（应用数学专业论文）模糊选择函数传递合理性和拟传递合理性的刻画.pdf

太原理，【：大学硕士研究生学位论文 模糊选择函数传递合理性和拟传递合理性的刻画 摘要 无论是模糊情形还是普通情形，传递合理性与拟传递合理性都 是选择函数最重要的两类合理性性质本文提出了一些新的合理性条 件，在此基础上丰富和完善了目前文献中普通选择函数传递合理性 与拟传递合理性的相关研究关于模糊选择函数的研究，我们提出了 一些刻画模糊选择函数传递合理性的条件，模糊化了一些现有的合 理性条件，由此我们得到了一些刻画模糊选择函数传递合理性与拟 传递合理性的充分或必要条件论文的主要研究工作详述如下： 第一，我们完善了s u z u m u r a 1 8 1 关于普通选择函数的两种正规性 与两种合理性之间关系的讨论，证明了四种定义是等价的给出了模 糊最大集与模糊极大集的概念，并以此为基础定义了模糊选择函数 的三种正规性与三种合理性，详细地讨论了它们之间的关系，证明 了当模糊显示偏好关系b 自反、完全时这六种定义是等价的，从而 将普通情形下的结论推广到了模糊情形 第二，我们提出了两个新的合理性条件，在此基础上给出了几 个新的刻画普通选择函数传递合理性的充要条件关于普通选择函数 的拟传递合理性，我们总结了文献中相关的合理性条件并详细地讨 太原理1 人学硕+ 研究生学位论文 论了它们之间的关系，从而完善了普通选择函数拟传递合理性的刻 画问题 第三，我们以模糊逻辑联结运算为工具给出了许多新的模糊选 择函数的合理性条件，在此基础上给出了几个新的刻画模糊选择函 数传递合理性的充要条件，证明了新给出的一些合理性条件是模糊 选择函数满足拟传递合理性的必要条件，同时给出一些反例说明它 们荠不是充分条件此外，对于两类特殊的p 及p ”拟传递合理性，我 们证明了，6 条件和t f n e h r i n g 条件分别是刻画它们的充要条件，从 而将s e n 和n e h r i n gm 1 的结论推广到了模糊情形 关键词：模糊选择函数，正规性，合理性，显示偏好，传递合理 性，拟传递合理性 太原理工大学硕士研究生学位论文 t h ec h a r a c t e r i z a t i o no ft r a n s i t i v e r a t i o n a l i t ya n dq u a s i t r a n s i t i v e r a t i o n a l i t yo ff u z z yc h o i c ef u n c t i o n s a b s t r a c t b o t ht r a n s i t i v e r a t i o n a l i t y a n dq u a s i t r a n s i t i v er a t i o n a l i t ya r et w o e x t r e m e l yi m p o r t a n tr a t i o n a l i t yp r o p e r t i e sn om a t t e rw h e t h e rt h ei n v o l v e d c h o i c ef u n c t i o ni sc r i s po rn o t i nt h et h e c u r r e n t i n v e s t i g a t i o n s i n t ot r a n s i t i v e s i s ， r a t i w ee n r i c ha n dc o m p l e t et h e o n a l i t y a n d q u a s i t r a n s i t i v e r a t i o n a l i t yo fc r i s pc h o i c ef u n c t i o n sb ys u g g e s t i n gs o m en e wr a t i o n a l i t y c o n d i t i o n s f o rt h er e s e a r c ho ff u z z yc h o i c ef u n c t i o n s ，w ep u tf o r t hs o m e c o n d i t i o n st h a tc a nc h a r a c t e r i z et r a n s i t i v er a t i o n a l i t yo ff u z z yc h o i c e f u n c t i o n s f i n a l l y , s o m ee x i s t i n gr a t i o n a l i t yc o n d i t i o n s a r ef u z z i f i e ds o t h a tn e c e s s a r yo rs u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r ep r o p o s e dt oc h a r a c t e r i z e t r a n s i t i v eo r q u a s i t r a n s i t i v er a t i o n a l i t y t h e m a i nr e s e a r c hw o r ki s d e s c r i b e di nd e t a i li nt h ef o l l o w i n g ： f i r s t l y , w ec o m p l e t es u z u m u r a si n v e s t i g a t i o n si n t or e l a t i o n s h i p s b e t w e e nt w ok i n d so fn o r m a l i t ya n dt w ok i n d so fr a t i o n a l i t yp r o p e r t i e s f o r c r i s pc h o i c e f u n c t i o n sa n dp r o v et h e e q u i v a l e n c y o ft h e s ef o u r d e f i n i t i o n s a f t e r w a r d s ，t h ec o n c e p t so ff u z z yg r e a t e s ts e ta n df u z z y m a x i m a ls e ta r ei n t r o d u c e da n dt h r e ek i n d so fn o r m a l i t ya n dt h r e ek i n d s t i t 太原理1 ：人学硕士研究生学位论文 o fr a t i o n a l i t yp r o p e r t i e sf o rf u z z yc h o i c ef u n c t i o n sb a s e do nt h e s es e t sa r e d e f i n e d t h e nw es y s t e m a t i c a l l yd i s c u s st h e i rl i n k s t h em a i nc o n c l u s i o n i st h a ta l lt h e s i xd e f i n i t i o n sa r ee q u i v a l e n ti ft h e f u z z y r e v e a l e d p r e f e r e n c er r i sr e f l e x i v ea n dc o m p l e t e ，w h i c hg e n e r a l i z e st h er e s u l ti n t h ec r i s pc a s e s e c o n d l y ，b a s e do nt w op r o p o s e dr a t i o n a l i t yc o n d i t i o n s ，w eo b t a i n s o m en e wn e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rac r i s pc h o i c ef u n c t i o n t os a t i s f yt r a n s i t i v er a t i o n a l i t y c o n c e r n e d ，w es u m m a r i z et h e a sf a ra sq u a s i t r a n s i t i v e r a t i o n a l i t yi s i n v o l v e d r a t i o n a l i t y c o n d i t i o n si nt h e l i t e r a t u r ea n dm a k ead e t a i l e di n v e s t i g a t i o ni n t ot h e i n t e r r e l a t i o n s h i p s b e t w e e na l lt h e s ec o n d i t i o n s t h er e s e a r c hc o m p l e t e st h ec h a r a c t e r i z a t i o n o fq u a s i t r a n s i t i v er a t i o n a l i t yo fc r i s pc h o i c ef u n c t i o n s t h i r d l y ，w ep u tf o r w a r dm a n yn e wr a t i o n a l i t yc o n d i t i o n so ff u z z y c h o i c ef u n c t i o n sb ym e a n so ff u z z yl o g i cc o n n e c t i o n s b a s e do nt h e s e r a t i o n a l i t yc o n d i t i o n s ，w eo b t a i ns o m en e wn e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n t c o n d i t i o n sf o raf u z z yc h o i c ef u n c t i o nt os a t i s f yt r a n s i t i v er a t i o n a l i t y w e p r o v et h a ts o m eo ft h e s er a t i o n a l i t yc o n d i t i o n sa r en e c e s s a r yi ft h ef u z z y c h o i c ef u n c t i o ns a t i s f i e s q u a s i t r a n s i t i v er a t i o n a l i t y m e a n w h i l e ，s o m e e x a m p l e sa r eg i v e nt oi l l u s t r a t et h a tt h e ya r en o ts u f f i c i e n t i na d d i t i o n ，i t i sv e r i f i e dt h a tf 3a n d t f n e h r i n gc o n d i t i o n a r e n e c e s s a r y a n d s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o raf u z z yc h o i c ef u n c t i o nt os a r i s f yp | a n d q u a s i t r a n s i t i v e r a t i o n a l i t y a sac o n s e q u e n c e ，s o m er e s u l t so b t a i n e db y s e na n dn e h r i n ga r eg e n e r a l i z e d 太原理 ：大学硕士研究生学位论文 k e y w o r d s ：f u z z yc h o i c ef u n c t i o n ，n o r m a l i t y ，r a t i o n a l i t y ，r e v e a l e d p r e f e r e n c e ，t r a n s i t i v er a t i o n a l i t y , q u a s i t r a n s i t i v er a t i o n a l i t y v 太原理1 1 人学硕+ 研究生学位论文 主要符号说明 全体备择对象集且集合中元素个数有限 j d ( 一) x 上所有非空普通子集的全体 f ( x ) z 上所有非空模糊子集的全体 v 任意 j 存在 日不存在 属于 g 不属于 包含 壁不包含 u 并 n 交 月二元关系 j 1 ) 严格偏好关系 r 二元关系r 的逆关系 f 二元关系r 的余关系 r 。二元关系r 的对偶关系 一r 通过直觉非构模的模糊关系r 的余关系 1 r 通过对偶直觉非构模的模糊关系r 的余关系 t ( r ) 二元关系r 的传递闭包 r i 。r 二元关系r i - 与r 2 的合成关系 v i i 太原理i ：人学硕十研究生学化论文 r 罹示偏好关系 r i 成偏好关系 芦，? 恪生成偏好关系 矗强偏好关系 户严恪强偏好关系 间接显示偏好关系 p + 阳j 接严格强偏好关系 v 取大 取小 7 1 ，一模 s t 一余帧 ，。由卜模7 导出的蕴涵 c ( ) 选择函数 g ( a ，r 卜最大集 m ( a ，r ) 极大集 v i i i 声明 v9 7 9 3 9 6 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在指导教师的指导下， 独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究 做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的 法律责任由本人承担。 论文作者签名：盘咝遣日期：婴! ! 至 关于学位论文使用权的说明 本人完全了解太原理工大学有关保管、使用学位论文的规定，其 中包括：学校有权保管、并向有关部门送交学位论文的原件与复印 件；学校可以采用影印、缩印或其它复制手段复制并保存学位论文； 学校可允许学位论文被查阅或借阅；学校可以学术交流为目的， 复制赠送和交换学位论文；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容( 保密学位论文在解密后遵守此规定) 。 签名：兰丛堕丛 导师签名：一弓偕二出一一一日期：匹竺丘上一篁4 太原理工人学硕士研究生学位论文 第一章绪论 选择问题几乎遍布于人们生活的方方面面，它要求决策者从所有可能的备择 对象中选出“最好的”元素比如，当一个消费者在权衡自己的收入与商品的价格 后所进行的消费行为就是一个选择问题，为了描述这种消费行为，a r r o w 1 】和 u z a w a t 2 1 提出了选择函数的概念，之后这一术语被广泛应用于与选择问题相关的 各个领域目前有关选择函数的文献非常多，研究内容主要涉及引入选择函数的 合理性条件并讨论它们之间的相互关系以及刻画选择函数的各种传递合理性等 关于普通选择函数合理性条件的引入，前人已经儆了大量的工作1 9 3 8 年， s a m u e l s o n t 3 1 首先提出了一些合理性条件，其中应用最为广泛的是弱显示偏好公 理( w a r p ) ；h o u t h a k k e r 4 j 哿弱显示偏好公理的前提条件加以修改，得到了一 个更强的合理性条件：强显示偏好公理( s a r p ) ；1 9 6 6 年，r i c h t e r 5 1 利用间接 显示偏好关系提出了强一致公理( s c a ) ；s e n t 8 】j 各强一致公理前提条件中的阳j 接显示偏好关系改为显示偏好关系，得到了弱一致公理( w c a ) 此外，c h e r n o 州6 1 、 s e n 7 10 1 、a o w 、s c h w a r t z 【1 1 】、a i z e r i t i a n 【1 2 j 、 n e h r i n g 【1 3 1 、 j a m i s o n 1 5 】和 s u z u m u r a l l 8 - 2 0 】等还提出了a 、a 2 、卢、卜y 2 、6 条件、c 1 - - c 5 、w 1 一w 5 等等众多 的合理性条件当然，这些合理性条件之间存在着千丝万缕的联系，研究者们已 经对这些合理性条件之间的关系做了大量的讨论，但是由于条件众多、提出的时 间跨度长，尤其是这些合理性条件往往是研究者们为了刻画普通选择函数的各种 传递合理性而各自独立提出的，所以目前的研究状况还不能令人满意，其中只有 与普通选择函数传递合理性有关的合理性条件之间的关系比较明确，具体结论可 参见文献 7 ，1 4 ，1 8 】 关于普通选择函数各种传递合理性的刻画问题，文献中已有大量的结论，主 要研究成果有：( 1 ) 传递合理性的刻画：a r r o w 1 l 从显示偏好的角度证明了w a r p 太原理人学颀+ 研究生学位论文 是普通选择函数满足传递合理性的等价条件；r i c h t e r l 5 l 从一般偏好的角度汪明了 s c a 是普通选择函数满足传递合理性的等价条件：s e n i8 】在研究了文献中存在的 大量的合理性条件的基础上，找到了刻画普通选择函数传递合理性的众多等价条 件( 2 ) 拟传递合理性的刻画：1 9 7 1 年，s e n l 8 】首次证明了j 下规性与6 条件是普 通选择函数满足拟传递合理性的等价条件；之后，s c h w a r t z i ”】、a i z e r m a n i 忙】、 n e h r i n g 1 引、j a m i s o n l l 5 】和s u z u m u r a i ：o 】也各自独立地给出了刻画普通选择函数拟 传递合理性的等价条件，其中s c h w a r t z 1 1 1 与j a m i s o n 【1 5 】给出的条件实际上是一样 的( 3 ) 其它传递合理性的刻画：j a m i s o n 在文1 5 忡讨论了对半序合理性的刻画 问题，f i s h b u r n l l 6 】深化了j a m i s o n 的工作，他利用文 1 5 1 q q 的合理性条件分别得到 了刻画半传递合理性、区问序合理性的等价条件：s c h w a r t z i ”1 讨论了对半序合理 性和区间序合理性的刻画问题：b a n d y o p a d h y a y 2 1 】也讨论了区问序合理性的刻画 问题 随着决策科学的发展，所讨论的决策系统越来越复杂，当决策者面临两个备 择对象时，很难或者根本就无法确定两者之问的确切偏好关系，甚至有人认为决 策者的偏好本质上就是不明确的，这时运用传统数学中的关系概念进行决策就显 得无能为力1 9 6 5 年，z a d e h 首次提出了模糊集的概念，为描述边界不明确的集 合提供了强有力工具，从而产生了模糊关系的概念1 9 7 8 年，o r l o v s k y 在文 3 4 中将模糊关系引入了决策中用以构模偏好程度的概念，从而为用模糊数学研究模 糊性的决策问题奠定了基础，该文首先提出了模糊非控元的概念在这之后， o r l o v s k y 非控元集被众多研究者作为o r l o v s k y 选择函数进行了详细的讨论与研 究，例如： m o n t e r o 仃j 研究了非控元存在的充分必要条件，b a n e r j e ee 4 0 1 研究了 几种模糊传递性下o r l o v s k y 选择函数的刻画问题等等1 9 8 9 年，r o u b e n s l 3 8 】给出 了四个利用模糊偏好关系和t 一模定义的选择函数并提出了一些合理性条件，这 些条件包括：继承性( h e r i t a g ep r o p e r t y ) 、和谐性( c o n c o r d a n c ep r o p e r t y ) 和不 相关选择的独立性( i n d e p e n d e n c eo fi r r e l e v a n ta l t e r n a t i v e s ) b a r r e t t i ”】等利用模糊 2 太原理r 人学硕士研究生学位论文 偏好关系给出了九个选择函数并引入了r p w d 、r p s d 、s r e j 、w r e j 等合理性 条件，对所给出的选择函数是否满足这些合理性条件进行了详细的讨论另外， b a s u 【3 6 】和d u t t a 【3 7 1 等也研究了一些通过模糊偏好关系所定义的选择函数上述这 些关于选择函数的研究，无论是o r l o v s k y 选择函数、r o u b e n s 及b a r r e t t 给出的 选择函数还是其他研究者所讨论的选择函数，都是基于模糊偏好关系的普通选择 函数 同普通情形一样，模糊选择函数的研究内容主要涉及引入选择函数的合理性 条件并讨论它们之间的相互关系以及刻画选择函数的各种传递合理性等1 9 9 5 年，b a n e q e e l 2 5 】将普通选择函数的值域改为模糊集，首次给出了模糊选择函数的 定义他将普通选择函数的合理性条件模糊化后得到了一些模糊选择函数的合 理性条件并详细地讨论了这些条件之间的关系此后，g e o r g e s c u l 2 9 - 3 3 】从决策的角 度出发，认为不仅应将普通选择函数的值域进行模糊化，还应将普通选择函数的 定义域进行模糊化，从而给出了最为一般的模糊选择函数的定义她第一次将模 糊逻辑联结运算用于模糊选择函数合理性条件的构模，得到了许多模糊选择函数 的合理性条件，并详细地讨论了这些条件之间的关系，推广了s e n 和r i c h t e r 的 有关结论，得到了许多刻画模糊选择函数的传递合理性的充要条件但她的结论 是建立在f 一模l 。和直觉非( 一类非常特殊的非：只有一点取1 ，其它点均取o ) 的前提下的，因而所得结果与非模糊的情况极为相似在连续t 一模的前提下，她 只给出了刻画模糊选择函数传递合理性的一个必要条件郭【2 7 】注意到了以上情 况，她利用t 一模瓦；。和标准非给出了许多模糊选择函数的合理性条件并详细讨论 了它们之间的关系，在每个选择集都为正规集的前提下得到了许多刻画模糊选择 函数传递合理性的充要条件 以上就是有关选择函数研究的大致情况，从中我们可以看出：对于普通选择 函数的研究比较多，尤其是关于普通选择函数的传递合理性和拟传递合理性的研 3 太原理i 人学砺k 研究生学f 论文 究成果非常丰富但是对于模糊选择函数的研究还比较少，仍然处于起步阶段， l ti i i 文献中仅涉及传递合理性的相关研究 对于选择函数的研究，本文做了以下三方面的工作：第一，完善了s u z u m u r a 1 8 所给出的普通选择函数两种f 规性与两种合理性的关系的讨论，证明了四种定义 实际上是等价的给出了模糊最大集与模糊极大集的概念，在此基础上定义了模 糊选择函数的三种f 规性与三种合理性并详细地讨论了它们之问的关系，从而将 普通情形下的一些结论推广到了模糊情形第二，提出了两个新的普通选择函数 的合理性条件，在此基础上给出了几个新的刻画普通选择函数传递合理性的充要 条件，丰富了刻画普通选择函数传递合理性的等价条件对于文献中已有的刻画 普通选择函数拟传递合理性的合理性条件，我们详细地讨论了它们之间的关系， 从而完善了普通选择函数拟传递合理性的刻画问题第三，以模糊逻辑联结运算 为工具给出了许多新的模糊选择函数的合理性条件，在此基础上给出了几个新的 刻画模糊选择函数传递合理性的充要条件，证明了新给出的一些合理性条件是模 糊选择函数满足拟传递合理性的必要条件，而不是充分条件对于两类特殊的p 及p ”拟传递合理性，我们证明了j f 6 条件和t f n e h r i n g 条件分别是刻画它们的充 要条件，从而将s e n 8 3 和n e h r i n gm 1 的结论推广到了模糊情形 本文组织方式如下：第二章介绍了本文所涉及的一些基本概念，主要包括普 通二元关系的有关性质、模糊逻辑联结运算和模糊二元关系的有关性质第三章 首先回顾了普通选择函数的两种合理性与丽种f 规性定义，证明了它们之间是等 价的然后在给出模糊情形下相应定义的基础上详细讨论了它们之间的关系第四 章的结论丰富和完善了普通选择函数传递合理性与拟传递合理性的刻画问题第 五章首先给出了许多新的模糊选择函数的合理性条件，然后分别详细讨论了模糊 选择函数传递合理性与拟传递合理性的刻画问题 4 太原理工大学硕士研究生学位论文 第二章基本概念 本章给出文中所用到的一些基本概念和记号主要分为普通二元关系的有关 性质、模糊逻辑联结运算和模糊二元关系的有关性质三个部分 2 1 普通二元关系的有关性质 定义2 1 设x ，y 为论域，若r x y ，则称r 为x 到y 的普通二元关系，决策 中称r 为x 到y 的普通偏好关系如果( x ，y ) r ，则记为x r y 特别地，若x = y ，则称r 为x 上的普通二元关系，简称r 为普通二元关系， 决策中称为普通偏好关系我们分别定义普通二元关系r 的逆关系r 、余关系尺。 和对偶关系r 4 为： r = ( x ，y ) i ( _ y ，x ) r ) ， r = ( x ，y ) l ( x ，y ) 隹r ) ， r 4 = ( x ，y ) 1 ( j ，x ) 芒r ) ， 容易验证r 4 = ( r 。) 一= ( r 。) 。 通过普通偏好关系r 和余关系r ，可以定义关于r 的严格偏好关系p 和无 区别二元关系，为： p = ( 五y ) lx r yl ；t y r 。x ， j = ( x ，y ) i x r y 目y r x 由于关系是一个集合，所以关系的交、并运算就是集合的交、并运算设r l ，r ： 均为x 上的普通二元关系，则置与恐的合成关系马。r 定义为： 5 太原理工大学硕士研究生学位论文 r 1 。r 2 = ( x ，y ) 1 3 z x ，x r i z 且= r y ) 特别地，r 2 定义为r 。r 进一步，r ”1 定义为r ”。r 定义2 2 设r 为x 上的普通二元关系， ( i ) 若对v x x ，x r x ，则称r 为自反的 ( 2 ) 若对v x ，y x ，x y ，x r y n s 戈y r x ，则称r 为完全的 ( 3 ) 若对 q x ，y ，z x ，x r y ：r y l t z ，有x r z ，则称r 为传递的 ( 4 ) 若关于尺的严格偏好关系p 为传递的，则称r 为拟传递的 ( 5 ) 若r 满足自反、完全和传递性，则称r 为一个序 定义2 3 设r ，r 为x 上的普通二元关系，若满足： ( 1 ) r r 且f 为传递的， ( 2 ) 对于x 上的传递关系r ”，如果r r ”，那么r r ”， 则称r 为r 的传递闭包，记为f ( r ) 若x 中元素的个数为n ，则传递闭包的计算公式为：f ( r ) = u r j 2 2 模糊逻辑联结运算 本文所用到的模糊逻辑联结运算为：非、卜模、t 一余模和蕴涵，它们在定 义模糊二元关系和构模模糊选择函数的合理性条件时发挥着重要作用，与其相关 的研究在许多文献中都可以找到，例如可参见 2 2 - - 2 4 下面给出它们的定义及常 用的一些基本性质 定义2 4 设n ： 0 ，1 卜【o ，1 1 ，若n 单调减少，且n ( o ) = 1 ，n ( 1 ) = 0 ，则称n 为一个非 若非玎严格减少且连续，则称，z 为严格非若珂为严格非且满足复原律：v x 0 ，1 ， 栉( ( x ) ) = x ，贝0 称n 为强j e 常用的非有以下几种： 6 奎垦望三奎堂堡主堑壅生堂垡堡塞 。= o ，该非称为直觉非，记为、x x 0 x 2 1 该非称为对偶直觉非，记为，一 x 1 可以证明：叫是最小的非，一是最大的非 ( 3 ) ( x ) ：1 - z ，该非称为标准非，记为，易验证标准非为强非 定理2 1( 2 2 ) x , 扦v x ，y o ，1 1 ，有 ( 1 ) x x y = 0 ； ( 2 ) x 一x = 0 ； ( 3 ) 一叫工； ( 4 ) 1 ( 工v y ) = x ；- 1 ( x y ) = 吨v 叫 定义2 5 设r ：【o ，1 【o ，1 】哼 0 ，1 】，若丁满足： ( 1 ) 垤，y o ，1 ，t ( x ，_ y ) = t ( y ，x ) ， ( 2 ) 帆，y ，z 【o ，l 】，t ( x ，t ( y ，z ) ) = t ( t ( x ，y ) ，z ) ， ( 3 ) 若) 。l x 2 ，y l 曼y 2 ，g l l t ( x a ，m ) t ( x 2 ，y 2 ) ， ( 4 ) v x o ，1 】，t ( 1 ，x ) = x ， 则称r 为一个r 一模 定义2 6 设s ：【0 ，1 】【0 ，1 】斗【o ，1 】，若s 满足： ( 1 ) v x ，y 0 ，1 ，s ( x ，y ) = s ( y ，x ) ， ( 2 ) 蜥，y ，z 【o ，1 】，s ( x ，s ( y ，z ) ) = s ( s ( x ，y ) ，z ) ， ( 3 ) 若五x 2y l y 2 贝0 s ( x l ，y 1 ) s ( 而，m ) ， ( 4 ) v x 【o ，1 】，s ( o ，x ) = x ， 则称s 为一个r 一余模 卜模在模糊逻辑中可用于构模“且”的概念，f 一余模在模糊逻辑中可用于构 7 l 0 o 1 r(i，l = = ) ) 呱 砸 1 2 太原理工大学硕十研究生学位论文 模“或”的概念以下用v 和，、分别表示数的取大和取小运算，常用的t 一模和 f 一余模有： ( i ) r ( x ，y ) = x a y ，该f 一模称为取小卜模，简记为l 。； s ( x ，y ) = x v y ，该f 一余模称为取大卜余模，简记为瓦。 可以证明：矗。是最大的卜模，最。是最小的r 一余模 ( 2 ) t ( x ，y ) = + j ，一1 ) v o ，该卜模称为l u k a s i e w i c zf - 模，简记为瓦； s ( x ，y ) = ( x + y ) a l ，该卜余模称为l u k a s i e w i c zt - 余模，简记为 ( 3 ) t ( x ，y ) = x y ，该f 一模称为乘积卜模，简记为晶； s ( x ，_ y ) = x + y x y ，该卜余模称为乘积f 一余模，简记为s n 定义2 7 设，：【0 ，1 0 ，1 】一【0 ，1 】，若( x ，y ) 对工单减，x c y 单增，且满足，( 0 ，0 ) = z ( o ，1 ) = i ( 1 ，1 ) = 1 ，i ( 1 ，0 ) = 0 ，则称，为一个蕴涵 设r 为一个f 一模，定义【0 ，1 】上的运算i r ： ，y ) = v 乜i t ( x ，z ) y ) ，则容 易验证为一个蕴涵 特别地，当r ：瓦；。时，易知对应的蕴涵i 。为：r a i n ( x ，y ) ： 1 x y ， 【yx y 定理2 2 ( 【2 2 】) 设r 为一个左连续的f 一模，则对垤 0 ，1 】，“) e ，【0 ，1 】，有 t ( x ，善t ) = v t ( x ，t ) 定理2 3 ( 【2 2 】) 设r 为一个左连续的f 一模，则对垤，y ，z 【0 ，l 】，有 ( 1 ) t ( x ，y ) s z 铮x r ( y ，z ) ； ( 2 ) r ( x ，l r ( x ，j ，) ) = x y ； 8 太原理工大学硕士研究生学位论文 ( 3 ) y i r ( x ，y ) ； ( 4 ) x y 营i r ( x ，y ) = 1 ( 5 ) i r ( 1 ，x ) = _ ：c ； ( 6 ) i r ( x ，x ) = 1 2 3 模糊二元关系的有关性质 定义2 8 设x ，y 为论域，若r ：x x y - - 0 ，l 】，则称矗为z 到y 的模糊二元关系， 决策中称r 为x 到y 的模糊偏好关系 特别地，若x = y ，则称r 为x 上的模糊二元关系，简称r 为模糊二元关系， 决策中称为模糊偏好关系我们分别定义模糊二元关系r 的逆关系月一、余关系r 。 和对偶关系r 4 为： r 1 ( x ，y ) = r ( y ，x ) ， r 。( x ，y ) = l r ( x ，y ) ， r 4 ( x ，y ) = 1 一r ( y ，x ) ， 容易验证r 4 = ( 彤) = ( r - 1 ) 。 可以看出，模糊二元关系r 的余关系r c 是通过标准非n ( x ) = 1 - x 构模定义 的，我们还可以通过直觉非和对偶直觉非构模定义余关系，r 和、。r ： 毗加拈 r ( x ，y ) = 0 ， r ( x ，y ) 0 ； 、。r c x ，y ，= ? 萎 ：安i ： 0 太原理工大学硕士研究生学位论文 设r 为一个f 一模，通过模糊偏好关系r 和余关系r ，可以定义关于尺和r 的 严格偏好关系尸和无区别二元关系，为： p ( x ，y ) = t ( r ( x ，y ) ，r 。( y ，x ) ) ， i ( x ，y ) = r ( r ( x ，y ) ，r ( y ，工) ) 当然，通过模糊偏好关系r 、f 一模r 和余关系一r 、，。r ，我们也可以定义 关于r 和r 的严格偏好关系p 和p ： 尸( x ，y ) = t ( r ( x ，y ) ，一r ( y ，x ) ) ， p 。( x ，y ) = t ( r ( x ，y ) ，d r ( y ，x ) ) 设r ，r 1 ，r 都是x 上i f 3 模糊二元关系，则 ( 1 ) r i r 2 当且仅当v x ，y x ，墨( x ，y ) r 2 ( x ，y ) ； ( 2 ) 置= r 2 当且仅当v x ，y x ，r l ( x ，y ) = r 2 ( x ，y ) ： ( 3 ) ( r n u r 2 ) ( x ，y ) = 置( x ，y ) v r 2 ( z ，y ) ； ( 4 ) ( r nn r 2 ) ( x ，y ) = r 1 ( z ，y ) r 2 ( x ，y ) ； ( 5 ) ( r 。马) ( x ，y ) 2 姜( 墨( x ，z ) n 马( z ，y ) ) 特别地，r 2 = ro r 进一步，r ”1 = r ”。r 定义2 9 设r 为x 上的模糊二元关系， ( 1 ) 若对觇x ，r ( x ，工) = 1 ，则称r 为自反的； ( 2 ) 若对v x ，y x ，x y ，s ( r ( x ，_ y ) ，r ( y ，) = 1 ，则称r 为s 完全的；特别地，若 s = ，称月为完全的； ( 3 ) - 若x , j v x ，y ，z x ，r ( x ，z ) t ( r ( x ，y ) ，r ( y ，z ) ) ，则称r 为r 传递的：特别地， 若r = 已。，称r 为传递的； 1 0 太原理工大学硕士研究生学位论文 ( 4 ) 若关于r 的严格偏好关系p 为传递的，则称r 为拟传递的；若关于r 的严 格偏好关系p 为传递的，则称r 为p ，拟传递的；若关于r 的严格偏好关系p ”为 传递的，则称r 为拟传递的； ( 5 ) 若r 满足自反、完全和传递性，则称r 为一个序 定义2 1 0 设r ，r 为x 上的模糊二元关系，若满足： ( 1 ) r r _ r r 为传递的， ( 2 ) 对于x 上的传递关系r ”，如果r r ”，那么r r ”， 则称r 为r 的传递闭包，记为r ( r ) 若z 中元素的个数为”，则传递闭包的计算公式为：f ( r ) = u 雕 太原理工大学硕士研究生学位论文 第三章选择函数的合理性与正规性 合理性与正规性都是选择函数的重要性质，本章首先回顾了文献中关于普通 选择函数的两种合理性与两种正规性定义，证明了它们之间是等价的然后定义 了模糊最大集与模糊极大集，在此基础上给出模糊选择函数的三种合理性与三种 正规性定义并详细地讨论它们之间的关系 3 1 普通选择函数的合理性与正规性 3 1 1 普通选择函数有关的基本定义 设x 为全体备择对象集，从本章开始我们设x 为有限的e ( x ) 为x 上所有 非空普通子集的全体下面我们给出普通选择函数的相关定义 定义3 1 ( 9 】) 设r 为普通二元关系，p 为关于尺的严格偏好关系，a p ( x ) ， ( 1 ) 若o ( a ，r ) = 仁i x a ，v y a ，x r y ，则称g 口，r ) 为a 上的最大集； ( 2 ) 若m ( a ，r ) = x i x a ，v y a ，y p x ) ，则称m ( a ，r ) 为4 上的极大集 定义3 2 ( 8 ) 若映射c ：p ( x ) 一p ( x ) 满足：v a e ( x ) ，c ( 彳) a ，则称c ( ) 为( x 上的) 一个选择函数 一个选择函数往往可以反映出决策者对于备择对象的偏好，因此可以通过选 择函数得到决策者关于每对备择对象间各种各样的偏好关系，常见的三种偏好关 系定义方式如下： 定义3 3 ( 【8 1 ) 设c ( ) 为一个选择函数，定义： b = ( x ，y ) i ! j 彳p ( r ) ，x c ( 一) ，y 一 ， p = ( x ，力l 皿_ y 且皿，。对， 1 2 太原理i ：人学硕十研究生学位论文 ，= ( j ，_ ) ，) i 艰y l 抄r ，x ) ， 分别称r r 为显示偏好关系，尸为严格显示偏好关系，为无区别显示二元关系 定义3 4 ( 8 ) 设c ( ) 为一个选择函数，定义 瓦= ( x ，y ) i x e c ( x ，y ) ) ， p = ( x ，y ) lx r y 目y r 。z ) ，= ( z ，y ) i x r y g y r x ， 分别称瓦为生成偏好关系，f 为严格生成偏好关系，f 为无区别生成二元关系 定义3 5 ( 8 ) 设c ( ) 为一个选择函数，定义： p = ( x ，y ) i b a e p ( x ) ，z c ( i ) ，y e a c ( 爿) ， 尺= ( z ，y ) l y p 工 ， ，= ，y ) i x r y 且y 敝) ， 分别称卢为严格强偏好关系，矗为强偏好关系，j 为无区别强二元关系 由定义易知矗瓦r 定义3 6 ( 8 ) 巩，y e x ，若丑1 a = 0 ，l ，n ) ，使得x o = z ，x ”= y ，并且x i - l r ，x 。 ( g i = 1 ，2 ，n ) ，则称z 与y 具有阳j 接显示偏好关系，记为x w y 定义3 7 ( 8 ) 慨，y x ，若血7 ( f = 0 ，1 ，n ) ，使得x o = x ，= y ，并且x 1 晟 ( v i = 1 ，2 ，月) ，则称x - v 具有间接严格强偏好关系，记为x p y 注3 1定义3 6 和定义3 7 所给出的两种偏好关系实际上分别是显示偏好关系和 严格强偏好关系的传递闭包，即w = t ( r r ) ，p + = f ( p ) 定义3 8 ( 1 8 ) 设c ( ) 为一个选择函数， ( 1 ) 若存在普通2 元关系尺，使得蝴e p ( x ) ，c ( a ) = g ( 爿，r ) ，则称c ( ) 为 1 3 太原理。f ：大学硕士研究生学位论文 g 一合理的，简称c ( ) 为合理的 ( 2 ) 若存在普通二元关系r ，使得v a p ( x ) ，c ( a ) = m ( a ，r ) ，则称c ( ) 为 m 一合理的 定义3 9 ( 1 8 】) 设c ( ) 为一个选择函数，辟为显示偏好关系， ( 1 ) 若w p ( x ) ，c ( a ) = g ( a ，耳) ，则称c ( ) 为g 一正规的，简称c ( ) 为正规的 ( 2 ) 若w 尸( x ) ，c ( a ) = m