（课程与教学论专业论文）大学一年级学生对微积分基本概念的理解.pdf

摘要 概念定义是数学的基础，但概念定义不是直接来自于客观现实中，且具有抽 象性、概括性、简明性等多重性，因此，学生往往难以一字不漏地背诵概念定义。 学生获得概念就是形成概念表象，但有时候某个概念的表象是片面的、歪曲的和 冲突的，如果让学生先放一放去学相容关系的概念，能促进对原先概念的理解。 因此概念定义是建立良好概念关系的基础，良好概念关系反过来会促进概念定义 的理解，让学生形成正确的概念表象。 微积分研究的对象是函数，研究工具是极限，微积分概念的定义方式与以往 学习的初等数学概念有本质的区别。尽管学生能求极限、导数和积分，但他们并 不能很好地理艇微积分的基本概念。函数在点x 处的极限、连续和导数三者概 念，本文通过问卷调查和访谈，对不同专业的大学一年级本科生的概念表象和三 者关系的理解水平进行了研究，而且对三个专业进行显著性差异比较。研究发现： 三个不同专业都存在不少的学生对函数在点处的极限、连续、导数的概念表 象是片面的、冲突的、甚至是缺乏的；三个不问专业相当一部分学生对函数在一 点的“极限”、“连续”、“导数”概念理解是互相孤立的，不理解它们两两之间的 联系。 关键词：概念定义；概念表象；概念关系；极限：连续；导数 a b s t r a c t c o n c e p td e f i n i t i o n ss e r v ea st 1 1 ef o u i l d a t i o no f m a t h e m a l i c s ，b u tt l l e yd on o td e r i v e d i r e c n y 丘o mt h eo 功e c 廿v ef e a l i 妒a n dh a v et h em u l n p j ec h a r a c 据r i s t i c so f a b s t f a c t n e s s ， g e n e r a l i z a t i o na n ds i m p l i c i 吼t b u s ，i ti sd i 瓶c u l tf o rs t l l d e n t st 0r e c i t ec o n c e p t d c f i n “i o n sw i t b o u to i l l i 札i n gas i n g l ew o r d f o ras n l d e n t ，t oo 妇i i i lc o n c 印t sm e a n st o f b n nc o n c e p ti i i l a g e s h o w e v e ls o m e t i m e st h es 柚d e n t s i m a g e so fac o n c e p ta r e o n e + s i d e d ，t 、v i s t e d dc o i l f l i c t e d i fp e 椭i t c e dt ol e 蛐m er e l a t e dc o n c 。p tf i r s t ， s t u d e n t sc a l lb e t t e ru n d e r s t 柚dt h eo r i g i n a lo n e t b e r e f o r e ，c o n c e p td e f i n i t i o n sa r e f h 蛐e n t a 王t oe s t a b l i s hg o o dc o n c 印tr e l a t i o n s ，w l l i l eg o o dc o n c e p tr e l a t i o n s 晰l l c o n v e r s e l yp r o m o t e t l l eu n d e r s t a l l d i n go f c o n c 印td c f i 血i o n s ，州c h 丽1 1h e l ps t u d e m s f o 瑚c o r r e c tc o n c e p t 曲a g e s f 岫c t i o n sa r er e s e a r c ho b j e c t so f t h ec a l c u i u sa n d1 i m i ti si t sr e s e a f c ht 0 0 1 t 扯w a y t 0d e f i n et h ec a l c u l u sc o n c 印td i 丘b r sd i s t i i l c t l y 丘o m 出甜o fe l e m e n t a r ym a t h e m a t i c s a l t h o u 曲s t u d e n t sc a i l 虹n dt h el i m i t s ，d e r i v a 廿v e s 柚di n t e g 同so f 缸1 嘶o n s ，t 1 1 e ya f e n o ta b l et og a i nag o o dl l l l d e r s 劬d i n go f m eb a s i cc o n c e p t so f c a l c u l u s t h r o u g ha t e s t ， q u e s t i o 珊【a i r es u r v e ya n di n t e n ，i e w s ，t h j sp 印e ri n t e n d st oi n v e s t i g a t e 吐】ei m a g e so f t h ef r e s h m e nw i l hd i 髓r e n ts p e c i a l i t i e s 曲o u tt h ec o n c e p t so fl i i n i t ，c o n t i n l l i 可a j l d d e r i v a t i v eo f a f h n c t i o na t a p o n x oa n d t l l er e l a t i o n s h i p 蛐o n g t h e m i t i s f b u n d t h a t t l l ei m a g e sh e l db ym a n ys t u d e n t sf b mt h r e ed i 脯r e ms p e c i a l i t i e sa r eo n e s i d e d ， c o n n i c t e da n de v e ni n a d e q u a t e ，柚da t1 e a s t5 0 o fm e 舶s l l i n e ns e em e c o n c e p t so f t h el i i i l i t ，c o n t i n l l i t ya n dd e r i v a t i v eo faf l l n c t i o na tac e r t a i np o i n ti s 0 1 a t e d ，w i t h o u t t a k i n gt h er e l a t i o n s h i p 啪o n gt h e mi n t oc o n s i d e r a t i o n k e yw o r d s ：c o n c e p td e f i n i t i o n ；c o n c e p ti m a g e ；c o n c e p tr e l a t i o n ；l i r n i t ；c o m i i l 试t y d e r i v a t j v e 学位论文独刽性声鞠 本入所呈交的学位论文是我在鲁耀的播等下避行静醑究工俸及敢符的稀究 成果。搬我所知，除文中融经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发 表或撰霹过的研究成栗。辩本文豹研究骰滋重要贡献的个入和集体，均已在文中 作了明确说明并表示谢意。 律者签名 一未卫犟 日期：细焘擅xf 塞 学燕论文使爨授权声明 奉入完全了解华东褥范大学有关傈餐、使用学键论交静籁定，学校有权绦聱 学位论文并向国窳主管部门或其指定机构遴交论文的电子版茅口纸质版。有权将学 位论文璃于菲赢利西的的少量复翻并允许论文送入学校图书谵被壹阕。有较褥学 位论文的内容编入有关数据库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出 版。保密的学位谂文在解密后适弼本规定。 学位论文作者签名：客卫平 日期：却口占、n f g l 问题的提出 1 1 学生微积分学习现状 近几十年来，由于科学技术的进步，特别是数学在社会科学中的渗透，数学 教育在文科领域也得到了重视，高等院校的大部分文科专业也开设了高等数学课 程，其中一元函数的微积分被指定为必修内容。但由于大学生学习环境的改变、 微积分的高度抽象性等多种因素，不少大学生对微积分产生畏惧的心理。特别是 部分学生静止地、孤立地看微积分基本概念，用学习初等数学的方法学习高等数 学的基本概念，与微积分的思维方式格格不入，结果只能模仿式地进行一些计算， 从而导致微积分学习的重重困难。 为了了解大学生的微积分学习现状，尤其是微积分基本概念的学习现状， 笔者设计了一份问卷( 附录2 ) ，由于条件的限制，仅对教育学院的9 0 名学生进 行调查，时间1 0 为分钟。调查后发现了很多让人深思的现象：与高中阶段相比， 学生的学习兴趣、学习方法、学习目标发生了巨大的变化，其中5 7 1 的学生几 乎没有或没有预习的习惯，3 3 3 的学生课后几乎没有或没有复习的习惯，7 8 的学生对数学的兴趣降低了，6 5 的学生认为微积分内容中的应用最重要，而对 于极限、连续、导数、不定积分、定积分等基本概念，不少学生都觉得难以理解， 其中认为极限概念难以理解的占1 1 1 ，认为连续概念难以理解的占2 0 5 ，认 为导数概念难以理解的占1 0 + 3 。 高校教师或多或少地知道学生学习微积分的现状，但在重科研轻教学的大 氛围下，不少教师没有研读大纲，对基本概念的教学没有“照方妙药”，不少教 师照本宣科，学生对以无限、极限为基础的微积分基本概念往往听得一头雾水， 因而影响了微积分整体内容的学习。 众所周知，概念理解乃是微积分教学的主要目标之一，数学教育研究者已 经注意到，尽管学生能计算极限、导数和积分，但他们并不能很好地理解微积分 的有关概念。d a v i s 和v i n n e r 的研究证实，学生未能解释为什么极限的概念是 微积分的基本概念，未能讲出极限概念在微积分中所起的作用，甚至于极限概念 和微积分其它概念如“连续”，“导数”等之间的联系也是微弱的，建立完善的概 念关系对透彻地理解微积分基本概念是非常必要的( b e z u i d e i l l l o u t ，2 0 0 1 ) 。 1 2 概念定义和概念表象 在日常生活中，人们几乎很少用正式定义去理解自己生活的世界。大家都知 道“汽车”、“鞋”和“猫”指的是什么，这是因为人们在生活中时不时地接触 了“汽车”、“鞋”和“猫”，他们拥有了足够多的“汽车”、“鞋”和“猫” 的原型。迸一步说，你能正式地定义它们吗? 在生活中的许多场所，如果某一个 人谈起“猫”，人们会自然地想起小的、有毛的、不大的、不凶恶的动物。又如 中央电视台的“你做我猜”的娱乐节目，不就是人们在生活的反复体验中形成了 人们对某“东西”的概念吗? 因此，人们头脑中的许多“日常概念”，其原型就 是大家在现实世界中所接触到的实实在在的东西。 在数学领域里，准确、严密的数学概念都有其自己的定义。它们并非直接来 自客观现实，而是数学家思维的结果，不像人们“照镜子”那么直接，而是数学 家对于结果的主观能动的反映。如数学上的“椭圆”概念，并不是生活中“有些 扁的圆”，它被定义为“平面上的点到两定点的距离之和等于定长的点的集合” 和“平面上坐标满足关系式；+ 芸：1 或姜+ 乓：1 ( 口 6 ) 的点的集合”，人 口。d 。 6 口 们凭肉眼并不能直接看出满足条件的集合是椭圆。 1 2 1 概念定义和概念表象的界定 虽然众多的学科都涉及到“概念”这一词语，但概念定义通常指的是一个概 念的数学定义，本文也是在数学范围内讨论概念定义和概念表象。本文中所谓“概 念定义”指的是“用准确的数学术语、文字、符号，以非循环的方式对概念作出 的准确描述或分析”。“概念表象”指的是“概念在人脑中的认知结构，包括直 觉、形式概念中的元素、心理图式、有关的性质和过程”( p r z e n i o s l o ，2 0 0 4 ) 。每 个人心目中的概念，不论是有意识的还是无意识的，是正确的还是不正确的，都 疫瞧含在壤念表象之中，当然概念定义也可以毽含在搬念表象中。 在描述概念表象时，本文会用到“联想”、“直觉”、“关键词汇”、“缺 乏”等谲疆。“联想”在字典中兹解释是“由予菜天箴莱事耪稀怒起其绝裰关酌 人或事物”。例如学生在求测试题五的l i m 厂( x ) 时，有的学生想到了左右极限， j 呻2 有的学生想到了连续、可导。“直觉”在字典中的解释是“直观的感觉”。从认 识汝发生鹞发来看，豢觉的认识往往袭理为叠发魏、无意识的思缳活动，典套“不 可解释性”；从认识的过程来看，数学直觉是“从事数学发现所需要的与纯逻辑 不溺酶菜摹孛东覆”；觚试识懿方式寒纛，直觉露难不筏子逻辑瓣维；虢认谖匏结 果来看，通过直觉方式与逻辑方式都能获取新知识，区别在于前者具有殷常规的 猿截性，其奇突破传统思路的开拓程( 刘云章，2 i ) 。僵直觉也往往是错误的、 片面的、局限的，特别是以无限和极限为基础的微积分藻本概念，与大部分学生 的蠢觉背道而驰。“关键”在字典中的解释是对情况起决定作崩的因素，本文中 的“关键词汇”指的藏是学生写概念时用到鲍起决定作用的词汇。“缺乏”在字 典中的解释就是所需要的、想要的或一般应有的事物却没有或不够，本文中的 “缺乏”撂的是学生躲概念表象完全罐误或一片空自。 1 2 2 概念定义在数学教育中的地位 稷据愚播蓊静论述，数学是“研究现实鳘舞静空秘形式与数囊关系静萃萼学” ( 李文林，2 0 0 0 ) 。而概念定义是反映现实世界的数量关系和空间形式本质属性的 思缎方式，慧数学船识结季句静基本构成元素，怒数学逻辑的出发点，是判断、推 理、证明的依据，是建立定理、法则、公式的基石，是形成数学思想方法的出发 点，是数学思维的核心，也魑学生交流传递数学信息的工具，学生认翔的基础。 在义务教育和高中学习阶段，由于学生毂年龄特征瓣思维能力的水平，很多 学者提出了淡化概念的口号，些从事教学的一线教师轻视数学概念的教学。但 许多教师也在反愚，壤念在数学豹教耱学中到底扮演7 蟹么受夔? 狡念翅键弱 化? 极限定义这个问题在我国也出现了多次反复：从无到有，从有到无；从严格 援蔽定义( s 一定义和s 一# 定义) 基硝上煞擞积分裂嚣严格掇陵定义羹穑上的 微积分的反复，这也折射出对概念淡化的困惑。当学生进入大学学习数学时，抽 象思维能力加强了，心理建构能力也不断完善，很多教师认识到概念定义对建立 整个数学知识结构的重要性，大学数学中的数、理、工科的教材很少没有s 定义， 教师也很少不讲解8 定义，但目前很多高校教师并不能有效地组织教学。以无限 和极限为基础的微积分基本概念在如何编排、怎么教，一直是数学教师感到困惑 的问题。 1 2 3 概念表象在数学教育中的地位 由于概念定义并非直接来自客观现实，且具有抽象性、概括性、简明性等多 重性，学生往往难以一字不漏地背诵概念定义。n n e r 提出：“获得概念就是形 成概念表象，用心学习定义并不能保证理解。”( 李士镝，2 0 0 1 ) 也就是教师在进 行概念定义的教学时，要为学生提供形成正确表象的教学过程，而不是让学生死 背概念。 数学教育心理学认为，表象具有五个基本特征：( 1 ) 表象是相对形象的、具 体的；( 2 ) 表象具有综合性和整体性；( 3 ) 表象常常有不全砸、不精确、不深刻 的弱点；( 4 ) 表象有一个发展过程；( 5 ) 表象因人而异、因事而异( 李士镐，2 0 0 5 ) 。 正因为表象的多重性，教师帮助学生建立正确的概念表象显得特别重要。 有些教师在教概念定义时，不重视学生正确概念表象的建立，让学生尤其是 差生死记硬背，这与教师误解概念表象或对概念表象理解偏差有关。一种情形是 有些教师以为，一般人利用表象，数学家不利用表象。但他们可能不了解数学教 材的许多概念都是经过数学家千锤百炼的结果，很多数学概念的构造萌芽却来自 某种客观现实的表象。如在数学发展的历史长河中，几何原本中圆的定义是 用语言来叙述的：“圆是由一条线包围着的平面图形，其内有一点与这条线上的 点连接成的所有线段都相等”( 欧几里得，1 9 9 0 ) 。但随着笛卡儿平面坐标系的建 立和集合论的诞生，数学家们试图用数量关系研究圆的本质特征，当结论确定无 疑时，圆的定义就自然而然地得到了发展，我们今天的教材就采用了准确、简明 的定义：“平面上到定点的距离等于定长的点的集合”或“平面上坐标满足关系 式x 2 + y 2 = 口2 的点的集合”。但几何原本中冗长、不太精练的语言也就是学 生们关于圆所持有的最初的概念表象。实际上，数学教材中的概念编排顺序可能 4 与历史上数学家思考壤念斡方式剐始秘反。数学家扶特殊数铡予出发，褥至l 了一 些想法，逐步加以论证，提炼出正确的定理，然后从尽可能简洁的数学概念出发 来分绍数学知识熬瑷论框絮，将萁童现给我们。蒋兰蔫名数学家和数学渡育家弗 赖登塔尔( h f r e u d e n t h l ，1 9 0 5 1 9 9 0 ) 指出： “没有哪一种数学思想是以它被发现的方式束发表的。如果一个问题 被解决了，那么( 教学家) 就会发展并使用技术将鳃决的过程颠倒过来，一 从而将火热的发明变成冰冷的美丽。” 。箨者调查看得基结论， 学习争语宙表述的极限概念的困难是：在初步的学习中，学生只能完成第一阶段 瀚学习，两不能完戒第二阶段的学习，避蔼无法形成学习静第三阶段。 t a l l 和v i i l i l e r ( 1 9 8 1 ) 在其研究的第二阶段，要求7 0 个大一学生写蹴 l i m “：) = f 酌定义，有2 1 个学生没督写出定义，写i 拱定义的4 9 个学生中，多数 绘如鲍是非正式魄艇释。统计结果如表2 表2 学生对函数在一点处的极限定义方式 定义方式 正确错误 静态正式定义 41 4 魂态蒋正式定义 2 74 j o r d a a n ( 2 0 0 5 ) 通过对4 7 名电子工程专业一年级学生的问卷调查和访谈发 现，许多学生认为灞数在一点静疆戳是不霹到运静；嚣数在一点必须霄定义才魏 脊极限；极限值等于函数值。j u t e r ( 2 0 0 5 a ) 也有类似的发现。j u t e r ( 2 0 0 5 b ) 还 o 发现，在不同情境中，学生的极限概念表象是不一致的；而j u t e r ( 2 0 0 6 b ) 则发 现，学生并不具备足够的函数极限知识来解决非标准问题，并对问题的解作出正 确解释。 t 碰1 和v j n n e r ( 1 9 8 】) 的测试结果表明，学生头脑中的连续函数的概念表 象是曲线“没有空隙”，“连成一片”，“表达式由一个公式给出”，这些概念表象 是导致认知冲突的潜在因素。 2 2 函数在一点处的导数 a m i t 和v i n n e r 发现，许多学生难以理解微积分基本概念，一些学生将函数 在某一点的导数等同于曲线在某一点的切线方程。f e r r i i l i m u i l d y 和( 证i h m 详 细讨论了学生在求出曲线在某一点的导数之前，如何想方设法找曲线的函数表达 式。o r t o n 注意到学生在常规测试中的成绩相差不大，但他们几乎没有直觉的洞 察能力或对导数概念的理解。学生不仅在解释复杂函数导数的几何意义时有困 难，而且对直线方程也感到茫然。t u f 【e 报道了对2 4 名大学年级学生的追踪 调查，他要求学生每周写一篇关于微积分概念理解的小结，例如极限、导数、定 积分的概念，结果发现：与传统微积分教学相比较，实施数学写作活动的微积分 教学可以促进学生对微积分概念的理解更深刻( a s i a l 巩c o t t r i l l & d u b i n s k y ， 1 9 9 7 ) 。 a s i a l a ，c o n r i l l 和d u b i n s k y ( 1 9 9 7 ) 探索了4 1 名工程、科学、数学专业的 学生利用图形理解导数的几何意义。他呈现给学生的不是以表达式给出的函数， 而是画出了曲线和曲线在某一点的切线，并就函数在点x = 5 处的导数的认知过 程对学生进行了访谈。访谈主要考察学生阻下几个方面：( 1 ) 学生能否从图上认 识到，( x ) 就表示曲线在点( 墨，( x ) ) 的切线斜率? ( 2 ) 学生在没有表达式的情况 下，能否仅根据函数的图像求出函数在某一点的导数? ( 3 ) 当函数在某一点的 导数为无穷大时，学生是否能理解相应曲线在该点有切线、但切线斜率不存在? ( 4 ) 学生怎样使用导数来确定函数的单调区间? 研究结果表明，学生在( 1 ) 、 ( 2 ) 两题中的回答可大致分成三种策略：合理的理解、缺乏理解但有一些暗示 的过程、严重的误解或没想法。 2 3 函数在一点处极限、连续导数的关系 罗新兵( 2 0 0 3 ) 阐述了数学概念不是孤立的，定义一个新概念要用到很多旧 概念，即数学概念之间是相互联系的。徐利治指出，概念之间存在弱抽象、强抽 象或广义抽象关系，正是基于数学概念之问关系的认识。人们更倾向于从整体上 去刻画数学概念，由此，人们提出概念结构这一概念。数学概念结构( c o n c e p t 咖c n 】r e ) 是一种数学知识结构，包括数学概念的名称、定义、性质及不同概念 之问的关系，数学概念结构的基础是数学概念的定义，他提出数学概念结构的主 要目的是既强调数学概念名称、定义和性质的统一性，又强调数学概念之间的联 系，有利于学生从整体上把握数学概念，识别不同数学概念之间的共同点、相性 和差异性，同时也有利于学生在学习新的数学概念的同时，回忆和思考其它相关 的数学概念( 罗新兵，2 0 0 3 ) 。 b e z i l i ( 1 e i l l l o u t ( 2 0 0 1 ) 从大学随机抽取1 0 0 名一年级新生作为被试，研究学生 对函数在一点处的极限和连续的关系以及连续和导数的关系，发现一部分学生对 极限、连续、导数概念的理解是孤立的，而在认为概念之间相互联系的学生中， 许多误解了极限和连续及连续与导数的关系，认为函数在一点处连续的充要条件 是函数在该点极限存在，或函数在这一点可导。 张在明( 1 9 9 7 ) 在文章中指出，十年前，某省师专数学分析统测，其中一道 题就是讨论函数在一点有定义、有极限、连续、可导之间的关系。好多学生甚至 不知道，这样的题应该怎么做、怎么叙述、怎么表达。只有一两个同学是按要求， 对四个概念之间的关系进行了讨论。据说，其中一位同学还在考试前做过这样的 题，绝大多数同学讨论都不全面、表达方法或欠妥当或赘长费时。 张在明文章中说起的检测结果己过去将近2 0 年了，现在的大学生对概念关 系的理解情况如何? 函数在一点处的极限、连续、导数三者概念是紧密相关的， 虽然在微积分的习题中出现了关于函数在一点处的极限、连续、导数两两关系的 题目，但不同专业的学生对关系理解能力是否有差异? 2 4 数学概念 李善良( 2 0 0 2 ) 认为数学概念学习中的错误主要有两类：( 1 ) 过程性错误， 包括用日常生活概念、概念原型、“形象描述”等代替数学概念，分类与比较不 合理，概括与抽象不完善，概念定义与概念表象相脱离，概念运用僵化，建立不 恰当的联系，对联系作不正确的推广或依据个人经验强行进行不正确的联系等错 误。( 2 ) “合理性”错误，包括用原来的思维审视新的概念、按过去的经验、结 论、方法对概念作“合理”的推广，不自觉地对思维进行限制等错误。 n n e r 提出：“获得概念就是形成概念表象，用心学习定义并不保证理解。” ( 李士铸，2 0 0 1 ) 定义会帮助形成概念表象，但在表象形成的时候，定义往往就 被忽略了。在进行关于某个概念的推理时，定义并不是活跃的因素。因而可将定 义称为概念形成的“脚手架”，概念“大厦”建成后，“脚手架”就没有保留的必 要了。 1 l ( 1 9 9 2 ) 指出，朝着高等数学思维的转变乃是一个艰难的过程，即从凭 经验直观地建立概念，到用正规的定义对概念加以阐述，而其性质则是通过逻辑 演绎加以构造。在思维转变期间，头脑里将会同时存在蓑早期的经验及其性质， 连同不断增长的演绎知识。实验研究已经表明：这会造成各种各样的认知冲突， 从而对学习构成障碍。 数学是研究现实世界的数量关系和空间形式的科学，概念是数学大厦的基 石、思维的出发点，知识结构的基本元素。数学概念具有抽象性和具体性两个特 点。随着学生学习内容的加深，学生的抽象思维能力不断加强，但学生的个人概 念表象会和他的思维能力、学习环境、生活经验相关联。上述研究都指出，概念 定义并不等于概念表象，概念表象中有着正确的或不正确的因素以及大量的各种 各样的认知冲突。许多学者也提出了数学概念学习的建构主义理论，如d u b i n s k y 所提出的a p o s ( 操作一过程一对象图式) 理论。该理论认为，在数学学习中， 如果引导个体经过思维的操作、过程和对象等几个阶段后，个体一般就能在建构、 反思的基础上把它们组成图式，从而理清问题情景，顺利解决问题。p i a g e t 的发 展建构主义理论中提出了概念学习的两种形式概念形成和概念同化，还有 g o t s 姆的辨证建构主义理论“活动”方式学习概念，这里不再赘述。 3 研究方法 3 1 研究思路 本研究希望了解大一学生对函数在一点处的极限、连续、导数概念表象及其 相互关系的理解水平，为大学数学教师反思并改正教学提供参考信息，为教材编 写者提供真实的资料。众所周知，大学数学教育不够受重视，而且微积分的基本 概念建立在无限和极限的基础上，不少大学生对微积分产生了畏惧的心理。为了 了解大学生对微积分学习的状况，笔者选取了微积分内容中的三个相容概念 函数在一点处的极限、连续、导数概念。因为大学里许多教师认为基本概念难以 讲解，更多地注重计算法则和应用，而一些学生进入大学后，有了惰性，学习仅 仅是为应付考试，对微积分的基本概念囫囵吞枣，导致整个微积分学习一团稽。 本文的测试卷，主要是在t a u & 1 1 i l e r ( 1 9 8 1 ) 和b e z l l i d e l l l l o u t ( 2 0 0 1 ) 的启发 下编制的。为了保证正式测试卷的信度，笔者先对教育学院的7 0 名学生在课堂 上进行部分试题的预测，发现学生对概念关系的理解非常薄弱。根据预测所获得 的信息，笔者对测试题进行了改编，扩大了测试范围，确定了测试的题目和被试 的选择。研究的整体思路如下： 学习现状调查阅读文献确定方向预测试正式测试统 计分析个别访谈研究启示。 3 2 研究对象 笔者选择的研究对象来自浙江省台州学院。台州学院是一所综合性普通高 校，下设人文与社会学院、经贸管理学院、外国语学院、数学系、信息与电子工 程学院、生命科学与医药化工学院、体育科学学院、艺术学院、教育学院、机电 与建筑工程学院、医学院与成人教育学院等1 2 个院系。专业涵盖工、管、法、 教、史、医、经等九大学科。由于研究时间和条件的限制，本研究只选取了部分 一年级本科生作为研究对象，具体信息见表3 。研究涉及三种不同等次类型的学 1 4 生，具有可比性。但由于三个不同专业的学生基础有差异，其中数学系和信息与 电子工程学院物理专业的学生基础较好，教育学院的学生基础稍差，而且三个专 业采用了不同的数学教材，大纲安排的每周课时数有差异，可能会不可避免地给 本研究中的年级比较或总体分析带来差异，这是研究者无法排除的因素。 表3 研究对象的资料 周课时数 院系专业班级人数教材 ( 学期数) 华东师范大学数学 数学系数学0 5 数本3 5 5 4 ( 3 ) 系数学分析 信息与电子 理科0 5 物理1 4 7 同济大学应用数学 工程学院系高等数学 4 ( 3 ) 高等师范院校小学 教育学院小教0 5 小教 3 6教育专业本科教材 2 ( 2 ) 大学数学 对表3 需要作特别说明的是：教育学院的本科生是文理兼招进来的，学习 一年后分成小学教育汉语言方向和小学教育数学方向。因而教材的要求比同济大 学应用数学系的高等数学教材略低，学生的基础也仅仅略差一些。 3 3 研究工具 本研究运用问卷调查、测试、个人访谈三种主要方法。通过测试可以了解三 个不同专业的学生对函数在一点处的极限、连续、导数所持有的概念表象以及他 们对三者关系的理解水平，还可以了解学生运用头脑中的表象去解决具体问题时 的认知情况，从而检查学生的概念定义和概念表象是否分离；通过学生个人访谈 可以进一步地了解学生回答时的思维过程以及没有在试卷中呈现的认知情况。 为了检验三个不同专业学生对函数在一点处的极限、连续、导数的概念表象 和关系理解水平的差异，笔者采用s p s s l 3 o 的统计方法处理。笔者将所有数据 输入s p s s l 3 o ，建立数据库并经过s p s s l 3 o 的统计方法处理。 3 3 1 预测试题的编制和预测结果 预测试题： 已知烛( z ) = 3 ，则在以下的多个结论中，你认为正确的后面打“”，错 误的后面打“x ”。 ( 1 ) ，( x ) 在x = 2 这一点连续 ( ) ( 2 ) ( x ) 在x = 2 这一点有定义 () ( 3 ) ，( 2 ) = 3 () ( 4 ) 鲥，( 2 + ) 一3 = o () ( 5 ) ，( 2 ) 存在 () ( 6 ) v n ，j 占 。，当。c i x 一2 i c 占时，有l ，( x ) 一3 l c ： () ( 7 ) v s ， 巧 o ，当o 卜一2 i 6 时，有l _ 厂( z ) 一3 l f () ( 8 ) 以上叙述都不对() 预测试题主要考查一年级本科生对函数在一点处的极限概念所持有的表象 以及他们对函数在一点处的极限、连续、导数三者关系的理解。选择的对象是教 育学院的7 0 名己系统学习了一元函数微积分知识的大学二年级学生。7 0 个学生 的选择结果如表4 。 袁4对预测题的选项统计 号次( 1 )( 2 )( 3 )( 4 )( 5 )( 6 )( 7 )( 8 ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 l 1 6 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0 2 l 2 2 2 3 2 4 2 s 2 6 2 7 2 s 2 9 3 0 3 l 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 3 7 3 8 3 9 4 0 4 l 7 4 2 + 4 3 4 4 #t+t 4 5 4 6 4 7 4 s 4 9 辩 5 l 5 2 5 3 5 4 $ 5 5 5 6 5 7 t+ 憝 $ 5 9 鞠 女 6 l 女 女 6 2 女 6 3 女 “ 女 6 5 女女 “ t女 6 7 *女 辐 女女女 6 9 槽 女女女 总数 3 43 31 73 93 91 7 3 44 1 8 表4 中的“* ”淡示学生认为该叙述正确，藤空萋约地方表示学生认为该叙 述琴正确。镪翔l 号攀生选撵了( 2 ) 帮 5 ) ，表示稔认舞( 2 洚( 5 ) 魏陈述蹩搿豹，两 f 1 ) 、3 、( 4 、( $ 、( 7 ) 、1 0 i g 4 ) 中占据主罨遗位。特荆怒数学专她的数学分析教材要求学生确一存定义证鞠龋 数援陵豁性壤，焉虽这静毯慧贯穿7 教耱酌全都内容。但学了一年韵徽积分深稷 詹，数学专业的学生仍然不喜欢静态的定义。这引证了法国著名数学家晗达玛( 秘黼l d 椒a r d ，l 甾5 i 9 6 3 ) 的断言；几乎断有的入不仅在思维过程中避免使鞴谱 苦，甚至辽避免便搿代数符号或任何其他的固定符号，总是运用模糊的褒象进行 卷考。 给出动态回答的学生和给出静态回答的学生又是如何理解极限概念的? 下 面分类进行讨论。 ( 1 ) 动态回答统计结果 三个专业平均宥7 5 4 静学生楚缛了动态定义l 妇，。疗。学生馊恩了“接 近”、“熊离”、“无陵接近”、“援黢”簿关键 霹汇定性姥接述弱数在点嚣处戆极隈 概念，懊学生没有使用“收敛”遮一词汇。有些学生在使用这黪词汇时，并未准 确建给如溺数裰滠的动态定义。笔者将动态的强答分藏正确豹动态表象和不正确 的动态表象。 正确的碗态袭象：正确地使耀煎蕊语害叙述塑，x ) = 。的形式定义，对概 念的理嬲准确，没有盟显黔歧义。以下是部分被试的回答。 w 谗l l ：函数厂( x ) 篓x 趋向对趋近于疗。 w l g l 5 ；当x 趋向吒对，f x ) 的极限是“。 w l 9 2 0 ：当x 无限趋近时，( x ) 的健无限趋予g 。 w 1 6 ：在x 。时，厂( z ) 的值趋向于# 。 w l b 3 4 ：当j 呻时，b ) 的极限是# 。 s x b 4 3 ：函数( x ) 在x 无限趋近时，厂( x ) 也就无限趋于d ，( x ) 在x = 对不一定宥定叉。 s x 9 1 l ：对于函数，( x ) ，当其x 逐渐趋由于某一个数而时，( x ) 无限接近 予蒹一个常数d 。 x 跨o l ：当x 无限靠近晴，函数，( x ) 的极限僮为g 。 x j b 3 6 ：当j 的取值无限接近于确时，函数厂( z ) 的值则无限接近于口。 不正确的动态表象：不准确地使用直观的语言叙述! 觋( x ) = d 的形式定 义，镄误毽艇了搋念懿本鹱。学生懿罐谩类型太羲分戚三类，类是诿认为辍羧 值鳟于函数值，持这种错误观点的学生较多；另一类怒认为极限值d 不能到达； 还霄类楚认为极激菹是近骰篷。以。f 是部分被试的潍答。 w l g l 3 ：函数厂( x ) 在定义域趋于蒹一点时，所对应的值是一个常数，那么 就说厂( x ) 在嘞的极限为a 。 w l 9 0 8 ：当x 无豌搂远而对，( x ) 酶经等于g 。 w l 9 2 8 ：有函数，( x ) ，当自变量无限趋向确时，有，( x ) = n 。 w l 9 2 6 ：x 指到处，( x ) 的极限值约为。 w l 9 2 5 ：对于凶数厂x ) ，当z 无限接近确对，( x ) = ，( 黾) ，( ) 有可能 等于。，也可能取不划d 。 s x 9 2 5 ：占x 斗时，( x ) 的极限越来越接近d ，但是并不等于d 。 s x g o l ：x 手函数厂扛) ，著x x 。g ，( x ) = 8 。 s x g l o ：在实数集中，当x 的取值趋向时，( x ) 的值为口。 8 x b 5 1 ：当x 趋向时的厂( x ) 的函数值为目。 x j 驴7 ：一个函数y = 厂f 篇) ，鸯变量j 元蕊趋向于而对，函数住罗为口。 表6 给出了三个不同专业的被试中持有正确动态糨念表象的人数。幽表6 9 1 蜀薪，在o 0 5 显著髅水平下，数学、物理、小教三个专业的大一学生在动态概 念表象的正确率上存在显著差异，数学专业的大一学生比物理、小教专业的大”一 举生有较强的动态极限观，谳物理专业和小教专业的大一学生并没有显蓊差异。 这也说明了数学专业的学生不喜欢用静态的形式去写极限定义，但反复运用f 定 义去理解概念、i 委啊性质反过来又侄遴了动态概念的理解。 表6 三个专业的正确动态极限概念表象人数统计表 矿= 8 6 8 6 ， p = o ，0 1 3 o ， j ，慨e ( 嘞) = o o ，当z u ( ，占) 时，有j 厂( 功一叫 o ，j j o ，一占蔓j x j 占，一 o ，当o k f 占时，剧有厂( 功一厂( ) f o ，当o 卜一 占时，有l ，( x ) 。l 。( 正确) w l b 4 0 ： s ，占，当| x 一l 占时，有l 厂( x ) 一日f o ，当o i x 一l o ，o j x 一i o ，使得l ，( x o ) 一d i 毽j 参 o ，当o 活一粕| 参时， 有f 厂( z ) 一口j 8 。另外5 人的错误分成两种类型，3 人把o p h f 占写成 防一而l o ， 使得墨o k 一| c j 时，有| ，( x ) 一爿| 。 t ：你为什么认为选项( 6 ) 是错的? x 强0 l ：我猜的。 t ：你又怎么缓解选项( 5 ) 呢? 9 0 l ：我看到，就慈到数列的援疆，这争函数在点2 的板隈无关。 t ：数列的极限和函数的极限一点关系都没有吗? 酚i ：好豫没有。 t ：你觉得一d 定义对你学习极限概念有帮助吗? 驴j ：没有，难以理解。 学生x j 9 0 l 根本不能瑗解s 万的定义方式，而且学习微积分没有自信心， 学习比较潮难。 t ：你怎么看选项f 6 ) ? s x 9 2 5 ：这是8 一占定义。 t ：g 有l 卡么作用? s x 9 2 5 ：s 表示任意小的正数，它一它表示厂( x ) 与3 的接近程度。 t ：s 可用其它方式表示吗? s x 9 2 5 ；不能。 t ：选顼( 5 ) 为赞幺是对螃呢? s x 9 2 5 ：对任意的正数成立，特殊的正数土也成立。 抖 t ：符号等式l i m ，( x ) = 3 和选矮( 5 ) 是等侨形式吗? s x 9 2 5 ：不是，从! 娶歹+ ( ，) = 3 能推出( 5 ) 成立，但从( 5 ) 不能推出受= 3 。 从上述访谈中呵以了解到，小教专业的学生无法理解s 一艿定义，数学专业 的学生对s 一占静标滋定义也不过是记忆露已，并不能深入到迁移运用阶段。这 与李莉( 2 0 0 6 ) 调查后得出的结论类似，学习以s 一语言来表述的极限概念的困难 是：在初步豹学习中，太部分学生只能完藏萄态阶段豹学习，焉不雏完藏一占静 学习，进而无法形成学习的迁移运用阶段。同时，从调焱统计后得知，虽然s 一占 并不是学生照好的认知墓碲，但静态定义的学习有韵予学生对动态概念的理解。 4 。2 鑫数轰点禺建酶连续馕 连续的最初概念来自于生活语言，它具有不中断、没有空隙等含义。例如， 在鄹常生活中，人们会使用一些“连续”的话添，虹“轨道连续她焊接”表示轨 道没有缺口，没有空隙，“整天连续地下雨”表示下雨没有中断，“人们逡续地干 活”表示人们一直没霄体息，没有中数。数学中鲍“连续”在不同的数域中有着 不同的含义。在自然数集中，“连续”意味着一个接着个。如要求学生写出五 个连续的鸯