（计算数学专业论文）分离变量法解三维的分数阶扩散波动方程的初边值问题.pdf

分离变量法解三维的分数阶扩散波动方程的初边值问题 摘要 分数阶扩散波动方程是指将传统的扩散( 波动) 方程，对时间的一阶( 或 二阶) 导数用口阶分数阶导数代替，从而得到的分数阶偏微分方程。 本文考虑在有限区间上三维的时间分数阶扩散波动方程的初边值问题。当 时间分数阶导数的阶口从0 变到2 时，解的性态变化从慢的扩散到传统的扩散， 再到混合扩散波动。 在第二章，我们考虑了两项分数阶微分方程。证明了其解的存在性与唯一性， 导出了两项分数阶微分方程的解析解。 在第三章和第四章。利用分离变量法，我们分别导出三维的非齐次时间分数 阶扩散方程和非齐次时间分数阶扩散波动方程的初边值问题的基本解。 关键词：分离变量法；扩散- 波动方程；c a p u t o 导数 分离变量法解三维的分数阶扩散一波动方程的初边值问题 a b s t r a c t t h et i m ef r a c t i o n a ld i f f u s i o n - w a v ee q u a t i o ni so b t a i n e df r o mt h ec l a s s i c a l d i f f u s i o no rw a v e e q u a t i o nb yr e p l a c i n gt h ef i r s t o rs e c o n do r d e rt i m ed e r i v a t i v eb ya f r a c t i o n a ld e r i v a t i v eo f o r d e r 口w i t h0 口 1o r1 口 2 r e s p e c t i v e l y i nt h i sp a p e r , at i m ef r a c t i o n a ld i f f u s i o n w a v ee q u a t i o nw i n li n i t i a l b o u n d a r y p r o b l e m i naf i n i t ed o m m ni nt h r e ed i m e n s i o n s ( f d w e i b p _ 3 d 、i sc o n s i d e r e d a s t h eo r d e ro ft i m ed e r i v a t i v ec h a n g e sf r o m0t o2 ，t h es o l u t i o nb e h a v i o u r c h a n g e s f r o ms l o wd i f f u s i o nt oc l a s s i c a ld i f l u s i o nt om i x e dd i f f u s i o n - w a v eb e h a v i o u r i nc h a p t e r2 ，at o w - t e r m sf r a c t i o n a l - o r d e ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o ni s c o n s i d e r e d t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h es o l u t i o no ft h em o d e li sp r o v e d ，a n d t h ea n a l y t i c a ls o l u t i o no f t h et o w - t e r m sf r a c t i o n a l - o r d e ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n i sd e r i v e d i nc h a p t e r3a n dc h a p t e r4 ，u s i n gs e p a r a t i o no f v a r i a b l e sm e t h o d ，t h ef u n d a m e n t a l s o l u t i o n so fan o n - h o m o g e n e o u st i m ef r a c t i o n a ld i f f u s i o n e q u a t i o n a n da n o n - h o m o g e n e o u st i m e f r a c t i o n a ld i f f u s i o n - w a v ee q u a t i o nw i t l li n i t i a l - b o u n d a r y p r o b l e mi nt h r e e d i m e n s i o n sa r ed e r i v e d ，r e s p e c t i v e l y k e yw o r d s ：s e p a r a t i o no f v a r i a b l e s ：d i f f u s i o n - w a v ee q u a t i o n ：c a p u t od e r i v a t i v e ， 4 分离变量法解三维的分数阶扩散波动方程的初边值问题 第一章引言 1 1 分数阶微积分 分数阶微积分的理论研究由来已久。早在1 6 9 5 年9 月3 0 日，微积分创始人 l e i b n i z 在给l h o s p i a l 的信中就曾讨论过妻阶导数的问题。直至1 8 2 0 年，l a c r o i x e u l e r 等人的基础上给出了一个简单的分数阶导数万d l l 2 x a 的计算公式。之后， 许多数学家( l i o u v i l l eg r i i n w a l dl e t n i k o vr i e m m a n 等等) 都作出了重大 贡献。但是在相当长的时间里，由于缺乏实际应用背景的促进，分数阶微积分主 要局限于纯数学理论的研究，发展相当缓慢。 近几十年来，由于自然科学的发展，在许多领域的应用研究发现：分数阶模 型具有经典的整数阶模型所无法比拟的优势。分数阶微积分已广泛应用于分形理 论、混沌与湍流、随机游走、粘弹性力学等领域。而这些领域的研究又反 过来促进分数阶微积分理论的发展【l 】- 【4 】。 目前，由于应用于不同的领域，分数阶微积分有多种不同的定义最常见的有 g r i i n w a l d l e m i k o v 定义、r i e m a n n - l i o u v i l l e 定义、c a p u t o 定义。本文用的是如 下c a p u t o 定义： 。d t y ( t ) =而1 拦饕比 垡：! 坦卫 d t ” 0 玎一1 掰 0 1 2 研究现状与回顾 分数阶扩散波动方程是指将传统的扩散( 波动) 方程，对时间的一阶( 或 二阶) 导数用口阶分数阶导数代替，从而得到的分数阶偏微分方程。近年来，分 分离变量法解三维的分数阶扩散一波动方程的初边值问题 数阶扩散波动方程备受国内外专家学者关注。许多研究人员从不同方面研究这 个问题。一些研究人员提出计算有效的数值方法解这个问题。例如，l i u 等 5 】， 6 】首先提出分数阶的行方法解分数阶的f o k k e r - p l a n c k 方程，并利用于模拟地下 水的移动。m e e r s c h a e r t 等 7 】提出有限差分方法解分数阶的对流一扩散方程。z h u a n g 和l i u 8 提出了隐式差分方法解分数阶的扩扩散方程，并给出误差分析。f i x 和 r o o p 9 提出有限元法解分数阶两点边值问题。l i u 等 1 0 】也考查了l e v y f e l l e r 分数阶对流扩散方程。l i n 和l i u 1 1 1 还提出高阶方法解非线性的分数阶常微分 方程。也有一些人利用不同技巧，导出了分数阶偏微分方程的基本解。例如文章 【1 2 1 3 用l a p l a c e 变换的方法解决了一维情形下的齐次时间分数阶扩散一波动方 程： 群如力- - - - a 筹，p 0 ，o o 0 删， “( o ，) = u q ，r ) ，t 0 ，( 1 3 ) m o ，o ) = ，( x ) ，0 x s ， 【u i ( x ，o ) = 0 ，0 x ，1 口茎2 的般解“( 马d2 号善色( _ b 2 a 2 n z t a ) s i n ( 职) 少( r ) s i n ( d w ) 西 ( 1 4 ) l i u 等 1 6 1 考虑了时间分数阶对流扩散方程，利用l a p l a c e 和m e l l i n 变换，导出 了其基本解。h u a n ga n dl i u 1 7 】考虑了在n 维空间中，齐次时间分数阶扩散方 程，利用f o u r i e r - l a p l a c e 交换，导出了在半空间与全空间问题之间的显式关系。 a i k h a l e d 和m o m a n i 1 8 干1 1 用分解方法，导出了齐次分数阶扩散一波动方程的近似 解 u ( x , t ) = i g o + “l + u 2 + 屿+ ( 1 5 ) 由下列递归关系( 州) = 亨k - - - o 尝o t o + ) 鲁， + l ( 墨，) = 6 2 ，( + l ( 五们。( 1 6 ) 分离变量法解三维的分数阶扩散波动方程的初边值问题 决定。 但是，这些大多数作者仅考虑一维齐次情况。d a f t a r d a r - g e j j ia n dj a f a r i 1 9 提出用 分离变量法的方法来求解一维情形下具有非齐次项分数阶扩散波动方程 h 列m 堡笋删， 僻黧；? o x o ，0 o o 姐 2 ， “( x ，0 ，r ) = “( x ，万，f ) = “( o ，y ，t ) = “( 刀，y ，) = 0 ，t 0 ， ( 1 , 9 ) f “( x ，y ，o ) = f ( x ，y ) ，0 s 工，y 口， i “，( x ，y ，o ) = o ，0 s 五y 石 的解为： u ( x ，弘f ) ：鲁宝宝亿( 一口：( m 2 + n 2 ) 一s i n 埘。i n 螂r s i n 研r f r 厂( ) s i l l 朋砌 “1 0 在高维情况下具有一般非齐次项的分数阶扩散一波动方程，求解更加困难。 1 3 本文的主要工作 本文，我们考虑三维的非齐次分数阶扩散- 波动方程： o ；u ( x , y , z , t ) 彳( 雾+ 雾+ 窘) + f ( x , y , z , t ) ( 1 0 x i l , 0 j ， f 2 ，o z 0 ，o 口 2 当0 口 1 时，方程称为时间分数阶扩散方程；当口= 1 时，方程变成传统的扩 散方程；当1 ( 口 2 时，方程称为时间分数阶的混合扩散一波动方程：当口= 2 时， 分离变量法解三维的分数阶扩散波动方程的初边值问题 方程变成传统的波动方程。分数阶扩散方程可用于描述具有分形结构的多孔介质 中的反常慢扩散现象，而分数阶的混合扩散波动方程可用于刻画具有幂律变特 性的粘弹介质中的机械波的传播问题【1 2 】，【1 3 】。 在第二章，我们导出两项分数阶微分方程的解。这个结果，将在在第三和第 四章需要用到。 在第三和第四章，我们分别利用分离变量法解三维的非齐次分数阶扩散方程 跏( x , y , z , t 阳2 ( 窘+ 睾+ 窘) + f ( x , y , z , t ) ， 0 x 1 1 ，0 y ，2 ，0 y 0 ，0 口 1 u ( o ，y ，= ，f ) = 且( ，y ，z ，f ) = 0 ，0 ( y f i ，0 0 ， ( 1 t 2 ) u ( x ，0 ，：，f ) = u ( x ，l i ，z ，f ) = 0 ，0 x ，l ，0 z 0 ， u ( x ，y ，0 ，f ) ；u ( x ，y ，3 ，i ) = 0 ，0 工( ，0 y 0 ， u ( x ，y ，z ，o ) = 9 ( x ，y ，z ) 0 x i i ，0 y 1 2 ，0 y l ， 和三维的非齐次分数阶混合扩散波动方程， 咖( x , y , z , t ) 玎( 窘+ 窘+ 害) + ，( x , y , z , t ”c n c2 ( 0 x 1 1 ，0 y ，2 ，0 z o ) u ( o ，y ，：，f ) = “( n ) ，z ，f ) = 0 ，0 y 乞，o 0 ， ( 1 1 3 ) “( x ，0 ，z ，t ) = u ( x ，t ，z ，f ) = 0 ，0 ( x ( ，0 z 0 ， u ( x ，y ，0 ，f ) = u ( x ，y ，1 3 ，f ) = 0 ，0 x ，0 y 0 ， u ( x ，y ，z ，0 ) = 妒( x ，y ，z ) ，0 x ，0 y ，2 ，0 z ，j ， 丝竖兰盟：矿( x ，炉) ，o x ，o y f 2 ，o z 厶 并导出它们的基本解。 分离变量法解三维的分数阶扩散波动方程的初边值问题 第二章两项分数阶微分方程的解 在这一章，我们考虑如下两项分数阶微分方程的解 a i o 群y ( t ) = u ( t ) 一y ( r ) ， y 。( o ) = o ( i = 0 ，1 ”一1 ) ， 这里a ，是任意实常数。 2 1 解的存在性和唯一性 ( 2 1 ) ( 2 2 ) 为了证明解的存在性和唯一性，我们首先要把c a p u t o 分数阶导数转换成 r i e m a n n - l i o u v i l l e 分数阶导数，然后利用r i e m a n n l i o u v i l l e 分数阶导数的性质进 行证明。由【l 】， 2 0 】可得两种分数阶导数的关系： 册r a y ”薹卷 眨s ， 这里i 睇y ( f ) 指阶为的r i e m a n n - l i o u v i l l e 分数阶导数： i 熹i 芸。海咖，o m - 1 ；彤y ( r ) ： r ( m 一口) 出”? ( 卜7 ) ”1 。“ ( 2 4 ) i 盟盟， 口：川n 【d t ” 一 下面介绍一个引理( 见 1 】) ： 引理1 ：若f ( t ) l ( 0 ，r ) ，则方程d 8 y ( t ) = f ( t ) 存在唯一解且y ( t ) 上1 ( o ，t ) 满足初值条件( 2 2 ) 。 下面的定理说明了方程( 2 1 ) ，( 2 2 ) 的解存在且唯一 定理1 ：若“( r ) 厶( o ，r ) ，那么方程( 2 1 ) 存在唯一解y ( t ) t d o ，r ) 且满足初值 条件( 2 2 ) 。 证明：假设方程( 2 1 ) 存在一个解y ( f ) l ( 0 ，r ) 且满足初值条件( 2 2 ) 。此时 分离变量法解三维的分数阶扩散波动方程的初边值问题 将方程改写成：。d 。y ( f ) = ( f ) ，矿( r ) = 上“( f ) 一塑y ( ，) 。据引理知。d 。y ( f ) = ( r ) a i0 1 有唯一解 y o ) 2 而1f 叫) ”愀r ) 打。耳坝，l ( 2 5 ) 将( 2 5 ) 式代入( 2 1 ) 得 痧( f ) = “( r ) 一嘞。一8 庐( f ) = 甜( f ) 一而a o i f ( ) “出= “( r ) + f 后出2 6 此时核函数k ( t ，f ) = 言妥( t - r ) ”1 可写成弱奇异核函数的形式a 据【2 1 】知，方程 l 甜l ( 2 6 ) 存在唯一解y ( f ) l ( o ，丁) 。根据引理1 知( 2 1 ) 一( 2 2 ) 存在唯一解a 2 2 两项的分数阶微分方程的解析解 这一部分我们用拉普拉斯变换方法得到两项的分数阶微分方程的解析解。考 虑：a 。d ? ( _ y 0 ) ) = u ( o a 。_ y o ) 。由c a p u t o 分数阶导数的拉普拉斯变换公式【l 】 ( 。蹲( y ( r ) ) = ，y ( s ) 一s ”“1 ，”( 0 ) 玎一l a o卸1v o p ， 则由卷积公式可得 l o 分离变量法解三维的分数阶扩散波动方程的初边值问题 y c 。= e 一1 c ，c s ，+ 艺k = o s “一 一，c + 妄ir 。一1 z 。c 一詈r 4 iji “1l = p 1 + 薹s t - kl f k ) ( o ) l 弦1 u 一卜 亿m 易见当y 。( 0 ) = 0 时，求出的 _ y ( f ) = g 2 ( r m ( t - f ) 出g 2 ( f ) ：上f 一疋。( 一一a o 尸) a la i 为方程( 2 1 ) ( 2 2 ) 的解析解。 y ul u c h k o 在【2 2 】中用o p e r a t i o n a lm e t h o d 考虑下面方程组。 得到该方程组的解为 y ( x ) ：i 一乞，。( 刀n 涫 一，) a t + m - i q 矿e n 。( 缸。) 0 k = o 很明显当唧= 0 时( 2 + 2 3 ) 式与( 2 2 2 ) 式是一致的 ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) rm 一 口、r m m) 0 = g = 力疋 “ m y kd ，、。【 分离变量法解三维的分数阶扩散波动方程的初边值问题 第三章分离变量法 解三维的非齐次分数阶扩散方程 在这一章，我们介绍用分离变量法解三维的分数阶扩散方程的初始和边界问 题。当0 盯 1 时，即方程为时间分数阶扩散方程 3 1 齐次分数阶扩散方程 在方程( 1 1 1 ) 中，令，( 苫，y ，厶f ) = o ，则得到下面齐次分数阶扩散方程 娣碳x , y , z , t ) 纠( 等+ 雾+ 等) ， 0 x ，l ，0 y ，2 ，0 z 0 ，0 o ) ， u ( x ，y ，0 ，f ) = u ( x ，y ，毛，1 ) = 0 ，( o x s ，0 s y 1 2 ，t o ) 采用分离变量法求解，假设方程( 3 1 ) 的解 u ( x ，y ，z ，) = x ( x ) 】，( y ) z ( z ) 丁( f ) 且满足上述初始和边晃条件。将( 3 ，6 ) 式代入方程( 3 1 ) 可得 垡型一茎塑+ 兰塑+ 兰塑 a 2 t ( t ) 一x ( 工) 。y ( j ，) 。z ( z ) 。 ，d t t ( t ) ：塑+ 麴+ 盥：一五， a 2 f ( )x ( x )l r ( y )z ( z ) 。 可得 哿卅一鬻一哿 令盟：一五一塑一型：啪 z ( z )x ( x )y ( j ) ( 3 ，1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 3 6 ) ( 3 7 ) ( 3 8 ) ( 3 9 ) f 3 1 0 ) 分离变量法解三维的分数阶扩散波动方程的初边值问题 可得 可得鬻叫一 整理( 3 9 ) ( 3 1 1 ) 和( 3 1 3 ) ，加上初始和边界条件，可将原问题转化为 x ”( x ) + ( 五一一，) 双曲= o ，x ( o ) = x ( o = 0 ， y ”( 力+ r r ( y ) = 0 ，y ( 0 ) = y ( l ) = 0 ， z ”( z ) + ，厦( ：) = 0 ，z ( o ) = z ( ) = 0 d r 2 r p ) + 勉2 7 ( f ) = 0 哇t 2 2 1 易知下列结论： ( 3 1 1 ) f 3 1 2 ) f 3 1 3 ) f 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) 方程( 3 1 6 ) 中有特征值= ( 丝1 3 ) 2 ( k = 1 ，2 ，- t ) ，其相应的特征函数为： 互( z ) = s i n ( 丢k z ) ； 方程( 3 1 5 ) 中有特征值，2 ( 等) ( i n - l ，2 ，) ，其相应的特征函数为： l ( y ) = s i n ( 乏m y ) ； 方程( 3 1 4 ) 中有特征值五- p - 7 = ( 等) 2 ( n _ 1 ，2 ，) ，其相应的特征函数为： 鼍( 归i ( ； 从而方程f 3 1 7 ) 有下列形式： 啊州【( 争2 + ( 2 + ( 帮黔。 ( k = l 2 ；m = l 2 n = l 一2 ) 又由( 2 2 3 ) 得( 3 1 8 ) 的解为： ( 3 1 8 ) 协 瞠时耶一盟 胪 卜 叫 熊垃d丝塑 分离变量法解三维的分数阶扩散。波动方程的初边值问题 乙= 卜2 c 等nc 等nc 等，2 卜 ，c 巳。是常数， 邮 ( 由【1 】知。) _ 荟高而 o 胪为m i t t a g 也e m 盯函 数) 方便起见，下面记( 争+ ( 等) 2 + ( 等严t 由 2 4 】知该边界值问题的解为： “( e 儿：力= 宝n ：l 主m = l 妻k j l b m n ( 詈1 肼) s i n ( 詈2 删) s i n ( 吾蜘 3 瓦。( - a 2 e 砧，) ( 3 2 0 ) 由初值条件( 3 2 ) 可得到： 如) ，棚= e 薹。e e b * m = lk = ls i n ( 詈1 肼) 咖( 三2 螂i n ( n = l 3 ( o x l l ，0 y ，2 ，0 ：蔓1 3 ) 。 对每个固定的n ，可改写为 咖，加妻 耋【喜s i n ( 三zm y ) s i n ( 三k z ) s i n ( 乏n x ) n = l 2 1m = li ，i 根据傅立叶级数性质： 耋【喜吃。s m ( 三翮 s i n ( 互屯m y ) = 百2r 烈五弘z ) s i n ( 詈n x ) , x肿d l _ 1 3ql ( 3 2 3 ) 等式右边是一个有序数列记为( z ，y ) ，由( 3 2 3 ) 可得： 砉咖( 善拓) = 静驰枷n 乏m y ) d y ( 3 2 4 ) 等式右边仍是一个有序数列记为，( = ) ，由( 3 2 4 ) 得到： b m r 。= 号r 眦州出 d d ( 3 2 3 ) 一( 3 2 5 ) 求出 b 一= 丽8 知( 胁( 詈删) 胁烘咖i n ( 蛐如。 1 4 一 嘲 嗍 陋 衄 分离变量法解三维的分数阶扩散波动方程的初边值问题 综合f 3 2 0 ) 幕1 ( 3 2 6 ) 式即得 吣朋列，= 南薹耋妻丑二。s i n ( 三一x ) s i n ( - i ”zm y ) s i n ( 善詹z ) ) e “( - a ”m ， t 4 ) 其中： = 舾( 手k ) f 2s i n ( 手彬) f l 贴删s i n ( 詈麒) 撕沈a ( 3 2 8 ) 这里得到的( 3 2 7 ) 即为齐次时间分数阶的扩散方程( 0 口 1 ) 满足初始条件和 边界值条件( 3 2 ) 一( 3 5 ) 的定解问题的基本解。 3 2 非齐次时间分数阶扩散方程 当f ( x ，y ，z ，f ) 0 方程( 1 1 1 ) 为非齐次时间分数阶扩散方程考虑其满足初始条 件和边界值条件( 3 2 ) ( 3 5 ) 的情况： ( a ) 即( x , y , z , t ) 甜( 等+ 窘+ 害) 十f ( x , y , z , t ) 0 x 1 1 ，0 j ， 1 2 ，0 y 0 , 0 口 1 口( 0 ，j ，z ，f ) = 口( ，j r ，z ，f ) = 0 ，0 ( j - 1 2 , 0 ( ： 0 ， u ( x ，0 ，：，f ) = u ( x ，1 2 ，z ，f ) = 0 ，0 工 i t ，0 z 0 ， u ( x ，0 ，f ) = 球 x ，f 3 ，d = 0 ，0 ( x ( 1 l ，0 y 0 ， 皿( x ，j ，z ，o ) = 尹( x ，j ，z ) ，0 x ，0 ， 1 2 ，0 y i s 根据叠加原理，问题( a ) 可以分解为以下两个初边值问题： ，c x , y , z , t 一1 e 等+ 等+ 等， 0 x i l ，0 y 1 2 ，0 y o ，0 口 1 ( 0 ，- ，z ，1 ) = n t l ( 1 i ，y ，z ，1 ) = 0 ，0 ， f z ，0 ( z 0 ， t ( 1 ) ( x ，0 ，z ，f ) = 1 ( x ，1 2 ，：，f ) = 0 ，0 x 1 1 ，0 ： 0 ， 吖1 ( x ，j ，0 ，f ) = h 1 ( x ，y ，i ) = 0 ，0 x ，0 y 0 。 口1 1 ( x ，j ，z ，0 ) = 尹( x ，y ，z ) ，0 x ，0 j 厶，0 z 分离变量法解三维的分数阶扩散波动方程的初边值问题 ( d 拶，( x , y , z , t 一2 ( 等+ 等+ 等) + f ( x , y , z , t ) ， 0 工 ，0 j ， ，2 。0 y 0 ，0 口 1 2 ( 0 ，j ，z ，f ) = h n ( 1 1 ，y ，z ，f ) = 0 ，0 y l ，0 z 0 ， f ( 2 ) ( 工，0 ，：，t ) = 口2 ( x ，1 2 ，：，f ) = 0 ，0 x f l ，0 z 0 ， 口2 ( x ，y ，0 ，f ) = 2 ( x ，j ，f ) = 0 ，0 x 1 1 , 0 0 ， 口( 2 ( x ，y ，z ，0 ) = 0 ，0 x i l ，0 ( j ， l ，0 ： 由【2 3 】【2 4 】知( x ，y ，z ，) = “1 ( x ，儿z ，f ) + “2 ( x ，y ，z ，f ) 即为所求问题的解 其中问题( b ) 的解“”( x ，y ，z ，f ) 如( 3 2 7 ) 式。所以，我们只要解出i t ( 2 ) ( x ，y ，z ，f ) 即 可。 下面假设( c ) 的解具有如下形式 2 4 1 ： b 舭班窆n = l 宝m = l 宝k = l k s i n ( 吾吣i i l ( 善吣i 1 1 ( 云妇) ) ( 3 2 9 )123 为确定k o ) ，我们将自由项，( x ，y ，z ，) 按特征函数展开成付氏正弦级数，即： f ( x , y , z , t ) = 主n = l 宝m = l 妻k = l m = l 厶( m i n ( 詈瓜) s i n ( 三2 彬) s i n ( 詈3 舷) ( 3 3 0 ) 其帆2 寺i 惭丢舷) 陋f l 厂( x , y , z , t ) s i n ( 成舭( 3 3 1 ) 将( 3 3 0 ) 式代入( c ) 可得 l 钟z o ( f ) + 口2 z ( f ) = ，o i ) i ，k ( f ) = 0 由( 2 2 2 ) 得 ( 1 ) = j ：x ”1 e ，。( 一4 2 。x a ) ，榭i ( f - x ) 觑 ( 3 3 2 ) 将( 3 3 2 ) 式代入( 3 2 9 ) 式得 口t z ，( 工，j ，z ，f ) = 妻宝宝 c x 州e 。，( - a 2 瓯，。工4 ) 厶。o x ) 出 “5 1 “2 1 2 1 ( 3 3 3 ) 蚓n ( 和咖( 乏吣i n ( 最后再由式( 3 2 7 ) 和( 3 3 3 ) 得到非齐次时间分数阶扩散方程的原定解问题( a ) 的基本解为 1 6 分离变量法解三维的分数阶扩散波动方程的初边值问题 = 上1 1 i z i s 争= 争客= h t k ，( - a z 8 。t t a ) 矧n ( 和咖( 善吣i n ( 善删 瞧，4 ， + f 矿1 e 。( - a 2 8 。卫。) 厶。( 卜x ) d x = 1 脚= 1 上；l 蚓n t 咖c 丢吣叫) 分离变量法解三维的分数阶扩散一波动方程的初边值问题 第四章分离变量法 解三维的非齐次分数阶混合扩散一波动方程 4 1 非齐次时间分数阶混合扩散一波动方程 当1 口 2 时，方程( 1 1 1 ) 为时间分数阶混合扩散波动方程。现在我们考 虑非齐次时间分数阶混合扩散波动方程满足非齐次初始条件的定解问题： ( d ) 蚋( x , y , z , t ) 爿( 睾+ 嘉+ 軎) + ( x , y , z , t ) ， ( o x i t ，0 y 1 2 ，0 z 0 ) ， u ( o ，y ，：，f ) = “( j l ，y ，：，r ) = 0 ，0 _ y 1 2 ，0 z 0 ， u ( x ，0 ，z ，f ) = u ( x ，l z ，：，) = 0 ，0 x ，0 z 0 ， u ( x ，j ，0 ，f ) = “( 工，1 3 ，r ) = 0 ，0 ( x ，0 y 0 ， “( x ，y ，z ，0 ) = 妒( x ，y ，z ) o x t 1 ，0 y f 2 ，0 z f 】， 塑选兰盟：妒( x ，y ，= ) ，o r ，o y 1 2 , 0 z 类似于3 2 的讨论，根据叠加原理，问题( d ) 可以分解为以下两个初边值问题： 一个是非齐次时间分数阶混合扩散波动方程满足齐次初始条件的定解问题： 拶b m 副2 ( 等+ 等+ 等) + f ( x , y , z , t ) ， o 聋 i t ，0 j ， 1 2 ，o 0 ， h 1 ( 0 ，y ，z ，f ) = 埘1 ( ，j ，：，f ) = 0 ，0 j 1 2 ，o z o ， 埘1 ( 工，0 ，z ，t ) = “1 ( x ，：，：，f ) = o ，0 x ，0 z o ， ( x ，y ，0 ，f ) = 1 ( x ，j ，f 3 ，t ) = 0 ，0 工 ，0 j ， 0 ， h ”( x ，j ，：，o ) = 0 ， o x i i ，0 j ， ，2 ，o z ， 百o u o ) ( x ，j ，：，0 ) ；o ， 0 z ，0 j 1 2 , o zc f 和另一个是齐次时间分数阶混合扩散波动方程满足非齐次初始条件的定解问 题： 分离变量法解三维的分数阶扩散波动方程的初边值问题 ( f ) ，c x , y , z , t 2 t 等+ 等+ 等， 0 工 i t ，0 y 1 2 ，0 y 0 埘2 ( o ，y ，z ，t ) = ( i t ，y ，z ，f ) = 0 0 y ，l ，0 ( ： 0 取2 ( ，0 ，：，f ) = 2 ( 工，1 2 ，：，t ) = 00 工 1 1 ，0 z 0 砧砧( x ，j ，0 ，) = h 2 1 ( 耳，y ，f ) ；00 ( x i i , 0 ( j ， 0 h 2 ( ，j ，z ，t ) ；尹( 善，y ，z ，f ) 0 x l i ，0 y 1 2 ，0 ： ， 曼竺! l 害掣：p ( z ，j ，z ) o x ，o ( j ， ，：，o z 由 2 3 】 2 4 】知“( 艽，y ，z ，r ) = “”( 墨y ，z ，) + 材( x ，y ，z ，d 即力所求l 口j 赵明辫。 考虑非齐次分数阶混合扩散一波动方程满足齐次初始条件的定解问题( e ) 。 类似于3 2 的讨论，我们假设问题( e ) 对应的齐次方程的解具有如下形式 2 4 】： b 拂叫) = 宝n = l 妻m = l 妻z = l b ( ，) s m ( 和渤( 抄2i n ( 纠- i ( 4 1 ii 3 其中7 为待定的函数，显然( 4 1 ) 满足( d ) 的边界条件。为确定乙n p ) ， 我们将自由项，( x ，y ，乙f ) 按特征函数展开成付氏正弦级数，即： f ( x , y , z , t ) = 喜至m = l 砉枷) s i n ( is i n ( 丢2 吣i n ( 丢拓) ， ( 4 2 n = i女= l 3 其中： 厶( f ) 2 南f 3 州善蜘f 2 s i n ( 乏驯) f l ，( x , y , z , t ) s i n ( 詈肼冲础j 。“3 将( 4 1 ) 和( 4 2 ) 代入定解问题( e ) 的方程和初始条件得到： 妻n = l 宝m - 1 喜 钟即) + 以( 等) 2 + ( 等2 ) 2 + ( 等) 2 】邢) 或n ( 詈脏) s i n ( 詈2 删) s i n ( 吾蜘女= 1 i3 i j l 3 =砉宝喜厶t(t)sin(詈nx)sin(万-，my)m=l2 啦唼3 虹) ，( 4 4 h = l = i 砉薹兰z = l 卜s i i 蛐t 呱纠一o ( 4 5 ) = l _ = l l 23 l 妻耋喜llnk(0)sin(n=l 11 珊瑚n c 三2 力或n c 詈z ，- 1 i 。 ( 4 6 t l l 4 3 1 9 坌整奎量鲨堡三丝堕坌墼堕茎墼：壅垫塑墨塑塑望篁塑星 一一 i 娣l 。( f ) + 口2 乙。( ，) = 厶。( f ) k ( f ) = o 【了k ( f ) = 0 由( 2 2 2 ) 得： ( f ) = r x “瓦，。( 一口2 r ) 厶( f x ) a x ( 4 7 ) 由此可得： m ( x ，j ，列) ：宝宝妻 r x 州乜。( - a 2 吒。) 厶糠( f x ) a x x s i n ( 扣s i n ( ，石- ：m y ) s i n ( 乏嘲) 4 2 齐次时间分数阶混合扩散一波动方程 下面考虑齐次方程满足非齐次初始条件时的定解问题( f ) 类似于4 i 的讨论，我们假设问题( f ) 对应的齐次方程的解具有如下形式 2 4 】： 铲b 列) 2 喜i 薹乱啪) s i 畸i 椰i 2y ) s 申a 1= 1 ：一l l 3 运用上述分离变量法后，得到关于时润t 的微分方程定解问题改写为： d ：t a f ) + 2 【( 竽) 2 + ( 等) 2 + ( 争2 ( ，) ：o ， c = 南脚胁乞万- - m y ，胁删咖c 吾嘲出纰， 阻啦击脚触乏删s 矾也撇 这时由( 2 2 3 ) 可解得 ( f ) = ( 0 ) 疋j ( - a 2 正_ l i r ) + ( 0 ) 暖，：( 一4 2 ，) ( 4 9 ) 所以定解问题( f ) 的解为： 2 0 分离变量法解三维的分数阶扩散波动方程的初边值问题 2 ( x ，y ，z ，f ) = e 【l 。( o ) 也，。( - a 2 哦。矿) + z ：柚( o ) t k ，2 ( - a 2 瓯m ，) 1 ( 4 1 0 ) 煳n c 和s 洫唼吣叫 综上，非齐次时间分数阶混合扩散波动方程满足非齐次初始条件的定解问题( d ) 的解： u ( x ，y ，z ，f ) = h 0 - ) ( x ，y ，z ，f ) + 2 ( x ，y ，z ，t ) - - e e e f ，1 乜，。( - a 2 成鼬r ) 厶。( t - x ) d x + fz 。( o ) 乜，。( - a 2 8 。, t x 4 ) + ( o ) t e o 2 ( - a 2 巧妒) 1 ( 4 1 1 ) 删n ( 和s i a ( 主zm y ) s 姬( 分离变量法解三维的分数阶扩散波动方程的初边值问题 第五章总结与展望 本文利用分离变量法分别导出了三维的非齐次分数阶扩散方程的具有非齐 次初始条件的初边值问题的基本解，和三维的非齐次分数阶混合扩散波动方程 的具有非齐次初始条件的初边值问题的基本解。利用这个基本解可以描述非齐次 分数阶扩散一波动方程的解从慢的扩散到传统的扩散，再到混合扩散波动的性 念。这个技巧可以应用于解在有界区间上其它类型的时间分数阶的偏微分方程的 定解问题。 当然，科学无止境。我们还有很多工作需要进一步开展。比如，对于三维分 数阶扩散波动方程，我们给出了解析解。但是，对于它的数值解形式。还研究 得较少，有待于我们去解决。 分离变量法解三维的分数阶扩散波动方程的初边值问题 【参考文献 1 】p o d l u h n y , i f r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s m n e wy o r k ：a c a d e m i cp r e s s ， 1 9 9 9 【2 】s a n n & o ，s q ，k i l b a s , a 。a a n dm a r i c h e v , 0 i f r a c t i o n a li n t e g r a l sa n d d e r i v a t i v e s ：t h e o r ya n da p p l i e a t i o n s m u s a ：g o r d o na n db r e a c hs c i e n c e p u b l i s h e r s , 1 9 9 3 【3 】o l d h a n l ，k b a n ds p a n i e r , j t h ef r a c t i o n a lc a l c u l u s m n e wy o r ka n d l o n d o n ：a c a d e m i cp r e s s 1 9 7 4 4 】m i l l e r , k s a n dr o s s , b a ni n t r o d u c t i o nt ot h ef r a c t i o n a le a l c u l u sa n d 台a c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s m n e wy o r k ：j o h nw i l e y , 19 9 3 【5 】f l i u ，v 呲i t u r n e r , n u m e r i c a ls o l u t i o no fs p a c ef x a e t i o n a lf o k k e r - p l a n c k e q u a t i o n ，j c o m p 。a n d a p p i 。m a t h 1 6 6 ( 2 0 0 4 ) 2 0 9 - 2 1 9 6 】el i u ，va n h ，i t u r n e ra n dpz h u a n g ，n u m e r i c a ls i m u l a t i o nf o rs o l u t et r a n s p o r t i nf r a c t a lp o r o u sm e d i a ，a n z i a mj ，4 5 f e ) 4 6 1 - 4 7 3 、2 0 0 4 【7 】m m e e r s c h a e r ta n dc t a d j e r a n ，f i n i t ed i f f e r e n c ea p p r o x i m a t i o n sf o r