（计算数学专业论文）几类约束矩阵方程的迭代解法.pdf

摘要 约束矩阵方程问题是在满足一定约束条件的矩阵集合中求矩阵方程解的问 题它在结构设计、系统识别、自动控制理论、有限元、振动理论、线性最优控 制等领域有着广泛的应用 本篇硕士论文主要研究用迭代法解以下几类约束矩阵方程问题： 问题i给定a e r ”，b e r ”，x e r p 叼，scr “4 ，求xe s ，使得 a x = b ， x ( a ：p 2 ，q l ：q 2 ) = x ，p 2 - p l + 1 = p ，q 2 一吼+ 1 一q 问题i i给定a e r ，曰r “，c e r ，j r 心，scr ，求xe s ， 使得 a x b = c 。 x ( a ：p 2 ，q l ：q 2 ) 一x ，p 2 - p l + 1 ；p ，q 2 - q l + 1 = q 问题i i i 给定4e r ”，置e r ，c 1 r 啊碣， 4 r ”2 - ，b 2e r ， c ，e r 屿，xe r 心，scr ，求xe s ，使得 4 皿ic l ， 4 磁= c 2 ， x ( a ：p 2 ，吼：吼) 一x ，p 2 一a + 1 一p ，q 2 一儡+ 1 t q 问题i v设问题i 或i i 或i i i 相容，且其解集为是，给定x 。e r ，求 譬s ，使得 卜五h m i n ，i i x x 。l | 其中1 1 i l 为f r o b e n i u s 范数 本文主要研究成果如下： 1 当s 为对称、反对称、中心对称及双对称矩阵时，已有文献给出了问题 1 1 l i 有解的充要条件和通解表达式本文利用子空间上梯度矩阵的性质构造了 对应于问题1 i l l 的最小二乘问题的迭代算法，证明了相应算法的有限终止性， 同时证明了这些算法也适用于问题i i i i 相容的情形，并通过选取特定初值得到 了问题i v 的解，最后给出了数值实例，验证了算法的有效性 2 当s 为闭凸锥时，已有文献中求解问题i i i l 的算法比较复杂，难以实现 本文利用闭凸锥上的逼近理论和凸分析理论给出了对应于问题i i i l 的最小二乘 问题有解的充分条件，构造了求解相应问题的迭代算法，证明了算法的全局收敛 性以及线性收敛速度，对常见的闭凸锥如非负矩阵和半正定矩阵等，提供了数值 实例，验证了算法的有效性 3 当s 为可对称化矩阵时，已有文献中得到的问题i i v 的通解表达式非常 复杂，难以求解本文从解线性方程组的共轭梯度法中得到启示，构造了可以在 迭代过程中自动判断问题1 1 i i 的相容性的迭代算法，证明了算法的收敛性和有 限终止性，讨论了当问题1 1 i l 相容时问题i v 的解，并给出了数值实例，验证 了算法的有效性 关键词：约束矩阵方程问题；梯度矩阵；迭代法：最小二乘问题；极小范数解； 最佳逼近解；闭凸锥 h a bs t r a c t t h ec o n s t r a i n e dm a t r i xe q u a t i o np r o b l e mi st of i n das o l u t i o nf o rt h em a t r i x e q u a t i o ni nac o n s t r a i n e dm a t r i xs e t i th a sb e e nw i d e l yu s e di nm a n yf i e l d ss u c ha s s t r u c t u r a ld e s i g n ，s y s t e mi d e n t i f i c a t i o n ，a u t o m a t i cc o n t r o lt h e o r y ，f i n i t ee l e m e n t s ， v i b r a t i o nt h e o r yl i n e a ro p t i m a lc o n t r o la n ds oo n t h i st h e s i sm a i n l yd i s c u s s e st h ei t e r a t i v em e t h o d sf o rt h ef o l l o w i n gp r o b l e m s ： p r o b l e mig i v e na e r ”，b r ”，xe r p 砷，sc r “”，f i n dx ss u c h t h a t a x = b ， x ( p l ：p 2 ，吼：吼) = x ，p 2 - p l + 1 一p ，q 2 一吼+ 1 = q p r o b l e mi ig i v e n a e r 一，b e r “，c e r ，x e r p m ，s c r ，f i n d x ss u c ht h a t a x b c ， x ( a ：p 2 ，级：q 2 ) 一j ，p 2 一p l + 1 - - p , q 2 一q z + l f q p r o b l e mi i ig i v e n 4 e r 啊”，置e r 4 屿，c 1 e r 咄，4 r ” c 2 e r 喝，j r p x 叮，scr ”期，f i n dx e ss u c ht h a t ，b 2e r ， 4 皿= q ， a 2 x b 2 一c 2 ， x ( a ：p 2 ，9 1 ：9 2 ) = x ，p 2 - p l + 1 = p ，q 2 - q l + 1 = q p r o b l e mi vs u p p o s ep r o b l e mio ri io ri i ii sc o m p a t i b l e ，l e t s ed e n o t et h es e t o fs o l u t i o n s ，f o rg i v e nm a t r i x w h e r et h en o t a t i o n 8 x o r 4 ”，f i n dx 鞋s u c ht h a t 卜x 。l l = 1 2 m i n 。i x x 。1 1 ， d e n o t e st h ef r o b e n i u sn o r m 。i h em a i na c h i e v e m e n t sa r ea sf o l l o w s ： 1 w h e nsa r es y m m e t r i c ，a n t i - s y m m e t r i c ，c e n t r os y m m e t r i co rb i - s y m m e t r i c m a t r i c e s ，t h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r ys o l v a b l ec o n d i t i o n sf o rp r o b l e mi i i ia n dt h e e x p r e s s i o n so ft h e s eg e n e r a ls o l u t i o n sa r eg i v e ni nr e f e r e n c e s w i t ht h ep r o p e r t yo f g r a d i e n tm a t r i x ，w eb r i n gf o r w a r di t e r a t i v ea l g o r i t h m sf o rt h el e a s ts q u a r ep r o b l e m s w i t hr e f e r e n c et op r o b l e mi i i i ，p r o v et h ef i n i t et e r m i n a t i o no ft h e m w ea l s op r o v e t h a tt h e s ea l g o r i t h m sa r es u i t a b l ei nc a s et h a t p r o b l e mi i i i i s c o m p a t i b l e b y c h o o s i n gc e r t a i ni n i t i a lm a t r i c e s ，w eg e tt h es o l u t i o n sf o rp r o b l e mi v f i n a l l y , w e i i i g i v es e v e r a ln u m e r i c a le x a m p l e st os h o wt h ee f f e c t i v e n e s so fo u ra l g o r i t h m s 2 w h e nsa r ec l o s e dc o n v e xc o n e s ，t h ea l g o r i t h m sf o rp r o b l e mi i i ii nt h e r e f e r e n c e sa r ec o m p l i c a t e da n du n r e a l i z a b l e b yt h ea p p r o x i m a t i o nt h e o r yo v e rt h e c l o s e dc o n v e xc o n ea n dt h ec o n v e xa n a l y s i st h e o r y , w eg i v eas u f f i c i e n ts o l v a b l e c o n d i t i o nf o rt h el e a s ts q u a r ep r o b l e m sw i t hr e f e r e n c et op r o b l e mi i i i ，b r i n gf o r t h a ni t e r a t i v ea l g o r i t h mf o rt h e s ep r o b l e m s ，a n dp r o v et h eg l o b a lc o n v e r g e n c ea n d l i n e a rc o n v e r g e n ts p e e df o rt h ea l g o r i t h m f o rc o m m o nc l o s e dc o n v e xc o n e ss u c ha s n o n n e g a t i v em a t r i c e sa n dp o s i t i v es e m i - d e f i n i t em a t r i c e s ，w ep r o v i d en u m e r i c a l e x a m p l e st os h o wt h ee f f e c t i v e n e s so fo u ra l g o r i t h m 3 w h e nsa r es y m m e t r i z a b l em a t r i c e s ，t h ee x p r e s s i o n so fg e n e r a ls o l u t i o n s f o rp r o b l e mi - i vi nt h er e f e r e n c e sa r es oc o m p l i c a t e dt h a ti t i sh a r dt og e tt h e m e n l i g h t e n e db yt h ec o n j u g a t e dg r a d i e n tm e t h o df o rs y s t e mo fl i n e a re q u a t i o n s ，w e g i v e a ni t e r a t i v ea l g o r i t h mw h i c hc a na u t o m a t i c a l l yj u d g et h ec o m p a t i b i l i t yo f p r o b l e mi 一i i id u r i n gt h ep r o c e s so fi t e r a t i o n ，p r o v ei t sc o n v e r g e n c ea n df i n i t e l i m i t a t i o n ，d i s c u s st h es o l u t i o n o fp r o b l e mi vi nc a s et h a tp r o b l e ml i i ii s c o m p a t i b l e ，a n dg i v es e v e r a ln u m e r i c a le x a m p l e st os h o wt h ee f f e c t i v e n e s so fo u r a l g o r i t h m sa tl a s t k e yw o r d s ：c o n s t r a i n e dm a t r i xe q u a t i o np r o b l e m ；g r a d i e n tm a t r i x ；i t e r a t i v e m e t h o d ；l e a s ts q u a r ep r o b l e m ；m i n i m a ln o r ms o l u t i o n ；o p t i m a l a p p r o x i m a t i o ns o l u t i o n ；c l o s e dc o n v e xc o n e i v 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任 何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的 法律后果由本人承担。 作者签名： 日期沙留年厂月抄日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅。本人授权长沙理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存 和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密“ v ( 请在以上相应方框内打“ ) 作者签名：绀 日期帮年箩月砂日 导师签名：j 7 懈日期：饽j 月日 1 1 课题研究背景 第一章绪论 约束矩阵方程问题是指在满足一定约束条件下的矩阵集合中求矩阵方程 ( 组) 的解约束条件不同，或矩阵方程( 组) 不同，则得到不同的约束矩阵方 程问题它在结构设计、系统识别、自动控制理论、有限元、振动理论、线性最 优控制等领域有着广泛的应用1 1 - 1 0 j 例如：h o p f i e l d 神经网络的设计最终归结 为求解矩阵方程a x - b 的反问题；偏微分方程离散化也归结为求解稀疏矩阵方 程a x = b ；而阻尼有限元动力模型修正问题可归结为非线性矩阵方程求其约束 解及其最佳逼近这些不同类型的问题有着深厚的实际工程背景，刺激我们不断 发展约束矩阵方程理论，使得约束矩阵方程问题成为当今计算数学领域的热门研 究课题之一 从1 9 5 6 年d o w n i n g 和h o u s e h o l d l l l 】最初提出并讨论矩阵逆特征值问题的加 法问题和乘法问题至今，关于约束矩阵方程问题的研究已取得了一系列丰硕的成 果，涉及的约束矩阵集合有对称矩阵、反对称矩阵、中心对称矩阵、双对称矩阵、 自反矩阵、反自反矩阵、半正定矩阵、非负矩阵等对于简单矩阵方程a x = b ， b j e r h a m m a r l l 2 】在1 9 5 1 年利用广义逆得到了它有一般解的充要条件和通解表达 式；对于矩阵方程a x b 。c ，p e n r o s e i ”j 在1 9 5 5 年得到了它有一般解的充要条件 和通解表达式；对于矩阵方程组4 五层一c 1 ，4 置b 2 = g ，m i t r a l l 4 d 6 j 分别于1 9 7 3 年、1 9 8 4 年、1 9 9 0 年研究了它的一般解；对于矩阵方程不相容时的最小二乘问 题，s c h o n e m a n n 1 7 1 ，h i g h a m l l8 1 ，w o o d g a t e l l 9 1 ，a l l w r i g h t i 2 0 1 ，e s c a l a n t e 和r a y d a n l 2 1 1 以及其他许多数学家做了大量的研究工作，解决了许多不同约束下的最小二乘问 题除此之外，胡锡炎、张磊、廖安平、白中治、周富照、谢冬秀、张忠志、邓 远北、彭振贽等人【2 2 4 0 1 在相应的文献中对约束矩阵方程问题进行了深入的研究， 得到了许多有用的成果 子矩阵约束下的矩阵方程问题是指在矩阵元素部分已知的前提条件下求解 约束矩阵方程问题，因此也被称为矩阵扩充问题在工程实践中经常出现的结构 设计、参数识别、系统扩充等问题归根结底就是矩阵扩充问题关于这个问题的 研究已经取得了许多有用的结果1 9 6 7 年和1 9 7 4 年h o c h s t a d t l 4 1 4 2 】首次提出并讨 论了谱数据约束下的j a c o b i 矩阵扩充问题1 9 9 6 年，戴华【4 3 l 研究了分块部分 矩阵扩充成为一个对称可逆矩阵的问题，得到了有解的充要条件从1 9 9 8 年到 2 0 0 1 年，h o g b e n | 4 4 4 5 l 总结了之前关于矩阵扩充问题的研究成果，并将结果分类， 得出能用图论方法解决的矩阵扩充问题的类型2 0 0 6 年，龚丽莎【4 6 】在其博士论文 中用广义奇异值分解的方法研究了几类特殊的约束矩阵方程扩充问题 尽管关于约束矩阵方程问题的研究已经取得了丰硕的成果，但是由于传统的 直接法采用的主要是会大幅增加计算量的奇异值分解( s v d ) 、广义奇异值分解 ( g s v o ) 、商奇异值分解( q s v d ) 、标准相关分解( c c d ) 、s h u t 分解、c h o l e s k y 分 解等矩阵分解，这些成果大都难以应用到实际的工程计算中因此越来越多的人 考虑用迭代法求解约束矩阵方程问题2 0 0 4 年，彭亚新【4 7 l 率先采用迭代法得到了 矩阵方程a x = b 和a x b = c 以及矩阵方程组4 x ，旦= c 1 ，4 x ，b 2 = c 的对称解、 反对称解、中心对称解、中心反对称解、自反矩阵解、反自反矩阵解、双对称解 以及对称次反对称解在那之后，张艳燕【4 8 】沿用【4 7 】中采用的迭代法得到了矩 阵方程a x = b 在中心对称矩阵、自反矩阵、双对称矩阵以及对称正交对称矩阵 约束下的最小二乘解最近，彭卓华1 4 9 l 和郭孔华【5 0 1 在他们的博士论文中分别对 【4 7 】中采用的迭代法做了一些改进，获得了一些有用的成果 关于求解约束矩阵方程问题的迭代法的研究仍然存在许多尚未解决的重要 问题例如：迭代法的收敛性问题，迭代法的误差分析问题，迭代法的加速与预 条件问题，迭代法的并行计算问题等等所有这些问题都要求对这个领域进行更 深入的研究 1 2 本文研究的主要问题和主要工作 本文主要研究用迭代法解以下几类约束矩阵方程问题： 问题1 2 1 给定a e r ”，b e r ”，霄e r p 叼，scr “，求xe s ，使得 a x1b ， x ( p l ：p 2 ，q l ：曰2 ) ；x ，p 2 - p l + 1 = p ，q 2 - q l + 1 = q 问题1 2 2给定a e r ”，b e r “，c er ，j r 心，scr ，求xe s ， 使得 脚；c ， “x ( p l ：p 2 ，q l ：q 2 ) = x ，p 2 - p l + 1 ；p ，q 2 - q l + 1 = q 问题1 2 3 给定4 r 啊”，b r 4 川，c a e r 屿，4 e r 他”，b 2 e r ”屿， c 2 r ”：屿，x e r p m ，scr “”，求x s ，使得 a i x b l = c l ， 4 避一c 2 ， x ( a ：p 2 ，q l ：吼) ax ，p 2 - p l + 1 一p ，q 2 - q l + 1 一q 问题1 2 4设问题i 或ii 或ii i 相容，且其解集为& ，给定x 。e r ，求 j & ，使得 忙一x 。m 。i n ，i x x 。i i 2 其中| | | | 为f r o b e n i u s 范数 在第二章中，本文主要讨论当s 为对称矩阵、反对称矩阵、中心对称矩阵和 双对称矩阵时问题1 2 1 1 2 4 的解很多文献采用传统的矩阵分解的方法已经 得到了这些问题有解的充要条件和通解表达式为了避免在求解问题之前讨论 它们的相容性，我们利用子空间上梯度矩阵的性质对【4 7 】中采用的迭代法做了一 些改进，得到了一种新的迭代算法，使得当问题1 2 1 1 2 3 相容时算法能够自 动收敛到原问题的解，当问题1 2 1 1 2 3 不相容时算法能够自动收敛到最小二 乘问题的解我们证明了算法的有限终止性，给出了当问题1 2 1 1 2 3 相容时 问题1 2 4 的极小范数解，并提供了一些数值实例 在第三章中，本文主要讨论当s 为闭凸锥时对应于问题1 2 1 1 2 3 的最小二 乘问题已有文献中给出的求解这一类问题的数值方法比较繁琐，难以编程计算 我们首先证明了当s 为闭凸锥时对应于问题1 2 1 1 2 3 的最小二乘问题在一定 条件下存在唯一解，然后利用闭凸锥上的逼近理论和凸分析理论构造了迭代算法 求解这些最小二乘问题，证明了算法的全局收敛性及线性收敛速度最后，对常 见的闭凸锥如非负矩阵和半正定矩阵等，本文提供了一些数值实例，证明了算法 的有效性 在第四章中，本文主要讨论当s 为可对称化矩阵时问题1 2 1 1 2 4 的解我 们从解线性方程组的共轭梯度法中得到启示，构造了可以在迭代过程中自动判断 问题1 2 1 1 2 3 的相容性的迭代算法，证明了算法的收敛性和有限终止性，讨 论了当问题1 2 1 1 2 3 相容时问题1 2 4 的解，并给出了数值实例 1 3 符号定义 彳( a ：p 2 ，吼：吼) 4 b 零矩阵 疗阶单位矩阵 刀阶单位矩阵l 的第i 列 刀阶次单位矩阵，瓯- 瓴，巳埘，巳) 矩阵彳的转置 矩阵彳的逆 矩阵彳的迹 矩阵彳的列空间 矩阵a 的最大特征值 矩阵的f r o b e n i u s 范数 矩阵a 的第f 行第j 列的元素 矩阵a 的子矩阵，从n 行到p ：行，从吼列到q 2 列 矩阵4 与b 的k r o n e c k c r 积 3 d l岛s矿舭州k v e c 似) r ” r ” r 7 ” r ? r ：” s r ” a s r “。“ c s r ” b s r “” s r “( ) 矩阵a 的拉直映射，v e c ( a ) = ( 口f ，口：t ，口j ) t ， 其中a = ( 口1 ，口2 ，a 。) r ”，口f r ”( f = 1 , 2 ，1 ) 全体，l 阶实向量的集合 全体加咒阶实矩阵的集合 全体秩为珀勺扰，l 阶实矩阵的集合 全体咒玎阶非负实矩阵的集合 全体以咒阶半正定实矩阵的集合 全体甩，l 阶实对称矩阵的集合 全体咒以阶实反对称矩阵的集合 全体咒_ ，z 阶实中心对称矩阵的集合 全体门咒阶实双对称矩阵的集合 全体，l ，l 阶肜可对称化实矩阵的集合 4 第二章子矩阵约束下三类矩阵方程的对称、反对称、 中心对称、双对称迭代解 对于矩阵方程a x - b 和a x b ；c 以及矩阵方程组4 x ，墨= c 1 ，4 x ，厉- c ，有 很多文献1 1 2 1 6 l 已经利用矩阵分解的方法讨论了它们的对称解、反对称解、中心 对称解和双对称解，而【4 6 】则采用同样方法研究了子矩阵约束下它们的对称和 反对称最小二乘解在【4 7 1 中，彭亚新首先采用迭代法求这三类矩阵方程的对称、 反对称、中心对称、中心反对称、自反、反自反、双对称、对称次反对称解在 本章中，我们将对【4 7 1 中采用的迭代法进行一些改进，讨论子矩阵约束下这三类 矩阵方程在相容和不相容时的对称解、反对称解、中心对称解和双对称解 2 1 引言 p 。( 曼主耋 ，。( 量主量】，j2 ( 量三曼) ， 则子矩阵约束可简化为p x 霉；戈因此本章主要研究与问题1 2 1 1 2 3 等价的 哽州剧圆一c l i ( 2 1 ) x s h - 2 ( 三) ，萱2 ( 丢呈) ，雪2 ( 三呈) ，e 一( 三呈) 对问题1 2 2 ，我们有 - 2 ( 三) ，j2 ( 言呈) ，台2 ( 三乏) ，e 一( 三呈) 5 量= ( 量丢量 ，碧2 ( 至三至 j 雪2 ( 妻丢量 ，e2 ( 童吾量 问题2 1 2 令& 为问题2 1 1 的解集合，给定x o r ，求j & 使得 卜x 。m 。i n 。i x k 0 ( 2 2 ) 引理2 1 1 【5 1 i 设相容线性方程组a x f i b 的一个解x o e r ( a t ) ，则必为此方程 引理2 1 2 【5 1 】设不相容线性方程组a x ；6 的一个最小二乘解x o e r ( a t ) ，则x o 定义2 1 1 设scr 一，如果对任意的墨，x ：e s 及f ( o ，1 ) ，有 f 俾) - - i a x b - c l l 2 ， ( 2 3 ) 呱印2 ( 半) 亿4 ， 引理2 , 1 3 设f ( x ) 是sc r “上连续可微的凸函数，那么存在x e s ，使得 f ( x ) 一m 工日i n ，( x ) 的充要条件是v f ( x ) = 0 任意矩阵x s ，都有 6 f ( x ) 在s 上连续可微，w 僻) ；o ，故在x 处t a y l o r 展开可得 f ( x + f 俾- x 。) ) 一f ( x ) - t t r ( v f ( x ) t ( x x ) ) + o o ) = o ( f ) 综合可得 t ( x ) 一f ( x ) 之口o ) ，v x s 令t _ 0 ，得 厂僻) 一f ( x ) 之0 , v x e s ， 也就是说f ( x + ) = 曾厂( x ) 相反，假设f ( x ) 。卿厂僻) 成立，就有 ( x + f 仁- x ”= f ( x ) + t t r ( v f ( x + ) t ( x x ”+ o ( f ) f ( x + ) ，v x e s 令t 一0 ，得 t r ( w ( x ) t 僻一石”0 , v x s 令x o ，得 - t r ( v f 僻) t x ) ) 0 令x - 2 x ，得 似w ) t x ”苫0 因此v 厂) 一o 2 2 子矩阵约束下三类矩阵方程的对称、反对称迭代解 我们首先研究问题2 1 1 的对称解令 m 僻) = a t a x b b t + b b t x a t a ( 2 5 ) 算法2 2 1 令误差上界为 0 ，初始矩阵x 1 。0 ，k ；1 ， ( 1 ) 计算 ；a t c b t + b c t a ， q = m 化) ( 2 ) 计算 一五+ q ， r i c a xk b ， 吩m 慨) ， 纰哦- 一删g 7 ( 3 ) 当i k l i 或i l 丑0 0 ，初始矩阵置= 0 ，k 一1 ， ( 1 ) 计算 ，a t c b t b c t a ， q - - m ( p k ) ( 2 ) 计算 一五一荔g ， ；c a xk b ， 哪热崛) ， 哦t 一器q ( 3 ) 当i k i i f 或恢8 0 ，初始矩阵五一0 ，k = 1 ， ( 1 ) 计算 最- - a t c b t + 瓯彳t c b t 瓯， g = m ( 丑) ( 2 ) 计算 t 以+ 幺， ic a x b ， 吩揣蚴) ， 虬吨。一渊q ( 3 ) 当i 限8 或忙8 f 时，算法终止；否则，置k = 七+ 1 ，转到( 2 ) 显然算法2 3 1 迭代产生的矩阵号，q ：f 和置都是中心对称矩阵 1 3 引理2 3 2 引理2 3 3 对任意xe c s r ，y e c s r ，有 t r ( x t m ( y ”；t r ( y t m 傅) ) ，i y , i ，_ , - 1 ，2 ， 对于算法2 3 1 中的q ：f 和号，有 t r 化t 弓) = o , t r ( q ，m ( g ) ) = o ，i y , i ，j - 1 , 2 ， 引理2 3 4 对于算法2 3 1 中的q 和只，有 勰器+饼-o，i-1,2,-tr(qm ( q ) ) 1 2 7 ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) 引理2 3 5 假设x e c s r 是问题2 1 1 的一个解，那么算法2 3 1 迭代产生 的矩阵q ，和x i 满足 t r c c x + 一置，t f c q ：，一三旦星 占 帚；：呈贮，z = l 2 ， c 2 2 3 ， 引理2 3 6 假设f 0 ，初始矩阵工，；0 ，k = 1 ， ( 1 ) 计算 只- a t t + b c t a + s 彳t t 瓯+ s b c r a s , , ， g = m ( 丑) ( 2 ) 计算 k 一五+ 捣q ， r k | c a xk b ， 1 4 母意懈， a k + l = 一黜q ( 3 ) 当l k0 或恢i i 0 e r 都有 ，。( 耋三三 ，乙2 量主量 ，j2 ( 量三量 ， 则子矩阵约束可简化为z p x z g _ - g 因此本章主要研究与问题1 2 1 - 1 2 3 等价的 唑i i i 砸一饥t l ( 3 1 ) 工e s 。 1 8 a 2 ( 三豺 一1 一 l ， 对问题1 2 2 ，我们有 a = ( 三势 = 1 一 i ， 对问题1 2 3 ，我们有 a = 4d d d4d o o p j 2 ( 考彳o ) ，雪2 ( 三乏) ，e 。( 言呈) j 。( 丢呈) ，雪2 ( 三三) ，e = ( 三呈) ，萱。( 蚕三至) ，雪= b d d d 皿 d o o 9 ，c ； c 1 d d dc 2d o ox 我们首先引入些与闭凸锥有关的定义和引理 定义3 1 2 设矩阵集合s 是r 上的非空闭凸锥，定义 s 上一 x r i t f ( 工t y ) ；0 ，r y e s ) ， ( 3 2 ) s u 一 xe r 4 ”i t r ( x t y ) ；0 ，v y s 上) ， ( 3 3 ) s = xe s 上上i t r t y ) 苫0 ，r y e s ( 3 4 ) 定义3 1 3 若矩阵集合s 是r 上的非空闭凸锥，记投影映射p 为 p 僻) 弓 x 。s ll x ：一x l l = l l y x l l ，r y e s ( 3 5 ) 引理3 1 1 1 5 3 】设矩阵集合s 是r “”上的非空闭凸锥，p 为定义3 1 3 中所述 投影映射，则 ( 1 ) p ( x ) 一x ，v x e s ； ( 2 ) 若e ( x ) ；0 ，贝jx s 上一s ； ( 3 ) p 是连续映射 ( 4 ) i i p ( x ) 1 = xi ，v x e s 引理3 1 2 1 5 4 l 若矩阵集合s 是r “”上的非空闭凸锥，对任意给定矩阵 x ( e r ，存在唯一的矩阵x o e s 上，五s ，x 2 e s 使得 x x 0 + 墨一x 2 ，t r ( 爿? x 2 ) 一0 ， 以及 i i x , - x l l ：l l r x l l ，r y e s 引理3 1 3 【5 4 1 若矩阵集合s 是r 上的非空闭凸锥，对任意矩阵x ，y e s ， 引理3 1 1 定义的唯一的矩阵分解为： x i x o + 置一x 2 ，t r ( f x 2 ) = 0 ， y y o + x k ，t r o , t y 2 ) ；0 ， 1 9 其中x o ，碥e s 上，x 。，x s ，x 2 ，e s ，则有 忱一鼍l i - i r - x 1 1 由引理3 1 2 可知，对任意矩阵x s ，假设x 的唯一矩阵分解记为 x | x o + x l x t ， 其中x oe s 上，x 1 s ，x 2e s ，贝qp ( x ) = x 。 由于求解闭凸锥上的最小二乘解的问题3 1 1 有可能不相容，我们给出如下 问题有唯一解的充分条件 引理3 1 4 矩阵xe s 是问题3 1 1 的解的充要条件是 t r ( ( y 一彳) 1v 厂似”乏0 , v y e s ( 3 6 ) 证明假定x e s 是问题3 1 1 的解，由t a y l o r 公式可得 厂( x + f ( y x ”一f ( x ) = t t r ( v r 厂( x ) t ( y x ) ) + o o ) 乏o , v y e s ，0 0 ， 由引理3 1 4 可知对v y s 均有 lg 卜f 岱， 这说明x o e s 是问题3 1 1 的唯一解 3 2 算法和收敛性分析 令 厂( x ) = l i 朋一驯2 ( 3 n 算法3 2 1 令误差上界为占 0 ，初始矩阵墨= 0 ，x