（应用数学专业论文）时标意义下无穷时滞泛函微分方程的正周期解.pdf

摘要 本文在时标意义下给出了一些具有无穷时滞的泛函微分方程正周期解存在的充分性 判据，所得结果包含并推广了现有的一些结果，当分别取特殊时标t 为r 和z 时， 本文的的结果能将微分方程和差分方程的一些结果作为特例研究问题的主要工具是 k r a s n 0 8 幽垴i 不动点定理，这一定理虽然被广泛应用于微分方程和差分方程周期解存在 性问题的研究中，但是在时标方程中的应用却不多见通过本文可知我们可以在一般的 时标下统一地研究动力方程的存在性问题，所得结论适用性会更加广泛 关键词。泛函微分方程；时标；周期解；k r a 8 n 0 8 e l s l 【i i 锥不动点定理；无穷时滞 a b s t r a c t i nt h i 8p a p e r ，s u 毋c i e n tc r i t e r i aa r ee s t a b l i s h e df b rt h ee x i s t e n c eo f p e r i o d i cs o l u t i o n so fs o m ef u n c t i o n a ld y n a m i ce q u a t i o n sw i t hi n 6 n i t ed e - l a y so nt i i n es c a l e 8 ，w h i c hg e n e r a l i z ea n di n c o r p o r a t ea 8s p e c i a lc a s e sm a n y k n o w nr e s u l 七sf o rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n df o rd 诳色r e n c ee q u a t i o 璐w h e n t h et i m es c a l eti ss e tt ob ero rz ，r e s p e c t i v e l y t h e 印p r o a c hi 8m a i n l y b a 8 e do nt h ek r a s n o s e l s k i if i x e dp o i n tt h e o r e m ，w h i c hh a sb e e ne x t e n s i v e l y 印p l i e di ns t u d y i n ge x i 8 t e n c ep r o b l e m si nd i e r e n t i a le ( 1 u a t i o n sa n dd i 氐b r _ e n c ee q u a t i o n 8b u tr 盯e l ya p p l i e di nd y n a m i ce q u a t i o n 8o nt i l n es c a l e s t h i ss t u d vs h o w st h a 土o n ec a nu n i f vs u c he x i 8 t e n c es t u d i e si nt h es e n 8 e0 f d y n a m i ce q u a t i o n so ng e n e r a lt i m es c a l e s k e y 厂o r d s ： f u n c t i o n a id y n a m i ce q u a t i o n ；t i m es c a l e ； p e r i o d i c s o l u t i o n ；k r a s n o s e l s k i if i x e dp o i n tt h e o r e m ；i n 矗n i t ed e l a y i i 独创性声明 本入声裙魇鼙交的学位论文怒本入夜导师指簿下进行的研究 工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以桥注和致 谢静逮方舞，论文中不毽会其继入避经发表或撰髯逶豹礤究成栗， 也不包含为获得糸北师范大学或其他教育机构的学位或诚书而使 舔遗懿毒季籽。与我一目王侔懿圈憨辩本磷究舞骰瓣饪霹嚣激骜已 磁论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作群签名：茔叠4日期：2 壁巫。銎 学位论文版权谴震授毂书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位 谂文静鬣定，帮：东乾帮范大学露较保窝并淘嚣家有关部门或橇 构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人 授投东蔻雾器范大学致将学位论文戆全都或帮分内容缓入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制平段保存、汇编 掌位论文。 ( 保密的学做论文在解密后通用本授权书) 学位论文作者签名：扭 日 期l 礁i ：羔万 指导教师签名：缢鱼 日期：剐t 巧 学位论文作者毕业藤去向： 工作单位：越查盘烃垫垃些 通讯逑垃：一一 电话： 自s 编： l 引言 滞后型泛函微分方程周期解的存在性问题有着很重要的实际背景。在理论上也非 常有意义，适用性也很广泛，例如它包含了常微分方程，差分微分方程和积分微分方程 等，困而这一问题引起丁国内外众多学者的高度重视啻! l 如，在文献1 1 4 】中，作者运用 m 槲h i n 重合度理论，得到存在多个周期正解的充分条件；在文献1 2 7 | 中，作者运用不 动点定理得到了存在和不存在周期解的判定定理近年来，无穷时滞泛函微分方程的周 期解问题受到了人们的广琵关注，发展了解决这类问题的许多有效的方法如l ，r a p u n ， 泛函方法，s c h a u d e r 不动点方法和拓扑度方法等( 7 】，【1 7 】， 30 】) 然而，一般情况下， 构造合适的l y a p u n a v 泛函或者进行解的先验估计也是比较困难的相空间理论是泛 函微分方程理论研究中的重要组成部分，是研究许多问题的基础，对于不同类型的方程和 不同的具体问题，可以采用不同形式的相空间对于具有有限时滞的泛函微分方程，相空 闻的选取对所研究的问题一般投有太大的影响，几乎都是采用连续函数加上上确界模所 构成的空间然而，在具有无限时滞的泛函微分方程理论的研究中，相空间的选取与具体 问题有着密切的联系例如，在文1 2 1 l 中，作者建立了合理的相空间，利用范投形式的锥 拉伸和锥压缩不动点定理讨论了了正周期解的存在性，并将所得结果应用于一些具体有 实际背景的方程，所得结果条件简洁，容易验证 通过阅读大量的文献发现，虽然许多学者应用不同的方法对泛函微分方程进行了研 究，给出了周期解存在的判定定理( 如，微分方程( 5 】， 16 ，【2 7 】，f 2 8 ，【3 0 】) ，差分方程 ( 【7 】， 8 1 ， 1 8 】， 3 3 ) ) ，但是许多研究非自治微分方程和差分方程周期解存在性的方法和主 要结果很相似，微分方程的许多结果可以推广至差分方程( 1 1 3 ，1 8 l 和1 1 4 ，1 5 l ，1 2 9 l 和 1 3 3 i ) 为此我们考虑是否能够用一种统一的形式研究这两类方程，从而得到更一般的结 论 s t e f a nh i k e r 为了统一连续和离散的分析结果，在1 9 8 8 年的博士论文jl o l 中 创立了时标意义下的微积分理论，他的开创性工作使得这个理论具有巨大的应用潜力，近 来引起了学术界地广泛关注研究发现，微分方程的一些结果能够很容易地推广至差分 方程，而另外一些结果却表明二者存在很大的差异若在一般时标意义下去研究动力方 程，则可以得到更一般地结果，通过不同的时标体现微分方程和差分方程的相似性和差异 性，能够避免许多重复工作，这也体现了时标意义下微积分的两个主要特征是一致性和 延展性一既能体现微分方程和差分方程相似的性质，又能揭辞二者的差异性及更广泛 延展性一既能体现微分方程和差分方程相似的性质，又能揭露二者的差异性及更广泛 1 方程的性质时标意义下动力方程的结果不仅与实数集或整数集有关，而且可能与更一般 的时标有关例如，大量的研究表明，用微分方程描述的捕食者一食饵系统其周期解存在 性的许多结果利用重合度理论可以推广至离散系统基于这样的事实，利用时标方程理 论和重合度理论中的连续性定理，b o m e r ，f r ma n dz h a n g 【4 1 系统地将常微分方程和 相应差分方程所描述的种群模型的周期解的存在性统一起来，并将这些结果推广至更一 般的时标据作者所知，有些论文研究了某些时标方程的周期边值问题解的存在性( 如 【2 ，【2 2 1 ) 然而，研究时标意义下无穷时滞泛函微分方程的论文尤其是研究这方面周期解 存在性的论文很少在微分方程和差分方程周期解存在性的已知结果中，许多结果都是利 用k r a s n 0 8 e l s k i i 不动点定理得到的理论研究表明利用k r a u s n 0 8 e l 出i 不动点定理 得到的许多离散系统的结果与相应的连续系统的结果相似( 如f 1 3 ，1 8 l 和1 1 4 ，1 5 】， 2 9 l 和1 3 3 i ) ，这就促使我们去考虑是否可以将这些结果统并将其推广到更一般的时标虽 然k r a s n o s e l s l 【i i 不动点定理是处理存在性问题很有效的工具，而且被广泛地应用于微 分方程和差分方程周期解存在性的研究中，但是用它来研究时标方程尤其是具有无穷时 滞的时标方程的周期解的存在性却是很少见的本文将系统地研究一些具有无穷时滞的 时标方程的周期解的存在性，将微分方程和差分方程的相关结果进行统一，并推广得到更 一般的结论，运用的主要工具是k r 嬲i l o s e l s k i i 不动点定理 2 2 时标的预备知识 本节首先我们不加证明地给出时标方面一些基本的定义和微积分结果更详尽的 内容可参阅1 3 i 时标，是一种特殊的测度，是定义在r 上的非空闭子集本文我们用符号，- 表示 时标 令r + = 【o ，+ ) ，r 一= ( 一o 。，o ，n ，6 t ，用下列符号表示卫中的区问： t 一= tn r 一， ，+ = ，1nr + ， ( o ，6 ) = 0 t ，o t t ) ，而后退算子p ：，1 t 定义为p ) ：= s u p s t ：s o ，存在t 的邻域up pu = ( t 一6 ，t + 6 ) n ，l ，对某一6 0 ) 使 得 f ，( 矿( ) ) 一厂( s ) 一，( t ) 盯( o ) 一s | f f 盯( t ) 一s f ，s 矿 3 称，( t ) 为，在t 的6 限日i 2 9 e r ) 导数若f ( t ) = ，( t ) ，则定义积分 ，( 下) 7 - = f ( s ) 一f ( r ) r ，s t 引理2 2 如果t t ，厂：，1 _ r 在t 点可导，那么 ，9 ( t ) = ，( t ) + p ( t ) 产( t ) ( 2 1 ) 引理2 3 若，g d ，t ，5 ，则，( s ) s = 肛( t ) ，( t ) ，这里肛( t ) = ，o t t ， 仃( t ) 一t 是拉函数 引理2 4 若o ，6 ，c r ，g k ，则 ( 。，( 亡) t = ，( t ) t + ，( t ) t ( 税) 如果i ，( t ) i 9 ( t ) ，t 。，6 ) ，那么i ，( t ) t l 9 ( t ) t ， ( j 扰) 如果，( t ) o ，。t o ，t t ) 定义2 8 若p 贸，则指数函数可定义为 以如，锅荔纛酬川蟛。 这里l 0 9 为常用对数 引理2 7 若p 纺，则 e ，( t ，t ) = 1 ；( 盯( t ) ，s ) = ( 1 + 卢( t ) p ( t ) ) e p ( t ，s ) ；勺( t ，s ) = 1 e p ( s ，t ) e p ( t ，u ) e p m ，s ) = e p ( t ，s ) ；e 岔( t ，如) = p ( t ) ( t ，o ) ，f “，t o ，1 ； ， 1 、一p ( 亡) o i 丽5 三丽 引理2 8 若p 劈+ ，t o t ，则( t ，t o ) o ，t 可 5 3 瓯空间 众所周知，无穷时滞泛函微分方程理论的发展主要依赖于相空间的选择许多学者 致力于这方面的研究，并提出了各种各样的相空间( 见 7 ，1 1 ，2 5 】及其他引用文献) 初 始函数的相空间在时标意义下无穷时滞泛函微分方程的研究中发挥着重要的作用但是， 据作者所知，还没有人建立时标意义下无穷时滞泛函微分方程的相空间本节，我们将专 门研究时标意义下具有无穷时滞的泛函微分方程的相空间的建立 设i n f t = 一。，t 1 ，t 2 t 且t 1 + t 2 r 令 g d ( t 一，r + ) ，h ( s ) 0 厂 o ，s 田一， ( s ) s = 1 定义 ， 翰= 垆( r 酬吣) 泖，0 】s 。， 这里i 妒p o 】= s u pi 妒( 口) i 易证瓯为g d 的线性子空间，b g d 为c k 的线性子 s 疗 0 ，存在6 = 6 ( ，k ) 0 ，使得对任意 妒1 ，妒2 g ，当l 妒l 一妒2 i h56 时，有i 妒1 一妒2 l 一，o j 证明用反证法设存在+ 0 ，k + o 使得对任意占 0 ，均存在 妒i ，妒；c k ，满足l 妒i 一妒；l 6 但有：i 妒i 一妒；i 【一+ ，0 1 r 一8 记f + = ( s ) s o ，取扩 + 从而有： 呈 i 妒i 一妒；i h = ( s ) i f p i 一垆；l b ，0 j s j 6 - 因此6 + 矿卜这与6 + 的取法相矛盾，引理得证 引理3 2 设妒。c k ( t 一，r ”) 为一致有界序，q 伍然妒。( h ) ，则l i 翟i 妒。 一妒o l h = o 的充要条件为：对任意正整数k ，有l i 乎l 妒。一妒o l l _ 点，0 j = o 证明首先我们证明必要性由引理3 1 ，对任意e 0 ，k o ，存在占= 6 ( ，k ) 使得对任意妒1 ，妒2 g ，当l 妒1 一妒2 l 6 时有i 妒1 一妒2 r k o j 时，有i 一伽i h 6 从而 妒。一妒o l 卜k ，o 】 o 使得i l 日因 为= ( s ) s 。，存在正整数k 。，使得 ( s ) s 0 ，存在 o ，使得当n 时，对任意正整数七，有 l 垆。一i p o p ，0 1 ，从而有1 垆o r 2 ，o j 日+ e 所以当竹 时有： ? l 咿。一妒o l = ( s ) l 妒。一妒o i k o 】s 一。 一k 0 = ( s ) l 妒。一妒。p p 】s + ( s ) i 妒n 一妒。p o 】s ( 2 日+ e ) e + = ( 2 日+ e + 1 ) 充分性得证 引理3 3 赋予上确界模的g d 【0 1 6 1 空间为完备空间 证明只需证明g d k ，b 为g 陋，6 】的闭子空间 设厶( t ) g 知陋，6 为柯西序列，则对任意 o ，存在正整数，使得对任意 m ，n ，有i ，m 一，n p 踟= s u pl ，m ( t ) 一 ( t ) | 【q 6 j s 怫 川 0 瞰 | | 妒 一 0 衍 似 圳 硝厂 矿 。广，j” 一 s 斗 x s s q 蚺 血 桃 蛳 m h 瞒 谚 嫒 一 一 一 妒 妒 妒 p p b 。 。 。、 省景景一 有i ，m ( t ) 一厶( t ) i s u pi ，竹，( t ) 一a ( t ) i ，所以厶( t ) 在【0 ，6 】上一致收敛 令厂( t ) ，t 【n ，础为此序列的的极限函数 设t 【o ，6 】为右稠密的因为，n ( t ) g d 陋，6 】，所以对任意 o ，存在t 的 邻域巩，使得对任意s 巩，有l 厶( t ) 一厶( s ) l ，当n 1 时有： l 厶( s ) 一，( s ) i 0 ，一o 。 o 0 ，使得当几，m 时有： ： i 妒。一妒。l h = 九( s ) l 妒。一妒。i 【5 ，0 1 s o ， i 妒。r ，o 】) 有界如若不然，则存 在m ，i = 1 ，2 ，- 使得i c p m r 耳，o 】i 于是有 2 j 妒m i =九( s ) i 妒饥p o 】s 一 ( s ) i 妒m p o 】s ( s ) 1 妒。川一匠0 1 s ii 厂 ( s ) s 一十o 。，i o 。 这与j 妒。1 m 相矛盾由此证得 i 妒。r 耳，叫) 有界 由引理3 2 知，存在充分大的 o ，当n ，m 时有l 妒。一协。i 【_ ，0 1 即 妒。) 是 一k ，o 】上的c a u c h y 序列又因为g d ( 一k ，o 】，毋) 取上确界模为完 备的，故存在妒( h ( 一k ，o 】，彤) 使得：l i mi 妒。一妒旷k ，o 】= o 因此可以选择 n 十 充分大的，使得当n 时有i 一妒r k ，叫茎因此 ( s ) i 妒。一妒p 0 1 l s 九( s ) l 妒。 由k 的任意性，垆可以延展成，1 一上的r d _ 连续函数，且有 ； i 妒。一妒i = h ( s ) i 垆。一妒i f s ，0 1 i s j o o 因此i 妒1 = i 妒一妒。+ i i 妒一妒。i + i 妒。i e + m ，从而l p ( 巍故 ( c k ，f - i ) 是b a n a c h 空间 一 定理3 2 设妒a ，轨( 目) = 。( t + p ) ，一。 日墨o ，则 ( i ) 若o a + 设z 是定义在( 一o 。，a ) 上满足z o = 妒的妒值函 数且在【o ，a ) 上是喇一连续的，则对任意t o ，a ) ，有轨瓯，且耽关于t 是 砌一连续的 ( “) 存在正数k 1 ，使得i 妒( o ) i k l i 妒k 证明( ) 对任意t o ，a 】有 九( s ) 1 茁t i 墨 0 】s = h ( s ) l z t l 扫徊】s + ( s ) l 。t i 【s 舯】s 9 e | | s 0 九 。 一 s 0k一 妒 ( s ) ，。n 。( i z i 【s + t 川，i 。t i 卜t 0 】) s + t 厂 ( s ) i z i 【0 # 】s 0 0 一t ( s ) i 。i 陋+ “0 】s + ( s ) j 。i 【0 # 】s + ( s ) l z j 【o 一】s 一。 一o 。 o ( s ) i 妒ip 1 0 】s + 2i 厂 ( s ) i 。i 【0 ，a 】s = h ( s ) 训8 ，0 】s + 2 h 【0 ，州 o 使得 一警一警 删划s 叫s ；，吣) s 矗， 由引理2 1 0 ) 知茁在 o ，卅上为有界的，这里取i 。一a 】l 因为( k 空间为c r d 的子空间且托g ，所以甄g d 设一m 口0 如果口为右稠密点，因为 g d ，所以可取充分小的占1 ，使得对任意o ( 一6 1 ，t + 6 1 ) n ，1 ，有 i z p ) 一。t 。( 口) i = i 娩( 目) 一。f ( 9 + 如一t ) i o 使得如果目+ ( 口一如，口+ 如) n t ， 则= 口从而当l t o t l 6 2 时有日一如 口+ t o 一 目+ 6 2 ，即 日+ t o t ( 口一如，p + 6 2 ) 所以p + t o t = 日从而 i 。( p ) 一z 如p ) i = i 钆( 目) 一轨( 臼+ t o t ) i = o 0 ，o ( 一o 。，+ 。) 使得 i 轨( s ) 一o i ；，s ( 口一如，目+ 如) n ， 从而 i 娩( s ) 一。t ( 9 ) 1 1 轨( s ) 一。i + f 甄( 口) 一。| i + i 3i - 1 0 。厂、8。厂8。厂8。 一 一 一 取l t t o l 6 3 ，则口+ t o t ( 口一如，p + 如) nt 所以 i z t 。( 口) 一。t ( 8 ) = i 茁( 9 + t 。一t ) 一。t ( 口) l o ，使得当如( 芒一j ，t + 占) n 面时有 一燧。m 口) 一( 目) i o ，有o u + p 口k ， ( 托) u ，一让k 有u = 0 ，则k 是锥 现在我们介绍下面证明中将用到的著名的k m s 竹e 2 s 兢i 不动点定理【9 引理4 1 设x 是b 蚴n c 空间，cx 是一个锥，q 1 ，q 2 是x 中的有界 开集，且o q 1 ，q 1 q 2 ，f ：kn ( n 2 q 1 ) _ k 全连续，如果满足条件 ( i ) 对任意u kna n l 有i i f u | | 茎i l u i i ，且对任意的kna q 2 有 l l fu j l i j 或者 ( 祝) 对任意的u kn a q l ，有i l f u l l l l u ，且时任意的u k n a n 2 有 l l f u | | l i u m 则f 在k n ( q 2 q 1 ) 中必有不动点 令 。= u g d ( t ，r ) i u + u ) = “( t ) ) ， 1 2 定义 。黼i ，缸r 引理4 2 设 u ”) c 兄，u 兄且矿一乱m 一) ，则 叼) 关于t 一 致收敛于让t ( h 证明因为l i u ”一u i | 一o ，n 一十，所以对任意的e o ，存在正整数 使得对任意n 有：l l 矿一u l | 因此 0 0 l 让? 一u t l n = ( s ) i 仳? 一钍t 产，o 】s = ( s ) i u n u p + t l q s i u “一u | | ( s ) s o ，则 刚如) ，( s 矧s ：j 蚺，( t ) ：。( t ，u n ( t ) ) 一e 。( u ，o ) 一l “”p ”p ”p 川 p ( 亡) 4 歹。g 。c 盯c t ，。，c 。，u ：，。一芦g 。c t ，。，c 。，u ? ，。厂g 扣 s ) ，( s 矧s _ 。刚如) ，( s 矧s p ( t ) 由引理2 7 可得： i 肛( 亡) g 扣= 辨= 而赢揣= 高 + 再高丽刚t s ) ，( s 川n ) 8 = 糕郇 s ) ，( s 心) s _ i 郇，s ) ，( s 心) s 口【纠 一# )， + 丁了翻g n ( 。，s + u ) ，( s ，u ? ) 8 = 糕( f u “) ( t ) + 端g ” ，s ) ，( s ，乱s + r 志g n ( t ，s + u ) ，( s ，u ；) s 一g n ( t ，s ) ，( s ，札? ) s o 。( 亡) 肛( t ) = 。? 1 + o 。( t ) 肛( t ) 一n 。( t ) 肛( t ) f u “) ( t ) + f u “) ( t ) + f u ”) ( t ) + 口 。然等端学厶1 + ( t ) 肛( t ) 一 焉，。，u ? ) g n ，t + u ) 一g n ( t 靠巾，u a 蔫( m ) + 志m ，蚋 g 矜 “， 哪 小厂，： “ ” 刚 净 措一矿 上 一“ s p 一扣 一+ ，一羽竺 盟缨懈瓣抄 当 一 | | 比因 若d ( t ) = t ，即p ( t ) 一o ，由引理2 5 ，引理2 6 ，引理2 7 得 一( 慨( 州) ，( s ，u ：) 8 + l 1 忑丽f 广 = m ，u 沪州潞，( s ，仳弘s 即当盯( t ) = t 时有：( f u ”) ( t ) = 一0 n ( t ) ( f 矿) ( t ) + ，( t ，u ) - 故对任意t ， 均有 所以 即 蔫( 雕m ) + 高巾w ) = 齐券( 础m ) + 百赤丽八屯嵋)一1 + o 。( t ) 肛( t ) p “1 + o n ( t ) 肛 ) 。、“ + 禹( 凡) ( 旷再栖八t 地) 2 憨：鞴。，1 1 + o 。( t ) p ( t ) 1 + 9 0 ) 一( t ) j 、 1 八t ，乱? j 八【，毗j l i1 + n 。“( t )1 十o ( t ) 肛( t ) l ) 邸) = 蔫州t ) + 抛 m m rll。 岛国 小“ 作 ，渤翳 这里 厶( t ) = 一i p + i1 镌锵。1 黝) ，( ，u ? )，( t 讧) 一 f ( f u ) ( t ) j i j 由引理4 - 2 及( 岛) 可知乱 一地，( t ，u ? ) 一，( t ，饥) ，礼一+ o 。又因为n ( t ，z ) 在 o ，使得对任意z 而，s 融t + u 有：i ，( s ，茁。) i m 1 ，且存 在a 磊 0 ，使得i 口( t ，。) l 因此 ( t ) i 2 尬i ( f “) ( t ) i + 2 尬2 肌尬+ 2 舰 所以怕刈b + ( s ) s ，这里 2 。墨。g 瓣) s ) ，g 摊 s ) = 潞= 蒜 0 t 、5 o ，使得对任意妒g ，川 f j 硒，噩】有，( ，妒) k 1 ( a u ) ( 凰) 存在尥 o ，使得对任意妒q ，m 硷有，( t ，妒) 恐( b u ) 定理5 1 ( i ) 若( 日3 ) 成立且，。= ，”= o ，则( 4 1 ) 至少有两个正u 一周 期解u 1 和“2 ，满足o 1 1 1 k 1 l l “2 睢 ( i i ) 若( 凰) 成立且，o = ，磊= 。，则( 4 1 ) 至少有两个正u 一周期解u 1 和u 2 ，满足o i l 仳1 1 1 k 2 1 1 u 2 - 证明因为( i i ) 的证明与( i ) 相似，这里仅给出( i ) 的证明过程由，o = o 可 知，对任意e ，若o l ( b u ) ，则存在r o k 1 使得 ，( 亡，妒) i 妒l h ，妒g ，o i 妒i 伽( 5 1 ) 令n = t 上只，i1 u | | 伯 则对任意u na n r o 有： i i u l l = r o ，6 i u t l 6 l i u | i u ( 口) 因此u 既，6 r o u t l r o 由( 4 4 ) 及( 5 1 ) 有： l i f u | | b ，( s ，u 。) s b s l l 一s b s u i l 训i 1 i u 忆 即i i f i i i | u i i ，u na q 抽 另一方面，由，o 。= o 可知，对任意e ，若满足0 k 1 ( a u ) ，由引理4 4 ，i i f u | | 。夕 a ，( s ，u 。) s a 甄u ( a “j ) = k j = i i 训i 所以l l f u i l i i “i l ，“场n a n 。 由引理4 5 ，引理4 6 可得f ：n ( n ，。q k 。) 一凰且f ：k dn ( 而k ，q r 0 ) 一蜗是全连续的因此由引理4 1 ，f 在j 岛n ( n 虬q r 。) 和j 0n ( 囝，。q 皿) 中分别存在不动点u 1 和u 2 所以( 4 1 ) 至少有两个u 一周期解札1 和 札2 ，满足o | | u 1 i l k 1 l | 乱2 _ 下面的定理在后继定理的证明中起着关键的作用，我们予以介绍 2 0 引理5 1 如果( 凰) 和( 凰) 成立，则( 4 1 ) 至少存在一个正u 一周期解u ， 满足l 位于髓和之间，其中硒和分别在( 日3 ) 和( 凰) 中定义 证明 不失一般性，不妨假设拖 k 1 ( 否则可以应用4 1 ( i i ) 证明此引理) 令q = u j o li i u | | 尥) ，则对任意“k jna q 拖，由( 4 4 ) 和 ( 皿) 有： i i f 训l b ，( s ，) s l i u | i ，从而由引理4 1 知本命越成立 定理5 20 ) 若，o f 0 ，1 ( b u ) ) ，厶。( 1 ( 4 以j ) ，。o ) ，则( 4 1 ) 至少有一 个正u 一周期解 ( “) 若厂。【o ，1 ( b u ) ) ，0 ( 1 ( a 6 u ) ，o 。) ，则( 4 1 ) 至少有一个正u 一 周期解 证明 ( i ) 设，o = 0 1 【o ，l ( 日u ) ) ，厶= 卢1 ( 1 ( a 6 u ) ，) 对 e = 1 ( b u ) 一口1 o ，存在充分小的r l o ，使得当| 妒i 且l 时有： 燃掣 0 使得当l 妒i h d r 2 时有： 。珊】韶 s = 1 ( 舰) 所以当l 妒l d r 2 ，r 2 ，t 【o ，u 】时有：， ，妒) r 2 d ( a d u ) = r 2 ( a u ) ，即 条件( 风) 满足故由引理5 1 知本命题正确， ( 扰) 设如= n 2 ( 1 ( a 6 u ) ，。o ) ，o 。= 岛 o ，1 b u ) 对任意= 2 1 ( a 6 u ) o ，存在充分小的r 3 占凰( a 如) = r 3 ( 舢) ，即 条件( 日3 ) 成立对e = l ( b u ) 一岛 o ，由，。= 恳知存在充分大的r 4 r l ， 使得当妒l h 风时有： 蹦掣 r 4 以及 t o o ，u 】，使得当o r 4 ，故由( 5 4 ) ，( 5 5 ) 可得，当o 朋j b u 由( 5 6 ) ，当o i 妒j r 5 ，t o ，】时 有：，( t ，妒) 如 r 5 ( b u ) ，即( 甄) 成立故由引理5 1 知本定理成立 一 定理5 3 ( i ) 若( 爿j ) 成立，南，厶( 1 ( a 6 u ) ，) ，则( 4 1 ) 至少有两个正 u 一周期解乱1 和u 2 ，且满足o l i 1 | | j g l i u 2 其中尥在( 丑j ) 中定义 ( 杌) 若( 日3 ) 成立，o ，”【o ，1 ( b u ) ) ，则( 4 1 ) 至少有两个正u 一周期解 “1 和u 2 ，且满足o l i 札1 l l 诌( a u ) 由，o ( 1 d u ) ，) 和定理5 2 ( 新) 的证明知，存在充分小的兄；( o ，j 岛) ，使得 当i 妒i 【6 弼，r ，妒g ，有 ，( t ，妒) 弼( 舭) 由引理5 1 ，(