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山东大学硕士学位论文 多孔介质中混溶驱动问题的算子分裂间断有限元方法 王丽珍 ( 山东大学数学学院，济南，山东2 5 0 1 0 0 ) 中文摘要 本文中首先介绍了混溶驱动问题，然后针对这一问题给出了两种算子分裂方 法t 关于带溶质吸附问题的粘性分离方法和算子分裂间断有限元方法 三次采油中广泛应用各种化学剂如碱水、聚合物、表面活性剂等提高采收率， 这一过程涉及到溶质吸附问题在流体不可压缩的条件下，其数学模型为一组关于 压力p ( ，t ) ，饱和度c ( z ，t ) 以及吸附在介质表面的溶质浓度c r ( z ，) 的耦合非线性 偏微分方程组f 3 ，4 ，1 0 1 , v v ( 一器( v p - v d ( 训) - q ( 蚺x ef 2 , 吲咽， 咖丝o t + 心鲁札v c + v ( d ( t 正) v c ) 邓叫g ， 鲁= m ( 1 一白) c 一肫帆c r ， 在第二章中给出了上述问题的粘性分离格式，并对其做了误差分析得到如下的定 理； 定理2 1k ，k ， m 分别为针对压力和浓度的两个空间的剖分尺度，s ，l ，m 分 别为压力混合元空间和两个浓度有限元空间的指标记( c + l ，c 蚪1 ，印+ 1 ，己一+ l ，p 件1 ) 为粘性分离格式的解假定c ( ) ，“( ) ， p ( t ) ，c t ( t ) 足够光滑，并且z 1 ，m l ，s 1 ，h l 。= o ( a t ) ，a t = o ( h m 。) ， 眦= 山东大学硕士学位论文 d ( k ) ，时有。 。m 她a x “ i t 札n 一洲( 喇) 2 圳矿一p 竹1 1 l 2 ( q ) 】 + 。辫【i i c n 一刚口( 嘞+ i i 聋一四慨n ) 】 m 2 ( a t + 忍2 1 + 九黠1 + 舻1 ) 在第三章中，第一部分是将对流扩散问题的算子分裂半显式有限元方法进行 推广，推导出了非线性情形下的格式及误差估计；第二部分将算子分裂问断有限元 方法应用于混溶驱动问题，针对不可压缩混溶驱动问题： 可( 筹( v p 刊c ) v d ) ) - - v u = q , 矧2 ，t z 妒塞一v ( d ( u ) v c - - u c ) 咄，z z u 扎= ( d ( u ) v c u c ) n = 0 ，g a q ，t z c ( z ，0 ) = c o ( z ) ，z q 将不可压缩混溶驱动问题中的饱和度方程用算子分裂方法分解为两个方程，对其 中的一阶双曲方程采用间断有限元方法求解，热传导方程用标准有限元方法求解， 分析了l 2 误差估计得到如下结论t 定理3 5 记h p ，h 。分别为针对压力和浓度的空间剖分尺度，知，t 。分别为 针对压力和浓度离散的时间步长，k ，r 分别为压力混合元空间和浓度有限元空间的 指标令剖分参数满足：a t 。= o ( h 。h p ) ，( 知) 2 = o ( h 。h p ) ，并且k 1 ，r 2 ，记 混溶驱动问题( 1 1 ) 的浓度解为c ，其算子分裂格式的解为c 忡，则有如下误差估计 成立t m a x 1 i 伊一e l i sm ( h ：+ ，童+ 1 + ( a t p ) 2 + ( a t 。) ) o n 2 ，c ( x ，t ) i s t h es o l u t i o no f ( 1 1 ) ，w h i l e 伊) 扩i st h es o l u t i o no fo p e r a t o r s p l i t t i n gs c h e m e ，t h e nt h e f o l l o w i n ge r r o re s t i m a t ei ss a t i s f i e d ： 0 n m a 州x t 。l i 伊一c n 0 m ( h ：+ h e + 1 + ( 知) 2 + ( t c ) ) k e y w o r d s ：m i s c i b l ed i s p l a c e m e n t ；o p e r a t o rs p l i t t i n g ；v i s c o s i t ys p l i t t i n g ；s o l u t e a b s o r p t i o n ；c o n v e c t i o nd i f f u s i o n ；e r r o re s t i m a t e v i 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行 研究所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何 其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本论文的研究作出重 要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本声明的法律责任 由本人承担 论文作者签名： 一 日期： 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校 保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被 查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文全部或部分内容编入 有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文和 汇编本学位论文 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：导师签名：彗望日期：型z ：竺 山东大学硕士学位论文 第一章多孔介质中混溶驱动问题介绍 1 1 引言 假定区域5 2c 舻，j ，考虑区域52 上的多孔介质内，一种流体被另一种 流体驱替假定两种流体可混溶不可压缩，驱替过程可以归结为下面的数学模型 【3 ，4 ，l o 卜 f v ( o ( z ，c ) ( v p 一7 ( c ) ) ) 三v 牡= q ， z q ，t z ( 1 1 1 a ) j 咖杀一v ( d v c ) - i - t v c = ( 仑一c ) 口+ = g ( x ，t ，c ) ， 。q ，t 正 ( 1 1 1 b ) 1 t t ? az 氓( 1 1 1 c ) ic ( x ，0 ) = c o ( o ) ， q ( 1 1 1 d ) 其中，q 是r 2 中具有光滑边界勰的有界区域，j = 【0 ，列；p ( x ，t ) 是流体压力，6 是注入井溶剂的浓度，七( z ) 表示多孔介质的渗透率，弘( z ) 表示流体的粘度，y ( c ) 是 重力项系数，d ( x ) 是高度函数，u ( 茁，t ) 为流体的达西速度，q ( x ，t ) 为源汇项，q + = m a x ( q ，o ) ，仅在注射井是非零项，咖( z ) 是介质孔隙度当q ( x ，) 0 时，a = c ，亢 为a q 的单位外法向量，d ( u ) 为扩散( 含弥散) 系数矩阵，此处考虑分子扩散情形， 即假设d 与u 无关，即d = d ) 另外记o ( z ，c ) = = 罴 | l 上c ， 对于混溶驱动问题，许多算法相继提出te w i n g ，w h e e l e r 在f l 】中用g a l e r k i n 有限元方法求解这一问题并给出了误差估计；d o u g l a s 在【9 】中提出并研究了有限 差分方法；r u s s e l l 在【1 l 】中研究了特征有限元方法；d o u g l a s ，e w i n g ，w h e e l e r 在 【3 ，4 】中采用了混合有限元方法求解压力方程。用标准的有限元方法求解浓度方程； 类似的，d o u g l a s ，e w i n g ，r u s s e l l 在f l o 】中也是用混合有限元方法求解压力方程， 而对浓度方程则采用了修正的特征线法 在实际石油开采过程中。许多组分( 溶质) 存在着吸附现象本文在第二章研 究带吸附的问题，构造并分析了粘性分离格式在解决这类问题时，虽然上述方法 有各自的优势，但是都需要解大型的代数方程组，尤其对于解的前沿比较陡的情 况，实际处理起来相当困难在 6 ，7 】的启发下，基于全离散间断有限元方法的优 点，本文将一阶线性抛物方程间断有限元【1 l 方法推广到了由非线性椭圆方程和抛 物方程耦合的不可压缩混溶驱动问题类似于文献 3 ，1 1 】，本文中压力方程仍然用 混合有限元方法求解；而对于浓度方程，采用算子分裂方法将它分解为两个方程， 分别是一阶双瞌方程和热传导方程，并且用g a l e r k i n 方法求解热传导方程，用间 山东大学硕士学位论文 断有限元方法求解双曲方程相对于直接用g a l e r k i n 方法求解浓度方程，这种方 法可以大大提高计算速度，并且有效抑制数值振荡，尤其适用于解函数呈现局部变 化剧烈的情形 1 2 假定及符号说明 首先给出一些记号：q 表示整个模型区域；甜2 表示区域边界；f 一表示入流边 界；f + 表示出流边界 定义s o o l e v 空间和范数t l 2 ( s 2 ) = ，：矗i ，f 2 o 。) ， 。( s 2 ) = ，：e s s n s u p l f l o o ) ， 日m ( q ) = ，：磐l 2 f i t ) ，i 口i 冬m ) 峭( q ) = ，：磐l 0 。( q ) ，i 。ism ) ， ( ，g ) = 如f gd x i i ，i i = m ：叫1 胆， i l f l l 。= e s 88 u pf i ， _ m ：f i i 警吲1 2 ，m o ， o i a l i j 哪钏l a l l a x r a i i l l 尝o z | i i i 。，m o ， 令a ，6 】cj 且x 是上面定义的空间。f ( x ，t ) 是q o ，纠上的函数，则记： 州小闻= “6i i 飘圳胁 刚m ) ， 忖恼唯 矿噻小飘亡) 1 1 支g t v 2 舵。， w z ( 咖；x ) = ，e s 乏删要( 。) 1 1 0 2 ； x 邮m ) l 【口，6 】 * j i l f l l w 嚣“。御= 哑m a s x 。e s 刮j 第“叱艘。 如果f = ( ，如) 是一个向量函数，我们说f x 当 x 并且厶x 定 义向量范数和空间如下t ，、 h “( d i v ；s 2 ) = ，： ，如，v f 日“( 2 ) ， 2 山东大学硕士学位论文 i i i i h 。( 出。) ：f | f f f 轰+ f 如未+ f f v 厂8 毛1 “2 ，m2 0 - h ( d i v ；q ) = 日o ( d i v ；q ) 根据问题的物理背景。可作如下假设； ( 日1 ) o 口。瓮等矿， o 。妒( z ) 矿，o d 。d ( z ) d + ， i o ( k u 。, ) c 酬+ i 裳( 圳+ l y e ( 。) i + i 裳( 圳+ i 口( 删墨 ( h 2 ) 9 ( z ，t ，c ) 关于时间t 和浓度c 满足l i p s c h i t z 性质， ( h 3 ) 方程的解c ，p ，u 适当光滑， l 。3 压力方程混合元法及其理论 基于前面的记号及假设，我们给出关于压力方程的混合元理论，为下节研究浓 度方程作必要的准备工作 令q 是一个多边形区域，磊= r 是囝的拟一致三角剖分，剖分参数为 危( 此处0 h h o 1 ) ，r 是磊的任意三角单元下面定义q 上的空间和范数t v = h ”( d i v ；q ) n t ，= 0o n 砌】， w = l 2 ( q ) 妒兰c o n s t a n to n 鲫) 对于o t ，p v 并且口l c o ( f 1 ) 定义双线性形式： 坤心舻( 高力= 善2 ( 高屈) ， b ( 口，妒) = - ( v 口，妒) 则压力方程等价于下面的鞍点问题；对于映射“，p ：j v w 满足t a ( c ；让， ) + b ( v ，p ) = ( - y c c ) ，u ) ， v b ( u ，妒) = - ( q ，妒) ，妒形 令h = ( h c ，h p ) ，并且k ，k 为正数令y h m 。是一个r a v i a r t t h o m a s 空间且在 q 上有拟一致的三角或四边形剖分，单元参数的上界为该空间的指标为k 令t v h = ”v h ： n = 0 ，o na q 】， = 弧 妒三c o n s t a n t ，o n 勰 3 山东大学硕士学位论文 定义映射( 疗，声) ：j y h w 如下： a ( c ；u ，口) + b ( t ，p ) = ( - r ( c ) ，u ) ，u 坛， b ( u ，妒) = - ( q ，妒) ， 妒名 根据文献【3 ，4 】，映射是存在的并且有下列结论成立： 1 1 t , - b 1 1 v + l i p - p i i m i i p o l 。【日k + 3 ) ；+ 1( 1 3 1 ) l i v m u m i i v + i i p 一p i i ，m t l c ( t ； ) 一c ( ) l l l 。 4 山东大学硕士学位论文 第二章带溶质吸附的混溶驱动问题的粘性分离法 本章讨论带溶质吸附混溶驱动问题，对浓度方程采用粘性分离方法，并进行收 敛性分析本章共分为两节 2 1 带溶质吸附问题的粘性分离法 = 次米棚中厂忿应用各种化字刑如顿水、聚合仞、表回措住刑寺堤商米收翠， 这一过程涉及到溶质吸附问题在流体不可压缩的条件下，其数学模型为一组关于 压力p ( 茁，t ) ，饱和度c ( x ，t ) 以及吸附在介质表面的溶质浓度c r ( z ，t ) 的耦合非线性 偏微分方程组【5 ，1 9 t v v ( 一器( v p - v a ( 圳) - q ( 碱x ef l , 吲呱 ( 2 1 1 ) 瓦o c + 川n a a 酉0 c + t 工，v c v ( d ( t 正) v c ) = ( 己一c ) g ， ( 2 1 2 ) 鲁= m ( 1 一c r ) c - n , n k c , ( 2 1 3 ) 考虑齐次d i r i c h l e t 边值条件：c ( 。，t ) = o ，v ( x ，t ) = 0 ，z 砌，t ( 0 ，t 】记时间 剖分步长a t 。粘性分离格式为【1 7 ；求解a h ( t ) ，c a ( t ) ，c r h 在j = 【n a t ，( n + 1 ) a t ，n = 0 ，1 ，满足t 0 鲁似v 嘞 偿) 【6 h ( n x t ) 2o h ( n a t 一0 ) 其中令g = 向+ ，以及 f ，0 疣c h _ 。o 夙c r h - v ( d 心) v c h ) + c g + = o ，z q ， c h = 0 , ) z 叫eo f f ( , c a ( n a t 1 ) a t - 0 ) ， ( 2 1 - 5 ) i ) = 瓠( +一o ) ， 、。 【百o c r r h = m ( 1 一c r ，1 ) c 一m 帆c r h 令x ( 茁，t ；v ) 是经过a n a t ， + 1 ) t 1 上点( z ，t ) 的特征线，即有： 一d x ：掣，x ；) ：z (216)dt 一= 一 i z z ：r l = z z 1n 西 一、111 r 1 山东大学硕士学位论文 于是沿着特征线方向有： 訾：g ，t z ( 2 1 7 ) 面2 ，。j 7j 记x n = x ( x ，n a t ) ，广( z ) = ，( z ，n a t ) ，根据( 2 1 7 ) 得到： ，i ( n + 1 ) t x t 如( ( 佗十1 ) a t 一0 ) = 咖c h ( x n ，n a t ) + g ( z ，7 - ) 打，( 2 1 8 ) 于是如果我们知道达西速度在时间层亡竹上的估计值u n ，则通过点( z ，( 佗+ 1 ) a t ) 的近似特征线( ( z ，( n + 1 ) a t ；7 ) 满足： 等= 掣刈引州酬札+ 喇) z x 一 ( 2 1 9 ) 对( 2 1 8 ) 近似的向后特征估计值为t ，( n + 1 ) a t 咖d n + 1 = 妒c “( e ”) + 9 ( ( ( 7 ) ：t ) d r ，( 2 1 1 0 ) 0 n + 1 ，c n 是如( ( n + 1 ) a t - - 0 ) ，c a ( n a t ) 的估计值显然有：( ( 丁) = z 一竺( + 1 ) a t r ) ，矿下t “+ 1 ，如果( ( 丁) q ，我们需要把它延拓到q j 上去 2 0 定义 指标为c 的标准有限元空间m - 。，则( 2 1 4 ) 对应的数值问题为：寻找c 计1 m h t 。， 使得t ，( n + 1 ) a t ( 咖e “+ 1 ，z ) = ( 咖c “( ( “) ，z ) + ( 夕( ( ( 1 - ) ，r ) ，z ) d r ，z 靠l 。( 2 1 1 1 ) 定义指标为m 的标准有限元空间，僦则( 2 1 5 ) 对应的离散问题为：寻找c 1 靠僦，c ? + 1 眦使得： c - + 1 出_ 0 - + i ，名) + 写，z ) 邶( v ，v z ) ( 2 1 1 2 ) + ( g + ( ( 礼+ 1 ) a t ) 6 m + 1 ，z ) = 0 ， z m h 。， ( c r n 可+ l ：- 厂岱一r r ，z ) = ( m ( 1 一四) 伊一m 眠凹，z ) ， z ( 2 1 1 3 ) 令w = l 2 ( q ) ，v = 口( l 2 ( q ) ) 2 ，v l 2 ( q ) 】，对于u ，u v , w 彬定义双线 性形式， 、 徘；让= ( 怒让， ) ，脚川= ( 一v 伽) ( 2 1 1 4 ) 6 山东大学硕士学位论文 于是压力方程等价于寻找( 彩vx 彬对于j ， a ( c ；u ，u ) + b ( v ，p ) = ( 7 ( c ) v d ，”) ， ”v( 2 1 1 5 a ) b ( u ，叫) = - ( q ，叫) ，蜘( 2 1 1 5 b ) 令y h w hcv 彬是指标为s 的有限元空间，则压力方程的混合元格式为，寻 找( 驴，p n ) v a w h 。满足t a ( 。；沪， ) + s ( v ，p n ) = ( 7 ( c ”) v d ，口) ， t ，y h ， ( 2 1 1 6 a ) b ( 扩，叫) = - ( q n ，t ，) ， t t j w h ( 2 1 1 6 b ) 计算时选择伊为国0 ) 的估计值，然后依次计算( 2 1 ，1 6 ) ，( 2 ，1 。1 1 ) ，( 2 1 ，1 3 ) ， ( 2 i 1 2 ) 2 2 粘性分离格式的误差估计 根据标准的分析方法容易得到问题( 2 1 1 ) 的粘性分离格式解的存在唯一性， 为了进行收敛性分析，引入下面的投影t 令扩 靠。使得 ( d ( u ) v ( c 一c ) ，v z ) + ( g + ( 矿一c ) ，z ) = 0 ，z ( 2 2 1 ) 令( u + ，矿) k w h 满足t a ( c ；“，勘) + s ( v ，p ) = ( 1 ( c ) v d ，u ) ， v k ， ( 2 2 2 ) b ( u 。，) = ( - q ，叫) ，w h ( 2 2 3 ) 类似于【1 5 】，下面的引理成立 引理2 1 记，= c 矿，( 2 2 1 ) 有唯一解，并且对椭圆投影。有如下误差估计t i i f l l l = = ( j ；l 。( n ) ) + k 小i b ( j ；h t ( n ) ) 尬 黠1 ， 嵫a f ，l z 、j ，l 。) 蚴i i r ，1 1 r t + 1 本章中m 为般常数，不同处可取不同值，s 为任意小的整数 7 山东大学硕士学位论文 引理2 2 问题( 9 2 2 ) 有唯一解，并且有如下误差估计： l | 让一u + i ( l 。( n ) ) 2 + i l p p + i l l ：( n ) m 。h y s + 1 ， f 让一u + 忆一( n ) ) 。尬 尹1 引理2 3 记( u n ，p n ) 是( 2 1 1 6 ) 的解，( 矿，p + ) 是( 2 2 2 ) ，( 2 2 3 ) 的解，则有 如下误差估计【8 卜 0 n t 正幸n l l ( l 。) ) 。+ | | p “一p 蝴i l l 。( n ) 地i i c n c n i l l 2 ( q ) 特别是如果l 泸i l l * 3 3 ，则有： i l v 一u + ”i i ( l * ( n ) ) ：地l l c n 一l f l o 。( n ) 做正交投影r ：l 2 ( q ) _ m u 。使得t ( 荜, p h w ， 1 1 h ) = ( 叫：伽 ) ，叫l 2 ( q ) ， 0 3 h 慨l c 于是( 2 1 1 1 ) 变为； r ( n + 1 ) a t 咖伊+ 1 = 咖n 俨( r ) + r 9 ( ( ( 7 - ) ，r ) c t r ( 2 2 4 ) ，n a t 定理2 1 令k ，h z 。， 眦分别为事- i - x 寸压力和浓度的两个空间的剖分尺度，s ，z ，m 分别为压力混合元空间和两个浓度有限元空间的指标令 伊+ 1 ，伊+ l ，g + 1 ，泸+ l ，p + 1 ) 为粘性分离格式( 2 1 1 1 ) ( 2 1 1 2 ) 的解，假定c ( t ) ，u ( t ) ，p ( t ) ，c r ( t ) 足够光滑，并且 l 之1 ，m l ，s l ，h i 。= o c t x t ) ，= d ( 眦) ， 眦= d ( h p ) ，时有： o m g n a x n | f u 糟一扩f | ( l 。( n ) ) 。十l i p n p nl i l a c n ) 】 + 蹴c n 一伊慨+ i i 聋一删l 2 ( n ) 】 m 2 ( a t + 啦! + ，l ：譬1 + h p s + 1 ) 如果有 厶僦= 螈k ，则 。i s l l 。a s o ( i i u “一v l l ( l 2 ( n ) ) 2 + l i p 一p “i i l 2 ( f 1 ) 1 +m，&，xffcn一俨if工2(n)+0c；一钟0l。(n)】n0 n 一”1 ”。 。 sm 3 ( z x t + 黠1 + 舻1 ) 8 山东大学硕士学位论文 让l ；| ! j ；圮e2g c 并且，5c 一c ，于是根据( 2 。1 2 ) ，( 2 1 1 2 ) ，( 2 2 。1 ) ，( 2 , 2 。4 ) ， 我们可以得出误差方程： 0 与，名) + ( 批( 譬等一譬小) + ( d ( 沪) v e n + 1 ，v z ) + 国+ ( 时1 ) e “+ 1 ，z ) = ( o c n + 1 + 矿v c n 一咖掣，z ) + ( ( u n + l _ u n ) v c n ，z ) + 掣，z ) + 0 与，2 ) + 丝铲，z ) + 华，0 + ( 西掣，z ) + ( 咖警，z ) + ( 咖垡l 掣，z ) + ( ( d ( u n ) 一d ( u - + x ) ) v c ( ( n + 1 ) t ) ：v z ) + 焘上。 ( r 9 ( ( ( 1 ) ，7 _ ) ，名) 打 = q 1 + q 2 + + q 1 l ，z 螈，。 其中( 的定义见( 2 , 1 9 ) ，并且( n = ( ( 。，+ 1 ) a t ；n a t ) 。，7 ( 7 - ) 定义为： 掣：掣，i a t 一 r ( i + 1 ) a t ，刁( ( 1 + 1 ) a t ) ：茹 吐t口 、 取检验函数z = e n + 1 ，并做归纳假设如下 i l u n i ic l 。( n ) ) 。铂，札0 ( 2 2 5 ) 下面依次估计误差方程中的各项，记1 1 = i i 8 工。或者| i i i = ”i i ( 弘) ：， i q l + 钏慨( f l v c n + 1 忆蚓i 嚣l i 1 1 豢1 1 ) 酬p “i i s 坛( a t 2 + 0 e 1 1 1 2 ) ， i q 3 i 慨( 咖，i i v c 0 工* ) i i e n + 100 矿一e “m 注意到r ，( 的定义，于是： i i 矿一( n 0 m ( ) i i c 厂n t ，0 t m ( 9 0 ( i i u “一u n 0 + i i 钍n u 1 1 ) a t ， 9 山东大学硕士学位论文 1 q 3 ism 6q 5 ( 恕+ 2 + i l e 札1 1 2 + l l e ”+ 11 1 2 + 挚+ 2 ) ， i q , i 尬( 酬瓦o f j i1 1 ：+ 1 t ls 坼q 1 2 r n + 2 + | i e 州i | 2 ) q 5 及q 8 的估计参考文献【1 6 ，17 ，下面给出结论。注意到h i 。= o ( a t ) ， i q 5 i 坻矧矿i ii i v ：+ l l l + 蝎慨“i i1 1 ：+ 1 1 1 ， i q 8 i 舰o i i e ”0 ( 1 l e “+ 1 i i + i l v e n + 1 ) i l m o ( i l e “1 1 2 + 0 e ”+ 1 1 1 2 + 6 1 1 w ”+ 1 i | 2 ) ， i q 7 ism 1 0 l l f “0 ( i i ：1 i i + l i v e “+ 1 ) 0 m l o ( 1 l f “l | 2 + i e “+ 1 1 1 2 + l l v e “+ 1 1 1 2 ) 根据l 2 正交投影的性质，易知 ( ( r j ) 1 ，现) 兰( ( p 一j ) | u 1 ，( 一r + ，) 乞 2 ) ，v l ， u 2 l 2 ( q ) i q 。f i ( 咖! 蔓f ! 玉学，e n + 1 ) i + l ( 西：f ：! 美掣，e n + 1 ) i si ( 盖q ( p h - 耻州) ( 咖丛半1 ) i + i ( 咖掣) l s 舰1 堕a t i ii i v ：+ l l l 十尬2 i i f n l l ( 1 1 ：+ 1 1 1 + l i v e + ：忱 i q g l = i ( 坠罢盟舢一础州) l 旭。象l l ( e h 卅讯刊i i | v ：+ 1 1 1 ， i q l o l m i , ( i i w 木i i l 。，d ) c i i u 一t n0i i 矿一扩+ 1 1 1 ) i i v e ”+ 1 i i 尬4 ( 恕+ 2 + i l e “i | 2 + 寥+ 2 + a t 2 + i l v e n + 11 1 2 ) i q , 1 i 旭s ( 壶z ：。蹦| i ( p 一，m r ) 1 1 2 打+ i i e 州1 1 2 + a t 2 ) m 1 5 ( 霆+ 2 + | f e 札+ 1 0 2 + a t 2 ) ( d ( u ) v e ”+ 1 ，v e 住+ 1 ) ( ( d t 。+ d , l 扩1 ) v e “+ 1 ，v e ”+ 1 ) ， 山东大学硕士学位论文 6 n + l e n a t，矿+ 1 ) 咖。 + l l l 2 一2 ) ， a ( 百0 c r n - 1 - 1 一c r + 瓦1 - - 一c r n ) i n a 舰6 ( 警一盥a t ) 心( 生a t、况 r “ ( 0 n + l 一仃n a t1 2 + i l e - + l l l 2 + a t 2 ) ， 将上面各项的估计带入误差方程中有： c ? r + 1 - - c n a t ) 西蕊1 i l c n + 1 | 1 2 _ i i e n | | 2 ) + ( 咖( + 咴例) v e 州，v e 州) + ( 一+ 1 ) 6 n + l6 n + 1 ) 尬。( a t z + 材z + 妒+ + i | 乏 + 尬9 ( i i e n 8 2 + i l e n + 1 i | 2 ) + ( 1 l w n 0 2 + i i v e n + 1 l | 2 ) 关于吸附浓度的误差方程可由( 2 1 3 ) ( 2 1 1 3 ) 得到： ( 毗( 百0 c r n + l 一写小) ( n l ( 1 一c + 1 ) 矿+ 1 一( 1 一c ? ) c - 一婀肌( c + 1 一研) ， 稍作整理得到： o - n + l 一口n a t，z ) = ( 魁( ( 1 一碍+ 1 ) ( c n + 1 一c n + e n + 广) 一( c - + 帆) ( 仃”+ ( 碍+ 1 一c n ) ) ) ，z ) 一( 譬一一c r n + l a t ，0 ，z 螈僦疣。一“僦 取定检验函数z = o - i * + l ，并且做归纳假定 c “i i l 一3 l l c i | l 一( l * ) = k ，n 0 ， 忐(11盯-+1112一扩112，、)-v 尬，k ，m ，舨，| l 鲁| | ) ( | 2 + 1 2 + i i 矿1 1 2 + 5 i i 仃- + i n t 2 ) 同乘以2 a t 并关于n 求和，然后利用g r o n w a l l 引理可以得到t i i 口n + 10 2 尥z ( k + ) ( i l l n i l 2 + i l e 竹0 2 + a t 2 ) 1 l ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) 2 山东大学硕士学位论文 如果取检验函数z ：o n 1 + 1 r _ _ o - n ，类似于上面的讨论，并利用( 2 2 8 ) 有： c i jt u n + 1 _ u n 雌蝇3 ( k + ) ( i l l n | 1 2 + l z + a ( 2 2 9 ) 将上面的结果带入误差方程的估计式中，同乘以2 a t 关于n 求和，并利用g r o n w a l l 引理，得到： 。m 。骶a x “i l e + l l l 2 m 2 4 ( k ) ( t 2 + 搬+ 2 + 琵+ 2 + 峰8 + 2 ) ( 2 2 1 0 ) 上面的系数 如4 依赖于k 下面证明归纳假定成立，应用 如。的逆性质， 1 1 6 p j l * c n i i 三* - i - i | e n | j 三* p + 恚k l f c 刈p + 去蝎4 ( 州( 帕m + l + h 终1 + 铲1 ) 对参数加以限制【5 】 f 1 ，m 1 ，s 1 ， ( 2 , 2 1 1 a ) 啭1 = o ( h m 。) ，a t = d ( ) ，蚱+ 1 = d ( 。) ( 2 2 1 l b ) 则当 。足够小时，l i c m | i p f f ，i i p + o ( 1 ) sk + ，从而归纳( 2 2 7 ) 假定成立 另外根据引理3 以及( 2 2 1 0 ) 有； 1 1 + 1 一“+ + 1 | l ( l 一) 。地k 1i i 俨+ 1 一c r , + 1i i l sm s m 2 4 h ；1 ( a t + ：2 1 + 九娑1 + 噬卜1 ) 注意到限制条件( 2 1 1 1 ) ，易知( 2 2 6 ) 成立定理证毕 1 2 山东大学硕士学位论文 第三章混溶驱动问题的算子分裂间断有限元方法 本章分为两个部分。第一部分讨论了非定常非线性对流扩散方程的算子分裂 方法，第二部分将这一方法应用于混溶驱动问题并进行收敛性分析 3 1 非线性对流扩散问题算子分裂半显式有限元分析 在现代科学与工程领域中。存在着许多同时伴有物质传输和动力耗散两种过 程的物理系统在数学上，它常归结为对流占优的对流扩散方程或以这种方程占主 导的方程组这类方程具有殆双曲性质，其解函数常呈现局部大梯度变化，使得传 统的求解抛物问题的数值方法常常失败 在此类方程的数值解法研究中，许多非标准的新型算法已相继提出，如特征有 限元法等，这些方法从不同的角度，不同程度地成功处理了对流占优性所导致的数 值问题，但这些方法都是隐式的，需要在整个求解区域上求解，从而需要求解大型 线性方程组，计算量很大 本文所讨论的新型算法，算子分裂一有限元方法的特点是：在每一个时间层 上，由算子分裂方法将原问题分裂成两个问题，即一个一阶双曲问题和一个热传导 问题，并对双曲问题采用间断有限元解法，对热传导问题采用g a - l e r k i n 有限元解 法对流扩散问题的此种算子分裂有限元算法，反映了。对流扩散”的基本特征， 双曲部分的计算由具有迎风性的显式有限元完成本章首先将线性对流扩散问题 的此类解法推广到非线性的情形，然后将这一方法应用到混溶驱动问题的求解中 3 1 1 算子分裂格式 设qcr 2 为多边形区域，边界r ，【0 ，卅为时间区间考虑对流扩散问题【6 ，7 】l t i t + p ( 。，t ) v t + a ( x ，t ) 牡一v ( n ( t ) ) v t = ，( t | ) ，t ( 0 ，t 】，z 2 ，( 3 1 1 ) 心( z ，t ) = 9 ，t ( 0 ，t 】，茁r ，( 3 1 2 ) u ( z ，0 ) = u o ( z ) ，z f ，( 3 1 3 ) 其中z = ( x l ，x 2 ) ，v u = ( 差，差) ，p ( z = ( 侍( z ，班屁( 茁) ，称上述问题为 ( a ) 简记p ( x ( a ) ) = 驴( o ，t ；x ( q ) ) ，0 = l i v l l l 。( n ) ，若钉= ( ”l ， u 2 ) 为向量函数， 贝9 定义| i u i l 2 = 0 u t1 1 2 + f i v 。1 1 2 ，i l l i l * = m a x ( 1 l v l l l l * ，i i u z l l l * 1 3 山东大学硕士学位论文 对问题a 的解及其定解数据做如下假定【1 4 】 ( 日1 ) 存在常数m ，m ，使0 m a ( u ) m 成立，n ( u ) ，f ( u ) 满足l i p s c h i t z 条件【1 3 】， l ( o ( s 1 ) 一a ( s 2 ) i m o l 8 1 8 2 1 ，v 8 2 ，8 2 r ， f ( ，( s 1 ) 一f ( s 2 ) j m o l s l 一s 2 i ， v s 2 ，8 2 r ( h 2 ) 问题( a ) 有唯一解，并且u ，u l o o ( h 件1 ) ，u t t l o o ( l 2 ) 针对问题( a ) ，取时间步长为t 对【0 ，t 】进行剖分，令n = 【t a t 记t ”= n a t ，v n ( 茹) = v ( x ，t n ) ，为建立相应的算子分裂格式，在t = t “上考虑与( a ) 相应 的两个问题，其中一阶问题为t f 竽妒v f i n - 4 - a n t i n = m 州n 酬， 1 面“= g “，z f 一， i t 正o = t 正o ，z q 及热传导问题为t ，竿小v 叫- 0 z 呱 i 缸n = g n ，z r 其中r 一= 。r ，牡住 o 是t n 时的入流边界。f + = r r 一是出流边界，依次 记上述问题为( b ) ，( c ) 在每一个时间层上，对q 做相同的拟一致三角剖分，相 应的网格记为t h = 下：下q ，其网格尺度记为h 对v t 五，令打代表三角 单元下的边界，它包含三个直线边h ( i = 1 ，2 ，3 ) 并且7 ( x ) 是a 7 - 的单位外法线向 量在时间层t = 俨上，对任意的7 i t h ，定义矿在如( 7 - ) 上的平均值： 1 ， 矿护南凡矿( z ) d 5 ， 江1 2 3 ， 其中i 厶( 下) l 表示厶( 下) 的长度对z a r ，若z l d r ) ，定义矿( z ) =