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南京航空航天大学硕士学位论文 摘要 层次分析法是一种定性与定量相结合的多准则决策( 评价) 方法，可以将人的 、 r 主观判断用数量形式表达和处理。在运用廿m 解决问题的过程中常常会出现给 出的判断矩阵不具有满意一致性的情形，这时必须对原判断矩阵进行调整直至满 意为止，这种修正方法非常繁琐，而且最终得到的满意一致性判断矩阵与决策者 的判断可能会有很大差别。为此本文从判断矩阵的构造方法出发科学直观地提 出了一种判断矩阵的改进方法，这种方法在使用中得到多次验证。此外本文还从 理论上严格论证了一种用统计假设检验一致性的事前检验方法，克服了用一致性 比例事后检验的缺点，并将这些方法编写成一个可以解决廿m 问题的一般程序。 在层次分析法的应用方面j 本文建立了股票投资价值层次结构模型，通过对专家 的调查建立判断矩阵，运用所编写的程序进行运算，作出了股票投资价值评价决 策。此外还建立了房产选址层次结构模型和选择广告媒体的价值工程模型，其中 对于广告功能系数的计算是建立在广告功能层次结构模型基础上的。 关键词：层次分析法判断矩阵一致性检验股票房产广告 r 关于层次分析法的理论和应用研究 一一 a b s t r a c t t h ea n a l y t i ch i e r a r c h yp r o c e s si sam u l t i a t t r i b u t ed e c i s i o nm a k i n g ，w h i c hc a l l e x p r e s st h e m a n ss u b j e c t i v ej u d g e m e n ti nn u m b e r t h eg i v e nj u d g e m e n tm a t r i x s o m e t i m e sa r eu n c o n s i s t e n c ew h e nt h ea h pi sa p p l i e dt os o l v i n gp r o b l e m w h e ni t h a p p e n s ，t h ej u d g e m e n t m a t r i xm u s tb ec o n t i n u o u s l yi m p r o v e du n t i li ti sas a t i s f a c t i n g c o n s i s t e n c yj u d g e m e n tm a t r i x t h ew a y i sv e r yc o m p l i c a t e da n dt h ej u d g e m e n ti nf i - n a lj u d g e m e n tm a t r i xm a yb ev e r yd i f f e r e n tf r o mi no r i g i n a lo n e i nt h i st h e s i s ，aw a y o fi m p r o v i n gj u d g e m e n tm a t r i xi sp u tf o r w a r da n dt e s t e db ys o m ee x a m p l e s an e w m e t h o do fs t a t i s t i c a lh y p o t h e s i st e s t i n gi s p r o p o s e dt o c h e c kt h ec o n s i s t e n c yo ft h e j u d g e m e n tm a t r i xb e f o r et h ec a e u l a t i o no ft h ep r i o r i t yv e c t o h * w h i o hh a so v e r c o m et h e s h o r t c o m i n go fc o n s i s t e n c yr a t i o nt e s t i n g ag e n e r a l p u r p o s ep r o g r a mh a sb e e nm a d e t os o l v ea h p p r o b l e mb yc o m p u t e r i na p p l i c a t i o n ，t h r e ea h p m o d e l sf o rt h ee o m p r e h e s i v ee v a l u a t i o no i lv a l u eo fs t o c ka n dt h ee l e c t i o no fe s t a t ea n dm a s sc o r n m u n i c a t i o nf o ra d a l ep u tf o r w a r d k e yw o r d s ：t h ea n a l y t i ch i e r a r c h yp r o c e s s t h ej u d g e m e n tm a t r i x c o n s i s t e n c yt e s t i n g s t o c ke s t a t e a d v e r t i s e m e n t 2 南京航空航天大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 层次分析法发展史 层次分析法( 简称a h p 法，即a n a l y t i ch i e r a r c h yp r o c e s s ) 是美国运筹学家，匹 兹堡大学教授t l s a a t y 在本世纪七十年代初提出来的，在1 9 8 2 年1 1 月召开 的中美能源、资源、环境学术会上，由s a a t y 的学生高兰尼桑( h g h o l a m n e z h a d ) 首 次介绍给中国学者。由于a h p 在理论上具有完备性，在结构上具有严谨性，在解 决问题上具有简洁性。尤其在解决非结构化决策问题上具有明显的优势，因此 a h p 法介绍到我国虽然时间不长，却在各行各业得到了广泛和深入的应用。 众所周知，对于那些大量、重复常见的结构化决策因为有不少数据可用，而且 有现成的正规的决策模型可循，用定量科学决策方法是符之有效的。但对于有人 参与的社会经济决策现象，特别是一些重大战略决策，往往是一次性的，或就事论 事，很少有数据可用，或即使有些数据，人们理解和使用它们也有所不同，这时很 难箍单套用现成的数学决策模型。此外有些决策本身就带有创造性，有的难免带 有一定的感情和政治色彩。因此给决策者留有足够创造性余地的定性定量相结 合的决策方法也就应运而生了。a h p 方法正是这样一种定性定量相结合的多准 则决策( 评价) 方法。尽管a h p 方法有深刻的数学推导和内容，但从本质上来讲 a h p 是一种思维方式。它把复杂问题分解成各个组成因素，又将这些因素按支配 关系分组形成递阶层次结构，通过两两相对比较的方式确定同一层次中诸因素的 相对重要性，然后综合决策的判断，确定各备选方案相对重要性的总排序。整个 过程体现了人的决策思维的基本特征，即分析、判断和综合。a h p 是可将人的主 观判断用数量形式表达和处理的方法。在一般情况下，决策者自己可使用a h p 进行决策，解决了长期难以锯决的决策者与决策分析者相分离且难于沟通的问 1 关于层次分析法的理论和应用研究 题，大大提高了决策者的有效性和操作性。 层次分析法被介绍到我国虽然只有十多年时间，但在我国的许多领域如军 事、经济、文化、教育等方面得到了广泛的应用。1 9 8 8 年在我国召开了第一届 a h p 国际学术会议，在中国系统工程学会下设立了层次分析法专业学组创办了 专业刊物。层次分析法已成为决策( 评价) 工具中最为普及 的一种有效方法。 1 2 国内外层次分析法的研究应用概况 自s a a t y 发明了层次分析法以来，许多人对a h p 理论进行了深入的研究，使 a h p 在实际应用中更简便易操作，a h p 法在众多领域中得到了广泛的应用。这 里只就一些比较重要的研究和应用进行概括： ( i ) 关于判断矩阵的构造方法研究由于s a a t y 提出的1 9 标度法构造判 断矩阵不能完全保证其满意一致性，因此给实际操作带来了不便。许多学者在这 方面提出了其他的标瘦法如3 标度法，o 1 - 0 9 标度法，也有一些人对用不同标 度构造判断矩阵方法的优劣进行比较，最终认为各种标度法虽各有千秋，但文献 9 建议“用1 9 标度法和特征根法计算权重，以力求应用a h p 的结果具有保序 性”。 ( 2 ) 关于一致性检验方法的研究 在s a a t y 的理论中对1 9 标度构造的判 断矩阵用一致性比例c r 应小于0 1 的规定检验满意一致性并没有严格的理论 推导，而是实践的总结，因此缺乏理论依据，而且由于构造判断矩阵的方法已突破 了1 9 标度法，因此有许多学者对一致性检验进行了研究，并取得了不少成果。 ( 3 ) 模糊a h p 法的研究 人在认识和改造客观世界中遇到大量没有明确外 延的现象，即模糊现象，如抉择方案的优与劣、决策评价中的不同等级以及人生历 程中的婴、幼、少、青、中、老年时期都没有明确的界限。近十多年来，国内外学者 对这类问题进行了有益的工作。如拉胡文( p j m l a a r h o v e n ) 和佩德赖切( w p e d r y c z ) 建议用三角模糊数来表示模糊判断。许若宁和翟晓燕认为用正有界闭模 2 南京航空航天大学硕士学位论文 糊数来表示模糊判断是合适的。魏毅强等人提出一致性区间数判断矩阵的概念， 设计了一种区间数特征向量法等等。所有这些研究成果统称为模糊a h p 法或不 确定型a h p 法。 ( 4 ) 排序问题这些问题主要以应用为主。其中一类主要重复a h p 法的基 本程序，面l | 缶的是多元素的相对重要性，而这些元素大多难以用数字描述，没有统 一的薰纲，解决过程又需要了解要求的优先权，选择或舍弃哪些元素或方案。另 一类则不仅考虑排序，而且要考虑排序与某些影响因素之间的动态变化规律。许 多学者在具体的操作方法、特别是判断矩阵的给出法上提出了很多新观点。总 之，排序问题的应用几乎涉及到社会经济生活的各个方面，如农、林、牧、水及二三 产业的发展方案选择，军事问题，投资方面。 ( 5 ) 评价问题对一个系统进行总体评价时往往需要设计合理的指标体系， 但社会经济现象又离不开人的参与，为尽量避免人为因素及主观因素的影响，要 用科学的方法作指导。a h p 法在此有着广阔的用武之地。这类应用很多，如对某 类人员进行综合测评指标体系的建立，对投资、高校经费使用规划、导弹质量评 价，科技预研基金评价指标的建立等方面。 ( 6 ) a h p 法与其它理论的结合应用由于a h p 法对解决模糊问题、定性问 题，显示出无法取代的优势，因此a h p 法与其他定量理论结合使用可以起到取长 补短、优势互补的效果。主要成果有： 1 ) a h p 法与l p ( 线性规划) 的结合 l p 模型的目标是在有限资源所限定的条件下，使目标获取过程简化。它要 求单一目标，限制条件是线性函数，但实际决策问题中，线性状态是很少的。用 a h p 法将多目标问题通过专家的经验和判断进行校正，将其转化为一个与实际接 近的单目标问题，然后求解。如资源分配问题。 2 ) a h p 与最短路问题的结合 最短路问题在较理想的边界条件下，可以得到最佳路线和合理的节点顺序。 但在边界条件复杂的情况下，用它解决问题就力不从心。例如军用道路最佳路线 3 关于层次分析法的理论和应用研究 的选择就必须考虑道路的平均坡度、路面等级、路宽、道路的隐蔽情况，易毁程度 和战略价值。对这类复杂问题，通过对诸环境因素的分析。可构造道路风险程度 的递阶层次结构、求得风险权重系数，将风险权重系数与道路同节点的距离相乘 用求最短路问题的方法即可求出最佳路线。 3 ) a h p 法与对策论的结合 应用层次分析法对对策论中的支付矩阵进行估计，从而使对策论模型能够广 泛应用在经济竞争系统中。 4 ) a h p 法与其它理论的结合。 1 3本文选题简介 由于层次分析法具有明显的优点，能解决大量有人参与的社会经济决策问 题，特别是对一些无法精确计量的因素如心理、风俗、政治等都能通过a h p 法实 行定性与定量的有效结合，因此我认为a i - i p 法将会在今后的实践中在更多的领 域得到更广泛的应用。但是a t - i p 法毕竟有深厚的数学理论基础和推导。且要求 操作者必须具有一定的数学技能，因此如果a h p 法能更简便易操作，例外现象越 少的话，那么将有利于更多的人使用a h p 法。 在以往的实践中，人们已经遇到了许多新问题，其中有两个问题值得我们关 注。第一个是两两对比判断矩阵的给出方法，当判断矩阵不满足满意一致性时怎 么办? 怎样才能构造出信息充分的满意一致性矩阵? 第二个问题是以往检验一 致性是在事后进行的，如果检验结果是判断矩阵不满足满意一致性。那么前期的 计算工作可谓是白费，有没有一种事前的检验方法呢? 本文将着重对这类问题及 a h p 的应用进行研究。下面介绍一下本文的基本构成及主要内容： 在第二部分主要介绍了层次分析法的基本思路，判断矩阵的构造方法，简述 了几种权重的计算方法和一致性检验方法，介绍了多人决策时的a h p 方法。 第三部分着重介绍了本文提出的对层次分析法判断矩阵一致性的一种直观 科学的有效改进方法，构建了一个统计量用于对判断矩阵一致性的事前检验，并 4 南京航空航天大学硕士学位论文 且通过严格的数学推导建立了确保这种方法检验结果与一致性比例检验结果相 一致的参数临界值表。在这一部分本文还将a h p 法的基本方法与上述方法结合 起来编写了解决层次分析法一般问题的通用程序流程图，并在附录中附有具体的 通用程序。 第四部分主要介绍了本文将廿p 法应用于股票投资价值评价、房产选址决 策及广告媒体选择决策等方面。其中股票投资价值评价是本节重点，作者通过查 询有关资料。到股市实地探访，查阅股票信息建立了股票投资价值影响因素递阶 层次结构；设计调查表向多位股票投资专家进行调查，建立各因素之间的判断矩 阵，运用在第三部分提出的通用程序求得各因素的排序向量，并对部分股票进行 了投资决策。对于房产选址和广告媒体决策本文着重搜集资料、认真分析建立了 模型，通过一些简单的例子介绍了作者的决策思路。 5 关于层次分析法的理论和应用研究 第二章层次分析法的基本理论 2 1 基本步骤 运用a h p 进行决策时，大体上可分为以下四个步骤： 分析问题，确定系统中各因素之间的关系，建立系统的递阶层次结构； 构造两两比较判断矩阵； 计算各层次相对权重的单排序； 计算各层元素对系统总目标的合成权重，并进行总排序。 在实际应用过程中，分析问题是关键，如果对问题分析不透彻，对问题的实质 理解不深刻，对a h p 解决问题的基本步骤不能掌握，则也不能正确地构造递阶层 次结构，进行两两比较和计算相对权重，最终得不到满意的决策依据和支持。因 此如果将a h p 简单理解为只是排排序而已，而不是一种决策实用方法，那么这只 是一种肤浅的认识。 2 2 构造判断矩阵的方法 在建立递阶层次结构以后，上下层次之间元素的隶属关系就被确定了。假定 以顶层元素c 1 为准则，所支配的下一层次( l 2 ) 的元素为 ，2 ，厶，我们要通 过两两相对比较的方法求出它们对于准则c 。的相对重要性相应的权重”，w 2 ， ，”。为此，决策者( 或专家) 要反复进行如下判断：针对准则c 1 ，l ：层中的两 个元素 ，乃( l 2 ) 哪一个更重要? 重要多少? 若记n 目= 詈表示第i 个元素对 第j 个元素的相对重要性估值，则”个元素两两相对比较c ：型掣次所得的 结果就构成判断矩阵a 。也就是说只要给出a 的上( 或下) 三角的旦掣- t - 劐t a = 南京航空航天大学硕士学位论文 断矩阵a 就确定了。 l a 。l 口。2 a n n jl w 。w l 显然判断矩阵具有以下性质： ”l w 2 w 1 w 。 ”2 ”2 w 2 。 w 。w 2 w 。, v 。 ( 2 1 ) 对v i , j n 垒 1 ，2 ，n l 有a l j o ，= 1 a j i ，a l l 2 1 ( 2 2 ) 因此称判断矩阵a 为正互反矩阵。 对v i j n ，有。d 啄= 口4 ( 2 3 ) 称a 为完全一致性矩阵。 s a a t y 及其同事采用如表一所示的i 9 标度法进行相对重要程度赋值( 记为 a i ) 。 表一1 9 标度含义 量化值两两比较的重要性等级 1 表示两个元素相比。具有同样的重要性 3表示两个元素相比，前者比后者稍重要 5表示两个元素相比，前者比后者明显重要 7 表示两个元素相比，前者比后者强烈重要 9表示两个元素相比，前者比后者极端重要 27 4 、67 8表示上述相邻判断的中间值 若前者( 五) 与后者( 五) 重要性之比为， 倒数 则后者( 五) 与前者( 五) 重要性之比为a u 。 s a a t y 为什么选择1 9 标度作为定性等级量化值呢? 这主要是因为用1 9 之间的整数及其倒数作为量化标度符合人们进行判断时的心理习惯。许多实验 心理学研究亦表明，普通人在对一组事物的某种属性同时作比较，并使判断保持 满意的一致性时，所能正确辨别属性的等级( 或事物的个数) 在5 9 个之间。因 此在实践中，l 9 标度已基本取得社会认同，应用十分广泛。 7 关于层次分析法的理论和应用研究 鉴于a h p 属于定性定量相结合的决策方法，一般应用于非结构化或半结构 化的复杂系统，所以1 9 基化标度大体上属于序标度。对它进行任何单调变换 都是允许应用的保序变换。整个决策评价过程重在保序，即保持备选方案原有的 ( 应有的) 优劣顺序。因此亦不排斥采用其它标度的可能性。例如文献 2 的作者 左军首创 0 ，1 ，2 三标度，相应有很多文献研讨这类问题。文献 1 还推荐在事物 性质强度十分接近时，可采用1 1 1 9 标度，并用表格列出了2 0 种其他标度与1 9 标度的转换关系。如果条件许可时，我们还是用1 9 标度为好。顺便指出， 基于上述原因，在同一层次中元素的总数，以小于9 个为宜，即n 9 ，当n 9 时， 可分为若干组，使每个组的元素少于9 个为好。 另外值得提出的是a i - i p 法是在无法对属性用比例标度( 或区间标度) 明确测 量其物理特征时进行测量的手段。一般序标度只能表征比较元素某属性之间的优 序关系，而不具有实际物理意义，由a 唧求出的权系数( 包括单权和综合权) 之间 不满足比例关系。 2 3 权重的确定方法与一致性检验 2 3 1 单一准则下相对权重的计算方法与一致性检验 这一步要根据判断矩阵a = ( n ) 。求出这几个元素对于准则c 1 的相对权 重向量w = ( ”- ，”2 ，t u 。) 7 ，并进行一致性检验。下面介绍5 种通过a 矩阵 确定权重的办法。 ( 1 ) 最小平方权法 如果决策人的估计不一致，即所估计的相对权重q = w ；q ，对所有i ，j ( i ，j 2 1 ，2 ，n ) 不完全成立，即n d 哟一w ；的值不全为0 ，这时，我们可以选择一组权 ”。，w ：，w 。 使误差平方和为最小，即 m i n z = 。黾善( n q w t ) 2 ( 2 4 ) s t ；= 1 t 。l r 南京航空航天大学硕士学位论文 这是一个非线性规划。可以用拉格朗日乘子变成纯量化问题，其拉格朗日函数为 l = 箍( 。哟一w t ) 2 亿( 墨w t 一1 ) ( 2 - 5 ) 将上式微分，可得 晏蔓：2 妻( 口i f w f w i ) n “一2 奎( 口o f 一f ) + 2 a = 0 ( z = l ，2 ，n ) 1 2 2 置( 口i f w f w t ) n “一强( 口o 一f ) + 2 a 2 ( 仁l 川一，n ) ( 2 6 ) l 篑= 2 ( 墨”1 w ；_ 1 ) = 0 这样就构成一个含”十1 个未知数的非齐次线性方程组，可以求出一组唯一 解。从而可求出最小平方权意义下的相对权重”。， t 0 2 ，w 。 ( 2 ) 本征值法( 本征向量法) 当判断矩阵a = ( 4 d ) 。完全满足正互反条件。口 o ，a 口= 1 a i f ，8 日= 1 和完 全一致性。= 。琏时，设= ( w 1 ，2 ，w 。) 7 则有 ”l w 1 ”1 ”2 ”l w 4 w 。w lw 。w 2 w 。 w 1 7 t j 2 | ( 2 7 ) 即a w5 ”w 或( a 一”f ) w = 0( 2 8 ) 由( 2 8 ) 式分析知：( 2 8 ) 式是矩阵a 的特征根方程，”是其中的一个特征根，” 是矩阵a 对应于特征根n 的特征向量。 由于( 2 7 ) 中a 的每一行等于a 的第一行和某个常数的乘积，因此矩阵a 的 秩为1 ，a 的特征根只有一个不为0 。而所有特征根之和等于对角线元素之和，所 有矩阵a 只有一个特征根即最大特征根a 。= n ，其余均为0 。 一般情况下，正互反性质易满足而完全一致性很难做到。当n d n 业= n 。( i ，j ， 女= i ，2 ，n ) 不完全满足时， 一将稍大于n ，其余特征根也趋于0 ，这时也可用 及其相应的”来做为权系数。但要求判断矩阵的一致性不超过一定限度。 o 关于层次分析法的理论和应用研究 一一 具体做法如下： 1 ) 求判断矩阵a 的最大特征根a 一和相应的特征向量w 。 根据前面介绍的思路求解：由l a a j l = 0 ，求得a i ，找出a ，然后将a 一代入 a w 2 a m “” 解出相应的特征向量w = ( 1 ，2 ，w 。) 7 。 2 ) 一致性检验 由于只有当矩阵完全一致时，判断矩阵a 才存在a 一= n ，而不一致时a 。 ”，即可用( a 。；一n ) 这个差值大小来检验一致性的程度，一般用c i ( c o n s i s t e n c y i n d e x ) 这个一致性指标： c i ：生! 旱( 2 9 ) 事实上，矩阵a 的特征根之和等于其迹，即a 一一t 表示除a 的最大特征根 之外的n 一1 个特征根的总和。因此c i 指标是求这t 一1 个特征根的平均值。 c i 愈小，说明一致性愈大。 考虑到一致性偏差还有可能是随机原因造成的，必须查找相应n 的平均随机 一致性指标r i ( r a n d o mi n d e x ) 女1 1 表二。r i 是计算机从1 9 标度的1 7 个标 度值( 吉，吉，吾，1 ，2 ，9 ) 中随机地抽样填满n 阶矩阵的上( 或) 下三角阵中的 n ( n 一1 ) 2 个元素，求出a ，再代入( 2 9 ) 式求出c i 。经过多次( 5 0 0 次以上) 重复求得平均值。 表二平均随机一致性指标值 阶数123456 789 r 1000 5 80 9 01 1 21 2 41 3 21 4 11 4 5 由表二显见，r i 与判断矩阵的阶数有关，一般阶数愈大，出现一致性随机偏 离的可能性也愈大。因此，在检验判断矩阵是否具有满意一致性时，必须将一致 性指标c i 与平均随机一致性指标r i 进行比较，得出检验数c r ( c o n s i s t e n c y r a t i o ) 即 1 0 南京航空航天大学硕士学位论文 一致性比例c r = 蚤 ( 2 1 0 ) c r 值的标准：对于一、二阶矩阵，可以满足a o a j t = n n ，所以不必检验。对 于三阶以上的判断矩阵，当c r o 1 时，应该对判断矩阵作适当修正，以保持一定程度的一致性。 ( 3 ) 幂法( 特征向量法) 前面介绍的第2 种求a 的最大特征根及其对应特征向量的方法在理论上是 完善的，但实际计算时却存在一定困难，特别是随着阶数n 的增大，计算越繁，工 作量也越大。因此我们可以考虑借助于数值计算的方法求解，幂法是对方阵a 求 绝对值最大的特征根a 。和相应的特征向量的一般方法。求解步骤一般为： 1 ) 任取与a 矩阵同阶归一化的初始向量w o = ”2 ，w 2 ，”： 7 。所谓归 一化，就是要求w ? ( i n ) 满足w ? o 且妻w ? = 1 ； 2 ) 计算面。+ 1 = a w 9 ( q = 0 ，l ，2 ，) 3 ) 再归一化”口”= 动+ 1 w + 1 4 ) 对给定精度 0 当 1 w ”一w ? l o 1 时判断矩阵具有可接受的一致性 或满意的一致性。随着a 唧在实际应用中的广泛深入，愈来愈多的反例对一致 性标准提出疑义。这就迫使人们从其它角度对一致性进行思考和探索，这里提出 判断一致性概念，并从直观上应用判断矩阵的特性改进和逼近一致性判断矩阵。 t 斤 南京航空航天大学硕士学位论文 3 1 1 矩阵的判断一致性概念 层次分析法的用途之一是从有限多个方案中选择最优方案，判断矩阵是经两 两比较以后得到的正互反矩阵。事实上，将判断矩阵的每列元素归一化后得到的 向量即是对该列对应方案而言的诸方案重要性的近似权重。由此可把一个n 阶 判断矩阵看作各方案针对不同方案的n 次重要性排序。如果这”次排序结果相 同，则认为它们具有判断一致性。 定义3 1 设判断矩阵a ，若其每一列向量均有相同的排序结果，则称a 为 判断一致性矩阵。 在实际操作中，当判断矩阵具有判断一致性时，可以认为决策者思维是清晰 有序的，因此判断一致性可作为可接受矩阵的一个参考标准是合理的。 3 1 2 判断一致性研究的必要性 从完全一致性判断矩阵的定义我们不难得出如下结论：完全一致性矩阵是判 断一致性矩阵，也是满意一致性矩阵。那么满意一致性和判断一致性的关系如何 呢? ( 1 ) 判断一致性是否就具有满意一致性呢? 答案不一定，可以从例1 中获得。 例1 a = 189 1 819 1 91 91 用方根法求得= ( 0 7 1 5 ，0 2 4 5 ，0 0 4 0 ) ，a 一= 3 5 8 ，c r = 0 5 o 1 由此 可见a 不是满意一致性矩阵。容易看出，a 是判断一致性矩阵，如果用a 1 ，a 2 ， a ，表示它所代表的方案，它们在每一列中显示的重要性排序都是一致的。 ( 2 ) 满意一致住矩阵是否是判断一致性的呢? 不一定，例2 可得这一结论。 例2 ，7 关于层次分析法的理论和应用研究 b 乜薹。；：| 例3 c = l 1 3 5 3 3 1 5 1 3 1 5 t 5 1 1 5 l 3 3 5 1 。= 5 0 7 0 3 7c r = 0 4 0 0 1 因此c 是不满意一致性矩阵，而且c 中四列 的判断是相互矛盾的，不是判断一致性矩阵。 那么判断矩阵c 是不是就该舍弃呢。我们再仔细分析一下c 的各列的情况 不难发现：c 中第3 行的元素在各列中数值最大，也就是说尽管判断矩阵是不具 有满意一致性也不是判断一致性的，但从c 中判断可以得出一个一致的结论是针 对任一方案而言第三方案都是最重要的。当我们的决策主要用来选择最优方案 时，我们可以这样分析获得最优方案。一般而言我们给出局部序传递性定义。 定义3 2 正互反矩阵a = ( ) 。中，如果对任意k ，有n 。a j k 或对任意 k ，有n “。m ，则称i 行元素与j 行元素之间存在局部序传递性。 结合s a a t y 的理论和以上分析我们可以这样认为：( 1 ) 在用a h p 考察判断矩 阵可接受性时，若c r o 1 则应进一步考察矩阵的判断一致性。 ( 2 ) 当用a h p 在单一准则下确定某一方案最优，即目标是选择一个权重最大 ，曰 南京航空航天大学硕士学位论文 的方案时，若某一方案与其余方案相比具有某种局部序传递性，也可予以接受。 ( 3 ) 当判断矩阵是其它情况时必须修改和改进。 3 1 3 利用判断平均特性构造新判断矩阵 文献 1 中证明了以下定理。 定理3 1 设a 为正互反矩阵，且其初等因子皆为线性的，其特征根满足la 1 i a 2 | a 。l ，w 1 ，w 2 ，。 l i d 。为相应的正交右特征向量系，v 1 ，”2 ，口。 为相应的与线性无关的左特征向量系，a 为a 的摄动矩阵，则a 的主特征根 及右主特征向量的扰动为 一訾慨妻赢 由上式可以看出，矩阵a 的主特征根与其余特征根相差越远，其右主特征向 量越稳定，否则可能是敏感的。按照线性代数的有关理论，矩阵的一致性越好，其 主特征值与其余特征值差得越远。为了保证右主特征向量”具有较好的稳定 性，判断矩阵应当具有尽可能好的一致性。有些合理的判断矩阵，其c r 有时比较 大，可能出现 t u 对元素扰动比较敏感的问题，尤其在层次较多时，数值敏感性可 能会影响最后的排序误差。为此从a h p 的应用背景出发，提出以下利用判断平 均特征修正矩阵的方法予以改进。 设a = ( a l s ) 。是初始判断矩阵，构造新的正互反矩阵b = ( b d ) 。，称为a 的修正后的新判断矩阵，使b 满足 j 言置喇可i j 用b 的右主特征向量作为判断矩阵a 排序权重向量的一种近似。 判断矩阵a = ( 8 “) 。中，a l j 是i 方案与j 方案的重要度比值；a i a k j 是以k 方 案为标准i 方案与j 方案间接比较的结果；去喜产觯时是分别以诸方案为标准的i 方 关于层次分析法的理论和应用研究 案与j 方案重要度比值的平均值。 定理3 2 若a 为一致性矩阵，则其修正矩阵b = a 。 利用一致性，很容易就得出以上结论。 定理3 3 若a 为一致性矩阵。b 为其修正矩阵，则有a 一( b ) = a 一( a ) ， c r ( a ) = c r ( b ) 。 在实践中，我多次应用以上方法对矩阵修正，矩阵的一致性都能得到改善。 不妨以例1 为例： 例4 对例1 的判断矩阵a 进行修正，得出 b = 1 娶3 0 j 三，塑 1 7 1 8 丽1 81 用方根法求得w = ( 0 8 2 5 ，0 1 5 5 ，0 0 2 1 ) a 一= 3 0 2 1 3 5 8 ，因n = 3 时 r i = 0 5 8 。 故c r = 0 0 1 8 0 1 由此可见，a 经判断平均特性修正后的新判断矩阵b 的a 。( b ) a 一( a ) ， c r ( b ) 磊 对于给定的显著性水平a ，令p ( z 2 z ：) = 。，查自由度为”2 的z 2 分布表可 得临界值z ：，当判断矩阵a 的z 2 观测值z 3 0 ，( i ，j = 1 ，2 ，n ) 故 c d i 2 口。 1 1 1 w 2 1 4 h l ” 1 s , a “ a ( 3 3 1 ) “一 关于层次分析法的理论和应用研究 在求a 的最大特征根的方程( a a j ) w = 0 的两边同时右乘矩阵 1 z c j l 1 u ，2 1 w 1 1 w 2 1 w ，得 1 n 1 w 1 1 w 2 a w = a 。 在3 3 1 式两边同时左乘w ，得 c 口，1 r w l f 1 ，l t i j 2 i 2 l 。 由上可知 ”2 c 1 1c 1 2 c 1 n c 2 1c 2 2 c 2 c n lc n 2 c 4 n a 2 ，暑f 1 j 码( 孚) = ( c 1 1c 1 2 1 1 1 w 1 l w l w 2 ( a a j ) w = 0 1 w n 2 a m 1l ”2 a w 2 ”1 z a f l ”2 口1 2 。4 h 1 w n a m 娃 a m 娃 _ 2 m a x 置哪( s a o ) 置c 巧码( n ) 置c ”( p d ) ”1 e a i l ”2 口i 2 n h 南京航空航天大学硕士学位论文 e = e ”l 口1 2 。i 2 w n 口t 。 ”1 4 1 ”2 口f 2 w n 口“ = e ( c 1 1c 1 2 c 1 。) ”1 。f 1 ”2 8 i 2 口m 由于我们假定导出矩阵c 的元素n ( 1 ，品) 而当c “= 1 ( i ，j = 1 ，2 ，n ) 时判 断矩阵a 是完全一致性矩阵，它的最大特征值a = ”，因此我们可以得出结论 e 3 2 n ，即e a 一2 点哟( 莩n d ) = n d t m “2 ( w 1 i n m w 2 in 2 ，”n 莩n ，“) d ( c ) 2 ( ”- 羊n t tw ：莩n i 2 一w n i 。“) 。口i 。 。置 磊w ( 莩n n ) 2 = 审毒 w * ( 莘n “) 2 女5j 1i 。 因为喜。”t ( 莘a “) = ”，所以壹 ”t ( i 。“) 2 毫 署 2 = ” i 一1l 。1 l * l ”1 口1 w 2 q 2 w 。口i 。 关于层次分析法的理论和应用研究 訇此得出： d a = a 碡。 ”t ( 莩n “) 2 ”品 ! 坐! 二! s a a t y 的理论认为当判断矩阵a 的一致性比例 c r = 面c i = 寻= 耥 o 1 时，判断矩阵a 具有满意的一致性，即 a 一一，l 0 1 r i ( ，l 1 ) 由此我们可以推断。当 d a 一 0 1 r i ( n 一1 ) 2 时，矩阵a 具有满意一致性，即n 磊d a 一 0 1 r i ( 一1 ) 2 。 当选取蠢 土 0 1 r i ( n 一1 ) 2 时我们可以确保一致性检验结果与一致 性比例检验结果一致。 f i 最大临界值表 阶数n345 6789 靠 0 0 0 4 50 0 1 8 20 0 4 0 10 0 6 4 10 0 8 9 60 1 2 1 80 1 4 9 5 ( 2 ) 显著性水平a 的选取对检验临界值z ：具有决定意义，一般可选0 1 ， 0 0 5 ，0 1 等几个水平，下表列出了3 9 阶判断矩阵在不同显著性水平下的临界值。 霰检验临界值表 篙瓢巡 3456789 0 11 4 72 3 53 4 44 7 26 2 17 8 89 7 7 0 0 51 6 92 6 3 3 7 75 16 6 38 3 71 0 3 1 0 0 12 1 93 2 04 4 35 8 67 59 3 01 1 3 2 南京航空航天大学硕士学位论文 3 4 小结 根据前面介绍的a h p 的基本方法，再运用本文提出的统计假设事前检验判 断矩阵一致性法及利用判断平均特性构造满意一致性判断矩阵的方法，我编写了 解决一般a h p 问题的求解程序，具体程序见附录一。 3 4 1 判断矩阵的输入输出 根据判断矩阵的特点，只需输入其上三角的n ( n 一1 ) 2 个元素，然后由= 1 ，n “2 去( 扣1 ，2 ，n ，j i ) 输出判断矩阵。 3 4 2 统计假设检验一致性及修正 首先由判断矩阵a = ( n ) 求出导出矩阵c = ( c ) 。将a 的各列归一，即6 0 2 董专构成矩阵b = ( ) 根据和法求出排序向量”，其中”；= 丢莩，再将b 的 各行元素除以对应的排序向量即得导出向量c = ( c j ) ，其中q = w 垃3 i 。 其次求出统计量z 2 = 圭；( c 4 1 ) 2 ，其中磊的选取根据晶的临界值表赋 u n o j 值。 再次比较检验一致性给出判断结果。根据决策人的决策偏好给出。本程序 中给定a 5 0 1 ，然后将z 2 与z ：临界值表比较，若z 2 z ：则输出“a 不具有满意一致 性”，并用判断平均特性进行修正，修正方法为 6 i = 专妻? 龋。i j 将6 d 赋给新的判断矩阵a ，并再次进行统计假设检验，若z 2 z ：则输出“a 修正后仍不具满意一致性”。流程如下 3 4 3 求解排序向量并用c r 检验一致性 根据特征根法求解，流程图如下 南京航空航天大学硕士学位论文 3 4 4 求综合权重 在运用层次分析法解决实际问题时，往往需要有多人参与判断决策，而每位 参与者的主张和决策偏好往往存在差异，为集众家之长，必须运用多人层次分析 法，这里用几何平均，即设有m 位专家，每一位的权向量为。( n ，则 , 2 9 关于层次分析法的理论和应用研究 c g 。= 。i ，”l ” g w ，= g g , 。g 面； 流程图如下： ly = 去置l n 础 ，：上一 l 鱼坠三! i lg 若 = g t w i z c t w l lll 3 4 5 合成排序向量 在解决实际问题时，必须建立相应的递阶层次结构，在计算出单一权重的基 础上，计算出每层相对总目标的合成权重，这就得具体问题具体对待，这里以下面 的一个三层递阶层次结构为例编写程序。 总目标 分目标 方案 流程如下 2 1 一a5w 2 i b 2 * t c 忸2 一a ”c 寸42 ”c 犷8 ，。嘶，一 a a 一 一 b 口 w w * * b b 一 c c w w = | i a a 一 一 f c w 训 南京航空航天大学硕士学位论文 第四章应用研究 4 1a h p 在股票投资中的应用 近年来我国的证券市场得到了蓬勃发展，新股上市日益增多，股票投资人的 数量不断攀高，涌入股市的资金以超常的速度递增，人们对股票由不知到知之不 多，发展到今天的家喻户晓。一九九九年的五一九行情，二o o o 年春节后股 市的大幅上扬给投资者带来了希望，但据统计，一九九九年小额股票投资人收益 率并不高，而且很多人不但没有盈利反而亏损，这是什么原因呢? 本人带着这个 问题对股票投资人进行了调查，许多投资人认为股票投资有很大的风险，股市受 政策、行业特点、技术面分析等诸多因素的影响而存在很大风险但即使在牛市光 景股票投资风险较小，也难保投资一定收益，更难保收益丰厚，这时个股的选择显 得极为重要。因此我决定对如何选择合适的个股进行探讨和研究。 我请教了三位股票投资专家和一位证券公司经理。请他们谈谈影响股票投资 价值的主要因素有哪些? 在股票投资中哪些指标是值得注意的因素。最后我将 这些专家的意见总结如下： 从股票投资者的角度而言，其投资总目标是获得稳定可靠的收益，影响这一 目标的因素可以归纳为股票的收益性，股票的成长性和投资风险性三个方面。其 中股票的收益性可以用每股收益、每股净资产、每股公积金、分红形式、净资产获 益率等指标考核；股票的成长性主要通过主营业务收入增长率、净利润增长率、净 资产增长率、规模效益增长率、市场占有率增长率、品牌商誉增长率等指标进行评 估；股票的风险性可以用股东权益比率、市场占有率、规模效益、品牌商誉、每股未 分配利润、行业特点、行业政策等因素来权衡。 3 ， 关于层次分析法的理论和应用研究 从上面的分析中我们可以看到，有些因素( 指标) 可以具体量化，如每股收益、 股东权益比率等，有些却不能具体量化，如品牌商誉、分红形式、行业政策、行业特 点等。要对股票投资价值进行评估必须全面考察各影响因素及其重要性，鉴于以 上分析，我认为运用层次分析法对股票投资价值进行分析具有现实意义。 4 1 1 股票投资价值层次结构模型 根据专家的综合意见可以建立如下四个层次的股票投资价值层次结构模型： 4 1 2 市场调查建立判断矩阵 为了获得具有实用价值的数据资料，我设计了一份关于影响股票投资价值各 层各因素之间两两比较判断的调查表格，发放八份，收回有效调查表六份。调查 3 2 南京航空航天大学硕士学位论文 表如下： 股票投资价值影响因素比较调查表 股票投资专家： 您好! 我正在探讨影响股票投资价值影响因素对投资价值的重要性，建立科学估计 各种股票投资顺序的模型。非常需要得到您的支持和帮助。非常感谢您能抽空 填写这份调查表，再次表示我真挚的谢意。 调查人 一九九九十二 被调查人的基本情况 一、您是a 股票投资者b 证券公司经理 二、您从事股票经营的时间 a 三年五年b 五年- j k 年c 八年以上 三、您( 股票投资者) 的股票投资额大约 a 1 0 万元1 5 万元b 1 5 万元3 0 万元c3 0 万元以上 调查内容 请您根据1 9 标度表对表一表四中的元素的重要性进行两两比较判断并 填入表中。 3 3 关于层次分析法的理论和应用研究 1 9 标度表 量化值两两比较的重要性等级 1表示两个元素同样重要 3表示前者比后者稍重要 5 表示前者比后者明显重要 7 表示前者比后者强烈重要 9 表示前者比后者极端重要 2 74 、6 、8表示上述相邻判断的中间值 倒敬 若前者与后者相比为。 则后者与前者相比为1 a 。 表一对股票投资价值a 、越比较因素 比较卤亲 b 1b 2b 3 收益性b l 1 成长性b 21 风险性b 31 表二对收益性曰l 、越比较因素 比较赢卜 c 1 1 c 1 2c l ，c l c 1 5 每股收益c