（一般力学与力学基础专业论文）具有时滞的van+der+polduffing系统的双hopf分岔.pdf

同济大学硕士学位论文 摘要 本文主要研究了在具有时滞反馈的v a i ld e rp o l - d u f f i n g 系统中，时滞引起的非 共振的双h o p f 分俞、混沌及分俞解的定量计算。首先，根据对原系统的线性分 析，及h o p f 分俞定理，得到1 ：以非共振时系统发生双h o p 盼龠的充要条件，其 中，时滞及反馈增益为分俞参数。然后，用中心流形定理及规范型方法将原时滞 系统约化到4 维中心流形上，即，将原无限维问题转化为4 维问题。并定性地画出 双h o p f 分俞点附近的分俞图，对双h o p f 分龠点附近的动力学行为进行分类。 容易验证，当参数在分俞点附近墩值时，中心流形理论( c m t ) 等方法解得的谐 波解，不仅在定性上且在定量上，能够与数值模拟吻合得很好。但足，当参数逐 渐远离分俞点时，用c m t 等得到的解与数值模拟的结果偏差越来越大，直到完全 无效。为克服c m t 的这一缺点，我们提出用改进的摄动增量法( p i s ) 来求解时滞 系统的周期解，甚至概周期解。数值模拟表明，改进的p i s 能有效地解决这一问 题，且得到的解可得到任意高精度。总之，本论文所提出的用c m t 及p i s 方法， 不仅可以定性地而且定量地分析讨论时滞系统。其中，得到高精度的概周期解足 本论文的一个重要结果。据我所知，至今为止，这方面的研究成果不多。 除了上述内容外，作者还发现，所研究的系统的动力学行为极其丰富：在分龠 点附近的很小的领域内，不仅存在着死岛( 振幅为零的区域) 、稳定的周期解，还 有概周期解、混沌等等复杂现缘。这一结果表明，系统对时滞的变化非常敏感： 即使对时滞作很小的扰动，系统的动力学行为都有可能会发生巨大的变化。值得 注意的足，本文中的考虑时滞的系统的参数甲面中存在着稳定区域，而这在对应 的无时滞的系统却是没有的。我们可以利用该点性质，实现对实际中的动力学系 统的结构的稳定性控制。另一方面，在通信领域的同步传送方面，却足要产生混 沌的。所以，死岛和混沌这两种现象都有重要的实用价值。总之，利用这些结 果，我们可以通过调格时滞等参数来控制系统的动力学行为。这种参数控制方法 不但有效，而且在操作上很容易实现，囚此具有很好的应用前景。 a b s t r a c t t h i st h e s i sd e a l sw i t hd e l a y - i n d u c e dn o n - r e s o n a n td o u b l eh o p fb i f u r c a t i o n s ， c h a o sa n dq u a n t i t a t i v ec o m p u t a t i o no ft h eb i f u r c a t i n gs o l u t i o n sd e r i v e df r o mt h e b i f u r c a t i o n si nv a nd e rp o l - d u f f i n gs y s t e mw i t hd e l a y e df e e d b a c k t h es u f f i c i e n ta n d n e c e s s a r yc o n d i t i o no f1 ：、2d o u b l eh o p fb i f u r c a t i o no c c u r r i n gi nt h es y s t e mi sf i r s t o b t a i n e db yl i n e a ra n a l y s i sf o rt h es y s t e mu n d e rc o n s i d e r a t i o na n dh o p fb i f u r c a t i o n t h e o r e mw h e nt h et i m ed e l a ya n df e e d b a c kg a i no d er e g a r d e da sb i f u r c a t i o np o d a m - e t e r s t h e nt h ec e n t e rm a n i f o l dt h e o r e m ( c m t ) a n dm e t h o do fn o r m a lf o r m sa r e e m p l o y e dt or e d u c et h ed e l a y e ds y s t e mt ob e4 - d i m e n s i o n a lc e n t e rm a n i f o l d ，t h a ti s ， c h a n g i n gap r o b l e mo fi n f i n i t ed i m e n s i o nt o4 - d i m e n s i o n a l s u b s e q u e n t l y ，d y n a m i c s i nt h en e i g h b o r h o o do ft h ed o u b l eh o p fb i f u r c a t i o np o i n ti sc l a s s i f i e dq u a l i t a t i v e l y f o rv a l u e so ft h et i m ed e l a ya n df e e d b a c kc l o s et ot h ep o i n t ，t h ea p p r o x i m a t ee x - p r e s s i o n sp r o v i d e db yt h ec m t o d eg i v e nq u a n t i t a t i v e l yt or e p r e s e n tt h o s eh a r m o n i c s o l u t i o n si nt h en e i g h b o r h o o do ft h eb i f u r c a t i o np o i n t i ti ss e e nt h a tt h ea p p r o x n m a t es o l u t i o n so d ei ng o o da g r e e m e n tw i t ht h o s ef r o mt h en u m e r i c a ls i m u l a t i o n sf o r v a l u e so ft h eb i f u r c a t i o np a r a m e t e r sc l o s et ot h ed o u b l eh o p fp o i n t h o w e v e r ，t h e a p p r o x i m a t ee x p r e s s i o ni si n v a l i df o rv a l u e so ft h eb i f u r c a t i o np a r a m e t e r sf a rf r o m b i f u r c a t i o np o i n t t oo v e r c o m et h ed i s a d v a n t a g eo ft h ec m t ，t h ep e r t u r b a t i o n i n c r e m e n t a ls c h e m e ( p i s ) i sd e v e l o p e da n de x t e n d e dt oc a l c u l a t ea c c u r a t es o l u t i o n s o ft h es y s t e m ，i n c l u d i n gn o to n l yp e r i o d i cb u tq u a s i - p e r i o d i co n e f l t h ec o n s i s t e n c y b e t w e e nn u m e r i c a la n dp i ss o l u t i o n ss h o w st h ee x t e n d e dp i si se f f i c i e n t t h ea n - a l y t i c a la p p r o x i m a t i o nd e r i v e df r o mt h ep i s c a l lr e a c ha n yr e q u i r e da c c u r a c y i na w o r d ，t h ep i st o g e t h e rw i t ht h ec m tm a yp r o v i d eb o t ht h eq u a l i t a t i v ea n dq u a n t i - t a t i v ea n a l y s e sf o rd e l a y e ds y s t e m s t h e r e i n t o ，o b t a i n i n gt h ea c c u r a t ee x p r e s s i o no f q u a s i - p e r i o d i cs o l u t i o n si so n e o fh i g h l i g h t so ft h i st h e s i ss i n c es of a rt h e r ea r el i t t l e a c h i e v e m e n ta b o u tq u a s i - p e r i o d i cs o l u t i o n s t h er e s u l t si nt h ep r e s e n tt h e s i sa l s or e v e a lt h a td y n a m i c a lp h e n o m e n ao ft h i s s y s t e mo d ev e r yf r u i t f u l ：i nas m a l lr e g i o nn e a rt h eb i f u r c a t i o np o i n t ，d e a t hi s l a n d ， s t a b l ep e r i o d i cs o l u t i o n ，q u a s i p e r i o d i cs o l u t i o na n dc h a o sc o e x i s t i ts u b s t a n t i a t e s t h a tt h es y s t e mi se x c e e d i n g l ys e n s i t i v et ot h et i m ed e l a ya n df e e d b a c kg a i n s i n c e i i i t h e r ei so n l yap e r i o d i cs o l u t i o ni nt h es y s t e mw i t h o u tt i m ed e l a yf e e d b a c k ，i tc a n b ec o n c l u d e dt h a tc o m p l e x i t yo ft h es y s t e mi si n d u c e db yt i m ed e l a ya n df e e d b a c k a sf a ra sa p p l i c a t i o no ft h i sr e s e a r c hi sc o n c e r n e d ，i ti sr e m a r k a b l et h a te x i s t e n c e o fa m p l i t u d e - d e a t hr e g i o nd u et ot i m ed e l a yc a l lb ed i r e c t l yu s e dt od i m i n i s hv i b r a - t i o no fd y n a m i c a ls y s t e m si nm a n ym a t t e r - o f - f a c tp r o j e c t s o nt h eo t h e rh a n d ，i n s o m eo t h e rf i e l d ss u c ha ss y n c h r o n o u st r a n s m i s s i o no fc o m m u n i c a t i o n s ，c h a o si sa n a g r e e a b l ep h e n o m e n o n t h e r e b y , f i n d i n gc h a o si nt h es y s t e m ，a sw e l la se x i s t e n c e o f ”d e a t hi s l a n d ，h a si m p o r t a n ta n dp r a c t i c a b l es i g n i f i c a n c e t os u mu p ，t h r o u g h t h o s er e s u l t s ，d y n a m i c a lb e h a v i o r so fs y s t e m sc a nb ec o n t r o l l e dt h r o u g ha d j u s t i n g t h et i m ed d a ya n df e e d b a c k 声明尸明 本人郑重声明：本论文是在导师的指导下，独立进行研究工作所取得 的成果，撰写成硕士学位论文= = 县直瞳溢的y 垫亟丛q ! ：q 坠鱼磐丕 统笪巫h 业佥坌：。除论文中已经注明引用的内容外，对论文的研 究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本论文 中不包含任何未加明确注明的其他个人或集体已经公开发表或未公 开发表的成果。 本声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者签名： 年月日 第一章绪论 1 1 研究背景 时滞产生的根源足在自然界、技术和社会中普遍存在的信号有限传输时间、转换 速度和记忆效应等。经典的研究方法是把时滞看作一个很小的量而加以”忽略”， 即作为一个没有时滞的”即时”系统来研究。但足实际上，即使很小的时滞都可能 引起系统的动力学行为发生很大的变化，甚至可能使系统产生复杂的动力学行 为。近年来，随着新材料的不断涌现和数理科学介入生命科学研究领域的不断深 入，要求更加精确的动力学描述，使得动力学这一经典科学赋予了新的内容，同 时也表现出近代动力学自身发展过程中的明显特征，其一足考虑非线性囚素对动 力学行为的影响，其二就足开始考虑过去在研究中忽略的时滞因素。事实上，在 许多科学研究领域已经发现，时滞足小可以被忽略的，举例如下： 其一，在受控非线性振动系统中，由于控制信号传输或控制设备自身存在的不 可避免的某些缺陷，使得在控制与系统作动之问存在的时问差或时滞，于足形成 的控制系统成为时滞动力系统，已经发现如果不考虑时滞，就会降低控制的效果 甚至导致控制失败 1 】，【2 】 其二，在对两个相互靠近的微波振子启动时，输出信号将会相互影响。当频率 超过1 0 兆赫的时候，光在它们之问传播厘米级的距离所需的时间，在它们未耦合 时的周期中占相当比例。这样就必须在耦合项中引入时滞的影响。凝聚态激光阵 足一个可以应用于自由空问通信和激光雷达系统的潜在的相干高能光源。构造耦 合阵列的目的就足要同时发射信号或信号同步。然而，由于制造或 攻备物理的缺 陷，发射时总有时滞存在，于匙耦合系统必须考虑时滞对同步的影响 3 】 其二，假设处于甲衡态静止站立的人受到的可以导致非常复杂晃动的扰动，这 种扰动将会导致人从原甲衡点移歼( 倒摆的模型) 。在整个过程中，神经系统反 应系统的输出导致一个具有时滞的负反馈，于是人运动的整个运动模式可以看成 、足一个非线性的时滞动力系统 4 】。 其四，随着大小型计算机的飞速发展，近代科学和技术的研究越来越依赖于 以r 趋庞大的网络为基础的科学活动环境，这样的环境已经成为当前国际计算机 l 同济入学硕士学位论文2 技术研究和信息系统网络构造方面研究的热点和前沿领域，同时，已经引起了国 外政府、学术界和工业界的高度重视。实现网络计算环境系统的信息产生、整合 和传递主要表现为数据的产生和和具有一定时问滞后的传输电脉冲串( 即张弛振 荡) 的过程，信息编码是由数据序列的不同时问模式反映的。由于这样的活动涉 及大量的影响因素( 如节点系统的稳定性、反应速度、网络阻塞、内外环境信号 噪声、附加电流等) 和不同的相互耦合作用，网络计算环境系统实际上足高度 非线性的、同时受传输和反应时间滞后的动力学系统，足非线性时滞动力学系 统【5 】。 综上所述，我们开展对时滞非线性振动系统的基础理论研究有着重要的科学意 义和许多潜在的应用前景。一方面，这样的基础理论在众多的前沿科学研究领域 内扮演着重要的角色，方法上的突破往往会导致其他科学研究领域内新的发现； 另一方面，高维和无限维非线性动力学理论及其系统控制已经成为未来数年非线 性科学发展的重要主题之- n ，与常微分方程和偏微分方程所描述的动力学系统 相比，时滞动力系统的初始空问和解空问都是一个无限维的空问，分佾和不变流 形方法更是时滞非线性时滞振动系统基础理论的重要内容，研究的成果不但可以 丰富非线性时滞振动系统基础理论内容，而且有利于了解其各种动力学特性，揭 示其运动机理，并对研究系统的复杂动力学以及研究各种控制策略对系统动力学 的影响具有重要的基础性作用。 1 2 时滞系统研究现状 在对以时滞反馈为手段的受控力学系统的研究中，主要致力于利用时滞的特点， 研究时滞在控制中的作用。l m i 方泫最近得到了发展，在数值计算方面也有优 势。a z u m a t 等在通过有限个线性矩阵1 i 等式研究了具有时滞的线性系统，讨论 了可以使一个线性时滞系统稳定的记忆控制装置综合问题，把无限维的线性矩阵 不等式约化，提出对有限个线性矩阵不等式的解可以构造无限维线性矩阵不等式 的解。然而，大多限于使用有限维的l m i 方法的情况，难以用于记忆控制反馈综 合问题。随着对系统智能化要求的提高，这方面的研究仍然足今后的研究霞点。 对于非线性振动系统的时滞反馈控制，主要还足利厍 p y r a g a s 8 1 提出的利用时滞 反馈控制的方法大量的研究工作集中在数值模拟，观察了时滞反馈摔制的效 丽济大学硕学位论文 3 果。这一思想方法辐射到各个研究领域。如时滞反馈滤波、自适应的同步优化和 动力吸振器没计等【9 】- 【1 1 】。在国内，徐鉴【1 2 】，【1 3 】等通过通过对非自治的v a nd e r p 0 1 d u f f i n g 系统的位置反馈和速度反馈控制，从理论上解释了时滞对混沌系统镇 定的机理，同时也发现时滞对系统镇定具有周期性的特征。由于时滞控制在交际系 统应用中容易实现，可以预计，根据实际问题的控制目标，建立时滞反馈控制为 中心的控制策略，特别足控制机理等应用基础方面的课题仍足今后的研究重点， 如流体引起的输液管道失稳控制等问题【1 4 】，【1 5 】。 由于“非线性凶素和长时滞联合作用的影响”这一问题所依据的实际应用背 景都足比较新的数学模型，理论方面的研究成果还不多见，大多数处于实验和数 值研究方面的成果。 m a y e r 在1 9 9 5 年提出了免疫系统的时滞数学模型后，大量 的特定病学免疫数学模型相继出现。b u r i d 和t o d o r o v i 6 1 1 6 i t s ：究了币在生长的肿瘤 细胞和免疫系统的特定效应细胞( e f f e c t o rc e l l ) 之问相互影响的动力学模型，时滞来 源于效应细胞的激活、成熟、运输的过程，非线性来源于效应细胞和肿瘤细胞的 激活率。这个特定的模型足一个典型的受非线性因素和时滞联合作用的动力学模 型。h o n g 和h u g h e s 1 7 t a ) f 究了航天飞机驾驶系统中的时滞对其稳定性的影响问题 并推广到多模态的情形中。在神经网络研究方面，早期的工作主要集中在没有时 滞的由h o p f i e l d 于1 9 8 4 提出的人工神经网络。近五年来，开始建立考虑和研究具有 对滞的h o p f i e l d 模型，如s h & y e r 和c a m p b e l l 模型【18 】这些模型的特点都烛具有强非 线性因素和时滞联合作用，这方面的研究国际上也足刚刚起步。 对于快慢变量耦合系统的研究，多数都集中在大脑神经细胞的动力学研究方 面，由于神经元在人脑中所占的比例几乎是所有脑细胞的一半，在大脑处理信 息的过程中有着举足轻重的作用，凶此，脑神经冗的研究已经成为脑科学重要 的组成部分。实验结果已经表明，在诸多神经元之间的通讯机理中，潜意识有 着重要的地位，它足通过细胞膜电势的突然改变形成的，然后通过轴突( a x o n ) 和突触( s y n a p t i c ) 离开细胞体传播到其他细胞体，描述单个细胞这种动力学行为 的一般模型就足著名的h o d g k i n - h u x l e y 方程，此外还有一些特殊条件下的模型， 如f i t z h u g h - n a g u m o 方程、z e e m a n 方程、c h a y 方程 1 9 1 等，这些数学模型都是快 慢变量耦合的系统，体现了细胞膜电势放电的张驰( r e l a x a t i o n ) 振荡过程，对这 些研究成果，i z h i k e v i c h 2 0 写了一篇长达9 5 页的综述和评论文章。显然，单个细 胞在放电时一段时问后会受到该电势的反馈，形成的动力学模型必然涉及时滞。 同济大学硕士学位论文 4 在遗传基因机理的研究中，已经出现这样的模型【2 1 】，数值研究表明在一些参数 范围内，时滞可以导致张池振荡增强，出现所谓的“s p i k i n g ”和“b u r s t i n g ”现 象。另一方面，借助于神经元的研究成果，b a s h e e r 和a s c e 2 2 把形状记忆合会的 应力和应变看成足时间的函数，利用实验数据“训练( t r a i n i n g ) ”一个离散的时 滞人工神经网络( t d a n n ) 动力学系统模型，成功的模拟了环状的应力与应变 本构关系，这一成果可以说在材料的本构关系理论研究方面突破了传统的研究模 式。这种模型近期也出现在b z 反应的控制系统的研究中【2 3 】。所有这些都表明， 具有快慢变量耦合的时滞振动系统理论的研究将逐步会成为国内外学术界关注的 热点。 下面，我们举例来说明近几年来各研究领域所涉及到的时滞问题及其所用的方 法。 1 2 1研究模型 1 生物学方面 在捕食者一被捕食者模型中，在实际的自然界中，种群的年龄结构( 影响出生 率和死亡率) 、成长周期( 极限) 、捕食者被捕食者相互关系中的进食时问及饥 饿系数、反应时间、食物储藏时问、食物来源的再生时间等等囚素都会影响到系 统的将来状态，因此，有必要将这些因素导致的时滞引入到系统的控制方程。考 虑到这一方面的原因，k r i s e 2 4 在捕食者一被捕食者模型中加入了分布时滞，得到 砌= n f ( n ) 一q n p 一等o 。 r ( 7 r ) 虿( 一7 - ) d r ， ( 1 1 ) p ( t ) = 一p g ( p ) + p 尸( 丁) 召( t r ) d 下， 、7 其中，( t ) 和p ( 亡) 分别是被捕食和捕食种群的数量。否( 口) 足记忆函数，即，与过 去的历史状态相关的函数。 在传染病模型中，由于自然出生，自然死亡及因该传染病死亡等原因，所研究 的种群的数量总足在不断变化的；易感者的数量也足在不断改变的，且现在的种 群的状态和过去足有关的。w a n g 等【2 5 】研究了考虑上述因素的传染病模璎 i ( t ) = 入( 1 一i ( t ) n ( t ) ) l ( t ) - - m i ( 1 一z ( t w ) n ( t u ) ) j r ( t u ) 一( d + ) ，( t ) ， ( 1 2 ) n ( t ) = a d n ( t ) ，( ) ， 同济| 夫学硕士学位论文 5 其中，是种群的总数，是易感者的数量，a 是该种群数量的增长率，d 是该种 群的死亡率，足该传染病导致的死亡率，a 足每单位时问内与一个易感者充分接 触的甲均人数，u 足感染周期，且q = e x p ( 一犯+ p ) 。 2 机械领域 切削过程中，时滞引起的振动足导致切削面不光滑的一个最重要的原囚之一。 工件每转一圈，切片厚度都要随之改变。这样，切削力的大小就不仅仅依赖于工 具及工件现在的位置，还跟位移的时滞值有关。这个时滞的大小就足工件转一圈 所用的时问。n a g s 等f 2 6 】考虑回转效应( r e g e n e r a t i v ee f f e c t ) 所带来的时滞影响，分 析了机床切削过程中工具的颤振行为，文中的工具运动的方程为 苗+ 2 e 奎+ ( 1 + p ) z p x r = 蒜( ( z z ，) 2 一( 。一z ，) 3 ) ， ( 1 3 ) 其中，p = k 1 ( 碱) ，k l 表示切削强度系数，时滞一；w 2 7 r q ，r 2 r l q 足以定 常的角速度q 旋转的工作组件转一圈所需要的时问。 同样地，在实际的控制系统中，传感器和传动装置部分都会有时滞产生，因 此，时滞足不可避免的。其中，在控制电子学中，当运算的控制法则非常复杂 时，也会有时滞产生。某些特殊的情况下，控制系统中还会产生大时滞，如，在 地面上控制太空船时，数据在对空通信或对地通信的传送过程中有较大的时间滞 后。研究表明，即使足很小的时滞，也可能会对易变形的太空船产生重大的影 响，可能会引起系统失稳。h o n g 等在【17 】中研究了航天飞机驾驶系统中的时滞对 其稳定性的影响问题。他们研究的系统足 巧 ) + 2 厶而( t ) + “石2 叩( ) = 一2 ( c 屿而( t 一丁) ( = t 正( t ) )( 1 4 ) 其中叼( t ) 为模态系数，足模态振动频率，g 足模态阻尼因子( 足一个小的正 数) ，u c t ) 足模态控制输入，丁足控制系统中的时滞，靠足无最纲的控制增益。 3 电子和通信领域 在半导体激光器中，光的反馈过程中的时问滞后对系统的影响足f ：可以忽略 的。凶为即使足很小的时滞，与光子的生命剧期相比，也总足很大的，町能会 导致系统失稳。e r n e u x 等【2 7 】研究了具有状态变化反馈的p c f ( p h a s e - c o n j u g a t e f e e d b a c k ) 的半导体激光的外空腔谐振模( e x t e r n a lc a v i t ym o d e s ) 。该系统可表 同济大学硕士学位论文 6 示为 y = ( 1 + i a ) z y + 7 y ( t 一口) ， ，。 丁z = p z 一( 1 + 2 z ) i y 2 ， 其中，y 指复电子场，z 指载体密度，且口表示线宽增长因子，1 足无量纲的反馈 率，秽= 丁昂芷外空腔转一圈所需的时问与光子生命周期的比值，t = 瓦勺足载 体与光子的生命周期之比，p 足初始的电磁辐射能的大小。 在通信领域，时滞系统的研究在混沌同步方面有着重要的意义。将混沌同步 运用于保密通信的基本思想是：以不规则的混沌信号表示的信息在传送过程中可 以避免外界的攻击。而混沌系统的参数就足通讯密码一一通讯系统的基本组成之 一。由于传送者和接收者的混沌系统的参数不足完全一致的；传送过程中存在内 在的及外来的干扰：混沌信号在传送过程中产生误芹等等实际的问题，所以，鲁 棒系统需要对接收到的信号进行有效的恢复。然而，这就与将参数作为密码矛 盾，因为即使是接受者的参数也不能和传送者的完全吻合，而攻击者却可能部分 地恢复鲁棒同步的传送信息。而且，并不是参数取所有值时混沌系统都可以产生 混沌。这样，由于l 一步的鲁棒性及混沌系统的一些特征，密码的个数和范围就受 到了限制。于是，系统变得容易受到攻击。引对这个闯题，k i m 等【2 8 】提出了一 种新的加密方法一一用时滞耦合混沌系统的时滞作为密码。事实上，时滞足产 生混沌的一个很好的途径。众所周知，一阶及二阶自治系统不可能产生混沌， 而x u 等【2 9 】的研究表明，简单的低维时滞系统就可以产生高维混沌。 4 其它领域 时滞系统的研究除了在以上各个片面的应用外，还在其它很多领域涉及到， 如，在经济学中，考虑投资者的价格预期依赖于过去的价格，现在的经济政策需 要过一段时问才能对实际的经济行为产生影响。 考虑到投资决策与随之而变的资余库存之问存在着时问差，即，资会库 存的变化依赖于根据过去的国民收入水甲而定的投资，故在传统模型的基础 上，s z y d l o w s k i 等f 3 0 】在资会积累方程中考虑了时滞作用：资会库存k 在t 时刻的改 变不仅与当时的资会库存有关，还受t t 时刻的收入y 的值的影响。数学上。该 模型可以表示为 翟2 q 吣( d ，刖) 一s ( y ( t ) ，k ( 蛳 ( 1 6 ) 型驴= 1 ( y ( t t ) ，k ( t ) ) 一6 k ( t ) ， 、7 同济入学硕士学位论文 7 其中，投资，( kk ) 和储蓄s ( y k ) 是收入y 与资金库存k 的函数。q 表示商品市场 的调节速度，石足资会折旧率。参数丁足投资中的时滞。 1 2 2 研究方法与结果 用来表示时滞系统的数学模型的形式多种多样，有积分- 微分方程( 含分布时滞的 系统) ，差分微分方程，随机微分方程等等。研究时滞系统的方法也足各不相同 的。常用的理论方法有中心流形理论，分俞理论，谐波甲衡法，多尺度法，甲均 法，稳定性判断定理等等。而数值方法一般足利用m a t h e m a t i c a 、m a t l a b 、d d e - b i f t o o l 等等工具和软件包。事实上，大部分研究中，理论方法与数值方法足同 时使用，相互结合的。总地来说，人们常常用理论方法局部区域内，即，小扰动 的情况下，定量地求解解析的近似解，定性分析周期解的稳定性，分俞的存在性 等等；并且，通常运用数值方法分析大扰动时的时滞问题中出现的概周期解，分 龠，混沌等复杂现象。 【2 4 】中考察的系统( 1 1 ) 足一个积分微分方程组。在【2 4 】中，首先，作者利用特 征方程的解的情况，对系统进行了线性化稳定性分析；并利用h o p f 分龠定理，证 明y h o p f 分龠的存在性；然后，作者用多尺度法构建了解析的周期解的近似形 式；在随后的数值分析过程中，作者利用l 稳定的后退的e u l e r 梯形法则的数 值方法，在特定参数值及适当选取的f ( ) 下，分析甲衡点及h o p f 分俞点的稳定 性，得到可能发生混沌的区域：此外，作者计算了功能谱，相关函数，分形维数 等来描述混沌的特征。 f 2 6 】用h o p f ：分俞定理及中心流形理论等解析方法分析了系统( 1 3 ) 中出现 的h o p f ：分岔。具体地，先将无限维问题简化到两维中心流形上。由于方程中 非线性部分的时滞项的代数结构的特殊性，能够计算出简单的解的解析公式。 用m a t h e m a t i c a 模拟该结果，知解析解与数值解足一致的。另外，依据p o i n c a r & l y a p u n o v 常数的符号，文【2 6 】确定t h o p f ：( r 分的性质。 【2 7 】足通过构造解的形式的分析方法得到系统( 1 5 ) 的线性近似解，并且用数值 计算的方泫找到了h o p f 分翁点并确定了系统稳定解的存在范围。 【3 0 】运用t p o i n c a r & a n d r o n o v h o p f j 电理，h o p f - h o p f 分析等方法分析研究了k a l d o r - k a l e c k i 经济周期模型( 1 6 ) 。研究发现了相甲面内极限环存在及发生余维二二分岔的 条件，并有研究结果表明：在没有非线性影响的条件下，仅由时滞这一因素作用 同济犬学硬圭学位论文8 可以引起系统中概周期解的出现。 【3 l 】研究的模型足单自由度的自治的具有连续时滞分布的差分一微分方程： e ( t ) = a z ( t 一7 ) 一e k 一r ) 】3( 1 7 ) 其中，6 和e 是讵的参数，7 是时滞。在局部范围内，作者通过适当的变换将原 系统约化为标量的l u r e 系统，然后利用描述函数( d e s c r i b i n gf u n c t i o n ) 研究极限 环的存在性及特征。在全局范围内，作者在m a t l a b s i m u l i n k i 作环境下，利 用m a t l a b t 具包中的用5 阶的r u n g e - k u t t a 法求解常微分方程的程序包求解该方 程，得到倍周期分衍及混沌等。最后，检验了系统呈现性质相似的混沌行为时的 参数所满足的条件。根据此条件，我们可以直接得知在给定参数条件下系统的动 力学行为。该结果可用于控制方面。 文f 3 2 】研究了具有连续分布时滞的神经姗络模型的全局稳定性。该模型可表示 为 鲁= 一 ( 引枷+ 薹n 嵇仁心( t s 姒巧( s ) ) d s + z ，i = 1 i ，n ( 1 8 ) 其中，啦j 和厶足实的常数。这足一个积分微分方程组。作者利用m 一矩阵和同胚映 射得到了系统( 1 8 ) 的平衡点存在唯一性的条件。通过构造l y a p u n o v 泛函，得到了 甲衡点全局稳定性的条件。 3 3 1 研究了非线性差分微分方程： j c ( t ) + u 2 x ( t ) + a j ( ( t ) 十b x 3 ( t ) - 4 - c x 2 ( t ) j p c t ) + d x ( t ) c 2 ( ) - 2 yc o s ( o t ) + a x ( t t ) + b x ( t t ) = 0 ， ( 1 9 ) 其中，u 足自然频率，n 足阻尼系数，6 足曲率的非线性系数，c 和d 惯性非线性系 数，足强迫振幅，外激励频率是q u ( 主共振) a 和b 足反馈增益，t 足时滞。 文中，作者用渐进的扰动方法构造了非线性振子( 1 9 ) 的最低阶的近似解。该分 析方法足基于对时间的重新标度和衡谐波项的基础上的，集中了谐波丫衡泫和 多尺度泫的优点。不过，该近似法只有当参数a ，b ，c ，d ，a ，b 都很小时j j 一适用。此 外，根据特征根的情况分析系统的稳定性。文章的最后比较了系统自无时滞的情 况，发现适当地选取时滞可以减振并抑制概周期运动。 同济大学硕士学位论文 9 【3 4 】研究了一个在垂直方向上稳定，且在水平方向上有时滞线性控制力的钟摆 模型。该模型可简化为 圣l ( t ) = z 2 ( t ) ，( 1 1 0 ) 圣2 ( ) = - ( 3 8 ) c s i n c 2 x lc t ) ) x ( t ) + f s i n 丽z l 啄c t ) 丽- c 五o sx 而1 ( t _ ) ( a z l ( t - 丁) + b z 2 c t - z ) ) ， 为考察该模型，作者将方程组( 1 1 0 ) 看作受扰动的线性迟延泛函微分方程组，并将 该无限维问题投影到有限维1 i 变流形上。通过分析该中心流形，得到有三个零特 征值的奇异点附近的具有时滞反馈控制的反向钟摆( i n v e r t e dp e n d u l u m ) 的分龠 情况，并据此得至0 稳定的小振幅解。 【3 5 】研究了随机微分方程组 d x ( t ) = 口( x ( t ) ，x ( t r ) ) 疵+ t g ( x ( o ，x c t r ) ) d w j ( t ) ，t 【o ，卅，t 0 ( 2 5 ) 可以证明，系统( 2 2 2 ) 的一个二阶p b 范式为 耋三：e g u ：s ：c i t y u ：b 讹u4 - a 幻v ) ( u ! ：暑 c 2 q 心= (+ u ) u + (2 + 口2 ) l 、。 化为极坐标形式： 声= c # p + a p a ，参= u + e p + 驴 其中 c = o ( o ) ，e = p ( o ) 口= 去( 骞+ 爵+ 彘+ 雾) + 岛( 象+ 雾) 0 2 9l 铲gj 乎g 0 2 f0 2 9t 铲l0 2 9 a z o y a z 2 西2 o z 2 a z 2 。o y 2 0 y 2 上式中所有偏导数均在( z ，y ，p ) = ( 0 ，0 ，0 ) 处计算。 h o p f 哆r ) 龠定理：设系统( 2 2 2 ) 满足条件( 2 2 3 ) 和( 2 2 4 ) ，且有c 0 和n 0 ， 则系统( 2 2 2 ) 在p = o 处出现h o p f 分俞。当肛o r z 与a c 异号时，在( z ，y ) = ( 0 ，0 ) 领域内存在唯一的极限环。当p _ 0 时，该极限环趋于原点，对充分小 的川，该极限环上各点向径的i 均值与、l p l 成矿比，周期接近2 7 r 加。当a 0 时，极限环不稳定。 h o p f 分分定理还可以推广到高维系统。由于h o p f 分俞足一种局部分俞，利用 中，1 5 。, 流形定理可以将高维系统约化为- 2 维系统，而得到一般的h o p f 分佾定理。 同济人学硕学位论文 1 3 2 3 分岔的余维数 假设现有一个在1 2 维空问上的p 维甲面，那么这个甲面的余维数为( n - p ) 。显然，余 维数表示，在1 1 维空问上，控制该p 维甲面的独立方程的个数。这样，在某个系统 中，若有单个控制参数在状态一控制空i 口j 上变化时，系统发生分俞，也就灶说，这 样的分龠依赖于单参数，相应的分俞点存在于余维一的甲面上，那么，我们就称 这样的分俞为余维一分俞。在此基础上，我们可以相似地定义余维k 分俞，即依赖 于k 个( 独立的) 控制参数的分岔。 在固定点的j a c o b i a n 矩阵的结构足由分俞的余维数决定的。在余维一分分 点，j a c o b i a n 矩阵的特征根中有一个零根或一对共轭纯虚根，其余的特征根皆有 非零实部。在余唯m 分俞点，j a c o b i a n 矩阵的特征根中有k 个零根或( m 一尼) 对共轭 纯虚根，其中，0sk m 。若要决定在某个固定点的分龠的余维数，我们可以根 据分龠集来判断。例如，在分俞域内，两个余维一分俞点的集合相交之处，即为 余维二分龠点。 另外，分龠的余维数直接决定了该分龠的规范性。 2 4f l o q u e t 理论及稳定性分析 考虑线性齐次周期系统，系统方程 圣= a ( t ) x t j = ( 一0 0 ，+ o o ) 2 r “ ( 2 7 ) 其中a ( t ) 足在( 一o o ，+ o 。) 上连续，f 4 以t ( t o ) 为周期的n 几矩阵函数。 定理设垂( ) 足( 2 。7 ) 的一个基本解矩阵，则垂( + t ) 也足( 2 7 ) 的基本解矩阵， 且存在一个可微的周期为t 的非奇异矩阵函数p ( t ) 以及一个常值矩阵r ，使得 垂( ) = p ( t ) e 。r 定理在变换z = p ( t ) u 之下，系统( 2 7 ) 可化为线性常系数系统 雪= r y( 2 8 ) 其中r = t 一1l i l c ，p ( t ) = 圣( ) e 一垅，而c 满足 圣 + t ) = 垂( ) c 同济犬学硬学位论文 1 4 定理矩阵d = e t r 特征值a l ，a n 称为系统( 2 7 ) 的特征系数，而把矩阵尉拘 特征值p l ，m 称为系统( 2 7 ) 的特征指数。 定理线性齐次周期系统存在周期为丁的非零解的必要且充分条件足该系统至 少有一个特征乘数等于1 ，即该系统至少有一个特征指数等于0 ( r o o d 挈) 。 定理设系统( 2 7 ) 的特征乘数和特征指数分别为和p j ( j = 1 ，2 ，扎) ，则有 fi=exp胁)dsj=1 n = i 正t r a ( si r ”j 薹如= 亍1 小t 灿( m 。d 等) 定理( 1 ) 系统( 2 7 ) 的零解足稳定( 一致稳定) 的充分必要条件足( 2 7 ) 的一切 特征乘数的模都不大于1 ，而且每个模等于1 的特征乘数都对应矩阵c = e t r 的约 当标准形的一维约当块。 ( 2 ) 系统( 2 4 1 ) 的零解足澌近稳定( 一致渐进稳定) 的充分必要条件 足( 2 7 ) 的一切特征乘数的模都小于l 。 2 5中心流形方法 中心流形方法足非线性系统理论的重要内容。在高维非线性双曲r 衡点的邻 域内，存在一类维数较低的局部不变流形，当系统的相轨迹在此流形上时可 能存在分俞，而在该流形之外，动力学行为非常简单，例如以指数方式被 吸引到该流形。这类流形称为中心流形。中心流形定理的一个特例由普利 斯( v p l i s s ) 于1 9 6 4 年证明，一般有限维系统的情形由凯利( a k e l l e y ) 于1 9 6 7 年证 明。该定理还可以推广到无穷维系统。 研究分龠问题时，中心流形定理提供了一种高维系统的降维方法。该方法将复 杂的渐近行为分离处理，可以在维数较低的中心流形上进行研究。高维系统的分 龠特性可以由系统在相应的中。1 、5 , 流形上的动力