（一般力学与力学基础专业论文）索梁组合结构的建模与非线性有限元分析.pdf

硕t 学位论文 摘要 索结构由于自身的轻质、柔软性和小阻尼，以及初始拉伸和弯曲，容易在 外界干扰下产生复杂的运动形态，当其固有频率与连接梁的固有频率接近或 成一定得比例时，容易引起系统的共振。在工程实际中，通过对已经建成或者 正在建的斜拉拱桥和斜拉桥的观测表明，在微风细雨的情况下，个别拉索有时会 发生十分剧烈的大幅振动，这种振动对桥梁的安全性与耐久性产生了很大的危害， 它可能引起斜拉索的疲劳，在锚固接合处产生疲劳裂纹，破坏拉索的防腐系统， 严重时还会造成拉索的失效。拉索的振动无疑会引起行人的不舒适感和对桥梁安 全性的怀疑所以有必要对索梁组合结构进行更加深入的研究。基于上述事实，本 文的主要研究内容如下： ( 1 ) 利用h a m i1t o n 变分原理，推导了考虑弯曲刚度、垂度及几何非线性 的斜拉索三维非线性振动方程，根据边界条件约化为二维系统，分别考虑了 平面运动和面内面外耦合运动可能存在的内共振模式，并分析了弯曲刚度对 斜拉索动力学特性的影响 ( 2 ) 建立了索一梁组合耦合系统的数学模型，并利用h a m i l t o n 原理建立了索一 梁耦合系统的运动偏微分方程，并对上述方程进行了一维约化处理。 ( 3 ) 利用g a l e r k i n 方法将索梁组合结构的运动微分方程组整理为二阶常微分 方程组，利用多尺度法给出索梁组合结构发生内共振的频率比，讨论了索和梁之 间几种频率比下的内共振解的稳定性针对频率比为2 的情形，得到了拉索参数共 振的幅幅响应曲线，并数值研究了阻尼对拉索参数振动的影响。讨论了索和梁之 间几种频率比下的内共振解的稳定性。 ( 4 ) 利用a n s y s 建立了的索梁组合结构的力学模型，分析得到了主共振及亚谐 波共振下拉索的时程响应曲线，并对结构进行了谐响应分析。 关键词：索梁结构；非线性动力学：非线性有限元；亚谐波共振；多尺度法 索梁组合结构的建模与： 卜线性有限元分析 ! l 一一一一一一i ；i i i i iiiiiiii | i 曼量曼鼍詈詈皇詈曼詈詈葛 a b s t r a c t c a b l es t r u c t u r eh a sb e e nw i d e l ya p p l i e di ne n g i n e e r i n gd u et oi t ss i m p l e f o r c e s t r a n s m i t t i n g ，t h u s c a nb ec o n s i d e r e da sar e p r e s e n t a t i v eo fs t a y e d s t r u c t u r e s u n d e re x t e r n a le x c i t a t i o n ，c a b l e sa r es u s c e p t i b l et o s i g n i f i c a n t v i b r a t i o n si nas e r i e so fc o m p l i c a t e df o r m sd u et oi t si n h e r e n tc h a r a c t e r i s t i c s ， s u c ha sf l e x i b i l i t y ，s t r u c t u r a ll i g h t n e s sa n dl o wd a m pa sw e l la si t si n i t i a l s t r e t c h i n ga n dc u r v a t u r e w h e ni t si n h e r e n tf r e q u e n c yi sc l o s et oo rp r o p o r t i o n a lt o t h ei n h e r e n tf r e q u e n c yo fc o n n e c t i o nb e a m ，r e s o n a n c eo ft h ew h o l es y s t e mw i l lb e a r o u s e d t h eo b s e r v a t i o no nc a b l e s t a y e db r i d g e sb u i l to ru n d e rc o n s t r u c t i o n s h o w st h a ts e v e r a lc a b l e sm a yv i b r a t ed r a m a t i c a l l yi nb r e e z eo rd r i z z l e t h i s k i n do fv i b r a t i o nc a n b a d l yh a r mt h es a f e t ya n de n d u r a n c eo ft h eb r i d g e t ob e e x a c t ，i tm a yc a u s ef a t i g u eo ft h ec a b l e s ，c r a c ko ft h ea n c h o rjo i n t ，d a m a g et o t h ep r o t e c t i o ns y s t e m ，a n di n v a l i d a t i o no ft h ec a b l e si ns e v e r ec i r c u m s t a n c e s w h a t sm o r e ，t h ev i b r a t i o no fc a b l e s w i l l u n d o u b t e d l y c a u s et h e u n c o m f o r t a b l e n e s so ft h ep a s s e r s b y ；h e n c eb r i n go u tt h e i rd o u b tt ot h es a f e t y o ft h eb r i d g e t h e r e f o r e ，i ti sq u i t en e c e s s a r yt od om o r er e s e a r c ho nt h e c a b l e b e a ms t r u c t u r e b a s e do nt h ea b o v ef a c t s ，t h i st h e s i sh a sd o n em u c h r e l a t e dr e s e a r c h ，a n dt h em a i nr e s e a r c hw o r kc o v e r st h ef o l l o w i n gc o n t e n t s ： ( 1 ) b yt a k i n g t h ei n f l u e n c eo fb e n d i n gr i g i d i t yi n t oc o n s i d e r a t i o n ，t h et h r e e d i m e n s i o n a ln o n l i n e a rd y n a m i ce q u a t i o n so fi n c l i n e dc a b l ea r ed e d u c e du n d e rt h e h a m i l t o np r i n c i p l e b a s e do nt h eb o u n d a r yc o n d i t i o n s ，t h es y s t e me q u a t i o n sa r e r e d u c e dt ot w o d i m e n s i o n a l m o r e o v e r , t h ei n t e r n a lr e s o n a n c ep a t t e r n so ft h ep l a n e m o t i o n sa n dc o u p l em o t i o n so fi n - p l a n a ro ro u t - p l a n a ra r ea n a l y z e dr e s p e c t i v e l y t h e i n f l u e n c eo fb e n d i n gr i g i d i t yo nt h ei n t e r n a lr e s o n a n c eo fi n c l i n e dc a b l ei sa l s o s t u d i e d ( 2 ) w ee s t a b l i s ht h em a t h e m a t i c a lm o d e lo fc a b l e - b e a ms t r u c t u r e ，a n d a l s o e s t a b l i s ht h ep a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n so fm o t i o n so fc a b l e - b e a ms t r u c t u r eb y f o l l o w i n gt h eh a m i l t o np r i n c i p l e a n dao n e d i m e n s i o n a lt r e a t m e n ti sa l s og i v e no n t h ea b o v ee q u a t i o n s ( 3 ) b yu s i n gg a l e r k i nm e t h o d ，w ec h a n g et h ep a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n so f m o t i o n so fc a b l e b e a ms t r u c t u r et ot h es e c o n d o r d e ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a n df i g u r eo u tt h ef r e q u e n c yr a t i oo fr e s o n a n c eo ft h ec a b l e b e a ms t r u c t u r eb y a d o p t i n gt h em u l t i s c a l em e t h o d t h i sc h a p t e ra l s od i s c u s s e st h es t a b i l i t yb e t w e e nt h e i i 硕 j 学位论文 c a b l ea n dt h eb e a mw i t hs o m ef r e q u e n c yr a t i oo fr e s o n a n c e c o n s i d e r i n gt h ec a s e o fk 2 ，w ef i g u r eo u tt h ea m p l i t u d e a m p l i t u d er e s p o n s ec u r v e so fp a r a m e t r i c r e s o n a n c ea n ds t u d yt h ei n f l u e n c eo fd a m pt ot h ec a b l ep a r a m e t r i cv i b r a t i o nw i t h n u m e r i c a le x a m p l e s ( 5 ) b ya d o p t i n gt h ea n s y s ，w eb u i l d am e c h a n i c a lm o d e lo ft h ec a b l e - b e a m s t r u c t u r e ，a n df i g u r eo u tt h er e s p o n s et i m eh i s t o r yc u r v eo ft h ec a b l e su n d e rm a i n r e s o n a n c ea n ds u b h a r m o n i cr e s o n a n c e ，a n da n a l y z et h eh a r m o n i cr e s p o n s eo ft h e s t r u c t u r e k e y w o r d s ：c a b l e b e a ms t r u c t u r e ；n o n l i n e a rd y n a m i c a l ；n o n l i n e a rf i n i t ee l e m e n t ； s u b h a r m o n i cr e s o n a n c e ；m u l t i p l es c a l em e t h o d i i i 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取 得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其 他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果 由本人承担。 作者签名： 日期。1 年朋帅 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查 阅和借阅。本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位 论文。 本学位论文属于 l 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密团。 ( 请在以上相应方框内打“ ) 作者签 导师签 日期：沙7 年，月8 日 日期：硼7 年朋哆日 硕士学位论文 i 1 立题背景和意义 第i 章绪论 在现代许多实际工程中，有很多系统都可以简化为索梁结构模型，譬如桥梁 工程中的斜拉索桥，还有用于通信传输的光纤耦合器，航空航天科技中的绳系卫 星，缆索起重机，高压架空输电线与塔架等等。本文重点研究斜拉索桥中索梁结 构的动力学分析。 由于拉索结构的阻尼小，柔度大，在外激力作用下，长索容易发生振动，从 而产生例如索的疲劳破坏，锚固点处的次应力作用以及外保护层的脱落等等，高 频小幅度的振动还可能引起整个系统的共振。斜拉桥由索塔、主梁、斜拉索组成。 它起源于欧洲，第一座现代斜拉桥始建于1 9 5 5 年的瑞典，跨径为1 8 2 m ，十年后 传到美国。斜拉索桥造型美观，且在中跨范围内施工简单等特点得到了蓬勃的发 展。当今，主跨超过3 0 0 m 的斜拉桥已成为常规设计，单索的长度也随着斜拉桥 跨度的增大而增加。目前世界上建成的最大跨径的斜拉桥是位于江苏省的苏通大 桥，主跨径为10 8 8 m ，于2 0 0 8 年4 月2 日试通车。斜拉索桥的重要性越来越明显， 仅仅在近二十年内就变得如此成功，以至在正统的桥梁体系中它已占有很重要的 地位。近代的斜拉索桥中呈现一个空间体系，这个体系有加劲梁，横向和纵向连 接系，正交异性桥面以及支撑部分比如受压的塔柱与受拉的斜拉索等组成。这样 一个空间结构的重要特征是横向构造全部与主要的纵向结构共同作用。这意味着 结构的惯性具有很大的增加，这样就有可能降低梁高并节约钢材。斜拉桥结构由 塔，索和梁组成，结构体系丰富多彩。按照塔的数量，可分为单塔和双塔；按照 索面数可分为单索面和双索面；按照索的形状可分为放射形( 图1 1 ) ，竖琴形( 图 1 2 ) ，扇形。在密索体系的前提下，按塔，梁和墩的相互连接方式，可分为桥墩 固结，塔梁固结，塔梁墩固结和漂浮体系。由于斜拉索较长为追求更加经济，工 程设计人员和施工人员都在不断地采用新材料和信的斜拉索体系。而这些因素有 时会导致拉索振动。很明显索振与拉索的空气动力特性，拉索及斜拉桥上部结构 的动力特性有关。 由此引起的拉索振动而导致设备破坏，交通被中断的事例频频发生。1 9 8 8 年， 比利时的b e n a h i n 桥和w a n d r e 桥在风荷载作用下，其中九根索发生了振幅1 m 以上的大幅振动【l 】，荷兰的e r a s m u s 桥在开通不到两个月就由于索的大幅振动和 桥面的明显振动而被迫关闭【2 】，而我国的南浦大桥在1 9 9 4 年、1 9 9 5 年先后 誊：墨墨：兰望箜碧墨兰：兰兰立鳖蚕2 互 圈i1 上海扬浦人桥 幽l2 长沙洪山庙人桥 三次由于拉素的振动导致了减振器的脱落。引起索振动主要有以下5 种因素 1 ) 在风荷载作用下发生的索的空气弹性失稳振动； 2 ) 在风荷载作用下锚固塔的振动引起索的振动； 3 ) 大跨度结构在j 吐荷裁和移动荷载共同作用下产生的索的振动： 硕i ：学位论文 4 ) 索上有裹冰和结晶时，在风荷载作用下产生的索的振动； 5 ) 在雨中，索和风荷载相互作用产生的索的振动。 在航空航天方面，柔性附件动力学问题已成为人造卫星和宇宙飞船动力学分 析中必不可少的重要环节。对离地面约一百千米的高空进行环境探测时使用的绳 系卫星在微重力环境中的基本运动形式为横向振动、纵向振动、跳绳运动等。绳 系卫星通过系绳在空间展开、状态维持与回收时会发生复杂的动力学行为。1 9 9 2 年8 月和1 9 9 6 年2 月，意大利和美国分别对t s s 一1 ，t s s - 1 r 进行了两次在轨试验 飞行。其中t s s - 1 的释放机构出现堵塞，系绳释放了约2 6 8 m ；t s s - 1 r 的系绳在释 放到1 9 7 千米时发生断裂【4 】。卫星天线、太阳能帆板的伸展长度与其自身相比可 以大到几倍甚至几十倍，弹性变形的影响不可忽略。例如，1 9 5 8 年美国第一颗人 造卫星探险者l 号升空后，由于其鞭状天线伸展度大、柔度大，其振动引起了卫 星能量耗散，造成卫星自旋运动不稳，导致了空间飞行任务的失败，究其原因是在 原始设计时没有考虑天线柔性的影响。在进行空间飞行器中柔性附件动力学建模 时，由于问题的复杂性，促使人们时常在某个阶段进行线性化，但这种线性化常 常带来缺陷。近几十年来，国内外许多学者对此进行了大量的研究，建立了许多 有效的建模方法，但并未彻底解决空间飞行器动力学中的刚柔耦合问题。 实际上几乎所有的高压架空输电线路都受到微风振动的影响和威胁，微风振 动问题一直是各国输电线路工作者着重研究的课题之一。在地球北部纬度比较高 的国家，比如加拿大，输电线被冰包裹时会导致电线在不大的风速下发生大幅、 低频驰振，容易造成电线与瓷瓶之间产生磨损而发生疲劳断裂现象。由于人烟稀 少给检修带来诸多不便，所以在寒冷地区需要控制冰裹导线的低频振动。在6 0 年 代，我国曾组织有关部门对全国部分地区架空输电线路的风振危害情况进行调查， 调查包括数百回线路及大跨越线路运行情况，其中钢芯铝绞线导线9 5 6 8 m ，钢绞线 避雷线8 9 6 8 m ，结果发现比较普遍存在着断股现象。高压输电线路导线是一种柔性 较大的结构，在一定的风力作用下，会发生稳定的风致横向微幅振动，容易使导 线在塔架的悬挂点附近发生疲劳破坏，造成巨大损失。从3 0 年代起，国内外开展 了风作用下导线振动破坏的研究，但迄今为止，绝大多数研究在考虑导线时，都 将塔架的振动忽略，认为导线固定地悬挂在塔架上，但越来越多的现场测试结果 和破坏资料显示，在特定风况和环境条件下，某些线路其塔线间会发生强烈的风 致耦合振动。这时塔架的振动往往会加剧导线的振动，反之亦然，产生导线、悬 挂金具、甚至塔架的破坏。尤其对大距离线路，这种影响更显著。四川大学的刘 群等人曾就高压架空输电线路钢结构塔架与导线风致耦合振动现象进行了现场测 试，测试线路为云南省漫湾一昆明5 0 0 k v 高压输电线路。测试中发现导线的实测风 致频率发生峰值转移。 索作为柔索体本身的非线性运动行为非常复杂，与线弹性体不同。以往在工 3 索梁组合结构的建模与1 卜线性有限兀分析 程中将其视为二力杆单元进行线性化的简单计算，而与拉索相连的结构往往视为 刚性体或刚性支座，由于自身材料、温度条件和其它外在因素的影响，常常发生 人们预料之外的问题甚至事故，以上已经给出了许多工程实例。柔索与弹性体耦 合系统的动力学特性较为复杂，不能仅仅用简单的线性单元进行模拟计算为了 最大程度上的避免结构破坏，减少维修成本，保证人员安全，研究索一梁耦合系统 的非线性动力学行为有着非常重要的工程意义。 1 2 研究历史及现状 迄今为止，国内外学者对索和梁的独立系统的动力学问题进行了很多研究，并 且取得了大量有价值的研究成果。 弹性梁的动力学相对于索的动力学而言研究的历史更早、内容更广泛、更深入。 根据牛顿定律可以得到弹性梁的振动微分方程，进行近似计算求数值解时，可以 使用质量集中法或有限元位移法来对梁进行离散化，对前几阶模态都有较好的近 似。一般来说既包括它的线性理论、菲线性理论、也有各种激励( 参数激励、强 迫振动或者联合作用) ，各个维数、各阶模态下的时间响应、共振与内共振、分叉 模型及其混沌。在此不再赘述。 早在1 8 世纪上半叶，t a y l o r ，d a l e m b e r t ，e u l e r 和b e r n o u l l i 就对绷紧弦的 振动进行了研究，并提出了弦的基本振动理论。1 7 3 2 年b e r n o u l l i 研究了均匀悬 索在总理作用下的横向运动，5 0 年后e u l e r 研究了同样的问题。他们都给出了具 有无穷序列形式的索固有频率表达式。对于无限维系统，其线性化系统的固有频 率应该有无穷多个，结果是合理的。对索振动问题作出早期贡献的是p o i s s o n ，他 在1 8 2 0 年给出了索在一般力作用下的偏微分振动方程，对前人获得的悬索和绷紧 弦的振动解作了改进。1 8 5 1 年，r o h r s 与s t o k e s 合作得到了小垂跨比、均匀无伸 长悬索面内对称振动的近似解。1 9 4 0 年，美国t a c o m a 悬索桥发生坍塌，引发了对 地面索桥拉锁的振动研究。1 9 4 1 年1 9 7 3 年，k a r m a n 和r a n n i e 分别给出了三跨索 在非伸长条件下面内对称和反对称振型1 9 5 0 年，b l e i c h 等考虑索的弹性作用对 悬索桥进行了较全面的研究。1 9 5 3 年，s a x o n 和c a h n 详细研究了均匀无伸展索的 面内振动，但对较大垂跨比的索，该结果也有较好的近似，他们还将近似解和试 验结果进行了比较。i r v i n e 和c a u g h e y 【5 1 研究了考虑弹性伸展、垂跨比约为l ：8 的地面水平悬索的面内和面外线性只有振动，给出了与面内外对称和反对称振型 对应的第一阶固有频率，并通过试验验证了理论结果。结果表明，悬索的静态构 型为悬链线，当垂跨比小时，悬链线可以用抛物线近似代替。l u o n g o 6 l 【7 1 等应用多 尺度法研究了具有几何非线性的水平悬索的非线性单频振动。r e g a t 8 1 等研究了垂 跨比在1 ：2 0 1 ：8 范围内的悬索面内对称和反对称振动，计算了非线性幅频响应。 这两个模型揭示了柔索的内在非线性现象，例如内共振条件下的非线性振动、索 4 硕i ：学位论文 的多模态相互作用，以及利用阻尼器对拉索进行振动控制时出现的非线性现象。 1 9 8 7 年，t a k a h a s h i 和k o n i s h i ( 9 】研究了斜拉索的面内外三维非线性振动，发现索 既可以表现为软特性也可以表现出硬特性，这一集合非线性取决于垂跨比。2 0 世 纪9 0 年代以来，人们开始关注索的非线性动力学问题。c h a n g t 3 1 研究了随即激励 下悬索的非线性动力学。胡海岩和金栋平【1 0 1 研究了横向流体激励下行进柔索的非 线性运动特征，不同行进速度下的索的回转运动特征以及在相平面上索的全局相 流。z h a n g 和t a n g 对索的参数及非线性振动问题进行了更深入的全局非线性动力 学分析。t j a v a r a s 考虑到水下柔索的弯曲特征，借助p o i n c a r e 映射方法研究了索 的动态响应。在试验研究方面，早期i r v i n e 和c a u g h e y t 5 1 主要观察了水平悬索的 对称和反对称振动。p a p a z o g l o u 等进行了水下索的非线性响应试验研究。r e g a 和 a l a g g i 0 等通过试验研究了具有8 个集中质量的悬索在两端受面内横向激励时的 非线性动力学行为，得到了诸如非线性模态相互作用、内共振、局部分叉等丰富 的非线性动力学行为，k o h 和r o n g 对悬索的大位移运动进行了试验考核，b a r b i e r i t l 2 1 等人测量了输电线的响应，基于实测数据进行了系统的阻尼辨识。b e r li o 和 z l a m a r q u e 对斜拉索的非线性振动进行了理论和试验研究。m a t s u m o t o 等人对斜拉 索桥的拉索进行了风激振动的吹风试验，研究了风速对于拉索振动模式的影响， 结果表明，随着风速增加斜拉索出现了从低阶到高阶模态的振动。 对索进行线性理论分析，忽略了索的纵向振动对垂直于面内的横向振动的影 响，可以得出其面内运动与面外运动完全解耦的结论，而索的实际运动形态要复 杂得多。l u o n g o 、r e g a 、t a k a h a s h i l 8 1 专门研究了三维问题弹性索的几何非线性问 题，发现面外运动对面内运动的影响就像面内运动受到参数激励。通常，绳索系 统面内横向振动与面外横向振动频率很接近，在大幅度振动时面内外的振动相互 耦合。在适合的非线性耦合条件下会出现丰富的内共振现象，而许多绳索系统的 实际工程情况难以避免内共振条件。此外，对于含控制的绳索系统，其动力学方 程一般表现为强耦合参数振动。实际工程中索的面内与面外运动也称为气圈运动 或沙圈运动。例如，在纺织工业中，通常要将几股较细的纺线通过耳环送入到一 个下端旋转的锭子上。在大气等因素的作用下，纺线会随旋转的锭子在空间形成 气圈，进线速度会影响气圈形状，进而影响耳环与纺线问的摩擦力，以至在捻作 过程中可能造成纺线断头过多。类似的，柔索在旋转时形成的气圈也存在运动稳 定性问题。在大跨度悬索桥中，主跨拉索会受到锚固端和风雨等激励作用，进而 可能引发主桥的二次振动，对主跨拉索安装各种减振器或使用支索可以减小拉索 的振动。 由于柔索容易在外界干扰下产生复杂的运动形态，在工程中造成了各种危害 和损失，2 0 世纪8 0 年代未，人们对如何控制索的振动展开了大量的研究工作并采 取了些控制措施。通常，被动阻尼控制器被安置在沿索的横向方向、位于索的 5 索- 粱组合结构的建模与1 r 线件有限兀分析 支撑附近的位置。这类阻尼器的阻尼材料有油、粘弹性材料( 比如橡胶) 、磁流变 液( m r ) 等。对于长索结构系统，这类被动阻尼减震器可能提供不了足够的阻尼， 以至于达不到预期的减振效果。目前，一种控制绳索振动方法是使用主动或半主 动的横向或纵向边界支撑运动来抑制悬索的振动。在横向边界控制中，面外振动 的控制策略有控制系统的稳定性直接提供，但需要基于位置、速度和角度来构造 施于支撑的配置控制结构。在纵向边界控制中，由于纵向小幅运动比横向运动具 有非线性耦合，因此通过支撑在纵向的小幅振动来控制索的横向振动比横向边界 控制更具有优势。主动控制有模态控制和波控制两种。由于波控制需要在索的横 向施加控制力，因而可能会在施力点局部使索产生弯曲应力而导致疲劳破坏。为 了避免局部应力，人们更多采用模态控制的方法。1 9 8 4 年，c h e n 通过数值研究发 现，索的纵向运动导致时变的横向刚度，以至于横向振动产生阻尼效应，即动刚 度控制。f u j i n o 使用动刚度控制方法让悬索一端受到纵向运动来控制索的横向面 内一个模态的只有振动，形成单模态控制。由于研究的是几乎绷紧的索，因此忽 略了索的垂度影响和纵向惯性作用，并假设线弹性以及动张力沿索横向均匀分布。 通常，所受到的外部作用多是风荷载等非简谐的随机激励，因此很容易激起索的 多模态响应，b a i c u 等基于分布连续模型的l y a p u n o v 理论进行了能够稳定索的全 部模态的被动和主动边界位置反馈控制研究，提出了基于观测点位置、速度和角 度的配置控制结构。基于该横向支撑的边界控制可以避免f u j i n o 等入提出的涡旋 不稳定现象。 在索动力学的研究中，经历了静力学到动力学，从线性理论，从被动控制到 主动控制，从考虑直线索到考虑垂度效应的几个过程。就非线性而言，主要研究 了两个方面的因素：1 ) 索的大变形；2 ) 索的垂度效应。就动力学而言，研究了： 1 ) 动力响应；2 ) 外共振模态；3 ) 内共振模态；4 ) 索的几何参数、物理参数对 动力响应的影响；5 ) 各种复杂荷载作用下( 风、雨等) 索的振动及其控制。 对于索一梁耦合系统的非线性动力学性质方面的研究，c h e n g 和z u t l 2 1 把光纤耦 合器简化成一个具有四个节点的弦一梁耦合系统，建立了线性和非线性两种动力学 方程，对每一种动力学方程进行数值仿真并比较了仿真结果，r i e d e l 和t a n 研究 了两端耦合的运动弦线和e u l e r b e r n o u l l i 梁的自由振动响应。关于斜拉索桥的 简化模型的非线性研究也很多，斜拉桥的结构分析与传统的连续梁和桁架桥的结 构分析相比较，几何非线性的影响尤为突出，影响因素也多，特别是特大跨径的 斜拉桥，由于斜拉索较长。自重产生的垂度较大。整个结构的几何变形也大，大 变形问题很突出，加上弯矩与轴向力的相互作用等因素的影响，使得大跨径斜拉 桥的几何非线性分析显得较为复杂，其几何非线性主要来源于m 】【1 1 i ：1 ) 由于桥板、 拉索以及塔架的尺寸增大，作用的荷载相应加大，变形也随之加大，因此要考虑 拉索与板桥小挠度的大变形问题；2 ) 新型材料的应用、温度效应等不可忽略的物 6 硕f ：学位论文 皇鼍皇一_ 一一 。m qmq 。 i n t o 毫詈喜量一 理因素也使得斜拉桥的非线性因素必须考虑；3 ) 桥板、塔架与拉索的耦合作用， 这些是斜拉桥中的弯压构件，弯曲变形与压缩变形之间的耦合所产生的作用也是 引起非线性的重要因素；4 ) 随着斜拉桥跨径的增大，拉索的长度随之增加导致其 重量的影响增大，产生的垂度不可以直接忽略，从而使斜拉桥的伸长量与斜拉索 内拉力不成正比关系。 索一梁结构是工程中普遍采用的一种结构，它的受力形式简单、材料的力学性 能得以充分利用。目前对于索梁结构的研究主要使用有限元法。以高压输电线为 例，大连理工大学的李宏男教授【9 l 等人曾利用多质点模型来模拟输电线路与塔架 的动力特性，将输电塔架间互为具有多个集中质量的串联多自由度体系，电线简 化为多个集中质量，个集中质量之间由刚性杆连接。通过计算该复合体系的弹性一 重力耦联振动，给出不同跨径条件下，纵向振动时导线对塔架的动力影响武汉 大学的梁枢果教授等人在他的研究基础上考虑了节点纵向位移二阶小量的影响， 对输电塔线体系的动力特性和频率风振响硬座了研究，使模型能同时适用于地震 和风振响应的计算。 2 0 世纪末亢战，钟万勰提出了一个索梁系统参数共振的模型，将系统简化为一 个二自由度的非线性振动模型。对斜拉索参数的研究方法，按照激励形式的不同， 可分为两大类：第一类是理想激励系统，即激励的幅值和频率不受响应的影响， 在振动过程中，按照制定的方法变化，这种激励也成为理想能源，认为悬臂梁的 质量远大于索的质量，忽略拉索的振动对桥面的影响；第二类是非理想激励系统， 即激励的幅值和频率在响应过程中不断变化，认为梁的振动与索的振动是相互耦 合的，建立索一梁耦合振动系统，比第一类方法多一个自由度。a p in t o d ac o s t a 用第一类方法研究了桥面的竖向振动引起索的大幅振动，m i c h e lv i r l o g e u x 用第 一类方法将索一梁耦合振动分解沿轴向的参数振动和垂直于索轴向的强迫振动。 1 3 非线性动力学概述 1 3 1 非线性系统的特点 与线性系统振动相比，非线性系统振动非常复杂，具有一下典型特征： ( 1 ) 线性系统中的叠加原理不再适用； ( 2 ) 存在多解，对应于平衡状态和周期振动的定常解一般有数个，但实际振 动的实现是和振动的稳定性及初始条件密切相关的： ( 3 ) 系统响应中除存在和激振频率相同的成分外，还存在倍频和分频成分： ( 4 ) 系统的固有频率与振幅有关，同时系统振动的三要素也与初始条件有 关； ( 5 ) 系统的振幅和相频特性曲线中存在跳跃想象： 7 索一粱组合结构的建模与北线性有限元分析 ( 6 ) 系统中存在分叉与混沌等复杂的动力学行为。 1 非线性系统的分类 按照非线性系统的共同特征，即系统中所含的非线性的因素，一般可分为三 类。 ( 1 ) 由物理性质造成的非线性弹性力；( 2 ) 由几何原因造成的非线性弹性力； ( 3 )由摩擦或内阻的非线性造成的非线性阻尼力。 2 非线性系统的分析方法 ( 1 )定性的方法，用以判定一个系统的发展趋势，主要是判定其稳定性问题。 常用的方法有拓扑方法与图解法： ( 2 ) 解析的方法，可用于求出系统振动时间历程的近似表达式。主要有谐波平 衡法、摄动法、三级级数法、多重尺度法等。 ( 3 ) 数值积分的方法，用于求系统振动时间历程响应，并在经过傅里叶变换后 得到响应的频域特性。 3 非线性系统的方程 非线性系统还可以分为自治系统和非自治系统。自治系统指在其运动微风方 程中，除了含有对时间的导数项外，不显含时间t 的系统。这种系统的振动状态 完全由其本身特性所决定，不受外界影响。非自治系统指的是在其运动微分方程 中，除了含有对有时间的导数项外，还显含时问t 的系统。这种系统的振动状态 受外界影响。 1 3 2 非线性系统的振动特性 1 非线性系统内共振 对于多自由度非线性系统，当两个或更多频率的比值为有理数或近似为有理 数时。由于非线性的影响使得可通约关系中相应模念之间产生强烈耦合，这种现 象称为非线性系统内共振。 2 参数振激励动 在振动系统中，和时间有关的激励是在系统运动方程的参数出现，这种系统 称为参数激励系统( 也称时变系统) 。与外部激励不同的是，小的参数激励系统可 以在激励频率原理远离系统的线性固有频率时，就能产生大的响应。 3 固有频率与振幅的关系 在刚度硬特性非线性系统中，固有频率随振幅的增加而变大，在刚度软特性 非线性系统中，固有频率随振幅的增加而变小。 4 次谐波响应与超谐波响应 非线性系统在简谐激振力作用下，其强迫振动不一定是简谐振动，响应波形 会发生畸变。原因在于非线性系统的响应波形中除含有与激振频率( 国；) 相等的 8 硕l ：学位论文 谐波外，还有等于的次谐波响应和频率等于m 国f 超谐波响应。 次谐波振动和超谐波振动在性质上有两点不同： ( 1 ) 超谐波响应在一般的非线性系统中或多或少的存在，而次谐波响应则只在 一定的条件下产生： ( 2 ) 系统中存在的阻尼，只能影响超谐波的振幅值，但对次谐波，则只要阻尼 大小超过某一定值，也可以完全阻止次谐波的出现。 5 多个简谐激振力作用下的组合频率响应 当非线性系统受到两个频率分别为劬、激励力共同作用时，系统响应中不 仅会出现频率为c o j l ，o ) j 2 及2 q l ，2 舀a j 2 的强迫振动，还会出现频率为激励频率之和和 激励频率之差等组合项的强迫振动。 6 非线性振动的稳定性 稳定性问题主要讨论系统在均衡状态( 包含静止和振动两种状态) 附近受到 扰动时的表现。在静止的均衡状态下，系统各变量保持为常数，即通常所说的平 衡状态；在振动的均衡状态下，系统的各变量只作为连续的周期性改变。在不稳 定的均衡状态附近受到扰动时，系统的运动讲越来越远离这个均衡状态；但在稳 定的均衡状态附近，情况与此相反，系统的运动将渐渐回到这个均衡状态。 7 非线性系统的分岔与混沌 分岔：若任意小的参数e 变化会使结构不稳定的动力学系统的相轨迹拓扑结 构发生突然变化，则这种变化称为分岔。 混沌：混沌运动是一种由确定性系统产生对于初始条件极为敏感而具有内禀 随机性和长期预测不可能性的往复非周期运动。 8 多尺度法解非线性振动 多尺度法：实际工程中经常出现某些物理量局部变化缓慢，而某些物理量局 部变化剧烈，此时若对系统引入多个自变量即多个尺度的时间变量进行渐进求解， 将使求解便利且能更广泛地处理复杂问题。在摄动法求解非线性振动问题中。系 统的周期解x ( f ；g ) 仅是一个自变量t 的函数。如果引入( m + 1 ) 个不同尺度的时间变 量 = s 。t ，( m = 0 ，1 ，2 ，m ) 那么z 就是( m + 1 ) 个独立自变量的函数，即 工( f ；占) = x ( 瓦，互，；占) m ，一- i = 2 ：占”( 瓦，7 ；，乙) + o ( f ，乙) m = o 这些新变量随时间t 变化的速度依次减慢一个数量级。上式中所需独立时 间变量的个数取决于需求解到哪一阶近似解。引入新自变量瓦，互，正，后，对时间 9 索粱组合结构的建模! j 非线性有限元分析 f 的导数变为对乙偏导数展开形式 兰：亟旦+ 盟旦+ 一旦+ s 旦 ( 1 1 ) 一= j 一+ 一一+ = 一+ 一 1 j - ， 斑 西a t o出a 互a 瓦a 石 垂：荽+ 拓2 - + ( 1 2 ) 西2 a 瑶o z o a r , 将式( 1 1 ) 和式( 1 2 ) 代入非线性方程，就能按占的幂次得到关于x o ，的 线性微分方程组。各方程的解中包含有不同尺度的时间变量i o ，互，五，的任意函 数，利用消除解中出现长期项的条件可确定这些函数。 1 4 本文研究的主要内容 本文在总结索、梁和索一梁组合结构非线性动力学理论的基础上，为了更加深 入地认识索梁组合结构非线性动力学的特性，针对实际工程中提出的索梁结构的 简化模型进行了非线性动力学理论分析并对建立的索梁结构简化模型进行了有 限元分析。全文共四章，主要研究内容如下； 第一章陈述了本文研究的背景、历史及现状，非线性动力学的相关概念和研究 的主要内容。 第二章利用h a m i l t o n 变分原理，推导了考虑弯曲刚度、垂度及几何非线性的 弹性斜拉索三维非线性振动方程。根据边界条件约化为二维系统，分别考虑了平 面运动和面内面外耦合运动可能存在的内共振模式。分析了弯曲刚度对斜拉索动 力学特性的影响，并进行了数值计算。 第三章建立了索一梁组合耦合系统的数学模型，并利用h a m i l t o n 原理建立了索一 梁耦合系统的运动偏微分方程，并对上述进行了一维约化处理。 第四章利用g a l e r k i n 方法将索梁组合结构的运动微分方程组整理为二阶常微分 方程组，利用多尺度法给出索梁组合结构发生内共振的频率比，讨论了索和梁之 间几种频率比下的内共振解的稳定性。考虑频率比为2 的情形，得到了拉索参数 共振的幅幅响应曲线，并数值研究了阻尼对拉索参数振动的影响。 第五章阐述了索梁结构几何非线性和材料非线性的有限元基本理论，并利用通 用软件对建立的索梁简化模型进行了亚谐波共振和拍振分析及研究，并对结构进 行了谐响应分析。 1 0 硕 ：学位论文 第2 章弹性斜拉索非线性动力学分析 弹性斜拉索是斜拉桥等结构的重要组成部分，由于施工方便以及随着材料抗拉 强度的不断提高，在工程中的应用日益广泛。斜拉索的研究经历了从静力学到动 力学，从线性理论到非线性理论，从直线弦到考虑垂度效应的几个过程。其非线 性主要包括材料非线性、大变形及垂度引起的几何非线性等。动力学研究的主要 问题包括以下几方面： ( 1 ) 动力响应即时问历程； ( 2 ) 外共振形态，包含主共振、超谐、次谐共振； ( 3 ) 内共振形态，包含各维模态之间内共振、同维各阶模态之间内共振； ( 4 ) 斜拉索几何参数和物理参数对动力响应的影响； ( 5 ) 风雨等各种复杂荷载作用下斜拉索的振动与控制。 随着索结构的跨度愈来愈大，斜拉索非线性问题更加突出，因此研究弹性斜拉 索非线性动力学具有很强的工程背景和理论意义。文献1 3 3 1 通过数值模拟和理论分 析研究了斜拉索风雨激振的机理以及阻尼器的控制效果。本章利用h a m i l t o n 变分 原理，推导了考虑弯曲刚度、垂度及几何非线性的弹性斜拉索三维非线性振动方 程。根据边界条件约化为二维系统，分别考虑了斜拉索平面运动和面内面外耦合 运动可能存在的内共振模式。分析了弯曲刚度对斜拉索动力学特性的影响，并进 行了数值计算。 2 1 弹性斜拉索运动微分方程 建立如图2 1 所示的坐标系，其中观( i = 1 。2 ，3 ) 为直角坐标系，s o 、s 、为 曲线坐标。将弹性斜拉索的变形分为三个阶段进行描述： ( a ) 自然无伸长位置& o ： ( b ) 在重力作用下的初始变形位置& 。； ( c ) 在外荷载p , o ，t ) 和重力作用下的动变形位置& r 。 令e ，彳，i ，坍，l 和r 7 分别为斜拉索弹性模量，截面面积，截面惯性矩， 单位长度质量，初始曲线长度和初始切向拉力。另外，本文作以下基本假定： ( 1 ) 考虑斜拉索的轴向刚度和弯曲刚度，忽略抗扭刚度及抗剪刚度。 ( 2 ) 不考虑斜拉索的材料非线性，其应力应变关系服从虎克定律且各点受力 均匀。 索粱组合结构的建模与1 卜线性有限元分析 图2 1 斜拉索的力学模型 斜拉索上质点p 初始变形从p ( # ) 位置移动到p ，( f ) 位置，动变形从p ，( 爿) 位 置移动到p v ( ) 位置。则动位移u i 为： ，( j7 ，f ) = x