（应用数学专业论文）探测法重构多个散射体的数值实现.pdf

摘要 声波障碍体的散射中( o b s t a c ks c a t t e r i n g ) ，由散射波的远场数据 “。( ，d ) ：，d 5 , m 1 ) 重构多个不同类型散射体的边界一直是研究的难点，传统的方法是利用优化的办法反复迭 代重建散射体的边界，但是需要知道散射体的边界类型本文主要考虑用探测法重构两个 不同类型散射体边界的数值实现，包括了同时重建散射体的边界位置和类型最近发展起来 的探测法( p r o b cm e t h o d ) 是一种重要的反演方法，其基本恩想足基于h e l m h o l t z 方程基本解 的r u n g e 逼近和d i r i c h l e t - t o - n e u m a n n 映射构造一个带参数点z 的指示函数j ( z ) ，再根据它 在边界上的爆破性得到散射体边界的特征化表示该方法理论上不仅可以重构散射体的位 置和形状，还可以区分各散射体的边界类型但该方法的具体的数值实现目前仍未完成， 尤其是对多个散射体在重构多个散射体时，针的合理选择和指示函数的数值渐近行为是 一个关键的问题本文就两个散射体的情况讨论了其数值实现的问题，并给出了一些初步 的结论这是对探测方法应用于多个散射体的首次数值研究本文的工作可以分为如下三 个部分 首先我们讨论针的选取和包含多个散射体的非凸性区域的构造，进而通过解该非凸性 区域边界上的第一类积分方程来构造基本解的r u n g c 逼近( 功，它在f t 上的限制是我们构 造指示函数的基础和已有的单个散射体的r u n g e 逼近函数的构造相比较，我们这里需要 仔细选择针的方向和位置 其次我们讨论了如何得到在构造指示函数时所需要的n e u m a n n 数据雾i a n 原则上该 数据是由给定的远场数据和通过解一个积分方程得到的为了更清楚地检验探测方法 对多个散射体的数值效果，我们这里是假设散射体已知，通过解一个对应于多个散射体的 h e l m h o i t z 方程混合边值问题来得到为此我们采取了位势理论和边界积分方程的方法，化 为一个低一维的积分方程的求解问题，减少了计算量，并且避开了数值微分数值实现的关 键在于积分方程组的离散和奇性积分的处理 最后，结合数值例子我们给出了探测方法重构两个不同类型散射体边界的具体过程， 数值结果表明在r u n g e 逼近的有限精度和指示函数对所有边界点的一致要求下，我们不能 对其重构效果有过高的期望，但它可以作为某些迭代方法的初始猜测，进而改善重构效果 关键词：逆散射，多个散射体，探测法，指示函数，r u n g e 逼近，边界积分，数值实现 a b s t r a c t i n v e r s es c a t t e r i n gp r o b l e m sf o ra c o u s t i cw a v ea r ev e r yi m p o r t a n ti nt h ea p p l i e ds c i e n c ea n d n u m e f i c ma n a l y s i s ，t h e ya i mt or e c o n s t r u c tt h es h a p eo ft h eo b s t a c l ef r o mt h ei n f o r m a t i o no f s c a t t e r e dw a v es u c h 舾i t sf a r - f i e l dp a t t e r n t h eo p t i m i z a t i o nt e c h n i q u eh a sb e e na p p l i e dw i d e l y f o rt h er e c o n s t r u c t i o no fo b s t a c l eb o u n d a r y , b u tw i t ht h er e s t r i c t i o no fk n o w no b s t a c l et y p e s t h i s p a p e rc o n s i d e mt h er e c o n s t r u c t i o no ft w oo b s t a c l e s 而t hd i f f e r e n tb o u n d a r yt y p eb yp r o b em e t h o d i n c l u d i n gr e c o v e r yo ft h eb o u n d a r ys h a p ea n db o u n d a r yt y p es i m u l t a n e o u s l y t h eb a s i ci d e ao ft h i s m e t h o di st oc o n s t r u c ta ni n d i c a t o rf u n c t i o nw h i c hb l o w su pi nd i f f e r e n tw a y so nt h eb o u n d a r i e s f o ro b s t a c l e sw i t hd i f f e r e n tb o u n d a r yt y p e s o u rp a p e rc o n c e r l w i t ht h en u m e r i c a lr e a l i z a t i o no f t h i sm e t h o df o rm u l t i p l eo b s t a c l e s b yc o n s t r u c t i n gt h er u n g ea p p r o x i m a t i o nf u n c t i o na n dt h e c o n e - s h a p ed o m a i ns m t a b l y it h i sp a p e rf i r s t l yg i v e san u m e r i c a lt e s to fp r o b em e t h o df o rm u l t i p l e o b s t a c l e sa n do b t a i 越s o m ec o n c l u s i o n s o u rp a p e rc o n s i d e r st h r e ep a r t s f i r s t l y , w e c o n s i d e r t h e c h o i c e o f n e e d l e f o r p r o b e m e t h o d a n d t h e c o n s t r u c t i o n o f a p p r o x i m a t e d d o m m ni nt h ee a s eo fm u l t i p l eo b s t a c l e s b ys o l v i n ga ni n t e g r a le q u a t i o no ft h e 丘r 8 tk i n dw i t ht h e m i n i m u mn o r ms o l u t i o n ，w ec o n s t r u c tt h er u n g ea p p r o x i m a t i o nf u n c t i o ns u c c e s e h f l y t h e s ed a t a a r eu s e di no u rc o n s t r u c t i o no fi n d i c a t o rf u n c t i o n s e c o n d l y , w ec o n s i d e rt h es i m u l a t i o no fn e u m a n nd a t ai nt h ei n d i c a t o rf u n c t i o nb ys o l v i n g t h ed i r e c tp r o b l e m t h e o r e t i c a l l y , t h e s ed a t as h o u l db es o l v e df r o mt h ef a r - f i e l dp a t t e r nf r o m i n t e g r a le q u a t i o nw i t hh y p e r - s i n g u l a r i t y t oa v o i dt h ee r r o ri n t h i sc o m p l i c a t e dp r o c e d u r e ，w e g e n e r a t et h e s ed a t ab ys i m u l a t i o np r o c e d u r e ，w h i c hi so b t a i n e df r o mb o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o n m e t h o d t h i sp r o c e d u r el e s s e n st h ea m o u n to fc o m p u t a t i o na n da v o i d st h ed i f f e r e n t i a lo p e r a t i o n i no b t a i n i n gt h en e u m a n nd a t a f i n a l l y , w er e a l i z et h ep r o b em e t h o db yg i v i n gs o m en u m e r i c a lp e r f o r m a n c e sf o rd i f f e r e n t s c a t t e r i n gc o n f i g u r a t i o n s o u rr e s u l t sj n d i c 毗et h a tw ec a nn o te x p e c tt o om u c hf o rt h ea c c u r a c y o ft h i sm e t h o d ，p r o v k h u lw ca 8 8 1 1 t n et h eb l o w i n gu pc r i t e r i o nu n i f o r m l yf o rd i f f e r e n tp o i n t so ft h e b o u n d a r y h o w e v e r t h ea p p r o x i m a t es h a p eo b t a i n e df r o mt h i si n v e r s i o na l g o r i t h mc 姐b eu s e da s t h ei n i t i a lg u e s sf o ro t h e ri t e r a t i o n - b a s e dr e c o n s t r u c t i o ns c h e m e s k e y w o r d s ：i n v e r s es c a t t e r i n g ，m u i r i p l eo b s t a c l e s ，p r o b em e t h o d ，i n d i c a t o rf u n c t i o n ， r u n g ea p p r o x i m a t i o n ，b o u n d a r yi n t e g r a l ，n u m e r i c s 一、学位论文独创性声明 东南大学学位论文 独创性声明及使用授权的说明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果尽我所知，除了文中特别加以标明和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材 料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了 谢意 二，关于学位论文使用授权的说明 签名。啦日期。龇 东南大学、中国科学技术信息研究所国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的复 印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档的内容和纸 质论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包 括刊登) 论文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究生院办理 签名；衄导师签名。蛰】丛墼呈日期；氆蛐 第一章引言 反问题广泛存在于自然科学和社会科学中，几乎有正问题就有反问题它是地球物理 勘探，油气油田开发，岩土工程、材料和结构的无损检测和评价、医学上人体的癌症肿瘤的 检测、国防上雷达和声纳的探测和跟踪等应用科学的基础当我们把具体的物理现象用微分 方程定解问题来描述时，反问题一般是重构微分方程中的未知系数、区域形状，边界条件或 初始条件h a d m a r d 在上个世纪指出；对于一个给定的问题，如果其勰存在，唯一。且连续 依赖于所给定的输入数据，则称该问题是适定的，否则是不适定的在此意义下，大多数反 问胚都足不适定的并且通常尾非线性的这意味着当我们所利用的原始数据足有扰动的测 量数据时，在经典意义下问题的解可能不存在解即使存在也不一定唯一，而且解可能不连 续依赖于输入数据，即原始数据小的观测误差会导致近似解与真解的严重偏离这给反问题 的研究带来了本质上的困难，以至于在上世纪初处于停滞不前的状态自从原苏联科学家 t i k h o n o v 在上世纪6 0 年代找到该类问题的解决办法一正则化方法后，才引起了人们对反 问题研究的极大兴趣，在理论上和数值上都有了突破性的进展但是标准的t i k h o n o v 正则 化方法在用于具体的问题时很难验证一些假定条件，因此对一些具体的问题，倾向于发展 一些专门的办法例如在声波逆散射问题中近年来就发展了一些新的方法如线性抽样法， 探测法等 1 1 逆散射问题的背景 声波逆散射是数学物理中一类非常重要的反同题入射平面声波碰到散射体后会产生相 应的散射波，逆散射问题是由测量到的散射波的信息来获得散射体的一些性质，如位置、形 状，内部结构等散射波分布于无穷大区域冗m 昼内任一点，要想在每一点直接测量散射波 显然是不现实的一种物理上可测量的数据是所谓的散射波的远场形式( f a r - f i e l dp a t t e r n ) ， 本质上它是散射波在充分远处平面波的近似振幅因此在逆散射问题中，通常把散射波的 远场形式作为可测量到的输入数据，由此来求解逆散射问题就散射体而言，一般分为可穿 透的和不可穿透的两种对不可穿透的物体，散射完全由物体的边界决定，与物体的内部结 构无关，这时逆散射问题通常是确定散射体的形状或边界条件；对于可穿透的物体，散射 与物体的边界和内部结构都有关，这时逆散射问题通常是确定两种不同介质之间的折射率 ( 1 4 ，5 】) 考虑在钟( m = 2 ，3 ) 中给定入射甲面声波t l ( d ) = e b 4 的逆散射问题，波数k 在共 振区域内，d 为入射方向若散射体为单个或多个相同边界类型的物体时，相应的声波正 散射和逆散射问题已经有了很多研究工作( 【4 ，5 】) 本文考虑两个不同类型散射体的情况，它和单个散射体的反问题有本质的区别假设 d 1 ，d 2 均为不可穿透的物体，其中d 1 为s o u n d - s o f t 型的，d 2 为阻尼型的，f 0 为阻尼 东南大学硕士论文 2 系数且磊n 磊= g 特另q 地。如果口= 0 ，d 2 就是1 n d - h a r d 塑的散射体，入射波作用 在d ：d 1 u d 2 上，产生散射波( z ，回。其远场形式为泸( 詹，d ) ，毋，d s ”“( 冗”中的单位 球面) 。在d 外，总场“( ，d ) = 矿( z ，d ) + u a ( z ，回满足h e l m h o l t z 方程定解问题 ia u + 舻u = o b 筹u = 一o 。m ：m p 孚， z 7 己m d ， g a d ( 1 1 ) r = 忙l ( 1 1 ) 中的第三个式子称为s o m m e ! i f e l d 辐射条件，数学上它保证了该外问题解的唯性，物 理上保证了散射波是向外传播的b 是边界算子，它对应在o d = a d 1u a 如上的边界条件 为， s o u n d s d ，tb o u n d a r l l ：= 0 mo d a ， t 唧e 协6 。w 池州考+ 订”o ma 仍 其中v 是a 现的单位外法向量 记h o l m h o l t z 方程的基本解为 嘶= 警e l 。l = - u l 酬o 寰删h i = 2 , ， l 厣一圳 “7 一一 由s o m m e r f e l d 辐射条件及g r e e n 公式( | 5 】) ，可以得到 州= z 。h ) 雩岩一箬咖) 卜n 舻饵 ( 1 z ) 另一方面，由渐近关系式 卜虻厢i 骊咄i 廿，+ 。( 刍) 删i o o ( 1 3 ) 把m = 3 时的基本解渐近展开成 高；而e i k l = l ip 始( 高) ) 磊币习。荔币it 。1 。雨， 同时利用h a n k c l 函数的渐近表达式 磴) ( t ) = 仔p 纠， - + d ( 孙t 一* ， 可得到m = 2 时基本解的渐近表达式 因此 雌舻筹p d ) + 。( 泓蚓一 ( 1 4 ) 东南大学硕士论文 3 其中 邶加肿需一跏叫枞t 一1 一( 争：固 称为散射波t ，向) 的远场形式 定义a ：一u * 。它将h e l m h o l t z 方程的辐射解映成其远场形式由l k l l i s h 引理 【5 】，该算子是一一的另外，由于驴( s ”- 1 ) 中的函数要满足一定的增长性条件才有可能是 某个散射场的远场形式，因此对任意给定的函数o 。三2 ( s m - 1 ) ，只要它不是远场数据，算 子方程4 = 俨就不定有解，即使有解也不连续依赖于俨( 【5 】，定理2 1 5 ，2 1 6 ) 这给用 远场数据 u * ( 圣，d ) ，童，d s m o ) 的近似数据来重构散射场( z ) 带来了很大的困难( 【2 2 】) 然而该过程在很多反演方法中是必焉的，因为在由远场形式反演散射体本身的问题中，很 多方法都是先把散射波的远场转化为近场，再利用边界条件通过优化的近似方法或其它定 性的准确方法来反演散射体的边界( 【1 8 ，2 3 】) 1 2 逆散射问题已有的工作 近二十多年来，由d e l a w a r e 大学的d ，c o l t o n 教授，g s t t i n g e n 大学的r k r e 和k a r l s r u h e 大学的a k i r s c h 等领导的研究小组一直致力于逆散射的研究，提出了许多反演方法，在理 论上和数值上都做了大量的工作就声波障碍逆散射而言，这些工作大多集中在单个或多 个相同类型散射体的情况，我们简单地回顾一下这些方法( 2 4 1 ) o 第一类为非线性最优化方法和迭代法，主要有n e w t o n 方法、l a n d w e b e r 迭代法等， 其优点是即使在有限的入射波和散射波数据或者有限孔径( 1 i m i t e d a p e r t u r e ) 条件下，也可以 得到精确的重构图象，但它们都是建立在迭代计算b 抱l a l e t 导数或求梯度的基础上，因而其 缺点是计算量大，耗时 o 第二类是分解算法，主要有对偶空间方法、点源方法，散射场的近似方法，它们具有 共同的思想方法：将非线性不适定的逆散射问题分解成线性不适定的部分和非线性适定的 部分，这样先由散射场的远场形式重构散射场，再由总场重构散射体的边界，其缺点是要求 较多的入射和散射数据，并且要求已知边界条件的类型 o 第三类是近年发展起来的两种线性抽样法和探测法第一种抽样方法是先求解线性 不适定的积分方程，得到表征散射体的指示函数，再根据指示函数的性质重构散射体的形 状；第二种抽样方法并不直接求解积分方程，而是由算子分解，利用p i c a r d 定理和算子的 谱数据，直接得到散射体边界的特征化表示探测方法同两种抽样方法一样，要求测试区域 包含未知散射体，以便测试抽样区域内的点，其优点足不必先验地知道散射体的个数、形状 以及是何种边界条件 下面我们着重介绍探测法的理论基础，因为与抽样方法相比，探测法不仅可以确定散 射体的位置和形状，还可以区分各散射体的边界类型，而且本文主要讨论的是探测法的效 东南大学硕士论文 4 值实现问胚 探测法是由日本数学家m i k c h a t a 于1 9 9 8 年提出的【1 0 1 【1 1 】中给出了关于s o u n d - s o f t 散射体和s o u n d - h a r d 散射体的探测法的理论分析，这里是将近场的测量信息作为输入数据； 而1 2 1 中讨论了如何由远场数据重构近场作为前者的输入数据。二者结合在一起实现了由 给定的远场数据( t ”( ，d ) ，d s ”- 1 ) 到o d 的重构l i uj d u n ，c h e n gj i n 和n a k a m u r ag e n 将此探测法用于单个阻尼型散射体的声波逆散射中，理论上证明了该方法重构o d 及未知阻 尼的可行性和唯性【1 8 ，1 】其基本思想是先由远场重构近场，通过解第二类f r e d h o l m 积 分方程得到d i r i c h l e t - t o - n e u m a n n 映射；再对给定的探针c 和时间t ，在包含散射体d 的非 凸性区域c ( c ，t ) 内构造基本解的r u n g e 逼近；然后构造一个带有散射体外面参数点c ( t ) 的 指示函数假设t ( c ，d ) 是探针c 关于散射体d 的几何影响因子，当0 t t ( c ，d ) 时指示函 数是存在的；另一方面，当t ( c ，d ) 1 且t 一( c ，d ) 一对指示函数趋于无穷，即指示函数在散 射体边界上爆破由此可以得到a _ d 的精确的重构公式to d = c ( 吼：“。d ) ：t ( c ，d ) 1 ， 再用矩方法( m o m e n tm e t h o d ) 确定阻尼系数 该探测法在理论上很完美，但在具体的数值实现过程中会遇到很多困难在文章f 2 】中， 先通过解正问题模拟产生d i r i c h l e t - t o - n e u m a n n 映射【1 9 】，再将此作为输入数据对关于单个阻 尼型散射体的探测法进行了数值实现【2 6 1 中考虑了具有s o u n d - s o f t 边界的散射体，在给出 指示函数的构造的基础上，进一步提出了利用模拟数据实现探测法的一个改进的方法 文章【3 】中考虑多个不同类型散射体的情况，试图用探测法重构各散射体的位置和形状， 并确定它们的边界类型。理论上证明了可由散射波的远场形式唯一确定d i r i c h l e t - t o - n u e m a n n 映射，并将其作为输入数据构造指示函数，根据指示函数实部的爆破性重构各散射体的边 界，且从重构图象可以得到散射体的个数和重构的唯一性；再结合指示函数的虚部确定各 散射体的边界类型；对阻尼型的散射体，还可以求出它的边界阻尼但是对该方法具体的数 值实现，一直没有进行，而这正是本文将要做的工作 下面介绍探测方法中的一些基本概念，并给出将其用于多个不同类型散射体时的一些 理论结果 定义1 1 对任意连续曲线c = c ( t ) 1 0 t s l ，如果满足； 0 ) c ( o ) ，c ( 1 ) o f f ；( j i ) c ( t ) a ( o t 1 ) ， 则称c 为n 内的一根针( n e e d l e ) 定义1 2 对n 内的针c ，称 t ( c ，d ) = s u p 0 t 1 ：c ( 5 ) n 西，0 骞 o 都存在一个日1 ( n ) 中的序列 ) 。；l “， 满足+ 2 = 0 ，且5 岬妒( h 2 ) cf ， t h ，圣( 一o c t ) ) ， n 日厶。( q t c ( ) 10 亡，讣) 显然v 1 讲是依赖于c ( 0 的，记l 刖j = 厶( - c ( t ) ) 其中厶( ，c ( t ) ) h 1 2 ( a n ) 。且 s 1 御( ，c ( ) ) ) cr 对给定的c n 和0 t 1 ，构造指示函数( i n d i c a t o rf u n c t i o n ) z ( e ，c ，= 桌恐而5 孑= 面霜_ ；丽， ( ，“t ) ) ) ， ( 1 1 1 ) 其中( t ，) 足棚2 上的l 2 内积 探测法的主要结果如下( 3 】； 定理1 7 对给定的探针c n ，若d l 为s o u n d - s o r 散射体，d 2 为阻尼型散射体，则 ( a ) c ( t ( c ，d ) ) o d 当且仅当t ( e ，c ) 对所有的0 t t ( c ，d ) 存在，且 瞬【，( t ，c ) ) i + ， f o r0st ( f ( c ，d ) l ( i 。r a d 1 一邮( 。，c ) ) i = + o o ) 当c 0 ( c d ) ) o d = o d l u 8 d 2 时， h 黔卜州，c ) ) 5 + 。铮c ( 。( 。，d ) ) a d l _ l l i 。r a ，卜r ( f ( 。，。) ) = 一o o ，。n dh l “i r a d ) 一9 ( ，( t ，c ) ) = + o o = 亭c ( t ( c ，d ) ) a d 2 该定理说明指示函数的实部r ( z ( t ，c ) ) 可以用来计算g i p ，从而确定a d = 8 d 1 u 8 d 2 再结合虚部9 ( ( t ，c ) ) 区分这两个散射体的边界类型 定理1 7 只是关于多个散射体的理论结果，到目前为止，并没有这方面的数值实验 东南大学硕士论文 1 3 本文的工作 7 本文主要考虑关于两个不同类型散射体d l ，d 2 的探测法的数值实现，其中d 。为s o u a d - s o f t 物体，d 2 为阻尼型物体 以下均假设m = 2 ，当m = 3 时的情况类似 在数值实现探测法时，我们必须先对某固定探针的一部分c = f c ( t ，) ：0 r t ) c a z 3 ，c ( 0 ) a n ，定义锥形区域c o n e ( e ，t ) c n d ，使得c c c o n e ( e ，t ) ；再让t 变化，使c ( t ) 不所靠近散射体，从而重构此探针方向上的边界点当然，在t 变化的同时要让c a n e ( c , f ) 也变化，始终保证ccc o n e ( c ，t ) 最后调整探针的方向，重构o d 的所有点 探测法实现的基本步骤是， ( 1 ) 对给定的针c 和点c ( 力，构造区域g 以力一n 西赢丽虿，则“) g 酾 ( 2 ) 构造r u n g e 逼近函数，使一圣( - 一“t ) ) ，l ng ( c t ) ，由此定义a ( 3 ) 计算a s d 厶和a 0 厶 ( 4 ) 对充分大的n ，由( 1 1 1 ) 近似计算z ( t ，c ) ( 5 ) 若乳( m ，c ) ) 足够大，则认为c ( t ) 已经靠近a d l ； 若虢( m ，c ) ) 足够小，则认为c ( t ) 已经靠近d d 2 ； 从上面的步骤可以看出探测法实现的两个关键组成部分； r u n g e 逼近的实现和i n t n 映射的模拟 第二章将讨论非凸性区域c ( c ，t ) 上r u n g e 逼近函数 ( ) 的数值实现其难点在于r u a g e 逼近定理本身并没有提供一个可行的构造途径；另外，针c 的合理选取，以及对给定的钟c 和时问t ，满足c ( c ，t ) c cq f c ( c 训0 t st 且边界伊光滑的非凸性区域g ( c ，t ) 的构 造也是我们所要重点考虑的该过程不同于单个散射体的情况：假设原点位于散射体中， 用连接固定的外边界n 上的任意一点与原点的直线作为探针，可重构散射体边界上的每一 点由于这样构造的针始终指向原点，故对多个散射体的情况，就可能无法探测到两个散射 体邻侧的部分边界在本文中，我们将采用分别平行于两个坐标轴的探针，以便实现两个散 射体的所有边界点的雨构同时，在构造包含i c ( ) 10 e 时，我们就认为c ( t ) 靠近s o u n d - s o f t 散射体d 1 ，当虢( ，( c ，t ) ) 一g 时，我们 就认为c ( t ) 靠近阻尼型散射体d 2 从数值结果来看，我们只能得到散射体的大体形状，尤 其是两个散射体邻侧的部分边界的重构效果不理想但我们可以将它作为某些迭代方法的 初始猜测，进而提高逼近精度 第二章多个散射体的r u n g e 逼近函数的构造 基本解的r u n g e 逼近函数的构造是数值实现探测法的重要而困难的问题虽然理论上 保证了r u n g ei 赶近函数的的存在性，但是其证明过程并没有提供一个可行的构造途径近 年来的研究工作表明。可以借助于一类优化闯题来实现，本质上是求解关于密度函数的第 一类边界积分方程【2 l 】具体地讲，本文采用类似于1 2 1 2 中的方法，将以壬( ，c ( t ) ) 为右端项 且对应于不l 可偏差i 1 的第_ 类线性积分方程的最小模解作为，进而得到近似的基本解 由于这样构造的函数依赖于针c 和相应的非凸性区域a ( c ，t ) 。因此在本文讨论的多个散 射体的情况下，c 和a ( c ，t ) 的合理选取是数值实现探测法的关键 2 1 针c 和区域a ( c ，力的构造 取q 为馏中的圆t n = ( z ，可) l $ 2 + y 2 0 ) 充分大时总可以保证d = 百l u 岛c n 对任意给定的2 ：0 ，选取连接( x o ，z z 8 ) ，( x o ，一、r 2 一弼) 的直线作为针c ，且设c ( o ) = ( x o ，、r 2 一碚) ，c ( 1 ) = ( x o ，一、r 2 一$ 8 ) 对选定的针c 和时间t ，我们要构造满足 c ( ，) ：0 0 ) ，令c ( t ) = ( x o ，d + 以) ，定义 删引，= 捻裟嚣! 筹l 关= ：鼍苫篙三譬三篡：赫嵩：蒿? 则显然满足 c ( t ) ：0 0 下的最小模解由最小模解的标准理论( 1 4 1 ) ，存在 唯一的密度函数g 。c c c t ) ，) l 2 ( s “一1 ) 满足： 月g j e ( o ，胪( 弘一，j = j n f t l ( ) h 炉( f m 一，：j j ( 日，) ( ) 一壬( 。一力) h 胪( 蚴d ， ( 2 4 ) 取= i 1 ，n = l ，2 ，定义； z k ( 甸= ( 日9 2 ) ( z ) = e b e 9 2 ( c ( t ) ，o a 3 ( 0 ， z 舻 ( 2 5 ) “ j s m l ” 则( $ ) 是 i d m h 0 1 t z 方程在舻内的解由乳( c ( t ) ，) 的定义知，( 功eg 2 ( g ( c ，t ) ) n c ( e 不巧) ，且满足； i i t h ( ) 一圣( 一c ( t ) ) l l l 2 ( a o ( c , t ) ) 因为( ) 一圣( 一c ( t ) ) 在c ( c ，t ) 内满足h e l m h o l t z 方程，且h e l m h o l t z 方程d i r i c h l e t 外问题 是适定的( 【5 】，t h 5 4 ) 。所以t v n ( x ) 一圣扛一c ( t ) ) ，i n 玩k ( g ( c ，t ) ) 由此构造出满足引理1 6 的v n ( x ) ，从而有 厶( ( t ) ) = ) ( z ) 2 厶一，e 珠”( c ( ) ，f ) 幽( e ) ，z o n ( 2 6 ) 另外，为减小数值实现过程中的计算量，给出如下引理 引理2 1 ( 2 3 1 ) 假设z 为正交旋转矩阵，z 为平移向量，g ：= z g - i - 2 ，即g 由g 旋 转和平移得到，则( 2 3 ) 对应于o g = 的最小模解啦与g 有如下关系， 出( z ，回= e - i “勺( c ( t ) ，z “d ) 对固定的c ( t ) g 丽，由t l k h o n o v 正则化和m o r o z o v 偏差原理( f 1 4 】) 知踺( 印) ，f ) = 蜘可由方程 日伽) ( 。) 一圣( 。一c ( t ) ) l l c , c o o ( 掣) ) _ ；( 2 7 ) la l p o ( f ) + ( 日z - z 妒o ) ( o = ( 日。蛋) ( f ) 求解得到h 是日的共轭算子，日+ ：驴( a g ) 一驴( s ”一1 ) ， ( 日+ 扛) 2 厶8 “船妒( o 幽( ( ) 东南大学硕士论文 由t i k h o n o v 正则化知( 叮+ 日+ 日) 是有界可逆的上述结果需要日：驴( 占“- 1 ) 一l 2 ( a g ) 是 紧的一一的线性算子。且日( 舻( 占“1 ) ) 在l 2 ( o g ) 中稠 引理2 2 ( 1 2 4 ，l e m m a3 1 2 ) ：设g ( c ，f ) c 舻是边界为c 2 类的有界区域，使得一k 2 不是 l a p l a c e 算子在g ( c ，t ) 内的特征值，则算子日：驴( s “一1 ) 一l 2 ( 0 g ( c ，t ) ) 在l 2 ( o g ( c ，t ) ) 中有 稠值域 记足方程 a 妒( f ) + ( 日。日妒) ) = ( 丑圣) ( ) 的解，则函数 1 g 1 ( a ) ：。0 ( 日妒a ) ( ) 一圣( 。一c ( t ) ) l 2 ( a g ( c t ) ) 一二f l , 关于正则化参数a 是单调增加的，且有 占g - ( a ) 0 ( 2 8 ) ( 2 9 ) 从而对任意的忙( - 一c ( t ) ) 0 弘( 船( 6 t ) ) i 1 ，( 2 7 ) 的最小模解存在唯一；若忙( 一c ( t ) ) l l p ( o o ( 4 0 ) ；，则伽= 0 就是( 27 ) 的最小模解 为了由( 2 7 ) 确定最小模解。在数值计算过程中需反复求解( 2 8 ) ，因此数值求解( 2 8 ) 是关键的一步下面我们讨论如何求方程( n f + 日+ 日) 鼬= t t 圣的近似解 定义a ：= 日日，考虑g c ( s t m 一1 ) 时加的数值计算；对g 舻( s ”- 1 ) 的情况。可由 g ( s m - 1 ) 在l 2 ( s m o ) 中的稠密性得到 ( a ，g ) ( 功= j 赫e - i k z j 矗一- e k o g ( d ) d s ( d ) d s ( ) = 如。知tb 。雎扛由9 ( 回d s ( 妨幽( f ) ( z l o ) = j 矗一tk ( $ ，d ) 9 ( d ) d s ( d ) ， 善5 m 一1 耳( z ，d ) = 厶de - i l ( 。一d ) d 5 ( f ) 是已知的连续核函数由于核函数k ( ，) 和右端项( h + 圣) ( ) 均 定义在封闭曲线上，故可将其表示成以2 一为周期的函数令 ，r 2 1 r 厶。一。( 马d ) g ( d ) d s ( d ) 2 工 k ( ，8 挎( 9 ) 甜：2a 日( f ) ：= ( 日圣) 0 代) 一c ( t ) ) 此时，( 2 8 ) 可表示为 。面( f ) + ( 勾) ( 0 = 宣( f ) ，f f o ，2 霄j f z n ) 当a 0 时。( 2 1 1 ) 足带连续核的第二类积分算子方程关于它的数值求解。有很多标 准的方法，退化核逼近法n y s t r 6 m 方法( 或求积方法) 、投影方法( 包括配置方法和g a l e r k i n 东南大学硕士论文 方法) 这些方法的共同思想在于将算子方程( 2 1 1 ) 离散成有限维线性系统来近似求解当 用退化核逼近法或投影方法数值求解( 2 1 1 ) 时，所导致的线性方程组的系数矩阵和右端顼 中每个元素都要计算单重或双重积分，因而计算量较大本文将采用n y s t r 斑n 方法：直接利 用数值积分公式钒( ，) ；艺a j r ( x ：) 近似积分项( 五) ( ) = 詹”霞( e ) j ( e ) d 0 ，再求解系数矩 阵和右端项中只含有核函数霞代，0 ) 和官( 0 在某些离散点处函数值的线住方程组 引理2 3 ( 1 4 】，t h e o r e m1 2 7 ) ：设孔是 n 嘶。g ) + 町霞( 靠) 如( & ) = 豆g ) ( 2 1 2 ) k = l 的解，则在求积节点处的函数值鳕：= 如( 白) ，j = 1 ，n 满足线性系统 。霹+ q 霞( 白，缸) 鳄= 雷( 岛) ，j = 1 ，r ，t i ( 2 1 3 ) k = l 反过来，若西，= 1 ，。是线性系统( 2 1 3 ) 的解，则由 n 味( ) = 青( ) a c r ( f ，靠) 鳏 k = l 定义的如是( 2 1 2 ) 的解 为了让近似解孔收敛到精确解m o 。) ，我们必须保证数值求积公式0 。是收敛的 ( 1 1 4 】，定理1 2 8 ) 当积分区间为被积函数的个周期时，复化梯形公式与矩形公式一致， 取数值积分公式0 。为 厅如* 警备 - - f 2 。r k ) ，j c m m 2 署占 。) ， 其误差为t 晶( ，) ：= 舻，( z ) 如一簪妻，( 攀) 根据周期函数的e u l e r - m a c l a u r i n 级数展开，矩形公式有如下的误差估计式； 引理2 4 ( 【16 1 ，c o r o 9 ，2 7 ) ：设f ：r 一曰是( 2 m4 - 1 ) 次连续可微函数，f 1 p a2 7 r 为周期， m ，n n ，则梯形公式的误差 i e 。( f ) ls 丽c 五2 ”i f ( 2 州( $ ) i 如， 其中c = 2 弘扣 引理2 4 表明；对周期函数，简单的矩形公式具有很好的误差精度 另一方面，该公式的所有求积权都大于零，故由s t e l d o v 定理可知矩形公式是收敛的 由此可借助于算