（信号与信息处理专业论文）基于有限几何的量子ldpc码的研究.pdf

南京邮电大学硕士研究生学位论文摘要 摘要 量子信息学是一门交叉学科，它可分为量子通信和量子计算，其中量子纠错编码技术 是量子通信和量子计算实用化的基础。获得量子纠错码最常用的方法是基于其对应的经典 纠错码，低密度奇偶校验( l d p c ) 码以其低复杂度的迭代译码算法和可逼近信道容量限 的特性已成为经典通信中最佳的编码技术之一。因此将经典的低密度奇偶校验码与量子纠 错编码技术相结合，获得量子低密度奇偶校验码是一具有应用前景的研究课题，具有重要 的理论意义和参考价值。 在经典纠错码中基于有限几何的l d p c 码在编码与译码方面已经显示了良好的性能， 本文是在m s p o s t o l 构造量子l d p c 码的基础上提出了一种利用有限几何的性质构造量子 l d p c 码的方法。首先利用有限几何的特点构造经典低密度奇偶校验( l d p c ) 矩阵，然后通 过对校验矩阵的行或列变换构造其对偶码，从而获得以量子c s s 码为基础的量子l d p c 码， 并且给出了系统的理论分析。并以e g ( 1 5 ，4 ) 量子码与p g ( 2 l ，6 ) 量子码为例，分别说明了基 于欧氏几何和基于投影几何的构造量子l d p c 码的方法。并在仅考虑比特翻转错误信道中 通过数值计算分析了这些量子l d p c 码的性能。结果表明在有限几何的基础上通过利用多 项式码的特点易于得到对偶码，并且本文构造的量子码比同等长度的经典码具有更好的性 能。其次，利用有限几何的特性构造自对偶校验矩阵生成稳定子码，通过把校验矩阵变换 为标准型后，利用稳定子码的编码公式即可对其进行编码。由于该方法构造的稳定子码校 验矩阵只含有一个4 环，所编的稳定子码经过加噪用b p 译码可得到较好的性能。 关键字：有限几何、e g - l d p c 码、p g l d p c 码、量子l d p c 码、c s s 码、稳定子码 南京邮电文学硕士研究生学位论文a b s t r a c t a b s t r a c t q u a n t u mi n f o r m a t i o ns c i e n c e i sac o m b i n a t i o ns u b j e c to fq u a n t u mm e c h a n i c sa n d i n f o r m a t i o n i th a st w oa s p e c t s ，s u c ha sq u a n t u mi n f o r m a t i o na n dq u a n t u mc o m m u n i c a t i o n , w h e r eq u a n t u me r r o rc o r r e c t i o nt e c h n i q u ei st h eb a s i cf o rt h e m a sw eh a v ek n o w n , t h e c o n v e n t i o n a lm e t h o dt og e tq u a n t u me r r o rc o r r e c t i o nc o d e si sc o n s t r u c t e df r o mi t sc l a s s i c a l c o u n t e r p a r t t h el o w - d e n s i t yp a r i t y - c h e c k ( l d p c ) c o d ei so n eo ft h eb e s te n c o d i n gt e c h n i q u e si n c l a s s i c a lc o m m u n i c a t i o nw h i c hp e r f o r m a n c ei sn e a rt ot h es h a n n o nl i m i t t h er e s e a r c ho n q u a n t u ml d p c ，w h i c hb a s e do nt h ec l a s s i c a ll d p cc o n s t r u c t i o nm e t h o da n dq u a n t u me r r o r c o r r e c t i o nt e c h n i q u e ，h a si m p o r t a n ta c a d e m i cs i g n i f i c a n c ea n dr e f e r e n c e dv a l u e s i n c et h ee n c o d i n ga n dd e c o d i n ga l g o r i t h mo fl d p cc o d e sb a s e do nf i n i t eg e o m e t r yh a v e g o o dp e r f o r m a n c ei nc l a s s i c a le r r o rc o r r e c t i o n aq u a n t u ml d p cc o n s t r u c t i o nm e t h o d ，b a s e do n f i n i t eg e o m e t r yi sd i s c u s s e di nt h i sp a p e r , ，f i r s t , w ec o n s t r u c tac l a s s i c a ll o wd e n s i t yp a r i t yc h e e k m a t r i c e sb yf i n i t eg e o m e t r i ca p p r o a c h , a n dt h e ng e ti t sd u a lc o d e sb ys p l i t t i n gt h er o w so ft h e l d p cc h e c km a t r i c e s a c c o r d i n gt ot h et h e o r e mo fq u a n t u mc s sc o d e s ，w eo b t a i nt h eq u a n t u m l d p cc o d e sb a s e do nf m i t eg e o m e t r y t h eq u a n t u ml d p cc o d e s ，s u c ha sq u a n t u me g 05 ，4 ) b a s e d0 1 1e u c l i d e a ng e o m e t r ya n dq u a n m mp g ( 2 4 ，6 ) b a s e do nv r o j e c t i v eg e o m e t r y , a r es e l e c t e d t oi l l u s t r a t et h ec o n s t r u c t i o np r o c e d u r e ，i ti ss h o w nt h a tt h i sm e t h o di se a s i e rt oo b t a i nt h ed u a l c a x l e sb yu s i n gp o l y n o m i a lc h a r a c t e r i s t i c s ，a n dt h ep e r f o r m a n c eo fq u a n t u mc o d e sc o n s t r u c t e di s s u p e r i o rt ot h a to fc l a s s i c a lo n e sb yn u m e r i c a ls i m u l a t i o n f u t h e r m o r e ，w eo b t a i nt h es t a b i l i z e r g e n e r a t o r sf r o m t h ef i n i t e g e o m e t r yc h a r a c t e r i s t i c s ，w h i c hp a r i t y c h e e km a t r i xs a t i s f y s s e l f - o r t h o g o n a l t r a n s f e r r i n gt h ep a r i t yc h e c km a t r i xi n t os t a n d a r df o r m ，w ec a ne n c o d et h e s t a b i l i z e rc o d e sb yt h ed e f i n i t i o no fs t a b i l i z e rc o d ef o r m u l a b e c a u s et h ep a r i t yc h e c km a t r i xh a s o n l yo n ec y c l ew i t hl e n g t hf o u r , t h es t a b i l i z e rc o d eb a s eo nf i n i t eg e o m e t r yh a sag o o d p e r f o r m a n c ew i t hb e l i e fp r o p a g a t i o ni t e r a t i v ed e c o d i n ga l g o f i t h r a so v e r t h en o i s yc h a n n e l k e y w o r d s ：f i n i t eg e o m e t r y , e g - l d p cc o d e s ，p g - l d p cc o d e s ，q u a n t u ml d p cc o d e s ，c s s c o d e s ，s t a b i l i z e rc o d e s 南京邮电大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的 地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包 含为获得南京邮电大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示了谢意。 研究生签名：雌日期：蛐 南京邮电大学学位论文使用授权声明 南京邮电大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留 本人所送交学位论文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其 他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一 致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布 ( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权 南京邮电大学研究生部办理。 研究生签名：导师签名： 南京邮电大学硕士研究生学位论文第一章绪论 1 1 研究背景与现状 第一章绪论 量子信息是以量子力学基本原理为基础，通过量子系统的各种消相干特性( 如量子并行 ( q u a n t u mp a r a l l e l i s m ) 、量子纠缠( q u a n t u me n ：c z n g l e m e n t ) 、量子不可克隆( q u a n t u mn oc l o n i n g ) 等) 进行计算、编码和信息传输的全新信息方式【1 2 】。量子信息的研究是充分利用量子物理 基本原理的研究成果，发挥量子相干特性的强大作用，量子力学与信息科学结合，不仅充 分显示了学科交叉的重要性，而且量子信息的最终物理实现，会导致信息科学观念和模式 的重大变革。 量子信息论是利用量子态编码信息、进行信息处理和传输的理论。在经典信息论中， 比特是一个基本概念，而在量子信息理论中，量子比特( q u b i t ) 是比特的类比。并量子比特 与经典比特不同，量子比特可以处于o 、l 两个本征态的任意叠加态，而且在对量子比特 的操作过程中，两态的叠加振幅可以相互干涉，这就是所谓的量子相干性1 3 巧j 。在量子信息 论的各个领域，包括量子计算机、量子密码术和量子通信 6 - s 等，量子相干性都起着本质性 的作用。但是，在量子力学理论中存在退相干问题，如果这个问题不解决，无论是量子计 算机、量子通信，还是快速的量子算法都是很难实现的。尤其是量子计算机，它的状态很 容易因受到外界环境的干扰而发生畸变。由于在物理实现上人们很难将量子计算机与环境 隔离，使得量子计算机实现的可行性一直受到质疑。s h o r l g j 提出了一个新颖的纠错编码技 术，利用9 个量子比特来编码一个量子比特信息，从而解决了消相干问题。从此，量子纠 错编码理论在量子信息理论中就占据了非常规重要的地位。 消相干引起量子错误，量子编码的目的就是为了纠正或防止量子错误。虽然量子编码 与经典编码的基本思想类似，即以合适的方式引进信息冗余以提高信息的抗干扰能力，但 是量子编码又不是经典编码的简单推广，在量子环境下，量子编码存在3 个主要困难【1 0 】： ( 1 ) 量子态不可克隆【l j ：在经典编码理论中，为了引入信息冗余，需要将单个比特的信 息复制到多个比特上，但是在量子力学中，量子态不可克隆定理禁止态的复制。 ( 2 ) 测量会破坏量子信息：经典编码在纠错的时候，我们会观测输出的信息，并决定采 用什么样的解码步骤。在量子系统中，观测一般会引起所观测的量子态塌陷，从而 会破坏量子相干性，导致不能恢复。 ( 3 ) 差错是连续的：经典编码中的错误只有一种，就是0 和1 之间的变化，而量子差错 l 南京邮电大学硕士研究生学位论文第一章绪论 不是这样的，对于个确定的输入态，去输出态可以是复二维响亮空间的任意态， 即连续的不同差错可能出现在单个量子态上，为了判断哪个差错出现进而对去进行 纠正，需要无穷好的精度与资源。 正是因为在量子系统中存在这些问题，量子纠错比经典纠错困难得多。直到1 9 9 5 至1 9 9 6 年，s h o r t 9 1 和s t e a n e 1 1 】提出了最初的量子纠错编码方案。量子纠错码应用一些巧妙的方法 克服了上面的3 个困难，具体为： ( 1 ) 为了不违背量子态不可克隆定理，在量子编码时，单量子比特不是被复制为多比特 的直积态，而是编码为一较复杂的纠缠态。对于纯态，即纠缠态不能表示为直积形 式的态。通过编码为纠缠态，既引进了信息冗余，有没有违背量子力学的原理。 ( 2 ) 量子纠错在确定错误图样时，只进行部分测量。通过编码，可以使不同的量子错误 对应于不同的正交空间，部分的量子测量( 即只对一些附加的量子比特，而不是所有 的量子比特进行测量) 使量子态投影到某一正交空间。而在这一正交空间中，信息位 之间的量子相干性仍被保持，同时测量的结果有给出了量子错误图样。 ( 3 ) 量子错误的种类虽然为连续，但人们发现，它可以表示为3 种基本量子错误( 3 个 p a m l 矩阵) 的线性组合。只要纠正了这3 种基本量子错，所有的量子错误都将会得 到纠正。 随着这三个关键问题的解决，各种量子纠错编码方案也相继出现，1 9 9 6 年， a r 。c a l d e r b a n k 与e w s h o 一1 2 1 以及a m s t c a n e p l p 3 - 1 4 几乎同时运用纠缠现象设计的量子 纠错编码方案是以经典线性纠错编码的原理为基础。后来为了纪念他们的原创性工作，采 用三人的姓的首字母，将所发现的量子纠错码称为c s s 码。2 0 世纪9 0 年代迎来了量子信 息编码的黄金时代，相继出现了量子纠错、量子避错、量子防错的编码体系p 5 - 1 7 l ，其中最 广为人知的是稳定子码【1 8 1 ( s m b i l i z c rc o d e ) 。量子编码自1 9 9 6 年以来，已经成为量子信息学 领域最热门的课题，其发展速度令人惊叹，现在已取得了激动人心的进展。一方面，通过 量子纠错编码理论的研究成果，人们看到了克服消相干的希望，从而使得量子计算机和量 子错传输等可以从梦想变为现实。另一方面，量子编码定理是s h a n n o n 定理的量子推广， 具有重要的理论意义。量子编码理论的研究将大大促进人们对量子力学和信息论这两门学 科的理解。我们有理由相信在2 l 世纪必将引起一场以量子信息学基础的信息和通信技术 的革命。 低密度奇偶校验码( l d p cl o w - d e n s i t yp a r i t y - c h e c kc o d e ) 是目前最受关注的经典纠错 编码技术之一，其不但性能接近于香农极限，而且译码也很简单f 1 9 1 ，并且有多种译码方法， 如m i 顸m 司o r 姆1 0 9 i c ) 译码【2 0 l 、g a l l 觥出的b f c b i t 啦p 曲：l g ) 译码【2 1 】以及基于b p ( b e l i e f 2 。 ， 南京邮电大学硕士研究生学位论文 第一章绪论 胛叩a g a l i o n ) 的迭代译码瞄2 4 j 等，其中构造出好的校验矩阵是研究经典l d p c 码的关键问题。 相对于经典l d p c 码，量子l d p c 码也成为量子纠错编码研究的新热点，而且构建好的量子 校验矩阵也是量子l d p c 码的关键技术。 目前，经典的l d p c 码已有众多研究，而量子l d p c 码的研究却刚刚起步，m i c h a e ls p o s t o l 于2 0 0 1 年在c s s 码基础上，利用有限几何学的方法构造了量子l d p c 码( 2 s 】：d a v i d j c m a c k a y 等人于2 0 0 4 年在c s s 码基础上，利用循环稀疏序列，即满足自对偶条件，提 出了四种构造校验矩阵的方法，并在此基础上构造量子l d p c 码1 2 6 】；t h o m a sc a m a r a 等人 于2 0 0 5 年在稳定子码基础上，提出了两种构造校验矩阵的方法，并且数值仿真了码率为 o 5 条件下这两种量子l d p c 码在退极化信道中的性能 2 7 1 。h a g i w a r a 和i m a i 提出了准循环 ( q u a s i c y c l i c ) l d p c 码，并且给出了通过经典码的嵌套得到的一类量子l d p c 码【2 羽，文献 2 9 】 给出了利用拉丁平方( l a t i ns q u a r e s ) 和组合体构造量子l d p c 码。最近，在文献【3 0 】中提出 了一种用有限几何构造稳定子码的方法。这些都是国外进行的研究，国内对这方面的研究 却很少。 本文利用有限几何的理论构造l d p c 码，根据有限几何的特点以及校验矩阵的向量可 以用多项式描述的特性，然后在量子c s s 码的基础上构造量子l d p c 码。然后根据有限几 何的特点构造自对偶校验矩阵，并结合稳定子码的条件构出造稳定子码。有了稳定子码的 校验矩阵后就可把其化为标准型，然后进行编码。本文的工作充分体现了有限几何的特性， 基于有限几何的l d p c 码可以用线性移位寄存器进行编码，使编码时间与码长成线性关系， 并且得到的量子码具有较好的性能。还有就是量子l d p c 码这一类纠错码可以在量子退极 化信道上用性能优异的迭代译码算法进行译码【3 1 1 。另外，基于有限几何的向量不仅具有循 环特性，还可用多项式表示来便于生成c s s 码的对偶码。 1 2 本文主要内容 本文分六章介绍量子纠错码，主要内容如下； 第二章：介绍量子信息理论基础，这是量子纠错编码的理论基础，包括量子态的表示、量 子门和量子纠错理论基础，同时给出了几种编量子纠错码的构造方法，如s h o r 码，稳定子码等。 第三章：介绍基于有限几何的经典低密度奇偶校验码的编码算法以及b p 译码，分别详细 的介绍了欧氏几何与投影几何的概念与构造校验矩阵的过程。仿真和分析了 e g ( 2 5 5 ，1 7 5 ) 码、p g ( 2 7 3 ，1 9 1 ) 码在高斯信道下的性能，仿真结果表明，利用b p 译 南京邮电大学硕士研究生学位论文 第一章绪论 码算法译码效率高，且证明了低密度奇偶校验码是好码。本章的工作为下一步构 造量子l d p c 码做好了充分的准备。 第四章：本章主要是在上一章生成的经典校验矩阵的基础上，结合有限几何的特点给出了 一种新的构造量子l d p c 码的方法，并对其进行了系统的理论分析。然后将这种 方法应用在欧氏几何与投影几何中，同时根据c s s 码的原理可得到e g ( 1 5 ：) 与 p g ( 2 l ，6 ) 编码后的量子态。最后基于经典的b p 译码算法，介绍了量子低密度奇偶 校验码的译码算法，并仿真分析了有限几何构造方法所得到的量子l d p c 码的性 能。 第五章：介绍一种基于有限几何构造量子稳定子码的思想，主要是在有限几何的基础上结 合稳定子码的特征构造自对偶校验矩阵。详细的说明了用稳定子生成元构成的校 验化为标准型后进行编码，对所编的量子码 2 9 ，1 5 进行了比特翻转仿真分析。 第六章：全文总结及下一步要做的工作。 4 南京邮电大学硕士研究生学位论文第二二章量子信息理论基础与量子纠错 第二章量子信息理论基础与量子纠错 经典信息论是在信息可以量度的基础上，研究有效和可靠传递信息的理论，量子信息 论是在量子力学的基础上，其中，信息的传输为量子态在空间中的传送，信息的处理是量 子态在受控条件下的演化，信息的获取则是对量子态的测量。由于量子态的演化过程与环 境间存在着不可避免的相互作用，这种相互作用将引起量子态与环境态纠缠，破坏量子态 的相干性。同时，当执行量子计算时，很难保证量子计算的每一步都不产生错误和误差。 因此，在经过多步计算后，极小的不精确性被放大而导致计算失败，使得量子算法难以实 施。借鉴经典纠错方法，量子纠错编码( q u a n t u ma r r o rc o r r e c t i n gc o d e s ) 技术成为克服这一困 难的有效手段。本章从量子力学的基本假设与量子态的基本概念开始，介绍量子通信中的 量子纠错编码的基础理论。 2 1 量子状态及其表示 量子态是量子力学中最为重要的概念，在量子力学中用量子态描述量子体系 3 2 1 。一个 量子体系若处于某力学量f ( 这是一个可测量的量) 的本征态如，表示为融= 昂如，则 测量f 所得结果是完全确定的，结果为晶。但若量子体系处于，的两个本征态的叠加态中， = c l 咖+ 晚龙，a ，c 2 是叠加系数且满足归一条件，则测量f 所得的结果就不是唯一确定 的，或者是蜀，或者是最，且测量n 得到的概率为ic , f ，测量尼得到的概率为iq 1 2 为 了更好地了解量子态及其在量子信息中的应用，首先介绍量子态的表征方法。 2 1 1 量子比特 “比特 是经典信息与通信中最基本的概念，量子信息理论、以及量子通信也建立在 一个相似的概念基础之上，称之为量子比特( q u 触l mb i t ) 或为鬼比特( q u b i t ) 。与经典 比特一样，量子比特也描述一种状态。经典比特常用0 和l 来表示，量子比特也经常写成 1 0 和1 1 形式，称为计算基矢( t h ec o m p u t a t i o n a lb a s i s ) ，一般用1 0 表示0 ，用i l 表示l 但是量子比特不仅是1 0 和1 1 两种状态。而且可以是这两种状态的任意线性组合，所以量 子态又称为“叠加态”( s u p c r p o s i t i o n ) ，表示为： i 吵 = a 10 + b1 1 ( 2 1 ) 其中a ，b 都是可连续取值的复数，满足ia 1 2 + l61 2 = 1 1 0 和i l 常称为正交基态当a = o 5 南京邮电大学硕士研究生学位论文第二章量子信息理论基础与量子纠错 或b = o 时，量子比特退化为1 0 或i i ，和经典比特( 取值0 和1 ) 具有一样的特性，即量 子比特退化为经典比特。因此，经典比特可看作是量子比特的一个特例。 我们可以检查一个经典比特，以便判决它是处于o ”状态还是“l ”装态。然而，我们却 不能用如此的方法来处理一个量子比特。量子力学告诉我们，如果我们对量子比特测量时， 我们或者得到结果o ，可能性的大小为ia 1 2 ；或者得到结果“l ”，可能性的大小为ib1 2 。一 个量子比特是二维复矢量空间中的一个单位矢量，它能描述从i o n i l 状态的所有过程状 态。 单个量子比特概念可以推广到多量子比特1 3 3 。在经典物理中，具有疗个粒子的一个系 统可那的状态构成了2 刀维空间里的一个矢量，其中单个粒子可以用二维复数空间里的一 个矢量来描述。然而，多个量子比特系统的状态空间比经典的状态空间大得多，甩个量子 比特系统的状态空间将是2 n 维。这是因为经典系统中刀个粒子的每个状态空间通过笛卡尔 积结合起来，然而量子系统空间却是通过张量积结合起来。为此，了解笛卡尔积合张量积 间的差别将是非常必要的。 假设v 和w 分别是以 1 ，l ，1 ，2 和 w i ，w 2 作为基的二维复数空间里的矢量。这两个 空间的笛卡尔积可以看作是它们基的组合 ，l ，1 ，2 ，w i ，w 2 所构成的空间。其中基的顺序 可任意选择。因此经典情况下多个粒子的状态空间的维数随粒子数的增加而线性增加，表 现为d i m ( x 9 i t ) - - d l r n ( x ) + d i m ( y ) ( d i m 表示维数) 。而v 和w 的张量积的基为 0 1 0 ，1 0 0 1 1 ，1 1 0 1 0 ，i l 硇1 1 ，其中每一个量子比特的基是 1 0 ，i l 。这些都可以简洁 的写成i o o ，1 0 1 ，1 1 0 ，i l l 。张量积x o y 的维数将是d i m ( x ) d h n ( y ) 。 2 1 2 量子态的状态空间及其表征 量子力学系统的一切可能状态构成一个抽象的空间，称为h i l b e r t 空间；在量子计算与 量子信息中遇到的有限维复向量空间类中，它就相当于内积空间。量子力学是建立在h i l b e r t 空间上的数学模型。在这空问中一个矢量用符号“l ，表示，称为右矢。若要标明系统某一 特殊状态，可在右矢中标上记号，如i f ， ：而左矢“ ，也 6 南京邮电大学硕士研究生学位论文 第二章量予信息理论基础与量子纠错 包括由n 个可构成正交归一集的态矢量 i 炉 组成的叠加态( s u p e r p o s i t i o n ) ： ， l y ) = g i ) ( 2 2 ) j - i 其中ic l l 2 = 1 。这里，值得注意的是基矢量顺序的选择是任意的。例如，l o 态可代表( o j f 1 ) t ，那：- , i i 就( 1 ，o ) t 。 2 2 量子计算 量子状态的变化可以用量子计算的语言来描述。类似于经典计算机是由包含连线和逻 辑门的线路建造的，量子计算机是由包含连线和基本量子门排列起来，形成的处理量子信 息的量子线路建造的。对于一个封闭的量子系统，若要保持量子叠加性和不可区分性唯一 的方法是进行幺正变换。幺正变换在量子系统的演变中起重要的作用，任何量子态的信息 处理最终可表示为对单个、两个量子比特的幺正变换，对于这样的幺正变换又称为量子门 ( q u a n t u mg a t e ) 1 0 l 【3 4 1 。量子门按照它作用的量子位数目可分为一位门，二位门和三位门等。 2 2 1p a u i l 矩阵 奶卜心个矩阵o ，= 三三 ；j = ：三 ；z = 三二 ；】，= ? 苫 设一个量子比特的为l 缈 = a f0 + 6l1 ，墨nz 三个矩阵分别作用于该量子态后变为： 彳i = z ( ；) = ( 三) = 口j ， + 6 i 。 ； ， 狮扭z ( 口) = 刮。 训 ； 挎y = 刮， 刮 因此称x 为比特错误，z 为相位错误，】，为相位加比特错误。同时4 个矩阵也称为p a u i l 矩阵。由这4 个算子张量生成的群称为p a u i l 群，p a u i l 群中的元素是反对易的，即， x ，z = o ； x ，y ) = 0 ； z ，y = 0 。刀量子比特( n q u b i t ) 的p a u i l 群是p 打，p 。中的元素也是 反对易的。 南京邮电大学硕士研究生学位论文第二章量子信息理论基础与量子纠错 2 2 2 量子门 化为另一种形式。经典比特中0 、l 的互换实际上就是一个- ：i p i - 作用的结果，类似地，可 以定义量子比特的非门。量子非门的作用是线性的，量子非门作用于一个叠加态 i c ， = 口1 0 帕1 1 后其实就是i o 与l l 的互换。上面描述的p a u i l 群中的算子x 就是一个量 子! l p f ，因此量子1 1 ；f - 就是一个2 x 2 的矩阵，实际上重要的h a d a m a r d 门也是一个单量子 门。h a d a m a r d 可以如下表述： 日= ：1 i 1 1 旺3 ) 容易看出 h lo = 去( io + 1 1 ) ) ( 2 4 ) v 么 日il = 去( io 一1 1 ) ) ( 2 5 ) 可以看出h a d a m a r d 门是把io 11 态转化到l0 态与l1 态的中间态，当输入是一 位量子位1 0 时，h a d a m a r d 门可以产生两个基态的线性组合，而且每个基态的能量是均分 的。这个性质可以被推广到多位量子比特的情况。为了了解h a d a m a r d 门对多位量子位的 作用，我们先看两位量子比特的情况。 对于两个量子位，h a d a m a r d 门的作用可以表述为： h 。2l o ) 1o = ( 日。日) ( 1 o olo ) = hio ) p 10 ) = ( 击( | o ) + 1 1 ) i ) ) p ( 去c l0 ) + i ) ) ) = 丢( i o l o + i o ) 1 1 ) + i l i o + 1 1 ) 1 1 ) ) ( 2 6 ) = ( 1 0 + 1 1 ) + 1 2 + 1 3 ) 由此可以类推，对刀个量子位时h a d a m a r d 门的作用可表述为： 驴掣圳叫警2 ) 锄 - 一 ， 一 8 南京邮电大学硕士研究生学位论文 第二章量子信息理论基础与量子纠错 = 专( 掣+ 掣。+ 掣 = 砉驴 旺7 ) 这说明对于甩个h a d a m a z d 矩阵的张量积来说，当输入的量子比特是i o o 时，可以输出等 能量的每个基矢量的和。最后需要说明的是日2 = ，也就是说对某态作用两次h a d a m a r d 门等于什么都没做。 另外二位量子逻辑门中典型的是受控非门，其定义是，当控制位为1 时，受控位发生 变化，否则，不发生变化。 其形式为： 用表达式可表示为： 还可用矩阵的形式表示： 图2 1 是受控非门的线路图： a b 0o 一ioo ) 01 哼10l 10 寸1 11 1l 一1 1 o u c 。r = 墨 三手 至 ， 厂、 a b 图2 1 受控t l ! f l 线路图 依次可以得到三位控制量子门，如控制一控制一非门。线路图如图2 2 9 南京邮电大学硕士研究生学位论文 第二章量子信息理论基础与量子纠错 a b c 厂、 ) a b c 十a b 图2 2 三位控制4 1 巨f - i ( t o f f o l i ) 线路图 即当第一、第二位都为i i 时，第三位( 受控位) 发生变化。三位i - j 中当第三位为1 0 三位控制非门也称为t o f f o l i 门，其矩阵表示为： 2 3 量子纠错 t = ： 2 3 1 量子纠错码理论 非简并量子纠错码的思想就是将七量子位的i - f i l b e r t 空间风映射到万量子位的空间 矾，使希望纠正的错误空间g 中的任意算子e 作用到以上可以得到峨的2 维子空间，并 当算子满足e f 占时，空间e 巩与空间f h k 正交，这与经典线性分组码的陪集论是一致 的。与经典线性分组码类似，若非简并量子纠错码的纠错能力是f ，即可以纠正所有r 个或 ，个以下的错误。假设非简并量子码c 用风的2 i 维子空间来编码七量子位的信息，r c 的 纠错能力为，则刀，k ，r 之间满足的关系为： 1 0 o o o o o o 1 o 0 o o o 0 0 o l o o o o o l 0 o 0 o o 0 1 o 0 o o o o l o o o 0 0 0 l o o o o o 0 l 0 0 o o o o 1 o o o o o o o 南京邮电大学硕士研究生学位论文 第二章量子信息理论基础与量子纠错 ( t3 ，( ) 矿z j 曲j ( 2 8 ) 这个关系就是量子汉明界口卯( h a m m i n gb o u n d ) 。根据量子汉明界可以通过，七的值确定刀值 的大小，女n t = l ，k = l ，可知玎5 ，即量子编码需要的最少量子位是5 。同时还存在另一 关系式，即如果存在量子纠错码【丹，k ，d 】，其中d 是量子码的汉明距，则刀，七，d 之间 有如下关系： d l- ( 3 吖抛2 斗 ( 2 9 ) j t 国 j 这个关系式称为量子g i l b e r t - v a r s h a m o v 限。根据量子g i l b e r t - v a r s h a m o v 限可以确定刀的上 限。如，如t = l ，k = l ，可知, 1 0 。 2 3 2 量子比特错误 在量子通信与计算中存在三种错误，即比特翻转错误，相位翻转错误和比特相位同时 翻转错误。下面就以三量位为例分别进行介绍。 设单量子比特状态al0 + b ll 用三个量子比特编码为al0 0 0 + 6iii i 。为了方面可 以把这个编码写为 1 0 _ 叫0 工 - 4 0 0 0 i l 刈l 工 - 4 1 1 1 可以理解为基状态的叠加取为相应编码状态的叠加，符号10 工 与i1 工 分别表示逻辑i o 和 逻辑i i 。图2 3 是三量子比特翻转的编码线路图。 1 9 i o i o 图2 3 三量子比特翻转编码线路图 初始状态a lo + bil 经过编码后得到口10 0 0 + bii ii ，通过一个比特翻转信道后出 现一个或更少的量子比特发生翻转，然后经过差错检测( e 鹏rd e t e c t i o n ) 和恢复( r e c o v e r y ) 1 1 南京邮电大学硕士研究生学位论文第二章量子信息理论基础与量子纠错 对比特翻转进行纠正。 首先进行差错检测，执行一次测量，就可知道差错出现在什么量子状态上，测量结果 称为差错症状( e r r o rs y n d r o n e ) 。比特翻转信道中的四种差错症状对应于四个投影算子： 昂爿0 0 0 + l1 ) 2 与l 一 = ( 10 一il ) 2 作为考虑的量 子比特基。并且可以用算子对这个基进行相互转化，符号“+ 与“一只是起到像比特 翻转的作用，于是我们可以用状态l o l 爿+ + + ，l l 工 爿 作为逻辑o 态和逻辑1 态 来保护针对相位翻转的差错。纠错需要的所有运算( 编码、差错检测和恢复) 都与比特翻转 信道那样进行。只是要以基i + ，i - 代替基l 胗，i l ，并且这些基之间的转换在纠错过 程中要在适当的位置应用h a d a m a r d 门变换及其逆变换( h a d a m a r d 门) ，因为h a d a m a r d 门可 以实现基l o ，l l 和基l + ，l _ 之间的转换。这种相位翻转信道的码与比特翻转信道的 码具有相同的特性，特别是，相位翻转码的最小保真度等同于比特翻转的最小保真度。也 可以说这两个信道是酉等同的，因为他们之间存在一个酉算子( h a d a m a r df - j ) 。 1 2 南京邮电大学硕士研究生学位论文第二章量子信息理论基础与量子纠错 2 4 量子纠错码 i 妒 l o l o 图2 4 三量子比特相位翻转编码线路图 随着s h o r 码的出现，量子纠错码的研究已成为量子通信研究的方向，其中量子c s s 码及稳定子码又是纠错码的研究的热点。 2 4 1s h o r 码 s h o r 编码可以被看成是3 位q u b i t 的b i t 反转纠错编码与位相翻转纠错编码的组合编俏。 具体的编码方法是：首先将q u b i t 进行b i t 反转纠错编码，得到 瞻11 1 0 11 。1 岁 组 i ji “ 再将q u b i t 按位相翻转编码方法进行编码，得到 状态i o ) 编码得到i + + + ) 状态1 1 ) 编码得到卜一- ) 然后再对每一个q u b i t 位进行b i t 反转纠错编码，得到 状态l + ) = 而1 ( 1 0 ) + 1 1 ) ) 编码得到击( i o o o ) + 1 1 1 1 ) ) v z y 一 状态l - ) = 去( 1 0 ) 一1 1 ) ) 编码得到击( i o o o 一i i ii ) ) v z - 一 将上面的两种编码组合起来就得到s h o r 编码，即 状态1 0 编码得到丢考( i o o o ) + 1 1 1 1 ) ) ( 1 0 0 0 ) + i l l l ) ) ( i 0 0 0 ) + i l l l ) ) 1 3 南京邮电大学硕士研究生学位论文 第二章量子信息理论基础与量子纠错 状态1 1 编码得到丢i o o o o 一1 1 1 i ) ) ( i o o o ) 一1 1 1 1 ) ) ( j o o o ) 一1 1 1 1 ) ) 由于s h o r 码是由四组【3 ，l 】重复码构成，类似于经典的重复码译码，可利用内层的三组 重复码来更正比特翻转，接着使用h a d a m a r d 门，将内层的相位翻转变换为等效的比特翻 转，再以一组重复码更正错误，最后再使用h a d a m a r d 门变换为原型，因此，s h o r 码可更 正一个量子比特发生比特翻转和相位翻转的问题，其编码系统如图2 5 所示： 蚪层霸码一层编码 a l e + 箩l l l o i o 口j o 够l l 图2 5s h o r 码9 量子位的编码线路图 利用上面介绍的三量子比特翻转可以不对量子系统测量的情况下方便地检测出哪个量子 位出现差错，测量结果与错误图样对应从而可以确定差错出现在哪个量子比特上。下图是 相位纠错的线路图。 s h o r 码不仅可以纠正比特翻转，还可纠正相位翻转，由于对比特翻转与相位翻转这两 个过程是互不相关的，所以可以同时纠正发生在不同量子位上的比特错误与相位错误。另 外，s h o r 码利用引入了辅助量子位获得差错图样，避免直接测量造成量子系统的坍缩。虽 然s h o r 提出的9 量子位码的编码效率不高，但其原理对量子纠错编码的研究具有开创性的 意义。 2 4 2 量子c s s 码 c s s 码编码方法是由c a l d e r b a n k 与s h o r 两人小组以及s t e a n e 一人共同提出的，基于 经典纠错编码方法体系的量子纠错编码的构成方法。由该方法构成的编码，我们将使用三 位方法提出者姓名的头字母称其为c s s 编码。c s s 编码是由2 位经典纠错编码构成的能够 1 4 南京邮电大学硕士研究生学位论文第_ 二章量子信息理论基础与屋子纠错 h + c 2 声高p ( 2 1 1 ) l10 0 0101l q = i3 三? ：二三j = z 乙 。2 。2 ) q = jo o lolloj - 马 ( 2 1 2 ) 10 0 010l 1l l 1110100i = l 01110 1oi = g 2 ( 2 1 3 ) l 1 101001 i 1 5 南京邮电大学硕士研究生学位论文 第二章量子信息理论基础与量子纠错 悟降古荟f v + d ， w q c = o ( 2 1 4 ) w c 1 一c 2 c = 1 通常当c = o 可选取w - - o o o o o o o ，当c - - - 1 可选取w - - 1 l l l l l l 】，以便于计算。代入上式 即可求出 陇= 去日0 0 0 0 0 喇1 1 。1 0 0 1 ) + 1 0 1 1 1 0 1 o ) + | 1 1 1 0 1 1 0 0 ) + 1 1 0 1 0 0 1 1 ) + 1 0 0 1 1 1 0 1 ) + 1 1 0 0 1 1 1 0 ) + 0 1 0 0 1 1 1 ) 怯去0 1 1 1 l 1 1 ) + i 咖1 帅0 0 0 - 。1 ) + l o o o o o 1 ) ( 2 1 5 ) + 1 0 1 0 1 1 0 0 ) + 1 1 1 0 0 0 1 0 ) + 1 0 1 1 0 0 0 1 ) + 1 1 0 1 1 0 0 0 ) 2 4 3 稳定子码 一个量子位和环境相互作用可能发生的最一般的