（信号与信息处理专业论文）基于时频分布的rényi熵信号检测.pdf

摘要 捅安 信号检测是倍野处理中一个重要的方丽。随着时频分布理论的发展，将时频 努每应用于信号检测戆工作越来越多。这些检溅方法大多怒基于对信号能量积累 貔捡溺方法，在羝绥臻毙媾琵下捡溺拣戆苓是摄瑾想。零定扶嚣蒙分蠢熬僖惫内 容出发，采用时频分布的r n ) i 熵作为梭测统计量，进彳亍储号检测。考虑到不同 分确函数的时频分布，所对应的熵值不同，故本文用信号的自适应优化核时频分 稚的r 6 n y i 熵代替w i g n e r 分布的r 6 n y i 熵设计检测统计量以改进检测算法。实验 傍真表暖本文检测方法在低信噪比时舆簿好的检测性能，以及采用蠡适应优化核 涎猿分蠢算法糖魄蘩菊w i g n e r 癸毒熬狻溺箕法在镑捡溺傣弓霆多分量镶号鼹蠢 更好的检测性能。 关键词：时频分帘自适应优化核r 6 n y i 熵信号检测 a b s t r a c t d e t e c t i o ni so u eo f t h em o s ti m p o r t a n ta s p e c t so f s i g n a lp r o c e s s i n g t h ed e t e c t i o n m e t h o d sb a s e do nt i m e - f r e q u e n c yd i s t r i b u t i o nh a v eaw i d er e s e a r c ha st h e d e v e l o p m e n to ft i m e f r e q u e n c yd i s t r i b u t i o nt h e o r y i nm o s to ft h e s em e t h o d s ，t h e a c c u m u l a t i o no ft h es i g n a le n e r g yf r o mn o i s yo b s e r v a t i o ni sak e yt od e v e l o pa l l e f f e c t u a ld e t e c t o r h o w e v e r , t h ed e t e c tm e t h o d sb a s e do nt h ee n e r g ya c c u m u l a t i o na r e i n v a l i dw h e nt h es n ri sl o w i nt h i sp a p e r , e x p l o r i n gt h ei n f o r m a t i o nc o n t e n to ft h e t i m e - f r e q u e n c yd i s t r i b u t i o no fi n t e r e s t i n gs i g n a l ，w ed e v e l o pan e wd e t e c tm e t h o d b a s e do nt h er n y ie n t r o p yo ft h et i m e - f r e q u e n c yd i s t r i b u t i o n + c o n s i d e r i n gt h e i n f l u e n c eo fd i f f e r e n td i s t r i b u t i o nf u n c t i o no ft i m e - f r e q u e n c yd i s t r i b u t i o nt ot h e e n t r o p y , an e wm o d i f i e dd e t e c ta l g o r i t h mi sp r e s e n tb a s e do nt h er d n y ie n t r o p yo f a d a p t i v eo p t i m a lk e r n e l ( a o k ) t i m e f r e q u e n c yd i s t r i b u t i o nt os u b s t i t u t et h ed e t e c t m g o r i t h mb a s e do nt h er d n y ie n t r o p yo fw i g n e rd i s t r i b u t i o n s i m u l a t i o n ss h o wt h a t t h ed e t e c tm e t h o db a s e do nr d n y ie n 扛o p yo f t i m e - f r e q u e n c yd i s t r i b u t i o nh a se x c e l l e n t p e r f o r m a n c ew h e nt h es n ri sl o w ，a n dt h em o d i f i e dd e t e c tm e t h o db a s e dr d n y i e n t r o p yo fa d a p t i v eo p t i m a lk e r n e lt i m e f r e q u e n c yd i s t r i b u t i o nh a sn m c hs u p e r i o r i t y o v e rt h ed e t e c tm e t h o db a s e dr d n y ie n t r o p yo fw i g n e rd i s t r i b u t i o ne s p e c i a l l yw h e n t h ei n t e r e s t i n gs i g n a l sa r em u l t i c o m p o n e n ts i g n a l s k e y w o m ：t i m e - f r e q u e n c yd i s t r i b u t i o na d a p t i v eo p t i m a l k e r n e l r d n y ie n t r o p y s i g n a l d e t e c t i o n 西安电子科技大学 创新性声明 秉承学校严谨的学风和优良的科学道德，本人声明所呈交的论文是我个人在 导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标 注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果；也不包含为获得西安电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的 材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中做了明确的说 明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切的法律责任。 本人签名：翌笪塑日期兰1 2 ：! 西安电子科技大学 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究生 在校攻读学位期问论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。学校有权保留 送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全部或部分内容， 可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。同时本人保证，毕业后结合 学位论文研究课题再撰写的文章一律署名单位为西安电子科技大学。( 保密的论文 在解密后遵守此规定) 日期塑! z ： 日期汹- ! 第一章绪论 第一章绪论 1 1 时频分布概况与发展 在传统的信号处理中，人们分析和处理信号的最常用也是最直接的方法是傅 立叶变换。傅立叶变换及其反变换建立了信号时域与频域之间变换的桥梁。时域 和频域构成了观察信号的两种方式，基于傅立叶变换的信号频域表示及其能量的 频域分布揭示了信号的频域特征。但是，傅立叶变换是一个整体变换，在整体上 将信号分解为不同频率分量，对信号的表征要么完全在时域，要么完全在频域， 作为频域表征的功率谱不能告诉我们某种频率分量出现在什么时间及其变化情 况。然而在实际应用场合中，我们遇到的大多数信号都是非平稳的，其统计量是 一个时变函数，对信号进行单一时域或频域分析远远不能满足实际处理的需要， 这时最希望得到的是信号频谱随时间的变化情况。为了分析和处理非平稳信号， 人们对傅立叶变换进行了推广乃至根本性的革命。提出并发展了一系列的信号处 理方法，联合时频分布就是其中一种重要的方法。 时频分布作为一种新兴的信号处理方法，近年来受到越来越广泛的重视。时 频分析或称时频分布，是描述信号频率随时间变化的信号处理方法。采用时间一 频率联合表示信号，将一维的时间信号映射到一个二维的时频平面，在时频域内 对信号进行分析，全面反映观测信号的时频联合特征，使我们同时掌握信号的时 域及频域信息，而且可以清楚地了解信号的频率是如何随时间变化的。 时频分布主要可分为以下几类：第一类是线性时频表示，这一类的时频表示 由傅氏谱转化而来，其特点是变换为线性变换，典型形式为短时傅立叶变换、g a b o r 变换及小波分析( w a v e l e t ) 。第二类是二次型时频表示，这是一类应用广泛的时 频分布，这种时频分布的二次型具有独特的优点，因为信号的二次型就是信号能 量的表示，故这种能量化的时频表示与能量的相关概念有密切联系。而 w i g n e r - v i l l e 分布( w v d ) 是其中相当重要的一种。它的基本概念是w i g n e r 于1 9 3 2 年在量子力学中提出来的，v i l l e 在1 9 4 5 年将其推广到信号处理领域。1 9 7 3 年， d e b r u i j i n 对w v d 作了评述，并给出了将w v d 用于信号变换的新的数学基础。 在8 0 年代后对w v d 的研究骤然引起了人们的兴趣，发表的论文很多，取得了一 些可喜的成绩。但是由于它的双线性特征，对于多分量信号来讲，它的w v d 除 了各分量的w v d 外，还存在着附加项，即交叉项( c r o s s - t e r m ) 。交叉项的存在严 重影响了人们对w v d 的理解，阻碍了w v d 的发展。 1 9 6 6 年，c o h e n 给出了各种时频分布的统一表示形式，在w i g n e r 分布的基础 基于时频分布的r 6 n y i 熵信号检测 上引入了核函数。时频分布的形式由核函数来决定。在1 9 8 9 年，c h o i 和w i l l i a m s 提出了能够消除交叉项的时频分布一c h o i w i l l i a m s 分布，人们由此开始注意研究 核函数的性质，通过对核函数的设计来产生所需要的特性分布。能够由c o h e n 类 核函数产生的时频分布被称为“c o h e n 类双线性时频分布”。从1 9 8 5 1 9 9 5 年期 间，是二次时频分布发展最迅速的期间。主要是围绕c o h e n 类时频分布核函数的 设计进行的。众多的、不同类型的核函数被发现。这些核函数的时频分布都是固 定核的时频分布，它们计算相对简单，并且保持了w i g n e r 分布的许多优点。但是 作为使用一个统一的固定核函数的时频分布，它们的缺点也是十分明显的：( 1 ) 没有一个核函数能对所有类型的信号提供好的分辨率和聚集性；( 2 ) 获得的时频分 布的质量依赖于核函数的选择。 信号包含了多种具有不同时频结构的信号分量，固定核的时频分布总是对部 分分量效果好，而对部分分量的效果差。因而我们需要寻找能反映信号特征的自 适应核函数时频分布。因此，人们将研究工作的兴趣转向基于信号的时频分布以 及自适应时频分布，在这两类时频分布中，核函数不是固定不变的，它随着信号 的不同而改变。 经过r g b a r a n i u k 等大批学者的研究工作，许多基于信号的时频分布被发展 起来，在这些时频分布中，绝大部分时频核函数的设计是基于一个优化准则的， 其中一种比较典型的基于信号的时频分布就是径向高斯核时频分布( r a d i a l l y g a u s s i a n ，s i g n a l d e p e n d e n t k e r n e l ) ，它是一种基于信号的整体自适应核时频分布。 径向高斯核函数时频分布的不足之处：如果信号在不同时间段上，能量集中在不 同的时频方向上，整体自适应最优核难以利用这种时变特征去获得最好的时频分 布。因而根据信号的时变特征，取短时窗函数的自适应优化核时频分布( a d a p t i v e o p t i m a lk e r n e l ，a o k ) 得到发展起来。a o k 分布很好地抑制了交叉项，同时保持 了信号的时频分辨率，因而得到了广泛的应用。 1 2 时频分布的r 6 n y i 熵 熵( e n t r o p y ) 最早由德国物理学家r c l a u s i u s 在热力学中引入，表示物质热状态 的概率，在数学中表示情况或问题的不确定性，而在信息论中则表示信息系统中 描述信息的能力。 在信息论的带动下，熵概念首先进入了概率论、通信和计算机等领域。2 0 世 纪后期，以电子计算机为代表的信息革命方兴未艾，推进了与信息密切相关的熵 概念的史无前例的大发展。 纵观熵的1 4 0 年的历史，可以说，熵是对系统“不确定性”的最佳测度。2 0 世纪4 0 年代末首次提出的s h a n n o n 熵，就是以对不确定性的数学度量的身份出现 第一章绪论 的。它是现代动力系统和遍历理论的重要概念，并在自然科学和社会科学中应用 也日趋广泛。 1 9 7 3 年r 6 n y i 将熵的概念一般化提出了r 6 n y i 熵。w i l l i a m s ，b r o w n ，h e r o 将 r 6 n y i 熵的概念推广到时频分布，提出了时频分布的r 6 n y i 熵的概念，开辟了研 究时频分稀的信息内容的先河，也从另外一个角度开辟了一种研究信号的新的方 法。随着时频理论的发展，许多时频分布形式被发现，将信息熵与时频分布相结 合的时频分布r 6 n y i 熵研究也取得了很大的进步，许多有用的性质被发现。 由于时频分布的r a n y i 熵在分析信号的时频分布的信息方面的独特优点，如 用于计算多分量信号的分量数，对交叉项的渐近不变性，平滑函数对熵值的影响， 以及熵值的时移不变性与频移不变性等，使得基于时频分布的r 6 n y i 熵得到了广 泛的应用。本文将它引入到信号检测理论，用它取代传统的基于能量积累的信号 检测方法，从信号时频分布所含的信息量入手设计检测统计量，有不错的效果。 1 3 信号检测概况与发展 信号检测技术在国民经济和军事领域中都具有重要意义。我们知道，在雷达、 声纳、无线电通讯、图像处理、自动控制等领域中，信号的传递和处理是问题的 关键。通常的做法是把需要传递的信息调制在载波信号上形成已调信号，再通过 功能设备对信号进行发送、处理。己调信号在传递过程中不可避免的要受到各种 干扰，包括自然干扰和人为干扰，由于这些干扰信号的存在，往往使有用信息难 以分辨。因此，如何从包含较强干扰的信号中检测目标信号并提取有用信息就成 为信号检测领域的主要研究问题。随着社会的进步，科技的发展，尤其是航空， 军事、民用通信和计算机技术的高速发展，既对信号的最优处理提出了越来越高 的要求，但同时又给信号的最优处理提供了有效的工具。所以，与信号最优处理 有关的噪声理论、信号理论、信号检测理论、波形估计等相关领域在近几十年里 得到了飞速的发展。 雷达、声纳系统的任务之一是判决目标的有无。有目标时接受到的是信号加噪 声；没有目标时，接受到的只有噪声，没有信号。判决目标的有无，就是判决信 号的有无。如果信噪比很大，判决信号的有无就比较有把握，如果信噪比很小， 判决信号的有无就十分困难。所以早期的信号检测方法都是努力提高输出信噪比。 像传统的基于时域的匹配滤波器就是这种努力的结果。 信号处理理论的进一步发展，不是关心输出信噪比的大小，而是直接判决信号 的有无。关心的是做出正确判断的概率，做出错误判决的概率，判决错误的后果。 信号检测的这一分支称为信号的统计检测。 信号检测理论作为信息处理领域中的重要课题一直都受到很大的关注，在囤 4 基于时频分布的r 6 n y i 熵信号检测 民经济中有着十分重要的地位。噪声背景下的信号检测问题一直以来都是人们的 研究重点。近年来，随着时频分布理论的发展，时频分析已经成为分析时变非平 稳信号的最有力工具之一。由于时频分布包含了非平稳信号更多的信息内容，检 测方法也从传统的时域检测扩展到时频域检测中去。基于时频分布的检测广泛应 用于雷达，生物医学、机器故障、地质勘查等诸多方面。 白高斯噪声背景下的确知信号时域的最优检测方法是匹配滤波器，检测统计 量为匹配滤波器输出的模值的平方。在时频域检测中，一般采用参考信号的时频 分知与观察信号的时频分布内积作为检测统计量。故这些检测方法实际上都是基 于能量积累的检测方法。从噪声背景中积累出信号的能量是这些检测方法的关键。 然而，当信噪比比较低时，信号能量积累常常不那么有效。而且对于实际的信号， 我们也很难获得参考信号的前验知识。 本文介绍种新的基于熵值的检测方法。检测基于这样的原理：因为熵是一 种测量信息不确定性的工具，对随机性越强的信号，它的复杂度也越大，所对应 的熵值也越大，而对确定性强的信号，它的复杂度也越小，所对应的熵值也小。 故在检测中，当接收信号为纯噪声时，由于噪声的纯随机性，它的时频分布占据 整个时频平面，对应的熵值很大；当接收信号中含有回波信号时，信号一旦存在， 它的信号波形相比噪声是确定的，对应的熵值就小。故根据接收信号时频分旆的 r 6 n y i 熵可以设计检测统计量。这种基于熵值的检测方法与基于能量积累的检测 方法不同，不需要求出参考信号的前验知识。而且由于时频分布的时移与频率调 制的不变性，这种方法也具有对信号的时移与频率调制的不变性。 1 4 论文研究的主要内容 本文将以时频分布为研究的重点，详细系统地介绍时频分布的概念、性质及 其在信号检测方面的应用。重点介绍了基本的时频分布包括：w i g n e r - - v i l l e 分布、 c o h e n 类分御，径向高斯优化核时频分布，以及基于信号的短时窗的自适应优化 核时频分御( a o k ) 。在介绍完这些信号分析的方法以后，本文将介绍测量信号 不确定性的方法，即熵值测量方法，将传统的信息熵一般化得到的r 6 n y i 熵，并 与时频分布理论结合起来，应用到信号检测中。 w i g n e r - - v i l l e 分布作为时频分布中最重要的形式，论文的第二章对它作了详 细的介绍，给出了它的概念与性质。同时引出c o h e n 对所有时频分布的统一定义， 不同的核函数可以构造具有不同特性的时频分布，这样就使时频分布的构造简化 为核函数的选择上。由于c o h e n 类时频分布为固定核函数的时频分布，对具有不 同特征的信号使用一个固定的核函数不能很好的反映出它的特征，由此引出基于 信号的整体自适应优化核时频分布，以及根据信号的时变特征设计的短时窗自适 第一章绪论 应优化核时频分布。论文还给出了短时傅立叶变换、w v d 的离散形式。由于w v d 双线性特征，对于含有多分量的信号，它的分布将会产生交叉项，这将影响对信 号的正确地分析。为了抑制交叉项的存在，各种c o h e n 类时频分布将会被重点讨 论，文中将会给出在不同核函数情况下，c o h e n 类分布的计算机仿真结果：同时论 文也将引出自适应优化核时频分布的概念，并详细介绍它们的设计方法，并对它 们在保留自项抑制交叉项的特点通过计算机仿真实现。 论文接着在第三章中介绍了信息熵的发展、定义及性质，并介绍了由信息熵 一般化所推导出来的r 6 n y i 熵的概念，当将时频分布与二维概率密度函数相类比 后，得到基于时频分布的r 6 n y i 熵，在第三章中还介绍了时频分布r 6 n y i 熵的阶 数的选择，时频分卸的归一化问题，讨论了时频分布r 6 n y i 熵的性质，以及基于 信息熵的自适应优化核设计方法，虽然这种设计方法与我们在第二章介绍的a o k 方法具体的实现步骤有所不同，但是其优化方程准则相同，因而我们可以将a o k 分御与时频分御的r 6 n y i 熵相结合应用在第四章的信号检测中。 在第四章中，着重研究信号在高斯白噪声情况下的检测问题。在简要地介绍 信号检测的概念和方法后，引入w v d ，x w v d 检测方法的概念，检测统计量的定 义以及具体的计算方法。进行结果的仿真，并与传统的匹配滤波方法进行比较。 并重点介绍了一种新的检测思路，即从信号的信息内容不确定性设计检测统计量， 引入基于时频分布r 6 n y i 熵的检测方法，通过对含噪声信号的时频分布进行讨论， 发现a o k 分布相比w i g n e r 分布对噪声不敏感，而比c o h e n 类时频分布有更好的 时频聚集性，因而在基于熵的检测中有更好的检测性能。文章最后对基于时频分 布的r 6 n y i 熵的检测方法在w i g n e r 分布和a o k 分布时的检测性能进行了仿真， 说明了这种基于熵的检测方法的实用性。以及采用a o k 分御改进算法对多分量 信号检测的有效性。 最后是全文小结，对全文做出整体的归纳和总结，并指出本文工作存在的问 题以及不足之处和今后要继续的进一步的研究任务。 第一二章时频分布理论 第二章时频分布理论 本章首先从传统的信号描述出发，引出信号时频分布的概念一时频域上对信 号的联合描述，这种描述可以使人们对信号有更深的了解，特别是对时变非平稳 信号( 信号的频率随时间变化) ；第二部分主要介绍时频分布中最重要的 w i g n e r - v i l l e 分布，讨论其定义及主要性质；第三部分将讨论时频分布的一般表示， 即c o h e n 类时频分布，给出时频分布的统一定义。本章最后给出了自适应优化核 时频分布及其设计方案。 2 1 信号的描述 在传统的信号分析中，一般认为信号是平稳的，采用时间描述或者对信号作 傅立叶变换后进行频域描述。但在实际工作应用中，我们所遇到的大多数都为时 变的非平稳信号，针对这类信号引入新的描述方法一时频域的联合描述。 2 1 1 信号的时间、频率描述 从工程应用得到的大部分信号都是时间的函数。当设计一个系统时，我们通 常是在它的频域上进行研究的，这是因为信号或者系统在频域上比在时域上更容 易得到。信号的时域函数表示信号幅度随时间的变化，频域函数表示信号变化的 次数。通过傅立叶变换建立起了信号时域与频域之间的联系。信号的傅立叶变换 及反变换为： s ( 厂) = e s ( f 矿卵d t ( 2 1 ) s ( f ) = e s ( 厂) b 俐矽 ( 2 2 ) s ( t ) ，s ( s ) 构成傅立叶变换对。 信号的总能量为： e = e f d t = e i s ( ) l 矽 ( 2 3 ) 2 1 2 信号的时一频联合描述 在确定信号和平稳信号分析中，时间和频率是两个重要的参数，傅立叶变换 及其反变换建立了信号频域与时域的映射关系。在实际工程应用中，傅立叶变换 基于时频分布的r a n y i 熵信号检测 并不是分析信号的最佳工具，因为实际生活中所遇到的大多数信号都是时变非平 稳信号，其统计特性随时间变化，例如语音信号、雷达和声纳回波信号等。对于 这些信号，傅立叶变换无法对它们进行全面的分析。根据信号的频谱，可以了解 信号包含了哪些频率成份，但是不知道这些频率出现在何时及随时间变化的关系。 为更好地研究这些时变信号，了解它们的频率变化，因此引入信号的时间频率联 合描述。 下图作为一个例子，可以让我们在直观上了解并比较这三种方法。 图2 1 信号的三种描述方式 上图给出一个持续时间为0 1 2 8 s 频率调制范围为0 o 5 h z 的两个线性调频 信号组成的两分量信号的三种表示形式：波形、频谱、以及时频分布( 这里采用 w v d ) 。从信号的波形上，我们可以了解其持续时间及信号幅度随时间的变化关 系；从信号的频谱上，可以知道它的频率成分，但是失去了时间的信息；信号的 时频分御弥补了时间、频率描述的缺点，不仅为我们提供了信号时间与频率的信 息，而且清楚地表示出了信号频率与时间的线性变化关系，给出了一个二维的时 | 日j 一频率关系的直观描述。 2 2w i g n e r 分布 时频分御的基本任务是建立一个函数，要求这个函数能够同时用时问和频率 第二章时频分布理论 9 来描述信号的能量密度。如果有了这样的一个分布，就可以计算某一确定的频率 和时间范围内的能量百分率、计算某一特定时刻的频率密度、计算该分布的整体 和局部的各阶矩。即要求寻找一个联合密度函数p ( t ，) ，使： p ( t ，f ) = 在时间t 和频率，的强度，或者 p ( t ，f ) a t a f = 在时间t 和频率厂，在时一频单元a t a f 内的部分能量 在理想情况下，时间和频率的联合密度应该满足： 肌f ) a f = m 1 2 ( 2 4 ) j e ( t ，f ) d t = l s ( i ) 1 2 上述两个方程定义为时间和频率的边界条件。 总能量： e = s s p ( t ，f ) d f d t = j q s ( t ) 1 2 d t = 胪( 州2 a f ( 2 5 ) 因为时频分布对时变非平稳信号分析的独特优势，引起人们广泛的关注，许 多时频分布形式也被提了出来，这些分布有各自的特点，在不同的领域有着广泛 的应用。下面具体介绍几种重要的时频分布形式。 2 2 1 短时傅立叶变换( s t f t ) 要得到满足上述要求的分布，一种基本的方法就是：取出信号在所关心时刻 附近的- 4 , 段，而忽略信号的其它部分，对其作傅立叶变换，即可得到这一特定 时刻的频率分量。因为所取的时间长度与整个信号相比很短，所以这种方法称为 短时傅立叶变换( s h o r t - t i m ef o u r i e r t r a n s f o r m ，s t f t ) ，它是时频分布中最简单的 形式。短时傅立叶变换的基本思想：用窗函数来截取信号，假定信号在窗内是平 稳的，采用傅立叶变换来分析窗内信号，以便确定在那个时间存在的频率，然后 沿着信号移动窗函数，得到信号频率随时间的变化关系，这就得到了我们所需要 的时频分伟。短时傅立叶变换的定义为： s ( 门= f ：( f ) e 印毋d r = f ：s ( f + f ) 厅( f ) p 讲“d r ( 2 6 ) 其功率谱为： 只( f ，) = i s ，( 川( 2 - - 7 ) 式中， ( f ) 是窗函数，不同的窗函数会得到不同的短时频谱，但是一般束况， 信号特性的分析并不随窗函数的不同而显著变化。加窗强调了时刻f 的信号，即 变化r ，就可以得到特定时刻的瞬时频谱，所有这些瞬时频谱就构成了信号的时 基于时频分布的r 6 n y i 熵信号检测 频分布。因为短时傅立叶变换的频谱图概念直接，同时算法简单，它已经成为研 究非平稳信号十分有力的工具，在许多领域得到广泛的应用，并且也是其它时频 方法的基础。但是有两个主要的困难是短时傅立叶变换无法克服的：一是窗函数 的选择问题。我们注意到对于特定的信号，选择特定的窗函数可能会得到好的效 果。然而如果要分析包含两个分量以上的信号，在选择窗函数时就会感到困难， 很难使一个窗函数同时满足几种不同的要求；二是对于窗函数长度的选择问题。 窗函数的长度与频谱图的频率分辨率有直接的联系。要得到好的频域效果，就要 求有较长的信号观测时间( 窗函数长) ，那么对于变化很快的信号，将失去时间信 息，不能正确反映频率与时间变化的关系；反之，若取的窗函数很短，虽然可以 得到好的时域效果，但是根据h e i s e n b e r g 测不准原理，这必将在频率上付出代价， 所得到信号的频带将展宽，频率的分辨率下降。这种时宽与频宽的交换并不是固 有的，我们为了分析的目的，人为地将信号乘以一个窄的时间窗，使其时宽缩短， 而事实上并非如此。这仅归咎于特定的分析方法，而与信号的本质特性无关。为 了得到更好的效果，应当考虑采用更为适合的分析方法。 2 2 2w i g n e r - v i l l e 分布( w v d ) 进行时频分析的基本目的就是确定一种时频分布函数，使其能够确定在时间t 及频率厂处信号的那部分能量。在短时傅立叶变换的基础上，我们可以加以改进， 得到理想的分析方法。 有别于上述线性的时频表示，时频分布的双线性表示的实质就是将信号的能 量分布于时频平面内，其中w i g n e r - v i l l e 分布( w v d ) 就是一种最基本的双线性 表示形式。这种分布最初是由w i g n e r 在量子力学中提出的，它的定义如下： w ( t ，厂) = e s ( t + r 2 ) s + ( ，一r 2 ) e 一2 神d r ( 2 8 ) 上式中，s ( f ) 出现两次，所以称其为双线性变换。式中不含有任何的窗函数， 因此避免了短时傅立叶变换时间分辨率、频率分辨率相互牵制的矛盾，它的时间 一带宽积达到了h e i s e n b e r g 测不准原理给出的下界。由于这一优点以及这种分白 许多良好的性质，它被广泛地研究并在实际工程中得到大量的应用。当根据h i l b e r t 变换将信号构造成解析形式后，w i g n e r 分布变为w i g n e r - v i l l e 分布。h i l b e a 变换 定义为： 片酬= ；( r ) _ 去黔 ( z - 9 ) 解析信号为： 第二章时频分布理论 砸内+ j h s ( r ) 】叫f ) + ，去学( 2 - - 1 0 ) 由于解析信号的负频率不存在这一特点，采用它作为研究对象，可以避免信号频 谱的混叠，并且采样频率也可减半。 w i g n e r - v i l l e 分布的定义： 彬( f ，厂) = f f z ( t + r 2 ) z ( f r 1 2 ) e - j 2 j c r d r 或者在频域上定义为： 彬( 厂，f ) = f f z ( f + v 2 ) z + ( 厂一v 2 ) e - 3 2 n v t d v 彬( ，0 = 彤( ，f ) 其中，z ( 介为信号z ( f ) 的傅立叶变换。 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 一1 3 ) 令信号s ( f ) 、s 2 ( f ) 的傅立叶变换分别是s l ( 厂) 、s ：( ，) ，互w i g n e r - v i l l e 分布 定义为： 形 p ，力= e ( ，+ f 2 琏。一f 2 矿m 4 打 ( 2 一1 4 ) 2 亡s ( ，+ v 2 ) s ；( f v 2 ) e j 2 , d v w i g n e r 分布是第一种被广泛研究、真正意义上的时频分析方法，许多时频分 布都是在此基础上发展起来的，可以说w i g n e r 分布是时频分布方法的原型。 w i g n e r 分布具有许多代表性的性质，通过对它的研究，得出了时频分饰的一些通 性，有积极的一面，但是也有消极的面。下面对w i g n e r 分布的性质进行讨论。 ( 1 ) 边缘分布 w i g n e r 分布满足边缘分布，这一特点可比二维概率密度函数，对于待定时刻， 如果我们将信号各频率分量所占的能量片累加起来，就应得到此时信号的瞬时功 率际) 1 2 ，即： e 矿( r ，厂阿= 1 2 ( 2 - - 1 5 ) 同样道理，可以得到待定频率下的能量总和： e 矽( f ，s p , - - i s ( s ) 1 2 ( 2 - - 1 6 ) ( 2 ) 总能量 亡e 矽( f ，f ) d t d f = e ( 2 1 7 ) 式中e 为信号s ( t 1 的能量。 ( 3 ) 实函数 基于时频分布的r 6 n y i 熵信号检测 w + ( f ，f ) = r v ( t ，f ) ( 2 - - 1 8 ) 利用这一性质，在计算w i g n e r 分布时，可以改进算法，而减小一半的工作量。 ( 4 )正负性 由于w i g n e r 分布是信号能量的时间一频率分布，因此理论上讲，w ( t ，厂) 应 当在所有的时间和频率上都是正的，因为它代表着一定时间和频率单元在总量中 所占的一份，但是实际上并非如此，在w i g n e r 分布中有负值的存在。因为w ( t ，f 1 是( f ，r ) = s ( t + f ) j ( f f ) 的傅立叶变换，我们可以保证它始终是实值，但不一定 能保证它的非负性。 ( 5 ) m o y a l 定理 m o y a l 定理的w i g n e r 分布形式为： l e x ( f ) y ( ，) 出i = ee 睨( ，厂) ( f ，f ) d t d f ( 2 1 9 ) 这一关系将w i g n e r 分布与时频分布的内积联系起来，这个定理在时频分布基 于能量积累的信号检测中有很大的作用，它建立了时频域信号检测统计量与匹配 滤波器之间的关系。 ( 6 )最好的时频聚集性 时频分布的能量集中在其瞬时频率的周围，特别对频率调制或者幅度调制很 小的信号。w i g n e r 分布的结果一般满足这个结果。 ( 7 ) 解析信号与w i g n e r - v i l l e 分布 实际应用中我们通常先将信号进行h i l b e r t 变换，得到其解析形式后，再进行 时频分布。这是因为离散w i g n e r 分布为： m w ( n ，) = 2 正s ( 胛+ 七) 5 + ( 疗一k ) e 1 4 彤 ( 2 2 0 ) 由上式可知，信号在频域上的分布是以采样频率的一半即f ，2 为周期。对于 实信号，为了避免混叠，其采样频率必须满足： 工4 五 ( 2 2 1 ) 其中为信号的最高频率。而对于解析信号，它的频谱只在萨频谱，因此采 用n y q u i s t 频率进行采样时，不会产生混叠，这样采样频率降低一倍。 采用解析信号还有以下好处：信号的瞬时频率是其相位的导数，这仅当信号 是解析信号时才成立；在消除负频率的同时，其交叉项也被抑制。 第二章时频分布理论 ( 8 ) 交叉项与w i g i l e r 分布 假设一个信号由两个分量构成：s ( t ) = s ( t ) + s ：( t ) ，其w i g n e r 分布为： ( f ，f ) = 彤( f ，f ) + w 2 ：( f ，) + 彬：( f ，f ) + w 2 ，( f ，f ) ( 2 2 2 ) 其中： 彬：( f ，f ) = w 2 ，( r ，) - - i = j 舻f 2 ) s 2 ( t + f 2 ) e - s 2 i d f ( 2 2 3 ) 称为互w i g n e r 分布( c t o s sw i g n e rd i s t r i b u t i o n ，x w v d ) 。由上式( 2 2 2 ) 可 以看出，两个信号和的w i g n e r 分布除了各自w i g n e r 分布之和外，还要加上两个 信号的互w i g n e r 分布。这些互w i g n e r 分布是信号分布的干扰，我们称它们为交 叉项( c r o s s t e r m ) ，它们是由w i g n e r 分布非线性性引起的。这还可以看出互w i g n e r 分布是复的，而彬：( ，厂) + ，( r ，f ) 却是实的。 由于w i g n e r 变换的双线性特性，在分布中引入了交叉项，这影响了w i g n e r 分布的直观表示，而且使得从分布中提取有用信息的过程变得复杂。自项和交叉 项会有多种组合形式，同时交叉项可能出现在自项的位詈，使自项分布受到干扰。 这些都是我们在实际应用中要避免的。 下图2 2 给出了对多分量信号交叉项的影响，由图我们可以看出：信号的交叉 项位于自项支撑区域之间，且交叉项的振荡频率取决于自项之间的时频距离，距 离越大，振荡频率越大。 图2 2w i g n e r 分布的交叉项影响 ( 9 ) 加窗的w i g n e r 分布 从w i g n e r 分布的定义可以看出，它是一个非因果的过程，要得到一个时刻的 4 萋予嚣簇分毒豹r n y i 媾信号捡涮 分粕慎，就必须知道信譬的全部。这是实时避算所不能忍受的，除非信号的时宽 有限。这一局限的克服可仿照短时傅立叶变换的做法，将要分析的信号加窗，人 为地将其时延缩短，得到加窗的w i g n e r 分稚： w ( t ， = s ( t + c 2 ) s + ( t - r 1 2 ) w ( r 2 ) w ( 一r 2 ) e - j 2 x f r d - g ( 2 - - 2 4 ) 其中w ( ，) 是宽度为瓦，巾一0 时刻在原点的衡丽数。 加窗的作用仅在频率方向上扩展了w i g n e r 谱，这样就可通道增加时间窗的宽 度束掇离频率的分辨率，瓶这一切对时域的络果毫无影响。即使楚商限时宽的信 号，爨予工程实际戆考虑，氇会在窑宽帮频搴分辨率之闯傲窭瓠袭，这撵方l 瀵 跫计髯萋及存储量戆需蘩。 2 2 3w i g n e r 分布与模糊函数 x ) 为一个复值函数，它的孵黠自槽关黼数定义为： t , r ) = x ( t + r 2 ) x + 一r 2 ) ( 2 2 5 ) 从上式可以看出w i g n e r 分布就是信号自相关函数关于变量f 的傅立叶变换。 x ( t ) 的对称模糊函数( a m b i g u i t y f u n c t i o n , a f ) 4 ( 占，f ) 定义为自相关函数关 予变爨f 的傅立时反变换，郎： 建f ) = 去；( t , r ) d 8 d t ( 2 2 6 ) 式中p 为频偏，f 为时移。对比式( 2 8 ) 与忒( 2 2 6 ) ，可以得到w i g n e r 分布 与模糊度函数的某种联系，即 耀| 0 ，f ) - - 疑点x o , r ) e 1 蚺“”“d 8 d t ( 2 2 7 ) 主蕊说甓售号静w i g n e r 分毒是其a f 静二维禧立拜交抉。w i g n e r 分毒窝a f 蹩倍譬的两种不同的形式，它们之间有( 2 2 7 ) 式所示韵联系，僚它们之间也存在 着最蒋的差别，例如w i g n e r 分布是变量f ，的函数，a f 则是变墩0 ，f 的函数。而 且w i g n e r 分布是实数，丽a f 却不一定是，即使信号本身是实的。 定义信号的瞬时谱国樱关函数失： 毪，o ) = x ( f + o 2 ) x + ，一8 2 ) = 瓣( t , o e l 蛳椭d r d t ( 2 2 8 ) 可以得到w i g n e r 分布与瞬时谱自相关函数的关系为： 暇( 厂，) = l 也( f ，o ) d e d o ( 2 - - 2 9 ) w i g n e r 分蠢与a f 懿关系也可表示为： 第二章时频分布理论 式中： 巩( 厂，f ) = f 4 ( f ，p ) p 叫2 吖”d f d o ( 2 3 0 ) 4 ( r ，口) = 去f e ( 厂，口p 哪咖a f = 4 ( 臼，r ) ( 2 3 1 ) 2 3c o h e n 类时频分布 尽管w i g n e r 分布有许多重要的性质，对于非平稳信号，特别是线性调频信号 有很好的分辨率。但是正如上一节所提到的，对于多分量信号，由于w i g n e r 分布 的双线性特征，所得到的时频分布除了自项外，还存在着各个分量间的交叉项， 这严重地影响了人们对信号的正确理解。除了w i g n e r 分布和短时傅立叶变换外， 近几十年来人们还提出了许多其他形式的时频分布。1 9 6 6 年，c o h e n 提出了时频 分布的统一表示形式，w i g n e r 分布，s t f t 及其他的时频分布大都可看作是这统 一形式的特殊形式，人们把由c o h e n 公式定义的时频分布通称为“c o h e n 类分布”。 通过对c o h e n 类分布的讨论使我们可以全面地理解时频分布，深入了解它们的性 质。 c o h e n 定义的信号时频分布的统一表示形式为： c x ( t , s ；g ) = 石1 j x ( “+ f 2 ) x ( “一f 2 ) g ( 口，f ) e - 1 2 ”( o t + f r - u o ) d u d f d o ( 2 3 2 ) 式中g ( o ，f ) 称为分布的核函数，给定不同的g ( o ，f ) ，可以得到不同的分布， 现在己知的各种时频分布绝大部分都是c o h e n 类的成员。当核函数g ( o ，r 1 = 1 时， c o h e n 分布将变成w i g n e r 分布。因为不同的核函数产生不同的分布，我们就可以 将构造时频分布的任务简化为核函数设计的问题，而且使用核函数的另一个重要 意义就是：我们可以对核函数加以限制，来实现具有某种性质的时频分布；同时 对于一个新的时频分布的研究，可以通过对其核函数的分析来获得该分布的特性。 对c o h a n 类时频分布有两种解释： ( 1 ) 、模糊域的乘积核 信号的窄带模糊函数( n a r r o w b a n da m b i g u i t yf u n c t i o n ，a f ) ： a x ( 口，f ) = i x ( s + r 2 ) x ( s + r 2 ) e 1 “d s ( 2 3 3 ) 变量r 和0 的物理意义分别是延迟( d e l a y ) 和多普勒( d o p p l e r ) 。 w i g n e r 分布的关系： a x ( 护，r ) = j 暇( “，争叫捌毒 模糊函数与 ( 2 3 4 ) i ! 篓羔壁塑坌查望圣! 鹜! 燕焦兰笙塑 于是，c o h e n 类时频分布可以写成： q ( f ，厂；g ) = 胎( 口，f m ( 臼，f ) p 叫舢d o d