（概率论与数理统计专业论文）独立积的重尾性状及其在风险理论中的应用.pdf

摘要 本文主要研究独立随机变量乘积( 简称独立积) 的重尾性状及其在金融风险理论中 的应用 独立随机变量的乘积在金融保险领域中有着广泛的应用随着破产理论研究的深 入，参与考虑的因素越来越多，例如：利息力的因素，随机利率的因素等等为了刻划 这些因素的影响，往往需要考察独立随机变量的乘积由于金融风险模型中的许多问题 都是在重尾场合下考虑的，所以需要研究在何种条件下，重尾随机变量的乘积可以保持 原来的族性；也需要研究在何种条件下，非重尾随机变量的乘积分布是重尾的这些乘 积的性状都不能简单地通过取对数化为独立和，因而需要专1 7 力n 以研究为此，我们研 究了独立随机变量乘积的性状 对独立积的族性的保持( 即所谓“稳定性”) 问题，我们着重讨论了两个最重要的 重尾分布族，即族和s 族对族，我们发现，任何一个属于c 族的连续随机变量 x 与任何一个非退化到0 的随机变量y 的独立积仍然属于族，而对于x 非连续情 形，y 满足一定的条件，就有独立积属于c 族，这些讨论均对y 的族性没有要求对 于s 族，放宽了c l i n e 和s a m o r o d n i t s k y ( 1 9 9 4 ) 对s 族具有稳定性的条件，使得保险 业中大量使用的一些最重要的重尾分布都能满足我们的条件，更利于实际应用对于其 他重尾族，我们只要求其中的一个随机变量比如x 属于口族，”族，m 族或m + 族，而对另一个随机变量l ，几乎不用加什么条件，就有x 】7 与x 属于同一分布族， 即都具有“稳定性” 而对独立积重尾化的问题，我们得到了轻尾分布的独立积属于c 族和m 族的 些具有普遍意义的结论，其中汪明了，任何一个属于c ( 7 ) 族的连续随机变量x 与任 何一个无界的非负随机变量y 的独立积属于c 族；而任何一个属于c ( 7 ) 族的随机变 量x 与任何一个无界的非负随机变量y 的独立积属于m 族并给出两个轻尾分布的 独立积属于m 族的一些充分条件这些问题还从未见到有人讨论过 在随机经济环境下，本文讨论了离散时间的破产模型，并将随机利率的因素引入模 型运用前面得到的有关s 族独立积的结果，我们得到了有限时间破产概率的渐近表 i 达式此结果将t a n g 和t s i t s i a s h v i l i ( 2 0 0 3 ) 的定理5l 的适用范围从n 口族推广到 整个5 族，而且大大减弱了对保险风险x 与金融风险y 之间的谁轻谁重的限制 他们要求x 的尾巴一定要比】7 的重，我们并没有这个要求，我们的结果更具一般性 最后我们把一个常数利息力6 0 引入经典的c z 5 m e r l u n d b e r g 模型中，且设该 模型的保费为一随机过程 g ( t ) ，t 三0 ) 对于这个有利息力的p o i s s o n 模型，在索赔额 分布f cn 口的条件下，我们得到了有限时间的破产概率的一致的渐近表达式我 们还把上述模型的p o i s s o n 过程推广到一般的更新过程，在索赔额分布属于次指数分布 的条件下，得到了有限时间破产概率的渐近表达式，从而把t a n g ( 2 0 0 5 ) 的工作从索赔 额属于正则变化分布族推广到整个次指数族的情形，全面地改进了他的结果 关键词：独立积，5 族，破产概率，利息力，有利息力的更新模型 a b s t r a c t i 、h ed i s s e r t a t i o nd i s c u s s e sb e h a v i o ls0 ft h ep r o d u c t0 fi n d e p e n d e n tr & n d o l nv a r i a b l e s a n dt h e i ra p p l i c a t i o n si nf i n a n c ea n di n s u r a n c er i s kt h e o r i e su n d e rt i l ec o n d i t i o nt h a t t h ed i s t r i b n t i o n sa r ew i t hh e a v yt a i l s t h ep r o d u c to fi n d e p e n d e n tr a n d o mv a r i a b l e s ( i n d e p e n d e n tp r o d u c t ) p l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nt i mf i n a n c ea n di u s u r a n c er i s kt h e o r i e sb yc o n s i d e r i n gt h es t o c h a s t i c e c o n o m i cf a c t o r ss u c ha 8i n t e r e s tr a t ea n di n t e r e s tf o r c ei n t ot h ec l a s s i c a lr i s km o d e l ，t h e m o d e lb e c o m e se v e nm o r ec o m p l i c a t e da n do f t e ni n c l u d e si n d e p e n d e n tp r o d n c t s m o s t p r o b l e m si nt h er i s kt h e o r ya r ei n v e s t i g a t e du n d e rt h ea s s u m p t i o nt h a tt h ec l a i ms i z e d i s t r i b u t i o ni sh e a v y t a i l e d ，s ow en e e dt ok n o wo nw h a tc o n d i t i o n sh e a v y t a i l e dc l a s s h a st h et a i ls t a b i l i t y ，t h a ti s ，i n d e p e n d e n tp r o d u c tx 1 7d o e sn o tc h a n g ed r a m a t i c a l l yi n d i s t r i b u t i o n s ，e s p e c i a l l yi nt h et a i l s ，c o m p a r e dw i t ht h eo r i g i n a lx t h i st a i ls t a b i l i t y r e q u i r e m e n ti si m p o r t a n tf o rs e t t i n gu pp o l i c e sa g a i n s te x t r e m a le v e n t s w ea l s on e e d t os t u d yo nw h a tc o n d i t i o n si n d e p e n d e n tp r o d u c to fl i g h t t a i l e dr a n d o mv a r i a b l e si s h e a v y t a i l e d t h eb e h a v i o r so fi n d e p e n d e n tp r o d u c tc a nn o tb ei n v e s t i g a t e ds i m p l yb y t a k i n gl o g a r i t h mt om a k ei n d e p e n d e n tp r o d u c ti n t oi n d e p e n d e n ts n m ，t h u sw en e e dt o s t u d yt h eb e h a v i o r so fi n d e p e n d e n tp r o d u c ti n a n o t h e rw a y w es t u d yt h es t a b i l i t i e so fh e a v y t a i l e dc l a s s e se s p e c i a l l yf o rc l a s sca n dc l a s s5 f o rc l a s sc ，i fyi sn o td e g e n e r a t ea t0 ，t h e nt h ed i s t r i b u t i o no fa n yc o n t i n u o u sr a n d o m v a r i a b l ex b e l o n g i n gt ocm u l t i p l i e db yy s t i l li nt h ec l a s sc ；i fxi sn o tc o n t i n u o u s ， i n d e p e n d e n tp r o d u c tx yb e l o n g st oc l a s sc w h e n 】7s a t i s f i e ss o m ec o n d i t i o n f o rc l a s s s ，o u rr e s u l t se x t e n dc l i n ea n ds a m o r o d n i t s k y ( 1 9 9 4 ) ss i g n i f i c a n t l y a sf o ro t h e rh e a v y t a i l e dc l a s s e s 、w ep r o v et h a ti f xb e l o n g st oo n eo fc l a s s e s 口，a 4 ，ma n dm + ，t h e nx y a n dxa r ei nt h es a m ed i s t r i b u t i o nc l a s su n d e rs o n l em i l dc o n d i t i o n so i ly ，ie ，c l a s s e s d 、a + 、ma n dm + h a v et h ed e s i r e ds t a b i l i t i e s f o rs o m ep r o b l e m sa b o u tt h ei n d e p e n d e n tp r o d u c to fl i g h t t a i l e dr a n d o mv a r i a b l e s ， w eo b t a i ns o m es u 伍c i e n tc o n d i t i o n st h a tt h ed i s t r i b u t i o no ft h ei n d e p e n d e n tp r o d u c to f t w ol i g h t t a i l e dr a n d o mv a r i a b l e sb e l o n g st oc l a s sca n dc l a s sm ，s u c ha s ，t h ed i s t r i b u l i o no f a n yc o n t i n u o u sr a n d o mv a i i a b l exb e l o n g i n g t oc ( 7 ) m u l t i p l i e db ya nu n b o u n d e d y b e l o n g st oc l a s sc ；t h ed i s t r i b u t i o no fa n yr a n d o mv a r i a b l exb e l o n g i n gt oe ( v ) m u l t i p l i e db ya nu n b o u n d e dyb e l o n g st oc l a s s 朋w e a l s og i v ea n o t h e rs u f f i c i e n tc o n d i t i o n t h a tt h ei n d e p e n d e n tp r o d u c to ft w ol i g h t t a i l e dr a n d o mv a r i a b l e sb e l o n g st oc l a s sm ， f o rad i s c r e t e t i m er i s km o d e lw i t hh e a v y t a i l e di n s u r a n c er i s ka n df i n a n c i a lr i s k ，w e d e i i v eap r e c i s ee s t i m a t ef o rr u i np r o b a b i l i t ya st h ei n i t i a lc a p i t a lt e n d st oi n f i n i t y w h i c h e x t e n d st h ec o r r e s p o n d i n gr e s u l to ft a n ga n d i s i t s i a s h v i l i ( 2 0 0 3 ) t ot h es u b e x p o n e n t i a l c a s e w ef i n a l l yi n t r o d u c eac o n s t a n ti n t e r e s tf o r c ed0t ot h ec l a s s i c a lc r d m e r l u n d b e r gm o d e la n da s s u m et h ep r e m i u mp r o c e s s c ( t ) ，t 0 ) i sn o n d e c i e a s i n ga n d r i g h tc o n t i n u o u ss t o c h a s t i cp r o c e s s i nt h i sm o d e l ，w eo b t a i nt h a tu n i f o r ma s y m p t o t i c e s t i m a t ef o rt h ep r o b a b i l i t yo fr u i nw i t h i nf i n i t et i m ew h e nt h ec l a i ms i z ed i s t r i b u t i o n b e l o n g st o n 口w e a l s oo b t a i nt h ea s y m p t o t i ce s t i m a t ef o rt h ef i n i t el i m er u i np r o b a b i l i t yw h e np o i s s o np r o c e s si se x t e n d e dt or e n e w a lp r o c e s sa n dt h ec l a i m s i z ed i s t r i b u t i o n i ss u b e x p o n e n t i a l ，w h i c hi m p r o v e st h er e s u l to ft a n g ( 2 0 0 5 ) s i g n i f i c a n t l y k e y w o r d s ：i n d e p e n d e n tp r o d u c t ，r u i np r o b a b i l i t y ，i n t e r e s tf o r c e jr e n e w a lm o d e lw i t h i n t e r e s tf 0 r e e 致谢 本文是在我的导师苏淳教授的悉心指导下完成的，苏老师从阅读文献、论文选题及 写作等方面都给予我悉心的指导和提出宝贵的意见，并在百忙之中对论文进行了详细 的审阅苏老师不仅在科研工作中给了我极大的帮助，而且他一丝不苟的治学态度和在 学术上的创新精神，令我受益匪浅，也成为我以后从事科研工作的宝贵财富这几年苏 老师为了培养我付出了大量的心血，在此，我想向他表示我最衷心的感谢! 其次，我要感谢赵林城教授，方兆本教授，缪柏其教授，韦来生教授和吴耀华教授， 感谢他们对我的科研和学习给予了很大的关怀和帮助我还要特别感谢王德珍老师， 夏红卫老师，她们在我读研和工作期间给予我生活上提供了非常大的帮助和照顾 同时，我尤其要感谢胡太忠教授和杨亚宁教授，感谢他们在科研工作上给予了我非 常大的帮助，以及生活上给予我朋友般的关心另外，我还要感谢我的师母万老师，感 谢她在生活中亲切的关怀和热情的帮助 同时我还要感谢唐启鹤博士，王定成博士，胡治水博士，冯群强博士，严继高博士， 陈静硕士，蔡鹏硕士，李健伦博士和苟清龙博士等，在读博期间与他们进行了有益的讨 论并得到了他们的帮助和鼓励在我的研究生阶段，还得到来自系里许多老师和同学不 少有益的帮助，在此一并向他们表示我最诚挚的谢意 最后，我要感谢我的家人，正是他们的鼓励和关怀我才得以顺利地完成学业 衷心地感谢所有在各方面为我提供过帮助的人们! 第一章绪论 1 1 重尾分布族的介绍 近年来，金融和保险领域中的风险理论问题的研究备受人们关注，热点问题之一是 对保险公司破产概率的估计，其中涉及理赔额的性质，对顾客的理赔法则的制定，市场 利率变化情况的描述等方面的问题 从对保险公司理赌额的历史数据分析中，人们发现“占理赔总次数2 0 的那些理 赔的数额之和往往是历次理赔总额的8 0 ( 甚至还多) ”!这些以很小概率发生的理赔 竟对保险公司的业务产生如此巨大的影响，不能不引起人们的关注如何用概率方法来 刻画和解释这类现象? 应用概率学者们发现重尾分布族可以适合于这种需要，这是因 为相对于轻尾分布族，重尾分布更贴近于实际的理赔额分布 对非负随机变量x ，记f ( 。) = p ( x z ) ，f ( 。) = 1 一f ( 茁) 若随机变量x 不 存在矩母函数，即如果对任意t 0 都有e e “= fe t x d f ( x ) = o o ，则称随机变量 x 及其分布f 是重尾的另一方面，如果存在某个t o 0 使得对0 t x ) 则称随机变量x 或其分布f 是次指数的，记作f s 上式的后一个等价定义表明， x 。，佗三1 ) 的前n 项部分, n - q 其前n 项的最大值是尾等价的，可以看出5 族的定义 正好描述了上述的2 0 r 8 0 0 7 0 现象 鬻 吕8n 中国科技大学博士论文 我们把一些最常见的连续的次指数族分布列在下面以供参考，其中f 表示一个非 负随机变量的分布函数，是f 的密度 1 l o g n o r m a l 分布：对弘r ，口 0 ， ，( z ) = ：丽1 e x p 一( i n x - l ) 2 ( 2 。2 ) ； 2 p a r e t o 分布：l 十。 0 ，k 0 ， ，1 ( z ) 3 w e i b u l l 分布：对c 0 ，0st 茎1 土“ 尤+ z 4l o g g a m m a 分布：对。 0 ，卢 0 ， m ) = 需( 1 n 1 1 z 一1 ； 5b u r r 分布：对口，k ，丁 0 ， 耻，= ( 高) 。； 6 b e n k t a n d e r t y p ei ：o 0 ，卢 0 ， f ( 。) = ( 1 + 2 ( 卢a ) i n x ) e x p 一卢( 1 n z ) 2 一( + 1 ) i n z ) ； 7 b e n k t a n d e r t y p ei i ：对o l 0 ，0 卢 1 ， f ( z ) = e 。f i x ( 1 一口) e - 。x n l b 下面我们介绍一些与s 族密切相关的重尾分布族，它们对本文的工作均有非常重 要的意义 c 族( l o n gt a i l e d ) ：对任何固定的f ( 或等价地2 = 1 ) ，有 l i m 掣：l z _ f 吖卫1 第一章绪论 口族( d o m i n a t e d l 、rv a , r 3 ，i n gt a i l e d ) ：对任意的0 f 0 ，f 满足 姆裂可。 z _ 。f f 七1 “ 当f 冗一。时，有f ( 茁) = 茁4 x ) ，其中2 ( 卫) 是。_ 0 0 时的慢变化函数 朋族：如果f 具有有限非0 期望，并且 溉器= 熙弗- o 3 , 4 + 族：如果f 具有有限非0 的期望，并且 f l f ：= l i ms u - 器= i m s n p 菇一 a + 族：如果f 具有有限非0 的期望，并且 州一i m i n r 嚣一i m i n r 蔫如 这些重尾族之间有下面的关系成立 佗一。c n 口csc 2cm ， 5cccm 及刀c 朋+ 详情可参阅e m b r e c h t s 等( 1 9 9 7 ) 及s u 和t a n g ( 2 0 0 3 ) 等 在金融风险理论中还有一类轻尾分布一一c ( ，y ) ( 7 0 ) 族极为常用，它的定义为： c ( ，y ) ( 7 0 ) 族：如果对任何的f 0 ，有 1 i 。掣：。” z 斗o 。 f ( z ) 易见分布族e ( o ) 就是c 族，族是重尾分布族，而7 0 时的c ( ) 族是轻尾分布 族 中国科技大学博士论文 若随机变量x 的分布f 属于r 为方便起见，记作r 设x 与y 为相互独立的非负随机变量，将x 的分布记为f ，】，的分布记为g ：并 将x 】7 称为独立积，记x y 的分布为h = f * g 类似于称独立随机变量x 与y 的和的分布为f 与g 的卷积，我们称x 1 7 的分 布日为f 与g 的乘积卷积若对任意f r ，g 满足一定的条件，有h = f g 1 2 ， 则称分布族r 是关于g 是稳定的，或者称分布族r 具有乘积卷积稳定性 若分布族r 有这样的性质，对任意x f ，y f 有x + y r ，则称分布族r 具 有卷积封闭性 我们已经知道很多重尾族都具有卷积封闭性，例如冗一。族，c 族及d 族等都满足 卷积封闭性( 参阅c l i n e ( 1 9 8 6 ，1 9 8 7 ) ，e m b r e c h t s 和c o l d i e ( 1 9 8 2 ) ，e m b r e c h t s 等( 1 9 9 7 ) 等等) ，但是也有例外，比如5 族不满足卷积封闭性( 参阅l e s l i e ( 1 9 9 8 ) ) 我们感兴趣的是这些分布族的稳定性如何呢? 随着研究模型的复杂性，仅仅了解 重尾分布族卷积封闭性满足不了我们要求，首当其冲的问题就是重尾分布族的乘积卷 积稳定性问题，这就构成了我们的第二、第三章在第四、第五章我们将第二、三章中 获得的乘积卷积稳定性的结果应用到随机环境下的风险模型和带利息力的模型中，得 到了很好的结果 1 2 本文的主要研究成果 在本文中，所有的极限过程，如不特别说明，都是指z _ o o 对两个正的实值函数 。( 。) 和6 ( z ) ，若满足业啬。( z ) 6 ( 茁) = 1 ，则记作n ( z ) 6 ( 。) ；若满足：斗i m 。n ( 茁) 6 ( z ) = 0 ， 则记作n ( 茁) = o ( 6 ( 。) ) ；若满足l i r as u p 器 0 ) 等价于f ( c i ：) 因此e m b l e c h t s 和o o l d i e ( 1 9 8 0 ) 通过研究( ) 的卷积封闭 性才得到两个独立的具有正则变化尾的随机变量乘积仍然是正则变化的但是对于其 他重尾族却不能照搬这种方法，这是因为取对数后的分布的族性不清楚，而且取对数后 分布的族性的特性并不能充分利用，研究起来反而更困难因此往往只能直接讨论独立 积本身的性质 我们通过研究，获得了如下成果其中的x 与l 都是相互独立的非退化到o 的非 负随机变量，分布分别为f 和g ，并记日为x y 的分布 对c 族，我们获得了 x c ，且x 的分布f 连续，则x y c x ，且对任何o 0 有l i mp ( a x z ) p ( x y z ) = 0 ，则x y c z 这些结果大大推广了c l i n e 和s a m o r o d n i t s k y ( 1 9 9 4 ) 的结果，他们要求x 与y 同时属 于c 族，才有x y c 而我们只要求x 是连续的，并属于，就对任何非退化到o 的 y ，都有x y c 对非连续的情况下我们也有很好的结果，事实上，任何轻尾的y 都 能满足我们的条件 对于5 族，c l i n e 和s a m o r o d n i t s k y ( 1 9 9 4 ) 获得了一个比较满意的结果，他要求 f s ，若存在一函数a ：( 0 ，) _ ( o ，o 。) ，满足以下条件 则有日5 但是不难发现，在上面的条件中， 条件( 3 ) 要求n ( t ) 要尽可能慢地趋于无穷； 条件( 4 ) 却要求n ( ) 要尽可能快地趋于无穷 因此上面的四个条件有点苛刻，而且在实际应用中也很难被验证 5 中国科技大学博士论文 考虑到实际应用中常见的s 族分布大部分都是连续的( 例如这一节开头所列的常 用的次指数分布) ，我们把兴趣集中在连续的5 族上，得到了如下结果： ( 1 ) fes 绝对连续，其密度函数，( z ) 使得x f ( x ) 终究非升； ( 2 ) 对任何固定的a 0 ，有 j i i n 型：o z _ o 。日( 。) 则h s 可以看出我们的条件并不强，更利于实际应用事实上，这个结果对得出第 四章中的主要结论起着关键性的作用 对其他常见的重尾族，我们发现口族、族和m + 族都具有乘积卷积稳定性： 对x 属于口族，只要y 非退化到0 ，就有x y _ d 对x 属于m + ( ”) 族，只要y 具有有限非零的期望，就有x yem + ( x y 朋41 对照乘积卷积稳定性和卷积封闭性，我们发现一个有趣的现象：满足卷积封闭性的 重尾分布族例如，州，川+ 的乘积稳定性质很好，但是对于不满足卷积封闭性的s 族 却加了不少条件才能使其乘积有稳定性那么乘积稳定性与卷积封闭性之间是不是有 着非常密切的关系? 在第三章中 我们讨论了轻尾分布的重尾化问题最近s h i m u r a ( 2 0 0 0 ) 发现，要使两个随机变 量x 与y 的独立积x 1 7 的分布属于正则变化族，并不一定要求x 和】7 都是正则变 化的；即存在x 与y 的分布都不属于正则变化族，而x 1 7 的分布却属于正则变化族 但是他们的讨论都限制在x 或】7 是重尾随机变量的情形，并没有涉及到有关两个轻 尾分布随机变量的乘积的分布有可能是重尾的问题 s u 和t a n g ( 2 0 0 3 ) 曾经指出：当非负随机变量x 的分布为轻尾时，方幂却有可能 加重其分布尾部的重度，例如，如果x 是参数为p 的几何随机变量，则对任何r 1 ， 随机变量x 的分布是重尾分布，并且属于川族， r 第一章绪论 正如随机变量的方幂有可能加重其分布的尾部一样，我们猜想一个随机变量乘上 另一个随机变量后的尾部也有可能被加重，换言之，在x 与】7 的分布都不是重尾分布 时，乘积x y 的分布有可能是重尾的关于这个问题，目前还未见到有文献讨论我 们经过讨论，发现 任何一个属于( 7 ) 族的连续随机变量x 与任何一个无界的非负随机变量y 的独 立积属于族， 任何一个属于c ( 7 ) 族的随机变量x 与任何一个无界的非负随机变量y 的独立积 属于朋族 并给出两个轻尾分布的独立积分布属于m 族的一些充分条件 在第四章中 我们考察了随机经济环境下的离散时间的风险模型，在这个模型下，保险公司将其 盈余投资到金融市场，从中获取利息( 也可能为负的) ，这样保险公司就会同时面临着 金融和保险两种风险下面我们给出该模型的基本结构： 1 净损失x 。第扎年总的索赔额减去当年的保费收入，n = 1 ，2 ，构成独立 同分布的随机变量序列，具有共同的以( 一o o ，o o ) 为支撑的分布f ，我们以x 表示 该序列的一般随机变量； 2 第n 年保险公司将盈余投资到金融市场，利息率为相应的第n 年到n 一1 年 的折现因子k = ( 1 + t n ) ，n = 1 ，2 ，也构成独立同分布的随机变量序列，具有 一般随机变量y 和共同分布g ，g 的支撑为( 0 ，o o ) ； 3 x n ：n = 1 ，2 ，) 与 碥：f , = l ，2 ，) 这两列随机变量相互独立 4 到第n 年底为止折现后的总盈余额& ( 礼20 ) 可由一离散时间的随机过程来描述： s o = z ，最= z 蜀i i b i1l 佗= l ，2 ，一，( 1 21 ) 其中z 0 为保险公司的初始准备金 按照n o r b e r g ( 1 9 9 9 ) 的叫法，我们称随机变量x 和y 分别为保险风险和金融风险 有限时间的破产概率币( z ，n ) 的定义为 啪( 卿) = p ( 。嗽s 女 z ) ：n = 1 ，2 7 中国科技大学博士论文 其中2 i n 8 x o ，罡蓉蚤置娶巧) ，约定砜= o 我们的结果如下：若 ( 1 ) f 绝对连续且密度函数，( ) 满足z ，( z ) 终究非升，f s ( 2 ) 对任何a 0 ，都有 姆0 0 最高刘 z _，i ) ：c l 则对任何n = 1 ，2 ，都有 妒( z 我们将t a n g 和t s i t s i a s h v i l i ( 2 0 0 3 ) 的定理5 1 的适用范围从cn 口族推广到整个s 族，而且大大减弱了对保险风险x 与金融风险y 之问的谁轻谁重的限制他们要求 x 的尾巴一定要比y 的重，我们并没有这个要求，从而大大推广了t a n g 和t s i t s i a s h v i l i ( 2 0 0 3 ) 的结果 在第五章中 我们在经典的c r g r n e r l u n d b e r g 模型中引入了一个常数利息力6 ，并设保费为一随 机过程g ( t ) ，这样的风险模型更贴合实际情况模型的基本结构如下： 1 索赔额 x i ，i 1 构成了一列独立同分布的非负随机变量，具有共同的分布f 和 有限的期望； 2 索赔时间间隔 ，i 1 ) 是独立同分布的参数为a 的指数随机变量序列，在时间 区间0 ，t 中的索赔次数记为 n ( t ) = s u p n21 ：o - 。t ，t 0 ， 其中o - 。= k 称为索赔时刻( 约定：s u p0 = o ) 显然 ( t ) ，t 0 ) 是参数为a 的p o i s s o n 过程， 3 索赔额序列 x ：，i 1 与索赔来到过程 _ 7 v ( t ) ，t 芝0 ) 独立； 4 到时刻t 为止的索赔额全体可表为如下复合p o i s s o n 过程： n ( o s ( t ) = x 。，t 芝0 j 8 o 。j ， l 。问 xp 。 他 第一章绪论 若( ) = 0 时约定s ( t ) = 0 5 存在一个影响风险过程的常数利息力d o ( 即经过时间t 后元钱变为e 乳元1 6 设 e ( t ) ，t 0 ) 为非负且非降的随机过程，约定c ( o ) = 0 ，c ( t ) 表示到时刻z 为止的总保费 这样到时刻t 时保险公司的总盈余巩( t ) 满足下面的方程 t 1 f ( f ) = 口e 以+ e 6 ( 。一) g ( d 可) 一一( t - y ) s ( 矗可) ， f 0 ： j0 j0 其中z 0 为保险公司的初始储备金，我们称这个模型为有利息力的p o i s s o n 模型，若 n ( t ) 为一般的更新过程，则称模型为有利息力的更新模型 在该章中我们主要致力于导出有限时间的破产概率 妒6 0 ，t ) = p ( o i n 。f t 砜( t ) 0 u d o ) = z ) 在。_ o o 时的渐近表达式目前这方面仅有t a n g ( 2 0 0 5 ) 的一个结果，他在有利息力 的更新模型下，假设索赔额服从正则变化族分布，q g 至- i jt z 限时问破产概率的渐近表达 时，即 帅) 。羔融x - - k 0 0 , 协f 巧i 两，。( 。) ， 但是他的工作过于依赖正则变化族的良好性质 我们着力于扩展分布族的范围首先，我们在p o i s s o n 模型之下，证明了；只要 f cn 口，就对任何0 z ) d 竹1 ( 9 ) ，。- o o 这样就把t a n g ( 2 0 0 5 ) 的工作从索赔额分布属于正则变化分布族推广到了整个次指数 族，全面地改进了他的结果 中国科技大学博士论文 总之 1 我们得到了c 族和s 族在一定条件下具有乘积稳定性，推广了c l i n e 和s a m o r o d n i t s k y ( 1 9 9 4 ) 的结果 2 我们还发现口族，朋族，川+ 族，4 + 族等等具有很好的乘积稳定性 3 我们得到了轻尾分布的独立积属于c 族和朋族的一些具有普遍意义的结论 4 我们将随机利率的因素引入离散时间的风险模型，得到了有限时问破产概率的 渐近表达式，推广了t a n g 和t s i t s i a s h v i l i ( 2 0 0 3 ) 的结果 5 我们考察了有利息力的风险模型对有利息力的p o i s s o n 模型，在索赔额分布 f cn 口的条件下，我们得到了有限时间的破产概率的一致的渐近表达式对有利息 力的更新模型，在索赔额分布属于次指数分布的条件下，我们得到了有限时间破产概率 的渐近表达式，把t a n g ( 2 0 0 5 ) 的工作推广到了整个次指数族 1 0 第二章重尾场合下独立随机变量乘积的性状 2 1 引言和问题的起源 独立随机变量的乘积在金融保险领域有着广泛的应用，随着研究模型的复杂化， 比如要考虑有利息力的因素和随机利率的因素等等，这样往往就会碰到独立随机变量 的乘积但是研究乘积方面的文献很少，而它又有着广泛而重要的应用，所以有必要去 研究它的性质 举个很简单的例子，一张价值x 的证卷，由于随机因素( 比如利率) 的影响，经过 一个周期后价值变为x m ，再经过一个周期后价值变为xy l m ，如此等等其中可以把 y i l 理解成是周期n 到周期他一1 这段时间内折现因子，并且x ，k 之间是相互独立 的，n21 因为k 变化一般不大，对于这种情况，自然希望碥不影响x 的族性 再比如，考虑在随机因素的经济环境下的保险模型，保险公司将其盈余投资到金融 市场，从中获取利息( 也可能为负的) ，这样保险公司就面临着金融和保险两种风险； t a n g 等( 2 0 0 4 ) 以如下的量来刻画保险公司的资产： n n s n = ( x e 巧) ， = l j = k + l 其中 五。n 1 ) 和 碥，几1 ) 分别为独立同分布的随机变量序列，并且 x 。) 与 k l 相互独立这样要研究模型的破产概率首先就必须要研究独立积的性质，这个模 型我们将在第四章中进行详细的讨论 在时间序列研究中的a r c h 模型里也有许多与独立随机变量乘积相关的研究例 如，e r n b r e c h t s 等( 1 9 9 7 ) 在5 8 4 引入了以下的方程 k = 碥i i 马+ a 。岛，t n j 。1 m = l j + 1 来描述受利息影响的资产的积累过程 由于当前金融保险业中多在重尾场合下讨论问题，在本章我们主要考虑重尾场合 下独立随机变量乘积的性状随着独立积的引入和应用，自然需要弄清楚 x 。) 和 碥) 的分布的族性是如何影响它们乘积的族性的 1 1 中国科技大学博士论文 对正值随机变量的独立积取对数后就化为独立和，这自然是研究独立积的一个非 常好的方法，例如：在关于正则变化族随机变量独立积的研究中，人们发现foi n 冗一。( 。 0 ) 等价于f c ( 。) ，于是e m b r e c h t s 和g o l d i e ( 1 9 8 0 ) 通过研究c ( “) 的 卷积性质来研究正则变化族随机变量独立积的，证明了两个独立的正则变化族随机变 量乘积仍然是正则变化的最近s h i m u r a ( 1 9 9 7 ) 证明了m ( ) ( 血 o ) ( 即分布f 满足 。阶截尾矩臀t 。d f ( t ) 是正则变化的) 也有类似的乘积卷积稳定性， 但是对于其他重尾族却不能照搬这种方法，这是因为取对数后的分布的族性不清 楚，而取对数后分布族性并不能充分利用，研究起来反而更加困难，所以前期有关独立 积应用的工作都把分布族限制在正则变化族上( c l i n e ( 1 9 8 6 ，1 9 8 9 ) ，d a v i s 和r e s n i c k ( 1 9 8 5 a ，b ，1 9 8 6 ) 等) 因此要想对独立积性质进行研究深入下去，往往只能直接讨论独 立积本身的性质 c l i n e 和s a r i l o i o d n i t s k yf 1 9 9 4 ) 讨论过独立随机变量x 与y 的乘积x y 分布的 族性问题，对口族，s 族和c 族获得了一些重要的结论但是他们或者要求了过高的 条件( 例如对s 族的讨论) ，或者要求x 与y 同属一个分布族( 例如对c ，亿一。族的讨 论) ，因而影响了其结果在使用上的广泛性由于随机因素的影响具有较大的任意性，从 实际的角度来看人们自然希望乘积x y 分布的族性仅由x 分布的族性来决定，或者 说，希望因子y 不改变x 分布的族性 在本章中恒设x 与y 为相互独立的非负随机变量，将x 的分布记为f ) y 的分 布记为g ，并称x y 为独立积，记x y 的分布为且= f g ；类似独立随机变量x 与 y 的和的分布称为f 与g 的卷积，我们把x y 的分布h 称作f 与g 乘积卷积为叙 述方便，若分布h 可写为h = f g ，则称f 和g 为h 的因子如果对任意f r ， g 满足一定的条件，有h r ，则称分布族r 是关于因子g 是稳定的 如果f f ，r 为某重尾族，一个自然的想法就是，如果g 的尾巴足够轻( 与f 相比) ，就一定能保证x y 的分布仍然属于r 族也就是说x 乘上y 后y 对f 的干 扰还不足以使得x y 的分布不属于r 族冗一。族就是个例子( e m b r e c h t s 和g o d i e f 1 9 8 0 ) ) ，事实上，我们发现重尾族5 族，c 族，口族等都满足这个事实 本章研究了重尾分布族的稳定性问题，推广了c l i n e 和s a m o r o d n i t s k y ( 1 9 9 4 ) 的 结果本章行文如下：在第二节证明了任何连续的族对任何非退化到0 的分布g 都 2 第二章重尾场合下独立随机变量乘积的性状 是稳定的，并研究了非连续情形下的c 族分布稳定性问题；第三节得到了连续情形下 的次指数族的稳定性；第四节考虑了其他重尾族比如口族、m 族等的稳定性问题 若随机变量x 的分布f 属于f ，为方便起见，记作x r 2 2c 族的稳定性 2 2 1连续情形下c 族的稳定性 c 族是金融与风险领域中最常见的重尾分布族，首先我们给出它的定义 定义2 1 称以【0 ，o 。) 为支撑的分布f 属于c 族，记作f c ，如果 1 i m 妥半：1 ，vf o ； z - - - 0 0 f k l 77 并且上述定义等价于上式仅对某个f 0 成立( 参闽e m t r r e c h t s 等( 1 9 9 7 ) ) 我们来讨论非负随机变量之独立积的分布h c 族的条件目前，关于这一方面 仅有如下结果( 参阅c l i n e 和s a m o r o d n i t s k y ( 1 9 9 4 ) 定理2 2 ) ： 命题2 1 如果非负随机变量x 与y 相互独立，它们的分布都属于族，则x y 的分布仃属于c 族 我们首先来取消这一命题中的“y