（应用数学专业论文）一类zp上的非线性码及zq上的码的分解.pdf

学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得 研究成果。论文中除了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或者其 他机构已经发表或者撰写过的研究成果。其他同志对本研究的启示和所做的 贡献均已经在论文中作出了明确的声明并表示谢意。 学位论文作者签名耋塾叠 日期： 却峨6 、g 学位论文版权的使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规 定，即学校有权保留并向国家有关部门或者机构送交论文的复印件和磁盘， 允许论文被查阅和借阅。本人授权辽宁师范大学可以将学位论文的全部或者 部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或者扫描等复制手 段保存、汇编学位论文。保密的学位论文在解密之后适用本授权书。 学位论文作者签名 日期 知收；苫 导师签名：蕴 日期：迦生：6 ：1 一类磊卜的非线性码及磊上的码的分解 一类上的非线性码及名上的码的分解 研究生：董久祥 指导教师：董学东 专业：应用数学 研究方向：代数编码 中文摘要 1 9 9 4 以来已有人证明了k e r d o c k 码，p r e p a r a t a 码平i d e l s a r t e s g o e t h a l s 码 比同样长度，同样距离的线性码有更多的码字这些非线性码实际上就是 一些蜀上的线性码在g r a y 映射下的象所谓g r a y 映射是指从z 4 至t g f ( 2 ) 2 的 映射g 使得a ( o ) = ( 0 ，o ) ；g o ) = ( 0 ，1 ) ；c ( 2 ) = ( 1 ，1 ) ；c ( a ) = ( 1 ，o ) 同样若 从( 毛) ”至i g f ( 2 ) 2 “的映射满足对应分位是z 4 至i g f ( 2 ) 2 上的g r a y 映射，那么 就得到了( 历) ”! t ! i g f ( 2 ) 2 “的g r a y 映射g r a y 映射的重要性质是保持距离 定义z 4 上的元素0 ，1 ，2 和3 的l e e 重i 量是g ( o ) ，g o ) ，g ( 2 ) 和g ( 3 ) 的汉明重量，即 分别为0 ，1 ，2 和1 ，并定义四元码的重量是其分量的l e e 重量之和于是对于 每一个四元码札和”，二元码g ( u ) 和g ( ) 之间的汉明距离等于u 一 的l e e 重 量( 1 l u _ 币1 v 之间的l e e 距离) 1 9 9 8 年c l a u d e c a r l e t 通过g r a y 映射将邑上的线性 码映射成z 2 上的非线性码，得到了广义k e r d o c k 码年i d e l s a r t e g o e t h a l s 码 在2 0 0 1 年a s 砘等人将g r a y 映射推广到乙z 妒为奇素数并构造了乙t 上的两类具 有较大距离的对偶码。其在g r 口映射下的象是具有同样距离的磊上的非线性 码因此，将g r 映射推广到名，上并由此构造乙上的非线性码就是一个值得 研究的问题，其中( s22 ) 本论文旨在解决这一问题 首先我们回顾了磊上的线性码的一些已有的结果并定义了磊上的一个 一类乙上的非线性码及乙上的码的分解 重量函数 i o u ( z ) = ( p 一1 ) p lp 州 茁= 0 ( 。，p 3 ) = p ，i = 0 ，1 ，s 一2 ( 文矿) = p ”1 及对称重量计数子进而给出乙上的对偶码的重量计数子的关系式： 瞰- ( w ，x o ，x 州) = 砑1 ( 西，y o ，k 一1 ) ，其中伍= w + ( p 1 ) 。s ：- 0 1 p s - i - 1 x i ，k = w p 。咒一t 一1 + ：1 p 一1 ( p 一1 ) x s 一；，t = 0 ，1 ，s 一1 其次我们推广g r a y 映射到五上，即f ( z ) = ( f o ( x ) ，l ( z ) ，厶一一- ( z ) ) ，其 中z = a o + a l p + + a s _ l p 8 1 z 口，0 茎a i p 一1 ( i = 0 ，1 ，8 1 ) ，k = + k l p + + k s _ 2 p ”2 磊一， ( z ) 三e i ”= 0 2k i a i + a s _ 1 ( t o o d p ) 并证明了它是 一个等距映射山此将蜀上的一类由本原基本不可约多项式h 。( ) 生成的循环 码映射成乙上具有较大距离的非线性码，其中本原基本不可约多项式 。( z ) 是 指九。( z ) 在模p 映射下的象九。0 ) 是乙 叫中的本原多项式 最后我们给出名h 与名h 的理想之间的关系及性质，其 中( r ，q ) = 1 通过这些关系及性质得到了具有阶为r 的自同构仃的名一线性码得 直和分解，其e e ( r ，g ) = 1 进而给出z q 上的线性自对偶码若具有阶为r 的自同 构a 在直和分解后的特殊性质 关键词g r a y 映射；g a t o i s 环 非线性码：基本不可约多项式；码的分解 2 一类z p 上的非线性码及乙上的码的分解 1引言 某些著名的非线性码k e r d o e k 码，p r e p a r a t a 码和d e l s a r t e s g o e t h a l s 码 比现有的同样长度，同样距离的线性码包含更多的码字这些码都具有很 好的性质文献 1 】中k u m a r 等人证明了一些十分重要的二元非线性码实 际上就是毛上的线性码在g r a y 映射下的象不久g r a y 映射被推广到磊t 并得 到了广义的k e r d o c k 码与d e l s a r t e g o e t h a l s 码f 9 】在这些研究工作的基础 上，a s e h 等人将g r a y 映射推广推广到磊。，p 为奇素数并通过z p ：上的线性 码构造了域磊上的两类具有较大距离的非线性码因此， 将g r a y 映射推广 到磊，上( s 2 ) 并由此构造乙上的非线性码就是一个值得研究的问题对此本 论文证明了存在这样的g r a y 映射，并通过它得到了一类乙上的具有较大距离 的非线性码此外本论文也证明了若环z q 上的线性码g 具有阶为r ( ( nq ) = 1 ) 的 自同构，则g 可以分解为g 的子码的直和 本论文的第二章中首先简要回顾了五( g = p s ，p 为素数) 上的线性码的 定义及相关结果并给出了么上重量函数的定义及性质，得到了乙上对偶码 的m a e w i l l i a m s 关系式然后将g r a y 映射从五推广到磊，并保证 g r a y 映射为 等距映射这就使磊上的码在g r a y 映射下的象的码字间距离的大小保持不 变在本章的最后构造了一类玩上的由 。( z ) 生成的循环码，其中k ( z ) 是通 过磊中的本原多项式 ( z ) 提升( h e n s e t 提升) 德到的这些循环码具有较大 距离于是在广义g r a y 映射下就得到了磊上的具有同样距离的非线性码 在第三章中我们研究了磊上的线性码的分解首先我们证明了毛k 】与 毛 中的理想的关系及性质然后证明了名上具有阶为r ，( ( r ，g ) = 1 ) 的自同构仃的线性码能分解为其子码的直和形式，其中q ) = 1 最后说明 了具有阶为r 的自同构盯的历一自对偶码在分解子码的直和后，其子码的关系及 性质 本论文未加说明的符号与术语可参考文献阶 3 一类乙上的非线性码及z q 上的码的分解 2 一类z p 上# j t p 线性码 本章第一节首先回顾了乙上线性码置换等价的定义，并给出了磊上的对 称重量计数子，进而证明了乙上的对偶码之间存在m a c w i l l i a m s 关系最后推 广了g r a y 映射到五，并证明了g r a y 映射是保距映射在第二节我们深入研 究了乙上的g a l i o s 环，得到了g a l i o s 环是局部环对于乙上的本原多项式可以 k 自h e n s e l 提升得到磊上的本原基本不可约多项式h 。( z ) 在第三节中利用本原 基本不可约多项式构造了乙上的循环码并在该循环码的基础上添加一个校验 分位后，在g r a y 映射作用下得到了一类磊上的非线性码 2 1 磊。上的线性码 设p 是一个素数，记q = p s , s 2 且8 n 定义毛= 0 ，1 ，q 1 ) 是z 模口的环，记环中单位构成集合z = 扛e 磊i ( x ，p ) = 1 ) 定义2 1 1 1 3 】长为n 的磊上的线性码e 是刃的加法子群将码e 的分位 置换得到码c ，则称c 与c 置换等价由此可得磊上的每一个线性码c 都置 换等价于一个具有标准形式生成矩阵的码c ，其生成矩阵为： g = 厶oa o ，1a o 2a o ，3a o ，a 一1a o ，。 0 p 1p a l ，2 p a l ，3p a l p lp a l ， 00 p 2 厶2p 2 a 2 ，3 p 2 a 2 ，p lp 2 a 2 ，。 000 p s - 1 i k 。一1p s - a s 一1 ，s 其中厶i 为阶单位矩阵，a o 为z q 上的矩阵由 3 定理3 1 0 可得，若对0s i 中元素个数为”) 8 = q m 又i g r ( q ”) i = q ”，所以 c = a o + a x p + + a s _ l p 5 1 i a i r = g r ( q ”) 下 面证明r = c p ”1i c g r ( q “) ) 设c = a o + a l p + + 口s l p 。- 。，o o ，n l ，钆一l r ，若p 为奇数由引理2 2 2 有一 ：n o 旷1 r 1 ，勘= 2 ，账= ( d o + 2 u ) 2 ”1 = g + 2 i = 1 1o 一2 2 舻l ? l z 9 、 ；- 1 8 a ；= l 。i 2 ，当t = 1 时，a = o ；当i 2 时，i = 2 u ， 为奇数，则等与毛约 z 分后分子含有i 一个2 因子而i k 2 一 0 ( k 0 ) ，若七= o 则i 为奇数 显然含有2 因子个数大于1 ，从而i 2 时，a = o 于是c = 碲”1 f ，反过 来f = ( f 矿“”) 矿一，从而r = “l c g r ( q ”) ， 2 3 乙上的循环码 这一部分我们要求p 为奇素数且( m ，p ) = 1 设n = p m 一1 ，我们定义一 类毛上长为n 的循环码- 其生成矩阵为( ：ip 1 一，) 将该码记为g j 每，其中是的赶。( ) 根矩阵中第二排元素用m 维向量的 坐标分量来替换回忆蜀上长为扎的循环码对应于磊p 】( 扩一1 ) 的理想， 设9 ( z ) 为首1 多项式且9 ( 。) l 矿一1 ，令7 l ( 茁) = 扩一1 加( z ) ，设理想( g ( z ) ) 对 应一个循环码c 易知c 1 对应于理想( 元( 霉) ) ，其中元( 石) 为h ( 。) 的互反多项式， 即九( z ) = z 8 e 9 6 危( 挣 1 2 一类磊上的非线性码及磊上的码的分解 定理2 3 1 g j 5 ，。对应于理想( 虿( 正) ) ，其中9 ( z ) = 矿一l 协一1 ) a 。( 。) 汪：因为1 和都是( z 一1 ) 。( 。) 的根，从而( 茁一1 ) h 。( z ) 的倍式对应的码 字属于( g j 每，。) 上反之设鱼( g j ，。) 1 ，则寄啦= o 且( ) = 0 由。( f ) = o 知 。( x ) j a ( x ) 设n ( z ) = q ( x ) h 。( z ) 于是q ( 1 ) h 。( 1 ) = 0 因为”( 九。( 1 ) ) 0 ，可 得h 。( 1 ) 是g r ( q “) 的一个单位这是因为由定理2 2 2 可设h 。( 1 ) = a o + a l p + + a s _ j p ”1 ，因a r t o 所以如。( 1 ) = 一( 1 + p u ) ，u 蜀两边p ”1 次方 有 。( 1 ) 旷1 = p ”“，从而 。( 1 ) 为g r ( q ”) 的单位这意味着q ( 1 ) = 0 ，于 是x q q ( z ) ，所以 1 ) 。( z ) f n ( z ) 综上所述我们有( 0 一1 ) k ( z ) ) 对应的 码就是( g j 每，。) 上从而g 蟛，。对应的理想为( 矾z ) ) 在g 蟛。中的每一个码字前加一个分位，其值与原来各分位的值的和 为。测新生成的码记为g ，。其生成矩阵为f 11 1 1 ，其中第二行 01 p 矗1 向量每一分量应看成z 中的列向量 g 钠的对偶码电为g 昂坼 定理2 3 2 设m 为整数，m 3 ，( m ，p ) = l 贝u g 弓s , m 的极小距离为劬s - 2 ( p 一 证：由g 昂。，。的校验矩阵易知g b 。，。中不存在只有两个非零分位的码 字，即每个码字至少有3 个非零分位现有字= 一2 ，l ，0 ，0 ，i ，0 ，0 ) 的 第二个1 所在的分位对应于( f 扩。) 芷所在的位置设矿一2 譬三j ( m o d p m ) 则( 9 ”2 ) 9 8 = 也即是对应于f 所在的位置于是由定理2 2 1 ( 2 ) 知c g b s l m 从而伽( c ) = 3 p ”2 0 1 ) 因此训( g b 咖) = 3 p ”2 ( p 1 ) 推论2 3 1 在f 映射下，码g 昂铆映射成名上长为p ”+ 一1 基数为p s ( p r o 一一t ) 且极小距离为妇= 3 p ”2 ( p 1 ) 的码 证：因为f 是从蜀到露1 的映射，所以g 昂a ，。中的码字的每一个分位映 成新码字的p 8 1 个分位从而f 在映射f 下，码g b 铆的象长为p s 一1 ( n + 1 ) = 矿_ 1 p “= p ”“由g s ，。与g b ，。的关系知二者码字个数相等而g j 0 。 由h 。( 。) 生成，所以g a ，。有码字g ”= p s ( p “一m 一1 ) 个于是g p p 。有码 字p 5 ( 矿一”- 1 ) 个因为f 为保距映射又由定理1 3 。2 知g 昂，。的象的极小距离 1 3 一类乃上的非线性码及乙上的码的分解 为3 p 2 一1 ) 3 一类乙上的码的分解 本章第一节将毛i x 分解为一些特殊理想的直和，并给出这 些理想间的相互关系及性质在第二节中对于玩上的线性码c r ，若c 有阶为r 的 自同构盯，其中( r ，q ) = l ，则本论文证明了g 可以分解成若干子码的直和并给出了 一个例子，最后一节进一步分析了乙上线性自对偶码的分解得到了其分解后的 性质 3 1 磊m 与磊m 的理想 i 发f ( x ) 舀【z 】且， ) 为基本不可约多项式，：若d e g ，( z ) = m 则z q m ( ，( z ) ) = g r ( q ”) = 磊，其中为，( z ) 的根并记r = g r ( q ”) 因为r 为g a l o i s 环，所 以r 的极大理想幽p 生成记商环毋= 五 x x 一l 其中( r ，g ) = 1 在乙h 中矿一1 可以唯一的分解成不可约多项式的连乘积即矿一 1 ：佩。扣) 伉1 ( z ) 伉9 ( 茹) 其中对0si 9 ，而f ( 茁) 是不可约多项式且伉o ( z ) = z 1 山h e n s e l 提升我们可以得到一1 = m o ( z ) m l ( 。) m g ( z ) ，这里砚扛) 是 由h e n s e l 提升得到的基本不可约多项式丌( m ：( z ) ) = 帆如) ，0s ；9 并且这种 分解是唯一的下面给出本文的一些符号意义 记妈( z ) = 一1 仃0 ( z ) ，用d j 表示m j ( 。) 的次数( ，( 茁) ) 表示在磊环中 幽，( z ) 生成的理想 表示在毋中，( z ) 生成的理想用t 表示理想忌中 自自 定理3 1 1 对0 i 9 ，有( m j ( 茁) ) + ( 锄( z ) ) = 磊i x 并且 o = 日 证：因为乙k 】( 啊p ) ) 是一个g a t o i s 环是局部环，所以除了它本身以外 任何一个理想必包含于极大理想0 ) 中因此若( 丌u ( z ) ) + ( 锄( 。) ) 磊h ，那 么( m j ( z ) ) + ( m j ( 。) ) c ( 玎b ( 茁) ) + p z q i x l 特别的就有嘞( 。) = “( z ) n ( z ) + p 0 ) ，其中d ( z ) ，p ( z ) 磊于是等式两边模p 就有丌( 哟( ) ) = 7 r ( a ( z ) b ( 。) ) = 1 4 一类名上的非线性码及磊上的码的分解 定理2 ，2 2任意c g r ( q “1 则c 有唯一的代表形式c = g o + a l p + + a n - l p ”1 ，其e e a i r = 0 ，1 ， p m - 2 ) 且r 可写成f = 矿一i c g r ( q ”) ) 汪：首先证明若c = d 则o i = n ：( i = 0 ，1 ，5 1 ) 当c = c ，时，则蔷( 吼一o ：矽= 0 ，两边用”作用得到”( 知一o ：) = o ，所 以”( o o ) = ”( 西) 当”限制到r 上时7 r 为单射，所以。o = 毛于是蓦( 啦 a 1 ) p = 0 ，两边乘以矿- ，则( 0 1 4 ) p ”1 = 0 若a 1 a i ，则由定 理2 2 1 ( 1 ) 有p s - 1 = o 产生矛盾，所以0 1 = o j 类似的可以得到。= o l i = 2 ，5 1 所以集合c = a o + a l p + + a 。_ l p ”1 i 啦r 中元素个数为”) 8 = q m 又i g r ( q ”) i = q ”，所以 c = a o + a x p + + a s _ l p 5 1 i a i r = g r ( q ”) 下 面证明r = c p ”1i c g r ( q “) ) 设c = a o + a l p + + 口s l p 。- 。，o o ，n l ，钆一l r ，若p 为奇数由引理2 2 2 有一 ：n o 旷1 r 1 ，勘= 2 ，账= ( d o + 2 u ) 2 ”1 = g + 2 i = 1 1o 一2 2 舻l ? l z 9 、 ；- 1 8 a ；= l 。i 2 ，当t = 1 时，a = o ；当i 2 时，i = 2 u ， 为奇数，则等与毛约 z 分后分子含有i 一个2 因子而i k 2 一 0 ( k 0 ) ，若七= o 则i 为奇数 显然含有2 因子个数大于1 ，从而i 2 时，a = o 于是c = 碲”1 f ，反过 来f = ( f 矿“”) 矿一，从而r = “l c g r ( q ”) ， 2 3 乙上的循环码 这一部分我们要求p 为奇素数且( m ，p ) = 1 设n = p m 一1 ，我们定义一 类毛上长为n 的循环码- 其生成矩阵为( ：ip 1 一，) 将该码记为g j 每，其中是的赶。( ) 根矩阵中第二排元素用m 维向量的 坐标分量来替换回忆蜀上长为扎的循环码对应于磊p 】( 扩一1 ) 的理想， 设9 ( z ) 为首1 多项式且9 ( 。) l 矿一1 ，令7 l ( 茁) = 扩一1 加( z ) ，设理想( g ( z ) ) 对 应一个循环码c 易知c 1 对应于理想( 元( 霉) ) ，其中元( 石) 为h ( 。) 的互反多项式， 即九( z ) = z 8 e 9 6 危( 挣 1 2 一类毛上的非线性码及乙上的码的分解 z j 。( 茁) 00 0 0 0 10 1 0 1x f ( z ) 20 0 1 100 0 30 1 1 010 1 41 1 1 121 l 51 0 1 031 0 61 1 0 0 71 0 0 1 定理2 1 3 映射f 是从( 磊，d ) 到( 刃”1 ，妇) 的等距映射，其中如表示日。m m i n g l e 离 证：首先证明f 为单射若x = o + a l p + + a s - l p 一1 ，z = 晶+ n i p + + o ：一1 p ”1 且f ( 茁) = f ( z ) ，则对于= 0 ，1 ，p 5 一1 ，都有 ( z ) = a ( x ) ，即注s - 0 2 k i ( a l 一：) + ( a s _ 1 一t i ) = o ；f f k = 0 ，则有一1 = o ：- 1 ，所 以兰；k i ( 。一) = 0 于是对0 ，1 ，s 一2 当乜= 1 且其余的( 即j = 1 ，2 ，。i 一1 ，i + 1 ，s 一2 ) 为o 时，则啦= 啦t ，所以z = g ，从而尸为单射。下 面证明f 是等距的 对。= a o + a l p + + a s _ l p s 一1 0 ，设o o ，f b s - - 1 中第一个不为0 的数 为a 。，贝i j ( x ，p 5 ) = p i 下面分为两种情形进行讨论： 1 ) 当i = 8 1 时，则砌扛) = p s - 1 i 而f ( x ) = ( a s _ t ，a s - 1 ，钒一1 ) ，鲫h ( f 扛) ) = p ”1 = 叫扛) 2 ) 当i = 0 ，1 ，s 一2 时，则叫( z ) = p 。- 2 一1 ) ，而 x ) 兰k o a o + + k 8 - 2 0 ，2 + a s - 1 ( m o d p ) ，则 ( z ) 三衄0 i + 倒s - 2 + lk j a j + n 。一1 三o ( m o d v ) 的充分 必要条件是乜兰一( ；三知1 码。4 - a s _ 1 ) n i l ( m o d p ) 由于= 0 ，1 ，p ”1 一1 所 以，1 ，k ，州，k 。一2 共有矿- 2 组，从而f ( z ) 的取值共有矿_ 2 个0 分量，从 而t “h ( f ( z ) ) = p ”1 一p ”2 = f f , - 2 一1 ) ，于是训扛) = 叫( f ) ) 我们将f 推广为刃到刁矿。的映射f ( z 1 ，) = ( f 扛1 ) ，f ( x 。) ) 8 一类磊上的非线性码及乙上的码的分解 2 2 磊上的g a l o i s j 不上的线性码 在这一部分我们将推广一些理论回忆历上的扩张环( g a l o i s ) 的概 念多项式，( z ) 毛i x 是一个单位筒，是磊m 的单位【4 ，定理8 2 对非 单位，若，及7 都不可约则称，为毛的基本不可约多项式毛雕 j g a l i o s 扩环 为毛( ，( z ) ) ，其中，为首l 基本不可约多项式我们用”：毛- 乙来表 示标准映射( 模p ) 并自然推广为”：毛m _ 乙和”：磊h ( ，( z ) ) 一 乙 z ( w ( ，( g ) ) ) = z ；【z 】( ，( z ) ) 定义2 2 1 5 1 只有一个极大理想的非零环叫作局部环 设t 为磊= 彩一i x 】中的一个理想 t t 乞矧任意a t 贝u p l a 这是 因为若p a ，则存在m ，n z 口i x 使p m + n = 1 ，于是有p m = 1 一a n ，两 边s 次方就有p 5 m = 1 + a k ，两边模g 有1 = 一a k 由于t 为理想且乙i x 所 以一a k t ，从而l t ，则有t = 磊，产生矛盾所以p k 于是乙m 中 任意理想t ，t 舀，则t ( p ) 对于磊吲中的理想m t 且m3t ，则 有b m 且从而存在u ， 五使得舰+ v p = 1 而6 ，p m ，从而l m 这就证明了( 芦) 为毛m 的极大理想综上知( p ) 是乙h 的唯一的极大理想，所 以五p 1 为局部环同理磊吲( ，( 。) ) 也为局部环，且磊( z l 一) ( ，( z ) ) 是所有 单位构成的集合 目1 1 1 2 2 1 设_ 仇( z ) 乙 x j t d e g k = m 为m 次本原不可约多项式，则 存在唯一的首1 多项式h 。( z ) 乙吲满足： 1 ) d e g r e e ( h 。( z ) ) = m 2 ) 7 r ( m ( 正) ) = h m ( 岱) 3 ) h 。( 茁) l 护1 1 4 ) 设弧( 。) = 里；导，则存在珏( z ) ，”( z ) 名阁使得珏( z ) k ( z ) + ”( z ) 孙( z ) = 1 引理2 2 1 是h e n s e l 提升的一个特例 证：( a ) 当s = 2 ，即g = p 2 时，设虿。( 茁) 昂且使得虿。( z ) - m ( z ) = z ，”一一 1 ，设 0 ) ，9 ( 。) 与k ( z ) ，虿。( z ) 系数相同。但 ( z ) ，口( z ) 磊，纠且为首l 多项式 9 一类磊上的非线性码及磊上的码的分解 则在磊z h 中我们有矿1 1 一 ( z ) g 缸) + d ( g ) ) 烈z ) p 磊p 】在继续证 明之前首先证明在乙中存在( z ) ，6 ( z ) 使得o ( z ) h ( z ) + 6 ( z ) g ( z ) = 1 这 是因为在昂m 中h m ( 。) 与k ( 。) 互素，所以存在i ( z ) ，i ( x ) 乙i x 使得丽。+ 强。= 1 设( 。) ，t ( x ) 蜀吲且与再( z ) ，z 扛) 系数相同则女( z ) h ( x ) + 2 扛) 9 ( z ) = 1 + p f ( x ) ，( z ) 么m ，两边p 次幂从而得到。( 茁) ，b ( x ) 毛i x 使得。( z ) ，。( 。) + 6 ( ) 9 ( z ) = 1 设多项式h + ( z ) = h ( x ) + b ( x ) d ( x ) 贝o h + 满足( 2 ) ，又 ( g + a d ) = g h + ( a h + b g ) d = z ”一一1 所以 满足( 3 ) 但不满足( 1 ) 存在g ( 。) ，r ( z ) 磊i x 使 得b ( x ) d ( x ) = q ( x ) h ( x ) + r ( z ) ，d e g r ( z ) 2 ) 。 定理2 2 1 。( z ) 的根满足下面两个性质： ( 1 ) 对所有0si ，j p m 一2 ，i j ，元素f p 是g r ( q ”) 的一个单位 ( 2 ) f f 矿。12 + 1 = 0 ( p 为奇素数) 证：( 1 ) 我们知道g r ( g m ) 是一个局部环，且其极大理想为( p ) 若 一p 不是单位，则7 r ( p 一) = o 因此丌( ) i = 7 r ( f ) 而”( ) 为g f ( p “) 的本原 元，这在g f ( p ，”) 中是不可能的，于是一p 是g r ( q “) 的一个单位。 ( 2 ) 在g f ( p 仇) 中，我们有7 r 幢) 呜生= 一1 因此吗出= 一1 + p u ，u 蜀旧，两边矿_ 2 次幂并运用引理2 2 2 则有( ，。) e ! 竿! ：( 一1 ) 矿一+ p 。fp ，s - 2 ) 1 ：一1 + p s l 珏两边平方有l ：1 2 p l 珏，所以p ，一i t , = o 从而( 矿“) 芷= 一1 一类名上的非线性码及磊上的码的分解 定理2 ，2 2任意c g r ( q “1 则c 有唯一的代表形式c = g o + a l p + + a n - l p ”1 ，其e e a i r = 0 ，1 ， p m - 2 ) 且r 可写成f = 矿一i c g r ( q ”) ) 汪：首先证明若c = d 则o i = n ：( i = 0 ，1 ，5 1 ) 当c = c ，时，则蔷( 吼一o ：矽= 0 ，两边用”作用得到”( 知一o ：) = o ，所 以”( o o ) = ”( 西) 当”限制到r 上时7 r 为单射，所以。o = 毛于是蓦( 啦 a 1 ) p = 0 ，两边乘以矿- ，则( 0 1 4 ) p ”1 = 0 若a 1 a i ，则由定 理2 2 1 ( 1 ) 有p s - 1 = o 产生矛盾，所以0 1 = o j 类似的可以得到。= o l i = 2 ，5 1 所以集合c = a o + a l p + + a 。_ l p ”1 i 啦r 中元素个数为”) 8 = q m 又i g r ( q ”) i = q ”，所以 c = a o + a x p + + a s _ l p 5 1 i a i r = g r ( q ”) 下 面证明r = c p ”1i c g r ( q “) ) 设c = a o + a l p + + 口s l p 。- 。，o o ，n l ，钆一l r ，若p 为奇数由引理2 2 2 有一 ：n o 旷1 r 1 ，勘= 2 ，账= ( d o + 2 u ) 2 ”1 = g + 2 i = 1 1o 一2 2 舻l ? l z 9 、 ；- 1 8 a ；= l 。i 2 ，当t = 1 时，a = o ；当i 2 时，i = 2 u ， 为奇数，则等与毛约 z 分后分子含有i 一个2 因子而i k 2 一 0 ( k 0 ) ，若七= o 则i 为奇数 显然含有2 因子个数大于1 ，从而i 2 时，a = o 于是c = 碲”1 f ，反过 来f = ( f 矿“”) 矿一，从而r = “l c g r ( q ”) ， 2 3 乙上的循环码 这一部分我们要求p 为奇素数且( m ，p ) = 1 设n = p m 一1 ，我们定义一 类毛上长为n 的循环码- 其生成矩阵为( ：ip 1 一，) 将该码记为g j 每，其中是的赶。( ) 根矩阵中第二排元素用m 维向量的 坐标分量来替换回忆蜀上长为扎的循环码对应于磊p 】( 扩一1 ) 的理想， 设9 ( z ) 为首1 多项式且9 ( 。) l 矿一1 ，令7 l ( 茁) = 扩一1 加( z ) ，设理想( g ( z ) ) 对 应一个循环码c 易知c 1 对应于理想( 元( 霉) ) ，其中元( 石) 为h ( 。) 的互反多项式， 即九( z ) = z 8 e 9 6 危( 挣 1 2 一类乃上的非线性码及乙上的码的分解 为3 p 2 一1 ) 3 一类乙上的码的分解 本章第一节将毛i x 分解为一些特殊理想的直和，并给出这 些理想间的相互关系及性质在第二节中对于玩上的线性码c r ，若c 有阶为r 的 自同构盯，其中( r ，q ) = l ，则本论文证明了g 可以分解成若干子码的直和并给出了 一个例子，最后一节进一步分析了乙上线性自对偶码的分解得到了其分解后的 性质 3 1 磊m 与磊m 的理想 i 发f ( x ) 舀【z 】且， ) 为基本不可约多项式，：若d e g ，( z ) = m 则z q m ( ，( z ) ) = g r ( q ”) = 磊，其中为，( z ) 的根并记r = g r ( q ”) 因为r 为g a l o i s 环，所 以r 的极大理想幽p 生成记商环毋= 五 x x 一l 其中( r ，g ) = 1 在乙h 中矿一1 可以唯一的分解成不可约多项式的连乘积即矿一 1 ：佩。扣) 伉1 ( z ) 伉9 ( 茹) 其中对0si 9 ，而f ( 茁) 是不可约多项式且伉o ( z ) = z 1 山h e n s e l 提升我们可以得到一1 = m o ( z ) m l ( 。) m g ( z ) ，这里砚扛) 是 由h e n s e l 提升得到的基本不可约多项式丌( m ：( z ) ) = 帆如) ，0s ；9 并且这种 分解是唯一的下面给出本文的一些符号意义 记妈( z ) = 一1 仃0 ( z ) ，用d j 表示m j ( 。) 的次数( ，( 茁) ) 表示在磊环中 幽，( z ) 生成的理想 表示在毋中，( z ) 生成的理想用t 表示理想忌中 自自 定理3 1 1 对0 i 9 ，有( m j ( 茁) ) + ( 锄( z ) ) = 磊i x 并且 o = 日 证：因为乙k 】( 啊p ) ) 是一个g a t o i s 环是局部环，所以除了它本身以外 任何一个理想必包含于极大理想0 ) 中因此若( 丌u ( z ) ) + ( 锄( 。) ) 磊h ，那 么( m j ( z ) ) + ( m j ( 。) ) c ( 玎b ( 茁) ) + p z q i x l 特别的就有嘞( 。) = “( z ) n ( z ) + p 0 ) ，其中d ( z ) ，p ( z ) 磊于是等式两边模p 就有丌( 哟( ) ) = 7 r ( a ( z ) b ( 。) ) = 1 4 一类乙上的非线性码及乙上的码的分解 ”( o ( 。) ) ”( 仇j ( z ) ) ，这与( ”( 叻( z ) ) ，”( 哟( 。) ) ) = l 矛盾所以( 嘲( z ) ) + ( m j ( 茁) ) = z q 于是容易得到 + = 研1 酗d e g ( m j ( x ) ) = d j 所以l i = 旷由且l l = q a j ，若 n o n i + i q a j q d 】= q 7 ，而f + i = i 忌 = 旷产生矛 盾，所以 n = o 从而有 o = 风 设x osj 9 ，0 = ，则丁b = = b ( 1 + z + + ，。) i n 磊 = 磊这是因为我们可以构造对应法则，：a ( 1 + x + 十- 1 ) _ n ，对o ( 1 + o + + z 一1 ) = 6 ( 1 + 。+ + z 7 1 ) 则有z 一1j o b ，所以a = 6 即代表元选 取是唯一的进而，为映射因为r 为奇素数所以在蜀中若a b , 贝u a r b r ，于是， 为单射显然也容易证明，为满射f ( a ( 1 + 茹+ + 矿一1 ) + b ( 1 + 。+ + 一1 ) ) = ，( ( 口十6 ) ( 1 + z 十+ 。_ 1 ) ) = ( a + b ) r = ，( n ( 1 + z + + z 一1 ) ) + ，( 6 ( 1 + z + + 。卜1 ) ) 又，( n ( 1 + z + + ：r r - i ) b ( 1 + x + + x r - 1 ) ) = f ( a ( 1 + z + + x r - 1 ) 6 ( r + 贯 1 + z 2 1 + + z 7 1 1 ) ) = f ( a b r ( 1 + x + + x r - 1 ) ) = a b r 2 = f ( a ( 1 + x + + 矿_ 1 ) ) ，( 6 ( 1 + z + + x r - - i ) ) 于是 t o = 乙 下面我们来证明理想几的性质及之间的关系 设( ，r ) = 1 定义映射孔：尼_ 毋。r - 0 1a i x 。见，即 咒( a i ) = 叫“ i = 0i = 0 定理3 1 2 ( i ) 见= o t l 0 0 勺 ( i i ) t = = v o o7 1 0 o q ( 娩i ) 对o js9 ，有= ! z q z ( m 0 ) ) = g l q ( q a j ) ( 咖) 瓦足一个环见上的自同构 ( u ) 兀是理想上下b 的单位映射 ( u i ) 凡是n ，勺理想间的置换并且如果孔h ) = 勺那么是从n 到勺的环同 构 证：( i ) 注意到( r d n r j n = o ) ，t o + n + + 白是直 1 5 类磊上的非线性码及五上的码的分解 和，从而共有丌；：。一= q r 个元素，然而j 忌i = 矿并且t 1o 0 勺c 见于 是有( t ) 得证 ( 扼) 容易证明对1 i g , t ict 而丁o o n o o 的阶为q ”_ 1 这与 的阶相等，从而( i j ) 得证 ( 洌) 对1 j g ，由定理21 1 在b 中有e ，( z ) + 白( z ) = l ( m o d x 一1 ) ，其 中e j ( 。) 与i ，( z ) 分别属于 与 因为 与 正交，所以俄，( z ) = 偷j 扛) e j ) + 偷j 0 ) 白扛) = r h j ) 白( z ) 进而得 知白( 。) 为 的单位元同理勺( 茁) 为的 单位元下面我 们构造由毛( m ，( z ) ) = r ， 到勺= 的同构映射咖： 咖( ，( z ) + ) = f ( x ) a j ( x ) ( m o d x 7 1 ) 这是因