（原子与分子物理专业论文）二维圆环弹子球体系的谱分析和输运性质研究.pdf

山东师范大学硕士学位论文 中文摘要 二维圆环弹子球体系的谱分析和输运性质研究 激光理论和技术的发展极大地改变了原子分子物理学的面貌，人们研究介观物理领 域的焦点开始从侧重体系能级结构转向其相关动力学性质的研究，g u t z w i l l e r 提出的量 子体系态密度迹公式为研究体系的动力学性质提供了理论基础。在此基础上，杜孟利和 j b d e l o s 等人提出了半经典的闭合轨道理论，该理论能更深刻、清晰地揭示所研究体 系的动力学性质，对于体系的量子描述和经典描述的对应关系，该理论也给出了深层次 的解释。用半经典的方法来研究微观粒子的运动已成为处理某些量子问题必不可少的工 具，本文就是利用闭合轨道理论，研究了二维圆环弹子球体系的量子谱和输运性质。 最近几年来，人们逐渐认识到纳米技术在微观输运问题中的广泛应用，微腔输运性 质的研究可以采用量子台球作为模型，在研究动力学性质特别是量子混沌中，这种模型 已经证明是很有意义的，在理论和实验上都有很好的发展前景。通过激光构造任意形状 的二维弹子球体系限定超冷原子已经成为可能，纳米器件的开发，极大地推动了电子技 术的发展，已经成为半导体制造业中的一种高精技术。 早期的量子力学中，半经典技术给出的w k b ( w e n t z e l k 1 一d m e r s b r i l l o u i n ) 量子化 方法和e b k ( e i n s t e i n b r i l l o u i n k e l l e r ) 量子化方法，这两种方法分别适用于一维体系 和刀个自由度的体系。但是，这些半经典量子化方法仅适用于可积体系。g u t z w i l l e r 从 格林函数迹的精确量子表达式出发，用格林函数的半经典近似代替它的量子形式，其半 经典迹公式适用于完全混沌的体系。利用这些方法，我们可以对体系分别进行经典描述 和量子描述，从而增强了对体系的进一步理解。 量子弹子球系统已经普遍成为人们研究介观体系的理论模型，在本文中我们通过 采用新的量子谱函数，对二维圆环型弹子球进行研究，利用系统的解析解计算了量子谱 函数经过傅里叶变换的量子谱，这种新量子谱函数的傅里叶变换包含了体系从一个给定 点到另一个给定点的许多经典轨道的信息。把闭合轨道理论扩展到开轨道，在i p ( l ) 1 2 随 - 变化的函数图像中给出了一系列的峰，对量子峰的位置和粒子运动的经典轨道长度做 了一一对应，结果符合的很好，这不但说明闭合轨道理论的正确性，而且还把此理论扩 展到开轨道，给出了量子描述和经典描述精确符合的例子。 山东师范大学硕士学位论文 本文所研究的圆环体系与其它体系( 如圆、正方形等) 最大的不同就是：它有一 詹 个可变的参数，= 亡，当体系尺度不同的时候，其性质有很大改变。随着内环的线度 逐渐变小，傅里叶变换量子谱中的经典信息逐渐减弱，尤其是内环半径的线度与d e b r o g l i e 波长可比拟时，傅里叶变换量子谱的特性完全属于波的特征，这是由于内环的 存在而引起的衍射效应，用菲涅尔圆屏衍射理论给予了很好的解释。对于不同尺度的体 系，我们选择不同的处理方法，分别利用了经典理论和量子理论的优越性。 同时我们根据闭合轨道理论的扩展，把二维弹子球体系的半经典分析推广到更一般 的情况，对开口的二维圆环弹子球传输性质稍作了讨论。我们计算出了模式最为简单的 二维圆环弹子球的传输系数，其振幅出现了很强的振荡现象。把传输振幅进行傅里叶变 换，其中包含许多经典轨道的特征，在短轨道范围内，其能量谱的峰位置与经典轨道也 有着很好的对应，这些短的经典轨道在微腔输运问题中起着关键性的作用。 本论文共分为五章：第一章为综述，从总体上介绍了半经典理论的要点及其发展和 二维弹子球体系的特点。第二章分析介绍了量子谱函数、格林函数、迹公式等理论方法。 第三章专门研究了二维无限深圆环势阱中弹子球的运动，把闭合轨道理论扩展到开轨 道，并变换体系的尺度，寻求它们的经典描述和量子描述之间的关系，以及它们之间的 对应关系，并把所得到的结果进行比较。第四章研究了开口的圆环弹子球，计算出了模 式最为简单情况下的传输系数，其振幅出现了很强的涨落现象，把其进行傅里叶变换， 其能量谱的峰位置与经典轨道也有着很好的对应。从这个体系可以看出半经典理论为经 典和量子力学提供了很好的桥梁作用。最后一章是本文的结论和对将来工作的展望，本 文的讨论对实验研究有一定参考价值。 关键词：闭合轨道理论，圆环弹子球，量子谱函数，傅立叶变换谱，微腔输运，量子经 典对应 分类号：0 5 6 2 3 山东师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t q u a n t u mt r a n s p o r ta n ds p e c t r a la n a l y s i s o ft w o d i m e n s i o n a la n n u l a rb i l l i a r ds y s t e m t h ed e v e l o p m e n to fl a s e rt h e o r ya n dt e c h n i q u eg i v e sr i s et oe x t e n s i v ei n f l u e n c eo nt h e t r a d i t i o n a la t o m i ca n dm o l e c u l a rp h y s i c s ，t h ea t t e n t i o no ft h ep e o p l ec o n v e r tf r o m e m p h a s i z i n gp a r t i c u l a r l yo nt h ee n e r g yl e v e ls 劬c t u r eo fs y s t e mt oi t sc o r r e l a t i v ed y n a m i c p r o p e r t yi nt h em e s o s c o p i cp h y s i c a lf i e l d g u t z w i l l e r st h e o r yo ft h ed e n s i t yo fs t a t e sp r o v i d e s ab a s a lt h e o r yf o ra n a l y z i n gt h ed y n a m i cb e h a v i o r so fm a n ym o d e ls y s t e m s c l o s e d - o r b i t t h e o r yw h i c hi sd e v e l o p e db ym l d ua n dj b d e l o so p e nu paw a yt oad e e pu n d e r s t a n d i n g o ft h es y s t e m sd y n a m i c s ，f u r t h e r m o r et h e yg i v eab r i d g el i n k i n gt h ec l a s s i c a lm e c h a n i c so f m a c r o s c o p i cw o r l dt ot h eq u a n t u mm e c h a n i c so fm i c r o s c o p i cs y s t e m s s e m i c l a s s i c a l a p p r o x i m a t i o n sa r ea m o n gt h em o s tu s e f u l t o o l si nd e s c r i b i n ga n da n a l y z i n gb a l l i s t i c t r a n s p o r ti nm e s o s c o p i cs y s t e m s ，a n dh a v eb e c o m ean e c e s s a r yi u s t r u m e mt op r o c e s sc e r t a i n q u a n t u mq u e s t i o ni ns t u d y i n gt h em o v e m e n to f t h em i c r o s c o p i cp a r t i c l e w es t u d i e dq u a n t u m t r a n s p o r ta n ds p e c t r a la n a l y s i so ft w o - d i m e n s i o n a la n n u l a rb i l l i a r db yu s i n gc l o s e d o r b i t t h e o r y i nr e c e n ty e a r si th a sb e e nr e c o g n i z e dt h a tl l a n o t e c h n o l o g yi sm o r ea n dm o r ew i d e l y u s e di nf i e l do fm i c r o - j u n c t i o n t h es t u d yo fm i c r o j u n c t i o ma n dt h e i rt r a n s p o r tb e h a v i o r s h a v eb e c o m ea ni m p o r t a n tf i e l d t h ep r o t o t y p e sh a v eb e c o m ei n c r e a s i n g l yi n t e r e s t i n ga n d i m p o r t a n ta n dw i l ld e v e l o pv e r yw e l li nt h e o r ya n de x p e r i m e n ti ni n v e s t i g a t i n gt h ed y n a m i c c h a r a c t e ra n de s p e c i a l l yq u a n t u mc h a o s i ti sb e c o m i n gp o s s i b l et os n u c t u r ea r b i t r a r ys h a p e s o ft w o d i m e n s i o n a lb i l l i a r ds y s t e mt ol i m i tt h eu l t r ac o l da t o mb yu s i n gt h el a s e r t h e e x p l o i t a t i o no fn a n o m e t e ra p p a r a t u si m p e l st h ed e v e l o p m e n to fe l e c t r o n i ct e c h n o l o g y e n o r m o u s l y , a n dh a sb e c o m eo n ek i n do fh i g hp r e c i s i o nt e c h n o l o g yi nt h es e m i c o n d u c t o r m a n u f a c t u r i n gi n d u s t r y i n t h e e a r l y q u a n t u mm e c h a n i c s ，t h e q u a n t i z e d m e t h o do fw k b ( w e n t z e l - k r a m e r s - b r i l l o u i n ) a n de b k ( e i n s t e i n - b r i l l o u i n - k e l l e r ) p r e s e n t e db ys e m i - c l a s s i c a l i i i 山东师范大学硕士学位论文 t e c h n o l o g ya r ea p p l i e dr e s p e c t i v e l y i no n e - d i m e n s i o na n dn - d i m e n s i o n s ，b u tt h o s e s e m i c l a s s i c a lq u a n t i z e dm e t h o d sa r ea p p l i c a b l ei ni n t e g r a b e ls y s t e ma l o n e g u t z e i l l e rs t a r t e d f r o mt h ee x a c te x p r e s s i o no ft r a c eo fg r e e nf u n c t i o ni n s t e a do fi t sq u a n t i z e df o r m , a n dg a i n e d t h es t a t ed e n s i t yo fs e m i c l a s s i c a ls y s t e m i ti i l a k e st h es e m i - c l a s s i c a lf o r mo fg u t z w i l l e r p e r f e c t l ya p p l i c a b l et oc o m p l e t ec h a o t i cs y s t e m s i nq u a n t u mm e c h a n i c st h e r ea r ek i n d so f s e m i - c l a s s i c a lc a l c u l a t i n gr e c a l l sw h i c hm a yh e l pt ou n d e r s t a n dt h ec l a s s i c a la n dq u a n t u m c h a r a c t e r so fas y s t e ma n dt h e i rc o r r e l a t i o n s q u a n t u mb i l l i a r dh a sb e e nat h e o r ym o d e lf o rr e s e a r c h i n gm e s o s c o p i cs y s t e mw i d e l y , i n t h i sc o n t e n tw ea n a l y z et h eq u a n t u ms p e c t r ao ft h et w o - d i m e n s i o n a la n n u l a rb i l l i a r ds y s t e m b a s e do nt h eo p e n e d - o r b i tq u a n t u ms p e c t r u mf u n c t i o n ，a n dc a l c u l a t et h ef o u r i e r - t r a n s f o r m e d q u a n t u ms p e c t r ab yu t i l i z i n gc o m b i n e dn u m e r i c a la n da n a l y t i c a lm e t h o d t h eq u a n t u m s p e c t r af u n c t i o nc o n t a i n sr i c hi n f o r m a t i o no fa l lc l a s s i c a lo r b i t sc o n n e c t i n gt w oa r b i t r a r y p o i n t si nw e l l t h er e s u l t i n gp e a k si np l o t so fi p ( l ) 1 2v e l s u s a r ec o m p a r e dt ot h e l e n g t h so ft h ec l a s s i c a lt r a j e c t o r i e si nt h e s eg e o m e t r i e s w ee x t e n dc l o s e d - o r b i t e dt h e o r yt o o p e na n dc o m p a r et h el o c a t i o n so f t h es p e c t r a lp e a k s 、历t l lt h el e n g t h so fc l a s s i c a lt r a j e c t o r i e s ； t h er e s u l t ss h o wt h a tt h e r ei sa g o o dc o r r e s p o n d e n c eb e t w e e nq u a n t u ms p e c t r aa n dc l a s s i c a l o r b i t s ， w h i c ht e s t i f i e st h ec o r r e s p o n d e n c eb e t w e e nq u a n t u ma n dc l a s s i c a lm e c h a n i c s 舡t h ep 锄血e t e r ( i nt h i sc 弱e 厂= 瓦r n ) i sc o n t m 。l l s l yv a i l e d , t h es y s t e m0 f 舢1 u l a ri s l a r g e l yd i f f e r e n tf r o mo t h e rs y s t e m s w h i l et h ee n e r g ye i g e n v a l u e sa n dt h ep a t hl e n g t h si nt h e a n n u l a rw e l lb o t hc h a n g ed r a m a t i c a l l ya saf u n c t i o no ft h ep a r a m e t e r1 t h ec l a s s i c a l i n f o r m a t i o no ft h ef o u r i e r - t r a n s f o r m e ds p e c t r u mb e c o m e sw e a kw i t ht h ed i m e n s i o no fi n n e r c i r c u l a rb e c o m i n gs m a l l ，e s p e c i a l l yf o rt h ei n n e rr a d i u si ss m a l lt ot h eo r d e ro ft h ed eb r o g l i e w a v e l e n g t ho ft h ep a r t i c l e ，t h ef e a t u r eo f t h eq u a n t u ms p e c t r ai sp u r e l yw a v e l i k ep h e n o m e n a , w h i c hi sd u et od i f f r a c t i o na r o u n dt h ei n n e ra n n u l u s ，a n df r e s n e l k i r c h h o f fd i f f r a c t i o n t h e o r e ms u p p l yag o o de x p l a n a t i o n f o rs y s t e m sw i t hd i f f e r e n ts c a l e s ，w ec h o o s ed i f f e r e n t p r o c e s s i n gm e t h o da n ds e p a r a t e l yu s et h es u p e r i o r i t yo ft h ec l a s s i c a lt h e o r ya n dt h eq u a n t u m t h e o r yt op i c ko u to u r u s e f u li n f o r m a t i o n s i m u l t a n e o u s l yw ea p p l yt h ee x p a n d i n go ft h e c l o s e do r b i tt h e o r y , p r o m o t et h e i v 山东师范大学硕士学位论文 s e m i - c l a s s i c a la n a l y s i so ft w o - d i m e n s i o n a lb i l l i a r ds y s t e mt oam o r ec o m l l o ns i t u a t i o n , a n d h a v em a d et h ed i s c u s s i o ns l i g h t l yt ot r a n s m i s s i o nn a t u r eo ft h et w o d i m e n s i o n a la n n u l a r b i l l i a r dw i t ho p e nm o u t h s w ec a l c u l a t e dt r a n s m i s s i o nf a c t o ro ft h et w o - d i m e n s i o n a la n n u l a r b i l l i a r di ns i m p l e s tm o d e s ，w h i c hs h o w ss t r o n gf l u c t u a t i o n sa saf u n c t i o no ft h ef e r m iw a v e n u m b e r i no r d e rt of u r t h e rr e s e a r c ht h et r a n s m i s s i o nc o e f f i c i e n t ，w eh a v ei tab e s ts h o w nb y t h ee x a m i n a t i o no ft h ef o u r i e rt r a n s f o r m ，i nw h i c hc o n t a i nm a n yc l a s s i c a lo r b i t a l c h a r a c t e r i s t i c s i nt h es h o r to r b i t a ls c o p e ，t h el o c a t i o n so fe n e r g ys p e c t r a la r ec o n s o n a n tw i t h t h el e n g t h so fc l a s s i c a lo r b i t s ；t h e s es h o r tc l a s s i c a lt r a c k sw e r ep l a y i n gt h ec r u c i a lr o l ei nt h e m i c r oc a v i t yt r a n s p o r t a t i o np r o b l e m s t h i st h e s i si sd i v i d e di n t o f i v ec h a p t e r s ：t h ef i r s tc h a p t e ri ss u m m a r i z a t i o n , w h i c h b r i e f l y i n t r o d u c e st h e d e v e l o p m e n t o fs e m i - c l a s s i c a l t h e o r y a n dt h ec h a r a c t e ro f t w o - d i m e n s i o n a lb i l l i a r ds y s t e m s i nt h es e c o n dc h a p t e rw ei n t r o d u c e dt h eq u a n t u ms p e c t r a f u n c t i o n , g r e e nf u n c t i o n ，d e n s i t yo fs t a t e sa n ds oo n i nt h en e x tc h a p t e r , b a s e do nt h e e x t e n d e dc l o s e d - o r b i tt h e o r yt o g e t h e rw i n ls p e c t r a la n a l y s i sw es t u d i e dt h ec o r r e s p o n d e n c e b e t w e e nq u a n t u mm e c h a n i c sa n dt h ec l a s s i c a lc o u n t e r p a r ti nat w o - d i m e n s i o n a la n n u l a r b i l l i a r d w ec h a n g et h es c a l eo ft h es y s t e ma n df i n dt h ec o r r e s p o n d i n gr e l a t i o n sa m o n gt h e s y s t e m s i nt h ef o u r t hc h a p t e r , w ep r e s e n t e das e m i - c l a s s i c a lt h e o r yf o rt r a n s p o r tt h r o u g h o p e na n n u l a rb i l l i a r d st h a ti n c l u d e sd i f f r a c t i v e l ys c a t t e r e dp a t h sa tt h el e a do p e n i n g s t h e c o n d u c t a n c ef a c t o ro fab a l l i s t i cm i c r o s t r u c t u r es h o w ss t r o n gf l u c t u a t i o n sa saf u n c t i o no ft h e f c r r n iw a v en u m b e r w cp e r f o r mam o r ed e t a i l e da n a l y s i so ft h ef l u c t u a t i o np a t t e mb yu s i n g f o u r i e rt r a n s f o r m t h er e s u l t sd e m o n s t r a t et h a tt h e p e a kp o s i t i o n s o f p o w e r s p e c t r a i l ( 三) 1 2a r ea c c o r d a n c ew i t ht h el e n g t h so ft h ec l a s s i c a lb a l l i s t i ct r a j e c t o r i e sv e r yw e l l t h i se x a m p l e ss h o we v i d e n t l yt h a ts e m i - c l a s s i c a lm e t h o d sp r o v i d e sab r i d g eb e t w e e n q u a n t u ma n dc l a s s i c a lm e c h a n i c s i nt h el a s tc h a p t e ra r et h ec o n c l u s i o n so f o u r s t u d ya n dp l a n f o rt h ef u t u r e k e yw o r d s ：c l o s e d - o r b i tt h e o r y , a n n u l a rb i l l i a r d , q u a n t u ms p e c t r a f u n c t i o n , v 山东师范大学硕士学位论文 f o u r i e r - t r a n s f o r m e ds p e c t r a , q u a n t u mt r a n s p o r t ，c o r r e s p o n d e n c eb e t w e e n q u a n t u ma n dc l a s s i c a l c l a s s i 6 c a 6 0 n ：0 5 6 2 3 v i 独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得( 注：如没有其他需要特别声 明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或证书使用过的材料。与我一同工作的同志对 本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 张步力参 导师签字： 学位论文版权使用授权书 纪稚 本学位论文作者完全了解堂撞有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向 国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权兰 接可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印 或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 了劬金 导师签字： 签字日期：2 0 0 年弘月歹日 锨堪 签字日期：2 0 07 年红抄日 山东师范大学硕士学位论文 第一章综述 1 1 半经典理论的兴起与进展 自从2 0 世纪初量子力学诞生以来，其方法和计算技术已经成为原子和分子体系中 精确计算的强大工具。量子计算结果和实验测量结果的精确符合消除了人们对量子力学 基本概念的任何质疑，直到今天量子力学仍然是人们解决微观体系的精确理论。尽管如 此，半经典理论仍然引起了人们的广泛兴趣，半经典理论的复苏主要有以下两个方面的 原因： ， 首先，微观体系中的量子力学和宏观世界中的经典力学的对应关系一直是人们十分 感兴趣的一个方面，了解这种对应关系对人们更深的理解自然的本质有着重要的意义。 例如，1 9 6 7 年，m a r t i n c g u t z w i l l e r 给出了一个态密度的半经典公式，他从格林函数迹 的精确的量子表达式出发，用格林函数的半经典近似代替它的量子形式，应用稳定相近 似得到态密度的半经典表达式，式中包括一个平滑项( w e y l 项) 和一个包含了对应经 典体系的所有周期轨道振荡求和。g u t z w i l l e r 的理论通常又被称为周期轨道理论【l 一钉，态 密度是量子概念，轨道作用量是经典概念，“g u t z w i l l e r 迹公式提供了联系量子性质和经 典性质的桥梁作用”。 其次，在应用量子力学的方法解决多维不可积体系时需要进行大量的数值计算( 虽 然可以通过选取合适的基矢来优化哈密顿量，但是对角化哈密顿量需要的计算量仍然十 分庞大) ，而这些数值计算的结果对于我们了解体系动力学性质的作用甚微。例如，1 9 8 6 年在德国的b i e l e f e l d 大学的威尔格( w e l g e ) 教授首次用氢原子做实验时第一次发现了 回归谱的例子，在电离阈附近，氢原子的吸收谱出现振荡，变为许多振荡项的叠加。如 果把能量的分辨率提高很多倍以后，电离阈附近的振荡会突然消失，测到的吸收谱简直 就象噪音一样，如图1 1 ，从这种吸收谱中很难抽取有用的信息。但是当把吸收谱作为 能量的函数通过傅立叶变换而变成时间的函数时，在很多分立时间标度上，变换后的函 数都有尖峰，一个振荡峰对应着一条稳定的半经典闭合轨道的贡献，如图1 2 。因此半 经典方法可以很好的解释实验上或应用量子力学方法计算得到的数据，这种解释方法对 于我们了解体系的动力学性质起到了重要的作用。 山东师范大学硕士学位论文 在研究经典力学和量子力学的对应关系过程中，半经典技术给出的w k b 量子化方 法和e b k 量子化方法分别应用于一维体系和以个自由度的体系【5 - 9 。但是，这些半经典量 子化方法仅适用于可积体系。在非可积体系中k a m 环面被破坏，体系的本征态不能通 过一套量子数来表示。a l b e r te i n s t e i n 早在1 9 1 7 年就曾经指出，用这些半经典量子化方法 不可能对混沌的体系进行量子化。由于旧的量子理论描述复杂体系的失败以及波动力学 的发展，在后来的几十年里，人们并没有对半经典理论引起足够的重视，特别是对于混 沌体系来说，量子力学和经典动力学的对应关系一直是一个有待于解决的问题。 半经典闭合轨道或周期轨道理论一般是在相应体系经典动力学或者混沌或者可积 或者具有较多的对称性的情况下得出的。当系统参数的改变使得其经典行为既不是混沌 又不是可积，而是处于更加复杂的混沌和规则混合的状态时，闭合轨道不是完全在这些 参量值点上，谱表现出发散趋势，产生聚焦效应，闭合轨道理论需要修正。因为半经典 闭合轨道理论公式推导中采用了两个近似条件：( 1 ) 返回的入射波函数近似为从无穷远 处出发，沿返回角口，方向而来的旋转柱对称的零能库仑波。( 2 ) 毗邻的闭合轨道可以 分辨，彼此独立，不发生相干。而在发散点附近，闭合轨道周围许多毗邻轨道形成一个 尖端结构，轨道不再独立，返回入射波函数会变成无限大，半经典闭合轨道理论不再适 用，这就是焦点奇异造成的发散。这种现象在物理的其他领域也是很常见到的。 2 图1 1 氢原子在强度为b = 5 9 6 t 的磁场中的光吸收谱。 一-ilc，qj口一一u一气 山东师范大学硕士学位论文 图12 吸收谱的傅立叶变换图每一个峰位与一个闭合轨道的运动时问相对应。 周期轨道理论受到人们的普遍重视是在闭合轨道理论提出以后，因为对于原子、分 子或其他体系，实际出现的是闭合轨道而不是周期轨道。1 9 8 8 年，杜孟利和j b d o l o s 等人在c m t z w i l l e r ) 司期轨道理论基础上采用格林函数和库仑散射方法提出了半经典闭合 轨道理论【1 “1 ，并以磁场中的氢原子为例，给出了清晰的理论推导和物理图像的描述。 作为周期轨道理论的修正和改进，闭合轨道理论由于具有物理图像清晰，应用范围广泛 等特点，成为人们解决原子或离子在强外场中的光吸收现象的主要工具，成为实现联结 经典理论和量子理论的重要桥梁。应用闭合轨道理论的统一近似方法不但能处理分岔点 附近的振幅发散问题吣埘，还能够处理“鬼轨道”的问题m 。 对于可积体系来说，b e r r y 和t a b o r 1 8 - 2 1 蛤出了一个类似与g u t z w i l l e r 迹公式的态密度 的半经典表达式，同样是把态密度表示成周期轨道求和的形式，因此被称为可积体系中 的周期轨道理论。b e t t y - t a b o r 的迹公式与e b k 环面量子化在形式上是等价的，该公式还 可以推广到近可积体系。 现实的体系通常既不是可积的又不是完全混沌的，而是混合体系。这些混合体系中 周期轨道( 闭合轨道) 可能含有分岔，在分岔点处它们既不是分立的，又不属于相空间 中的一个规则环面。o u 垃w i l l e r 的迹公式和b e n - y - t a b o r 的迹公式的振幅在分岔点附近都变 得发散，就是说这两个公式在分岔点附近不再适用。 对于分立的周期轨道应用g u t z w i l l e r 的迹公式l 竭。对于规则的环面应用b e r r y - t a b o r 的迹公式，当处理分叉问题和“鬼轨道”问题时应用闭合轨道理论统一近似方法，原则上 对于混沌、可积和混合体系我们都可以应用半经典方法来处理。 玄=口sjt上基 山东师范大学硕士学位论文 闭合轨道与周期轨道理论有着密切的联系，科学理论发展往往出现这样的景象，在 人们为某项新发现的意义而苦苦思索，找寻新的解释时，却突然领悟到实际上它是过去 已有理论的自然延伸和拓展。从闭合轨道理论提出到现在已二十多年，在许多不同体系 上都取得巨大的成功。人们在应用该理论的同时，也从各个不同角度探索它的内涵和来 源，也正由于这个原因，g u t z w i l l c r 的量子态密度的迹公式开始受到广泛关注。这个公 式是1 9 7 1 年提出的，也正是物理学家开始对高激发的里德堡态感兴趣的时候，很可能 g u t z w i l l c r 也看到过g a n o n 和t o m k i n s 的实验，但他心中惦念的却是另一个更为迫切的 问题，那就是混沌。g u t z w i l l c r 意识到，对于混沌体系，不存在好量子数，唯一的不变 量是周期轨道，它是嵌埋在相空间p o i n c a r e 截面的一系列岛状和线状结构中孤立的点， 对混沌性质起决定作用。其基本思想是：量子态密度采用g r e e n 算子表示；用g r e e n 函 数代替g r e e n 算子，对能量g r e e n 函数进行f o u r i e r 变换得到时空传播子并与路径积分 相联系。在半经典近似下用稳定相近似得到迹公式，稳定相点条件给出经典周期轨道， 其态密度迹公式是 p ( e ) 兰p o ( e ) + a i s i n ( s i ( e ) + 破) p o 等式左边是量子态密度，右边是经典对应：第一项是背景，第二项对周期轨道求和。形 式上与闭合轨道理论相似，但物理含义不同。 两个理论共同点是：它们不仅适用于可积系统，而且适用于不可积系统；都可近似 给出体系的能谱和波函数：求和都是对分立的经典轨道进行。但也有显著区别：首先， 应用周期轨道理论时要求粒子的运动状态( 如动量) 具有周期性，因此连续两次通过空 间某点的动量必须相等。而闭合轨道理论只要求粒子从某点出发再回到该点附近即可， 因为它关注的是波函数发生相干的特点。有鉴于此，在原子、分子体系的激发或电离过 程中，一般只有闭合轨道而没有周期轨道。此外，闭合轨道理论还可以扩展到波函数在 空间任意两点的传播，即开轨道的情况，正如在研究量子台球或微腔输运时出现的情况。 1 2 闭合轨道理论的物理图像及基本思想 由于具有物理图象清晰、应用范围广的特点，半经典闭合轨道理论倍受人们的关注。 从提出以来，闭合轨道理论已被列入十几本专著中专门介绍，其原始文章被引用已达 4 山东师范大学硕士学位论文 1 2 0 0 多次。这一理论的优点还在于它提供了研究量子谱的经典体现、混沌性质等问题 的理论框架和实用手段，不论是规则运动的可积系统还是不规则运动的不可积体系，它 都可以给出清楚的物理解释，而且它还可以用来研究经典动力学的极限问题。 当原子吸收了光以后，原子处于很小区域的电子就获得了能量，电子以电子波的形 式从原子核向外传播。在原子核附近，外场对电子的影响可以忽略，电子只感受到库仑 力的存在，随着电子离原子核距离的增加，电子越来越感受到外场的存在。在离原子核 较远的地方，电子的波函数类似于近零能库仑出射波，波从原子核按照半经典力学规律 向外传播，与出射电子的经典轨迹相关。由于电子的运动受库仑力和外场力的共同作用， 电子不可能一直向无限远处运动，因而，沿某些特定方向离开原子核的电子就在短时间 内被挡回到原子核上。这些开始于原子核然后又回到原子核的电子轨道叫做闭合轨道， 由于沿着闭合轨道传播的电子波又回到原子核处，这样就产生了量子干涉效应，从而在 吸收谱上出现了振荡。图1 3 以h 原子为例，形象的表现了这一过程。 图1 3 闭合轨道理论的物理图像 应用闭合轨道理论时，把研究空间分成三个区域：1 ) 核区( 大约为r o l o a o ) ，这 一区域中，外场的作用可以忽略，电子波函数须用量子方法求得。2 ) 绕实库仑区( 匹 配区) ( 大约l o a o - r o l o o a o ) ，在这个区域中，电子主要受库仑力作用，外场的影响也 是比较小。3 ) 库仑外部区域( r o l o o a o ) ，在这个区域，外加电磁场对激发电子的作 山东师范大学硕士学位论文 用和库仑力作用相当。 美国著名物理学家雷克( r e i c h l ) 在评价周期轨道理论的开创性思想时说：“可以认 为g u t z w i l l e r 的工作是量子力学发展史上的重要里程碑。”而对于闭合轨道理论及其随 后的发展，k l e p p n c r 和d e l o s 则指出：“基于g u t z w i l l e r 工作的半经典方法不仅可以对 那些量子解模糊不清的问题提供物理洞见，而且它提供了联系量子和经典世界的唯一桥 梁。” 1 3 二维量子台球体系的特点和研究进展 在量子力学中，存在着各种各样的半经典的计算方法，这些方法有利于提高我们对 一个体系经典性质与量子性质的理解，以及它们之间相互关系的认识。自从混沌动力学 出现以来，弹子球问题一直是人们研究混沌