（应用数学专业论文）p亚正常算子幂的一些不等式.pdf

摘要 1 1 摘要 本篇论文中，我们主要利用f u r u t a 不等式，来研究p 一亚正规算子的幂所满足的若 干不等式 本篇论文概括起来分为两部分，第一部分是绪论，即预备知识部分，我们介绍了在本 篇论文中起主要作用的f u r u t a 不等式，即 对于a b o ，r o , p o , q 1 ，( 1 + r ) q p + r ，则有 ( 1 ) ( a a p a l ) ；( a i b p a i ) ；( 2 ) ( b i r a p b j r ) i 1 ( b ；z 妒b i ) ； 我们介绍了著名的l o w n e r - h c i n z 定理，即若a2b 0 ，则对于任意的o 0 ，1 】， 有a o b o ；以及著名的降幂引理，即对可逆正算子a 和可逆算子b ，有 ( b a b 。r = b a l 2 ( a 1 2 b b a l 2 ) “a 1 2 b + 其中s 为任意实数此引理在下面的证明中发挥着重要作用 第二部分是本文的主体部分，我们主要运用f u r u t a 不等式，来研究p 一亚正规算子 幂所满足的若干不等式主要利用两种不同的方法分别研究了p 亚正规算子的两个相邻 和不相邻正整数幂之间的若干不等式关系，对t f u r u t a ，m y a n a g i d a 和t y a m a z a k i 的 结果作了进一步推广，得到了一些很好的不等式，并且证明了所得结果的指数最优性类 似的我们说明了对数一亚正规算子具有和p 亚正规算子平行的一些性质，得到了对数一 亚正规算子的两个相邻的正整数幂之间的关系，并同样证明了所得结果的指数最优性 关键词l o w n e r h e i n z 不等式，f u m t a 不等式，p 一亚正规算子 b 丛 i i i a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，hm e a u 8ac o m p l e xh i l b e r ts p a c e ab o u n d e dh n e a ro p e r a t o rto nh i ss a i d t ob e p o s i t i v e ( i ns y m b o l ：t 0 ) i f ( t x ，) 0 f o ra n y z h a l s oa l lo p e r a t o r t i ss a i dt ob es t n c f l yp o s i t i v e ( i ns y m b o l ：t 0 ) i fti sp o s i t i v ea n di n v e r t i b l e i nt h i sp a p e r ，w es h a l ls t u d ys o m ei n e q u a l i t i e so np o w e r so fp - h y p o n o r m a lo p e r a - t o t s ，s h o w i n gt h ef u r t h e re x t e n s i o n so ft h er e s u l t so ft f u r u t a ，m y a n a g i d aa n dt y a - m a z a k i ；a tt h es a u l et i m e ，w ed i s c u s st h eb e s tp o s s i b i l i t yo fo u rr e s u l t ss e c o n d l y , w es t u d y l o g - h y p o n o r m a lo p e r a t o r sa n dc h a o t i co r d e r w eg i v eo u tt h er e s u l t so fl o g - h y p o n o r m a l o p e r a t o r sw h i c ha r ep a r a l l e lt ot h er e s u l t so fp - h y p o n o r m a lo p e r a t o r s ；w ea l s od i s c u s st h e b e s tp o s s i b i l i t yo fo u rr e s u l t s k e yw o r d sa n dp h r a s e s ：l o w n e r - h e i n zi n e q u a l i t y ；f u r u t ai n e q u a l i t y ；p - h y p o n o r m a l o p e r a t o r s 第一章绪论 1 1 引言 设日是个复h i l b e r t 空问，一个大写字母t 表示日上的有界线性算子一个有界 线性算子t 称为正的，若对vz h 有( t x ，z ) 0 成立，记为t 20 ，见文献f 1 】；一 个有界线性算子r 称为是严格正的，若t 0 且t 可逆，记为t 0 下面我们简单介绍一下部分等距和极分解 设日l ，玩是复h i l b e r t 空间，对于任意的，h 1 ，线性变换u ：h i 一仍，使得 0u i i = 1 i 川，称u 是一个等距 我们易知线性变换u 是一个等距当且仅当u u = i 事实上，对任意的，h ，则有j ju ，| | = | | 川当且仅当( u * u l 力= ( l ，) ，又由于 风，2 是复h i l b e r t 空间，故结论成立 现设u 是巩一晚上的线性变换，称u 是一个部分等距，若对于任意的， ( k e r u ) 1 ，有j ju yi i = 1 i ，0 显见自伴投影算子是一个部分等距若u 0 且u 为 部分等距则【| 【，0 = 1 ( k e r u ) 1 称为部分等距的初始空间我们易知( k e r u ) 1 = ， 1 t l ：l | u 川= f | ，盼事实上若，1 1 1 使0u ，i i = 1 l ，i l ，记f = g + h ，其中g k e r u ， h 上k e r u 则0 ，i i = 1 iu yj = l iu g + u hf f = l fu hi i = 1 ihj 又0 ，0 2 = 091 1 2 + 1 1h0 2 从而g = 0 印，( k e r u ) 1 对于一个部分等距u ，称其值域r ( u ) 为u 的终空间 定理1 1 1 有界线性变换u 是一个部分等距当且仅当旷u 是一个投影 证明设日，k 为h i l b c r t 空间，c ，：日k 是一个部分等距，且始空间为m 若e 是 日到m 上的正交投影，当，m ，则e y = ，故( u + u y ，) = 0u 川2 = l l 川2 = ( e y ，) ； 当厂m 1 ，则( u u ，1 ，) = 0 = ( e , ，) 从而对于任意的，h ，( u + u l ，) = ( e l , ，) 故u u + = e 第一章绪论 反之，设u 是一个h 到k 的有界线性变换，使得扩c 厂是日到上的投影故 对任意的，h ，0u ，0 2 = ( u 4 u ，) = ( e ，f ) = 0e 1 1 2 从而0u fl i = 1 i ，0 或 u = 0 根据f m 或f m 1 故，是以m 为始空间的部分等距 推论1 1 2 u 是部分等距，则u 的始空间是扩u 的值域 证明由u + u 是自伴的，则( k e r u ) 1 = ( k e r u ) 上= 面( 矿u ) 推论1 1 3 部分等距算子矿的伴随算子扩也是部分等距，且其一的始空间为另一 个的终空间 2 证明由定理1 1 1 知u 是部分等距，则u + u 为投影( u + c ，) 2 = u + u u + u = v ( u 。c ，) 2 u = ( u u ) 3 ( u u + ) 3 = ( u u 。) 4 = ( u u + ) 6 故( u u + ) 2 = u u + 再利用定理1 2 1 知矿也 是部分等距r ( u ) = u f l f ( k e r u ) 1 ) ，若对任意的厶( k e r u ) 上，u 厶一f 则有 0 u 厶一，m 0 = i i v ( 厶一，m ) 0 = i i 厶一，m 0 _ ，0 ，( n ，m 一0 ) 从而厶，0 ， 故 = u f o ，故值域是闭的，u 的始空间为u 的值域 推论1 1 4 一个有界线性算子c ，是部分等距当且仅当u = u u u 证明若u 是部分等距，则扩u 为投影，其值域为u 的始空间u ( u + ) i ( k 。u ) - = l ( 叭，) 1 ；u ( u u ) i k 。u = u i k 。u = 0 故u u u = u 反之，u u u = u 知，( 扩u ) 2 = u 。u 故矿u 为投影故c 厂是部分等距 定理i i 5 若a 是有界线性算子( 日k ) ，则存在部分等距u ：片+ k 及一 个正算子p ：日日使a = u p 且可使k e r u = k e r p ，且在条件k e r u = k e r p 下，u ，p 是唯一的，此时称u ，p 为a 的( 右) 极分解 证明由a 是日上的正算子，故有唯一的正的平方根p 又任意的，h 有 p f1 1 2 = ( p ， p ，) = ( p 2 ， f ) = ( a 。a ， ，) = 0a ， 2 故方程u p f = j 4 ，就定义了一 第一章绪论 个线性变换u ；r ( p ) k 且u 是r ( p ) 上的等距因u 在r ( p ) 上有界，故它有 唯一的有界延拓到面( p ) 进而又有唯一的延拓到日一k 上的以面( p ) 为始空间的部 分等距，仍记为u 此时由构造可知成立对该部分等距有；k e r u = ( 再( p ) ) 1 = k e r p 唯性：设a = u p ，u 为部分等距，p 为正算子且k e r u = k e r p ，a + = p u + ， a = p u 。u = p e p ，其中e 为日一( ，的始空间( k e r u ) 上的投影但( k e r u ) 1 = 页( p ) ，故e p = p ，故a = p 2 故p 唯一再由方程u p f = a ，唯一的确定了u 在r ( p ) 及k e r p ( 因u f = 0 ，k e r p = k e r u ) 故u 也被上述条件唯一确定 推论1 1 6 a = u p 是a 的极分解，则u a = p 定理1 1 7 设日是复h i l b e r t 空间，t 工( 日) ，若 ( 1 ) t 可逆，则t 有唯一的极分解【，p ，其中u 是酉算子，p 0 ( 2 ) t 是正常的，则t 有极分解up 其中u p = p u ，且以p 亦与t 可换 证明( 1 ) t 可逆可知t ( + ) t 可逆，从而p = ( 丁( ) t ) 可逆，又k e r u = k e r p = o ， 知u 可逆 ( 2 ) 设t 有极分解c ，p ，且t ( ) t = 竹( ) ，故u p 2 u + = p u + u p = p 2 ，进而， u + p 2 = u + u p 2 u = p 2 u + ，从而c ，与p 2 可换，那么u 必与p 可换最后，t u = u p u = u 2 p = u z t p = u p 2 = p u p = p t 定理1 1 8 设日是复h i l b e r t 空间，t l ( h ) ，且t = u i t i 是丁的极分解，则 ( 1 ) 对每个正数q 有， t + p = u i t i 。矿，i t l 9 = u i t 严c ，； ( 2 ) t + = u + l t l 是r 的极分解 证明( 1 ) 由于k e r ( i t i a ) = k e r ( i t i ) ，故u u i t i = i t i ，由此可得l r l 2 = t t 。= u l t l 2 u + = v i t i v + u i t i u + = ( v i t i v ) 2 ，所以，对一切多项式厶( t ) ，有 f 。( i t 4 n = f n ( ( u i t l v ) 2 ) = u f ( i t l 2 ) 旷 取厶( t ) 一致收敛函数t ；于 0 ，0 0 ) 的某一有穷子区间上，则l t + 卜= ub t i 。u + 3 第一章绪论 ( 2 ) 由( 1 ) 可知，t + = i t i u = u u i t t u = u i t | 另一方面，由t = i t i u ，k e r ( u ) = k e r ( 1 t i ) ，可证，k e r ( u + ) = k e r ( i t i ) 事实上，由l i t x l l 2 = t i x l l 2 我们有 u + z = 0 错u u + z = 0 甘l t i v z = 0 铺t = 0 甘l t l z = 0 定理1 1 9 设抒是复h i l b e r t 空间，t l ( h ) 是正常算子，则存在酉算子c ，使得 t = v i t i = l t i v ，并且对任意与l p 都可换的算子a = v i a l ( 极分解) ，u 与a ，y ，y 都 可换特别地，如果t 自伴时，上述酉算子u 还可使得u = u 证明设t 有极分解t = u 1 i r l ，则巩t = t 巩，且有嵋t = i t l = i t i = 巩i t i u t = t 嵋，故( 嵋u 1 一u 1 瞻) i t i = 叫u d t i v d t i 嵋= 0 ，另一方面，当z n ( i t i ) 时， 有u l x = 0 ，i t i v t x = 叼i t i x = 0 ，因此巩w z = 0 ，从而有w 巩= 仉叼，令u = 仉明巩+ ，一w 以，可证u u = u u 。= i ，且t = v i t i 再由i t i 与y ，y 及阻i 可换，则叼以也与矿，y 及陋i 可换，从而可验证y u = 矿u p u = u v ，i a i v = v i a l t 是一个有界线性算子，p 0 ，若口+ t ) ，2 口t + ) ，则称t 是尹亚正规算子，其 中p 是t 的共轭算子，见文献f 2 3 】。对可逆算子t 如果满足l o g ( t t ) l o g ( t t 4 ) ，则 称其为对数一亚正规算子显见由l j w n e r - h e i n z 定理知，当0 0 ，当p 一0 时有罢 一l o g x ，故对数一亚正规算子有时认为是o i 亚正规算子很多人对p 亚正规算子的性质进行了深入的研究，见文献 5 1 1 6 1 1 7 1 1 8 1 9 1 1 1 0 1 1 1 】 1 2 】 1 3 1 1 1 4 1 1 1 5 等为证明我们的结论，需要经常使用如下著名的几个基本结果 4 第一章绪论 l 。2基本引理 定理a 1 6 1 ( f u r u t a 不等式) 若a 2 b 0 ，则对任意的r 0 ，有 ( i ) ( b ；a p b ；) ；( b ；b p b ) ； 和 ( i i ) ( a ；a p a ；) ；( a i b p a ；) t 成立，其中p 0 ，g 1 ，且( 1 + r ) q p + r 我们指出。当f u r u t a 不等式( i ) 或( i i ) 中的r = 0 时，则可得到著名的l o w n e r - h e i n z 定理在文献【1 7 】和【1 8 】中，作者给出了f u m t a 不等式的另一种证明方法在文献【1 9 中，t f u r u t a 给出了更简洁的证明在文献f 2 0 】中，k t a n a h a s h i 证明了该不等式中 p ，r ，g 的范围的最优性 定理b 1 2 l 】【22 】1 2 3 】( l o w n e r - h e i n z 定理) 若a2b20 ，则对任意的a i o ，l 】，有舻b 。成立 下述结论称为降幂引理，该结论在证明算子不等式中经常用到 定理c f 2 4 j 着a 0 且口是可逆算子，则有下式成立： ( b a b + ) 1 = b a j ( a b ，b a j ) 1 一x a b + ， 其中a 是任意实数 证明设b a ：u p 是可逆算子b a 的极分解，其中u 为酉算子，则p i b a l = ( a b + b a j l ) j 1 ，于是 5 第一章绪论 6 ( b a b + ) 1 = ( u p 2 u ) 1 = u p 2 1 扩 ：b a ；p 一1 p 2 x p x a b = b a ；( p 2 、1 1 a b = b a - 【1a j l b b a ) 一1 a b 我们指出当定理中的a 1 时，算子a 和口可逆的条件可以去掉 在文献 1 0 】中，a a l u t h g e 和d w a n g 给出了下述结果； 定理d 设丁是p 亚正规算子，其中p ( 0 ，1 】则有： ( p p ) ：( t * t ) p2 ( t t p ( p p ) ： 成立即对任意的正整数n ，p 是：一亚正规的 t f u r u t a 和m y a n a g i d a 在文献【1 3 1 中将定理d 推广为如下形式， 定理e 设t 是p 亚正规算子，其中p ( 0 ，1 1 则有； ( p p ) 睁( r r ) 9 + - 和 ( t t + ) 升1 ( p p ) 睁 成立，其中n 是任意的正整数 另一方面，t y a m a z a k i 在文献【1 1 中将定理d 推广为： 定理f 设丁是矿亚正规算子，其中p ( 0 ，1 1 则有： ( p + r p + 1 ) 卉p p 和 ( p p ) ( p + 1 p ”) 希 第一章绪论 成立，其中，l 是任意的正整数 且有如下推论成立： 推论g 设丁是p 亚正规算子，其中p ( 0 ，l 】则有； ( p p ) ：芝( 弘铲) t + t 和 盯”( p 铲。) ；2 ( p p ) ； 成立，其中n 是任意的正整数 最近，在文献【l2 】中，t f u r u t a 和m y a n a g i d a 将定理e 和推论g 作了如下推 广， 定理h 设t 是p 亚正规算子，其中p ( 0 ，1 1 则有； ( p p ) 譬2 ( t 2 t 2 ) 半2 ( t 。t ) p + 1 和 ( t t ) 时12 ( 铲严+ ) 拳2 2 ( p p ) 睾 成立，其中n 是任意的正整数 关于对数一亚正规算子的性质，有许多作者进行了深入的研究，见文献 1 1 ) 2 9 3 0 】等 t y a m a z a k i 在文献【1l 】中得到了如下结果： 定理g 设t 是对数一亚正规算子，则有： ( p + 1 + p + 1 ) 希p p 和 p p 2 ( p + 1 p + 1 ) 南 成立，其中n 是任意的正整数 7 第二章主要结论及其证明 2 1 两个相邻的正整数幂之间的算子不等式 在卒节中，我们将定理f 和定理h 作7 进一步推广，主要得到： 定理2 1 1 设t 是p 亚正规算子，其中p ( 0 ，l 】则有： ( p p + 1 ) 赘( p p ) 宰 和 ( p p ) 警( p + 1 p ) 糍 成立，其中n 是任意的正整数 ( 2 1 1 ) ( 2 ，1 2 ) 注：由崭 o ，1 】，及l o w n e r - h e i n z 定理可知：定理f 和定理h 都可由定理2 1 1 得出 为证明上述的结论，需要如下引理： 引理2 1 2 1 1 6 l ( n i r u t a 不等式) 若a 芝b 0 ，则对任意的r 0 ，有 ( i ) ( b ；a p b ；) ；( b ；b p b ；) ； 和 ( i i ) ( 4 ；4 p a ) ；( a f 妒a ；) ； 成立，其中p 0 ，q2 1 ，且( 1 + r ) q p + r 引理2 1 3 1 2 4 1 若a 0 且b 是可逆算子，则有下式成立。 ( b a b ) 1 = b a ( a ；b 。b a ；) 1 1 a ；b 8 第二章主要结论及其证明 9 其中a 是任意实数 引理2 1 4 1 2 5 设a ，b 和c 是正算子，则对任意的p 0 和r ( 0 ，1 】，有下列论断成 立； ( i ) 若( b ；舻b ；) 南伊且口c ，则有( c ；c ；) 寿矿成立 ( i i ) 若a b ，b r ( b ；泸日；) 南且满足： 若l i mb z 。= 0 且l i ma j l z 。存在，则有h ma z 。= 0 ”+ n + ，； 成立，其中 是任意一列单位向量 则有a ；c 口a ) 专成立 引理2 1 5 1 2 5 】设s 是正算子，p ( o ，1 】若一l i m o 。s x , , = 0 且一l i m 。s p z 。存在，则有 。l i m 。s p x = 0 ，其中 z n 是任意一列单位向量 引理2 1 6 1 2 5 设s 是任意的有界线性算子，则l i ms z 。：0 当且仅当 。l i m 。例z n = 0 ，其中 z n ) 是任意一列单位向量 引理2 1 7 1 2 5 j 设a 和b 是正算子，则有下列论断成立： ( i ) 若对固定的伽 0 和岛 0 ，有( b 譬a n 。b 譬) 鼎b 踟成立， 则对任意的卢岛，有： ( b g a n 。b g ) 爿车万b 卢( 2 1 3 ) 成立且对任意固定的，y 一o t o ， 厶。，( 卢) ：( a 粤b p a 挚) j 帮 是个关于卢在p m a x 风，1 上的单调递减函数故对任意的忍卢- 岛，有下述不 等式成立： a 警b 隗a 挚( a 挚b 也a 挚) 兰：赣( 2 1 4 ) 第二章主要结论及其证明 ( i i ) 若对固定的a o 0 和风0 ，有a o o ( a 挚b 岛a 挚) 蒜成立， 则对任意的o o t o ，有z a a ( a 等口岛 毒) 彘( 2 1 5 ) 成立且对任意固定的d 2 一岛， 9 岛，6 ( 。) ：( b 譬a 。b 孕) ：毪 是一个关于。在n2m a x , 1 0 ，6 上的单调递增函数故对任意的啦n 1 0 1 0 ，有下述 不等式成立； ( b 誓a n ：b 譬) 兰j 芝b 誓a n ，b 譬( 2 1 6 ) 定理2 1 1 的证明； 令t = u i t i 是t 的极分解则我们可知t 的极分解为p = u + i p i ， 令a = ( p p ) = l p l i ，& = ( p p ) ；= l p i ：，其中n 是任意的正整数 ( i ) ( 1 1 1 ) 的证明： 首先我们证明当n = 1 时( 2 1 1 ) 成立 即， ( 严严) 警( t 丁) p 十1 ( 2 1 7 ) 由t 是p - 亚正规的，故有钟= ( t + t ) ，( t t + ) ，= b f 成立由；1 1 ，对硝和b i 应 用引理2 1 2 的( i ) ，可得： ( t 2 + 弘) 半= ( u l r i t 4 t i t l u ) 拳 = u + ( ( b ) 1 2 p 【a i ) _ 咀tb f ) i 却厂r + l u c ，( ( b 1 ) 9 ) 1 + ；u = u i t + 1 2 ( 升1 ) c ， = i t l 2 ( p + 1 ) = r t t ) p + 1 1 0 第二章主要结论及其证明 故( 2 1 7 ) 成立 假设当n = 1 ，2 ，k 一1 时，( 1 1 1 ) 成立下面我们证明当n = k 时( 2 1 1 ) 也成立 由( 2 1 1 ) 及击( o ，1 】，应用l o w n e r - h e i n z 定理可得；a + 12a n 成立，其中佗= 1 ，2 ，k 一1 故我们有： 我们指出a 1 和a 满足 j 4 女a k 一1 a 2 2 a 1 若，熙a 1 z 。= o 成立，且，熙鹰1 茁。存在，则恶a = o 其中 z 。 是任意一列单位向量 由引理2 1 5 和引理2 1 6 可得： l i ma ；z 。= 0 = 争l i mj t i x 。= 0 牟垮l i mt = 0 ： l i mt k x 。= t 一1 ( 1 i mt x 。) = 0 l i r al t l z 。= 0 甘，熙雒? n 。0 暑恕a k x n = 0 ( 1 1 8 ) 由t 是p - 亚正规的，故有髯研成立由：21 ，对筲和研应用引理2 1 2 的 ( i i ) ，可得： 即， ( a p 。，1 _ ( ( 硝) 南( b f ) ；( a p ) 去) a 。( a b 。a ) 对( 2 1 8 ) 和( 2 1 9 ) 应用引理1 1 4 的( i i ) 可得： a t2 ( a l b 。a ) ( 2 1 9 ) ( 2 1 1 0 ) 笪三童圭墨绫迨壁基垂塑 1 2 对( 2 1 1 0 ) 应用引理1 1 7 的( i i ) ，可得对任意的0 2 n l 1 ，有： ( b 于1 a 口；1 ) 苟a 瓤+ t b a 暑，磷 ( 2 1 1 1 ) 故我们在( 2 ，1 1 1 ) 中令a l = 自+ p 一1 ，0 2 = 可得。 ( b a 2 b ；) 错b f l n 女k + ，一1 前 ( 2 ，1 1 2 ) 由假设可知当n = k 一1 时( 2 1 1 ) 成立，故； a ：+ 9 1 = j 丁 丛2 ；= 丑j ? 女一1 f 童与 ! 卫：4 k k 一+ p l 一1 故由( 2 1 ，1 2 ) ，我们可得； ( b a 2 b ) 黯b a 2 鸳一，b 即， ( 州醐2 州) 糍i t * l i t i 雩铲州 ( 2 1 1 3 ) 为证明我们的结论，还需下述不等式成立： 州i 丁i ! 卑孚州( i t l i t 1 2 i t + j ) 宰0 1 1 4 ) 由p ( o ，l j ，对( 1 1 8 ) 应用l o w n e r - h e i n z 定理可得； 毽雒一。端三a p 研， 其中最后一个不等式成立是因为t 是p - - 亚正规的 令c = 斌一1 研= d ，r l = 等，p 1 = ；1 ，口l = ；，则我们有( 1 + n ) 口1 p 1 + r 1 对c 和 d 应用引理1 1 2 的( i i ) ，可得： c p ( c 导d n d l 。lj 。1 即， j t l 惫( i t k 一- i ( t ，| 。f p ，胆 故我们有： 第二章主要结论及其证明 i r i l p 一- l i t k i i k 2 - - z i t k 一 i i t j2i t + i i t i ( i t k l i l t 1 2 1 t i 一1 1 ) 1 1 丁喑1 i i t i ( 1 1 1 5 ) 由引理1 1 3 ，我们可知( 1 1 1 5 ) 和( 1 1 1 4 ) 等价故( 1 1 1 4 ) 成立 所以由( 1 | 1 1 3 ) 和( 1 1 1 4 ) 我们有z ( t k + 1 t m ) 帮= ( t i t k l 2 r ) 鲁 = ( u 。i t 。i i t k l 2 i t + i u ) 帮 = u 。( i t l i t 1 2 i t i ) 常【， u ，( i t * l i t t 一1 i 型铲i t i ) c ， u 4 ( i t + l i t 1 2 i t i ) 宰u = 旷i t k - 1 1 2 t ) 串 = ( p p ) 半 所以当n = k 时，( 1 1 1 ) 成立 ( 1 1 1 ) 的证明完毕 ( i i ) ( 1 1 2 ) 的证明； 首先我们证明当礼= 1 时，( 1 1 2 ) 成立 即， ( t t + ) 1 却( t 2 t 2 ) 学 ( 1 1 1 6 ) 由t 是p 亚正规的，故a p = ( t + t ) 一( 7 r ) ，= 研成立由；1 1 ，对川和研应用 引理1 1 2 的( i i ) ，可得： ( 铲p + ) 学= ( u i t t t i t i u 4 ) 孚 = 【厂( i r i 丌t i ) 拳扩 = ，( ( a 7 ) 毒( b ) ；( a ：) 去) 2 笋u - 冬u ( a 9 1 + ；矿 = u i t l 2 扫+ 1 ) + = l t 4 1 2 1 ) = ( t t ) p + 1 1 3 第二章主要结论及其证明 故( 2 1 1 6 ) 成立 假设当n = 1 ，2 ，k 一1 时，( 2 1 2 ) 成立，f 面我们来证明当n = k 时，( 2 1 2 ) 也成 立 由( 2 1 2 ) 及i 再1 ( o ，1 】，应用l o w n e r - h e i n z 定理可得；玩晶+ l 成立，其中礼= l ，2 ，t 一1 故我们有： b 1 b 2 b k 一1 取( 2 1 1 7 ) 由t 是p - 亚正规的，故有群研由；1 1 ，对筲和研应用引理2 1 2 的( i ) ，可得； ( ( 钟) 筇1 ( a ”i 1 ( 占f ) 瓦1 ) i 1 ( b ) ； 即， ( b 1 4 1 b f i ) i 1 b 1 2 1 ，1 8 ) 对( 2 1 1 7 ) 和( 2 1 1 8 ) 应用引理2 1 4 的( i ) ，可得： ( b ；1j 4 1 b 誊1 】j 1 b k ( 2 1 1 9 ) 对( 2 1 1 9 ) 应用引理2 1 7 的( i ) ，可得对任意的陡2 风1 ，有： a 鄙- a ( a b 争a ) 器( 2 a 2 0 ) 在( 2 1 2 0 ) 中，令胁= k + p 一1 和屁= k ，我们有； a f l _ 。k k + p - 1 a 2 ( a 磁a ) 黯 ( 2 1 2 1 ) 由假设可知当凡= k 一1 时( 2 1 2 ) 成立故我们有： 磁却= 旷 坐铲i t i 辫学= 磁k 一+ ，p - 1 故由( 2 1 2 1 ) ，我们有： a ；磷! 一- a ( a b a ；) 黯 即， 1 4 第二章主要结论及其证明 r i l 2 咕一1 i 型 竿卫i t i ( i t i i t 1 2 l 丁1 ) 船( 2 1 2 2 ) 为证明我们的结论，还需f 述不等式成立： ( t il t k 1 2 例) 串 t il t k 叫i 毪铲i t i 由p ( 0 ，1 】，对( 1 1 1 7 ) 应用l 弓w n e r h e i l l z 定理可得： q 研噬一，噬， 其中第一个不等式是因为t 是p 亚正规的 令e = 钟磁一l = f ，r l = 譬，p l = i 1 ，口，= ；，我们可得： 和f 应用引理2 1 2 的( i ) ，可得， ( f 等- f 孚) 者f 警 即。 ( 1 1 2 3 ) ( 1 + r 1 ) q l n + r 1 对e ( i t k 。i l r l 2 i p 。1 ) i t k 。l 磊 故我们有： t il t k 。i ( i t k 叫咿l z i p 吖i ) l t k 。i i t i2i t i t k 。 l t k 卅i 各- , i t k ”i i t i ( 1 1 2 4 ) 由引理2 1 3 ，我们可知( 2 1 2 4 ) 等价于( 1 1 2 3 ) 故( 2 1 2 3 ) 成立 所以由( 2 ，1 2 2 ) 和( 2 1 2 3 ) 我们有： ( t r ”) 串= ( t i p 。1 2 r ) 宰 = ( u i t i t t k - l * 2 i t i u ) 宰 = u ( i t i i t k - l 丁i ) 宰驴 u ( i t i i t k 。l 等学i r i ) c ， 2u ( i t i i t 1 2 i t i ) 帮矿 = ( t i 铲1 2 t 4 k + l ：( p + 1 t k + l ) 等 1 5 第二章主要结论及其证明 所以当n = k 时，( 2 ，1 2 ) 成立 ( 2 1 2 ) 的证明完毕 定理2 1 1 的证明完毕 作为定理2 1 1 的应用，我们可得下面的定理2 1 2 和定理2 1 3 定理2 1 2 设t 是p 亚正规算子，其中p ( 0 ，1 1 ，则有： ( p + m 丁”m ) 景舞( p p ) 警( 2 1 2 5 ) 和 ( p 丁“) 串( p + ”p + m ) 景麓( 2 1 2 6 ) 成立，其中礼和m 是任意的正整数 证明：对任意的正整数七，若n ，则蔫( o ，1 】故由定理2 1 1 和l o a n e r - h e i n z 定 理可得； ( p + 1 p + 1 ) 鬻( t k p ) 半 和 ( ? t 矿) 串( t k + l t k + l ) 帮， 故我们有： ( t ”m p + mo + m ( p 十l 。p + 1 ) 帮( t n p ) 学 和 ( p t 矿) 半( r 州p ”) 鬻2 2 ( p + 仇p + m ) 篇， 成立 定理2 1 2 的证明完毕 注；我们可知在定理2 1 2 中，当m = 1 时，即为定理2 1 1 故定理2 1 2 和定理2 i 1 等价 定理2 1 3 设t 是p 亚正规算子，其中p i ，则有： 1 6 第二章主要结论及其证明 和 p p + 1 ( p p ) 掣 p ) 学芝t ”1 t 州 ( 2 1 2 7 ) 成立，其中n 是任意的正整数 证明：因为t 是p 亚正规算子，其中p 1 ，故由l o w n e r - h e i n z 定理，我们可得；t 是 亚正规的在定理1 1 1 中令p = 1 ，我们可得定理l 1 3 成立 1 7 第二章主要结论及其证明 2 2 两个不相邻的正整数幂之间的算子不等式 设n 表示自然数集，本节我们将讨论p 一亚正常算子及对数一亚正常算子的不相邻 的正整数幂之间的不等式首先回忆一下关于幂的一些结果 及 定理2 2 a 1 2 设t 是p 一亚正常算子，p ( 0 ，1 】，则对一切正整数n 有 ( p p ) 睁( 严矿) 拳( r 丁) p + 1 定理2 2 b 1 4 2 i ) 当m p 时， i i ) 当m 0 ，有a o b o ，则对每个q 0 及t 0 ，有 ，( s ) ：( a t 2 b s a 。，2 ) 鬻在8 q 上单调下降 9 ( s ) = ( b t 2 a s b 2 ) 蔫在s2 口上单调上升 引理2 2 1 设丁是p - 亚正常算子，其中p ( k 1 ，乩k n ，则 ( 刚l p + 叩l t 1 ) ：等羔2i t 4 i l p + 1 萼警旷 及 ( j 丁丁一+ ”l 。 r 1 ) i ；舞s t 2 m + ”户：等i ? 其中m ，n n 且m k 此外，若k = 1 ，2 ，则 及 对一切n n 均成立 t + | i p i ! 哗吐l 丁1 ( i t | | p 1 2 i r f ) 2 筹 2 l tjj 了+ j 型三掣l 丁j ( j 丁| j 2 m 1 2 l 丁j ) ! 妄并2 证明令r = m i n 1 ，讲，则由定理2 2 a 及l - h 定理可得 ( 丁肿7 m ) 吾( t 2 + t 2 ) ( ? 。t ) r ( t t ) ( t 2 t 2 ) ；( p r ”) 暑 由此知( f p f 熹r2 ( i t 4 1 2 ) r 第二章主要结论及其证明 故对每个t o 及q 0 ，函数9 ( s ) = ( i t 。h r m + n i 暑旨l r n 搿在s q20 上是单 调增加的取t = 1 ，口= 礼+ p 及s = n + m ，则我们有 ( 1 丁| l p + m 1 2 l t i ) 剁铬= ( i 丁1 + l | 丁”m l ! 蔫4 州) 景替景 a c n 4 - m ) a ( n + p ) ( i t | | p 栅i ! 墨掣p 1 ) 端 旷i l 丁* m l 等鬻l r l 类似可证第二个不等式 若= 1 ，2 ，则p ( o ，1 】或( 1 ，2 】，故r + n r + 12 p 及( 1 + - - ) l + p n + r ，t 成立 对1 2 m l 譬及i t + l 打应用l m r u t a 不等式知 f p l 誓= f 2 m f 鲁； 2 ( i t n j 簪叠j ? l ”l ? mj 鲁署)