（一般力学与力学基础专业论文）碰撞振动系统的对称性与分岔.pdf

西南交通大学硕士研究生学位论文 第l 页 摘要 本文主要研究了碰撞振动系统的对称型周期n 一2 运动及其p o i n c a r 6 映射 的对称性。对于单自由度双面碰撞振子，通过分析p o i n c a r 6 映射的对称性， 证明了不动点不存在一l 的特征根。数值模拟表明单自由度双面碰撞振子的不 动点只存在音叉分龠，而两自由度碰撞振动系统的对称型周期n 一2 运动可能 存在音叉分岔以及h o p f 分岔。 第一章综述了碰撞振动系统的稳定性、分岔以及混沌研究的部分成果和 最新发展动态，同时介绍了本文的研究内容和主要结果。 第二章讨论了一类单自由度双面碰撞振予的对称型周期n 2 运动及其 p o i n c a r 6 映射的线性化矩阵，通过分析系统的对称性证明了p o i n c a r 6 映射在不 动点处的线性化矩阵不存在l 的特征根。数值模拟表明：单自由度双面碰撞 振子的不动点只可能存在音叉分岔；对称的不动点通过音叉分翁形成两个反 对称的不动点，并且有相同的稳定性。它们各自均能产生一个同步的周期倍 化序列，并形成两个反对称的混沌吸引子。 第三章分析了一类两自由度碰撞振动系统的周期运动，并通过计算 p o i n c a r 6 映射的线性化矩阵，确定周期运动的稳定性。分析表明，在一定的 参数条件下系统存在周期倍化分岔和h o p f 分岔，并通过数值模拟方法得到 了以p o i n c a r d 截面上的不变圈表示的拟周期响应。简明地讨论了系统通向混 沌的道路。 第四章讨论了一类两自由度碰撞振动系统的对称型周期n - 2 运动及其 p o i n e a r 6 映射的线性化矩阵，并分析了系统的p o i n c a r 6 映射的对称性。数值模 拟表明两自由度碰撞振动系统的不动点可能存在音叉分岔以及h o p f 分岔。当 p o i n c a r 6 映射的线性化矩阵有一个实特征值从实轴穿越单位圆时，对称的不 动点通过音又分岔形成两个反对称的不动点，并且有相同的稳定性。随着系 统参数的连续变化，两个反对称的不动点将会分别产生两个同步的分岔序列。 关键词：碰撞振动，周期运动，p o i n e a r 6 映射，对称性，音叉分翁 西南交通大学硕士研究生学位论文 第1 | 页 a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t o nm a i n l y p r e s e n t sas t u d yo n t h es y m m e t r i cp e r i o dn 一2m o t i o n a n dt h es y m m e t r yo ft h ep o i n c a r m a po ft h ev i b r o i m p a c ts y s t e m i ti sp r o v e d t h a t - le o u l d n tb et h ee i g e n v a l u eo fj a c o b i a nm a t r i xo fp o i n c a r f im a pa tf i x e d p o i n tb y t h e a n a l y s i s o ft h e s y m m e t r y o f p o i n c a r 6 m a p f o r o n e - d e g r e e o f - f r e e d o mi m p a c to s c i l l a t o r al a r g en u m b e r o fn u m e r i c a ls i m u l a t i o n s h o w st h a t o n e d e g r e e - o f - f r e e d o mi m p a c t o s c i l l a t o rb e t w e e nt w or i g i ds i d e s c o u l d o n l y h a v e p i t c h f o r k b i f u r c a t i o n s ，w h i l e t h e t w o d e g r e e o f - f r e e d o m v i b r o i m p a c ts y s t e mc o u l d h a v e p i t c h f o r kb i f u r c a t i o n sa n dh o p f b i f u r c a t i o n s c h a p t e r1s u r v e y ss o m er e c e n ta c h i e v e m e n t sa n dd e v e l o p m e n t so f t h es t u d y o nt h es t a b i l i t y , b i f u r c a t i o na n dc h a o so f v i b r o - i m p a c ts y s t e m t h em a i nc o n t e n t s a n dr e s u l t so ft h ed i s s e r t a t i o na r ei n t r o d u c e da tt h es a m et i m e i nc h a p t e r2 ，a no n e d e g r e e o f - f r e e d o mi m p a c to s c i l l a t o rb e t w e e nt w or i g i d s i d e si sc o n s i d e r e d t h es y m m e t r i cp e r i o dn 一2m o t i o na n di t sp o i n c a r m a pa r e d e r i v e da n a l y t i c a l l y i ti sp r o v e dt h a t - 1c o u l d n tb et h ee i g e n v a l u eo fj a c o b i a n m a t r i xo fp o i n c a r 6m a pa tf i x e dp o i n tb yt h ea n a l y s i so ft h es y m m e t r yo ft h e s y s t e m t h en u m e r i c a ls i m u l a t i o ns h o w st h a tt h eo n e - d e g r e e o f - f r e e d o mi m p a c t o s c i l l a t o rb e t w e e nt w o r i g i d s i d e sc o u l d o n l y h a v e p i t c h f o r k b i f u r c a t i o n s s y m m e t r i cf i x e dp o i n tc o u l db et r a n s f o r m e di n t o t w oa n t i s y m m e t r i c a lf i x e d p o i n t s v i ap i t c h f o r kb i f u r c a t i o n s ，a n dt h e yh a v et h es a m es t a b i l i t y t h e yg i v e b i r t ht ot w o s y n c h r o n o u sp e r i o d d o u b l i n gs e q u e n c i e sr e s p e c t i v e l y ，a n db r i n g a b o u tt w o a n t i s y m m e t r i c a lc h a o t i ca t t r a c t o r sb yt h e m s e l v e s c h a p t e r 3 i n v e s t i g a t e s t h e p e r i o d i c m o t i o na n dp o i n c a r 6 m a p s o fa t w o d e g r e e o f - f r e e d o mv i b r o i m p a c ts y s t e m t h es t a b i l i t yo f t h ep e r i o d i cm o t i o n i sd e t e r m i n e db yt h ee i g e n v a l u e so ft h ej a c o b i a nm a t r i x i ti ss h o w nt h a tt h e r e e x i s t h o p fb i f u r c a t i o n s a n dp e r i o d - - d o u b l i n gb i f u r c a t i o n si nt h e v i b r o - i m p a c t s y s t e mu n d e rs u i t a b l es y s t e mp a r a m e t e r s t h eq u a s i - p e r i o d i cr e s p o n s e so ft h e 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 il 页 s y s t e mr e p r e s e n t e db yi n v a r i a n tc i r c l e s i nt h ep r o j e c t e dp o i n c a r ds e c t i o na r e o b t a i n e db yn u m e r i c a ls i m u l a t i o n s ，a n dr o u t e st oc h a o sa r ed e s c r i b e db r i e f l y i nc h a p t e r4 , at w o d e g r e e o f - f r e e d o mv i b r o i m p a c ts y s t e mi sc o n s i d e r e d t h e s y m m e t r i cp e r i o dn - 2m o t i o na n dt h ep o i n c a r dm a po ft h es y s t e ma r ed e r i v e d a n a l y t i c a l l y , a n dt h es y m m e t r yo f t h ep o i n c a r 6m a po ft h es y s t e mi ss t u d i e d t h e n u m e r i c a ls i m u l a t i o ns h o w st h a tt h et w o d e g r e e o f - f r e e d o mv i b r o i m p a c ts y s t e m c o u l dh a v ep i t c h f o r kb i f u r c a t i o n sa n d h o p f b i f u r c a t i o n s i ft h ej a c o b i a nm a t r i xo f t h ep o i n c a r dm a ph a sar e a l e i g e n v a l u ec r o s s i n gt h eu n i t c i r c l ef r o mt h er e a l a x i s ，t h es y m m e t r i c a lf i x e dp o i n tc o u l db et r a n s f o r m e di n t ot w oa n t i s y m m e t r i c f i x e d p o i n t s v i a p i t c h f o r k b i f u r c a t i o n s ，a n d b o t ho ft h e mh a v et h es a m e s t a b i l i t y t h et w oa n t i s y m m e t r i cf i x e dp o i n t sw i l lg i v eb i r t ht ot w os y n c h r o n o u s b i f u r c a t i o ns e q u e n c i e s r e s p e c t i v e l y w h i l et h ep a r a m e t e ro ft h e s y s t e mc h a n g e c o n t i n u o u s l y k e yw o r d s ：v i b r o i m p a c t ，p e r i o d i cm o t i o n ，p o i n c a r dm a p ，s y m m e t r y ，p i t c h f o r k b i f u r c a t i o n 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 1 1 国内外研究现状 第1 章绪论 对于构件之间具有一定微小问隙的碰撞振动系统的研究，具有广泛的实 际意义。由于各种因素，这些机械内部零部件之间的间隙存在是难以避免的， 当运动部件的振幅超出相应的临界值时，就造成相互碰撞，构成了强非线性 振动系统。一方面，由于碰撞会给系统的正常运行带来较大的危害，因此较 多的机械系统在设计时要尽可能地避免强烈的碰撞行为，例如：在汽轮发电 机组以及其它类似的高速旋转机械中，转子与定子之间的碰撞摩擦行为，高 速铁路列车车轮与轨道之间的互相作用等。另一方面，许多机械系统正是利 用了内部零部件之间的碰撞振动来达到一定的目的，例如广泛存在于实际工 程领域中的离心式脱水机。 含间隙的碰撞振动系统一般均为多参数系统，参数的变化将会引起系统 的动力学行为的本质变化，其重要特征就是各种分岔以及混沌现象的出现。 由于碰撞的存在，系统具有明显的不连续性和强非线性的特征，因而动力学 性质的变化也往往具有突变性。为达到预期的工作目的，并更好地进行优化 设计，迫切需要人们对实际工程领域中的带有间隙的碰撞振动系统的动力学 行为进行更深入以及更全面的研究。 碰撞过程是一个很复杂的过程，与物体接触瞬时的相对速度、接触面的 形状、接触时间以及接触部位的局部塑性变形等因素密切相关。人们一般采 用以下三种模型来描述碰撞过程的作用机理。第一种是瞬时冲击模型：假设 碰撞或冲击是一个瞬时过程，经历的时间为零，只考虑碰撞过程的能量损失， 并通过使用恢复系数的概念，直接得到碰撞前后的速度之间的关系；第二种 是分段线性模型：通过考虑碰撞过程接触力的大小变化和接触时间来描述碰 撞的压缩和恢复过程；第三种模型较好地考虑了碰撞过程的局部变形：用 h e r t z 接触理论来描述接触力。第三种模型虽能较好地反映接触力的变化情 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 页 况，但由于其表达式为非线性的形式，因而给理论分析带来了很大的困难a 基于以上原因，目前对碰撞振动问题的研究大多数采用瞬时冲击模型或分段 线性模型【2 4 1 。 人们对碰撞振动系统的早期研究主要是以冲击消振器为背景，所采用的 模型是具有刚性约束的单自由度系统。文 5 1 0 】对对各种类型的单自由度双 面冲击消振器的对称周期运动、非对称周期运动及其稳定性进行了研究。以 冲击消振器为背景的碰撞振动系统的周期运动的确定和稳定性方面的研究， 代表了2 0 世纪中期碰撞振动领域的主要研究成果。另外一类典型的碰撞振动 系统是以振动落砂机为背景的。舒仲周等在文 1 1 】中研究了两类冲击式振动 落砂机的力学模型，得到了周期解的存在性条件和稳定性判据。文 1 2 1 提出 了如何使双质体碰撞振动系统在满足一定条件下能自动隔振。文 1 3 一l5 】进一 步研究了任意多串联以及串并混合联结的质体在多个正弦激励下碰撞振动的 一般情况，提出了稳定和振动的统一解法。以上关于碰撞振动系统的研究所 采用的均是瞬时碰撞模型。 h o l m e s 和s h a w 等人首先采用现代动力系统理论来研究碰撞振动系统的 动力学行为。h o l m e s 在文【1 6 中针对弹跳小球问题的一个简化数学模型，证 明了系统的周期运动存在倍化序列，并且当振动台的振幅达到一定值时，存 在s m a l e 马蹄。s h a w 在文 1 7 1 9 中研究了在简谐激励下有单侧约束的单自由 度振予的周期运动的局部分翁、非周期运动以及混沌运动。 近年来，碰撞振动系统中的复杂运动研究已成为非线性动力学研究中嗣 益活跃的分支，研究的重点也由单自由度系统转向多自由度以及连续系统， 由周期解的存在条件和稳定性转向分岔和混池方面的研究。文【2 0 】推广了无 冲击自治动力系统的拓扑理论，得出碰撞振动系统存在混沌的必要条件是存 在非周期的回复运动。n a t s i a v a s 在文【2 1 】中用接缝法证明了单自由度分段线 性振子的周期运动不可能发生h o p f 分岔。b u d d t 2 2 1 等证明了单自由度弹簧振 子在简谐激励作用下的碰撞振动模型当碰撞恢复系数小于l 时不存在h o p f 分岔。文【2 3 】证明了冲击式振动落砂机的周期运动不存在h o p f 分岔。文 2 4 1 运用p o i n c a r 6 映射以及中心流形一范式理论，建立了碰撞振动系统分俞研究 的方法。文 2 5 】研究了一类单自由度碰撞振动系统在一种余维二情况下的周 期1 1 运动和周期2 2 运动的h o p f 分岔。文2 6 2 7 用中心流形一范式理论分 析并数值验证了惯性冲击落砂机在适当条件下存在h o p f 分岔。文 2 8 n 用 s c h u r - c o h n 稳定性理论给出了两自由度碰撞振动系统的分岔参数临界值的判 西南交通大学硕士研究生学位论文 第3 页 定准则。罗冠炜、谢建华在文 2 9 3 0 中研究了两自由度碰撞振动系统弱共振、 强共振的单参数h o p f 分岔与次谐分岔问题，并在文【3 l 】中进一步研究了3 阶、 4 阶强共振条件下的h o p f 分岔与次谐分信。文 3 2 ，3 3 分别研究了单、双自 由度碰撞振动系统在完全塑性碰撞时的全局动力学，证明了系统存在周期倍 化分岔，但倍化序列不存在。文3 4 主要研究了退化h o p f 分岔与一种余维二 分俞。在此基础上，文f 3 5 ，3 6 1 研究了碰撞振动系统的j a c o b i 矩阵有两重一1 的特征值时的余维二分岔。文 3 7 1 研究了两自由度碰撞振动系统由周期倍化 分岔以及拟周期分岔通向混沌的非典型的演化路径。文 3 8 1 通过建立三自由 度碰撞振动系统的p o i n c a r 6 映射，研究了两对共轭复特征值同时穿越单位圆 时的余维二分岔。文f 3 9 1 研究了两自由度碰撞振动系统同时满足h o p f 分岔和 f l i p 分贫条件时拟周期分龠和倍化分岔的相互作用，并给出了系统的局部动 力学行为的两参数开折，证明系统存在周期l 点的h o p f 分岔、倍化分岔以 及周期2 点的h o p f 分岔或不变圈的倍化分岔。 陆启韶、李群宏 4 0 1 研究了由两个振子对碰构成的碰撞振动系统，给出了 周期解的存在性、稳定性和共存性的结果。张彦梅、陆启韶、李群宏在文献 【4 1 】中进一步研究了同一模型亚谐周期运动的存在性。文【4 3 1 研究了一类双面 冲击振子对称型n 一2 运动的存在性、稳定性与分贫问题，结果表明该模型存 在鞍结分岔、倍化分岔等分岔现象。文 4 4 】、 4 5 研究了一类二自由度碰撞振 动系统以及一类具有对称性的双面刚性约束的二自由度碰撞振动系统，结果 表明后者由于存在音叉分岔，将会展示出比前者更复杂的动力学行为。文 4 6 】 研究了具有两个对称性约束的非光滑动力系统的对称性。文 5 3 考虑了一类 以非线性常微分方程描述的对称的强迫振子，当改变个物理参数时，其解 可能在一个分俞点处失去或获得对称性。文 5 4 】在瞬时斜向碰撞假设的基础 之上，分析了一类两自由度斜向碰撞振动系统的周期运动的存在性和稳定性， 并在一些简化的情况下推导出一系列的解析解。文【5 5 】研究了粗糙路面上行 驶的车辆中的乘客的周期碰撞运动，分析了在个地面运动周期的历程中， 分别关于左右壁的两次碰撞的周期1 运动的稳定性和分岔。 1 2 本文研究内容及主要结果 第二章考虑如图l - 1 所示的单自由度双面碰撞振子的力学模型【4 2 1 ：质量 西南交通大学硕士研究生学位论文第4 页 块m 以x 。= x 。s i n ( c o t + f ) 的规律作强迫振动；质量块m ，上有左右两块固定挡 板，质量块m ，在左右两块固定挡板之间来回运动。取质量块m ，的坐标系以及 质量块m ，的坐标系如图所示，坐标原点均在两块固定挡板的中点处。质量块 m ，与质量块m ，之间的阻尼为线性阻尼，阻尼系数为c 。质量块川，与左右两块 固定挡板的碰撞恢复系数为，。研究了单自由度双面碰撞振子的对称型周期 n 一2 运动及其p o i n c a r 6 映射的线性化矩阵，证明了系统的p o i n c a r 6 映射在不 动点处的线性化矩阵不存在一1 的特征根。数值模拟表明：单自由度双面碰撞 振子的不动点只可能存在音叉分岔；对称的不动点通过音叉分葫形成两个反 对称的不动点，并且有相同的稳定性。它们各自均能产生一个周期倍化序列， 并形成两个反对称的混沌吸引子。 图卜1 单自由度碰撞振子( 模型卜1 ) 第三章考虑图1 2 所示的一类二自由度碰撞振动系统的力学模型m4 ”。 其中两个质量块分别通过两个刚度为k 和k ，的线性弹簧与刚性平面相连， 阻尼器的阻尼系数分别为c 1 和c ：两质量块上分别加幅值为只和只的简谐 激振力。在两弹簧处于自然位置时，两质块之间间距为b ，碰撞过程的恢复 系数为r 。假定水平支持面为光滑的平面。分析了阻尼对此模型周期运动的 存在性与稳定性的影响。并通过数值模拟方法，进一步研究了周期运动的倍 化分岔与h o p f 分岔现象，得到了分别以p o i n c a r 6 截面上周期2 轨道和不变圈 表示的次谐响应和拟周期响应。最后简明地讨论了系统由拟周期分彷通向混 沌的道路。 第四章研究了图1 3 所示的一类二自由度碰撞振动系统的力学模型【4 2 l 。 其中两个质量块分别通过两个刚度为k 和足，的线性弹簧与刚性平面相连， 阻尼器的阻尼系数分别为c 1 和c 2 ( 假设阻尼为线性阻尼) ：两振子上分别作 西南交通大学硕士研究生学位论文 第5 页 用幅值为只和只的简谐激振力。在两弹簧处于自然位置时，质块m ：与质块 吖的左右挡板之间间距均为口，碰撞过程的恢复系数为r 。假定水平支持面 为光滑的平面，质块肘与水平支持面以及质块m ：与质块m ，之间的摩擦力均 忽略不计。讨论了两自由度碰撞振动系统的对称型周期n 一2 运动及其p o i n c a r e 映射的线性化矩阵，并分析了系统的p o i n c a r 6 映射的对称性。数值模拟表明 两自由度碰撞振动系统的不动点可能存在音叉分岔以及h o p f 分翁。当 p o i n c a r 6 映射的线性化矩阵有个实特征值从实轴穿越单位圆时，对称的不 动点将会通过音叉分岔形成两个反对称的不动点并且有相同的稳定性。随 着系统参数的连续变化，两个反对称的不动点将会分别产生两个同步的分岔 序列。 嘲 阻 图1 2 两自由度碰撞振动系统( 模型1 2 ) 牡 图1 3 对称型两自由度碰撞振动系统( 模型1 3 ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第6 页 第2 章一类单自由度双面碰撞振子的 对称性与全局分岔 2 1 单自由度碰撞振动系统的力学模型和运动微分方程 考虑如图2 1 所示的单自由度双面碰撞振子的模型：质量块以 x 。= s i n ( c o t - 4 - f ) 的规律作强迫振动：质量块肼，上有左右两块固定挡板，质 量块聊：在左右两块固定挡板之间来回运动。取质量块m ，的坐标以及质量块 的位移坐标如图所示，初始位置均在两块固定挡板的中点处，此时质量块 聊：与左右两块固定挡板的距离均为6 。质量块肌，与质量块m 之间的阻尼为 线性阻尼，阻尼系数为c ，质量块卅，与左右两块固定挡板的碰撞恢复系数为 图2 - 1 碰撞振子的力学模型 质量块m ：的绝对运动微分方程为 ，”2 i 2 + c ( j 2 一量1 ) = 0 ( 2 一1 ) 取质量块胁：与质量块之间m 的位移之差为相对坐标，即：x = z ：一x 西南交通大学硕士研究生学位论文第7 页 则 x 2 = x + 工】= x + x os i n ( c o t + f ) ( 2 2 ) 把( 2 - 2 ) 式代入( 2 - 1 ) 式，并令f = 三，得到质量块m ：的相对运动 2 微分方程： 王+ 雾= 出2 x 。s i n ( c o t + f ) ( 2 3 ) 根据恢复系数的定义，碰撞前后质量块m ，与质量块m 。之间的相对速度满 足以下方程： 主+ = 一麻一 ( 2 4 ) 式中i 一、t + 分别表示碰撞前以及碰撞后的瞬时速度。 在质量块m ，与右档板发生碰撞的瞬时，相对坐标应满足以下关系式： x = b( 2 - 5 ) 在质量块埘，与左档板发生碰撞的瞬时，相对坐标应满足以下关系式： x = - b ( 2 6 ) 2 2 对称型周期n - 2 运动 相对运动微分方程( 2 - 3 ) 的通解可以写成： x = a + b e 一”+ e c o s ( c o t + f 1 + f s i n ( t + f 1 ( 2 - 7 ) 相对速度的表达式为 j = 一b 乒一9 一e c o s i n ( c o t + f ) + f a c o s ( r _ o t + f ) ( 2 - 8 ) 以上两式中，爿、占为由系统的初始条件所决定的积分常数：e 、，为振幅 常数； e ：一皂 功2 + f 2 f ：一竺：当 脚2 + f 2 ( 2 - 9 ) 假定质量块掰：先与右边档板碰撞，并令此时为时间坐标原点( t o = o ) ， 碰撞时的相对位移以及碰撞后的瞬时速度分别为x ( 0 ) ( x ( o ) = 6 ) 、膏( 0 ) 。然后 西南交通大学硕士研究生学位论文第8 页 经历半个激励力周期后( f ：一 t 7 t ) ，与左边档板碰撞，此时的相对位移为 +02 x ( f 。) ( x ( f 1 ) = 一b ) ，碰撞前后的瞬时速度分别为贾一( ，) 、主+ ( r ) ，并有 七+ ( f ) = 一量+ ( o ) ：再经历半个激励力周期后( f 2 ：兰堡) ，与右边档板碰撞，此 甜 时的相对位移为x ( 如) ( x ( t 。) = b ) ，碰撞前后的瞬时速度分别为j 一( f 。) 、j + ( 岛) ， 并有膏+ ( ，：) = 量+ ( 0 ) 。如此循环这个周期运动称为对称型周期n 一2 运动。 引理1 如果存在初值f 。、量+ ( 0 ) = v 。，使( 2 - 7 ) 、( 2 - 8 ) 式定义在 0 f ( t ，= 竺) 之间的解满足： x ( 0 ) = 6 ，童+ ( 0 ) = v 。 x ( t 1 ) ：一6 ，i 一( f 1 ) ：鱼 r x ( f ) l 6 ，f 【o ，f l 】 则系统的对称型周期n 一2 运动存在，并可以写为 z ( f ) = ( 2 一l o ) x ( f ) ，o 蔓f 竖 0 9 ( 2 - i 1 ) 一z ( 卜n x ) ，n r ，丝 、 并满足：x ( f 1 ) = 一b ，i + ( ，1 ) = 一v o ；x ( 1 2 ) = b ，主+ ( f2 ) = v o 。 证明假设，l 坚，垒坚l 。在相对运动微分方程的解( 2 7 ) 式中，把，用 l f - o j f 一竺代换，然后代入( 2 1 1 ) 式中的第二式；再对所得到的式子求一阶和 国 二阶导数，得到速度和加速度的表达式。然后代入相对运动微分方程( 2 - 3 ) 式中经过运算，可以证明相对运动微分方程( 2 - 3 ) 式是满足的。因此( 2 一1 1 ) 式是相对运动微分方程( 2 3 ) 的解。此外可以验证 x ( f 1 ) ：一x ( n x ) = 一x ( o ) ：一b ，量+ ( r 。) ：一岩+ ( ! 互) = 一膏+ ( 0 ) ：一v 。 国脚 x ( f ：) 一x ( 2 n x ) ：一x ( 竺) ：b i + ( ，：) ：一膏+ ( 丝) ：一i ( 竺) ：v 。 ( 引理证毕。) 西南交通大学硕士研究生学位论文第9 页 对于系统的对称型周期n 一2 运动，在半个激励力周期发生碰撞后，碰撞 过程并没有改变周期解的形式，只是改变了周期解的积分常数。因此，在这 里，为了数值模拟的方便，并不按照( 2 - 1 1 ) 式来写出周期解，而是按照以 下的形式给出周期解： 根据系统的对称型周期n 一2 运动所应该满足的条件( 2 - 9 ) 式，可以列出 以下方程： z ( o ) = b x ( t ，) = 一b ( 2 - 1 3 ) 量+ ( 0 ) = 村一( t 1 ) i 把( 2 一1 2 ) 式中的第一式代入( 2 1 3 ) 式，可以解出前半个周期的积分 常数_ 、丑以及初相位f 。： = t o ：2 t a n1 ( p + 4 p 2 + q2 _ h 2 ) 盯- i - h 4 ：! ! 型鱼! 垒二塑 1 一e p b ：= 2 ( - e c o - f s o + b ) 1 一p p 式中：p ，= p 一i ，s 。= s i n 。，c 。= c 。s r 。，厅= 2 ( ，p p 一1 ) ( 2 一1 4 ) p = e c o ( 1 一e p ) ( 1 + r ) + 2 ( f ( r e p 一1 ) ，q = 一f 0 9 ( 1 8 p ) ( 1 + ，) + 2 e ( r p p 1 ) 。 为了计算p o i n c a r 6 映射的线性化矩阵以及数值模拟的需要，下面把积分 常数表示为依赖于初值、如+ 以及初相位“的表达式： 4 = m c o + l s o + 白o + x o + ) 艿： ( f 凹。一e 蜘。一i 。+ ) 与 ( 2 一1 5 ) 丝哮 鲥 珐 吐 甜篇 力 甜 她 【耋 + e 呻 一f 恤 邶 m “ 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 0 页 式中 m = 一( e f + ，1 ) ，1 = 一f f + e c o 。 2 3p oin c a r 6 映射的对称性和周期运动的稳定性 2 3 1p oin c a r 6 映射及其对称性 2 3 ，1 1 相对运动微分方程的范式 即 相对运动微分方程( 2 3 ) 可以写为以下的形式 其中x = ( x ，y ) 7 1 ，并且有 则( 2 - 4 ) 式可以写为 x = f ( x ，f ) f ( x ，r + 丝) ：f ( x ，f ) 0 , 1 y 。= 一r y ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 18 ) ( 2 1 9 ) 其中y 一= 膏一，y + = 量+ 分别表示两质量块碰撞前和碰撞后的瞬时相对速度。 23 1 2 相空间、p o i n c a re ! 截面与对称性 单自由度碰撞振动系统的相空间为： r 2 s 1 = k x , y ，f ) l ( z ，y ) r 2 , f s 若把p o i n c a r t 5 截面取为： l - i ，= ( x ，y ，t ) l x = b 则存在一个与p o i n c a r 6 截面对称的截面 1 7 ：= ( x ，y ，o x = 一b ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) 、l，j ) r+甜 ( ns 0 x甜+ 痧 y 一 = i i xy 西南交通大学硕士研究生学位论文第11 页 以及一个对称变换r ：r2 s 1o r 2 s 1 ： r ( x ，y ，r ) = ( 一茁，一y ，f + ! 互) ( 以为奇数) ( 2 2 3 ) 由于，s ，显然 r2 = ， r 2 - 2 4 ) 并且有 r丌：1=叽1-2(2-25)r丌：= 兀f 记x = ( x ，弘f ) ，根据( 2 - 2 3 ) 式、( 2 - 1 6 ) 式以及( 2 1 7 ) 式，则有 r f ( x ) = f ( e x l ( 2 - 2 6 ) 引理2 如果设x ( x 。，f ) 是方程( 2 1 6 ) 从初始点x o = ( 6 ，y 。，) 丌。出发之正 解，x ( x l 。f + u n ，r c ，v j 一、2 一1 6 ) 从初始点x l = ( 一6 ，- y o , f o + 竺) ：r x 。1 7 2 出 w 叫 发之正解，则 x ( x l ，h 坚) = 删( 凰，) ( 2 2 7 ) 即 ( 删。，f 。+ a t + 竺) = j l v c ( x 。，f 。+ ，)( 2 2 8 ) 证明：根据( 2 2 6 ) 式，有： 口d f r x ( x 。，) = r j c ( x 。，f ) = r f ( x ( x 。，) ) = f ( r x ( x 。，) ) 可知r x ( x 。，) 也是方程( 2 一1 6 ) 的解。 又因为 肼( 托，f o + 叫= 置= ( - b ，一y 。，。+ 竺) 由解的唯一性，可知( 2 - 2 7 ) 式或( 2 - 2 8 ) 式成立。 2 3 ，1 3 p o i n c a r e 映射及其对称性 西南交通大学硕士研究生学位论文 第12 页 设a t 是从凰兀l 出发之正解达到1 i2 所需的时间，而a t 2 是从x i 1 - i2 出 发之正解达到f i 。所需的时问，即f 1 ，a t ：分别是下两方程最小之f 根： x ( x o ，o + f i ) = - b ( 2 - 2 9 ) x ( x l ，l + 出2 ) = b ( 2 - 3 0 ) 其中 r x o = l ( 2 3 1 ) 那么根据( 2 - 2 9 ) 、( 2 - 3 0 ) 两式， ，扯，可以分别表示为依赖于坐标 值( y 。，。) 以及( y 。，1 ) 的函数： 出1 - i ( 。) l ( 2 - 3 2 ) a t 2 = a t 2 ( y i ，f 1 ) j 根据( 2 2 9 ) 式，并考虑( 2 2 8 ) 式中的第一个分量，有： 舣( 鼻o ，“+ 出1 ) = x ( x l ，t l + a t i ) = b ( 2 - 3 3 ) 对比( 2 - 3 0 ) 和( 2 - 3 3 ) 两式，可知： a t 2 ( y 1 ， ) = a t l ( y o ，t o ) ( 2 3 4 ) 其中x 。= ( b ，y 0t o ) f i l ，并属于函数a t l = a t 。( y 。，l o ) 的定义域。 定义映射q l ：丌。h 兀：，q ：n ：h 兀。( q 表示相点由截面n ，出发达到 兀：，并发生一次跳跃所对应的映射，即e 呻f g ；q 2 表示相点由截面兀： 出发达到兀，并发生一次跳跃所对应的映射，即g 斗h 寸，。其中跳跃分 别对应一次碰撞) 。以下把扎= ( y 。，t 。) 以及x 。= ( y l ，f ) 分别作为p o i n c a r 6 截 面兀，及其对称截面兀，上的映射点的两维坐标表示式。则系统的p o i n c a r 6 映 射为： p = 0 2 。9 l ( p ：兀lh 1 - 1 1 ) ( 2 - 3 5 ) 图2 - 2p o i n c a r 6 映射 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 3 页 其中q l ：x o 斗x 】。映射点x 。( y 。，b ) 和x 1 ( y i ， ) 的坐标满足： 篝=-r+y(x。o,to+t a t ( m o d 够 池，s ， r l = o + 【 2 1 ) i 以及q 2 ：l _ x 2 。映射点x l ( j ，i ，f 1 ) 和x 2 = ( y 2 ，r 2 ) n ，的坐标满足： y 2 三麓i , t l + ：a 力t = ) ( m o d 协， r 2 = ，i + ，2 o 形) f 引理3 若r 在h ：u 兀。上限制映射仍记为r ，则系统的p o i n c a r e 映射具有以下 形式的对称性： 足。q 1 = q 2 。r( 2 3 8 ) 证明：对任何x o = ( 6 ，y o ，b ) n ，由( 2 - 3 6 ) 式，考虑( 2 - 2 8 ) 式，有： r 。q l ( x o ) = 月( 一r y ( x o ，f o + a t l ) ，f o + a t i ) = ( - r y ( x l ，f 。+ 等+ a t l ) ，f 0 + a t l + 竺) 国 根据( 2 - 3 7 ) 式，并考虑( 2 - 3 4 ) 式，有： g 。月( 以) = 易( 鼻。) = ( - r y ( x 1 ，。+ 等+ a t 2 ) ，“+ 竺+ f 2 ) = r o q ( x 。) 引理3 证毕。 ( 2 3 8 ) 式可以写为以下的形式： q 2 = r 。q l 。r “ ( 2 - 3 9 ) 记映射 绞= 。q ( 2 - 4 0 ) 那么系统的p o i n c a r 6 映射 p ；q ：。q l = r 。q l 。r 。q 。= 月。( r 。r - i ) 。q 。r 。q 。= r2 。( r 。q ) 2 = q ： ( 2 4 1 ) 2 3 2 对称与反对称的周期运动及其稳定性 西南交通大学硕士研究生学位论文第14 页 2 3 2 1 对称的周期运动 单自由度碰撞振动系统的周期运动对应于p o i n c a r 6 映射的不动点z 。，周 期运动的稳定性问题转化为p o i n c a r 6 映射的线性化矩阵在不动点x 。= ( 乩，t 。) 处的特征值问题。 对称不动点x o 满足： x 。= ( r 。q 1 ) ( x 。) ( 2 4 2 ) 根据复合函数求导的链式法则，可以得到p o i n c a r 6 映射的线性化矩阵： d p ( x 。) = d ( r 。q i ) l 一。曲( d ( r 。q i ) ( x 。) = ( d ( r 。q i ) ( x 。) ) 2 = 爿2 ( 2 - 4 3 ) 式中a = d ( r 。q 1 ) ( 。) 。 如果五是矩阵a 的特征值，那么五2 必为矩阵爿2 特征值。根据行列式关 系p2 _ 2 2 1 1 = i a - 2 1 j - a + a l f ，可作以下讨论：( i ) 若士五为实数，因此矩阵彳2 的特征值不可能是一l ，此时系统不会在不动点附近出现周期倍化分龠；( i i ) 若 为复数，因为川= 1 时，l l = 1 ，所以h c - p f 分岔的条件可根据矩阵a 的 特征值来确定。综上所述，由于本文讨论的模型属于单自由度系统，不可能 出现h o p f 分岔，因此只对应于情况( i ) ，即：对称不动点不可能出现h o p f 分岔和周期倍化分岔，只会出现音叉分岔。 2 3 2 2 反对称的周期运动 引理4 如果矗= ( ，：，y ：) = ( r 。q ，) ( 抵) 五，且z 。= ( i oy 。) 是映射p 的不动 点，则x ：亦为映射p 的不动点，且蜀与x ；所对应的线性化矩阵是相似的 并具有相同的特征根。这里x 。与x ：称为两个反对称的不动点，它们对应的 西南交通大学硕士研究生学位论文 第15 页 两个周期运动称为两个反对称的周期运动，这两个反对称的周期运动具有相 同的稳定性。 证明：根据( 2 - 4 3 ) 式，有 p c x ：) = 馥( x ：) 2 ( 尺。q t ) 2 ( ) 2 ( r 。q 1 ) 2 。( r 。o o ( x 。) ( 2 - 4 4 、 = ( r 。q ；) 。( r 一。9 ) 2 ( x 。) = ( r 一。q 1 ) ( ；) = ： 那么z o 为映射尸的不动点。 此外，根据复合函数的求导法则 d p ( x 。) = d ( r 。q 1 ) ( x ；) d ( r 。q 1 ) ( x 。) = b a d p ( x o ) = d ( r 。q 1 ) ( j 。) d ( r 1 。q 1 ) ( ) = a b ( 2 4 5 ) ( 2 4 6 ) 式中a = d ( r 。q 1 ) ( 肖。) ，b = d ( r 。q ) ( x ；) 。可以证明对于非退化的 周期运动，d e t a 0 ，则 b a = a 。( a b ) a ( 2 4 7 ) 因此矩阵删与a b 相似，即d p ( x 。) 与d p ( x ：) 相似，故它们所对应特征根相 同，因此与这两个反对称不动点对应的两个反对称周期运动具有相同的稳定 性。 2 3