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类耦合振子系的约化与欠阻尼f - k 模型行波解的稳定性 摘要 摘要 本文中我们讨论了周期位势和相互作用凸势能作用下的一类非线性耦合振子系统 的动力性态通过寻找系统的凸不变区域，我们利用单调性证明了系统在周期边界和 n e u m a n n 边界条件下的p o i n c a 施映射存在不变曲线，并且在此不变曲线上的p o i n c a r 6 映射可以看作是圆周上的保向同胚从而我们进一步讨论了平均速度的存在唯一性， 第二类周期解的存在性，频率同步及m a s s e r a 型定理在d i r i 出l e t 边界条件下，我们 讨论了系统所有解的有界性问题通过时间尺度的变换，我们可以将合作系统中的结 论推广到竞争系统中 我们还研究了在欠阻尼周期边界条件下d c - 驱动的n e n k e l - k o n t o 嗽，a 模型，通过 强单调性我们证明了当驱动力充分大时模型的行波解的全局稳定性 关键词：耦合振子，单调性，圆周同胚映射，旋转数，行波解 作者：许春兰 指导老师：秦文新教授 d u c t i o no fad a s so fc o u p l e d0 s c m a t o r ss y s t e 璐a n d a b s t r a c t ab s t r a c t i nt h i sp a p e rw ed i s c u s st h ed y n a m i c a jb e h a v i o ro fac l a u s so fc o u p l e do s c i l l a t o r 8w i t h p e r i o d i co n - s i t ep o t e n t i a l la n dc o n v e xi n t e r a c t i o np o t e n t i a l w 色p r o v eb ym o n o t o n i c i 够a p _ p r o 础t h a tt h ep o i l l c a r 6m a p o ft h es y s t e m s 硒t hp e r i o d i cb o u n d a 巧c o n d i t i o 璐o rn e 岫a n n b o u n i i a 巧c o n d i t i o 璐a d i n j t s 缸i n 、町i a n tc u r v e ，o nw h i c ht h ep o 血c a r 6m 印i sa u c t u a l l y 缸 o r i e n t a t i o np r e s e n r i n gc i r c l eh o m e o m o r p h i s m t h e ns o m ec o n s e q u e n c e sa r ed i s c u s s e d ，i n c l u d - i n gt h ee 地t e n c e 缸du n i q u e n e s so ft h ea v l e r a g ev e l o c i 饥t h ee ) 【i s t e n c eo fr u n 山gp e r i o d i c s o l u t i o 璐，t h eo c c u r r e n c eo f 仃e q u e n 呵s y n c h r o n i z a t i o n ， 缸dam 粥s e r a 咖et h e o r e m u n d e r d i r i c h l e tb o u n d a 珂c o n d i t i o n s ，陀s t u d yt h eb o u n d n 鹤so ft h es o l u t i o n s t h ec o n c l u s i o 璐f o r t h ec o o p e r a t i v e8 y s t e m sc o u l db ee 吼e n d 酣t ot h ec o m p e t i t i v es y s t e m sb ym d k i n gat r a n s f o r m a 七i o no f 七i m e8 c a l l e w 色a l s os h o wb yt h es t r o n gm o n o t o n i c 埘t h a tt h et r a y e l l i n gw a v es o l u t i o nf o rt h eu n d e r d 锄p e di e n k e l - k o i l t o r o v am o d e lw i t hd c d _ r i 、恤ga n dp e r i o d i cb o u n d a r yc o n d i t i o n si 8 g l o b a d l ys t a 山l ep r o v i d e dt h ed r i v i n gf o r c ei sl a r g ee n o u g h k e y w o r d s ：c o u p l e d0 s c m a t o r s ，m o n o t o n i c i 饥 c i r d eh o m e o m o r p h i s m ，r o t a t i o nn 衄- b e r ：n a v e m n gw 各v es o l u t i o n w h t t e nb yx uc h u n l 蛆 s u p e n r i s e db yp r o f q i nw 宅n ) c i n i i 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所 取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含其他个人或集体已经发表或 撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学或其它教育机构的学位证书而使用过的材 料对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人承 担本声明的法律责任 研究生签名：社日期：玩商血 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文合作部、中国 社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的复印件和电子文档，可以采 用影印、缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一 致除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论 文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理 研究生签名：碑狴 日期：趁皿垒：乜 导师签名： 类耦合振子系的约化与欠阻尼f - k 模型行波鳃的稳定性引言 引言 1 1 研究背景与已有结果 一直以来，数学与其他自然科学息息相关很多时候，一些复杂难懂的现象经过 人们寻找相应的数学物理模型，通过对这些模型的研究，人们能更快更好地理解这些 现象，并掌握其中的规律耦合振子系统就是其中的模型之一，很多领域都涉及到它。 在物理，化学，生物方面【1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，9 ，1 0 l 应用尤其广泛，并起着越来越重要 的作用 n e n k e l - k o n t o r o v a ( f k ) 模型是耦合振子系统的一种标准的f - k 模型可以看作是 在平行平面内运动的一维单摆振子在弹簧的作用下与最邻近的单摆振子相互作用的模 型 f k 模型被应用于许多自然现象和系统的研究中，包括d n a 【l 】，电荷密度波和 j 0 s 印h s o n 结【2 ，3 】等 我们主要研究的系统如下： 奶= ( 嘶+ l 一哳) 一( 吩一吩一1 ) + g ( 坳，t ) ，( 1 1 ) 这里歹z ，位势能g ( 让，t ) 是c 1 光滑的，满足g “+ 1 ，t ) = g ( u ，t ) = g ( u ，t + t ) 汀 o ) ， 相互作用势能是c 2 光滑的，且严格凸，即( z ) 6 o 假设此系统满足周期边 界条件 吩+ 0 ) = 吩( t ) ，j z ，( 1 2 ) 这里 1 为正整数 系统( 1 1 ) 描述了许多物理【3 ，4 ，5 】，生物【1 】及化学【6 】中的现象1 7 ，8 ，9 ，1 0 】例如 当g ( u ，t ) = y ( u ) + f ( ) ，w ( t ) = 牡2 2 时，系统( 1 1 ) 描述的是过阻尼条件下电荷密度 波的运动【5 】g ( u ，t ) 形如c ( t ) y ( u ) 时，也有多篇文献涉及到系统( 1 1 ) 研究的是位势 能函数在每个相位上都相同均为g ( 乱，t ) ，且自变量t | 只与个相位有关系事实上，若 每个相位上的位势能函数均不相同且自变量与多个相位有关系，只要它满足周期性， 我们的研究方式是相同的另外，系统满足的周期边界条件也可为 嘶+ ( t ) = 哟( t ) + m ，j z ， 1 类耦合振子系的约化与欠阻尼f - k 模型行波解的稳定性 引言 ，m 为正整数，它们的讨论方式是类似的 与系统( 1 1 ) 相关的二阶模型为 鹏+ 7 奶= 彤( 吩+ l 一坳) 一( 嘶一坳一1 ) + g ( 嘶，t ) 这个二阶模型就是著名的周期位势下的f - k 模型当我们将惯性项去掉并作一个时间 尺度的变换，此时，y o ，即过阻尼极限情形，我们就得到了耦合一阶系统( 1 1 ) ，见 【1 ，3 ，1 l 】 本文中我们还讨论了一种在d c 驱动下的f k 模型，如下： 奶+ r 嘞+ s i n 嘶= k ( 嘶一l 一2 嘶+ 嘶+ 1 ) + f ， ( 1 3 ) 这里r o 表示阻尼，k o 表示耦合强度，f o 为常数驱动力，且满足周期边界 条件 嘶+ ( t ) = 嘶( t ) + 2 7 r m ，j z ， ( 1 4 ) m 和都是正整数 单调性，在物理上又称禁越规则( n op 够s 血gm l e ) 3 ，5 】，在耦合振子的研究中起着 越来越重要的作用目前有大量关于单调动力系统的出版物，见h a l l s m i t h 写的专著 【1 2 】及其中的参考文献一般来说，一个系统是单调的就意味着它在相空间内保持一 种偏序，即若两轨道在初始时刻有序，则在下面的时刻仍然保持相同的序对于一阶 常微分方程来说，已经有了一些定理来判断系统的单调性与强单调性 第二类周期解，又称r u n n i n g 周期解，一般来说是针对具有周期向量场的系统， 这样系统的相空间就可以看作是一个柱面，若系统的解的轨线为柱面上的闭曲线，爨 们就称这个解为系统的第二类周期解具体来说，对系统( 1 3 ) ( 1 4 ) 的解 ( t ) ) ，若存 在极小的t o ，使得吩( t + t ) = 嘶( t ) + 2 丌，t r ，j = l ，那么这个解就是系 统( 1 3 ) ( 1 4 ) 的个第二类周期解第二类周期解与单调性在文献【3 ，4 ，5 ，1 1 】中都有研 究 2 类耦合振子系的约化与欠阻尼f k 模型行波解的稳定性引言 如在文献【1 1 】中b 獬e i l 8 和m a c k a y 讨论了形如 圣 = 一，远一1 ( z i l ，z i ) 一九i ( z i ，z i + 1 ) + 只 的合作系统，并得到了在有限格点( n e u m 猢边界条件) 和无限格点( 周期边界条件) 下的一些有趣结论通过b i r l 【1 1 0 行回复定理及强单调性证明了对于有限链和周期边界 条件下的无限链，或者存在平衡点且任一轨道都渐近趋于平衡点集的连通子集，或者 存在一第二类周期解吸引任一轨道但我们要注意此类关于第二类周期解的结论都是 在自治系统下得到的【4 ，7 ，8 ，9 ，1 0 ，1 1 】 与第二类周期解稍有区别的行波解在耦合振子系统中也起着重要的作用，对于不 同的系统，行波解的定义方式不一样，而系统( 1 3 ) ( 1 4 ) 的行波解是指：对系统的解 ( t ) ) ，若存在一常数t o 及一波形函数，：r r ，满足 使得 ，o + t ) = ，( t ) + 2 7 r ，t r ， 缸j = f q + j t m n 、) ， 那么这个解就称为系统的行波解 实际上，行波解是第二类周期解的一种特殊形式，每个相位的波形相同，且相差 相同的相间距行波解又称为p o n i 鹤o nam e r 驴g 伊r o u n d 【1 3 】，拙c r e t er o t a t i n gw a v e s f l 4 】， 或者s p l a y - p h 笛es o l u t i o 璐【1 5 】虽然行波解很重要，但对于二阶f - k 模型来说，要从数 学上对它的存在性和稳定性作出严密的分析却不是那么容易的，见【1 6 】在耦合强度 较小的情况下，l 嘶通过b r o u w e r 不动点定理证明了行波解的存在性结果【1 7 】通过 将存在性问题转化为b 缸a c h 空间中的不动点问题，然后再用s c h 鲫d e r 不动点定理， k a t r i e l 【1 8 】给出了系统( 1 3 ) ( 1 4 ) 行波解存在的严密而详细的分析【1 8 】中的方法与【1 9 】 中的相像， 【1 9 】讨论的是j 0 s e p h s o n 结系统中行波解的存在性问题但【1 8 】和【1 9 】都 没有涉及到它们的稳定性，甚至行波解的稳定性问题被视作个公开问题【1 6 】最近， b a 瞪e n s 和m a c k a y 发现了f k 模型( 1 3 ) 在过阻尼条件r 2 疆f 万下的单调性，从 3 类耦合振子系的约化与欠阻尼f - k 模型行波解的稳定性引言 而可以从【1 1 ，2 0 】的结论中推得若系统( 1 3 ) ( 1 4 ) 无平衡点，那么在过阻尼条件下行波 解是全局稳定的 胡斑比等人在【2 1 】中讨论的是标准f - k 模型在过阻尼极限情形和过阻尼情形下的 系统，通过寻找系统的向前不变区域以及强单调性，从而将系统约化到圆周上，当旋 转数p = o 时，系统存在周期解要注意的是f 2 1 】中所讨论的过阻尼极限情形是在周 期边界条件下进行的，且系统是线性耦合的 著名的m 嬲s e r a 定理【2 2 】也与周期解有关 m 鹪s e r a 定理的内容是：对维周期 系统，若在区间【o ，o o ) 上存在有界解，则系统存在一t 一周期解，这里= l 或= 2 然而3 时结论不成立，见【2 3 】中的反例在单调动力系统中也有一些类似工作 h m s m i t h 在【2 4 】中讨论了周期竞争和合作系统下的周期解，此系统要求p o i l l c a 西映射 将第一象限的内部映到自身，即要求了单调性他还研究了周期三对角竞争和合作系 统【2 5 】，并证明了任意有界解0 o ) 渐近趋于一周期解，他证明这一结论是通过证明 周期解的泸极限集为单点来完成的最近， c 锄p 【2 6 】对满足一些单调性假设的三 维系统进行了讨论，得到了三维系统下的m a 豁e r a 定理 1 2 本文的主要结论 第二章中我们研究了系统( 1 1 ) ( 1 2 ) ，并得到了一系列结论第一步，我们证明了 系统在相空间r 中有一凸吸引集，吸引任一轨道第二步，我们证明了单调性，定 义( 限制) 水平曲线，从而p o i n c a 托映射p t 将限制水平曲线映为限制水平曲线第三 步，我们作坐标变换，构建b a n a c h 空间，从而将限制水平曲线嵌入到b 锄a c h 空间， 再通过s c h a u d e r 不动点定理，我们证明了p o i n c a 拍映射p 存在不变限制水平曲线， 即有 定理1 1 系统( 1 1 ) ( 1 2 ) 的p o i i l c a r 6 映射- p t 存在_ 条不变限制水平曲线 因系统的向量场是周期的，所以尸口在此不变曲线上的映射可以看作为圆周上的保向 同胚，从而有了旋转数p 当p = o 时，系统( 1 1 ) ( 1 2 ) 存在周期解，当p 为有理数时， 系统存在第二类周期解，当j d 为无理数时，系统存在拟周期解我们可以证明系统的 平均速度可存在唯一且可= p t 以及频率同步的结论当系统( 1 1 ) ( 1 2 ) 在【o ，+ o o ) 上 4 类耦合振子系的约化与欠阻尼f - k 模型行波解的稳定性引言 存在有界解时，由平均速度的唯一性知道面= o ，即p = o ，从而系统存在t 一周期解， 从而得到了m 弱s e r a 型定理，即 定理1 2 若系统( 1 1 ) ( 1 2 ) 在【o ，+ o o ) 上存在有界解，则系统存在t 一周期解 值得注意的是我们讨论的这个系统是非线性耦合非自治系统，与【1 l 】 2 1 j 中讨论 的不同【儿】讨论的是n e u m a n n 边界条件下的自治系统事实上，我们所研究的系统 ( 1 1 ) 就是b a e s e n s 和m a c k a y 在【1 1 】中提出的公开问题而胡斑比等人在【2 1 】中讨论 的是线性耦合还要注意的是系统( 1 1 ) 既不满足【2 4 】中的条件，也不是三对角系统， 然而通过将系统约化为圆周上的保向同胚我们得到了高维的m a 筠e r a 定理 此外我们还讨论系统在n e u m a n n 边界条件和d i r i 锄e t 边界条件下的情况 n e u m a n n 边界条件l 撕( t ) = u 1 ( t ) ，u ( t ) = u + 1 ( t ) ( 1 5 ) d i r i c h l e t 边界条件： t o ( t ) = 缸+ l ( t ) = o ( 1 6 ) 在n e u m a n n 边界条件下，我们能得到与周期边界条件下类似的结论在d i r i c h l e t 边 界条件下，通过寻找有界吸引域，我们证明了系统( 1 1 ) ( 1 6 ) 在相空间r 上的所有解 都有界再应用【2 5 】中的结论从而有系统( 1 1 ) ( 1 6 ) 的任一非t 一周期解都渐近趋于一 t 一周期解，即有 定理1 3 系统( 1 1 ) ( 1 6 ) 的所有解在区间【o ，+ o o ) 上有界，且任一非t 一周期解都渐近 趋于某一t 一周期解 系统( 1 1 ) 中，我们讨论的是合作系统，即 ( z ) 6 o 而对于竞争系统， ( z ) _ 6 2 互耳则存在昂 1 ，使得系统( 1 3 ) ( 1 4 ) 当f 局时存在全局稳 5 类耦合振子系的约化与欠阻尼f - k 模型行波解的稳定性 引言 定的行波解 我们从【1 l ，2 0 ，2 7 1 中得到启示，知道强单调性一般可以推得第二类周期解的稳定性 因此首先我们证明了系统( 1 3 ) ( 1 4 ) 存在吸引域，然后作坐标变换，证明当f 充分大 时，新坐标系下的系统( 1 3 ) ( 1 4 ) 的p o i i l c a f 6 映射p t 在吸引域内是强单调的，这里 t 是波形函数的周期，m 是某正整数利用强单调性，我们证明在新的坐标系下系统 ( 1 3 ) ( 1 4 ) 的任一解在p o i i l c a r 6 映射p 肌t 的作用下，当n 一+ 时，趋于行波解从 而系统( 1 3 ) ( 1 4 ) 的任一解，当t _ + o o 时，趋于行波解即而有了行波解的全局稳定 性 注意的是对于过阻尼条件r 2 吁f 干了，b 獬e 衄和m a c k a y 【2 0 】已经证明了系统 的单调性，并运用【1 1 】中处理有限链的方法证明了行波解的稳定性，这里我们将参数 范围扩展到欠阻尼情形，r 2 何，这样当耦合强度k 很小时，阻尼系数r 也可以 很小 6 一类耦合振子系的约化与欠阻尼f - k 模型行波解的稳定性 第二章类耦合振子系的约化 第二章一类耦合振子系的约化 2 1 周期边界条件下的耗散性 我们考虑周期边界条件( 1 2 ) 下的一阶耦合非自治系统( 1 1 ) 如下： f 也l = w 7 ( u 2 一t 正1 ) 一w ( t | l u ) + g ( u l ，z ) ， j 锄 = w 7 ( u 3 一t 2 ) 一w 7 ( 地一u 1 ) + g ( t 2 ，。) ， ( 2 1 ) = 7 ( u l 一螂) 一( u 一t 正一1 ) + g ( t 正，t ) 令1 = ( 1 ，1 ) r 则系统( 2 1 ) 的向量场是以1 为周期的，所以系统( 2 1 ) 的相平 面可以看作是柱面r ( 1 ) 因( z ) 6 o ，所以我们有下面的引理 引理2 1 。w ( z ) 2 2 2 + w ，( 0 ) z + w ( o ) ，z r 证明：因w ( z ) 6 o ，所以有 z 2 ( 7 ( 们一，( o ) ) 咖= z zz 叩( 9 必咖耋z 2 ， ( 7 ( 叩) 一7 ( o ) ) 咖= ( f ) d 亭咖号， ，0 ，o ，o _ 从而有 w ( z ) 一( o ) 一( o ) z 罢z 2 ， 即 w ( z ) 罢z 2 + w 7 ( o ) z + ( o ) 口 设u = ( t 1 ，u r ) t r n ，g ( u ，t ) = ( g ( 乱l ，t ) ，g ( u ，t ) ) t 令 i ，( u ) = w ( 坳一t 1 1 ) + w ( t 3 一坳) + + w ( z 一霉n 一1 ) + ( t l t ) 则系统( 2 1 ) 可改写成如下形式 令 d = 一v 工( u ) + g ( u ，t ) 岛：( u r ll ( u ) d ) ，冗d = u r i iv 工( u ) i d ，d o ) 注意因为w ( z ) 是凸函数，所以若磁非空，则舀d 是凸集 7 ( 2 2 ) 类耦合振子系的约化与欠阻尼f - k 模型行波解的稳定性 第二章类耦合振子系的约化 引理2 2 玩为凸集 证明：设u 7 ，g b d ，即l ( u ) d ，l ( g ) d 令西= 入u ，+ ( 1 一入) a ，入【o ，1 】 因7 7 ( z ) 6 o ，即( z ) 为凸函数，故对任意， a 【o ，1 】，有 ( a z + ( 1 一a ) 2 ) a ( z ) + ( 1 一a ) ( 岔) 因此 l ( a u 7 + ( 1 一a ) a ) = ( a ( 啦一面) + ( 1 一a ) ( 岔1 一讪) ) + ( a ( 吗+ l 一吗) + ( 1 一a ) ( 奶+ 1 一锄) ) a w ( 缸i 一峨) + ( 1 一a ) ( 1 一甜) + 队( 吗+ l 一吗) + ( 1 一入) w ( 句+ l 一句) 】 = 入p 一峨h 暑职吗一呦j + c ，一a ， c 爸，一 ，+ 萎w c 锄+ 一句， = a 工( u 7 ) + ( 1 一a ) 工( a ) 即丽玩，从而玩为凸集 o ，存在仍 o 使得对任意的u = ( u 1 ，t ) t 冗d ，有 i 嘶一吻一1 i q ，j = l ， 证明：对任意u 砌，由w ( z ) 6 o 及中值定理，我们有 6 l 嘶+ l + 嘶一1 2 嘶i l 7 ( 嘶+ l 一嘶) 一w ( 坳一嘶一1 ) i d ，j = 1 ， 推得i 嘶+ 1 + 吩一l 一2 吻l d 6 ，j = l ，因此我们有 一鲁+ ( u 。一u ) 抛一u ，鲁+ ( u - 一蛳) ， 8 类耦合振子系的约化与欠阻尼f - k 模型行波解的稳定性第二章类耦合振子系的约化 一警小。一u ) 一芸+ ( 坳咄) 妯咱芸小z 咄) 警小- 一u ) ； 一掣竹。) 细咖“半帅- 一埘 将以上一1 个式子相加，得 一掣+ ( 一1 ) ( 札z u ) u 一u 掣+ ( 一1 ) ( u - 一u ) ， 即有u 一u l l ( 一1 ) d ( 2 6 ) 从而可以推得存在q o ，q 与u 无关，使得i 哟一哟一l i q ，歹= 1 ， 口 注意若d w ( o ) ，则 1 ) 张成的空间包含于玩，& 非空事实上，我们有下面 的结论 引理2 4 对任意的d ( o ) ，存在q o 使得对任意的u = ( t l ，u ) t 玩，有 i 叼一吻一l i 仍，歹= 1 ， 证明：由引理2 1 我们有 工( u ) = 薹w ( 吻一吻一。) 2 砉 耋( 叼一吻一。) 2 + 7 ( 0 ) ( 呦一叼一z ) + ( 。) 工( u ) = w ( 吻一吻一1 ) 2 l 耋( 叼一吻一1 ) 2 + ，( 0 ) ( 呦一叼一1 ) + ( o ) i j = 1 j = 1 。 o = 罢( 呦一叼一1 ) 2 + ( o ) ， - j = l 因此对u 玩有 壹( 吩一) ：牮， j = l 。 从而存在q o 满足引理，引理得证 口 设u ( t ，u o ) 为系统( 2 2 ) 的初始值为u ( o ，u o ) = u o 的解 引理2 5 系统( 2 2 ) 存在一凸集b r ，使得b 是向前不变的，即若u o 8 ，则 u ( t ，u o ) 召，t o 甚者，对任意u o r ，存在t o o 使得u ( t ，u o ) 召，t 如 证明，因g ( 乱，t ) 是周期的，故可取m = s u p g ( u ，) i 令6 o ，则由引理2 3 ，2 4 可知 存在足够大的d ( o ) 使得玩3 冗m + 6 记吼为8 ，则召为凸集对任意u o a b ， 9 类耦合振子系的约化与欠阻尼f - k 模型行波解的稳定性第二章类耦合振子系的约化 我们有 爰l ( u ( ，u 。) ) = v l ( u ( t u o ) ) ( 一v l ( u ( t ，u 。) ) + g ( u ( ，u 。) ，t ) ) 一l v l 忡l i - m ) 一j 2 ， 推得对t o ，l ( u ( z ，u o ) ) o 即三( u 0 ，u o ) ) 至 少以6 2 这个速度递减，直到存在时刻如 o 使得l ( u ( t o ，u o ) ) = d ，从而对t 幻有 u ( t ，u o ) 召 口 引理2 5 同时也说明了下面的引理 引理2 6 系统( 2 2 ) 的解是正向全局存在的 现在我们只要讨论系统( 2 2 ) 在吸引域8 内的动力学性态我们观察到若u 召，则 u + 1 b 因此召可以看作是个带形区域并且在方向1 上是周期的同时，b 包含了由 1 ) 张成的空间，而由引理2 4 它在1 的垂直方向上是有界的，如图2 1 在下一节里我 们将讨论系统的单调性，我们证明系统( 2 2 ) 在召内不仅具有单调性还具有强单调性 l i l i 、- 一、r 、r li il ii l1i2 7 一 ii 一、 、咔 f i l 1 图2 1 7 表示方向1 ，2 表示每个分量均为2 的向量 1 0 类耦合振子系的约化与欠阻尼f - k 模型行波解的稳定性第二章类耦合振子系的约化 5 2 2 单调性 在介绍单调性之前，我们首先要给出一些定义记p 为系统( 2 2 ) 的时间t 映射， 即尸t ( u o ) = u ( t ) ，这里u ( z ) 是系统( 2 2 ) 的初始条件为u ( o ) = u o 的解下面我们定义 r 中的一种偏序 定义2 7 令u = ( t 1 ，t l ) r r ，y = ( 御1 ，御j r ) t r 定义 对i = 1 ，若蚴仇，则称u v ； 若u v 且u v ，则称u v ； 对 = 1 ，若啦 o ，乃( t ) = w ( 吻一嘶一1 ) + w ( 嘶+ 1 一吻) 一g 1 ( 呦，t ) ，g l ( 嘶，t ) 表示对g ( 吻，t ) 的第个变量求导，t o = u ，t l = u + 1 ，歹= l ，令，7 = ( m ， ) r r ，o 表 示分量均为。的维向量若卵( o ) o ，由( z ) 6 o ，我们有 功( t ) e 一片彤( 。) d 5 仍( o ) o ，j = 1 ， 即，7 ( t ) o 当c o 时。结论也成立，即对( 2 2 ) 沿u ( t ) 线性化方程 ，7 1 = ) 2 = 叩= w ( t 上2 一t 1 ) 7 7 2 + 仉( u l t ) ，7 一( w ，( 坳一钆1 ) + w ( u l u ) 一g 1 ( t 上1 ，t ) ) 7 7 l ， w ( t 2 一札1 ) ，7 l + i 矿( 乱3 一u 2 ) ，7 3 一( ( 抛一t 1 ) + w ( 札3 一t 2 ) 一g l ( t 2 ，) ) 啦， ( 2 3 ) w ( t 上1 一心) ，7 l + i 矿( t 上一牡一1 ) ，7 一1 一( w ，( u l u ) + w ( t 上一t 工_ 一1 ) 一g l ( u ，t ) ) ，7 ， 若7 ( o ) o ，贝4 7 0 ) o 假设u o v o ，令u ( o ) = ( 1 一a ) u o + a v o ，a 【o ，1 】设u a ( ) 是系统( 2 2 ) 的初 始值为u a ( o ) 的解令钡( t ) = 曼与萨，则钡( t ) 满足关于u a ( t ) 的线性化方程( 2 3 ) ，且 钡( o ) = v o u o o 因此对 o 有钡( ) o ，故有 v = u + z 1 榔) 烈u 单调性得证 再讨论在吸引域召内的强单滑眭在召内，取p = m 越 s u p 功( t ) ，j = l ，) 假 设7 ( o ) o ，则存在i 1 ，) 使得臻( o ) i ) ，不失一般性可设i = 1 令占= ，7 1 ( o ) o ，y ( t ) = e 肼7 7 ( t ) ，7 ( o ) o 因为 锄= ( 吩一吻一1 ) 仍一l + w ( 吩+ l 一吩) 仍+ l 一乃( t ) 仍b ( 仍一l + 彩+ 1 ) 一p 仍， 所以 协= e m ( p 仍+ 协) k m 仍一l = 一1( 2 4 ) 类耦合振子系的约化与欠阻尼f - k 模型行波解的稳定性 第二章一类耦合振子系的约化 由单调性部分有 结合( 2 4 ) 式，有 7 l ) ：e 肛卵l ( z ) e m e 一片p 1 ( 5 ) 幽叩1 ( o ) e m e m 6 ：6 忱咖砧兮饱( t ) 6 即有 佛) 南矿垮，歹2 ， 从而有 仍( t ) = e l l ( t ) 2e 一肛西兰可( 沈户_ 1 o ，t o ，歹= 2 ， 即，7 ( t ) o ，t o 下面的证明与单调性部分类似假设u o o 因此对t o 有钡( ) o ，故 有 ，1 v ( t ) = u ( t ) + 钡( t ) 烈u ( t ) ，t o 我们即证得了在吸引域8 内的强单调性 口 单调性就相当于系统( 2 1 ) 的线性化系统( 2 3 ) 将r 掣映到r 掣( 强单调性将r 掣映 到r 掣的内部) ，由此可见要证明单调性，只要证明线性系统存在不变锥【1 2 】 定义2 1 0 连续曲线u ( 5 ) 被称为水平曲线，若对任意5 l 5 2 ，s 1 ，s 2 r 有u ( s 1 ) o 使得u ( s + 下) = u ( s ) + 1 由定义可以看出，限制水平曲线是和向量1 。平行”的，由1 张成的一维线性子 空间自然也是一条限制水平曲线 由系统( 2 2 ) 的周期性p ( u + 1 ) = 尸t ( u ) + 1 及单调性，我们有下面的引理 引理2 1 1 系统( 2 2 ) 的p o i n c a 硝映射p t 将水平曲线( 限制水平曲线) 映为水平曲线 ( 限制水平曲线) 1 3 类耦合振子系的约化与欠阻尼f - k 模型行波解的稳定性第二章类耦合振子系的约化 证明：设u ( s ) 为水平曲线，则对任意s l s 2 ，s 1 ，s 2 r 有u ( s 1 ) o 故p t u ( s + r ) = p t ( u ( s ) + 1 ) = p r u ( s ) + 1 ，从而p t u ( s ) 也为限制水平曲线 口 下面我们将要证明系统存在一条不变限制水平曲线，进而将系统约化到圆周上 1 4 类耦合振子系的约化与欠阻尼f - k 模型行波解的稳定性第二章类耦合振子系的约化 2 3 不变限制水平曲线 为了证明系统( 2 2 ) 的p o i n c a 托映射f 玎在召内有一条不变限制水平曲线，我们 要作一坐标变换 z 1 = t l + + u ，z 2 = u 1 一t 2 ，z 3 = t 正2 一t 正3 ，z = u 一l t 正，( 2 5 ) a 1 主) 证明：由范数定义怕0 = s u p l u 卜1i a u l 我们取u = 南1 ，则有怕0 何同时对任意 i a u l 2 = ( 乱1 + + t j 、r ) 2 + ( u l t 工2 ) 2 + + ( t 一l t i ) 2 nn = 2 u i + 3 遁+ + 3 u 知一l + 2 u 知+ 2 u 1 呦+ 2 坳吻+ + 2 u 一2 t l j = 3j = 4 n 一2nn 2 u ；+ 3 遁+ + 3 u 知一l + 2 u i ，+ ( 一j 一1 ) 谚+ 嵋+ 碍+ + u ；， j = 1j = 3j = 4 一1 = 2 u i + 3 遁+ + 3 u 知一l + 2 u 知+ ( 一2 ) u i + ( 一3 ) 田+ ( 一2 ) 碍 j = 2 = ( u i + + 碍) ， 因此0 a 0 、丙即有0 a 0 = 口 方程( 2 2 ) 在坐标变换( 2 5 ) 下变为文= 厂( x ，t ) ，相应的时间t 映射为卢= a p 在新坐标系下，偏序定义如下：若u v ，则称x = 以u y = a v ；若u o 使得j i c ，j = 2 ， 在x 一坐标下，限制水平曲线x ( s ) = ( z - ( s ) ，z ( s ) ) t 有下面的性质 z l ( s + r ) = z l ( s ) + ：叼( s + 7 - ) = ( s ) ，j = 2 ， 且若s 1 s 2 ，有z 1 ( s 1 ) $ l ( s 2 ) 因此z 1 = z 1 ( s ) 是严格增函数，从而存在反函数 s = s ( z - ) 这样x 一坐标系下的限制水平曲线可表为 z 1 = z 1 ，吻= 町( s ( z 1 ) ) = b 一1 0 1 ) ，歹= 2 ， 其中吻为周期函数：吻( z 1 + ) = b ( z 1 ) 从这些分析可以知道x 一坐标系下的限制 水平曲线实际上是由一1 个周期函数决定的令 咒= 日= ( ，l l ， 一1 ) i 吻：r _ r 是连续的且以为周期，j = 1 ，一1 ) 则7 l f 是在范数 2 视似( z ) + ”叶碍一- ( z ) 下的b 缸a c h 空间 现在后内的任一条限制水平曲线都对应于7 l f 中的某一元素令细表示日咒所 对应的图像，即幻= ( z l ，日( z 1 ) ) l $ 1 r ) 引理2 1 4 令幻为限制水平曲线，则日是l i p s c h i t z 连续的 证明： 对任意z l 玑，存在两点x ；( 。l ，日( z 1 ) ) ，y = ( 拶l ，日( 1 ) ) 幻令u = ( t l ，t ) t = a 一1 x ，v = ( 郇l ，柳) t = a 一1 y 因a 一1 在u 一坐标系下是限制水平曲 线，由z 1 y 1 我们有u v ，即有坳叼，j = l ，从而推得 i v u i = ( u 1 一u 1 ) 2 + + ( 咐一u ) 2 ( 可l u l + + 蚋一t 正j 、r ) 2 = i 暑，1 一z l l 2 进一步有 日( z 1 ) 一日( 可1 ) 1 2 = i x y 1 2 一l z l 一可1 1 2 i a ( u v ) 1 2 一i u v 1 2 ( i i a 0 2 1 ) i u v 1 2s ( 0 a 0 2 1 ) i z l 一可1 1 2 ， 1 6 类耦合振子系的约化与欠阻尼f _ k 模型行波解的稳定性 第二章类耦合振子系的约化 由引理2 1 2 知，日是l i p s c h j t z 连续的且l i p s c h i t z 常数为l i p h 撕r = 1 口 令 n = 日咒i 结为衲的限制水平曲线) 由引理2 1 1 ，2 1 3 知矽将后内的限制水平曲线映为百内的限制水平曲线因此我们 可以定义尹在q 上的诱导映射p 使得z 卢日= 声丁结从而有p ( q ) c q 有了上面的讨论，我们就可以用a 船e l a - 舡c o l i 定理及s c h a u d e r 不动点定理【2 9 】来 证明声t 在q 内存在不动点，从而有不变限制水平曲线的存在性 命题2 1 5 ( a r z e l 扣舡c o l i 定理) 给定a 叫a ，6 】则a 在c 【口，6 】中列紧的充要条件是a 一致有界且等度连续 命题2 1 6 ( s c h a u d e r 不动点定理) 设僻，| i 0 ) 为b a n 础空间，kcx 为闭凸子集， t ：k k 连续且t ( ) 列紧，则t 在k 中必有个不动点 定理2 1 7 系统( 2 2 ) 的p o i n c a 硝映射p t 在b 内存在一条不变限制水平曲线 证明：我们只要证明j 泞在q 内有一不动点即可因日三o q ，故q 非空因为 舀是闭凸集，故q 也是闭凸集因为p t 是连续的，所以p 也是连续的为了应用 s c h a u d e r 不动点定理，我们要证明q 是列紧的首先，由引理2 1 3 我们知道q 是一 致有界的其次，由引理2 1 4 我们知道q 是等度连续的，因为l i p s c h i t z 常数是独立于 日q 的从而由a r z e l 扣舡c o l i 定理知q 列紧由s c h