（信号与信息处理专业论文）基于第二代bandelet变换的纹理图像分割.pdf

西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 摘要 目前，基于小波多尺度分析的方法在图像分割中比较流行。小波的多分辨 率分析思想是将图像分解为不同层上的低频和高频信息，再采用提取特征的方 法进行分割。但是由于小波变换存在方向性差且只能处理点奇异等缺陷，妨碍 了小波对图像特征更好的表示，对于高维信号，小波分析并不能充分利用数据 本身所具有的几何特征，因而很多更优秀的多尺度分析方法应运而生。 b a n d e l e t 是新近发展起来的一种图像多尺度几何分析方法，本文在第一 代b a n d e l e t 理论的基础之上研究了第二代b a n d e l e t 的基本理论。离散小波变 换在每一个尺度上提供了三个方向的高频子带信息，而图像中几何结构( 边缘) 的走向并不只是这几种，这样差的方向性使得小波无法对图像特征进行更好的 表示。针对小波的局限性，b a n d e l e t 考虑了图像结构中的几何方向信息，是 种基于边缘的图像表示方法，其主要特点是能充分利用图像自身的几何正则 方向，并自适应的根据所要表示的函数构造最合适的b a n d e l e t 基函数。在图 像处理任务中，若能够预先知道图像的几何正则方向，并充分予以利用，无疑 会有助于图像的处理。本文通过分析先后两代b a n d e l e t 变换的异同，证明第 二代b a n d e l e t 是一种既能充分利用图像的几何正则方向，又能相对第一代 b a n d e l e t 降低计算几何流、弯曲作用等运算的复杂度，并达到最优表示的多 尺度几何工具。并借鉴第二代b a n d e l e t 变换过程中用四叉树分解来获得最优 方向信息的思想，提出了一种基于第二代b a n d e l e t 变换的纹理图像分割方法， 并结合模式识别分类中的k 均值和f c m 两种聚类方法进行仿真实验。实验结果 表明，该算法将图像的几何特征信息有效的应用到图像分割中，得到了较好的 分割效果。 关键词图像分割；第二代b a n d e l e t 变换；几何流方向；四叉树分解；分类特 征 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 i 页 a b s t r a c t n o wt h em e t h o d sb a s e do nw a v e l e tm u l t i s c a l ea n a l y s i sp r e v a i li n i m a g es e g m e n t a t i o n t h eb a s i ci d e ao fs e g m e n t a t i o nm a k i n gu s e o fw a v e l e t m u l t i r e s o l u t i o ni st od e c o m p o s et h ei m a g ei n t ol o w a n dh i g hf r e q u e n c i e s i nd i f f e r e n tr e s o l u t i o n sa n de x t r a c tf e a t u r e st os e g m e n t a l i z et h ei m a g e h o w e v e r ，b e c a u s ew a v e l e tt r a n s f o r mh a s t h ed e f i c i e n c i 6 so f p o o r d i r e c t i o n a l i t ya n dp r o c e s s i n go n l yp o i n ts i n g u l a r i t y ，w a v e l e tc a n t m a k eg o o du s eo fg e o m e t r i c a lc h a r a c t e r i s t i c se x i s t i n gi n t h ei m a g e ， w h i c hp r o m o t e st h ee m e r g e n c eo fm o r ee x c e l l e n tm u l t i s c a l ea n a l y s i s m e t h o d s b a n d e l e ti san e wm u l t i s c a l eg e o m e t r i c a la n a l y s i st o o lf o ri m a g e r e p r e s e n t a t i o n t h i sp a p e rs t u d i e so ns e c o n dg e n e r a t i o nb a n d e l e to nt h e b a s i so ff i r s tg e n e r a t i o nb a n d e l e t i ti sw e l lk n o w nt h a td i s c r e t e w a v e l e tt r a n s f o r mo f f e r sh i g h f r e q u e n c ys u bb a n d so nt h r e ed i r e c t i o n s i ne a c hs c a l e ，b u tt h e s et h r e ed i r e c t i o n sc a r l tr e p r e s e n ta l l t h e d i r e c t i o ni n f o r m a t i o nc o n t a i n e di nt h ei m a g e t h ed e f i c i e n c yo fp o o r d i r e c t i o n a li t yi nw a v e l e tt r a n s f o r mg o e sa g a i n s tf o rb e t t e ri m a g e r e p r e s e n t a t i o n a i m i n ga tt h i ss h o r t c o m i n g ， b a n d e l e tc o n s i d e r st h e g e o m e t r i c a l d i r e c t i o n s o ft h ei m a g e t h en e wm e t h o di sa ni m a g e r e p r e s e n t a t i o nt e c h n i q u eb a s e do ne d g e so ft h ei m a g e ，w h o s er e m a r k a b l e a s p e c ti st h ei n t r o d u c t i o no ft h eg e o m e t r i c a lf l o w t h em a i nf e a t u r e s o fb a n d e l e ta r et h a tb a n d e l e tc a nm a k eg o o du s eo ft h eg e o m e t r i c a l l y r e g u l a rd i r e c t i o n sa n da d a p t i v e l yc o n s t r u c tt h eb e s tb a s i sf u n c t i o n i ft h eg e o m e t r i c a lr e g u l a r i t yi sk n o w ni na d v a n c et ob em a d ef u l lu s e o f ，i tc a nh e l pal o ti np r o c e s s i n gt h ei m a g e t h i sp a p e ra n a l y z e st h e s i m i l a r i t i e sa n dd i f f e r e n c e sb e t w e e nt w os u c c e s s i v eg e n e r a t i o n sa n d p r o v e st h a ts e c o n dg e n e r a t i o nb a n d e l e ti sa ne x c e l l e n tt o o lo fm a k i n g g o o du s eo fg e o m e t r i c a ld i r e c t i o n sr e d u c i n gc o m p l e x i t yi nc a l c u l a t i n g g e o m e t r i c a lf l o wa n dw r a p p e dp r o c e s sf o ri m a g er e p r e s e n t a t i o n an e w 西南交通大学硕士研究生学位论文第1ii 页 m e t h o d o ft e x t u r e i m a g es e g m e n t a t i o na d o p t i n g t h e q u a d 。t r e e d e c o m p o s i t i o ni ns e c o n dg e n e r a t i o nb a n d e l e tt r a n s f o r mt oo b t a i nt h e b e s tg e o m e t r i c a l l yr e g u l a rd i r e c t i o n si sp r o p o s e d t h i sp a p e ru s e s k - m e a n sc l u s t e r i n gm e t h o da n df c mc l u s t e r i n gm e t h o ds e p a r a t e l yt oc a r r y o u tt h ee x p e r i m e n t s t h ee x p e r i m e n t a lr e s u l t ss h o wt h a tt h en e wm e t h o d u t i l i z e st h eg e o m e t r i c a lc h a r a c t e r i s t i c so ft h ei m a g es u c c e s s f u l l yi n i m a g es e g m e n t a t io n k e y w o r d si m a g es e g m e n t a t i o n ， s e c o n dg e n e r a t i o nb a n d e l e tt r a n s f o r m ， g e o m e t r i c a lf l o wd i r e c t i o n ，q u a d t r e ed e c o m p o s i t i o n ，c l a s s i f i c a t i o n f e a t u r e 西南交通大学曲甯父遗大罕 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权西南交通大学可以将本论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等 复印手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 保密口，在年解密后适用本授权书； 2 不保密“使用本授权书。 ( 请在以上方框内打“) 学位论文作者签名：知 日期：私形罗6 t 5 艚柳虢舅断 日期：锄z ，弓 西南交通大学学位论文创新性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是在导师指导下独立进行研 究工作所得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任 何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出 贡献的个人和集体，均已在文中作了明确的说明。本人完全意识到本 声明的法律结果由本人承担。 本学位论文的主要创新点如下： 将第二代b a n d e l e t 变换分别与k 均值、f c m 聚类算法相结合， 利用第二代b a n d e l e t 变换过程中的四叉树分解来获取图像的最优几 何流方向，将图像的几何特征信息应用于图像分割之中。 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 第1 章绪论 本章从研究图像分割在图像处理中的重要意义入手，介绍了图像分割的相 关内容，同时分析了当前图像分割在国内和国外的研究现状，介绍了小波变换 在图像分割中的应用背景，并分析了b a n d e l e t 理论作为第二代小波在当今多 尺度分析方法中的研究情况，最后列出了本文的主要工作和内容提要。 1 1 课题的背景和意义 图像处理是当今世界的一个研究热点，其研究范围与人工智能、神经网络、 遗传算法、模糊逻辑等理论和技术有着密切的关系，其研究内容涉及到图像去 噪、图像分割、图像融合、图像压缩、图像增强等多个方面。其中，图像分割 是图像感知与识别的关键技术之一。简单的说，图像分割是把图像分成各具特 性的区域并提取出感兴趣目标的技术和过程。这里特性可以是像素的灰度、颜 色、纹理等，预先定义的目标可以对应单个区域，也可以对应多个区域。图像 分割在图像工程中占据重要的位置。一方面，它是目标表达的基础，对特征测 量有重要的影响。另一方面，因为图像分割及其基于分割的目标表达、特征提 取和参数测量等将原始图像转化为更抽象更紧凑的形式，使得更高层的图像分 析和理解成为可能。 图像分割在实际中已得到广泛的应用，例如在工业自动化，在线产品检验， 生产过程控制，文档图像处理，遥感和生物医学图像分析，保安监视，以及军 事，体育，农业工程等方面。概括来说，在各种图像应用中，只要需对图像目 标进行提取、测量等都离不开图像分割。可以看出，图像分割对于整个目标识 别过程来说，是一个非常实用而且关键的环节，其处理的好坏将直接影响到后 续分类和识别的精度。 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 页 1 2 国内外研究现状 目前图像分割方法大体分为以下几种：基于阈值的分割、基于边缘检测的 分割、基于区域增长的分割和基于聚类的分割。另外，还有一些结合特定理论 工具对图像进行分割的方法，如基于数学形态学的分割、基于信息论的分割、 借助模糊集合和逻辑的分割、利用神经网络的分割、利用遗传算法的分割和基 于图像模型的分割。此外，纹理图像分割也可分为有监督算法( 已知纹理类别 数) 和无监督算法( 未知纹理类别数) 两类。 这些传统的图像处理方法在处理灰度图像上取得了一定的成果，如基于灰 度共生矩阵和方向直方图的图像分割、基于微分算子的边缘检测等，但这些方 法在处理图像本身所含有的几何方向信息时，即对于高维信息的利用方面不尽 人意。令人欣慰的是，多尺度几何分析( m g a ，m u l t i s c a l eg e o m e t r i ca n a l y s i s ) 的发展为高维信息的处理注入了新的活力。 在一定程度上，我们可以说小波分析是多尺度分析发展的基石。目前，基 于小波多尺度分析的方法在图像分割中比较流行。其基本思想是对二维信号 ( 图像) 采用离散小波变换，进行多分辨率分析，使之分解为不同层次上的低 频和高频信息，再采用提取特征的方法来进行分割。这种采用离散小波变换来 分解图像的方法是快速的、局部的、稀疏的，并可利用逆离散小波变换很好的 重构图像，但离散小波变换存在不具备移不变性、差的方向性并只能处理点奇 异等缺陷，妨碍了其对于图像的更好表示。针对小波分解的缺陷，一些改进算 法蜂拥而出，如小波包分解、复小波分解等。小波包分解考虑到传统小波仅对 图像的低频部分分解的缺陷，提出对图像的中频和高频部分同样进行分解，这 样对于那些信息集中在中高频的图像将得到很好的分解效果。实际中，我们往 ， 往利用小波框架的分解方法来进行小波包分解，这样得到的分解具有平移不变 性，并且对图像的中频信息也得到了很好的保留。但无论是小波还是小波包分 解，都只能处理点奇异，对于线、面奇异将表现的无能为力。值得注意的是， 多尺度几何分析发展的目的和动力正是要致力于开发一种新的高维函数的最 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 页 优表示方法。目前，人们所提出的多尺度几何分析方法主要有：e j c a n d 色s 和 d l d o n o h o 于1 9 9 8 年、1 9 9 9 年分别提出了脊波“一，( r d g e l e t ) 理论、曲线波 ( c u r v e l e t ) 理论嘲，f r a n c o i sg m e y e r 和r o n a l dr c o i f m a n 于1 9 9 7 年提 出了b r u s h l e t 理论，dl d o n o h o 于1 9 9 9 年提出了w e d g e l e t 6 1 理论， e l e p e n n e c 和s t 6 p h a n em a l l a t 于2 0 0 0 年提出了b a n d e l e t 1 理论，m n d o 和m a r t i nv e t t e r li 于2 0 0 2 年提出了c o n t o u r l e t 盯1 理论，g p e y r 6 和s t 6 p h a n e m a l l a t 于2 0 0 5 年提出了第二代b a n d e l e t 理论i s , t 。这些方向信息检测的新工具 可以有效的检测和捕捉图像中的高维奇异信息，在实际中得到了成功应用n o ，。 这些新的多尺度变换方法的提出，无不基于这样一个事实：在高维情况下， 小波分析并不能充分利用数据本身所具有的几何特征，小波变换在高维情况下 并不是最优的或者说“最稀疏 的函数表示方法。 对于含奇异曲线的二维分片光滑函数，小波变换的非线性逼近能力显得力 不从心，但是r i d g e l e t 、c u r v e l e t 、c o n t o u r l e t 、b a n d e l e t 等多尺度几何分 析工具的表现却让人刮目相看，而多尺度几何分析方法对于高维奇异性的良好 稀疏表示特性正是图像处理当中所需要的。 自然界中的多数物体都具有平滑边缘，分片光滑二维函数实际上描述了一 大类自然图像。多尺度几何分析相对于小波分析逼近性能的提高，其意义，丝 毫也不亚于小波分析相对于傅立叶分析逼进性能的提高。 b a n d e l e t 变换是一种基于边缘的图像表示方法，其主要特点是能充分利 用图像自身的几何正则方向，并自适应的根据所要表示的函数构造最合适的 b a n d e l e t 基函数。在图像处理任务中，若是能够预先知道图像的几何方向信 息，并充分予以利用，无疑会提高图像变换方法的逼近性能。 本文对多尺度几何分析的新工具b a n d e l e t 变换进行了分析，在第一 代b a n d e l e t 理论的基础上，通过研究第二代b a n d e l e t 变换的特点，借鉴变换 过程中通过四叉树分解来获得最优方向信息的思想，给出了一种基于第二代 b a n d e l e t 变换，结合小波变换和四又树分解的纹理图像分割算法，经过对比 西南交通大学硕士研究生学位论文第4 页 仿真实验，证明了算法的有效性。 1 3 本文的主要工作 本论文主要在第二代b a n d e l e t 变换理论框架下研究了图像分割的方法， 主要内容安排如下： 第一章主要介绍了课题的研究意义，分析了国内外相关领域的研究现状， 并着重分析了第二代b a n d e l e t 变换在图像分割应用中的理论意义和实际意 义。 第二章主要介绍了多尺度几何分析的有关理论工具，把b a n d e l e t 以及其 它多尺度几何分析方法同小波工具进行比较，从理论上说明其优势；并说明了 r i d g e l e t 、c u r v e l e t 、c o n t o u r l e t 、b a n d e l e t 等多尺度几何变换的特点及其 实现方法。 第三章主要介绍了b a n d e l e t 变换的基础理论，在第一代b a n d e l e t 变换理 论的基础之上分析了第二代b a n d e l e t 变换的主要特点，并对先后两代 b a n d e l e t 进行的对比分析，说明了第二代b a n d e l e t 变换相对第一代b a n d e l e t 的优越性。 第四章主要介绍了基于统计模式分类的图像分割方法，对当前的经典图像 分割方法作了一个系统的论述，并对这些方法的实现都进行了说明分析；着重 研究了模式识别理论框架下的k 均值聚类和f c m 两种聚类方法，并对两者进行 对比研究；最后对图像分割的评价准则进行了分析。 第五章主要介绍了一种基于第二代b a n d e l e t 变换的图像分割算法。利用 第二代b a n d e l e t 变换中的四叉树分解思想，提取出最优几何流方向，并设计 算法将其与小波变换进行结合，共同构建分类特征来完成聚类分割。分别采用 统计模式分类中的k 均值聚类和h c m 聚类方法，通过对比仿真实验，说明了算 法的有效性。 最后，对本论文的工作做了一个整体的总结，讨论了目前b a n d e l e t 理论 西南交通大学硕士研究生学位论文第5 页 还存在的问题和发展潜力，阐述了下一步将要继续研究的工作目标。 西南交通大学硕士研究生学位论文第6 页 第2 章多尺度几何分析 过去几年中，在数学分析、计算机视觉、模式识别、统计分析等不同学科 中，分别独立地发展着一种彼此极其相似的理论，人们称之为：多尺度几何分 析( m g a ) 。发展m g a 的目的是为了检测、表示、处理某些高维空间数据，这些 空间的特点是：其中数据的某些特征集中体现于其高维子集中( 如，曲线、面 等) 。对于图像二维模型来说，m g a 的主要方法包括：r i d g e l e t 、c u r v e l e t 、 c o n t o u r l e t 、b a n d e l e t 等。这些方法的提出都是基于以下事实：在高维情况 下，小波分析并不能充分利用数据本身所特有的几何方向特征，也就是说，小 波变换在高维情况下并不是最优的或者说“最稀疏 的函数表示方法。 2 1w a v eie t 傅立叶分析揭示了时间函数与频谱函数之间内在的联系，反应了信号在 “整个 时间范围内的“全部频谱成分，是研究周期现象不可或缺的工具。 傅立叶变换虽然有很强的频域局部化能力，但并不具有时间局部化能力，而后 一点，对于很多信号处理工作而言，特别是对于涉及非平稳信号处理的任务而 言，是至关重要的。 小波分析理论和方法是从傅立叶分析演变而来的。在过去的十几年里，小 波在许多领域产生了越来越大的影响，在这些领域中，小波给出了理论上的一 致性，并在实际应用取得了成功。小波理论“2 ，的核心就在于它为我们提供了一 种构造信号展开式的基础，以牺牲部分频域定位性能来取得时一频局部性的折 衷，其不仅能提供较精确的时域定位，也能提供较为精确的频域定位。因此， 小波具有多分辨率分析和局域性的特点，它在时频域都具有表征信号局域特征 的能力。它是一种时频局部化分析方法，在低频部分具有较高的频率分辨率和 较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率。 小波的成功之处在于对点奇异或零维空间的有效性，这充分奠定了其在多尺度 西南交通大学硕士研究生学位论文第7 页 分析方面的地位。但是，对于二维或者更高维的奇异性，小波分解并不能稀疏 的表示。 对于一维分段光滑函数厂，则小波变换的非线性逼近误差为 m - - i if 一厶i 阵d m 。1 】 1 z 9 反观傅立叶变换，其非线性逼近误差只能达到 膨】研m - 1 佗】1 1 5 y 即说明小波变换比傅立叶分析更能“稀疏 的表示一维 分段光滑或者有界变差函数。但是小波分析在一维时所具有的优异特性并不能 简单的推广n - 维或者更高维。在二维图像中，线奇异性是普遍存在的，由一 维小波张成的可分离小波对于处理二维信息只具有有限的方向，不能“最优” 表示具有线或者面奇异的高维函数。图2 - 1 表示用二维可分离小波来逼近图像 中奇异曲线的过程。由一维小波张成的二维小波基具有正方形的支撑区间，不 同的分辨率下，其支撑区间为不同尺度大小的正方形。二维小波逼近奇异曲线 的过程，最终表现为用“点”来逼近线的过程。这样在尺度变细时，非零小波 系数的数目以指数形式增长，产生了大量的大系数。这就说明小波分析对于曲 线奇异性不具有稀疏表示特性。 图2 - 1 张量小波逼近奇异曲线过程 对于二维分片光滑函数厂，小波变换的非线性逼近误差只能达到 西南交通大学硕士研究生学位论文 第8 页 0 肘】研m - 1 】，而单尺度脊波变换( m o n o s c a l er i d g e l e tt r a n s f o r m ) 可以 达到o m a x ( m - , m 圳2 ) 】阶1 1 ，其中，表示函数是，阶可微的。c u r v e l e t 可以 达至1 o 1 0 9 ( m ) m 也】阶“5 1 ，c o n t o u r l e t 可以达到d 1 0 9 ( 材3 ) 膨- 2 】阶肿1 ，b a n d e l e t 变换可以达到o ( m 叫) 阶阳1 。由此可见，多尺度几何分析相关方法相对于小波 分析对于具有曲线奇异性的多变量函数的逼近性能有明显的提高。 2 2rid g eie t 实际上，对于图像( - - 维) 或更高维的空间中，我们所感兴趣的特征目标 往往不仅仅是点状目标，还包括线、面等特征信息。所以小波分析在这种情况 下是不适用的。随着小波的发展，目前以脊波( r i d g e l e t ) 为代表的多尺度几 何分析( m g a ) 方法逐渐进入人们的视野。r i d g e l e t 正是为了解决二维或者更 高维奇异性而产生的一种新的多尺度分析工具，它是以稳定的和固定的方式用 一系列脊函数的叠加来表示相当广泛的函数类。同时，也具有基于离散变换的 近于正交的脊波函数框架。在这些新的广泛的函数类上，利用各种特殊的高维 空间的不均匀性来模拟现实的信号。 脊波变换由e m m a n u e lj c a n d e s 在1 9 9 8 年提出，在二维条件下，脊波对 于处理高维的直线状奇异性有极好的效果。脊波变换对于具有直线奇异的多变 量函数有良好的逼近性能，但是，对于含曲线奇异的多变量函数，其逼近性能 只相当于小波变换，不具有最优的非线性逼近误差衰减阶。为了解决这一问题， 1 9 9 9 年e m m a n u e l j c a n d e s 给出了单尺度脊波变换“圳( m o n o s c a l er i d g e l e t t r a n s f o r m ) ，并给出了其构建方法。单尺度脊波的提出，目的是为了解决含有 曲线奇异的多变量函数的稀疏逼近问题。随后，在多尺度脊波( m u l t i s c a l e r i d g e l e t ) 的基础上又给出了曲线波变换j 们( c u r v e l e tt r a n s f o r m ) 。同时 d o n o h o 于1 9 9 8 年给出了一种正交脊波的构造方法以及( 双) 正交脊波变换的 实现策略。 西南交通大学硕士研究生学位论文第9 页 2 3c u r v e l e t 曲线波( c u r v e l e t ) 是由脊波理论衍生而来，它由c a n d e s 和d o n o h o 在1 9 9 9 年提出b ，。与单尺度脊波变换不同是，单尺度脊波变换的基本尺度j 是固定的， 而c u r v e l e t 变换在所有可能的尺度s 0 上进行分解，实际上c u r v e l e t 是由 种特殊的滤波过程n u 和多尺度脊波变换组合恤，而成进行分解的变换。 c u r v e l e t 变换首先利用一系列带通滤波器将图像分解到不同的子带上， 然后在每个子带上进行单尺度脊波变换，不同的子带上对于图像块的划分是不 同的吻一。如r i d g e l e t 一样，曲线波可以在任意尺度位置和方向上出现。但 是，脊波有一个全局的长度和一个变化的宽度，曲波的长度宽度都是变化的， 同时还有一个变化的各向异性的关系。在细尺度的情况下长度和宽度满足尺度 法则：宽度= 长度2 。这是c u r v e l e t 变换的核心关系，我们称之为各向异性尺 度关系( a n i s o t r o p ys c a l i n gr e l a t i o n ) 。 对于c u r v e l e t 变换，我们有定理： 设g w 5 2 ( r 2 ) ，i t f ( 2 ) = g ( 王) l 恐盯( 而) ，其中曲线r 二阶可导，则c u r v e l e t 变换对于函数厂的非线性逼近误差为： 【卅爿i 一厶1 1 2 2 ) 时，c u r v e l e t 变换非线性逼近误差衰减速率保持o ( m - 2 ) ，而不是最优的o ( m 吨) ；而当奇异 边缘是非正则的( 即有界变差函数) ，其逼近性能甚至不如小波。r a d o n 变换的 西南交通大学硕士研究生学位论文第11 页 存在使得c u r v e l e t 变换系数间具有“天生 的相关性。r i d g e l e t 变换和 c u r v e l e t 变换所具有的局域性指的是线的局域性而不是点的局域性，也就是 说，r i d g e l e t 域和c u r v e l e t 域中一个系数值的改变将引起空域中一条直线上 所有值的改变。当然，是否具备去相关性并不能表征一种变换的好坏与否，关 键是如何去使用它以及在什么情况下使用。不过r i d g e l e t 变换和c u r v e l e t 变 换的这一特点在图像去噪、融合等应用中会带来一些负面影响，表现为在重构 图像中出现轻微的“划痕 ，如何减轻甚至消除这种“划痕 是一个值得研究 的课题。 虽然c u r v e l e t 变换的数字实现不尽如人意，但是我们应该认识到， r i d g e l e t 变换和c u r v e l e t 变换目前所存在的问题丝毫也不能掩盖蕴涵于其中 的先进思想，这种思想代表的是“稀疏逼近”或者“计算调和分析的发展方 向。 2 4c o n t o u rie t c o n t o u r l e t 交换由m n d o 和m a r t i nv e t t e r l i 于2 0 0 2 年提出，是一种 多分辨、局域的、方向的图像表示方法，也称为塔型方向滤波器组。c o n t o u r l e t 变换继承了c u r v e l e t 变换的各向异性尺度关系，因此，在一定意义上，可以 认为是c u r v e l e t 变换的另一种实现方式。c o n t o u r l e t 基的支撑区间也具有2 3 节图2 2 所示的长方形结构。c o n t o u r l e t 变换将多尺度分析和方向分析分拆 进行，首先由l p ( l a p l a c i a np y r a m i d ) 嘲，变换对图像进行多尺度分解以“捕获 点奇异，接着由方向滤波器组( 勿陷d i r e c t i o n a lf i l t e rb a n k ) 将分布在同方 向上的点奇异合成为一个系数，如图2 - 3 所示。c o n t o u r l e t 变换的最终结果 是用类似于划分线段( c o n t o u rs e g m e n t ) 的基结构来逼近原图像，这也是所以 称其为c o n t o u r l e t 变换的原因。 西南交通大学硕士研究生学位论文第12 页 l pd f bc o n t o u r l et 口 口 一 = 图2 3c o n t o u r l e t 燹挟 c o n t o u r l e t 变换一个重要的特点是其满足类似c u r v e l e t 变换的各向异性 的尺度关系。事实上，图像的胪分解，在每一个尺度上对所有方向都进行下 2 采样，提供了图像的倍频程子带分解，在塔型结构的第j 层，第歹个子带图 像6 ，具有冠状支撑区间：【z 2 - ：, z 2 一j + l 】，其中_ ，= 1 ，2 ，j 。对6 ，进行方向滤波 器分解，就能获得类似于c u r v e l e t 的频域剖分。因此，在塔型结构的第j 层， 图像的d f b 分解总的效果相当于基函数具有如下的支撑区间： w i d t h 2 j l e n g t h - 2 ( 2 - 3 ) 对于函数( 习= g ( 习i 而盯( 而) ，其中曲线r 二阶可导，c o n t o u r l e t 变换的非线 性逼近误差为滔，： 爿【m 】爿l 厂一厶1 1 2 c m 之( 1 0 9 m ) 3 ( 2 4 ) c o n t o u r l e t 变换是一种近似的c u r v e l e t 变换数字实现方式，走的却是一 条与c u r v e l e t 变换截然相反的技术路线。c o n t o u r l e t 变换首先直接在数字域 中定义，再将数字域和连续域联系起来，在连续域中讨论c o n t o u r l e t 变换的 逼近性能。c o n t o u r l e t 变换具有比c u r v e l e t 变换少得多的冗余度，然而，对 于c o n t o u r l e t 变换，其数学基础还有待进一步完善。 西南交通大学硕士研究生学位论文第13 页 2 5b a n d e l e t b a n d e l e t 于2 0 0 0 年由e l ep e n n e c ，s m a l l a t 在文献 5 中引入，其主要 特点是能充分利用图像自身的几何正则性，并自适应根据所要表示的函数构造 最适合的b a n d e l e t 基函数。 目前，在多尺度几何分析工具中，b a n d e l e t 是逼近效果最好的。对于一 致正则的函数厂( 五，x 2 ) ec 口，( 口表示函数厂口阶可微) 来说，它可以和小波一 样达到最优衰减率，即c m 一，而且能充分利用图像的几何正则性，用更少的 基函数做更稀疏的逼近。换言之，b a n d e l e t 能充分利用图像自身的几何正则 性对一固定数量的逼近参数m 产生更小的逼近误差。对边界有分段不连续性 的二维光滑函数( 所有有界变差函数) ，小波只能达到o ( m 1 ) ，而b a n d e l e t 不 会因不连续性的存在而降低衰减阶，仍能达到最优的逼近性能”，： m = l l 厂一厶i j 2 c m ，口2 ( 2 5 ) 2 6 本章小结 为了有效改善小波变换在图像方向性信息方面表示的不足，研究者们提出 了一个崭新的信号分析工具多尺度几何分析，它们具有多分辨率、局部化 和方向性等特征，能很好地刻画图像轮廓和纹理，所以在新一代图像处理技术 中可取代传统的小波变换来更进一步提高图像处理性能。就像当初风起云涌的 小波浪潮样，多尺度几何分析正在以惊人的速度完成理论构建过程，这无疑 又将掀起一场学术研究热潮。 西南交通大学硕士研究生学位论文第14 页 第3 章第二代b a n d e ie t 变换理论 b a n d e l e t 是一种新的多尺度分析工具。它自适应的根据所表示的函数找 到最优的基函数并达到最优表示。在图像处理中，它能自适应的跟踪图像的几 何正则方向，目前在图像去噪和图像压缩等啪- 领域表现出了巨大优势。本章首 先给出了b a n d e l e t 的基本理论，在第一代b a n d e l e t 变换理论的基础之上分析 了第二代b a n d e l e t 变换的主要特点，通过对先后两代b a n d e l e t 变换进行研究 分析证明了第二代b a n d e l e t 变换的优越性。 3 1 第一代b a n d e ie t 变换 2 0 0 0 年，e r w a nl ep e n n e c 和s t 6 p h a n em a l l a t 提出了b a n d e l e t 变换。 b a n d e l e t 变换是一种基于边缘的图像表示方法，其主要特点是能充分利用图 像自身的几何正则方向，并自适应的根据所要表示的函数构造最合适的 b a n d e l e t 基函数。p e n n e c 和m a l l a t 认为m ，：在图像处理任务中，若是能够预 先知道图像的几何正则性，并充分予以利用，无疑会提高图像变换方法的逼近 性能。 自然界中的图像所含几何结构方向是任意的，通过借助二维 ( 2 - d i m e n s i o n ，简称2 一d ) 标准小波变换可扭转至水平、垂直和对角方向。 反之，先构造2 - d 标准小波，再把只能有效处理水平、垂直和对角方向信息的 小波基函数经弯曲作用扭转至任意方向，并赋予相应的方向消失矩，并在基函 数方向拉长，就构成b a n d e l e t 基函数，这就是b a n d e l e t 的构造思想。 p e n n e c 和m a l l a t 首先定义了一种能表征图像局部正则方向的几何矢量线 ( g e o m e t r i cf l o wo fv e c t o r s ) ；对图像进行二进剖分，并使得每个剖分子区 间中的几何矢量线是平行的；再对剖分图像进行处理，即进行b a n d e e t 变换。 给定图像厂( 焉，恐) ，在区域q 中( q 为厂( 毛，j c 2 ) 的某一局部剖分子区域) ， 定义矢量场亍( 五，恐) 。矢量场亍( 五，屯) 中矢量方向由下式确定： 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 5 页 咿h i 亟篇剥2 蚺 ( 3 1 ) 其中，刨，t ) 是某个“磨光”滤波器。称矢量场f ( 葺，屯) 为几何流 ( g e o m e t r i cf l o w ) ，其表示了( 五，乇) q 的邻域内函数，具有正则性的方向。 a ) 仅包含一条边缘的四叉树剖分 b ) 某一子块的几何流 图3 一l 图像支撑区间的剖分及几何流方向 如图3 1a ) 所示，设图像的支撑区间为s ，对s 进行二进四叉树( q u a d t r e e ) 剖分s = ijq ，当剖分足够细时，每一个剖分区间q 中晟多只包含图像的一 条轮廓线( 边缘) 。在所有不包含轮廓线( 边缘) 的局部区域q ，图像灰度值的 变化是一致正则的，因此，在这些区域内不定义几何流的方向。而对于包含轮 廓线( 边缘) 的局部区域，几何正则的方向就是轮廓( 边缘) 的切线方向( 如图3 - 1 b ) 所示) 。根据局部几何正则方向，在全局最优的约束下，计算区域q 上矢量 场亍( 王，而) 的矢量线。再沿矢量线，将定义在q 上的区间小波进行b a n d e l e t 化，实际上是在此区间上沿着矢量线进行小波变换，即所谓的弯曲小波变换 ( w a r p e dw a v e l e tt r a n s f o r m ) ，以能够充分利用图像本身的局部几何正则性。 西南交通大学硕士研究生学位论文第16 页 若在某些区域q i 上不存在几何流，表示此区域上图像的正则性是各向同性的， 在这些区域上直接用普通的可分离小波基逼近。 可以看出，通过二进四叉树( q u a d t r e e ) 剖分来确定局部几何正则方向在 整个b a n d e l e t 变换中起到了重要作用。在剖分过程中具体的准则采用文献 2 4 给出的四叉树分解准则： 1 对原图像进行四叉树剖分获得临时块； 2 按照如下规则对每个子块进行标识： ( 1 ) 子块f 距所有边缘的距离大于s ( s 为设定的支撑区间边界值) ，则标志该 子块为规律块； ( 2 ) 子块f 的尺寸小于，7 ( 7 7 为设定的支撑区间边界值) ，则标志该子块为连接 块； ( 3 ) 子块f 中只包含水平边缘，则标志该子块为水平边缘块； ( 4 ) 子块f 中只包含垂直边缘，则标志该子块为垂直边缘块； 3 若仍存在临时块，返回l 。 下面，我们给出快速离散b a n d e l e t 变换的实现步骤嘲： 1 快速离散b a n d e l e t 正变换 ( 1 ) 预采样( r e s a m p l i n g ) ：在每一个剖分区域内沿着几何流计算图像的采样 值： ( 2 ) 弯曲小波变换( w a r p e dw a v e l e t ) ：沿着几何流线的子带滤波； ( 3 ) b a n d e l e t 化( b a n d e l e t i z a t i o n ) ：把小波变换的系数转化为沿着几何流 线的b a n d e l e t 系数。 2 快速离散b a n d e l e t 逆变换 ( 1 ) 逆b a n d e l e t i z a t i o n ：沿着流线方向恢复弯曲小波变换的系数； ( 2 ) 逆w a r p e dw a v e l e tt r a n s f o r m ：逆子带滤波； ( 3 ) 逆r e s a m p l i n g ：从每个子剖分子块中沿着几何流线的采样值计算图像沿 着原始采样栅格的采样值。 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 7 页 可以证明，在离散的框架里，区域中的流线可以分为沿着垂直方向平行的 和沿着水平方向平行的两种。如图3 - 2 所示。 a ) 垂直流线 图3 2 流线方向 b ) 水平流线 其中，图3 - 2a ) 中的流线是沿垂直方向平行的，图3 - 2b ) 中的流线时 沿着水平方向平