（运筹学与控制论专业论文）混沌系统的控制与同步研究.pdf

摘要 近年来，混沌控制与混沌同步及其在保密通信，信息科学，航天航空等领域所显示的 巨大应用潜力引起了人们极大的研究兴趣，并成为当前混沌研究的一个热点在这篇论文 中，我们主要研究了混沌系统的控制与同步问题，主要内容有以下三个： 第一、针对一类部分线性混沌系统，首先研究了部分线性混沌系统的控制问题根据部 分线性混沌系统的结构特征，设计了控制器，保证了非线性部分状态有限时间到达原点，线 性部分状态渐近稳定接着研究了部分线性混沌系统的广义射影同步问题基于l y a p u n o v 稳定性理论和线性矩阵不等式技巧，设计了线性控制器使驱动一响应系统达到广义射影同 步数值仿真结果证明了该方法的有效性和可行性本章设计的控制器和以往的控制器相 比具有结构简单，反馈增益小等优点 第二、研究了含白噪声干扰的混沌系统的随机线性广义同步问题基于l y a p u n o v 稳 定性理论和鲁棒控制理论，提出了一种新的鲁棒控制器的设计方法该控制器在系统受到 白噪声干扰的情况下仍能保证同步误差的均值收敛到原点附近很小的邻域内最后，通过 对l o r e n z 混沌系统和c h e n 混沌系统分析和数值仿真，结果验证了设计方法的有效性和 可行性 第三、基于l y a p u n o v 稳定性理论和微分不等式技巧，研究了不确定混沌系统的自适 应同步问题，提出了一种新的自适应控制器的设计方法该控制器在不确定项的导数有界 的情况下，就能保证误差系统的状态收敛到原点附近很小的邻域内特别地，当不确定项 的变化率趋近于零时，该控制器就能保证误差系统渐近稳定最后，以l o r e n z 系统为例进 行数值仿真，结果证明了该方法的可行性 关键词：混沌控制，混沌同步，l y a p u n o v 稳定性理论，线性矩阵不等式，微分不等式 i i a b s t r a c t i nr e c e n ty e a r s ，c h a o sc o n t r o la n ds y n c h r o n i z a t i o nh a v ea t t r a c t e dm u c ha t t e n t i o n d u ot oi t sp o t e n t i a la p p l i c a t i o n si ns e c u r ec o m m u n i c a t i o n ，i n f o r m a t i o ns c i e n c e ，b i o l o g i c a l s y s t e m s ，c c t t h i sp a p e ri sd e v o t e dt ot h ep r o b l e m so ft h ec o n t r o la n ds y n c h r o n i z a t i o no f c h a o t i cs y s t e m s t h em a i nc o n t r i b u t i o n sa r ea sf o l l o w s ： f i r s t l y , f o rac l a s so fp a r t i a l l yl i n e a rc h a o t i cs y s t e m ，t h ec o n t r o lp r o b l e mi si n v c s t i g a t e d a c c o r d i n gt ot h es t r u c t u r a lf e a t u r e so fp a r t i a l l yl i n e a rc h a o t i cs y s t e m ，t h en e w c o n t r o l l e r sa r ci n t r o d u c e dw h i c hc a nd r i v et h en o n l i n e a rp a r to ft h ec h a o t i cs t a t e st oz e r o i naf i n i t et i m ea n dt h el i n e a rp a r to ft h ec h a o t i cs t a t e sa s y m p t o t i c a l l ys t a b l e t h e n ，t h e g e n e r a l i z e dp r o j e c t i v es y n c h r o n i z a t i o nf o rp a r t i a l l yl i n e a rc h a o t i cs y s t e mi si n v e s t i g a t e d b a s e do nl y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r ya n dl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ( l m i ) t e c h n i q u e ，as i m p l e l i n e a rc o n t r o l l e ri sd e s i g n e dw h i c hc a ne n s u r et h ed r i v e - r e s p o n s es y s t e ma c h i e v eg e n e r a l - i z e dp r o j e c t i v es y n c h r o n i z a t i o n t h en u m e r i c a ls i m u l a t i o n sa r cp r o v i d e di no r d e rt os h o w t h ee f f e c t i v e n e s so ft h i sm e t h o d c o m p a r e dw i t ht h ep r e v i o u sc o n t r o l l e r s ，t h ec o n t r o l l e r s d e s i g n e dh e r eh a v es o m ea d v a n t a g e ss u c ha ss m a l lf e e d b a c kg a i n ，s i m p l es t r u c t u r ea n ds o o n s e c o n d l y ，t h es t o c h a s t i cl i n e a rg e n e r a l i z e ds y n c h r o n i z a t i o n ( g s ) o fc h a o t i cs y s t e m s w i t hw h i t eg a u s s i a nn o i s ei si n t r o d u c e d b a s e do nt h el y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r ya n d r o b u s tc o n t r o lt h e o r y ，an e wr o b u s tc o n t r o l l e ri s p r o p o s e d t h ec o n t r o l l e rd e s i g n e dh e r e c a ng u a r a n t e et h em e a ns q u a r co ft h es y n c h r o n i z a t i o ne r r o rc o n v e r g e st oas m a l lb o u n d i i i a r o u n dz e r oe v e ni ft h es y s t e mi sd i s t u r b e db yw h i t en o i s e f i n a l l y ，d i g i t a ls i m u l a t i o nr e s u l t s o i ll o r e n zs y s t e ma n dc h e ns y s t e ma r eg i v e nt od e m o n s t r a t et h ev a l i d i t ya n df e a s i b i l i t yo f t h ep r o p o s e dm e t h o d a tl a s t ，t h es y n c h r o n i z a t i o np r o b l e mo fu n c e r t a i nc h a o t i cs y s t e m si si n v e s t i g a t e d b a s e do nl y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r ya n dd i f f e r e n t i a li n e q u a l i t yt e c h n i q u e ，an o v e la d a p t i v e c o n t r o l l e ri sp r o p o s e d t h ec o n t r o l l e rd e s i g n e dh e r ec a ng u a r a n t e et h ee r r o rs t a t ec o n v e r g e s t oas m a l lb o u n da r o u n dt h ez e r o3 8l o n ga si t sd e r i v a t i v ei sb o u n d e d i np a r t i c u l a r ，w h e n t h er a t eo ft h eu n c e r t a i n t ya p p r o a c h e st oz e r o ，t h ec o n t r o l l e rc a ng u a r a n t e et h ee r r o rs y s - t c ma s y m p t o t i cs t a b i l i t y f i n a l l y , d i g i t a ls i m u l a t i o ni sc a r r i e do u tf o rl o r e n zs y s t e m ，a n d t h er e s u l t sv e r i f yt h ee f f e c t i v e n e s so ft h ep r o p o s e dm e t h o d k e yw o r d s ：c h a o s s y n c h r o n i z a t i o n ，c h a o sc o n t r o l ，l y a p u n o vs t a b i l i t y , l i n e a rm a - t r i xi n e q u a l i t y , d i f f e r e n t i a li n e q u a l i t y i v 摘要 a b s t r a c t 第一章引言 目录 i i i i 1 1 1 混沌背景 1 1 2 混沌控制及同步概述。2 1 3 研究课题简介3 第二章 部分线性混沌系统的控制与广义射影同步问题 强， 7 2 1部分线性混沌系统的控制问题 7 2 2部分线性混沌系统的广义射影同步 2 3 仿真算例1 3 2 3 1l o r e n z 系统仿真1 4 2 3 2 超c h e n 系统仿真 1 6 2 4 结论1 8 第三章含白噪声的混沌系统的随机线性广义同步1 9 3 1问题的描述1 9 3 2 主要结论2 0 3 3 仿真例子 2 4 3 4 结论2 8 v 第四章一类不确定混沌系统的自适应同步控制 4 1 问题的描述- - 一一 4 2 常规自适应控制器的设计- 4 3 自适应控制器的设计- - 4 4 仿真算例 4 5 结论一- 一 总结 参考文献 致谢 攻读学位期间发表的学术论文目录 独创性声明 四 凹 n 弘 卵 组 诣 盯 第一章引言 1 1 混沌背景 第一章引言 混沌是一个物理概念，它是非线性动力学系统表现出来的一种复杂现象人类对混沌 的研究，可以追溯到1 9 世纪，法国数学家p o i n c a r e 在研究三体运动时，发现对不同的初 始条件，系统的运动具有不确定性和不可预测性，首次指出了混沌存在的可能性 1 】而 最具有说服力和影响力的当属本世纪6 0 年代初，美国气象学家洛仑兹提出的l o r e n z 方 程【2 】，借助于计算机技术使人们对混沌有了深刻的理解七十年代是混沌科学发展史上光 辉灿烂的年代 1 9 7 1 年，d r u e u c 和f t a k e n s 提出了奇异吸引子的概念1 3 ；1 9 7 5 年， 李天岩与其导师j y o r k c 给出了著名的l i y o r k c 定理1 4 l ，率先引入了“混沌”一词，并以 该定理描述了混沌的数学特征，揭示了从有序到混沌的演变过程；1 9 7 6 年，美国生物学 家m a y r m 在( 0 ，叼 0 ，0 5 1 ，则z ( t ) 经有限时间i 到达零即当t 壬时， z ( t ) 三0 丢= 而1z 佗学 证明将非线性控制器( 2 3 ) 代入受控系统( 2 2 ) 中，得 三= 一( p + n l l z l l 6 1 ) z ， 将方程( 2 5 ) 的左右两边同乘以z t ，得 z t 之= 一肛l l z l l 2 一n l l z l l1 州 另一方面， 由( 2 6 ) 和( 2 7 ) 得 即 z t 三- - 三掣= 壶百d l l z l l 2 = i 将上式分子分母同乘蚓i 一， 8 d l l z l i z t 三 一= 一= 一 出 恻l 拈一志， d t = 1 6 p l l z l l l 6 + r ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) 第二章部分线性混沌系统的控制与广义射影同步问题 两边从0 至z 积分， 令z ( 毛) = 0 ，解得到达时间壬 b 土1 - 5 厂( 相o ) 瑞氅， = 南z n 学 ( 2 8 ) 口 注：在定理2 1 中，当j = 0 时，控制器( 2 3 ) 为一般的切换控制当6 = 1 时，控制 器( 2 3 ) 为线性控制 定理2 2 考虑受控系统( 2 2 ) 假设( m ( 0 ) ，b ) 可控取非线性控制器( 2 3 ) 和线性反 馈控制器u = 一k x ，则受控系统( 2 2 ) 渐近稳定其中k 尼”黼有两种取法： ( 1 ) 通过 m a t l a b 中的极点配置函数得到( 2 ) 如果存在一个正定矩阵y r ”跏和矩阵w r ”黼 使得下面的线性矩阵不等式成立 ( m ( o ) y b w ) + ( m ( o ) y s w ) t 0 ( 2 9 ) 则取k = w y 一 证明由定理2 1 知，在非线性控制器( 2 3 ) 作用下，当t 吾时，z ( t ) 三0 ，故 m ( z ) = m ( o ) ，t - 则系统( 2 2 ) 的第一个方程变为 x ( t ) = ( m ( o ) 一b k ) x ( t ) ，t f( 2 1 0 ) 由于( m ( o ) ，b ) 可控，基于线性系统理论，( m ( o ) ，b ) 可以用m a t l a b 中的极点配置函数 任意极点配置，即： k = p l a c e ( m ( o ) ，b ，p ) 9 混沌系统的控制与同步研究 其中p r 1 n 是期望特征根( 负数) 组成的向量这样的矩阵k 能保证方程( 2 1 0 ) 渐近 稳定 矩阵k 也可以通过解线性矩阵不等式( 2 9 ) 得到事实上，如果取l y a p u n o v 函数 v = x 丁y x ，则v 沿着方程( 2 1 0 ) 的导数为 少= x 丁 y 一1 ( m ( o ) 一b k ) + ( m ( o ) 一b k ) 丁y 一1 i x 显然，矿 0 等价于 y 一1 ( m ( o ) 一b k ) + ( m ( o ) 一b k ) t y 一1 0 ( 2 1 1 ) 将不等式( 2 1 1 ) 左乘，右乘矩阵y ， ( m ( o ) 一b k ) y + y ( m ( o ) 一b k ) 丁 0 记w = k y ，则矿 0 ，0 6 0 ，以下不等式 成立： x t y + y t xs x t x + 兰y t y 引理2 2 对称分块矩阵 $ 1 1s 1 2 s 5 2 0 成立，当且仅当下列两个条件之一成立 ( 1 ) s 1 1 0 且s 2 2 一观s f i l $ 1 2 o ； ( 2 ) s 2 2 0 且s 1 1 一s 1 2 s 嚣s 五 0 ，正定矩阵y r ”和矩阵w r m ”使得下面的线性 ( m 仨) y b 彤) + ( m e ( y 5 ) y - b w ) t + e d d ty - - e e i t ) 0 有 故 2 y d a 。e e y 一1 d d 丁y 一1 + e - 1 e 丁e 矿( e ) e t i f 一1 ( m ( 牙) 一b k ) + ( m ( 牙) 一b k ) t y 一1 + y 一1 d d t y 一1 + e - i e 丁e e 显然，y ( e ) 0 等价于 y 一1 ( m ( 乏) 一b k ) + ( m ( 乏) 一b k ) t y 一1 + e y 一1 d d t y 一1 + 8 - 1 e t e 0 ( 2 1 9 ) 对( 2 1 9 ) 分别左乘、右乘y ，并记w = k y ，得 ( m ( 牙) 卜b ) + ( m ( 乏) 卜b w ) t + d d t + e - 1 y e t e y 0 ( 2 2 0 ) 令s 1 l2 c m ( ：) y - b w ) + ( m ( 5 ) y - b w ) r + e d d 丁，s 1 2 = y 矿，咒2 = 一e ， 由引理2 2 ，可得( 2 1 7 ) 与( 2 2 0 ) 等价 2 3 仿真算例 口 本节我们选择l o r e n z 系统和超c h e n 系统分别证明我们在2 1 节和2 2 节所提方法 的有效性 下面我们采用四阶r u n g e - k u t t a 算法在m a t l a b 上进行仿真仿真步长为0 0 0 1 s 其 中对l o r e n z 系统仿真初值设为：( x l ( o ) ，x 2 ( o ) ，z ( o ) ) = ( 1 ，2 ，一1 ) ，非线f 生控制器u 的参数设 为：p = 1 ，7 7 = 2 ，6 = 1 2 对超c h e n 系统仿真初值设为：( x l d ( o ) ，x 2 d ( o ) ，z 3 d ( o ) ，z ( o ) ，x l r ( o ) ， x 2 ，( o ) ，x 3 ，( 0 ) ) = ( 1 ，2 ，3 ，4 ，2 ，3 ，5 ) 2 3 1l o r e n z 系统仿真 l o r e n z 系统的状态方程如下： 士l = 1 0 ( x 2 一x 1 ) ， 士2 = 2 8 x l x 2 一x l z ， 三= x l x 2 一f s 3 ) z 图2 - 1 为l o r e n z 系统的状态轨线，具有典型的混沌特征 4 0 3 0 n2 0 1 0 0 1 0 3 0 图2 1 l o r e n z 的混沌吸引子 受控的l o r e n z 系统可以描述为： x = m ( z ) x + b u 之 = f ( x ，z ) + u ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) 其中x = c z 。，z ：，丁，m c z ，= ( 2 ：z 一1 0 ，) | , f ( x , z ) = x l x 2 - ( 8 3 ) z , b = ( ：) ， 1 4 第二章部分线性混沌系统的控制与广义射影同步问题 为了得到稳定的控制器使得受控系统( 2 2 2 ) 渐近稳定，我们采用m a t l a b 中的极点配 置函数方法获得增益k ，设期望的极点组成的向量为：p = 【一5 ，一6 】命令如下： m ( 0 ) = - 1 0 ，1 0 ，2 8 ，一1 】； b = o ；1 】； p = 【- 5 ，一6 ； k = p l a c e ( m ( o ) ，b ，尸) ； a n s w e r ：k = 3 0 0 0 0 0 - 0 0 0 0 0 根据定理2 1 和定理2 2 ，取非线性控制器秽= x l x 2 一( 5 3 ) z 一2 1 z l m ，线性控制器 u = - 3 0 x 1 从仿真图2 - 2 可以看出受控系统( 2 2 2 ) 的状态渐近稳定并且状态z 在有限时间内 到达原点数据分析表明到达时间与理论分析相符合 图2 - 2 受控l o r e n z 的状态曲线 1 5 2 3 2 超c h e n 系统仿真 超c h e n 系统可以描述为： = 3 5 ( x 2 一z 1 ) + z 3 ， 2 2 = 7 x l x l z + 1 2 x 2 ， z 3 = x 2 z + 0 5 x 3 ， 三= x l x 2 3 z 图2 - 3 为超c h e n 系统的状态轨线 1 6 4 0 3 5 3 0 2 5 n2 0 1 5 1 0 5 0 4 0 3 5 3 0 2 5 n 2 0 1 5 1 0 5 0 一彳百、2 5 图2 - 3 超c h e n 系统的混沌吸引子 ( 2 2 3 ) 第二章部分线性混沌系统的控制与广义射影同步问题 我们把驱动一响应系统写成如下紧凑形式： x d = m ( z ) x d ， 2 = ，( 拖，z ) ， * = m ( z ) 墨+ b u 其中。) 0 = ( x l d ，x 2 d ，z 3 d ) t ，) ，r = ( z 1 ，z 2 ，z 3 ，) ? ，m ( z ) = 厂c ，z ，= z d z z d 一3 z ，u = ( 二! ) r 2 3 51 l l 1 2o i ，b = l z0 5 1 i m c 名，= m ，+ m c 习2 【 5 善。蔓j + 【0 三三 ( 2 2 4 ) 由于超c h e n 系统的混沌吸引子有界并且我们的理论和数值分析表明总存在一个常 数p 24 0 满足k j 肛根据假设2 1 我们取22p - 1 乞e2 l 三三j p 为一个 k = - 7 7 5 4 7 6 - 1 1 4 5 5 7 6 、lj， 0 0 1 o l o ，。一 5 z 0 0 7 ，。一 心 船 删 咖 0 一 一 。 混沌系统的控制与同步研究 图2 4 ，图2 - 5 分别为n = l ，o t = 一1 时的系统误差曲线，从仿真图上可以看出本章设计的 线性控制器使得状态误差很快的趋近于零，达到很好的控制效果 2 4 结论uv o 8 06 04 电 0 2 ， 0 一o2 0 , 4 i 一乏f ：! 图2 4 q = 1 时超c h e n 系统( 2 2 4 ) 的误差曲线 斟- - 0 1 图2 - 5 q = 一1 时超c h e n 系统( 2 2 4 ) 的误差曲线 本章基于l y a p u n o v 稳定性理论和线性矩阵不等式技巧，研究了一类部分线性混沌系 统的控制与广义射影同步问题，设计了两种结构简单的控制器本章设计的控制器较文献 【2 1 ，2 5 具有结构简单，反馈增益小等特点数值仿真验证了设计方法的有效性和可行性 1 8 第三章含白噪声的混沌系统的随机线性广义同步 第三章含白噪声的混沌系统的随机线性广义同步 本章分析和研究了一类含有白噪声干扰的混沌系统的同步问题基于l y a p u n o v 稳定 性理论和鲁棒控制理论，提出了一种新的鲁棒控制器的设计方法该控制器在系统受到白 噪声干扰的情况下仍能保证同步误差的均值收敛到原点附近很小的邻域内最后，通过对 l o r e n z 混沌系统和c h e n 混沌系统分析和数值仿真，结果验证了设计方法的有效性和可 行性 3 1 问题的描述 考虑如下含白噪声干扰的混沌系统： 士( t ) = a x ( t ) + ，( z ( t ) ) + d w ( t ) ，( 3 1 ) 其中x ( t ) r n 是系统( 3 1 ) 的状态变量，a 翩黼为系统的参数矩阵，厂：r ”_ r n 是一个非线性向量函数，d r ”。是噪声强度向量，r 。是一2 一维的白噪声向量， 并且叫的元素两两相互独立，即 e ( t ) j - 0 ，e ( t ) 屿( 堋= 5 t j ( t n( 3 2 ) 为了研究该系统的同步控制问题，首先设( 3 1 ) 式为驱动系统，相应的响应系统为 ! ) ( t ) = b y ( t ) + 9 ( 秽( t ) ) + u ( x ，可) ，( 3 3 ) 其中y ( t ) 舻是系统( 3 3 ) 的状态变量，b r 似n 为系统的参数矩阵，g ：舻一r n 是一个非线性向量函数，u ( z ，y ) 是需要设计的控制器 定义3 1 对驱动系统( 3 1 ) 和响应系统( 3 3 ) ，如果恕i l y ( t ) 一( z ( t ) ) i i = 0 ，则称驱动 系统( 3 1 ) 和响应系统( 3 3 ) 实现了广义射影同步其中：舻一r n 称为广义射影函数 19 混沌系统的控制与同步研究 在本章中我们选取砂( z ( t ) ) 为线性函数形式： 咖( z ( t ) ) = f x ( t ) + q ， 其中r 为常数矩阵，q 为常数向量定义 e ( t ) = y ( t ) 一咖( z ( ) ) ， ( 3 4 ) 其中e ( t ) = 【e l ( t ) ，c 2 ( t ) ，e 。( ) t 由方程( 3 1 ) ，( 3 3 ) ，( 3 4 ) 得状态误差方程为 邑( t ) = b y ( t ) + 9 ( 可( t ) ) 一r a z ( ) + 厂( z ( t ) ) + d w ( t ) + u ( x ，可) ( 3 5 ) 由于误差系统( 3 5 ) 中含有随机干扰d w ( t ) ，所以不可能实现完全同步，下面我们给出一 个相对较弱，但是很实用的同步定义即随机线性广义同步 定义3 2 给定初始条件西( z ( o ) ) = r x ( o ) + q 如果存在很小的常数o i 使得系统( 3 5 ) 的误差e ( t ) 的均值满足 w k 吒2 ，则称驱动系统( 3 1 ) 和响应系统( 3 3 ) 实现了随机线性 广义同步其中 彤k 为矩阵w 的第i 个对角元， w = 1 i r ae e ( t ) e t ( t ) 。 。t_ 本章的目的是设计控制器u ( z ，可) ，使得驱动系统( 3 1 ) 和响应系统( 3 3 ) 达到随机线 眭广义同步 3 2 主要结论 在介绍本章主要结论之前，先介绍下面的引理 引理3 1 考虑含有白噪声干扰的系统 圣= a x + d w ，( 3 6 ) 其中z ( t ) 舻是系统( 3 6 ) 的状态变量，u = p 1 ，u 2 ，w 1 丁r 。是f 一维的白噪声向 量，a 舻n 为系统的参数矩阵，d 舻。是噪声强度向量，如果r e a ( a ) 0 ，则下 2 0 面的等式成立 其中x = j i me 陋( t ) z ? ( t ) 】 0 0 故 证明解方程( 3 6 ) ，得 x ( t ) x = 1 i r ae 陋( ) z t ( t ) t-00。 a x + x a t + d d t = 0 = e a t z ( 。) + te a ( t - r ) d w ( 7 - ) 打 ( 3 7 ) 2 l i m 驯( e m z ( o ) + ze 刖卜r d u ( 7 - ) d 7 - ) ( e 舭z ( o ) + o e 卸吖d u ( 7 ) d 7 ) t 】( 3 8 ) ，c 由于r e a ( a ) 0 ，故j i me m = 0 则( 3 - 8 ) 式可以化为 由( 3 2 ) 得 x = l i m z z ( t ) x t ( t ) 。o = 恕e ( te a ( t - r ) d w ( 丁) 打) ( i te a ( t - 7 - ) d w ( 丁) 打) t = 恕e t e a ( t - s ) d w ( s ) ( e a ( t - r ) d w ( 丁) ) t 捌丁】 = 。i i m 。t e a ( t - s ) e 。u ( s ) u r ( 7 - ) 。丁 e a 丁( h ) d s d 7 - 由6 函数的积分性质得 e a ( h ) e d w ( s ) w t ( 丁) d t e a t ( 汹 = e a ( 一) d s ( s 一7 - 1 d t e a t ( 。一“ o o e a ( t - s ) d 5 ( s 一丁1 。丁e a t ( 一5 ) d s ( 3 9 ) 2 1 瞪 将上式代入( 3 9 ) 得 ：e a ( t r ) d d t e a t ( t r ) 粘。l i mi ：0 。e 妒7 ，。t e 卿一7 机 令t 一7 _ = p ，则上式可以化为 由( 3 1 0 ) 可以得 即 2 2 x = 。l 。i m 。一。e a 9 。t e a r 8 d p = 。l 。i m 。， 。e a 口。t e a t 8 d p a x 上x a t = l i m t 。 = l i m t 。 z 。a e a 日。t e a r 8 d p + o 。e 9 。t e a t 8 a t d p 傩d ( e a 8 d d t e a t d o ) = 1 i me a 8 d d t e 肌晤 t - - - * o o ：l i me a t d d t e 舻t d d t t + 。 ：一d d t a x + x a t = 一d d t a x4 - x a t + d d t = 0 ( 3 1 0 ) 口 一 第三章含白噪声的混沌系统的随机线性广义同步 引理3 2 对称分块矩阵 三三i1 。成立，当且仅当下列两个条件之一成立 ( 1 ) s 1 1 0 且2 一s s s ；1 1 s 1 2 o ； ( 2 ) 2 0 且s 1 1 一s 1 2 s 爿s 毳 0 定理3 1 如果存在矩阵k 和正定矩阵p r “”满足下面的条件， 并取如下控制器 ( 1 ) r e a ( b + k ) 0 ； ( 2 ) ( b + k ) p + p ( b + k ) t + f d ( f d ) t o ； ( 3 1 1 ) ( 3 ) p i i 砰 u ( x ，y ) = f ( a x + ，( z ) ) 一b ( f x + q ) 一g ( v ) + k e ( 3 1 2 ) 则系统( 3 1 ) 和( 3 3 ) 实现随机线性广义同步 证明将( 3 1 2 ) 代入到( 3 5 ) 中，得 由引理3 1 得 邑( ) = b y ( t ) 一f x q + k e f d o a ( t ) = ( b + k ) e ( t ) 一r d w ( t ) ( b + k ) w + w ( b + k ) t + f d ( f d ) t = 0 其中= 1 i me e ( t ) e t ( ) 】 e o q 将( 3 1 3 ) 与( 3 1 1 ) 的( 2 ) 相减，得 ( b + k ) ( 尸一w ) + ( p 一) ( b + k ) 丁 0 ，即w p w i i p i i 【w i i ( t i i 由定义3 1 和定义3 2 可知，驱动系统( 3 1 ) 和响应系统( 3 3 ) 实现随机线性广义同步口 需要指出的是( 3 i i ) 的( 2 ) 不是线性矩阵不等式，所以不能用m a t l a b 线性矩阵不等 式工具箱解得由引理3 2 可以把它转化成线性矩阵不等式，即如果存在矩阵q 和正定矩 阵p 使得下面的线性矩阵不等式成立 则k = w y 3 3 仿真例子 ( b p + q ) + ( b p + q ) tf d r d 丁 0 为已知常数，u 舻为控制器 设驱动系统( 4 1 ) 和响应系统( 4 2 ) 的状态误差为 e 。秒一z 2 9 混沌系统的控制与同步研究 由式( 4 2 ) 减式( 4 1 ) 可得混沌同步误差系统状态方程为 邑= a e + f ( y ) 一，( z ) + u + u 4 2 常规自适应控制器的设计 ( 4 3 ) 许多文献在处理上述含有不确定性的问题时都可以归结为假设u 为未知参数、l lul is q 或i iul i qi | e 其中q 是未知参数在本节中，我们假设u 为未知参数并提出如下 控制策略： u = 一f ( y ) + f ( x ) 一( a + a i ) e d ， ( 4 4 ) u = e ( 4 5 ) 引理4 1 如果9 ( t ) ，空( t ) l o o ( 夕( ) ，西( t ) 有界) ，而且夕( t ) l 2 ( g ( t ) 平方可积) ，则 | 1 i m 夕( ) = 0 $ - - - 4 0 0 定理4 1 如果u 是未知参数，将控制器设计为式( 4 4 ) 和式( 4 5 ) 的形式，则误差系 统( 4 3 ) 渐近稳定 证明将控制器( 4 4 ) 代入( 4 3 ) 中得 取l y a p u n o v 函数 其中d = u d 3 0 邑= u 一( 2 j 一入e y = 三( e t e + 如) ， ( 4 6 ) ( 4 7 ) 第四章一类不确定混沌系统的自适应同步控制 对y 沿着误差系统( 4 5 ) 、( 4 6 ) 求导，得 矿：e 丁e + 面t 击 = e t ( u d a e ) + ( = i t ( 一由) = e t ( 面一a e ) 一面丁e = 一刈e l l 2 0 定理4 2 对含有不确定项的误差系统( 4 3 ) ，如果将控制器设计为式( 4 8 ) 和式( 4 9 ) 的形式，则状态误差稳定到区域： q = e | | e f f 罴 内 证明将方程( 4 8 ) 代入( 4 3 ) 中，得 e = 一( a + a ) e + u 一肛 记7 7 = u p ，则由方程( 4 9 ) ，( 4 1 0 ) 得 芭= 一( q + 入) e + r 而= 一q 入e + 0 ( 4 1 0 ) ( 4 1 1 ) ( 4 1 2 ) ( 三) = ( 一( 二二：j 三) ( 三) + ( 三) c 4 ，3 ， 3 2 作状态变换 因为 所以( 4 1 3 第四章一类不确定混沌系统的自适应同步控制 ( 雾) = ( 二二) ( 三) ( 一( 口- - c + 。a a ) ，三) ( 二- ! 二) 一1 = ( 一：， ( 喜) = ( 一：，- 一a ，i ) ( 开百) + ( 三) c 4 ，5 ， 稚) e - a i r 砌) + e 州”一) 加 ( 4 峋 从而 i i o ( t ) l l e - a t i i o ( o ) 1 l - i - e - a t ( 一r ( 7 - ) lj d 7 - ， ， t ，0 由于l iol i p ，故上式可以化为 将上式两边取上极限，得 由变换( 4 1 4 ) 知 o ( t ) l l e 砒愀。) i i + , o | | e a ( h i t d 丁， 甄l i mi i 霄( t ) lj 酗z 。t e - x ( l - 7 _ ) 1 1 打 ( 4 1 7 ) g a 、i 0 一 ， m 妫 混沌系统的控制与同步研究 故，解( 4 1 5 ) 的第1 个子系统方程得 e ( ) = 百( t ) = e - a t e ( 。) + f o o te - c l ( t - r ) 面( 丁) 打， l i e ( t ) 1 1 e 刊忙( 。) t l 十z te 叫h 种) 1 1 扛 ( 4 1 8 ) 将上式两边取极限，得 甄l i r ai i ) 1 1 愿z 2 e 叫叫愀丁) 1 1 加 将( 4 1 7 ) 代入上式，得 面i i l e ( t ) l l t - - - * o o：l i mp - f 0 e 一口c 一r ，d 丁 ：昙j l i me 廿r 堵 2 五t 一。e 1 8 一赢 状态误差稳定到区域； q = e 圳e i | 罴 内 口 推论4 1 如果响应系统( 4 2 ) 中的不确定项的变化率趋近于零时，将控制器设计为式 ( 4 8 ) 和式( 4 9 ) 的形式，则误差系统( 4 3 ) 渐近稳定 显然，如果不确定项的变化率趋近于零时，白0 由定理1 的证明过程很容易得出 上述推论 特别的，如果( 4 2 ) 中的不确定项是未知参数，则0 = 0 ，即p = 0 那么将控制器设 计为( 4 8 ) 、( 4 9 ) 的形式亦能保证状态误差渐近稳定由此可见，4 2 节中的控制器可以 用( 4 8 ) 、( 4 9 ) 代替故本节设计的控制器应用更为广泛 4 4 仿真算例 3 4 为了验证理论推导的正确性，我们以l o r e n z 系统为例进行数值仿真l o r e n z 系统 一 第四章一类不确定混沌系统的自适应同步控制 的描述如下 其中x = ( x 1 ，z 2 ，x 3 ) ? ，a = 圣= a x + ，( z ) ， f ( x ) 0 一z l z 3 x l x 2 图( 4 1 ) 为l o r e n z 系统的状态轨线，具有典型的混沌特征 4 1 l o r e n z 的混沌吸引子 将式( 4 1 9 ) 看作驱动系统，则相应的响应系统为 雪= a y + f ( y ) + u + u ， ( 4 1 9 ) ( 4 2 0 ) 其中2 ( 玑，比，驰) 丁， ) 2 l 纛。j ，u 2 l耋三兰兰j 3 5 0 0 8 3 加 0 0 加 8 ， 刈 弱 o ，j-。 柏 加 o 仲 n 混沌系统的控制与同步研究 下面采用四阶r u n g e k u t a a 算法在m a t l a b 上进行仿真当取q = 5 ，a = 4 时， 驱动系统和响应系统的误差变化如图( 4 2 ) 所示从仿真图( 4 - 2 ) 可以看出：系统状态误 差收敛到原点附近的邻域内数据分析表明此邻域的大小与定理4 2 的结果相符合