（应用数学专业论文）期权定价模型的参数估计及应用.pdf

北方工业大学硕士学位论文 摘要 假设波动率为常数的b s 模型是不符合金融市场实际的，并且期权市场数 据中隐含波动率有关执行价格曲线的“微笑 和“偏斜 效应进一步证实了波动 率是随机的，于是，本文基于b s 模型的一类拓展模型，即随机波动率( s v ) 模 型，研究了其参数估计及应用。 本文对s v 模型进行了较详细的总结，主要考察了离散型s v 模型的参数估计 问题及其在沪深股市的应用。基于1 9 9 5 年1 0 月2 6 日到2 0 0 5 年1 2 月3 0 日沪深 股市的日价格收盘数据，利用有效矩( e 删) 估计和马尔科夫链蒙特卡罗( m c m c ) 模 拟两类方法解决了随机波动率模型由于其均值方程的方差是一个潜在的、非直接 观测到的变量，不能直接得到模型的似然函数与模型无条件矩解释形式的问题。 从综合比较的结果来看，对于大样本而言，两种估计法的精度都很高，但是基于 w i n b u g s 统计软件实现的m c m c 方法需要建立马尔科夫链来实现后验分布，对于 运行环境的要求也更高；而e 删方法必须选择到合适的辅助模型从而计算出其密 度函数来建立矩条件，同时对程序编辑能力提出了更高的要求。此外，基于s v 模型分析中国股票市场的结果来看，中国股票市场的波动性具有相当高的持续 性；沪深股市较高的平均波动水平，说明我国股市存在很大的噪声交易；沪深股 市的扰动项系数与发达国家相比也还有一定距离。但是从总体来看，中国股市正 处在进一步完善的过程中。 关键词：期权，b s 模型，s v 模型，e 删方法，m c m c 模拟 北方工业大学硕士学位论文 a b s t r a c t i ti s n tc o n s i s t e n tw i t ht h ea c t u a l6 n a n c i a lm a 依e tt h a tw ea s s u m et h ev o l a t i l i t vb e ac o n s t a n ti nb sm o d e l a l l dt h et r u t ht h a tt h e “s m i l e ”a n d “s k e w e d ”e 行e c t so ft h e v o l a t i l i t yo ne x e r c i s ep f i c e 吼u 弋，ea r ei r n p l i e di no p t i o nm a r k e td a t ah a v ef b r t h e r p r o v e dt h a tv o l a t i l i 够i sr a n d o m s om a ts t o c h a s t i cv o l a t i l i t y ( s v ) m o d e li sp p o s e d i n t h i sp a p e r w h i c hi se x p a n d e dt h eb sm o d e l ，t h ep a r 锄勖e re s t i m a t i o no ft h es v m o d e la n di t sa p p l i c a t i o na r e1 e s e a r c h e d t h i sp a p e rh a se l a b o r a t e do nt h es vm o d e l ，a 1 1 dh a sm a i n l yr e s e a r c h e dt 1 1 e p 刮a m e t e re s t i m a t i o no fs vm o d e l 锄di t sa p p l i c a t i o ni ns h a n 曲a ia n ds h e n z h e ns t o c k m a r k e t s b a s e do nm ec l o s i n gp r i c ed a t ao fe v e wd a yf b m19 9 5 1o 2 6t o2 0 0 5 l2 3 0 ， t h ep a p e ru s em ee 佑c i e i l tm e t 】do fm o m e n t s ( e m m ) 狮dm a r k o vc h a i nm o n t e c a d o ( m c m c ) m e t h o ds u c c e s s m n yt 0r e s o l v et h eq u e s t i o n ，t h a tw ec 锄td i r e c t l v o b t a i nm el i k e l i h o o d 氕l n c t i o na n dt h eu n c o n d i t i o n a lm o m e r l to ft h es vm o d e lf o rt h e v a r i a n c eo ft l l ea v e r a g ee q u a t i o ni sap o t e n t i a la r l d 砌i r e c to b s e e dv a d a b l e a r e r c o m p 撕n g ，铆oe s t i m a t e dm e t h o d sh a v ev e 口伊e a ta c c u i a c yo nl a r g es a m p l e t h 砌【s t ow i n b u g ss o 胁a r e ，m c m ci u s tn e e de s t a b l i s hm a r l ( o vc h a i nt or e a l i z ep o s t e r i o r d i s t r i b u 【t i o n ，b u ti tr e q u i r e s 星r o o do p e r a t i n ge n v i r o 珈n e n t ：e m mn e e dc h o o s et h e p r o p e ra u x i l i a r ym o d e ls ot h a tw ec 锄c a l c u l a t ei t sd e n s i t y 向n c t i o n 锄de s t a b l i s h m o m e n tc o n d i t i o n s ，b u ti ta l s or e q u i r eg o o da b i l i 够t op r o 黟锄i na d d i t i o n ，t h r o u 曲 t h ea n a l y s i so fc h i n e s es t o c km a r l ( e tb a s e do nt h es vm o d e l ，t h ep e r s i s t e n c eo f v o l a t i l i t yi se 、，i d e n t ；t h eh i 曲e rl c v e lo fa v e r a 目ev o l a t i l i t vs h o wt l l a tt h e r ea r em a n y n o i s et l 独s a c t i o ni nc h i n e s es t o c km a f k e t ：a n dt h ec o e f f i c i e n to ft h ed i s n l r b a n c eh a v e ac e r t a i nd i s t a n c ew i t ht h ed e v e l o p e dc o u n t r i e s g e n e r a l l ys p e a k i n g ，c l l i n e s es t o c k m a r k e tw e l lb eb e t t e r k e y w o r d ：o p t i o n ，b - sm o d e l ，s vm o d e l ，e m m ，m c m c 1 1 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包 含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得j 量友王些太堂或其他 教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的 任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：两、真神审 签字日期：瑚8 年岁月易日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解j 匕友王些太堂有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅 和借阅。本人授权j 丝友王些太堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：敝捌千 签字日期：撕j 月z 6 日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 导师签名： 稚移 签字日期：西年月佣 电话： 邮编： 北方工业大学硕士学位论文 1 导言 1 1 选题背景及意义 2 0 世纪7 0 年代以来，随着美元的不断贬值，布雷顿森林体系崩溃，国际货 币制度由固定汇率制走向浮动汇率制，而利率、汇率、债券、股票等市场发生了 前所未有的波动，使得整个金融市场风险急剧放大，这迫使商业银行、投资机构、 企业等寻找可以避险、进行套期保值的金融工具，于是，各种各样的金融衍生工 具不断涌现，期货、期权等金融衍生工具也便应运而生。期权以其自身独特的特 性与功能赢得市场广大投资者的青睐。期权既是一种有效的避险手段，又是一种 绝妙的投机方法。自上世纪7 0 年代芝加哥期权交易所成立，美国首次进行场内 期权交易以来，期权市场得到突飞猛进的发展。现在，期权在世界各地的不同交 易所中都有交易。除了人们广为熟知的欧式、美式期权之外，还涌现出大量由标 准期权变化、组合、派生出的新型期权，如彩虹期权、篮子期权、路径依赖型期 权、回望期权、亚式期权等。这些新型期权的出现极大地丰富了金融衍生产品市 场，也使期权在金融领域变得越来越重要。 期权市场的蓬勃发展离不开1 9 7 3 年f i s h e rb l a c k 和m y r o ns c h 0 1 e s 在衍 生产品定价研究方面的重大理论突破，b l a c k 和s c h 0 1 e s 推导出了以无红利发放 为标的资产的欧式看涨期权和看跌期权的定价公式，该公式即是现在所熟知的 b 1 a c k s c h o l e s 公式。在b 1 a c k s c h 0 1 e s 公式中，假定标的资产的价格服从对数 正态分布，决定期权价格的参数包括标的资产价格、执行价格、无风险利率、到 期时间和标的资产的波动率。几何布朗运动被用来描述股票价格运动，虽然在期 权定价和其它理论中具有作用，但是几个布朗运动不具有标的资产收益的一些已 知统计特征，如高峰、波动集聚和长记忆性。众多的学者通过对b 1 a c k s c h o l e s 研究成果提出许多拓展的模型，从而达到了更好地描述资产收益分布的经验特 征。这些模型总体上分为两类心3 。：一类是单因素模型，包括方差不变弹性模型 和确定的波动率函数模型；另一类是多因素模型，包括跳一扩散模型和随机波动 率( s v ) 模型。 由于b l a c k s c h o l e s 模型应用十分方便，深受金融业内人士欢迎，但是其假 设波动率为常数与现实市场有一定的偏差，期权市场数据中隐含波动率关于执行 价格曲线的“微笑 和“偏斜 效应证明了这一点的存在。一个合理的解释是， 波动率不是常数而是随机的，这就产生了随机波动率问题。于是对 b 1 a c k s c h 0 1 e s 模型的方差进行修正，将波动率看作随机过程。s c o t t ( 1 9 8 7 儿钔 北方工业大学硕士学位论文 以及w i n g g i n s 和j b ( 1 9 8 7 ) 啼1 的实证分析已证实：这类模型可在某些情形下克 服隐含波动率的“微笑”与“偏差 效应，且根据该模型得到的欧式期权定价与 市场价格吻合程度更好。 作为b 1 a c k s c h 0 1 e s 期权定价模型的拓展模型叫v 模型，与a r c h 模型不 同，其精确似然函数很难得到。但是s v 模型与金融理论极其相符合，在研究金 融市场的波动性方面有着不可替代的作用。s v 模型与金融资产定价理论中扩散 过程有着直接的联系，假定时变方差遵循某种不可观测的随机过程，并不依赖于 过去观测值，因此，s v 模型估计的波动序列比a r c h 类模型更加稳定。此外，随 机波动性模型比a r c h 类模型可以更好地描述金融数据自身固有的尖峰性，以及 对长期波动性具有更好的预测能力阳儿 。s v 模型只是由于其估计的困难性才一直 没有受到重视，s v 模型估计问题的解决为金融领域将会带来重要的作用。 t a y l o r 隅1 在解释金融收益序列波动的自回归行为时提出的s v 模型可以较好 的拟合金融数据。因此，s v 模型已经成为国内外金融学家与计量经济学者们的 研究热点，随机波动的建模、估计以及应用都取得了丰硕的成果，而国内对这一 领域的研究并不是很多，特别是实证分析更是少有文献记载。 目前我国股票市场属于新兴股票市场，其价格的波动与成熟股票市场相比有 很多不同，股票市场的波动性有许多自己的特征。并且，如果中国股市股权分置 改革的深入进行，影响证券市场长期健康发展的制度性缺陷进一步能得到弥补， 更多的衍生产品亦有望现身中国证券市场。虽然衍生金融工具的开发在我国起步 较晚，规模也较小，但是，随着2 0 0 1 我国正式加入w t o ，意味着我国要直面全 球化挑战。而股指期货的即将推行也进一步证实了我国衍生产品交易种类和数量 的不断丰富。期权作为金融衍生产品市场的重要品种，其一些形态如可转换债券、 认股权证已经在我国存在，我国在不久的将来一定会出现期权。期权定价模型参 数估计的研究将会为期权在我国的推行奠定重要的基础，同时也有利于期权定价 模型在中国股市的应用研究。s v 模型对于进一步分析中国股票市场的波动意义 重大。 1 2 国内外研究综述 对于由随机过程描述的随机波动率模型，由于描述随机波动率的第二个扩散 方差无法取得观测值，故无法利用传统的统计方法得到该方程系数的估计。但这 类模型又恰恰是描述基础资产过程的较有效的工具。基于标的资产历史数据是离 散的，近些年来，随机波动率模型的估计问题主要针对离散型s v 模型而言，并 解决了随机波动率模型在实践上的困难，即由于均值方程的方差是一个潜在的、 2 北方工业大学硕士学位论文 非直接观测到的变量并且模型是非正态的，不能直接得到模型的似然函数与模型 的无条件矩的解释形式的这一难题，从而使s v 模型有了很大的发展。 h a e y 口1 和r u i ze ( 1 9 9 4 ) n 们提出了伪极大似然( q m l ) 估计法，a n d e r s e n ( 1 9 9 6 ) u 订 使用了广义矩( g 删) 估计法来估计s v 模型。但是，这两种方法都没有使用模拟技 术，而且估计的精度还待进一步提高。随着计算机的发展，利用模拟方法对s v 模型进行参数估计有了很大进展。例如，g a l l a n tar 和g e o g et ( 1 9 9 6 ) n 羽提出 了有效矩( e 删) 估计法，并指出了用它来估计s v 模型的有效途径。以及a n d e r s e n tg 和j e s p e rl ( 1 9 9 7 ) n 3 1 利用e 删估计法来估计s v 模型，从而利用s v 模型研 究了金融市场上短期利率变化行为。另一方面，在1 9 9 6 年，j a x q u i e r n 钔等人利 用马尔可夫链蒙特卡罗( m c m c ) 算法估计了s v 模型。在众多的s v 模型参数估计 方法中，对于小样本而言，e 姗较g 瑚效率更高，但不如m c m c 模拟技术；对于 大样本，e 删具有与m c m c 同样的效率，但是m c m c 实现较为困难。然而，e 删和 m c m c 这两种9 0 年代出现的参数估计方法在众多模型的估计中具有极其重要的优 势和作用，它们使模型估计成为可行，并达到了令人信服的精度。其三， f o u q u e ( 2 0 0 0 ) 等人n 司针对描述随机波动率的第二个扩散过程无法取得观测值， 即无法利用传统的统计方法得到该方程系数的估计。他们根据f o u q u e 导出的 o r n s t e i n - u h l e n b e c k 模型下欧式期权的渐近定价公式，给出了隐含波动率与模 型参数之间的关系，提出了结合期权市场价格对模型参数的估计方法。 随着国际上对期权定价模型及其参数估计的重视和国外学者对s v 模型参数 估计方法应用研究的逐步深入，国内也开始了这些方面的研究。期权在国内尚未 出现，期权定价模型及其参数估计的研究主要集中在理论研究及介绍国外学者的 先进研究成果上，并且基本上是基于标的资产价格的历史数据进行的参数估计和 应用研究。特别是应用e 删估计法进行金融实证研究的文献还不是很多。2 0 0 6 年， 吴启权等人口郇利用e 删方法对s v 模型进行了实证分析发现，时变的参数能够有效 地反映我国股市的动态过程，这一特性能够检验我国股票市场的政策效应现象， 并解释金融时间序列数据的“杠杆效应”。同年，周丽等人n 7 1 用随机波动率模型 研究中国金融市场上证交易所国债回购利率变化行为时，达到了估计的良好理论 效果。2 0 0 7 年，高驰等人n 8 1 基于有效矩估计在中国市场短期利率动态研究中进行 了实证分析，得出结果是s v 2 模型和s v 3 模型可以较好的描述短期利率的动态变化 过程，并且我国短期利率的水平效应较之于美国弱很多。2 0 0 2 年，苏卫东和张世 英n 町提出了一种基于禁忌遗传算法的伪极大似然( t s g a q m l ) 估计s v 模型，并利用 这种方法对上海故事收益进行了波动分析，发现上海股市的收益具有很高的波动 持续性。 基于成熟的软件包w i n b u g s ( s p i e g e l h a l t e r 等，1 9 9 6 ) ，利用s v 模型层次结 北方工业大学硕士学位论文 构的特点，采用贝叶斯分析中的增参数技术，国内使得m c m c 估计法的应用研究多 了许多。分别在2 0 0 3 年和2 0 0 5 年，王春峰等人啪儿圳通过基于m c m c 模拟的贝叶斯分 析方法，较好地估计了随机波动率模型中的参数与波动性序列。基于中国股市数 据进行的实证结果表明，与a r c h 类模型相比，s v 模型能更好地描述股票市场回报 的异方差和波动性的序列相关性。并且在2 0 0 5 年，王春峰等瞳2 1 人又基于m c m c 的s v 模型的贝叶斯分析表明，厚尾分布的随机波动性模型较正态分布的随机波动性模 型能更好地描述我国股市的回报与波动性的特征。黄大海，郑丕谔( 2 0 0 4 ) 基于 m c m c 方法对两类波动模型进行了比较，实证结果表明，无论从收益率序列峰度系 数的描述看，还是从平方收益率序列自相关函数的描述来看，s v 模型都优于a r c h 类模型。另外，在2 0 0 4 年，杨克磊等乜4 1 人在随机波动模型的沪深股市比较研究 一文中，运用r u i ze ( 1 9 9 4 ) n 叩提出的伪极大似然( q m l ) 估计法，对s v 模型进行了 参数估计，并根据结果比较得出上海股市比深圳股市的风险高，波动的持续性低。 1 3 本文的内容与结构 本文是在标准的期权定价模型，即b l a c k s c h 0 1 e s 模型的基础上，主要是对 其拓展模型一随机波动率( s v ) 模型进行研究。通过与a r c h 类模型比较，讨论s v 模型对于研究金融证券市场的波动性优势所在。采用有效矩( e 删) 估计和马尔可 夫链蒙特卡洛( m c m c ) 模拟技术两种方法对s v 模型进行参数估计。并根据上证指 数和深证a 指，利用s v 模型对中国股市进行了波动性分析。 本文章节安排如下： 第1 章，导言，阐述论文的选题背景及意义，并介绍了有关s v 模型及其参数 估计在国内外的研究现状。 第2 章，介绍了期权的基本概念、类别和性质，阐述了b 1 a c k s c h 0 1 e s 期权 定价模型及其拓展模型。 第3 章，较全面地介绍了随机波动率( s v ) 模型，包括连续形式和离散形式的 s v 模型，以及几类拓展的离散形式s v 模型，并详细地阐述了基于 s v 模型的贝叶斯分析原理。 第4 章，介绍有关s v 模型的几种参数估计方法，并详细地阐述了利用e 姗和 m c m c 估计法来对s v 模型做参数估计的原理。 第5 章，实证分析。分别利用e m m 和m c m c 方法估计了s v 模型，并分析研究 了沪深股市的波动性。同时对e 删和m c m c 两种估计法进行了比较研 究。 第6 章，论文结尾，对全文进行总结。 4 北方工业大学硕士学位论文 2 期权的基本知识及其定价模型 2 1 期权的基本知识 2 1 1 期权的基本概念 衍生证券也称衍生产品、衍生工具，是指一种价值依赖于其它标的资产 ( u n d e r l y i n ga s s e t s ) 的证券。常见的衍生产品包括远期( f o r w a r d ) 、期货 ( f u t u r e ) 、期权( o p t i o n ) 、互换( s w a p ) 。期权是最典型也是最常用的金融衍 生工具。下面给出几个主要的有关期权的概念： 期权( o p t i o n ) ：是指具有在约定的期限内，按照事先确定的“执行价格 买入或卖出一定数量的某种商品、货币或某种金融工具契约( 标的资产) 的权利。 期权交易把“权利 作为可自由买卖的商品，通过买卖期权合同来进行。期权实 际上是一种权利，是一种选择权，期权的持有者( 多头) 可以在该项期权规定的时 间内选择买或者不买、卖或者不卖的权利，他可以实施该权利，也可以放弃该权 利，而期权的出卖者( 空头) 则只负有期权合约规定的义务。 期权定价( o p t i o np r i c i n g ) ：期权作为一种衍生证券，它的定价决定于标的 资产价格的变化。由于标的资产是一种风险资产( 如股票) ，因此，期权的定价 变化是随机的。由此产生的期权价格变化也是随机的。但是一旦原生资产价格确 定下来，那么作为它的衍生证券的价格随之确定。这就是说，若在t 时刻原生资 产价格为墨、期权价格为z ，则存在确定的二元函数厂( s ，f ) ，使得z = 厂( s ，f ) 。 在期权到期同，期权的价值厅是确定的，也就是期权购买者的收益： ，一j ( s 7 一k ) + ( 看涨期权) ，o1 、 打一1 ( k s r ) + ( 看跌期权) 喵u 期权定价问题就是满足上式的二元函数厂( s ，f ) ，因此期权定价是一个倒向问 题。 执行价格( s t r i k ep r i c eo re x e r c i s ep r i c e ) ：是期权买方可以在未来一定 时间或某一时间内履行看涨期权( 或看跌期权) 合同的时候，买入( 或卖出) 标的 资产价格。场内期权的执行价格通常由交易所事先确定。 2 1 2 期权的分类 从不同的角度可以对期权做出多种分类。按照期权的定义可以分为两大类： 5 北方工业大学硕士学位论文 看涨期权( c a l lo p ti o n ) 和看跌期权( p u to p tio n ) 。看涨期权又称买入期权，指 期权的买方具有在约定期限内按照协定的价格买入一定数量特定商品的权利。交 易者之所以买入看涨期权，是因为它预期这种商品的价格在近期内将会上涨，如 果判断正确，按协定价格买入该商品并以市价卖出，则可赚取市价与协定价之间 的差额；如果判断失误，则损失期权费。看跌期权又称看跌期权，指期权的买方 具有约定期限内按照协定价格卖出一定数量特定商品的权利。交易者买入看跌期 权，是因为他预期该商品的价格在近期内将会下跌，如果判断正确，可以从市场 上以较低的价格买入该种商品，再按协定的价格卖出期权的卖方，将赚取协定价 与市价的差额；如果判断失误，将损失期权费。另外，还有很多其它的分类标准： 1 按照行权日期的不同进行的分类：欧式期权( e u r o p e a no p t i o n ) 和美式 期权( a m e r i c a no p t i o n ) 。 欧式期权：只能在期权的到期同行使权利，和欧洲没有任何关系。 美式期权：在到期f 1 以及到期日之前的任何时候都可以行使权利。因为美式 期权比欧式期权要有利的多，所以在其他条件相同时美式期权的权利金一般要比 欧式的高。 2 按照标的物的不同进行的分类( 1 ) ：商品期权( c o 舳o d i t yo p t i o n ) 和 金融期权( f i n a n c i a lo p t i o n ) 商品期权：指标的物为实物的期权，如农产品中的小麦大豆、金属中的铜等。 金融期权：指标的物为金融商品的期权，如股票期权、股指期权、利率期权、 外汇期权等。 3 按照标的物的不同进行的分类( 2 ) ：现货期权( p h y s i c a lo p t i o n ) 和期 货期权( f u t u r e so p t i o n ) 。 现货期权：标的物为现货的期权。 期货期权：标的物为期货合约的期权。 4 按照交易场所的不同进行的分类：场内期权( e x c h a n g e t r a d e do p t i o n ) 和场外期权( o v e r - t h e c o u n t e ro p ti o n ) 。 场内期权：像期货合约一样，在交易所上市并进行交易的期权，合约内容由 交易所事先制订好了。 场外期权：依据合约当事人间的协议在交易所以外的场所进行交易的期权， 比较自由灵活。 5 按照标的物价格和履约价格间的关系进行的分类：实值期权、平值期权 和虚值期权。 实值期权是指具有内在价值的期权。当看涨期权的执行价格低于相关期货合 约的当时市场价格时，该看涨期权具有内在价值；当看跌期权的执行价格高于相 6 北方工业大学硕士学位论文 关期货合约的当时市场价格时，该看跌期权具有内在价值。 平值期权是指当期权的执行价格等于标的资产的市价时，期权即处于平值状 态。平值期权实际上可以是期权处于略为价内或价外的状态。 虚值期权是指不具有内在价值的期权，即执行价格高丁：当时期货价格的看涨期权或者执 行价格低于当时期货价格的看跌期权。 2 1 3b i a c k s c h o l e s 定价模型 1 9 7 3 年，m e r t o n 2 5 1 和b l a c k s c h o l e s 啪1 用布朗运动和正态分布研究了不支付 红利股票的欧式看涨期权和看跌期权定价公式，即b l a c k s c h 0 1 e s 期权定价模型 ( 简称b s 模型) 。在b s 模型中蕴涵着一个极为深刻的思想，即意识到期权的风 险实际上在标的物的价格及其运动中就得到了反映，而且标的物的价格还反映了 市场对未来的预期。b s 期权定价模型基于如下的假设： a ) 资本市场是无摩擦的，完全的，即无税收、无交易成本、无卖空限制、 资产能无限细分等； b ) 无风险利率为常数； c ) 股票不分红； d ) 标的资产价格变化遵循对数正态分布的随机过程。 那么，期权定价公式为： r p 。= s ( d 1 ) 一x p 一盯( d 2 ) ( 2 2 ) l p ，= 爿。一一( 一d 2 ) 一s ( 一d 1 ) ，一1 n ( s x ) + ( ，- + o 5 仃2 ) f 其中， 1 盯f ，d 22d l 一盯f 。 s = 股票的现行价格：x = 看涨期权的协定价格：r = 瞬间无风险利率：t = 距 到期同所剩的时间( 用年的部分表示) ：盯= 股票价格的标准差：n ( ) = 累积正态 分布的函数。 在b l a c k s c h 0 1 e s 公式中，其中有四个是可以从市场中直接观测到的：股票 价格s 、敲定价格( 即执行价格) x 、利率r 和距到期日的时间t ，只有一个参数 必须估计：股票价格的波动率( 即方差) 盯2 。实际从业人员能以某种确定的方 式从期权价格推出波动率，也可以从波动率推出期权价格。 自b s 期权定价模型以来，众多的研究者通过对m e r t o n 和b 1 a c k s c h 0 1 e s 研究成果的拓展来更好的描述资产收益分布的经验特征。就b s 模型假设出发， 基本的推广有以下几类： 7 北方工业大学硕士学位论文 ( 1 ) 标的物股票支付已知红利的情况、具有已知的红利率的情况、或者分红 股票美式买权的情况； ( 2 ) 波动率是随机波动情况； ( 3 ) 跳跃式的价格变化情况： ( 4 ) 跳跃式的价格变化和波动率随机波动相结合的情况。 北方工业大学硕士学位论文 3 随机波动率( s v ) 模型介绍 3 1 金融数据的特征 对于一般金融时间序列数据的收益，它的经验分布不同于一般j 下态分布独立 抽样得到的分布，一般而言，金融数据具有下列特征： ( 1 ) 收益分布具有“尖峰厚尾”的特性。一般标准正态分布的峰度为3 ，而 金融时间序列数据的收益分布一般又远高于3 的峰度，其尾部的概率也 较标准正态分布大，这个特点是由于金融市场的风险较大导致的，对于 极端数据，出现的概率要远大于一般的正态分布。 ( 2 ) 有明显的聚集性和序列相关性的特点：收益序列在有的时期波动很大， 而有的时期波动却很小，往往大的波动之后，股票价格持续保持这种趋 势，波动仍然很大，而在小的波动期之后，股票价格保持稳定，波动仍 旧很小，即存在波动的聚集性。 ( 3 ) 呈现出明显的自相关性，有时尽管回报本身不相关，但是它们的平方序 列是自相关的，并且平方收益序列的自相关性比回报序列的自相关性要 显著的多。 ( 4 ) 具有明显的杠杆效应。金融市场尤其是股票市场，价格运动与波动性是 负相关的，也就是说，负的回报要比正的回报导致更大的条件方差，回 报越低，条件方差反而越大。这主要是因为：在股票市场看好的时候， 头寸持有者相对来说并不急于抛出手中的资产，而未持有头寸的交易者 相对来说也不愿意在高价买入头寸，因此价格波动并不是很大；在股票 市场看跌的时候，头寸持有者急于抛出手中的资产套现，而未持有头寸 者对进入市场心存疑虑，因此，交易价格涨跌剧烈，表现为条件方差较 大。 ( 5 ) 具有持续记忆性。即是收益序列的绝对值、平方收益或其他次幂高度相 关，同时条件方差过程的扰动有很大的持续性。 3 2 s v 模型的背景和意义 金融学中，几何布朗运动被用来描述股票价格运动，虽然在期权定价和其它 理论中具有有用的作用，但是几何布朗运动不具有股票收益的一些己知的统计特 征，如高峰、波动集聚和长记忆性。为了反映这些特征，现在出现了随机波动率 9 北方工业大学硕士学位论文 模型、跳跃扩散模型、随机波动加跳跃模型以及时变列维过程。 在金融风险的研究中，很重要的一个领域是测量金融风险的波动性。波动性 是指资产收益的方差随时间不断变化，这在计量经济学中称之为异反差问题。许 多高频的金融时间序列都具有异反差现象。资产收益的波动在许多金融实践中扮 演着关键性角色，它是资本资产定价、期权定价、风险管理和投资组合理论的一 个重要变量。一方面波动性与市场的不确定性和风险直接相关，是体现金融市场 质量和效率的最简洁和最有效的指标之一；另一方面波动性对企业的投资与财务 杠杆决策，消费者的消费行为和模式，经济周期及相关宏观经济变量等都具有重 要影响。资产收益的波动具有时变和集聚( v o l a t 订i t yc l u s t e r i n g ) 等特点，现 在用来刻画这些特定的主要有随机波动率模型和a r c h 类模型。 e n 9 1 e 、b 0 1 l e r s l e v 等汹1 提出的a r c h 类模型采用时变的条件方差来捕捉 价格波动的时变性和序列相关性，但由于a r c h 类模型将条件方差定义为过去观 测值的平方项和前期条件方差的确定性函数，条件方差的估计与过去观测值直接 相关，因此当存在异常观测值时，估计的波动性序列不是很稳定。另外，a r c h 类模 型对于长期波动性的预测能力较差。相对于a r c h 类模型出现的不足，t a y l o r 提 出了随机波动性( s v ) 模型，s v 模型与金融资产定价理论中扩散过程有着直接的 联系，假定时变方差遵循某种不可观测的随机过程，并不依赖于过去观测值，因此 其估计的波动性序列比a r c h 模型更加稳定。此外，随机波动性模型比a r c h 模 型能够更好地描述金融数据自身固有的尖峰性。大量实证研究表明，随机波动性 模型比a r c h 模型能更好地描述金融数据的特性，特别是对两个模型预测的均方 误差和s c 信息指标的比较以及模型的残差分析发现，随机波动性模型比g a r c h 模型具有更好的预测能力，尤其是对长期波动性的预测。s v 模型可以很好地描述 中国股票市场的波动集聚( v 0 l a t i l i t yc l u s 血g ) 效应和波动持续( v 0 l a t i l i t yp e r s i s t e n c e ) 现象。 3 3s v 模型的概述 在早期的统计学和经济计量模型中，人们一般假设金融产品的波动是固定不 变的。做这个假设不仅是为了计算上的便利，更重要的是为了能应用传统的稳定 随机过程的理论和模型。但是实践发现，这种假设并不符合实际，随着研究的深 入，波动被认为不仅是时变的，而且是可预测的。 随机波动率模型具有数理金融学和金融计量经济学的双重根源，其起源于期 权定价理论。在b l a c k s c h o l e s 期权定价公式中标准差仃为定值的假定是不符合 实际的，h u l l 和w h i t e 汹儿剐对欧洲期权定价感兴趣，把s v 模型引入期权定价模 l o 北方工业大学硕士学位论文 型，研究了标的资产服从连续时间s v 模型的欧式期权定价问题。他们假定基础 资产收益是连续时间随机波动模型，并对具有波动的基础资产提出了一种扩散表 达式，其中波动服从一个正扩散过程；另一方面，t a y l o r 在1 9 8 6 年提出了一种 离散时间的s v 模型来刻画金融市场中的有关波动问题，来解释金融收益序列波 动的自回归行为。 可见，s v 模型非常符合金融理论，是测量金融风险波动性的一个重要模型， 同时，s v 模型在金融分析、金融预测等方面有着广泛的用途。作为a r c h 类模型 的替代，s v 模型是由一个不可观测的随机过程决定的，其更适合于金融领域的 实际研究。s v 模型及其扩展模型都常用来描述和解释金融时间序列误差的方差 或波动随时间变化的行为。 3 3 1 连续形式的s v 模型 金融商品价格的波动司。通过它的一阶差分条件方差来刻回，金融商品价格的 变化通常是一个带漂移的维纳过程，即= 斫+ 6 ( f ) w f ，其中口为漂移参数， w ，f o ) 是维纳过程，写成微分形式为妒= 口矾+ 6 ( f ) 机，这是一个 o r n s t e i n u h l e n b e c k ( o u ) 随机微分方程的形式，也就是我们所说的i t o 过程。 由i t o 过程可得价格的动态变化的方程，即连续随机波动率模型： d p l | p t = pt d t + h t d w t 砌，= 弘办+ 万，d 形 ( 3 1 ) d w t d wt = pt d t 其中办，是一个服从扩散过程的潜在变量，它决定波动的动态过程，红为单 位时间价格的瞬态条件方差；以为单位时间价格的瞬态条件期望变化率； 形，f o ) 与 形，f o ) 为标准布朗运动，且c d l ，( d 彬d 彬) = 肛出。 3 3 2 离散形式的s v 模型 上述i t o 过程的离散近似形式为纰尸= 口+ q w ， w ，f o ) 为标准 的布朗运动，所以可以得出结果：金融商品价格p 是服从对数正态分布的。令 口，= l o g = + 伊，u f ，其中= ( 口，一) 仃，是一个( o ，1 ) 标准正态分 布过程，且u 与q 独立，q 是j 下的随机变量序列，盯产= 玩厂( 口，l 口f _ l ，) 反 北方工业大学硕士学位论文 映了金融商品价格的波动率，将q = + q u ，称为乘积过程。 于是，我们描述金融随机变量的离散随机波动率模型为： 厂yf = 仃f g f ，t ( 0 ，1 ) 一 ( 3 2 ) ll o g ( 矿) = 口+ 万l o g ( 仃三1 ) + w 7 7 ，7 7 ，( o ，1 ) 其中，t ( 1 ，t ) ，t 是观测值的数目，y ，是标的资产的对数收益率；变量盯，是 随机波动率，它是一个不可观测到的潜在变量。参数口代表平均波动性；万为持 续性参数，它反映了当前波动对未来波动的影响程度，当例 l 时，模型是协方 差平稳的；而w 参数度量了波动扰动的标准误差。并且模型中，占，与7 7 f 是相互 独立的标准正态分布。我们称上述离散随机波动率模型为标准的s v 模型。 在标准的s v 模型中，误差过程都被假定为j f 态分布，收益为一零均值，无 自相关的平稳过程。需要估计的参数向量为p = ( 口，万，叻。 3 3 3 离散形式s v 模型的几类拓展 t a y l o r 的s v 模型随后又进行了各种各样的拓展，这些拓展的s v 模型主要包 括：厚尾s v 模型、具有杠杆效应的s v 模型、a r m a s v 模型等等。 ( 1 ) 厚尾s v 模型 金融收益序列常呈现出两个特征：一是分布上的“高峰厚尾”，二是平方收 益的长记忆性。标准的s v 模型假设不能同时描述这两个特征。但是近年的研究 表明b 帅刳，当占，为厚尾分布时，s v 模型能更好地描述时间序列的厚尾性和波动 持续性等特征。如下面两种形式的厚尾s v 模型。 ( a ) s v t 模型： 厂yf = 仃f s f ，q 芒( 0 ，1 ，1 ，) 之 ( 3 3 ) ll o g ( 盯? ) = 口+ 万l o g ( 盯三1 ) + w 7 7 ，7 7f ( o ，1 ) 即：q 不再服从正态分布，二是服从0 均值，单位1 方差、自由度为w 的t 分布。 ( b ) s v s f 模型： 【yt=6 t st ( 3 4 ) l l o g ( 盯j 2 ) = 口+ 万l o g ( 仃三1 ) + w 仇，7 7f ( o ，1 ) 1 2 北方工业大学硕士学位论文 此时，假定q = 动，“，n ( o ，1 ) ，并且丑服从倒数g a 姗a 分布，且 p ( 五1w ) o c1 ( # + 。e 一云) ，或者丑粥( w 2 ，2 w ) 。 ( 2 ) 具有杠杆效应的s v 模型 在标准的s v 模型基础上，我们引入q 与7 7 ，的相关系数，就可以得到下面 的具有杠杆效应的s v 模型，即 厂y f = 仃f 占f ， t = 1 ，2 ，n ( 3 5 ) l l o g ( 盯? ) = 口+ 万l o g ( 仃三1 ) + w 7 7 ， t = l ，2 ，n 1 鼽脚。 上式中隐含着一个关于y ，和l o g ( 盯三。) 的二元正态分布，把这个二元的正态密 度表达成y ，的条件密度与l o g ( 盯三。) 的条件密度的形式，令j l l ，= l o g ( 盯? ) 则具有杠 杆效应的s v 模型收益和波动的条件分布可以表示成： 吃+ 。i 绣，口，万，w ) ( 口+ 现，们 少，l 忽+ l ，死，口，万，w ，尸) ( 3 6 ) ( p p 以7 2 ( 办，+ 1 一口一锄，) w ，p 以( 1 一p2 ) ) 这两个条件分布分别描述了杠杆效应s v 模型的状态和观测方程中波动和收 益的分布。 ( 3 ) a r m a s v 模型 从3 2 1 的标准s v 模型和其推广形式可以看出 l o g ( 砰) = 口+ 万l o g ( d 三1 ) + w 7 7 ， ( 3 7 ) 实质上是一个a r ( 1 ) 模型。于是，我们将上面的a r ( 1 ) 模型自然地推广 为a r m a ( 1 ，1 ) 模型，定义如下： 厂yf = 仃f g f ，g f ( 0 ，1 ) 一 ( 3 8 ) l l o g ( 盯? ) = a + 万1 0 9 ( 畦1 ) + w 7 7 ，+ 秒刁，_ 1 ，7 7 ，( o ，1 ) 我们甚至可以改变毛与7 7 ，的条件，从而不服从正态分布，并且把毛与刀， 北方工业大学硕士学位论文 具有相关性考虑在a r m a ( 1 ，1 ) 一s v 模型中。 3 4s v 模型的贝叶斯分析 分析标准的s v 模型，在模型中的参数向量为p = ( a ，参，w ) 。采用贝叶斯分 析中的增参数方法，将潜在的波动序列；= p r ) 乙增加为要估计的参数，因此， 参数个数总计为( 4 + t ) 个。可将模型看成由层次结构的条件分布组成： ( x ri ；_ ，p ) ，厂( ip ) ，厂( p ) 。厂( x ri ；，p ) 的含义是指在波动性过程 和参数给定情况下，样本的条件密度；厂( ；i 户) 是对波动性过程的一个先验的 信息，采用了标准s v 模型的对数正态a r ( 1 ) 过程；而厂( p ) 反映了波动性模型 参数的先验分布，p 的先验信息选择要保证l n ( 仃? ) 是平稳过程。( ；lp ) 为；- ， p 的联合先验分布，则 厂( ； ，p ) = 厂( p ) 厂( ；ip ) (