04 第四章 一元函数微分学的应用.doc

第四章 微分学的应用一、本章学习要求与内容提要（一）学习要求1.了解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理与柯西中值定理.2.会用洛必达法则求未定式的极限.3.掌握利用一阶导数判断函数的单调性的方法.4.理解函数的极值概念，掌握利用导数求函数的极值的方法，会解简单一元函数的最大值与最小值的应用题.5.会用二阶导数判断函数图形的凹性及拐点，能描绘简单函数的图形.重点 用洛必达法则求未定式的极限，利用导数判断函数的单调性与图形凹性及拐点，利用导数求函数的极值的方法以及求简单一元函数的最大值与最小值的应用题.（二）内容提要1. 三个微分中值定理 罗尔（Rolle）定理如果函数满足下列三个条件：在闭区间上连续;在开区间内可导;,则至少存在一点使. 拉格朗日（Lagrange）中值定理如果函数满足下列两个条件：在闭区间上连续；在开区间内可导,则至少存在一点，使得或. 柯西（Cauchy）中值定理如果函数与满足下列两个条件：在闭区间上连续；在开区间内可导，且,则在内至少存在一点，使得 .2.洛必达法则如果;函数与在某个邻域内（点可除外）可导，且；,则 .注意 上述定理对于时的型未定式同样适用,对于或时的型未定式也有相应的法则.3. 函数的单调性定理设函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则有若在内，则函数在上单调增加；若在内，则函数在上单调减少.4 . 函数的极值、极值点与驻点 极值的定义 设函数在点的某邻域内有定义，如果对于该邻域内任一点，都有，则称是函数的极大值；如果对于该邻域内任一点，都有，则称是函数的极小值.函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为函数的极值点. 驻点 使的点称为函数的驻点. 极值的必要条件 设函数在处可导，且在点处取得极值，那么. 极值第一充分条件设函数在点连续，在点的某一去心邻域内的任一点处可导,当在该邻域内由小增大经过时，如果由正变负，那么是的极大值点，是的极大值；由负变正，那么是的极小值点，是的极小值；不改变符号，那么不是的极值点. 极值的第二充分条件设函数在点处有二阶导数，且，则是函数的极值点，为函数的极值，且有如果，则在点处取得极大值；如果，则在点处取得极小值.5.函数的最大值与最小值在闭区间上连续函数一定存在着最大值和最小值.连续函数在闭区间上的最大值和最小值只可能在区间内的驻点、不可导点或闭区间的端点处取得.6. 函数图形的凹、凸与拐点曲线凹向定义 若在区间内曲线各点的切线都位于该曲线的下方，则称此曲线在内是向上凹的（简称上凹，或称下凸）；若曲线各点的切线都位于曲线的上方，则称此曲线在内是向下凹的（简称下凹，或称上凸）.曲线凹向判定定理 设函数在区间内具有二阶导数， 如果在区间内，则曲线在内是上凹的. 如果在区间内，则曲线在内是下凹的.拐点若连续曲线上的点是曲线凹、凸部分的分界点，则称点是曲线的拐点.7. 曲线的渐近线水平渐近线若当(或或)时，有（为常数），则称曲线有水平渐近线.垂直渐近线若当(或或)（为常数）时，有，则称曲线有垂直渐近线.斜渐近线若函数满足， (其中自变量的变化过程可同时换成或)，则称曲线有斜渐近线.二 、主要解题方法1 . 用洛必达法则求未定式的极限的方法例1 求下列极限（1） （2） （3）（4） （5） 解 （1）由于时，故原极限为型，用洛必达法则 所以 （分母等价无穷小代换）.（2） 此极限为，可直接应用洛必达法则 所以 = .（3） 所求极限为型 ，不能直接用洛必达法则，通分后可变成或型. .（4）所求极限为型，得 （型） =（5）此极限为 型，用洛必达法则，得不存在，但 .小结 使用洛必达法则时，应注意以下几点：（1）洛必达法则可以连续使用，但每次使用法则前，必须检验是否属于或未定型，若不是未定型，就不能使用法则；（2）如果有可约因子，或有非零极限的乘积因子，则可先约去或提出，以简化演算步骤；（3）当不存在时，并不能断定也不存在，此时应使用其他方法求极限.2 . 单调性的判别与极限的求法例2 试证当时，.证 令，易见在内连续，且.当时，可知为上的严格单调减少函数，即当时，可知为上的严格单调增加函数，即.故对任意 有即 .例 3 求函数的单调性与极值.解 函数的定义域为. ，令 驻点 列表 -0-0+极小由上表知，单调减区间为，单调增区间为，极小值 求函数的极值也可以用二阶导数来判别，此例中 不能确定处是否取极值，得是极小值.小结 用单调性来证明不等式，其方法是将不等式两边的解析式移到不等式的一边，再令此不等式的左边为函数；利用导数判定的单调性；最后利用已知条件与单调性，得到不等式。由例3知，用二阶导数讨论函数在某点的极值不需列表也很方便，但它的使用范围有限，对、及同时不存在的点不能使用.3. 求函数的凹向及拐点的方法例4 求函数的凹向及拐点.解 函数的定义域 ， ， 令 得，列表 1(1,1) 10+0拐点拐点 由此可知，上凹区间,下凹区间，曲线的拐点是.小结 求函数的凹向与拐点只需用拐点的定义及凹向的判别定理即可，注意拐点也可在使不存在的点取得.4. 求函数的最大值与最小值的方法例5 求函数 在区间上的最大值与最小值 . 解 函数在上连续， 由于，令 ， 则 ，在处不存在. 故.小结 函数的最大（小）值是整个区间上的最大（小）值，求最大（小）值的一般步骤为（1）求出在内的所有驻点及不可导点；（2）求出函数在驻点、不可导点、区间端点处的函数值；（3）比较这些值的大小，其中最大者即为函数的最大值，最小者即为函数的最小值.5 . 求曲线渐近线的的方法.例6 求下列曲线的渐近线（1） （2） .解 （1）所给函数的定义域为.由于 ，可知 为 所给曲线的水平渐近线.由于 ，可知 为曲线的铅直渐近线.（2） 所给函数的定义域,.由于 ， ，可知 为所给曲线的铅直渐近线（在的两侧的趋向不同）.又 ，所以 是曲线的一条斜渐近线.6 . 函数图形的描绘例 7 作出函数 的图形.解 函数的定义域， ， ，令 ， 解得 .列表-10+0+0 极小拐点 由上表可知： 极小值， 拐点 .（3）渐近线-1 xyO，所以 是水平渐近线，所以 是铅直渐近线. （4）作图如图所示.7 . 求实际问题的最大值，最小值的方法 例 8 一条边长为的正方形薄片，从四角各截去一个小方块，然后折成一个无盖的方盒子，问截取的小方块的边长等于多少时，方盒子的容量最大？解 设截取的小方块的边长为 ，则方盒子的容积为 令 ， 得驻点 （不合题意，舍去）由于在内只有一个驻点，由实际意义可知，无盖方盒子的容积一定有最大值.因此， 当时 取得最大值.故当正方形薄片四角各截去一个边长是的小方块后，折成一个无盖方盒子的容积最大 .小结 求最优化问题，关键是在某个范围内建立目标函数，若根据实际问题本身可以断定可导函数一定存在最大值或最小值，而在所讨论的区间内部有惟一的极值点，则该极值点一定是最值点.三 、学法建议1.本章重点是用洛必达法则求未定式的极限，利用导数判定函数的单调性与凹向及拐点，利用导数求函数的极限的方法以及求简单函数的最大值与最小值问题.2.中值定理是导数应用的理论基础，一定要弄清楚它们的条件与结论.尽管定理中并没有指明的确切位置，但它们在利用导数解决实际问题与研究函数的性态方面所起的作用仍十分重要.建议在学习过程中借助几何图形，