（应用数学专业论文）一类二维微分系统奇异解的存在性和渐近性.pdf

摘要 奇异初值问题在应用中的地位越来越重要，近些年来，数学工作者开始系统地研究 这类问题本文主要来总结综述一阶二维非线性e m d e n f o w l e r 微分系统 的奇异解的存在性和正则解的渐近性其中九 0 0 = 1 ，2 ) ，吼( ) 0 0 = 1 ，2 ) ，函 数口t ( ) 在区间 o ，+ 。) 上连续 关键词：二维系统；奇异解；存在性；渐近性 让 让 佗 n 9 g 口d z s s i 2 入 入 2 l 让 、l，、， 舌 t ，if m 们 = = ，1 ，2 让 u ，ii-f、【 ab s t r a c t t h et w o d i m e n s i o n a ld i f f e r e n t i a l8 y 8 t e m i sc o n s i d e r e du n d e rt h ea 8 s u m p t i o n st h a ta f ( i ( 1 ) = 1 ，2 ) a r ep o s i t i v ec o n 8 t a n t sa n d 啦( t ) ( t = 1 ，2 ) a r ep o s i t i v ec o n t i u o u sf u n c t i o n 8o n 【o ，+ o 。) h e r e ，t h ee ) d 8 t e n c eo ft h es i n g u l a rs o - l u t i o na n dt h e 韵y m p t o t i cp r o p e r t i e so ft h er e g u l a r l u t i o na r ee 8 t a b l i s h e d k e yw o r d s ：t h et w m d i m e n 8 i o n a ld i f f e r e n t i a l ls y 8 t e m ；s i g u l a rs o l u t i o n ；e x i s t e n c e ； a 8 y m p t o t i cb e h a i o r i i u 竹 n 9 g s s 1 2 2 l 乜 让 、_，、-， ，l，l l 2 8 8 = = ，1 ，2 ，i-i，、i_一一 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 一一生! 鱼 日期： 如瑚tn 硪 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：东 北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论 文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 丕丛一一 日期：鱼盟! 逃 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 指导教师签名：逖 日 期：丝监! 箩 电话： 邮编： 东北师范大学硕士学位论文 1 引 言 长期以来人们讨论最多的奇异方程是e m d e n f o w l e r 方程，它最早出现在天体力学 的研究中早在1 8 6 8 年，在研究天空形体的大气云球的平衡结构时，文【1 5 】考虑特殊 的e m d e n f b w l e r 方程，即所谓l a n e _ e m d e n 方程随后，在气体力学、流体力学、核物 理和化学反应系统等许多领域中相继出现了e m d e n - f c l w l e r 方程( 参见文【1 6 1 7 ，1 8 1 及其 参考文献) 近几十年来，奇异方程形式由e m d e n f o w l e r 方程发展成各种各样，方程 的奇异性不仅仅产生于自变量也产生于因变量同时奇异方程的应用越来越广泛，例 如天体力学中的n 体问题、边界层理论、反应扩散理论、非n e 毗o n i a n 流理论等等其 研究方法大多数是利用摄动技巧通过正规方程的解进行逼近，并利用锥不动点定 理、l e r a y s c h a u d e r 不动点定理等得到许多一般性结果( 参见文1 1 1 4 】) 等总之，奇 异方程已经成为常微分方程中的一个重要的分枝国内学者主要针对非线性二阶常微 分方程来研究，关于初值问题解的存在性的最基本结果是应用不动点定理和逼近方 法，研究二阶非线性奇异初值问题 3 ，( t ) = 矽( t ) ，( 亡，可( 亡) ，y 7 ( t ) ) ，o 亡1 ，掣( o ) = 箩7 ( o ) = o 正解的存在性，获得了若干新结果( 参见文f 1 】【2 1 ) ，文【1 1 】利用锥上不动点理论，借助 于r p a 夕卯叫口z 和d d 7 r e 夕o n ( 参见文【1 9 】) 的方法研究了一维p 一印f o 西o n 奇异初值问 题 i 却( u ，) 】7 = ，( 亡，u ，) ，o o ( 蕾= 1 ，2 ) ，函数o ( 亡) 在区间【o ，+ o 。) 上连续 根据文【2 2 2 8 】有，若a 1 a 2 1 ，系统( 1 ) 没有第一类奇异解；若a 1 a 2 o ， 亡t o 系统( 1 ) 的定义在区间【，+ o o ) 上的一个非平凡解称为第一类奇异解，若存在 亡1 ( 亡o ，+ ) ，有l 乱l ( ) i + i u 2 ) l 三o ， t 1 系统( 1 ) 的定义在区间【t o ，t 1 ) 上的一个解称为第二类奇异解，若存在t 1 勘2 ( 如) ，则存在定义在 南，亡) 上的非负，不减函数e 1 ( 亡) ，如( t ) ，使得对 于t 亡o ，亡1 ) ，有 “1 ( 亡) 一 1 0 ) = u l ( t o ) 一u 1 ( 亡o ) + 1 ( 舌) 毗( t ) 一啦( 亡) = u 2 ( t o ) 一 2 ( t o ) + 2 ( 亡) 定理2 2 假定a 1 a 2 l ，【亡l ，t 2 】c ，+ o o ) ，函数o ( 亡) 在眵l ，亡2 连续，非负，且有 n ( 丁) 打 o ， t l t o o ， 亡亡o( 2 1 ) 则存在多个，y 伽了( 对于7 = 7 ( ，y = 7 ) 来说，( 1 ) ( 2 ) 的解u 1 ( 厶7 ) ，“2 ( 亡，7 ) 可以看 作是一个下解( 上解) ) 使得( 1 ) ( 2 ) 的满足7 隹，- 】的解让( 亡，7 ) ，“2 ( 亡，y ) 是第二类奇异 解；而对于7 的其它值，解是正则的 若u l o = o ，则u 1 ( 亡，帕) 兰o ，乱2 ( 亡，伽) 三o ； 若u l o o ，则让l ( t ，伽) ，u 2 ( t ，伽) 为( 1 ) ( 2 ) 满足u l ( 亡，拍) o ，“。( t ，伽) o ， 亡 o 的唯一解 若，y 0 ，且是不减的对于，y 。 g = 1 ，2 ) 同时有 蛐咄嘲r 以材1f w 州丁肌。 ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) 则对于( 1 ) ( 2 ) 的一个解饥l ( t ，y ) ，让2 ( 亡，7 ) 来说，存在某个亡1 ( 亡o ，+ t ) 使得u l ( t ，y ) = o 我们介绍一个，y 值的集合，满足u 1 ( 亡，7 ) 与亡轴相交，显然这个集合不空且有上 界令伽是它的最小上界下面应用反证法证明了舶 0 这里是通过先构造两个等度 连续且一致有界的函数列，再说明它们的一致收敛性，最终得出与已知矛盾这样， 5 rd 力 2 口 t 厂厶 沁加 一 撕( t l ，伽) ，对于亡0 t t o ，有2 ( 1 ，7 0 ) = o 札1 ( 舌l ，7 0 ) ，对于t o 亡 o ，札2 ( t ，7 ) 7 0 时，再 由定理2 1 知，存在c o ，当t t o 时，有一乱2 ( t ，伽) c ，因此有1 i 聘仳1 ( 亡，7 0 ) = 一o o ，这 t + 也是不可能的 下面证明对于充分大的m ，( 1 ) ( 2 ) 的解“1 ( t ，y ) ，u 2 ( ，7 ) 是第二类奇异解令8 ( t ) = m i n 0 1 ( 亡) ，0 2 ( 芒) ) ，我们有m e d 8 u r e t 【亡o ，+ o 。) ，o ( t ) o ) o ，因此存在区间p l ，亡2 】c 【如，+ o 。) ，当亡1 o ，根据定理2 2 ，当肚满足( 3 ) 时，问题( 4 ) ( 5 ) 有 一个第二类奇异解 令u 1 ( 亡，7 ) ，乱2 ( 舌，7 ) 是( 1 ) ( 2 ) 的一个解，其中7 我们证明它是第二类奇异解对 于这个解来说，或者存在+ ( 亡。，t 1 】，有趣u 1 ( t ，7 ) 2t 墼毗( 亡，7 ) = + o 。，或者这个 解定义在，亡1 ，有1 ( 亡，7 ) o ，u 2 ( 亡，y ) 川，第一种情形的奇异性根据定理2 2 是 明显的，第二种情形，根据微分不等式引理( 文酬) ，存在矿( 亡i ，岛】，有。鹭锃t ( 亡，1 ) = 磬u 2 ( 亡，7 ) = + o 。，这样我们得到一个第二类奇异解- 现令乱t ( 亡，7 ) ，珏2 ( ，7 ) 是( 1 ) ( 2 ) 的一个解，同时7 满足式子( 2 5 ) 和不等式 一缸+ r 7 一i p i 一器 a 2 ( 下) 打( 2 1 0 ) 6 东北师范大学硕士学位论文 其中t 同( 2 3 ) 中的取法上面已经证明过存在某个t 1 ( z o ，t o + t ) 使得“1 ( t ，7 ) = o 下 面证明u 2 ( 亡1 ，y ) 一川事实上，由( 1 ) 和( 2 1 0 ) ，有 ，i 幻p “+ t 地 1 ，y ) = ，y + n 2 ( 丁) i 让l ( 7 ，y ) i 沁d 7 _ 伽的最大下界，其中，y 使( 1 ) ( 2 ) 的一个下解让1 ( t ，y ) ，钆2 ( 亡，y ) 成 为分量趋于+ o 。形式的第二类奇异解，同时令7 是使得集合7 o 所决定的第二类奇异解同时有u 1 ( t ，7 ) ，u 2 ( ，y ) 是( 1 ) ( 2 ) 的一个下解若伽 移2 ( 扩，y 1 ) 因此由引理1 说明， 对于所有的亡 亡+ ，u 1 ( t ，y ) 口1 ( 亡，饥) ，“2 ( t ，7 ) u 2 ( t ，y 1 ) 这说明u 1 ( t ，7 ) ，u 2 ( t ，7 ) 是第 二类奇异解，这与7 的定义相矛盾同理我们可证( 1 ) ( 2 ) 的一个上解让1 ( z ，7 ) ，让2 ( 右，y ) 是 正则的 由定理2 1 ，若2 ，y o ( 2 1 1 ) 凼此 眦，训冲2 m ，计州丁) 打 ( 2 1 2 ) 于是有。1 让1 ( 亡，7 ) = 一o 。令伽 ，使得u 2 ( t 1 ，y ) o 且亡 亡l 时，式子( 2 1 1 ) 成立，这样( 2 1 2 ) 成立， 于是l i mu 1 ( 屯7 ) = + ，至此定理证毕 + 十 东北师范大学硕士学位论文 定理2 4 若a l a 2 o ，且 熙2 j ( t ) o( 2 “) 口l ( 亡) 二。、。7 。 、。 其中6 ( 亡) 是连续的，则对于充分小的钍，o 来说，解札l ( 拍) ，札2 ( 亡，伽) 是第一类奇异解 定理2 4 的内容由以下方法得到解t ，( t 伽) ，钆2 ( 芒，帕) 的存在性和唯一性以及式 子( 2 ，1 3 ) 的证明同定理2 3 下面证明若对于t ( t o ，+ o o ) ，有式子( 2 1 4 ) 成立，则( 1 ) 有一个解面l o ) ，砚( 亡) 使 得面l ( t ) = _ 2 ( t ) = 0 ，且当如t o ，砚( t ) o ，有 兴尝如如兰古t 1 + a 2口1 ( 亡) 一1 ”一一 根据式子( 2 “) ，上式是可能的我们下面考虑( 1 ) 韵由初始条件u 1 口，一) = o ，钍l ( t ，一) = 一e ( 其中 o ) 所决定的解札l ( 亡，一) ，珏2 ( 亡，一e ) 在t 的某一个左邻域有u 2 ( t ，一) o 下面采用直接推理的方法证明了，对于o 孟r ，有不等式 其中 同时有 i “2 ( 亡，一e ) i r ( t ) h 也叫i z r 州打 踯) = p ( 1 山m ，t0 2 ( 丁) ( 卜( 8 ) 妒打 南 ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) l 私2 ( 芒，一5 ) 1 1 + 1 s 1 + 1 + c l 珏1 0 ，一) 1 1 + 2如舌 使得乱1 ( t 1 ，伽) = 1 ( 亡1 ) ，且当亡 t 1 时，u 1 ( t ，伽) 钞l ( t ) 适当选 取t 2 t 1 有让i ( 亡2 ，伽) 秒i ( 芒2 ) 这样的数t 2 是存在的，假设不存在，则对于t 亡1 ， 有u ：( 亡，伽) u i ( t ) ，将它从亡1 到t 积分，会得到1 ( 亡，伽) 秒l ( 艺) ，矛盾根据( 1 ) ，有 0 1 ( 亡2 ) i 钍2 ( t 2 ，y 0 ) i a l s i 夕n t 正2 ( t 2 ，y 0 ) 口l ( t 2 ) l u 2 ( 亡2 ) i a l s i 9 佗u 2 ( t 2 ) 由于0 1 ( 亡) o ，以及函数， ) = 蚓鲥夕扎z 的单调增加性，有u 2 ( 舌2 ，伽) u 2 ( z 2 ) 又因 为u 1 ( 亡2 ，伽) ”1 ( t 2 ) ，根据定理2 1 ，得出 。旦巴u 2 ( 亡，饷) 2 。羔( 钍2 ( t ，伽) 一观( 亡) ) o 这与u 2 ( 亡，伽) o ， 亡相矛盾这样就完成了定理的证明 9 东北师范大学硕士学位论文 3 正则解的渐近性质 在这一部分也有两个定理( 参见文【1 8 】) ，若没有特殊说明，我们都假设 厂州伽，厂0 2 ( 帅 i 叶十卜h o o o 的条件 定理3 1 为了得到 t 墨牡1 ( t ，伽) = c l o ( 3 1 ) 条件 厂n l ( t ) ( 佃以枷) + o o ( 3 2 ) 是必要的，对于a 1 入2 1 ，它也是充分的若a 1 入2 1 ，同时有 + o 。( t ) ( + n 2 ( r ) 打) a 1 出 o ( 3 7 ) 其中7 7 0 ( 7 垃，伽) u ( 仙，_ 】，当a a 2 1 时) ，条件 z + 0 。2 ( 砷( z 。n ( f ) d 丁) 如斑 1 ，且有式子( 3 8 ) 成立， 则( 1 ) ( 2 ) 有一个解l ( ，7 ) ，乱2 ( 舌，7 ) 满足式子( 3 7 ) 进一步地，若芒岛时，有8 1 ( i ) o 且 是连续的，则有 眦，训= 谤+ 0 ( 1 ) 】，n ，( f ) d r ( 3 9 ) 定理3 2 的内容由以下方法得到( 必要性) 首先根据定理2 3 我们有，当7 仙，且t 亡l 时，( 1 ) ( 2 ) 的解1 ( 亡，y ) ，乱2 ( 亡，7 ) 满足不等式u l ( t ，7 ) u 2 ( 亡，7 ) o ， 其 中亡l 充分的大这样由( 1 ) 得到，当亡亡- 时 l 让l ( 舌，们j = n 1 ( t ) i u 2 ( t ，7 ) l i 乱2 ( t ，们1 7 = 眈0 ) l 1 ( t ，7 ) i 。( 3 1 0 ) 根据( 3 1 0 ) 的第一个式子，当亡t 1 时有 眦川姒九计r 叭r ) 打 于是，再由( 3 1 0 ) 的第二个式子，得到 硎剖叫札训m 2 r 吲丁) ( 州州s 产打 根据这个不等式，若( 3 7 ) 成立，则必有( 3 8 ) 成立 ( 充分性) 假定式子( 3 。8 ) 成立根据式子( 3 1 0 ) 有 雠一l _ | 地训+ r 嘶忡陬川i + 州圳咖川1 叫h 打 东北师范大学硕士学位论文 ( m 删+ r 口小) 怖川1 d s ) 沁 s2 址1 | u 1 ( 札7 ) 1 。+ 2 妒1 ( 凸1 ( s ) i ( s ，7 ) s ) 沁 ，t 1 而 ，r，丁 o l ( 5 ) i “2 ( s ，y ) i ，d s = l 2 ( r ，7 ) l - o l ( s ) 出+ ( i 扎2 ( 亡l ，7 ) l k 一| 2 ( 丁，训h ) ，t 1，n r 州s ) d s 喇下朋pr 州州s 故有 ，下 ( j 札1 ( 轧7 ) f + d - ( 8 ) ( 8 ，y ) p d s ) k s2 枷1 i 1 ( 亡1 ，7 ) 产 ，1 产f + 2 枷1i 札2 ( 一，y ) p 。( 口。( 8 ) d s ) ： j t l 哪i l 让2 m m i + 2 沁一1 m - 川prn 2 ( r ) 打 柑2 1 r 畎r ) 惭，训2 ( r 口1 ( s ) 舻打( 3 - 1 1 ) 在式子( 3 + 1 1 ) 两边同除以i 扎2 ( 芒，7 ) i ，h ，就会得到 “2 ( 亡，7 ) 1 1 - 。i 2 ( t ，y ) p 2 似t 1 ，7 ) i + 2 沁- 1 i 1 ( 右l ，训 。口2 ( r ) 叫 ，- f t ，l + 2 培1 凡( 丁) ( 厂1 酬幽) 。打 + 2 如一- j ( ，口2 ( 丁) ( j ( 。酬幽) 也打 若 - a 2s1 ，根据上面不等式以及式子( 3 8 ) 就会得到式子( 3 7 ) 为了得到式子( 3 9 ) ，只 须应用洛比达法则 。当m 圯7 ) i z 2 叭丁) 叫= 。撬i 札雌- ，训n 1 = 弓1 为了完成定理的证明，下面我们证明当a a 2 1 时，( 1 ) ( 2 ) 的一个上解( 下解) 满足 式子( 3 7 ) ，其中7 一舶 o ( 7 一伽 o 下面证明，对于这样选取的7 来说，( 1 ) ( 2 ) 的 解钍l ( t ，y ) ，“2 ( ，y ) 是正则的，且满足式子( 3 7 ) 不等式( 3 1 1 ) 在t 。的右邻域明显成立， 因此有 i t 2 ( t ，1 ) isc + 2 抽一1f 2 一) i 札2 ( r ，y ) i - ：( ! - 下。1 ( s ) d s ) 沁d 1 - ，t 1 j n 其中的c o 的取法同式子( 3 1 2 ) ，因此在取定的亡l 的右领域有 k 训! p 沁叫一卜1 ) r 叫r ) ( r 州s ) d s 广打 - 1 “h 沁- 1 应用( 3 1 2 ) ，这个不等式证明了所考虑的解是正则的因此，对于所有的解式子( 3 1 0 ) 成 立，且是正则的这就证明了对于亡t l 的解式子( 3 1 0 ) 成立，最后的不等式 在【亡1 ，+ o 。) 成立，从式子( 3 1 2 ) 就会得到式子( 3 7 ) 这样我们就完成了定理的证明 1 4 东北师范大学硕士学位论文 4 展 望 奇异微分方程是微分方程的一个重要领域，它在物理、天文、应用数学等领域有 其深刻的背景，一直受到国内外学者的关注目前，国内对二阶奇异初值问题的正解 研究成果颇丰本文主要是对于二维系统奇异解的存在性和正则解的渐近性进行了综 述，为进一步来研究三维微分系统甚至更高维微分系统或高阶方程解的性质打下了理 论基础。 1 5 东北师范大学硕士学位论文 参考文献 【1 】王宏洲，葛渭高二阶奇异初值问题的正解f j 】数学学报，2 0 0 1 ，4 4 ( 2 ) ：2 2 7 - 2 3 2 【2 】柴国庆二阶奇异初值问题正解f j 】应用数学学报，2 0 0 3 ，2 6 ( 2 ) ：1 9 9 - 2 0 7 【3 】高丽，张黎黎，等具有可变号且与有关的非线性项的奇异初值问题的正 解 j 】科学技术与工程，2 0 0 6 ，6 ( 2 1 ) ：3 4 6 0 一3 4 6 2 【4 】董正华一类拟线性常微分方程奇异初值问题的正解【j 河南师范大学学 报( 自然科学版) ，2 0 0 1 ，2 9 ( 3 ) ：2 3 - 2 6 【5 】綦建刚奇异微分系统的初值问题及其应用【j 】宁波大学学报( 理工 【6 】吴春晨，曾有栋关于e m d e n f 0 w l e r 型方程的非局部边值问题 j 】福州大 学学报2 0 0 4 ，3 2 ：1 2 1 4 【7 】李建，杨光崇一类非线性二阶奇异初值问题的正解【j 成都信息工程学 院学报2 0 0 3 ，1 8 ( 4 ) ：4 0 & 4 1 3 8 】张艳红二阶非线性奇异边值问题的正解 j 】甘肃科学学报2 0 0 0 ，1 2 ( 2 ) ：3 5 【9 】杨光崇，王里青，等一类奇异边值问题正解的存在性 j 】成都信息工程学 院学报2 0 0 3 ，1 8 ( 2 ) ：1 8 4 1 8 8 【1 0 】杨作东一类拟线性椭圆型方程正奇异解的存在性【j 】数学物理学 报2 0 0 5 ，2 5 a ( 4 ) ：4 4 5 4 5 0 【1 1 】陈顺清一类p l 印l a c i a n 奇异初值问题正解的存在性【j 】四川师范大学学 报( 自然科学版) 2 0 0 4 ，2 7 ( 2 ) ：1 6 5 1 6 8 1 6 【1 2 】 【1 3 】 东北师范大学硕士学位论文 y a n gg u a n gc h o n g p o s i t i v es o l u t i o n 8o fs o m es e c o n do r d e rn o n l i n e a rs i n g u l a rd i 虢r e n t i a le q u a t i o n s 嘲c o m p u t e r s m a t h e m a t i c sw i t ha p p l i c a - t i o n 8 ，2 0 0 3 ，4 5 ：6 0 5 - 6 1 4 1 y a n gg u a n gc h o n g p o s i t i v es o l u t i o no fs i n g u l a ri n i t i a lv a l u ep r o b l e m o fa s e c o n do r d e re q u a t i o n 【j 】j o u r n a lo fc h e n g d uu n i v e r s i t yo fi n f o r m a t i o n t e c h n o l o g y ，2 0 0 3 ，1 8 ( 1 ) ：7 1 7 5 【1 4 】y a n gg u a n gc h o n g m i n i m a lp 0 8 i t i v es o l u t i o nt os o m es i n g u l a rs e c o n d o r d e rd i 舶r e n t i a le q u a t i o n s 【j 】j m a t ha n a l a p p l ，2 0 0 2 ，2 6 6 ：4 7 9 4 9 1 【1 5 】i t k i g u r a d z e s o m es i n g u l a rb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m s f o ro r d i n a r y d i 毹r e n t i a le q u a t i o n s 【m 】r 肛s s i a n ：t b i l i s ，1 9 7 5 【1 6 】t a c h a n t u r i y a d i 仃e r e n t su r a v n j 】1 1 9 7 2 ，8 ( 7 ) ：1 1 9 5 1 2 0 6 【1 7 】v m e v t u k h o v m a t h n a c h r ，1 9 8 4 ，1 1 5 ：2 1 5 2 3 6 【1 8 】d d m i r z o v a s y m p t o t i cp r o p e r t i e so ft w 0 - d i m e 璐i o n a ld i 髓r e n t i a l8 y 8 - t e m 8 【j 】d i 舶r e n t i a le q u a t i o n s ，1 9 7 8 ，1 3 ( 1 2 ) ：1 5 2 7 - 1 5 3 5 1 9 】r p a g a r w a l s e c o n d o r d e ri n i t i a lv a l u ep r o b l e mo fs i n g u l a - r7 1 1 y p e 【j 】 j 。m a t h a n a l a p p l ，1 9 9 9 ，2 2 9 ：4 4 l 4 5 1 【2 0 】m i r z o vdd a b i l i t yo ft h es o l u t i o n so fas y s t e mo fn o n l i n e a rd i 丑e r e n t i a l e q u a t i o n st o0 8 c i l l a t e j 】m a t hn o t e 1 9 7 4 ，1 6 ：9 3 2 9 3 5 【2 1 】i z y u m o i v adv ，m i r z o vd d 0 8 c i l l a t i o na n dp r o p e r t i e so f8 0 l u t i o n 8o f n o n l i n e a rd i 髓r e n t i a ls y s t e m s 【j 】d i 乳r e n t i a le q u a t i o n s 1 9 7 6 ，1 2 ：8 3 8 8 4 2 【2 2 】m i r z o vd d o s c i l l a t o r yp r o p e r t i e so fs o l u t i o n so fas y 8 t e mo fn o n l i n e a r d i 髓r e n t i a le q u a t i o n s j d i n ；：e r e n t i a le q u a t i o n s 1 9 7 3 ，9 ：4 4 7 4 4 9 【2 3 】d d m i r z o v a b i l i t yo ft h es o l u t i o n 8o fn o n l i n e 盯d i 仃e r e n t i a le q u a t i o n 8t o o s c i l l a t e 【j 】m a t h n o t e s ，1 9 7 4 ，1 6 ：9 3 2 9 3 5 1 7 东北师范大学硕士学位论文 【2 4 t ) m a sm i h a l y o nt h eo s c i l l a t o 珂a da s y m p t o t i cp r o p e r t i e so fs o l u t i o n o fs y s t e m s0 fn e u 乇r a ld i 髓r e n t i a le q u a t i o n s f j 】n o n l i n e a ra n a l ”i s ，2 0 0 6 ， 3 ：1 1 1 【2 5 je l b e r ta ，k u s a n ot o s c i l l a t i o na n dn o n 0 s c i l l a t i o nt h e o r e m sf o rac l 鼬s o fs e c o n do r d e rq u a u s i l i n e a rd i 艉r e n t i a le q u a t i o n 8 | j 】a c t a m a t h h u n g a r 1 9 9 0 ，5 6 ：3 2 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