（概率论与数理统计专业论文）缺失数据下特殊指数分布参数的无偏估计.pdf

硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 摘要 如果个总体的观测完全处于观测者的控制之下，这时数据没有缺失，然而当 总体不完全处于观测者的控制之下且每次观测的数据以一定的概率丢失，这时我 们称部分数据缺失在具有部分数据缺失的情况下，文献 3 讨论了双参数指数分 布参数的估计、文献 4 讨论了两个指数分布参数的估计和检验，另外文献 5 讨 论了两个j 下态分布参数的估计和检验问题，而对于特殊指数分布还未见有文献论述 本文在部分缺失数据的情况下，用已观测到的数据的和的均值对缺失数据进行了 补充，分别讨论了特殊指数分布参数的一种渐进无偏估计和无偏估计，并且证明 了其中的无偏估计在参数的某一无偏子类中具有最小方差性 本文的主要结论如下： 定理l 缺失数据下，已观测数据的均值是特殊指数分布在观测数据可能完全 丢失情况下参数的渐进无偏估计 定理2 缺失数据下，已观测数据的均值是特殊指数分布在观测数据不完全丢 失情况下参数的无偏估计 定理3 矗j 以矗，且i ( 屋一) 3 ( o ，2 p ) ，其中( o ，2 p ) 是均值为零， ， 方差为2 p 的j 下态分布其中专表示依分布收敛 推论1 厦专口j ，且万( 厦一) 3 ( o ，2 p ) ，其中( o ，2 p ) 是均值为 l 零，方差为2 p 的正态分布其中专表示依分布收敛 关键词：部分缺失数据；特殊指数分布；渐进无偏估计；无偏估计；最小方 差性 硕士学位论文 m a s t e r st l e s l s a b s t r a c t i fo n es a i i l p l i i l gi su n d e ro b s e r v a t i o nc o m p l e t e l y ，t l l e r ei sn om i s s i n gd a h o w e v e r ， w h e ni ti sn o tu n d e ro b s e n ，a t i o nc o m p l e t e l ya 工1 de v e r yd a t am a yl o s ew i t hac e i r t a i n p r o b a b i l i t ) ，w ec a l lt h j sp 眦i a l l ym i s s i n gd a t a u n d e r 廿l es i t 嘣i o no fp a n i a l l ym i s s i n g d a t a ，r e f e r e n c e 【3 】d i s c u s s e dt l l ee s t i m a t i o no fb i - p 猢e t e re x p o n e m i a ld i s t r i b u t i o n 、 r e f e r e n c e 4 】s h o wu st h ee s t i m a t i o na i l d t e s t f o r 锕oe x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o na l l d r e f e r e n c e 5 】s t u d i e dt h ee s t i m a t i o na n d t e s tf o rt 、v on o r m a ld i s t r i b u t i o n s ，b u tt h e r eh a s n oi s s u ec o 删 i l e n do nt h ee s t i m a t i o nf o rs p e c i a le x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o n s t 1 1 i sp 印e r d i s c u s s e sal ( i n do f a s y m p t o t i cu n b i a s e de s t i m a t i o na n d ak i r l do fu n b i a s e de s t i m a t i o n w m c hi sa l s om v i 庀f o rs p e c i a le x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o ni nas u b s e t 1 h s p a p e r h a st h ef o l l o 谢n gc o n c l u s i o n s ： t h e o r e ml w i t h p a r t i a l l ym i s s i n gd a t m ea v e r a g eo f 吐l es u mo ft 1 1 eo b s e e d i saa s y m p t o t i cu n b i a s e de s t i m a t i o nf o rs p e c i a le x p o n e m i a ld i s t r i b u t i o ni ft h ed a t a m a yl o s ec o m p l e t e l y t h e o r e m2w 池 p a n i a l l y l i s s i i 坞d a 魄t h ea v e r a g eo f t 1 1 es 啪o f 仕i eo b s e r v e d d a t ai sau n b i a s e de s t i m a t i o nf o rs p e c i a le x p o n e n t md i s t r i b u t i o ni ft i l ed a ：t am a yn o tl o s e c o m p l e t e l y t h e 。r e m3 厦j 口 a i l d i ( 在一) 二；( o ，2 p ) ，w h e r e ( o ，z p ) i st h e n o n l l a ld i s t r i b u t i o n 埘mm e a i l0 ，v 撕a n c e 2 p i i lw h i c h ”专”r e p r e s e n t ”c o n v e r g e mi nd i s t r i b u t i o n ” 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s c 。r 。i l a r y1 度专口j ，a n d i ( 度一) 3 ( o ，2 p ) ，w h e r e ( o ，：p ) i st l l e n o m a ld i s t r i b u t i o nw i mm e a i lo ，v a r i a n c e 2 p i nw m c h ”专”r e p r e s e n t ”c o n v e r g e n ti i ld i s t r i b u t i o n ” k e yw o r d s ：p a n i a l l ym i s s i n gd a t a ；s p e c i a le x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o n ；a s y m p t o t i c i l l l b i a s e de s t i m a t i o n ；u i l b i a s e de s t i m a t i o n ；m i l l i m u mv a r i a n c ep r o p e r t y 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工 作所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个 人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体， 均已在文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：下够务饧日期：舛月汐日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时 授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据 库，并通过网络向社会公众提供信息服务。 导师签名： 二如讥 日期： 少学年月矽日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人 的学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库 中全文发布，并可按“章程 中的规定享受相关权益。圃耋途塞握童卮进卮! 旦坐生；旦二生；旦三生筮壹! 作者签名：修、狐峰 日期：纤占月纠日 导师签名：? 和铂 ， 日期：矿g 年多月印日 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 设x 服从特殊指数分布： 1 引言 贴) = 等唧( 一等) ( 1 ) 其中口 0 ，口 0 x 。溉删) ，当m = 1 时，且口为常用的 指数分布：寺p 一旁= e ( 寺) ：历= 2 时，则为著名的r e y l e i g h 分布，其中e ( 古) 表 示参数为的指数分布 ( i ) 型女m ) = 扩吾( 棚 x 0 即数据不完全丢失的情形， 即叫汹，= 妊 后= o10 | = 0 后12 g ：旦! ! ! 二翌! ：! 尼1 【1 _ ( 1 一p ) ” 另外为符号的简单，用 丑= p ( 嚷= = 嚷= ，其它为。) = 气竺若筹 表示在6 1 下第，t 个数据被观测到而其它数据未被观测到的概率，它与 ( ，) 的选取无关 显然 尸( 万= 后l 万1 ) = p ( 戈= = & = 1 ，其它为| o ) = c ：最 一吼- 1 考虑的估计： 我们有下面的结论： 屋= 三窆r ( 乙) ， 7 ；l 硕士学位论文 m a s t e r st e s i s 定理2缺失数据下，已观测数据的均值是特殊指数分布在观测数据不完全丢失 情况下参数的无偏估计 证明 啦，= 毛磐) 】艺嘞枷一蚪蝴 = 丢主“p ( 或= = 嚷= 1 ，其它为o ) 】e ( 窆r ( 五) + 竺窆r ( _ ) 随= = & = 1 ，其它为o ) ) 7 ik = l t ，= l 扛l 2 去喜妻 磊p ( 戈2 2 嚷21 ，其它为o ) 】e ( 喜丁( ) ) ) 2 p ( 哦= = 嚷= 1 ，其它为o ) 】( e 丁( 五) ) k = 1 t ，= l 2 客竽 荟p ( 气一曩_ 1 ，其它为o ) 】 = 【p ( 哦= = = l ，其它为o ) 】 = c 最 七= l = 9 其中第二个等号来自( 匹，嘎，瓯) 与，五，咒) 独立 所以( 4 ) 式是的无偏估计 2 4 估计的方差 下面计算在和度的方差，因此首先计算它们平方的期望： e ( 夕= e ( 去( 喜r ( z ：) ) 2 ) = 吉e ( ( 喜丁( z f ) ) ( 芸丁( 乙) ) ) = 嘉研e ( ( 喜丁( 互) ) ( 言f ( 乙) ) ) 随一一2 。l ，其它为。】 6 = 砉砉 【；p ( 嚷= 2 & 2 1 ，其它为o ) 】【e ( ( 丢r ( 互) ) ( 丢r ( 乙) ) l 嚷一一2 嚷- 1 ，其它为o ) 】 ，i 女= 0 ，t 2 u ，2 ” = 专兰p ( 戈= = & = 1 ，其它为o ) 【e ( ( 善丁( z ，) ) ( 善r ( 弓) ) ) 慨一一2 & 2 l ，其它为o 】 ，i = 1 = k = 1 8 i j 2 = 考。：毛一p c 民一- = 氏= ，其它为叫ec c 妻r t 肖。，+ 。字砉r c 棚c 妻rc x 。，+ 字妻7 c m ， ， = 吉喜吾。：互爿p c 唾= = & = ，其它为。，e “喜r c - 叭嘉丁c 一啪 = 喜古。一荟：，p ( 戈一一2 & 21 ，其它为。汪( 善r 2 ( 五) + 若r ( _ ) 丁( ) )七= l ，- 吐= l = i 于j = 喜古扣萎一，p ( 戈一一。& 。l ，其它为0 ) ( 蔷e ( 丁2 ( 五) ) + 若e ( r ( 五) ) e ( r ( 气) ) ) ；l ，o = 吐= l 2 ll + j ：窆吉p ( 哦= = & = 1 ，其它为o ) ( 七( 2 2 ) + ( 后2 一j j ) 2 ) ：z 宝壁p ( 戈= = & = 1 ，其它为o ) = 脚一( 卜p ) ”】+ 2 圭磷 第五个等号k = o 的情况去掉是由于上面的约定：当万= 0 时，所有数据被视为0 ；其 中第六个等号来自( 磊，疋，瓯) 与伐，蔓，瓦) 独立 所以估计屋的方差为： 衍1 一( 1 刊1 - 【1 一( 1 刊喜妻磷 ( 5 ) 类似的有： e ( 夕= e ( 吉( 喜r ( z f ) ) 2 ) = 吉e ( ( 喜丁( z f ) ) ( 芸丁( 乙) ) ) = 去e 【e ( ( 喜r ( z f ) ) ( 喜丁( 乙) ) ) 慨一一2 嚷2 1 ，其它为。】 7 硕士学位论文 m a s t e r st l e s i s = 吉p ( = = & = 1 ，其它为o ) e ( ( r ( z f ) ) ( r ( 乙) ) ) 慨= = 嚷= 1 ，其它为o 】 t = l 一= = 1 f = l = l = 古轰”毛一p ( 一氏_ 1 ，其它为o ) 【e ( ( 套7 ( j 。) + 旦砉7 ( x 。) ) ( 轰7 ( x 。) + 气赛r ( 石。) ) ) 】 “i = 1 “一= “。i ，；l “ l - i ，= l ，l 1n 一2 七七 = 专箸p ( 戈= = & = 1 ，其它为o ) e ( ( 丁( x ) ) ( r ( ) ) ) = 吉p ( 瓯= = & = 1 ，其它为。汪( 丁2 ( ) + r ( 五) 丁( 置，) ) t = l ，k = = l ，= i ， = 吉p ( 瓯= = 嚷= l ，其它为o ) ( e ( r 2 ( ) ) + e ( 丁( 五) ) e ( r ( 工，) ) ) t = l ，o 一= h = l ，= l ， = 吉p ( 瓯= = & = 1 ，其它为o ) ( 七( 2 2 ) + ( 后2 一七) 2 ) 七= l 一- = l ：z 兰竺笋p ( 戈：& ：1 ，其它为o ) t = l “ 一= k = 1 = + 2 圭p ( 哦= = & = 1 ，其它为o ) t = 1 一_ = l = + 荟妄磷最 其中第三个等号来自( 4 ，4 ，皖) 与伐，五，k ) 独立 所以估计度的方差为： 2 荟妻c 最 ( 6 ) 8 硕士学位论文 m a s t e r st e s i s 在无偏子类中最小方差性 无偏性是对于很多估计量的基本要求，所以对履进行了研究，虽然经过多次 尝试，但不能得出屋在的所有无偏估计中方差是最小的结论，下面一部分内容是 要证明度在的某一无偏子类中具有最小方差性，证明过程分为以下四个步骤： 3 1 首先证明的无偏估计 ( 厦恢= = 嚷= l ，其它为o ) ( 7 ) 是的无偏估计： e ( 厦恢= = 嚷= 1 ，其它为o ) = 舡丢喜r ( 乙) l 嚷= = & = 1 ，其它为。 = 研妻喜丁( 五) 慨= = & = 1 ，其它为。】 叫昙喜姒肛妻静她肛竽= 3 2 其次证明的最小方差无偏估计( m 7 e ) 注意到( 6 ) 式等于圭丁( ) 因此它是丁( 五) 的函数，而 ，；lf = 1 口( _ ) ，丁( k ) 恢= = & = 1 ，其它为o 兰 r ( 五) ，丁( 五) 】， 其中兰表示依分布相等 另外f ( 置) ，丁( 置。) 】联合分布的密度函数是： 9 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 古唧c 弓喜弧，卿舢 故丁( 五) 是上述联合分布在条件( 哦= = 嚷= 1 ，其它为o ) 下的充分完全统计量， 结合( 3 1 ) 中的结论可知( 6 ) 式是的无偏估计且是充分完全统计量的函数，所以它 是的最小方差无偏估计 注：这里的最小方差无偏估计是在条件( 哦= = & = 1 ，其它为o ) 下成立的 3 3 假设办= 办( 丁( z 1 ) ，丁( 乙) ) 为任一满足如下条件的的估计 e 防( r ( z 1 ) ，丁( 乙) ) 限= = & = 1 ，其它为o 】_ ，其中k 和( ，屯) 是任取的 易证厅= ) ，酝”是的无偏估计，即五= 配) ，酝”是满足上述条件的 的所有无偏估计中的一个子类，显然屋属于该予类 注：由于时间仓促，这里的无偏估计子类具体怎样构造没有给出，还有待进 一步研究 3 4 下面证明度在( 3 3 ) 中所述无偏估计子类中具有方差最小性 注意到在条件( 嚷= = 气= 1 ，其它为o ) 下( r ( z 1 ) ，丁( 乙) ) 是 仃( 五) ，丁( 五) ) 的函数，记 g = g ( 丁( ) ，r ( 气) 陪= = = 1 ，其它为o ) = j l z ( r ( z 1 ) ，丁( 乙) 慨= = 气= 1 ，其它为o ) 所以 1 0 、毪： 硕士学位论文 m a s t e r st i e s i s v a r ( 向) = 研e ( 办一) 2 恢= = 1 ，其它为o 】 = 研e 幢一) 2 i 哦= 嚷= 1 ，其它为o 】 研e ( 度一) 2 h = & = 1 ，其它为o 】 = v a r ( 厦) 其中第三个不等号来自( 3 2 ) 中的结论 硕士学位论文 m a s t e r st i i e s i s 4 大样本性质 这一郡分内容主要研究参数估计量的大样本性质，首先给出下面引理： 引理1 脚记特殊指数分布为舾哆) ，则有r ( x ) e ( 吉) ，从而的充分统计量 喜r ( 薯) r ( 刀，去)，= 1 类似于文献 4 中定理1 的结论可有： 定理3 aj 口矗，且i ( 屋一) 3 ( o ，2 p ) ，其中( o ，2 p ) 是均值为零，方 差为2 p 的正态分布其中3 表示依分布收敛 证明过程完全类似文献 4 注意到( 3 ) 式，并观察( 5 ) 式和( 6 ) 式可知 v a r ( 屋) 专v a r ( 厦) ，刀jo o 且e ( 在) 专e ( 厦) ，力j 可类似得到如下结论： 推论1 厦专口j ，且i ( 厦一) 与( o ，z p ) ，其中( o ，2 p ) 是均值为零，方 差为2 p 的正态分布其中三表示依分布收敛 证明过程完全类似文献4 1 2 硕士学位论文 m a s t e r st i e s i s 参考文献 1 林金官一类特殊的指数分布的参数估计 j 四川师范大学学报：自然科学 版，2 0 0 0 ，2 3 ( 4 ) ：3 4 1 3 4 4 2 李文东，张强，张