（应用数学专业论文）预测及决策中的若干数学问题分析.pdf

浙江大学硕士学位论文 摘要 大多数投资环境的不可逆性和不确定性增大了高效投资决策的出台的难度 随着期权理论的发展，实物期权方法中将投资机会看成期权的观点逐步融入投资 决策中本文研究了预测及金融投资决策中的数学问题首先介绍了维纳过程和 小波分解等基本知识，引入了金融分析中的数学方法，即动态规划、或有债权分 析和基于小波分解和g m ( 1 ，1 ) 模型的预测方法等；接着通过实例分析运用上述预 测方法对两组数据的下个时段做出预测，与单独使用g m ( 1 ，1 ) 模型预测相比，得 到了较理想的结果；最后结合动态规划和或有债权分析等工具，并将投资机会看 成期权，对实际的投资决策问题做出详细分析研究，为做出最优决策提供了科学 依据 关键词：投资决策，预测，g m ( 1 ，1 ) 模型，小波分解，动态规划 a b s t r a c t i r r e v e r s i b i l i t ya n du n c e r t a i n t yo ft h em a j o ri n v e s t m e n te n v i r o n m e n te n l a r g et h e d i f f i c u ho fe f f i c i e n ti n v e s t m e n td e c i s i o n - m a k i n g w i t ht h ed e v e l o p m e n to fo p t l o n s m e o r y , t h ev i e ww h i c hr e g a r d st h eo p p o r t u n i t i e s f o ri n v e s t m e n ta st h eo p t l o n s 对a d u a l l yi n t e g r a t e si n t ot h ei n v e s t m e n td e c i s i o n - m a k i n gi nr e a lo p t i o n sa p p r o a c n i n t h i sp a p e r ，w eh a v es t u d i e dt h em a t h e m a t i c a lp r o b l e m si nt h ef o r e c a s t i n ga n d f i n a n c l a l i n v e s t m e n td e c i s i o n m a k i n g f i r s t ，w ei n t r o d u c et h ee l e m e n t a r yk n o w l e d g es u c h a s w e i n e rp r o c e s sa n dt h ew a v e l e td e c o m p o s i t i o na n dp r e s e n tt h em a t h e m a t i c a lm e t h o d o ft h ef i n a n c i a la n a l y s i s ，s u c ha sd y n a m i cp r o g r a m m i n g ，c o n t i g e n tc l a i m sa n a l y s l s a n d t l l ef o r e c a s t i n gm e t h o dw h i c hb a s e so nw a v e l e td e c o m p o s i t i o na n dg m ( 1 ，1 ) m o d e l n l e n ，t 1 1 r o u 曲t h ea n a l y s i so ft w oe x a m p l e s ，w ep r e d i c tt h en e x tp e r i o do f t h e9 1 v e n d a t au s i n gt h ea b o v ef o r e c a s t i n gm e t h o d ，w h i c hi sb e t t e rt h a no n l yu s i n gg m ( 1 ，1 ) m o d e l f i n a l l y , u s i n gd y n a m i cp r o g r a m m i n ga n dc o n t i n g e n t c l a i m sa n a l y s l s ，w e r e g a r dt h eo p p o r t u n i t i e sf o ri n v e s t m e n ta st h eo p t i o n sa n dm a k e ad e t a i l e da n a l y s i s a n dd i s c u s s i o no ft h ea c t u a li n v e s t m e n td e c i s i o n m a k i n gq u e s t i o n s ，w h i c hp r o v l d e sa s c i e n t i f i cb a s i sf o rt h eo p t i m a ld e c i s i o n - m a k i n g k e y w o r d s ：i n v e s t m e n td e c i s i o n m a k i n g ，f o r e c a s t ，g m ( 1 ，1 ) m o d e l ，w 打e l e t d e c o m p o s i t i o n ，d y n a m i cp r o g r a m m i n g i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得逝鋈盘堂或其他教育机 构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献 均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：翻彩笮字嗍炒7 年月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解逝婆盘堂有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阅。本人授权逝望太望可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 勃庑 f 签字日期：力川年乡月 日 学位论文作者毕业后去向：弘苏角研7 中 工作单位： 通讯地址： 导师签名： 墨艺皤坞 签字日期： u 夕年月罗日 电话： 邮编： 浙江大学硕士学位论文 1 1 研究背景 第一章前言 金融时间序列的变化受许多因素的影响，这些因素相互作用，使金融时间序 列的变化呈现出某种趋势、一定的规律性和随机性金融时间序列的相关特性分 析研究主要有三种：( 1 ) 趋势变化的研究，即对时间序列随时间变化朝着定方 向呈现出持续稳定地上升、下降或平稳的趋势的变化现象研究( 2 ) 周期循环变化 的研究( 季节变化) ，即对时间序列受季节性影响，按一固定周期呈现出的周期 波动变化的现象研究( 3 ) 随机变动的研究，即对时间序列受偶然因素的影响而呈 现出的不规则波动的现象研究 时间序列分析在理论和经验上已成为金融市场研究不可缺少的部分， 时间序列分析方法已是金融定量分析的主流方法之一时间序列的分析方 法可分为时域分析和频域分析，在时域分析上，最早起源于1 9 2 7 年，数学 家y u l e 提出建立自回归( a r ) 模型来预测市场变化的规律接着，在1 9 3 1 年，数学家瓦格尔w a l k e r 在a r 模型的启发下，建立了滑动平均( m a ) 模 型和自回归滑动平均( a r m a ) 混合模型，初步奠定了时间序列分析方法的 基础，主要应用于经济分析和市场预测领域这些主要是对平稳时间序列分 析的方法：后来，博克斯b o x 和詹金斯j e n k i n s 于七十年代提出针对于非平 稳时间序列的自回归移动平均模型，简称为a r i m a 模型而非线性方法主 要以a r c h 模型和其改进模型为主，比如g a r c h 模型和e g a r c h 模型等 在频率分析上，2 0 世纪6 0 年代，时间序列分析进入一个新的阶段，b u r g 提出最大熵谱估计理论，后来有人证明a r 模型的功率谱估计与最大熵谱估 计是等效的，并称之现代谱估计它克服了用传统的傅里叶功率谱分析所带 来的分辨率不够和频率泄漏严重等固有的缺点，从而使时间序列分析方法 扩展到频率域上，得到更加广泛的应用小波变换是分析时间序列的一种相当 新颖的方法，其正式的研究可以追溯n - 十世纪八十年代但是在许多方面，小 波仅仅是具有新的优美的数学结果和有效的计算方法的古老概念的合成在某些 情况下，小波分析是现存的相关分析和谱分析技术的补充小波分析方法应用到 浙江大学硕士学位论文 时间序列上，加之已有的时间序列分析方法的结合，使得关于时间序列的相关特 性的研究正推向新的高度 在经济高速发展的今天，企业或公司的竞争力不再仅仅体现在其资金、能源 实力上，更重要的是企业或公司是否有一个高效能的管理决策团队，能否做出高 效的投资决策在此文中将详细讨论投资决策的科学依据及分析方法 现代的投资理论产生于5 0 年代左右这个时候，经济学家开始进入投资研究 领域，并把成熟的微观经济理论和数理统计知识引入投资研究领域，使投资向科 学化方向迈进1 9 5 2 年哈里马克维茨发表的论文“资产组合的选择”作为现代投 资学或金融经济学产生的标志马克维茨在文中叙述了寻找有效资产组合边界， 即在给定风险水平下寻找所有收益最高的集合或在给定收益水平下寻找风险最 小的资产组合的集合的思想和方法，奠定了投资理论发展的基石威廉夏普受到 马克维茨的影响，在投资学领域继续进行深入研究1 9 6 3 年，夏普根据马克维茨 的模型，建立了一个计算相对简单的单一指数模型，这一模型假设资产收益只与 市场总体收益有关，大大减少了马克维茨的方法涉及计算所有资产的协方差矩 阵，而在当时的计算机技术条件下难以进行的计算量1 9 6 4 年，夏普在他的博士 论文中提到著名的资本资产定价模型( c a p m ) ，这一模型已成为现代投资理论 的核心这一模型揭示了每一个投资者都会在市场中遭遇的两种典型风险与 市场整体相关联的系统性风险和特定公司相连的非系统风险，并用一个简单的线 性方程式表示了资产预期收益与预期风险之间的理论关系，提出了分散投资对于 降低非系统风险的可能性，这对于投资实践具有重大的指导意义 近几十年来，当代投资学发展迅速除了马克维茨和夏普的上述理论外，还 出现了詹姆斯托宾的投资组合分离的著作及肯尼思阿罗和杰拉德迪布罗关于 状态偏好理论的论文，以及尤金法玛提出的有效市场假说有效市场假说 认为，在具有充分信息效率的市场中，任何资产的市场价格都充分反映了市场的 相关信息，进行技术性的投资分析是毫无意义的有效市场假说在投资界引起了 很大的反响和争议 商业界在2 0 世纪8 0 年代提高了对计划，尤其是长期计划的重视在投资者 创办一个企业或推出一种新的产品时，制定计划显得更为重要然而好的计划依 赖于合理的市场环境的分析，这种情况下投资决策分析理论应运而生 实务中，随着外界经济环境及其政治环境的变化，一家企业或公司经常要做 2 浙江大学硕士学位论文 出修整投资计划、放弃已投资项目等投资决策传统的投资决策理论方法有：投 资净现值规则，即n p v ( n e t p r e s e n tv a l u e ) 规则；决策树分析方法和模拟方法： 托宾( t o b i n ) 值方法；乔根森( j o r g e n s o n ) 理论但是，上述投资理论都有两个 不合实务的假设：投资机会只在即刻存在或投资是完全可逆的 事实上，当今市场条件下，投资机会是时刻存在的，决策者要在非常不确定 的条件下做出重大决策，而且此时市场规模、投资成本、竞争者的行动方案、成 本的可回收程度都是未知数在这种情况下，利用传统的投资理论得到分析结果 往往是太过理想化了，让投资者对投资没有任何信息，也就影响了企业的正常融 资 实物期权方法将投资机会看做期权的观点考虑了不确定性和不可逆性， 通过对投资机会的价值对决策的影响，改进了传统的投资决策方法 1 2 本文的主要内容和结构 本文主要考虑预测及金融投资决策中的数学问题利用数学工具简单的 解决关于金融数据的趋势预测及在不确定条件下的关于投资中初始价格与企业 价值的关系 首先介绍了维纳过程和小波分解等基本知识，引入了金融分析中的数学方 法，即动态规划、或有债权分析和基于小波分解和g m ( 1 ，1 ) 模型的预测方法等接 着通过实例的研究体现出上述方法的应用，对两组序列数据得出短期预测值，与 单独使用g m ( 1 ，1 ) 模型预测相比，得到较理想的结果通过讨论初始价格的变化 ( 这个变化可以通过预测估计) ，得出有利于投资决策的粗略结论，最后结合动 态规划和或有债权分析等工具，并将投资机会看成期权，对实际的投资决策问题 做出详细分析讨论 本文由五部分组成： 第一部分：前言 第一部分即是第一章，主要介绍了论文的研究背景，并对论文的主要研究内 容和基本结构进行了说明 第二部分：预备知识 第二部分即是第二章，对本文所需要的基本知识如维纳过程、小波分解等有 浙江大学硕士学位论文 关细节做了简单介绍 第三部分：金融分析的数学方法 第三部分即是第三章，介绍了动态规划、或有债权分析方法和基于小波分解 和g m ( 1 ，1 ) 模型的预测方法 第四部分：实例分析 第四部分即是第四章，通过实例的研究体现出上述方法的应用，首先对两组 序列数据得出短期预测值，接着通过讨论初始价格的变化( 这个变化可以通过预 测估计) ，得出有利于投资决策的粗略结论，并对更细致的讨论作了分析 第五部分：总结与展望 论文的最后对全文进行了总结，探讨了需要进一步学习研究的问题 4 浙江大学硕士学位论文 第二章预备知识 本部分提供了此文将要用到的一些预备知识利用我们将要介绍的这些知 识，可以更好的去理解金融分析中数学工具所起的重要作用 总体思路如下：首先介绍连续时间过程维纳过程( w i e n e rp r o c e s s ) 及 其性质然后，推广到伊藤过程( i t op r o c e s s ) ，与此同时引出著名的伊藤引理最 后给出小波分解的一些基础理论 2 1 维纳过程及其性质 定义2 1一个连续时间随机过程2 ( 0 是一个维纳过程，如果它满足： ( 1 ) 假设z ( f ) 在时间区间出上z 的任何变化都记为止，z 和出满 足下列关系： 缸= t 厄 式中，s 。为均值为0 、标准差为1 的正态分布的随机变量 ( 2 ) 随机变量s ，是序列不相关的，即e ( s ，g 。) = o ，对一切t s 成立 故止在任意两个不同的时间区间上是相互独立的 令心专o ，维纳过程在时间区间无穷小时的增量出可表示为 d z = e t 瓶 因s ，n ( o ，1 ) ，故e ( 出) = o ，v a r ( d z ) = e e ( d z ) 2 = d t 由此，维纳过程是一个特殊的随机过程，具有0 漂移率以及与时间间隔的长 度成正比的方差它又称布朗运动，是具有马尔科夫性、独立增量性、增量的正 态性的连续时间随机过程 维纳过程是一个马尔科夫过程，该过程的所有未来值的概率只取决于当前 值，而不受该过程在过去的取值或其他当前信息的影响，因此，该过程的当前值 就是做出其未来值最佳预测中所需要的全部信息 维纳过程具有独立增量性这表明该过程在任何有限的时间区间上的变化的 概率分布独立于其在任一不相交的其他时间区间上( 也就是说过程的增量相互独 立) 变化的概率 浙江大学硕士学位论文 维纳过程具有增量的正态性意思是说，维纳过程在任何有限时间区间上的 变化服从正态分布，其方差随时间区间的长度呈线性增加 上面的这三段分别介绍了维纳过程的三个性质：马尔科夫性、独立增量性和 增量的正态性事实上，这三个性质对维纳过程的描述限制太强，它表明现实世 界中很少有变量能用维纳过程来被真实的模型化出来 关于维纳过程的更详细的论述，在文献 1 】【2 】【3 】中均有不同的表述 针对股票价格，我们知道假定它满足马尔科夫性及独立增量性可能是合理 的，由于股票价格永远不会降低到零点，所以若假设股票价格变化服从正态分布 并不合适因此，假定股票价格的变化服从对数正态分布，即价格取对数之后的 变化服从正态分布这样，虽然股票价格本身不是维纳过程，但是股票价格的对 数化模型可看作是维纳过程 通过股票价格这个例子，我们知道将现实世界中的变量转化成维纳过程的原 理，即通过适当变换，维纳过程可能可以用作对随时间连续或者几乎连续变化的 很多随机变量建模 下面把随机过程进一步一般化： ， 定义2 2我们把形式为 d x = a d t + a d z 的随机过程称为带漂移的布朗运动上式中，龙为前面定义过的维纳过程的增 量；仗为漂移参数；仃为方差参数注意，在任何时间区间出上，x 的变化表示 为x ，服从均值为e ( 缸) = a a t ，方差为v a r ( a x ) = 仃2 a t 的正态分布 2 2 伊藤过程及伊藤引理 2 2 1 广义布朗运动伊藤过程 我们将考察一些例子，它们都是带飘移的布朗运动的推广形式 定义2 3我们把形式为 d x = a ( x ，t ) c t t + b ( x ，t ) a z ( 2 3 ) 其中，出为维纳过程的增量；a ( x ，f ) 和b ( x ，f ) 为已知的非随机的函数这里 的漂移系数和方差系数是当前状态和时刻的函数由上式所表示的连续时间随机 6 浙江大学硕士学位论文 过程x ( t ) 称为伊藤过程 下面，我们简单讨论伊藤过程的一个特殊情况，令a ( x ，r ) = o t x ，b ( x ，f ) = o x ， 其中仅仃均为常数这时( 2 3 ) 变为d x = a x d t + c r x d z ，这时我们得到了非常重 要的几何布朗运动几何布朗运动常用于构造证券价格、利率、工资率、产出价 格以及其它的经济和金融变量的模型，以后会用到这种特殊情形的伊藤过程 考虑伊藤过程增量的均值与方差，因e ( d z ) = 0 ，故e ( d x ) - - a ( x ，t ) d t ，d x 的 3 方差为e ( a x 2 ) 一e ( d x ) 2 ，其中含有衍，( 衍) 2 和( 以) ( 出) ( 其阶为( 出) 2 ) 项，对无 三 穷小的衍，含( d t ) 2 和( a t ) 2 的项可忽略不计故阶为衍的项的方差为 v a r ( d x ) = b 2 ( x ，t ) d t ，a ( x ，f ) 看做伊藤过程的瞬间期望漂移率，而6 2 ( x ，f ) 则看 做方差的瞬间变动率类似地，几何布朗运动的瞬间期望漂移率为o x 和方差的瞬 间变动率为叮2 x 2 我们知道式子( 2 3 ) 所表示的伊藤过程对时间是连续的，但是不可微然而 在实际中经常要处理关于伊藤过程的函数，并且希望求得这些函数的导数例如， 我们希望描述投资于铜矿的某种期权价格，该价格为市场上黄铜价格的函数，而 黄铜的价格可用几何布朗运动来描述在这种情况下，想确定期权价格所服从的 随机过程为做到这一点，往往需要对伊藤过程的函数进行积分或者微分，这时 我们需要利用伊藤引理 关于伊藤过程和伊藤引理的更详细的论述，详情可参见文献【1 】【2 】【1 9 】 3 5 2 2 2 伊藤引理 简单的讲，伊藤引理可以看做是一种泰勒( t a y l o r ) 展开式，它给出了如何 对伊藤过程的函数进行微分的伊藤公式假设x ( f ) 是伊藤过程，考虑任一函数 f ( x ，f ) ，设对x 至少是二阶可微的，对t 为阶可微我们希望求出该函数的全 微分卵普通微积分的规则是以x 和f 的一阶变化来定义这一微分的： d f = 望出+ 堡础 良研 若假设我们也包括x 的高阶微分，则 7 浙江大学硕士学位论文 卵= 篆出+ 筹衍+ 三2 窘( 科十三6 窘( 硝+ 4 ， 苏西舐2 、7叙一7 在普通微积分分中，这些高阶项在取极限时可忽略为说明这一点在当前是否仍 然成立，我们来看展开式( 2 4 ) 中右迈明弟二坝三l 石0 2 丁f ( 出) 2 与第四项i 1 石0 3 丁f ( 出) 3 首先带入关于出的式( 2 3 ) 来确定( 出) 2 ： 三 ( a k ) 2 = a 2 ( x ，f ) ( 衍) 2 + 2 a ( x ，t ) b ( x ，t ) ( d t ) 2 + 6 2 ( x ，t ) d t 呈 ( d t ) 2 和( 衍) 2 是衍的高阶无穷小量，忽略这些项，并记 ( d x ) 2 = b 2 ( x ，t ) d t 至于( 2 4 ) 右边第四项中，( 出) 3 的展开式中每一项关于刃的阶数均大于1 ，故 在极限条件下，比衍更快地趋于零对更高阶的任何项，如( 出) 4 等，这一点都 是成立的因此，伊藤引理给出了d f 的微分为 扭= 篆出+ 等出+ 一1 万0 2 f 2 ( 出) 2舐 a ta # 、。 将关于d x 的式( 2 3 ) 代入，我们还可以将上面的展开式重新记为 卵= l 警+ 砸篆+ 三6 2 ( 蹦) 万0 2 f - l 讲+ 咐州i o f 沈 我们把这个式子称之为伊藤公式 将上述泰勒级数展开式推广到几个伊藤过程的函数中例如，设 f = f ( 五，x 2 ，f ) 是关于时间f 和聊个伊藤过程五，x 2 ，的函数，其中 如= q ( 五，而，t ) d t + 包( ，而，t ) d z i ，i = 1 ，2 ，m ( 2 5 ) 伊藤引理给出全微分d f 可写成 卵= 望衍+ 莩瓦o f o t如+ 三2 军手麦o x 秘呜 ( 2 剐 敲? i l 敏j l j j 将( 2 5 ) 代入到( 2 6 ) 中，可将订展开成 订2 降渺z ，力瓦3 f + 帮2 c 协力寒卜 8 浙江大学硕上学位论文 + 至1 吾喇槲一鸦( 协力器衍 + 军”力誓奶 我们回到式出= a x d t + o x d z 中的几何布朗运动下面将利用伊藤引理来证 明f ( x ) = l 。g x 所服从的过程实际上由卵= 一三a 2 ) 斫+ 仃龙给出 证明：由于望o t _ 0 i o f = ：1 皮百0 2 f = 一与，由伊藤公式有x c xc 一 。 护= l x d x 一女( 出) 2 = a 衍+ 仃出一丢仃2 出 = ( a 一三一衍+ 仃龙 因此，在任一有限时间区间丁上，l o g x 的变化服从均值为( 位一三仃2 ) 丁、方 尊为o - 2 t 的下杰分布 2 3 小波分解和重构 2 3 1 多分辨分析 1 9 8 8 年m a l l a t 提出多分辨分析( m r a ) ，又称多尺度分析下面定义的多分 辨分析，它详细地阐述了多分辨率空间的数学性质 定义2 4 空间r ( 只) 中的一系列闭子空间列 巧 越称为一个多分辨分析， 若 巧) 越满足： ( 1 ) 嵌套性：lc _ + l ，w z ； ( 2 ) 伸缩性：w z ，f ( x ) 营f ( 2 x ) ； ( 3 ) 逼近他一l i r av ，2 望巧2 r ( 鼽烛巧2 q 巧= o ) ； ( 4 ) 正交基的存在性：存在v o ，使得 九，t ( x ) ：九，。( x ) = 砂( x 一七) ) 。z 是 9 浙江大学硕士学位论文 v o 的标准正交基其中称为尺度函数，巧称为逼近空间 因此，若 巧) 。z 是由尺度函数驴生成的多分辨分析，乃是_ 在巧+ 中的正 交补空间，则我们得到 r ( r ) = o o + 。o = o ，：呢 2 3 2 小波分解和重构的m a l l a t 算法 关于多分辨分析和m a l l a t 算法的更详细的论述，详情可参见文献 2 0 【2 1 】 2 2 】 2 3 下文简单介绍m a l l a t 算法多分辨分析是一种对信号的空间分解的方法，在 多分辨分析的基础上，产生了小波分解和重构的m a i l a t 算法运用m a l l a t 算法， 可以将信号分解成低频和高频两部分，高频信号又称细节信号，低频信号又称逼 近信号 我们用c 。定义为原始信号x ，通过m a i l a t 算法来演示小波分解和重构用日 和g 分别表示低通滤波器和高通滤波器那么m a l l a t 塔式分解算法表示为： _ ，= 1 ，2 ，j 这样，原始信号可以分解为勺和4 ，畋，乃( ，为分解层数) ；我们把巳和t 分别称为原始信号在分辨率2 7 下的逼近信号和细节信号 我们用下图表示m a l l a t 塔式分解： c jc j + l d j + 1 c j + 2 c l j + 2 图2 2 信号分解 采用m a l l a t 算法进行小波分解，滤波器何将序列c ，的高频去掉，而g 是高 频滤波器，收集余下的高频所以每次分解后得到的逼近信号和细节信号比分解 l o 胁， = = o 屯 ，j、【 浙江大学硕士学位论文 前的信号点数减少一倍，但经m a l l a t 算法信号重构后通过插值可以恢复原来的点 数 用日和g 分别表示日和g 的共轭镜像滤波器那么m a l l a t 的重构算法可表 示为： c j = h c j + 1 + g q + l ，j = j 一1 ，一2 ，1 ，0 我们用下图表示m a l l a t 的重构算法： c j + 1 d j + 1 c 图2 3 信号重构 通过对序列巳+ 。和嘭+ 。插值( 插入零) ，扩充q + ，和乃+ l ，并对信号滤波，这样 可以逐步重构出每个c ， 因此，我们可以得到x = ( h r ) ，勺+ ( 日) 卜1 g + 刃+ + g 匾，令 c j = ( 日) ，勺，n j = ( 日) 卜1 g + 办，d 1 = g 磊 这样，对勺和4 ，畋，乃进行重构得e 和b ，d 2 ，d j 于是，我们有 x = 0 + q + d 2 + + 巧 小波的分解和重构理论逐渐的应用到各个领域，详情可参见文献 2 4 】【2 5 2 6 2 7 【2 8 】 30 等 这里，我们把小波分解和重构的基本思想简略的介绍完了，实例中主要利用 m a t l a b 的小波工具箱来处理具体数据 浙江大学硕士学位论文 第三章金融分析的数学方法 我们在考虑投资分析时，必然会研究离散的金融时间序列即金融数据和连续 的金融时间序列，即以函数形式或其它形式表出的金融量本章提供研究这些量 的数学方法 3 1 动态规划 3 1 1 动态规划的相关介绍 动态规划是研究动态优化问题的一种常见工具，而且在处理不确定性问题时 也非常有用下面首先给出最优化原理，然后再利用它详细讨论投资决策中的问 题 定理3 1 一种最优决策有下述性质：无论初始行为怎样，剩余决策组成一 个以初始行为的结果为初始状态的最优决策 定理3 1 被称作贝尔曼b e l l m a n 最优化原理，在动态优化问题处理中经常会 被用到关于该定理的详细说明可参见文献 4 】 5 】运用动态规划我们可以研究投 资决策问题，如多阶段的资产分配、期权定价问题等，详情可参见文献 6 7 8 】 9 】 我们在不确定性由离散时间马尔科夫过程给出的情形下来说明动态规划因 为我们考虑的是投资方面的应用，所以主要考虑一家企业的决策行为企业当前 状态由状态变量x ( 如资金、能源、专利) 来表示，它将影响企业的决策和扩张 机会为简单起见，假设x 的取值为标量，我们很容易推广到任意维度的矢量状 态在任何时间f ，变量t 的取值已知，但未来的取值葺+ l ，+ 2 ，为随机变量假 设过程 一) 为马尔科夫过程 在每个阶段t ，企业面临多种选择，用控制变量甜( 如等待、立即投资) 来 表示这些选择在两阶段的例子中，企业面临的选择仅有立即投资或等待，我们 可取“做一个二元标量，其中甜= 0 表示等待，而u = 1 表示立即投资在时n t 的 状态变量和控制变量影响企业即期的利润流，将它记为万，( x t ，u t ) 在阶段t 时的 1 2 浙江大学硕士学位论文 ，同样影响未来状况的概率分布 在任意两阶段之间的贴现因子为_ l ( p 为贴现率) 我们的目标是在时间 上选择一系列的控制变量 矩，) 使收益的期望净现值最大化有时我们限制决策在 某一时刻t 终止，并且最后的回报依赖于最后所达到的状态记此为最终回报函 数为乃( 誓) 现在，我们来应用基本的动态规划知识决策过程分为两部分，即刻的阶段 以及后续阶段假设当前时刻为f ，状态为用e ( 誓) 表示企业从这一点开始最 优地做出全部决策的结果，即企业的全部现金流的预期净现值 当企业选择控制变量，它所得到的即期现金流为乃( t ，) 在下一阶段 ( t + 1 ) ，状态为+ l ，最优决策产生的结果为r 。( 靠1 ) 在从时刻f 看来，这一结 果为随机变量，因而必须对它取期望值巨 e “( + ，) 】，这也就是我们所说的连续 价值贴现到时刻f ，即期现金流和该连续价值之和为 乃( 硝) + 南e ( t 卅) 】 企业选择鸭使上式最大化，并且结果刚好为e ( t ) ，因 讹) = 峄似) + 击e 瞰训 ， 其中剩余选择掰州，+ ：等的最优结果为剩下的连续价值之和，因而只需选择最 优的即期控制即可 式( 3 1 ) 称为贝尔曼方程( b e l l m a ne q u a t i o n ) ，或最优化基本方程( f u n d a m e n t a l e q u a t i o no f o p t i m a l i t y ) 式中，右边的第一项为即期收益，第二项为连续价值，该 阶段的最优决策是使得这两项之和最大化的决策 记万( x ) 为利润流，q ( x ) 为终止回报，因十。可能是任何可能状态，将它们 记作一般形式x ，x 7 ，则贝尔曼方程可写为 ) - - m a x k 腓，+ 击e m l x ) 对x 值的某一范围，“终i 匕可使方程右边最大化，而对于其它的x 值，“继 浙江大学硕士学位论文 续”可使方程右边最大化一般来说，这个分割可以是任意的，以“终止”为最 优选择的区间( 放弃区域) 可以与“继续 为最优选择的区间( 继续区域) 交换 然而，大多数经济应用中有更复杂的结构其中仅存在一个临界点x ，使得x 的 一边“终止”为最优选择，而x 的另一边“继续 为最优选择 3 1 2 连续时间问题 在一般控制l 司题中，1 阪设每个髟卜段的时倒长度为垃，在时阳j 连续时，我们 对出专0 时的极限状态感兴趣记7 r ( x ，z f ，f ) 为单位时间的利润，故在长为& 的时 间段上所获取的利润为7 r ( x ，甜，f ) 出类似地，记p 为单位时间的贴现率，因而在 长为缸的时间段上贴现因子为二一现在贝尔曼方程( 3 1 ) 变为 l + p a t f ( x ，t ) = m a x z r ( x ，掰，f ) 缸+ ( 1 + 肚) 。1 e f ( x7 ，t + a t ) i x ，秘 ) h一， 两边同时乘以1 + 肚f ，整理得 p a t f ( x , f ) - m 。a x 刀( x ，甜，t ) a t ( 1 + p a t ) + e f ( x 7 ，f + 出) 一f ( z ，f ) 】) = m a x 庀( x ，甜，t ) a t ( 1 + p a t ) + e a f 两边同时除以f ，并令缸一0 ，可得 似圳= 峄 嘶，蚶) + 面1e d f l ) ( 3 t 2 ) 上式中面1 即】为警的勰 贝尔曼方程的这个形式使获得利润流的权利是一种资产的观点变得清楚了， 且f ( x ，) 就是其价值 3 1 3 伊藤过程的最优停止问题 对于一个二元决策问题，在每一时刻，企业要么持续其当前状态得到利润流， 要么终止当前状态而得到终止回报利润流z r ( x ，) 和终止回报n ( x ，t ) 可依赖于 状态变量x 和时间t 其中x 服从伊藤过程： d x = a ( x ，t ) d t + b ( x ，t ) d z ( 3 3 ) 1 4 浙江大学硕士学位论文 现在，最优停止问题的贝尔曼方程式( 3 1 ) 变为 f ( x ，t ) = m a x f l ( x , f ) ，万( x ，t ) d t + ( 1 + p d t ) - 1 e f ( x + d x ，t + d r ) i x 3 ) 在继续区域中，右边的第二项较大故 f ( x ，f ) = j r ( x ，t ) d t + ( 1 + p d t ) 一1 e f ( x + 出，f + 出) l _ ) c 】 两边同乘( 1 + p d t ) ，得 f ( x ，t ) + p d t f ( x ，t ) = ( 1 + p d t ) t c ( x ，t ) d t + e f ( x + d x ，t + u t ) j x 又因为 e f ( x + d x ，t + d t ) x - f ( x ，t ) ：e d f i x 又由伊藤公式 批i l o f + a ( x , t ) o - - 篆- b 2 ( x , t ) 0 2 f , j l d t + b ( x , t ) o _ 誓比 所以 j c i 抒k 恻删m 蹦m 【署讹f ) 蓑+ 掣等】衍 上式两边同时除以a r t ，并令d t - - 0 ，整理后得关于价值函数f 满足的偏微分方 程： 三6 2 ( 蹦) 只( 蹦) 州彬) 只( 纠+ f t t ( 堋一j c i f ( 堋+ 万( 堋= o ( 3 4 ) 3 2 或有债权分析 在研究最优停止问题时我们将f ( x ，f ) 解释为资产的价值该资产为其所有 者赋予企业未来的利润流1 r ( x ，f ) 动态规划方法由一个特定的贴现率p 出发，p 是外生的且是目标函数的一部分，在或有债权分析中，所要求的资产回报率是由 资本市场的整体均衡条件推导出来的只有无风险利率，被认为是外生的因此， 或有债权分析方法提供了对贴现率的一种更好的处理方法现在，我们阐述这一 思想文献 3 5 1 q u 更加详细的阐述了这种方法 假设利润流依赖于变量x ，x 看作是企业的产出价格因为将处理的是回报的 百分比增长，假设x 服从几何布朗运动，我们有 浙江大学硕上学位论文 d x = a x d t 牟a r x d z 其中，a 为增长因子参数，仃为比例方差参数；比为标准维纳过程的增量 假设企业的产出本身可作为一种资产在金融市场上交易如产出为石油、铜 等商品同任何资产一样，只有该产出能产生充分高的回报时，投资者才持有该 项资产部分回报来自于期望的价格增长口；另一部分来自于直接分红或间接分 红，并记其比例为6 令= a4 - 5 ，表示总的期望回报率 利用已知价值的可交易的资产来复制企业的回报和风险特性，我们找到利润 流为刀( x ，f ) 的企业价值f ( x ，f ) 下面我们构造复制组合，考虑投资l 美元到无风 险资产中，同时也购买该企业n 单位的产品，我们将寻求合适的刀来获得所要的 复制这个组合成本为( 1 + 麟) 美元持有该组合一个很短的时间区间如，在这段 时间里，无风险资产有确定的回报，衍，而其他资产支付红利并获得随机的资本 收益因而所投资的1 美元的总收益为 ! 丝! 垡鱼生衍+ 翌出 1 + 珊1 + 职 将它与持有该企业所有权相同的时间区间衍的价值比较首先要花费f ( x ，t ) 购 买企业，所获得的分红就是收益万( x ，t ) d t 若做出初始决策时，x 已知，其中就 没有不确定性该项资产同样产生一个随机的资本收益，根据伊藤引理，我们有 印= i ( 蹦) + 口以( 圳+ 1 2 以2 l ( 蹦) p + 仃皿( 堋出 投资1 美元的收益为 竺! ：坐竺兰竺：互1 三2 三2 垒竺沈+ ! 生幽出 f ( x ，t )f ( x ，f ) 如果我们的组合复制了拥有该企业的风险即d z 项的系数相同，n 必须满足 坠一生( 兰：尘 1 + 麟 f ( x ，f ) 然后，在市场中风险相同的资产必须获得相同的回报，因而上述选择必须确保 坐：! ：竺：! ：兰兰竺：圭三：兰垒竺一! 丝坠监 f ( x ，f ) 1 - 4 - 麟 1 6 浙江大学硕士学位论文 将旦代入上式，右边变为 广 卜鬻f ( x 卜埘鬻f ( xi ，f ) l 、 ，f ) 化简，回报方程变为关于价值函数f 的偏微分方程： 去仃2 x 2 e ( x ，f ) + ( ，一6 ) x f a x , f ) + 互( x ，f ) 一( 五f ) + 石( x ，f ) = 0 这个式子与( 3 4 ) 利用动态规划方法推导出来的相似 回顾上述过程知道，在一个基本的假定即经济中存在大量可交易的具有不同 回报率和不同风险的资产，为对一个新资产进行定价，可以通过现有可交易资产 的组合来复制新资产的风险和回报，则新资产的价格必与该组合的市场价格相 等，否则会出现套利也就是说或有债权定价方法的核心是构造复制组合 动态规划和或有债权分析这两种方法都具有各自的优点和缺点，综合两种方 法能解决大量的应用问题在特定的应用中，其中一个可能比另一个在实践操作 中更方便，但是这两种方法在它们共同的基础上没有原则上的差别我们会经常 平行的使用这两种方法，为方便也会经常从一种方法转到另一种方法 3 3 基于小波分解和g m ( 1 ，1 ) 模型的预测方法 3 3 1 g m ( 1 ，1 ) 灰色模型简介 灰色系统理论是由邓聚龙于1 9 8 2 年提出并发展起来的，此理论中的灰色预 测模型已经成功应用于农业、气象、经济、医疗、生态、水利等几十个领域，目 前是我国社会、经济、系统分析和建模的重要方法之一，特别是它对于时间序列 短、统计数字少、信息不完全系统的建模和分析，具有独特的功效，详情可参见 文献 1 0 】 1 2 【1 3 】 1 4 等 灰色系统理论认为：一切随机量都在一定范围内、一定时段上变化的灰色量 和灰过程对于灰色量的处理不是去寻求它的统计规律和概率分布，而是将杂乱 无章的原始数据列，通过一定的方法处理，变成比较有规律的时间序列数据即 以数找数的规律，再建立动态模型给定原始时间数据列，这些数据多为无规律 的、随机的、有明显的摆动通过累加生成，增加了原始数据的规律性，而弱化 1 7 浙江大学硕士学位论文 了波动性 灰色模型属于少数据模型，建立一个常用的灰模型g m ( 1 ，1 ) 允许数据少到4 个灰色预测方法是根据过去及现在已知的或不确定的信息，建立g m 模型，从而 确定系统在未来变化规律和发展趋势及其反映出来变量之间的内在关系，为决策 规划提供科学依据通过灰色预测模型对时间序列进行数量大小的预测，在弱化 随机性的同时也增强了规律性任何模型的预测，结果不定与未来的现实完全 一样但是科学的预测，可以帮助人们认识未来进程中可能遇到的问题使人们有 思想准备来解决这些问题我们用g m ( 1 ，1 ) 模型建立所求序列的数列预测，其预测 模型为一阶微分方程，即只有一个变量的灰色模型g m ( 1 ，1 ) 预测模型的计算过程 中主要是以矩阵运算为主，通过与m a t l a b 的结合可以很好的解决了此模型在 矩阵计算中的问题，因此，在实际中比较适用 3 3 2 g m ( i ，1 ) 预测模型的基本步骤 g m ( 1 ，1 ) 模型是一个单个变量预测的一阶微分方程模型，其离散时间响应函 数近似呈指数规律建立g m ( 1 ，1 ) 模型的方法是： 设x = x 。( 1 ) ，x 。( 2 ) ，x ( 玎) ) 为原始非负时间序列，按照下式 七 x 1 ( 霓) = z x 。( f ) ，k = 1 ，2 ，玎 j = l 累加生成序列x o ( 七) g m ( i ，1 ) 模型的白化微分方程为： d x o ) + a x ( 1 ) ： d t 式( 2 ) 中，口为发展系数；“为灰作用量设系数向量a = ( 三) ，按最小二乘法估 计求得系数向量a = ( b 7 b ) 一b 7 y ，式中 b = 一圭( ( 1 ) + 舻( 2 ) ) 一圭( ( 2 ) + ( 3 ) ) 一圭( ( 刀一1 ) + 彳( 玎) ) l 1 8 浙江大学硕士学位论文 y = ( x ( 2 ) ，x ( 3 ) ，( ，2 ) ) 。 于是我们得到g m ( 1 ，1 ) 的离散时间响应式为： y 。( 七+ 1 ) 2 ( x ( 1 ) 一詈，) p 一曲+ ：u x o ( k + 1 ) 为所得的累加的预测值，将其累减还原即为： x o ( 七+ 1 ) = z 1 ( k + 1 ) - x 1 ( 后) ， = 1 ，2 ，3 以) 如果我们拿到的数据不是非负数据，视具体情况而定可以