】运用同伦方法求解了一个带有边界条件的扩散方程。莫嘉琪等运用同 9 天津大学硕士学位论文第二章运用于非线性计算的同伦方法 伦方法计算了不少气象学中的数学模型。孙中奎，徐伟【l5 】等提出一种基于参数 展开的同伦分析技术( p e h a m ) ，将参数展开与同伦理论相结合，并将此方法 运用于求解强非线性问题中。国外方面，a l l a n 用同伦分析法构造了一个混沌系 统的分析解。a k y i l d i z 等用同伦方法给出了常微分方程同宿解的一个新方法。 s a m i 等给出了一些特殊系统的同伦分析解和改进的同伦方法，并与r u n g e k u t t a 法进行了比较。 在求解非线性问题的过程中，同伦方法发挥了越来越重要的作用。然而作为 一种新的方法，同伦方法本身的数学理论基础并不完善，这将会制约同伦方法的 发展前景。目前研究的热点在于更好地运用同伦方法解决问题，却较少有人关注 其理论基础，这也是令人遗憾的事情。廖世俊在专著超越摄动同伦分析方 法导论中写到“为强非线性问题的求解开辟一个新的思路，为一些经典非线性 难题的求解提供一种新的可能性”。如果同伦方法能够建立在更加强有力的理论 基础之上，那它将不只是一个新的，尝试性的方法，而将成为一个完整的，有效 的非线性定量分析的重要方法。这应成为对同伦方法感兴趣的学者和专家所致力 研究的目标。 1 0 天津大学硕士学位论文 第三章单自由度干摩擦自激振动的同伦算法 第三章单自由度干摩擦自激振动的同伦算法 3 1 干摩擦力及其模型简介 3 1 1 干摩擦力简介 所谓干摩擦，是指两个物体之间无任何润滑成分的摩擦。干摩擦现象在日常 生活和工程实践中很常见。比如，汽车的刹车系统，机床与工件之间的相互摩擦 等等。由干摩擦引起的磨损，破坏，振动，振颤，以及尖锐的噪声等现象，在实 际工程中往往容易引发非常严重的问题，对生产和生活带来不小的影响。因此， 对于摩擦进行深入研究是非常有意义的，摩擦问题也越来越引起人们的重视。 从文艺复兴时代开始，就有学者对摩擦现象进行研究。后来，阿蒙顿，库伦 通过大量的实验，确定了关于固体摩擦的定律，对整卜摩擦学的发展产生了重大 影响。他们认为，摩擦力的大小与载荷成正比，这个比值称为摩擦系数，而且摩 擦系数的大小与几何接触无关，与相对速度无关。运用这个定律来计算摩擦力， 有一定的准确度。不过随着摩擦知识的积累，人们逐渐认识到，摩擦系数的大小 其实与许多因素息息相关，比如接触面的粗糙程度，真实的接触面积，接触面的 直接相对速度，接触表面的尺寸与形状等等。因此，关于摩擦的物理起因是非常 复杂的，不能用某种简单的假说来解释。这既需要精确的实验，也需要详尽的物 理分析作为基础。摩擦力本质上就是一个非线性力。 在实验的基础之上，建立一个比较符合实际的摩擦力模型，然后对其进行动 力学分析和计算，这是目前研究摩擦动力系统的重要方法。在真实的干摩擦动力 系统中，滑动摩擦与静摩擦在性质上有着根本的区别，数学表达式也完全不同， 这就导致了整个系统的向量场是不连续的。因此，系统的动力学行为非常复杂， 会出现自激振动，多周期振动，甚至发生混沌现象等等。很多关于光滑性的动力 学理论不可以直接运用于这个干摩擦系统之中。目前解决这个问题常用的方法 有：采用一些光滑近似的方法来研究系统的局部性质；或者采用一些动力分析方 法算出滑动与粘滞的交界点，再分别进行计算。 1 9 3 9 年，b o w d e n 和l e b e n 提出了s t i c k s l i p 概念。直到今天，非光滑的摩擦 力引起的粘滑运动仍然是非线性振动研究的热点之一。干摩擦自激振动情况复 杂，而且与实际密切相关，具有重要的研究意义和研究价值。 天津大学硕士学位论文第三章单自由度干摩擦自激振动的同伦算法 3 1 2 千摩擦力模型简介 根据大量的实验结果和理论分析，人们建立了多种干摩擦力的模型。d e n h a r t o g 按照能量耗散相等原则，将干摩擦力用等效粘性阻尼力来替代，发展了等 效线性化的方法，提出了干摩擦的理想模型。这个模型较为简单，与实际情况不 完全符合，不过在理论研究上仍有一定意义。后来又有人建立了依赖于位移的干 摩擦双线性粘滞模型。许多实验结果显示：两干燥固体接触面间的滑动摩擦系数 是相对速度的函数，具体的函数形式依赖接触面的性质而决定。因此，近年来， 许多速度依赖型干摩擦力模型被广泛运用。1 9 9 1 年，n i c o sm a k r i s